tema 1: muestreo de señales y conversión a/d ing. jorge enrique montealegre...
TRANSCRIPT
Muestreo de Señales y Conversión A/D
1. Introducción
2. Conversión A/D
3. Teorema del muestreo
1. Introducción
Señales, sistemas y procesamiento de señalesUna señal está definida como una cantidad física que varía en el tiempo, espacio, o con otra(s) variable(s)
s1(t) = 5t
s2(t) = 20 t2
s(x,y) = 3x + 2xy + 10y2
s =∑1≤i≤N Ai(t) sen[2πFi(t)t + θi(t)]
¿Cómo se generan las señales?¿Cómo se generan las señales?• La generación de la señal está asociada con un La generación de la señal está asociada con un
sistemasistema que responde al estímulo. que responde al estímulo.• El estímulo en combinación con el sistema es El estímulo en combinación con el sistema es
llamado llamado fuente de la señalfuente de la señal..• Un Un sistemasistema se puede definir como un dispositivo se puede definir como un dispositivo
físico que efectúa una operación a una señal.físico que efectúa una operación a una señal.• La realización de esas operaciones son La realización de esas operaciones son
referidas como referidas como procesamiento de la señalprocesamiento de la señal..
Elementos básicos de un sistema PDS.Elementos básicos de un sistema PDS.• La mayoría de las señales son analógicas por La mayoría de las señales son analógicas por
naturaleza.naturaleza.• Estas señales son funciones de una variable Estas señales son funciones de una variable
continua (tiempo, espacio).continua (tiempo, espacio).• Pueden procesarse con sistemas analógicos Pueden procesarse con sistemas analógicos
(filtros o analizadores de frecuencia).(filtros o analizadores de frecuencia).• En estos casos la señal se ha procesado En estos casos la señal se ha procesado
directamente en su forma analógica.directamente en su forma analógica.
Procesador de la señal analógica
Señal Analógicade entrada
Señal Analógicade salida
El procesamiento de la señal digital nos da un método alternativo para procesar la señal analógica
Se requiere de una interfaz: Convertidor A/D En ciertas aplicaciones requerimos de otra
interfaz: Un convertidor D/A
Procesador de la señal digital
Señal Analógicade entrada
Señal Analógicade salida
A/D D/A
Señal digital deentrada
Señaldigital desalida
Clasificación de las señalesLos métodos a emplear en el procesamiento ó análisis de una señal depende en gran medida de sus características.
Señales multicanal y multidimensionales. Señales continuas y discretas en el tiempo. Señales con valores continuos y con valores discretos. Señales determinísticas y aleatorias.
Concepto de frecuencia en señales continuas y discretas en el tiempo.
xa(t) = A cos(Ωt + θ), -∞ < t < ∞
Ω = 2πF : Frecuencia angular
1. Para cada F determinada, xa(t) es periódica.
Tp = 1/F es el período fundamental.2. Diferentes frecuencias, señales diferentes3. Mayor frecuencia, mayor oscilaciónxxdd(n) = A cos((n) = A cos(ωωn + n + θθ), -), -∞ < n < ∞∞ < n < ∞
ωω = 2 = 2ππf : Frecuencia angularf : Frecuencia angular1. La señal es periódica si f es un racional.
f = k/N; cos[2πf(N+n) + θ] = cos[2πfn + θ] El menor N es el periodo fundamental.
2. Dos o más señales son iguales si sus f las separa un múltiplo de 2π3. La mayor oscilación solo se logra si ω= ± π ó f = ± ½Nota: Identidad de Euler Acos(ωn + θ) = ½Aej(ωn + θ) + ½Ae-j(ωn + θ)
2. Conversión A/D Muchas señales de interés práctico son
analógicas: voz, sísmicas, biológicas, radar, sónar, audio, video, etc.
Para procesarlas por medios digitales es necesario convertirlas en una señal digital: Conversión Analógica a Digital.
Esta conversión consta de tres pasos:MuestreoCuantizaciónCodificación
Conversión A/DConversión A/D
MuestreoConversión de una señal continua a discreta en el tiempo a través de muestras de la señal tomadas en instantes discretos de tiempo.xa(t) es la entrada al “muestreador”x(nT) ≡ x(n) es la salidaT es el intervalo de muestreo
CuantizaciónConversión de una señal discreta de valores continuos a valores discretos (digital).El valor de cada muestra se representa con un elemento seleccionado de un conjunto finito de posibles valores.
La diferencia x(n) – xq(n) se llama error de cuantización.
CodificaciónCada valor discreto cuantizado xq(n) se representa mediante una secuencia binaria b-bit.
Muestreador CodificadorCuantizadorxa(t)x(n) xq(n)
0100…
Señalanalógica
Señaldiscreta
Señalcuantizada
Señaldigital
Convertidor A/D
En ocasiones es deseable convertir la señal digital procesada en analógica: Convertidor D/A
Se conectan puntos a través de interpolación Para señales con contenido de frecuencia limitado
(ancho de banda finito), el teorema de muestreo especifíca la forma óptima de interpolar
El muestreo no produce pérdida de información ni distorsión si la señal tiene un ancho de banda finito
Una señal análoga se puede reconstruir de muestras si la tasa de muestreo es lo suficientemente alta para no producir aliasing
La cuantización es irreversible y produce distorsión, la cual depende de la resolución (número de bits).
La resolución implica costo, lo mismo que la tasa de muestreo
AliasingAliasing
Muestreo de señales analógicasMuestreo periódico o uniforme.
x(n) = xa(nT), -∞ < n < +∞
T es el período de muestreo
Fs = 1/T es la tasa o frecuencia de muestreo (# de muestras por segundo ó Hertz)
t = nT = n/Fs
Relación entre al F de la señal analógica y la f de la señal digital:
f = F/Fsx(n) = xa(nT)
MuestreoMuestreo
Relaciones entre variables de frecuenciaRelaciones entre variables de frecuencia
Señal continua Señal discreta
Ω = 2πFrad/s Hz
ω = 2πfrad/muestra ciclos/muestra
ω = ΩTf = F/Fs
- π ≤ ω ≤ π- ½ ≤ f ≤ ½
Ω = ω/TF = f·Fs
- π/T ≤ Ω ≤ π/T- Fs/2 ≤ F ≤ Fs/2
- ∞ ≤ Ω ≤ ∞- ∞ ≤ F ≤ ∞
El muestro introduce ambigüedad, la frecuencia más alta El muestro introduce ambigüedad, la frecuencia más alta en una señal continua que puede distinguirse cuando la en una señal continua que puede distinguirse cuando la señal se muestrea a señal se muestrea a FFss = 1/T = 1/T es es FFmaxmax = = ½ ½ FFss = 1/(2T) = 1/(2T) y y
ΩΩmaxmax = = ππFFss = = ππ//TT
xa(t) =Acos(2πFt + θ)Acos(Ωt + θ)
x(n) =Acos(2πfn + θ)Acos(ωn + θ)
Sean Sean xx11(t) = cos20(t) = cos20ππtt y y xx22(t) = cos100(t) = cos100ππtt con con FFss = 40 Hz = 40 Hz
¿Cuáles son ¿Cuáles son xx11(n)(n) y y xx22(n)(n)??
xxaa(t) = 3 cos 100(t) = 3 cos 100ππ t t
a)a) ¿Cuál sería la ¿Cuál sería la FFss mínima para evitar mínima para evitar aliasingaliasing??
b)b) Si Si FFss = 200 Hz = 200 Hz ¿Cuál sería ¿Cuál sería x(n)x(n)??
c)c) Si Si FFss = 75 Hz = 75 Hz ¿Cuál sería ¿Cuál sería x(n)x(n)??
d)d) ¿Cuál sería la frecuencia ¿Cuál sería la frecuencia 0 < F < F0 < F < Fss/2/2 de una señal de una señal
senoidal con muestras idénticas a senoidal con muestras idénticas a x(n)x(n) en c)? en c)?
RespuestasRespuestas
a)a) FFss ≥ 100 Hz ≥ 100 Hz
b)b) x(n) = 3 cosx(n) = 3 cos((ππ n/2) n/2)
c)c) x(n) = 3 cos(x(n) = 3 cos(2 2 ππ n/3) n/3)
d)d) F = 25 HzF = 25 Hzyyaa(t) = 3 cos 50 (t) = 3 cos 50 ππ t t
3. Teorema del muestreo3. Teorema del muestreoDada una señal analógica, ¿cómo podemos seleccionar el período de muestreo T, o su tasa de muestreo Fs?
Información acerca de la señal: contenido de frecuencia.
Señal de voz: Menor a 3000 Hz
Señal de TV: Menor a 5 MHz
La informacion se encuentra en las amplitudes, frecuencias y fases de los componentes de la señal.
Conociendo la máxima frecuencia contenida en una señal, se puede determinar la tasa de muestreo.
Podemos suponer que las componentes de una señal no exceden a una frecuencia conocida Fmax.
Con Fmax podemos determinar la tasa de muestreo adecuada a nuestra señal.
Para evitar ambigüedades como el aliasing, la tasa de muestreo se selecciona de modo que:
Fs > 2Fmax
Teorema del muestreo.La frecuencia más alta contenida en una señal analógica xa(t) es Fmax = B y si la señal se muestrea a una tasa Fs > 2Fmax ≡ 2B, entonces xa(t) puede recuperarse exactamente a partir de los valores de sus muestras empleando la función de interpolación
g(t) = sen2πBt / 2πBt
Así xa(t) puede expresarse como
donde xa(n/Fs) = xa(nT) ≡ x(n) son las muestras de xa(t).
Cuando el muestreo se efectúa con la tasa mínima Fs = 2B, la fórmula de reconstrucción es:
La tasa de muestreo FN = 2B = 2Fmax se conoce como tasa de Nyquist.
Ejercicios.
1. ¿Cuál es la tasa de Nyquist para xa(t)?
2. ¿Cuál es la tasa de Nyquist para xa(t)?
Si Fs = 5000 muestras/s ¿Qué señal se obtiene después del muestreo?
¿Cuál es la señal reconstruida ya(t) si usamos interpolación ideal?
Cuantización de señales de amplitud continua.Una señal digital es una secuencia de muestras donde cada una se representa con un número finito de dígitos.
El proceso de convertir una señal discreta de amplitud continua en una señal digital expresando cada valor de una muestra con un número finito de dígitos es llamado cuantización.
El error introducido en la representación de una señal de valores continuos con un conjunto finito de niveles discretos de valores se llama error o ruido de cuantización.
La operación de cuantización de las muestras x(n) se representa como:
xq(n) = Q[x(n)]
El error de cuantización se representa como:
eq(n) = xq(n) – x(n)
Operaciones involucradas en la cuantización.
1. Truncamiento
2. Redondeo
val = 0.59049 t(val) = 0.5 r(val) = 0.6
Los valores permitidos en una señal digital se llaman niveles de cuantización.
La distancia entre dos niveles sucesivos de cuantización se llama paso de cuantización o resolución (Δ).
El error de cuantización eq(n) en el redondeo es:
-Δ/2 ≤ eq(n) ≤ Δ/2
Si xmin y xmax representan los valores mínimo y máximo de x(n) y L es el número de niveles de cuantización, entonces:
Δ = (xmax - xmin ) / (L - 1)
xmax - xmin es el rango dinámico de la señal.
Codificación de muestras cuantizadas.
La codificación en los convertidores A/D asigna un número binario único a cada nivel de cuantización.
Una palabra de b bits crea 2b números binarios diferentes.
Entonces tenemos 2b ≥ L ó b ≥ sup[log2L]
Conversión D/A.
La tarea del CDA es interpolar las muestras.
El teorema del muestreo especifica la interpolación óptima para señales de banda limitada.
Suele emplearse un postfiltrado a la señal obtenida de esta conversión. Ej, Filtro de aplanamiento.
Muestreo, cuantización e interpolación
La señal discreta x(n) = 6.35 cos (πn/10) es cuantizada con una resolución a) Δ = 0.1 b) Δ = 0.02¿Cuántos bits se requieren en cada caso y con cuántos niveles de cuantización L?
Bibliografía Digital Signal Processing: Principles, algorithms and applications
J. G. Proakis & D. G. Manolakis. Pearson Education Inc. 3a Ed. 1996.
Introduction to Signals and Systems, D. K. LindnerMcGraw Hill, 1999.
Signals and Systems: Continuous and Discrete.R. E. Ziemer, W. H. Tranter & D. R. FanninPrentice Hall, 4a Ed. 1998
Principles of Signals and Systems F. J. TaylorMcGraw Hill, 1a Ed. 1994
Signals and SystemsA. V. Oppenheim Prentice Hall, 1a Ed. 1993.
Analog and Digital Communication Systems M. S. Roden Prentice Hall, 4a Ed. 1996.