muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la...

Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia

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Figura 1. Conversor continuo a discreto

2. Muestreo y recuperación de imágenes en eldominio de la frecuencia.

2.1. Muestreo de señales analógicas unidimensionales

Cuando queremos procesar señales analógicas mediante un sistema discreto como elordenador, debemos muestrearlas.

Dada una señal analógica x(t), llamamos muestreo uniforme ideal a tomar un conjuntode valores que tiene dicha señal en intervalos de tiempo T constantes y consecutivos. Así seobtendrá la secuencia x[n] = x(nT).

A la constante “T” se le llama periodo de muestreo, su inversa 1/T es la frecuencia demuestreo “fm”, y “n” es un número entero.

2.1.1. Modelo matemático de conversión continuo a discreto.

El sistema que convierte una señal analógica en una señal discreta se puede representarcomo aparece en la figura 1 y su funcionamiento interno ideal puede asemejarse a la figura 2.

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Figura 2. Funcionamiento interno de un conversor C/D ideal.

Figura 3. Función delta.

Como se observa en la figura 2, matemáticamente el muestreo se produce multiplicandola señal x(t) por un tren de deltas s(t).

xs(t) x(t) ·

nδ(tnT)

nx(nT) · δ(tnT)

Consideramos la función delta como un pulso de área 1, y ancho infinitesimal

A · Δt = 1Δt -> 0A ->

Con esto se produce la discretización en tiempo de la señal. Posteriormente debe darseun código a cada valor de las deltas. Una vez muestreada la señal, las muestras de la secuenciadigital de salida no tienen asociado un tiempo sino un número de orden. Esto implica, que aunquelo normal es recuperar la señal utilizando la misma frecuencia de muestreo, podríamos no hacerloasí, consiguiendo efectos diferentes en cada caso.

El modelo descrito es muy cómodo para el análisis pero no es implementable en larealidad ya que las deltas ideales no existen. En la práctica, lo que se utiliza es un conversoranalógico digital, que en vez de deltas de ancho infinitesimal utiliza pulsos de ancho algo mayor.


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2.1.2. Estudio del muestreo en el dominio de la frecuencia

En este apartado vamos a analizar la relación que existe entre la Transformada de Fourierde la señal de entrada muestreada y la Transformada de Fourier de la secuencia de salida.

En cuanto a la señal de entrada muestreada

xs(t) x(t) ·

nδ(tnT)

Su transformada de Fourier continua sería

Xs(fa) X(fa) 1T

nδ(fa

nT

) 1T

nX(fa

nT

)

Con lo que se llega a la repetición periódica del espectro X(fa) cada 1/T.

Por otro lado, considerando xs(t) como una señal analógica

xs(t)

nx(nT) · δ(tnT)

Y su transformada de Fourier sería

Xs(fa)

nx(nT) · δ(tnT) · e jΩtdt

Como la integral y el sumatorio son operadores lineales pueden intercambiarse entre sí.Además sacamos de la integral todo lo que no depende de t, quedando:

Xs(fa)

nx(nT) ·

δ(tnT) · e jΩtdt

El término integral es la transformada de Fourier de una delta desplazada que sabemosque vale

δ(tnT) · e jΩtdt e jΩnT

Con lo que se obtiene

Xs(fa)

nx(nT) · e jΩnT

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Figura 4. Muestreo de señales continuas visto desde el dominio dela frecuencia.

Figura 5. Ejemplo de filtrado digital para tratamiento de voz.

Si la comparamos esta última expresión con la transformada de Fourier de una secuencia

Xd(ejω)

nx[n] · e jωn

Podemos observar que

Xs(fa)Xd(ejω) |wΩT

La representación gráfica de este desarrollo analítico aparece en al figura 4.

El siguiente ejemplo ilustra el desarrollo matemático y gráfico del muestreo de señalescontinuas. Se pretende realizar un filtrado digital a una señal de manera que su ancho de bandafinal sea de 3,4 kHz.


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ys(t)

ny[n] · δ(tnT)

fcd fcafs

3,4kHz.8kHz.

0,425Hz.

fca fcd · fs 5kHz · 0,425 2,125kHz.

A)- Si la señal está muestreada a una frecuencia de muestreo de 8 kHz. Calcular la frecuencia decorte digital del filtro según la siguiente configuración.

Según este esquema, la frecuencia de corte digital del filtro será:

La frecuencia de corte digital debe ser siempre menor que 0,5 ya que a partir de esafrecuencia digital se tiene la primera repetición del espectro.

B)- Si utilizamos este mismo filtro digital diseñado con una señal muestreada a 5 kHz. Quefrecuencia de corte tendría el filtro analógico resultante.

2.1.3. Reconstrucción de una señal paso bajo a partir de susmuestras.

Si antes para muestrear una señal continua utilizábamos un tren de deltas, donde cadadelta representaba a una muestra, para recuperar podríamos seguir un método similar. Así enprimer lugar, a cada delta desplazada le asignamos el valor de una muestra y[n].

Con esto, lo que estamos haciendo es colocar cada muestra en el instante de tiempo quele corresponde según su número de orden y el periodo de muestreo utilizado originalmente.

Si comparamos la expresión anterior con la señal analógica muestreada xs(t), suTransformada de Fourier sería la repetición periódica de Y(fa).

Ys(fa) 1T

nY(fa

nT

)

Así la recuperación de la señal original se puede conseguir con un filtro paso bajo comose muestra en la figura 6.

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Figura 6. Reconstrucción de una señal paso bajo.

Figura 7. Conversor de discreto a continuo

Como lo que queremos es recuperar y(t), o lo que es lo mismo Y(fa), hemos de aplicarfinalmente un filtro, llamado filtro de reconstrucción. Si este filtro tiene una respuesta enfrecuencia ideal, su expresión será

Hr(fa) T · (fa

fs)

Y su respuesta impulsional se calcula a través de la Transformada Inversa de Fourier

hr(t) sinc ( tT

)

Por último, la salida y(t) del filtro de reconstrucción sería la convolución de ys(t) con elfiltro.

y(t)

nys(nT) · sinc ( tnT

T)

La representación del sistema de conversión de discreto a continuo se muestra en lafigura7, así como su diagrama de bloques.


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Figura 8. Procesamiento discreto de señales continuas.

Figura 9. Utilización de filtro antisolapamiento en señalesruidosas.

2.1.4. Consideraciones sobre el procesamiento discreto deseñales continuas.

El modelo de sistema que se va utilizar es el siguiente:

Respecto de la señal de entrada x(t) a un sistema de procesado digital, ésta nunca estáestrictamente limitada en banda. Sin embargo esta limitación en banda es una característicanecesaria para que no se produzca solapamiento espectral.

El ancho de banda que debe tener la señal de entrada a muestrear depende de laaplicación, pero siempre debe ser menor que 1/T, y en general será menor de 1/2T (Cuando enel sistema discreto existe un filtrado paso bajo, es posible tener frecuencias de muestreo a laentrada entre 1/T y 1/2T y que el filtro elimine el solapamiento que se produzca. Por esopodemos decir que, dependiendo de la aplicación, en un caso extremo podemos muestrear sinproblemas una señal con un ancho de banda siempre menor que 1/T).

En el caso más general, para conseguir la limitación en banda a la entrada es convenientefiltrar paso bajo, mediante un filtro antisolapamiento antes de muestrear (analógico por tanto);sobretodo en señales ruidosas. El filtro antisolapamiento asegura que la señal de entrada tengaun ancho de banda limitado.

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Figura 10. Funcionamiento de un conversor D/A.

ys(t)

ny[n] · P(tnT)

ny[n] · δ(tnT) P(t)

ys(t) P(t)

ny[n] · δ(tnT)

Por otra parte, la generación de un tren de deltas para el conversor C/D no es posible, conlo que este conversor no es real.

Respecto a la señal de salida, la secuencia a recuperar, y[n] debe estar limitada en bandacon un ancho de banda menor que 1/2T para que el filtro de recuperación posterior respete elcontenido espectral de la secuencia.

El conversor de discreto a continuo real se implementa mediante un conversor D/A. Enestos conversores, las deltas no son tales; estas son, en realidad, los pulsos que configuran laseñal en escalones conocida de los convertidores D/A.

El funcionamiento de un conversor D/A puede modelarse como aparece en la figura 10.

El bloque P(t) tiene como respuesta impulsional un pulso de ancho T y amplitud 1. Segúnel esquema de la figura 10, la salida del conversor D/A en ambos casos resulta

quedando

Si el espectro de la señal discreta de entrada y[n] es este


9

Y la función de transferencia del bloque P(t) es P(fa) = T · sinc (fa · T).

El espectro de la señal de salida será el producto en la frecuencia (convolución en eltiempo).

Así, por tener un tren de pulsos y no un tren de deltas, se produce una distorsión deamplitud para algunas frecuencias dentro de la banda de la señal. El filtro ideal queda modificadopor un sinc, pero su efecto puede compensarse en el sistema discreto de la cadena, de la mismamanera que se hizo con el filtro antisolapamiento.

Si las muestras se han tomado con un periodo de muestreo muy pequeño, las repeticionesdel espectro de la señal estarán muy separadas entre sí, así como los ceros de la función sinc.Según esto tendremos el siguiente espectro

En él se puede observar, que el efecto del sinc en las frecuencias de interés es bastantemenor. Incluso si la frecuencia de muestreo es muy alta, el bloque P(t) puede hacer las veces defiltro de reconstrucción. Esta técnica se aplica en muchos casos para equipos de sonido.

El filtro de reconstrucción es también un sistema analógico y no puede ser un filtro ideal.Además, por ser analógico, nos interesa que sea lo más sencillo posible. Según el teorema deNyquist, “la señal que se recupera es la única señal paso bajo con ancho de banda 1/2T que pasapor las muestras.”

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De esta forma si no hay solapamiento espectral se recuperará siempre la señal deseada,pero si hay solapamiento la señal de salida será analógica, pero tendrá un espectro distinto deloriginal, y por lo tanto diferirá de la señal deseada.

En el caso de tener un filtrado digital como sistema discreto, este filtro digital se puedediseñar para compensar los defectos de los filtros analógicos antisolapamiento y dereconstrucción.

Otra consideración, que pueden hacerse a este respecto es que para medir prácticamentela respuesta al impulso de un sistema digital no se debe introducir una delta, ya que es una señalno limitada en banda y puede producirse solapamiento. Si introducimos una señal escalón larespuesta a la derivada del escalón (función delta) es igual a la derivada de la salida; pero elescalón tampoco está limitado en banda.

Generalmente se utilizan sinusoides de distintas frecuencias y se miden las salidas paraconocer sus amplitudes y su retardo.

2.1.5. Ruido de cuantificación.

En la práctica, para procesar señales continuas mediante un sistema discreto se utilizaun conversor A/D, y si la frecuencia de la señal de entrada es muy alta, un circuito de muestreoy retención.

El circuito de muestreo y retención toma muestras de la señal cada instante T y las retienedurante este tiempo. El conversor A/D convierte el nivel de señal de entrada en un código. Laamplitud que nos da el conversor es una amplitud cuantificada con n bits.

Esta cuantificación produce errores de redondeo. Un efecto de la cuantificación de laseñal es la generación de un ruido llamado ruido de cuantificación.

En un sistema de muestreo y codificación normal la potencia del ruido de cuantificaciónes

NC Δ2

12

donde Δ es el tamaño del escalón.


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Esta potencia, se considera que aparece uniformemente entre la frecuencia cero y la mitadde la frecuencia de muestreo. Con esto la densidad espectral de frecuencia es

DEP Δ2

12· 1

fs / 2

De esto, el ruido más molesto será aquel que esta dentro del ancho de banda de la señaly que no podremos quitar filtrando.

PN B

0DEP(f) · df

resultandoPN

Δ2

12· 1

fs / 2· B

Al término fs / 2B se le llama relación de sobremuestreo (OSR => Oversampling Ratio)quedando la expresión finalmente.

PN Δ2

12· 1

OSR

se observa que al doblar la frecuencia de muestreo se reduce el ruido de cuantificación en 3dB.

Si al codificar con 1 bit más la mejora es de 6 dB, el cuadruplicar la frecuencia demuestreo implica una reducción también de 6 dB en el ruido, esto es como si se codificara conun bit más.

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Figura 15. Cambio de la velocidad de muestreo

Figura 16. Diezmador

2.1.6. Cambio de la velocidad de muestreo en el dominiodigital.

Se trata de muestrear una señal de entrada con dos periodos de muestreo distintos y saberque relación existe entre las señales de salida.

También nos interesa saber que sistema podemos poner a la salida del primero para quenos dé a su salida el resultado del segundo; es decir, procesar x[n] para conseguir y[n] sin tenerque pasar al dominio analógico.

Para ello se van a estudiar tres casos distintos: diezmado, interpolación, y variación porun factor Q racional.

2.1.6.1. Diezmado

Llamamos diezmado (en inglés, decimation) a la reducción de la velocidad de muestreopor un factor entero M (T’ = M · T). Un diezmador se representa así.


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Figura 17. Elimina M-1 muestrasde cada M.

Figura 18. Funcionamiento de un diezmador

X(e j2πfd) 1T

iXc

fdiT | fdfaT

Este esquema, lo que hace básicamente es desechar M-1 muestras de cada M. De estaforma la solución al problema es muy sencilla. El elemento que coge una muestra de cada M serepresenta por la siguiente figura.

Como T’ = M·T => x[n] = xc(nT) => y[n] = xc(n·T’) = xc(n·M·T).

En este proceso hay que tener la precaución de que la nueva frecuencia de muestreocumpla las condiciones de Nyquist (f’s 2·B).

Si la nueva frecuencia de muestreo es menor que dos veces el ancho de banda de la señal,se producirá solapamiento. Por esto, al diezmar hay que tener cuidado de que no se produzca; ysi no es posible evitarlo, debemos filtrar la secuencia antes, de forma que eliminemos aquellaparte de la señal que se solaparía. El valor de la frecuencia de corte digital del filtro será, comoveremos, fcd=1/2M, y su ganancia G = 1.

Según todo lo anterior el diezmador quedaría así:

A continuación vamos a ver la relación que existe entre la Transformada de Fourier a laentrada y a la salida del diezmador.

La Transformada de Fourier de la secuencia de entrada es la siguiente

donde fd es la frecuencia digital ω / 2π y vale fd = fa · T. En este caso fa es la frecuencia analógicafa = Ω / 2π.

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Y(e j2πf ) 1T

kXc

f dk

T

1MT

kXc

f dkMT

|f ´d fa·T faMT

Y(e j2πf ) 1M

M1

r0

1T

sXc

f dMT

rsMMT

Y(e j2πf ) 1M

M1

r0

1T

sXc

f drMT

sT

Y(e j2πf ) 1M

M1

r0X e j2πfd

fdf dr

M

La Transformada de Fourier de la secuencia de salida total del sistema es

donde fd’ es la frecuencia digital ω’ / 2π y vale fd = fa · T’ = fa · M · T. En este caso fa es lafrecuencia analógica fa = Ω / 2π.

Si en la Transformada Y sustituimos la expresión k = r + s M, con 0 < r < M-1 y -<s<,nada varía, obteniendose

Haciendo algunos arreglos en el último paréntesis llegamos a

De la expresión anterior puede observarse que, salvo constantes

Luego la única diferencia entre X(ejw) e Y(ejw) en el dominio de la frecuencia es unarepetición periódica. Esta repetición periódica se reflejará en el eje de frecuencias digitales desalida en un cambio en las frecuencias.

Vamos a ver gráficamente un ejemplo de diezmado con factor M=2. Dado el espectrodiscreto siguiente muestreado con periodo de muestreo T


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Figura 21. Interpolador

Si diezmamos con M=2, de la expresión de la salida obtenermos dos sumandos, uno parar = 0 y otro para r = 1.S En el sumando donde r = 0 => f’d = M · fd. YS En el sumado donde r = 1 => f’d = M · fd + 1.

Su suma nos resulta el espectro Y(ejω’).

Podemos observar que el nuevo espectro es también periódico de periodo 1 en lafrecuencia f’d.

2.1.6.2. Interpolación

Llamamos interpolación al aumento de la frecuencia de muestreo por un factor entero L(T’ = T/L) El sistema se representa así.

Como T’ = T / L => x[n] = xc(nT) => y[n] = xc(n·T’) = xc(n·T / L).

Se pretende calcular una serie de muestras intermedias entre las que se tienen.

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Figura 22. Funcionamiento de un interpolador

y1[n]

kx[k] · δ[nkL]

Y1(ejω)

ny1[n] · e jωn

n

kx[k] · δ[nkL] · e jωn

Y1(ejω)

kx[k] ·

nδ[nkL] · e jωn

Y1(ejω)

kx[k] · e jωkL

y1[n] x n

Lpara n múltiplo de L

0 resto

Esto se puede conseguir mediante el siguiente esquema

El primer bloque inserta L-1 muestras de valor 0 entre cada dos muestras de x[n]. Así,el valor de y1[n] en el tiempo es

Puesto que cada una de las muestras de x[k] están en la posición kL en y1 tenemos.

Quedando solamente las muestras distintas de 0 cada intervalo kL.

Si pasamos al dominio de la frecuencia, obtendremos

Intercambiando sumatorios tenemos

El segundo sumatorio de la última expresión es nulo excepto para las muestras en las quen = kL, y esto hace que resulte

En esta expresión, x[k] es el valor de la muestra de entrada y kL es el instante en el quese coloca.


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Y1(ejω) X(e jω) ωωL

De la expresión anterior se deduce que la Transformada de Fourier X(ejw) y Y1(ejw’) sonla misma pero comprimida en el eje de frecuencias un valor L

Para aclarar las ideas, vamos a ver el efecto en el dominio de la frecuencia de unainterpolación por dos (L=2). En la siguiente figura se representa el espectro de una señalmuestreada exactamente a una frecuencia el doble de su ancho de banda.

Si insertamos un cero entre cada dos muestras (L=2) se comprime el espectro quedando

La señal que se quiere obtener tiene el siguiente espectro que como podemos suponer esel elemento central del espectro comprimido repetido periódicamente con periodo 1.

Para conseguir este espectro a partir del anterior, lo que debemos hacer es filtrar con unafrecuencia de corte fcd 0,5 /L y aplicar una ganancia L

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H(e j2πfd) L · Πfd

1/L

h[n] sinc nL

sen(πnL

)

πnL

Como la frecuencia de corte del filtro digital es menor que 0,5 el filtro es realizable, y sufunción de transferencia la podemos denotar como

Puede observarse que la interpolación por si sola no puede producir solapamiento ya queestamos insertando más muestras de las que había en un principio.

Para ver lo que está pasando en el tiempo con la inserción de este filtro, nos interesarepresentar su respuesta impulsional, que resulta ser

Quedando gráficamente

Como ejemplo, en el caso de tener una secuencia de entrada x[n] como la de la siguientefigura


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y[n] M

k0bk · x[nk]

Si interpolamos por tres, la salida del bloque que inserta ceros tendrá el aspecto siguiente

Y finalmente, la salida del filtro será la convolución de la respuesta al impulso con estaseñal x1

Podemos ver en la figura anterior las muestras resultado de la interpolación en negro.

Este sería el resultado suponiendo la implementación de un filtro paso bajo ideal; perocomo sabemos esto no es posible. Un filtro abrupto ideal con la respuesta impulsionalhi[n]=sinc(n/L), tiene la propiedad de que no altera los valores de las muestras de la secuenciade entrada; pero esta respuesta al impulso no es causal, y tiene una duración infinita, por lo tantola convolución no se puede realizar porque habría que hacer infinitas operaciones para cada unade las muestras de entrada. Si la duración de la respuesta al impulso del filtro fuera finita, elnúmero de operaciones para hacer la convolución con las muestras de salida sería finito, y porlo tanto se podría implementar mediante un filtro FIR (de respuesta impulsional finita) queademás pueden tener un comportamiento lineal con la fase. La ecuación en diferencias de unfiltro FIR es la siguiente

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y[n] M

k0bk · x[nk]

N

j0aj · y[nj]

hlineal[n]1 |n|

Lpara |n| L

0 resto

Si la respuesta impulsional del filtro tuviera que tener una duración infinita podríamosrecurrir a filtros IIR (de respuesta impulsional infinita). En estos filtros, la respuesta a la salidadependerá de las muestras de entrada y de las muestras de salida anteriores. Su ecuación endiferencias tendría esta forma

En algunos casos, lo que se hace es recurrir a respuestas impulsionales más sencillas. Laprimera que podemos plantear es la interpolación lineal. En ella se trata de insertar entre dosmuestras adyacentes L-1 muestras de forma que todas ellas estén unidas por una línea. Larespuesta al impulso de un filtro de estas características sería así.

La respuesta en frecuencia de este filtro deja pasaralgunas frecuencias de la banda atenuada, y por otro lado atenúa algunas otras en la banda depaso de manera que hay que utilizarlo con cautela.

Otra solución es utilizar la técnica de enventanado de la respuesta al impulso ideal. Conesta técnica se recorta la respuesta al impulso ideal por medio de una ventana y se retarda demanera que el resultado sea causal; este retardo no es más que una fase lineal añadida a la señalde salida.

Partiendo de la respuesta impulsional ideal,


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hd[n] T·ha[nT]

Hd(ejω)

kH Ω2πk

T

La respuesta impulsional enventanada con un ventana rectangular sería

Existe gran variedad de ventanas además de la rectangular que pueden encontrarse en labibliografía recomendada.

Una última idea sobre la implementación de filtros digitales es que se puede realizarcualquier filtro digital sin más que muestrear la respuesta en frecuencia de un filtro analógicocumpliendo el criterio de Nyquist también en este caso.

En este caso las respuestas en frecuencia de los filtros analógico y digital asociadocumplirían la siguiente relación.

Para terminar con este apartado y a modo de resumen, entre los filtros del interpoladory del diezmador existen dos diferencias

Frec. Corte Digital Ganancia

Diezmador 0,5 / M 1

Interpolador 0,5 / L L

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Figura 35. Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional.

Figura 36. Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional

2.1.6.3. Variación por un factor racional

A la frecuencia de muestreo le aplicamos un factor arbitrario pero racional Q=L/M(T’=MT/L). Con este método puede abarcarse casi cualquier variación de la frecuencia demuestreo, ya que cualquier número puede aproximarse todo lo que se quiera a un númeroracional (aunque no con precisión infinita). Esto puede hacerse mediante los métodos anteriores.

El sistema que realiza esta operación se representa así

Como T’ = T M / L => x[n] = xc(nT) => y[n] = xc(n·T’) = xc(n·T M / L).

En estos sistemas, siempre se debe colocar en primer lugar la interpolación por L ydespués el diezmado por M. Si diezmamos antes, podemos producir solapamiento espectral queestropearía la señal a interpolar posteriormente; sin embargo al interpolar primero se insertanmuestras que al diezmar pueden evitar dicho solapamiento.

En el caso en que al variar la velocidad de muestreo se pierda información, al interpolarprimero las pérdidas serán mínimas. El esquema a implementar sería el siguiente.

Si desarrollamos el esquema obtendríamos un esquema como el de la figura 32.


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Figura 37. Cambio de la frecuencia de muestreo utilizando un filtro

Si unimos los dos filtros en uno queda

2.1.6.4. Consideraciones prácticas de la interpolación y el diezmado.

En un sistema de filtrado digital, la velocidad de las muestras no varía, y la velocidad ala que tiene que trabajar el filtro dependerá exclusivamente de la frecuencia de muestreo, debeprocesar una muestra en un tiempo menor o igual que T.

Al pasar una secuencia por un sistema que contenga un interpolador o un diezmador lavelocidad de las muestras sí varía. Como hemos dicho anteriormente debemos primero interpolarpara minimizar el efecto de solapamiento.

Cuando la interpolación tiene un valor L importante, ocurre que el número de muestrasque llegan al filtro digital, si lo hay, son muchas, por lo tanto los cálculos que se tengan que hacerserán cuantiosos y muy rápidos. Una solución a este problema es que cuando se quiera interpolary diezmar a la vez, hacerlo en fases; es decir, interpolar y diezmar en varias veces. Debe ademásprocurarse perder la menor cantidad de información que sea posible. Cuanto mayor sea L menostiempo tendremos para realizar los cálculos del filtro digital.

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2.1.7. Aplicaciones de la interpolación y el diezmado en vídeodigital.

2.1.7.1. Conversión entre formatos digitales.

Cada aplicación de una señal tiene una velocidad de muestreo óptima. El paso de señalde un formato a otro implica un cambio en la velocidad de muestreo. Dentro de un cuadro o unfotograma, se aplica esto sin más; pero en secuencias con movimiento se aplica el procesollamado “compensación de movimiento” que se verá en el tema de compresión MPEG-2.

2.1.7.2. Simplificación de los filtros antisolapamiento y dereconstrucción en las conversiones A/D y D/A.

Las causas más comunes de error en los sistemas con conversión A/D y D/A son losfiltros antisolapamiento y de reconstrucción. En ocaciones, el filtro antisolapamiento debe sermuy abrupto. Como el filtro es analógico y utiliza componentes LC que dependen de lafrecuencia, se necesitan muchos componentes y muy precisos.

El uso de filtros analógicos tiene varios inconvenientes entre los que podemos destacarlas tolerancias y derivas de los componentes; la falta de repetibilidad; una complicada integraciónen circuitos VLSI, falta de flexibilidad, cada vez que tenemos que cambiar un parámetronecesitamos rediseñar; y la respuesta en fase no es controlable. Por estas razones convienesimplificar su diseño aunque se complique el diseño de los filtros digitales.


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2.1.7.2.1. Diezmado para simplificar la conversión A/D

Lo que tratamos es que el filtro antisolapamiento no tenga que ser tan abrupto. Unasolución es muestrear con un frecuencia de muestreo alta con lo que las repeticiones del espectroestarán muy separadas.

Con esto puede ponerse un filtro analógico antisolapamiento con la banda de paso lo másplana posible, y una transición poco abrupta. Una vez muestreado podremos diezmar, y como elfiltro del diezmador es digital podemos jugar con él según nuestras necesidades.

2.1.7.2.2. Interpolación para simplificar la conversión D/A

Para que el filtro de reconstrucción, que es analógico no tenga que ser tan abrupto, sepuede interpolar la señal. El espectro con la interpolación se comprime, y filtrando digitalmentedespués se puede quedar así.

De esta manera el filtro de reconstrucción no tiene porque ser tan abrupto

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Figura 41. Sobremuestreo.

La idea en definitiva es hacer un sistema así.

Este esquema tiene además la ventaja de que aunque el filtro P(t) del conversor D/Aproduzca un producto del espectro de la señal por un sinc, el efecto de este sinc se puedecompensar en el diseño del filtro digital del interpolador, o si no se quiere tocar el filtro digital,si la interpolación es mayor el efecto del sinc disminuye. En la siguiente tabla aparece el efectodel sinc en el borde del ancho de banda de la señal para distintos valores de sobremuestreo.

L H(f) = sinc (0,5 / L)

1 0.64

2 0.9

3 0.95

4 0.97


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Figura 42. Funcionamiento interno de un conversor C/D bidimensional.

xx1

x2

; P(T1,T2)T11 T12

T21 T22

; nn1

n2

xP·n

x1T11·n1T12·n2

x2T21·n1T22·n2

2.2. Introducción al muestreo multidimensional.

2.2.1. Secuencias obtenidas por muestreo periódico yuniforme.

Haciendo una analogía con el caso unidimensional, multiplicaríamos la señal continuamultidimensional con un tren de deltas multidimensional, en el que en cada dimensiónestablecemos un vector periodo de muestreo Ti.

Las secuencia multidimensional discreta resultante sería:f[n] = f[n1, n2] = f(n1 · T1, n2 · T2)

En la figura anterior hemos de tener en cuenta las siguientes relaciones:

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Densidad de muestreo 1

|Det [P]|

Figura 43. Muestreo ortogonal.

Además se define la densidad de muestreo como la relación:

2.2.1.2. Relación entre transformadas de Fourier discreta ycontinua.

Pretendemos conocer la relación que existe entre las Transformadas de Fourier de la señalcontinua muestreada y la señal digital. Evitaremos meternos en demostraciones matemáticascomplicadas, pero sí atenderemos a sus conclusiones. Para simplificar abordaremos el estudioen “2D”, siendo automática la generalización a múltiples dimensiones. Distinguiremos entremuestreo ortogonal y no ortogonal.

2.2.1.2.1. Muestreo ortogonal.

Es aquel en el que las muestras se toman siguiendo un patrón de filas y columnas.

Este muestreo se realiza, al igual que en 1D, mediante la multiplicación de la imagen 2Dpor un tren de deltas bidimensional. En este caso, los vectores periodo de muestreo tendrán estaforma:

TT

TT

x

y

1 200

=

=


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UT

U

T

x

y

1 2

2

0

0

2=

=

π

π

( )U U UT

T

x

y

= =

1 2

20

02

π

π

Y la matriz de periodicidad

( )P T TT

Tx

y

= =

1 2

00

La multiplicación de este tren de deltas bidimensional por la imagen, al pasar al dominiode la frecuencia continua (Ω) se convertirá en una convolución. Esta convolución va a implicarun factor de ganancia.

G 1

Tx Ty

Y también la repetición del espectro, tanto en la dirección Ωx, como Ωy con intervalosdados por los vectores pulsación U1 y U2

Estos dos vectores forman la matriz de pulsaciones U definida como

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ω1Ωx·Tx

0ω2

0

Ωy·Ty

Resultando una posición de las repeticiones del espectro como muestra la figura.

Puede comprobarse que las matrices de los vectores de periodicidad P, y de pulsacionesU cumplen la siguiente relación.

U · PT = 2π I

donde I es la matriz identidad.

Si pasamos del dominio de la frecuencia analógica (Ω) al de la frecuencia digital (ω),prescindiremos de la variable tiempo. Esto lleva consigo una normalización en frecuencia.

ω = PT · Ω

Esta relación hace que en el caso ortogonal, la frecuencia analógica y la frecuencia digitalestén relacionadas de la siguiente manera.


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Figura 46. Huecos que aparecen en determinados espectros de muestreo ortogonal.

Y la representación en el dominio de la frecuencia digital queda así

Así, en la frecuencia digital, las repeticiones del espectro estarán situadas cada 2π en ωx

y en ωy y la ganancia del sistema seguirá siendo

G 1

Tx Ty

2.2.1.2.2. Muestreo no ortogonal.

Con el muestreo no ortogonal pretendemos aprovechar mejor el espectro disminuyendola frecuencia de muestreo para espectros no regulares.

Si en el caso de un espectro romboidal como el de la figura 46 muestreamos con unaestructura de muestreo ortogonal desperdiciamos algunas zonas del espectro quedando huecos.Si conseguimos una estructura de muestreo que aproveche los huecos conseguiremos unadensidad de muestreo más baja sin que se produzca solapamiento espectral. Esta estructura de

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TTT T

TT

x

y

x

y1

1

12

2

2=

=

( )P T TT TT T

x x

y y= =

1 2

1 2

1 2

( )UU UU U I Px x

y y

T=

=

−1 2

1 2

12π • •

muestreo será no ortogonal

En el muestreo no ortogonal, el muestreo se produce siguiendo un patrón distinto delmarcado por filas y columnas. Este muestreo, también se realiza, mediante la multiplicación dela imagen 2D por un tren de deltas bidimensional, pero que tiene una matriz de periodicidaddiferente. En este caso, los vectores periodo de muestreo tendrán más de una componente nonula, siendo de esta forma:

Y la matriz de periodicidad

El producto de este tren de deltas bidimensional por la imagen, al pasar al dominio de lafrecuencia continua (Ω) se convierte en una convolución. Esta convolución implica la apariciónde repeticiones en el espectro y un factor de ganancia.

G 1

Det (|P|)

Puede observarse que el denominador nunca puede ser cero, ya que los vectores periodoson por definición linealmente independientes, Por lo tanto la ganancia siempre será finita

El espectro de la señal bidimensiuonal de entrada se repetirá, tanto en la dirección Ωx,como Ωy, utilizando el patrón marcado por los vectores pulsación U1 y U2, tales que cumplen laexpresión

U · PT = 2π I


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Figura 47. Repeticiones del espectro en el muestreo no ortogonal

TTT T

TT1

1

22

1

2=

=

−

Quedando su representación gráfica como se ve en la figura siguiente.

Nota importante: el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa.

Si pasamos del dominio de la frecuencia analógica (Ω) al de la frecuencia digital (ω),nuevamente prescindiremos de la variable temporal mediante una transformación lineal.

ω = PT · Ω

Quedando, las repeticiones del espectro situadas cada 2π en ωx y en ωy y manteniendo laganancia del sistema como

G 1

Det (|P|)

Un ejemplo de muestreo no ortogonal es el muestreo hexagonal, en el que los periodosde muestreo son los siguientes.

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Figura 48. Ejemplos en los que es práctico elmuestreo hexagonal.

Este plan de muestreo se utiliza con espectros hexagonales y circulares ya que dejanmenos huecos libres.

Resumiendo, el muestreo produce, en el dominio de la frecuencia, por una parte unadeformación lineal (equivalente a la normalización de la frecuencia en el caso unidimensional),y por otra una repetición periódica igual que la de una dimensión, pero en cada una de lasdirecciones de muestreo.

Como ejemplo de muestreo 3D tenemos la televisión, que muestrea en horizontal, envertical y en tiempo. El espectro de las imágenes que percibe el ojo es así


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Figura 50. Diagramas de exploración para televisión.

Cuando un objeto se mueve a mayor velocidad, el espectro que somos capaces de percibires menor en ancho de banda espacial. La imagen se ve mas borrosa; más “paso bajo”.

Existen dos formas fundamentales de captar la imágenes para televisión: Una son lascámaras CCD, que dispone de una pantalla de cristal líquido que se comporta como una matrizde sensores que captan la imagen instantáneamente, después pasan la información captada a unregistro de desplazamiento y se graban las muestras en serie. En este caso podemos considerarcada fotograma como una señal 2D ya que se muestrea en un mismo instante toda la imagen. Laotra forma es mediante tubo que realiza un barrido en el tiempo de cada punto de la imagen.Debido a que en cada instante se graba una muestra distinta, no puede considerarse exactamentecada imagen como una señal 2D pero puede aproximarse.

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Figura 51. Filtro paso bajo de recuperación

H(fx,fy) Tx Ty (fx

1/Tx

) · (fy

1/Ty

)

H(fx,fy) Tx Ty (fxfcx

) · (fy

fcy

)

2.2.2. Recuperación de imágenes a partir de sus muestras

La recuperación de imágenes a partir de sus muestras, al igual que para el casounidimensional se consigue mediante dos procesos. El primero es colocar cada muestra en elpunto del espacio que le corresponde, y la segunda filtrar paso bajo para eliminar las repeticionesdel espectro.

Con la colocación de cada muestra en su sitio se consigue deshacer la normalización enel tiempo. Esta colocación se realiza mediante un tren de deltas multidimensional.

fs(x) n

f[n] · δ(x PT n)

Después se deben eliminar las repeticiones periódicas, y se debe compensar el factor deganancia del muestreo. Esto se hace con un filtro paso bajo de ganancia

G = |Det (P)|

En el caso ortogonal, la respuesta en frecuencia del filtro ideal sería

Y su respuesta al impulso será

h(x1x2) sincx1

T1

· sincx2

T2


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2.3. Bibliografía

Oppenheim, A.V. Schaffer, R.V. Discrete-time Signal Processing. Ed. Prentice-Hall.1999.

Bethencourt, Tomás. Sistemas de Televisión Clásicos y Avanzados. Ed. IORTV. 1990.

Dudgeon, Dan E., Mersereau, Russell M. Multidimensional digital signal processing.Ed. Prentice-Hall. 1984.

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muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la...

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