movimiento en 2d fg

I Preguntas1. Un automóvil viaja hacia el este a 40 km/h, y un segundo au-

to viaja hacia el norte a 40 km/h. ¿Sus velocidades son igua-les? Explique su respuesta.

2. ¿Puede dar varios ejemplos del movimiento de un objeto enlos que se recorra una gran distancia pero en los que el des-plazamiento sea cero?

3. ¿El vector desplazamiento para una partícula que se mueveen dos dimensiones alguna vez puede ser más grande que lalongitud de la trayectoria recorrida por la partícula duranteel mismo intervalo de tiempo? ¿Alguna vez puede ser me-nor? Discuta las respuestas.

4. Durante la práctica de béisbol, un jugador batea una bolamuy alta y luego corre en línea recta y la atrapa. ¿Quién tie-ne el mayor desplazamiento: el bateador o la bola?

5. Si V = Vj + V2, ¿V necesariamente es mayor que Vl y/oK2? Discuta la respuesta.

6. Dos vectores tienen longitudes Vt = 3.5 km y V2 = 4.0 km.¿Cuáles son las magnitudes máxima y mínima de su sumavectorial?

7. ¿La suma de dos vectores de distinta magnitud puede dar elvector cero? ¿Podría suceder eso con tres vectores distintos?¿En qué condiciones?

8. ¿La magnitud de un vector alguna vez puede a) ser igual auno de sus componentes, o b) ser menor que uno de sus com-ponentes?

9. ¿Una partícula con rapidez constante puede estar aceleran-do? ¿Y si tiene velocidad constante?

10. Un niño quiere determinar la rapidez que una resortera im-parte a una piedra. ¿Cómo puede hacer esto si sólo utilizauna cinta métrica, una piedra y la resortera?

11. ¡Durante la Primera Guerra Mundial se reportó que un pilo-to que volaba a una altitud de 2 km atrapó a mano limpiauna bala que había sido disparada al avión! Con base en elhecho de que una bala frena considerablemente por la resis-tencia del aire, explique cómo ocurrió este incidente.

12. En algunos parques de diversiones, para montar un carro enmovimiento, las personas deben saltar primero en una espe-cie de banda transportadora y luego a los carros mismos.¿Por qué se hace esto?

13. Si usted está en un tren que adelanta a otro que se mueve enla misma dirección en una vía contigua, pareciera que el otrotren se mueve hacia atrás. ¿Por qué?

14. Si usted está de pie, sin moverse, debajo de un paraguas du-rante una lluvia en la que las gotas caen verticalmente, per-manece relativamente seco. Sin embargo, si corre, la lluviacomienza a mojarle las piernas incluso si las mantiene bajo elparaguas. ¿Por qué?

15. Una persona sentada en un vagón cerrado, que se mueve avelocidad constante, lanza una bola recta hacia arriba en elaire en su marco de referencia, a) ¿Dónde cae la bola? ¿Cuáles su respuesta si el vagón 6) acelera, c) desacelera, d) tomauna curva, e) se mueve con velocidad constante pero estáabierto al aire?

16. Dos remeros, que reman con la misma rapidez en agua tran-quila, parten a través de un río al mismo tiempo. Uno se diri-ge justo a través del río y es jalado un poco corriente abajopor el agua. El otro se dirige corriente arriba en un ángulo demodo que llega a un punto opuesto al punto de partida.¿Cuál remero alcanza primero el lado opuesto?

17. ¿Cómo cree que un jugador de béisbol "juzga" el vuelo deuna bola elevada? ¿Cuál ecuación de este capítulo se vuelveparte de la intuición del jugador?

18. En arquería, ¿hay que apuntar la flecha directamente haciael blanco? ¿Cómo dependería su ángulo de mira de la distan-cia hacia el blanco?

19. Un proyectil se dispara en un ángulo de 30° con respecto a lahorizontal, con una rapidez de 30 m/s. ¿Cómo se compara elcomponente horizontal de su velocidad 1.0 s después del lan-zamiento con su componente horizontal de velocidad 2.0 sdespués del lanzamiento?

20. Dos balas de cañón, A y B, se disparan desde el suelo conidéntica rapidez inicial, pero con 6A más grande que SB. a)¿Cuál bala de cañón alcanza una mayor elevación? b) ¿Cuálpermanece más tiempo en el aire? c) ¿Cuál viaja más lejos?

Problemas

De 3-2 a 3-4 Suma de vectores

1. (I) Un automóvil es conducido 215 km al oeste y luego 85 kmal suroeste. ¿Cuál es el desplazamiento del automóvil desde elpunto de origen (magnitud y dirección)? Dibuje un diagrama.

2. (I) Un camión de reparto recorre 18 manzanas hacia el norte,10 manzanas hacia el este y 16 hacia el sur. ¿Cuál es su des-plazamiento final desde el origen? Se supone que las manza-nas tienen igual longitud.

3. (I) Demuestre que el vector etiquetado "incorrecto" en la fi-gura 3-6c es en realidad la diferencia de dos vectores. ¿Se tra-ta de V2 - Vj o Y! - V2?

4. (I) Si Vf = 6.80 unidades y Fv. = -7.40 unidades, determinela magnitud y dirección de V.

5. (II) Determine gráficamente el resultante de los siguientestres desplazamientos vectoriales: 1) 34 m, 25° al norte del este;2) 48 m, 33° al este del norte; y 3) 22 m, 56° al oeste del sur.

6. (II) Los componentes de un vector V se pueden escribir (Vx,Vy, Vz). ¿Cuáles son los componentes y la longitud de un vectorque es la suma de dos vectores, Vj y V2, cuyos componentesson (8.0, -3.7, 0.0) y (3.9, -8.1, -4.4)?

7. (II) V es un vector con 14.3 unidades de magnitud y apuntaen un ángulo de 34.8° sobre el eje x negativo, a) Bosqueje es-te vector, b) Encuentre V, y Vy. c) Usa Vf y Vy para obtener(de nuevo) la magnitud y dirección de V. [Nota: El inciso c)es una buena forma de comprobar si descompuso el vectorcorrectamente].

8. (II) El vector Vj tiene 6.6 unidades de longitud y apunta a lolargo del eje x negativo. El vector V2 tiene 8.5 unidades de largoy apunta a +45° al eje x positivo, a) ¿Cuáles son los compo-nentes x y y de cada vector? b) Determine la suma V] + V2

(magnitud y ángulo).

Problemas 65

9. (II) Un avión viaja a 735 km/h en una dirección a 41.5° aloeste del norte (figura 3-31). a) Encuentre los componentesdel vector velocidad en las direcciones hacia el norte y haciael oeste. ¿>) Después de 3.00 h, ¿cuánto ha viajado el aviónhacia el norte y hacia el oeste?

N

(735 km/h)

W

FIGURA 3-31Problema 9.

10. (II) En la figura 3-32 se representan tres vectores. Sus magni-tudes se proporcionan en unidades arbitrarias. Determine lasuma de los tres vectores. Exprese el resultante en términosde a) componentes, b) magnitud y ángulo con el eje x.

FIGURA 3-32 Problemas 10,11.12.13 y 14. Lasmagnitudes de los vectores están en unidades arbitrarias.

11. (II) Determine el vector A — C, dados los vectores A y Cde la figura 3-32.

12. (II) a) Dados los vectores A y B que se muestran en la figu-ra 3-32, determine B — A. b) Determine A — B sin usar surespuesta en a). Luego compare sus resultados y vea si sonopuestos.

13. (II) Para los vectores dados en la figura 3-32, determine a)Á - B + C, 6) Á + B - C y c) C - Á - B.

14. (II) Para los vectores que se muestran en la figura 3-32, de-termine a) B - 2Á, b) 2Á - 3B + 2C.

15. (II) La cima de una montaña está a 2450 m sobre la base de uncampamento; se hacen mediciones en un mapa y se determinaque la cima está a 4 580 m horizontalmente desde el campa-mento, en una dirección de 32.4° al oeste del norte. ¿Cuálesson los componentes del vector desplazamiento desde el cam-pamento hasta la cima? ¿Cuál es su magnitud? Elija el eje xhacia el este, el eje y hacia el norte y el eje z hacia arriba.

16. (II) Un vector se localiza en el plano xy y tiene una magnitudde 70.0 unidades y un componente y de -55.0 unidades.¿Cuáles son las dos posibilidades para su componente xl

33-5 y 3-6 Movimiento de proyectiles (la resistenciadel aire se considera despreciable)

17. (I) Un tigre salta horizontalmente desde una roca de 6.5 mde alto, con una rapidez de 3.5 m/s. ¿A qué distancia de labase de la roca caerá?

18. (I) Un clavadista que corre a 1.8 m/s salta horizontalmentedesde el extremo de un risco vertical y 3.0 s después toca elagua. ¿Cuál es la altura del risco y a qué distancia de su baseel clavadista golpea el agua?

19. (II) Una manguera contra incendios que se mantiene cerca delsuelo lanza agua con una rapidez de 6.8 m/s. ¿En qué ángulo(s)se debe apuntar la boquilla con la finalidad de que el agua to-que el suelo a 2.0 m de distancia (figura 3-33)? ¿Por qué exis-ten dos ángulos diferentes? Bosqueje las dos trayectorias.

FIGURA 3-33 Problema 19.

20. (II) Romeo lanza suavemente guijarros a la ventana de Julie-ta, y quiere que los guijarros golpeen la ventana sólo con uncomponente horizontal de velocidad. El está parado en el ex-tremo de un jardín de rosas 4.5 m por debajo de la ventana ya 5.0 m de la base de la pared (figura 3-34). ¿Cuál es la rapi-dez de los guijarros cuando golpean la ventana?

5.0 m -FIGURA 3-34Problema 20.

(II) Una bola se lanza horizontalmente desde el techo de unedificio de 45.0 m de alto y toca el suelo a 24.0 m de la base.¿Cuál fue la rapidez inicial de la bola?

22. (II) Un balón de fútbol es pateado a nivel del suelo con unarapidez de 18.0 m/s en un ángulo de 35.0° con respecto a lahorizontal. ¿Cuánto tiempo después golpea el suelo?

23. (II) Una pelota que se lanza horizontalmente a 22.2 m/s des-de el techo de un edificio toca el suelo a 36.0 m de la base deledificio. ¿Cuál es la altura del edificio?

66 CAPÍTULO 3 Cinemática en dos dimensiones; vectores

24. (II) Un atleta que ejecuta un salto de longitud deja el sueloen un ángulo de 28.0° y recorre 7.80 m. a) ¿Cuál fue la rapi-dez de despegue? b) Si esta rapidez aumentara sólo en un5%, ¿cuánto más largo sería el salto?

25. (II) Determine cuánto más lejos salta una persona en la Lunaen comparación como lo haría en la Tierra, si la rapidez dedespegue y el ángulo son los mismos. La aceleración de la gra-vedad en la Luna es un sexto de la que se registra en la Tierra.

26. (II) Un cazador apunta directamente a un blanco (al mismonivel) a 75.0 m de distancia, a) Si la bala sale del arma conuna rapidez de 180 m/s, ¿por cuánto perderá el blanco? b) ¿Enqué ángulo se debe apuntar el arma de modo que dé en elblanco?

27. (II) El piloto de un avión que viaja a 180 km/h quiere soltarprovisiones a las víctimas de una inundación que se encuen-tran aisladas en un terreno localizado 160 m por debajo delavión. ¿Cuántos segundos antes de que el avión esté justo so-bre las víctimas deben soltarse las provisiones?

28. (II) Demuestre que la rapidez con la que un proyectil deja elsuelo es igual a su rapidez justo antes de que golpee el sueloal final de su trayectoria. Se supone que el nivel de disparo esigual al nivel de aterrizaje.

29. (II) Suponga que la patada del ejemplo 3-5 se intenta a 36.0 mde los postes, cuyo travesano se localiza a 3.00 m del suelo. Siel balón se dirige exactamente entre los postes, ¿pasará sobrela barra y será un gol de campo? Demuestre por qué sí o porqué no.

30. (II) Un proyectil es disparado con una rapidez inicial de 65.2m/s en un ángulo de 34.5° sobre la horizontal a lo largo deun campo plano. Determine a) la altura máxima alcanzadapor el proyectil, b) el tiempo total en el aire, c) la distanciahorizontal total cubierta (esto es, el alcance) y d) la velocidaddel proyectil 1.50 s después del disparo.

31. (II) Un proyectil se dispara desde el extremo de un risco a125 m sobre el nivel del suelo, con una rapidez inicial de 65.0m/s y un ángulo de 37.0° con respecto a la horizontal, comose muestra en la figura 3-35. a) Determine el tiempo que letoma al proyectil golpear el punto P al nivel del suelo, b) De-termine el alcance o rango X del proyectil medido desde labase del risco. En el instante justo antes de que el proyectil gol-pea el punto P, encuentre c) los componentes horizontal yvertical de su velocidad, d) la magnitud de la velocidad y e) elángulo formado por el vector velocidad con respecto a la ho-rizontal./) Encuentre la altura máxima, sobre lo alto del ris-co, que alcanza el proyectil.

' X


32. (II) Un lanzador de bala hace un lanzamiento con una rapi-dez inicial de 15.5 m/s en un ángulo de 34.0° con respecto ala horizontal. Calcule la distancia horizontal recorrida por labala, si ésta deja la mano del atleta a una altura de 2.20 m so-bre el suelo.

33. (II) ¿A qué ángulo de proyección el rango de un proyectil se-rá igual a su altura máxima?

34. (III) Vuelva a revisar el ejemplo conceptual 3-7 suponiendoque el niño con el juguete lanzador está debajo del niño en elárbol (figura 3-36) y así apunta hacia arriba, directamente al ni-ño que está en el árbol. Demuestre que, de nuevo, el niño queestá en el árbol hace el movimiento equivocado al dejarse caeren el momento en que el otro niño lanza el globo con agua.


35. (III) Un avión de rescate va a soltar provisiones a unos mon-tañistas aislados en una colina rocosa que se encuentra a 235 mpor debajo del avión. Si este último viaja horizontalmentecon una rapidez de 250 km/h (69.4 m/s), a) ¿a qué distanciaantes de los montañistas (distancia horizontal) se deben sol-tar los víveres (figura 3-37a)? b) En vez de ello, suponga queel avión libera las provisiones a una distancia horizontal de425 m antes de los montañistas. ¿Qué velocidad vertical (arri-ba o abajo) se debe proporcionar a las provisiones de modoque lleguen precisamente a la posición de los escaladores (fi-gura 3-376)? c) En el último caso, ¿con qué rapidez aterrizanlas provisiones?

"Soltados"

235 m

a)

;'

¿Lanzados hacia arriba?

235 m ¿Lanzac¡os hacia abajo? N ^

b)425 m

- •FIGURA 3-37 Problema 35.

;T

Problemas 67

60. Un atleta olímpico de salto de longitud es capaz de saltar 8.0m. Si se supone que su rapidez horizontal es de 9.1 m/s cuan-do deja el suelo, ¿cuánto tiempo está en el aire y qué tan altosube? Se supone que cae de pie, es decir, de la misma formaen que deja el suelo.

61. Los astronautas del Apolo llevan un "hierro nueve" a la Lu-na y ¡golpean una pelota de golf aproximadamente 180 m! Sise supone que el swing, el ángulo de lanzamiento, etcétera,son los mismos que en la Tierra, donde el mismo astronautagolpearía la pelota sólo 35 m, estima la aceleración debida ala gravedad en la superficie de la Luna. (Desprecie la resis-tencia del aire en ambos casos, ¡pues en la Luna no existe!).

62. Cuando Babe Ruth bateó un home run sobre la barda de 7.5 mde alto del jardín derecho, a 95 m de home, ¿cuál fue aproxi-madamente la rapidez mínima de la bola cuando dejó el bat?Suponga que la bola fue golpeada a 1.0 m sobre el suelo yque su trayectoria formó inicialmente un ángulo de 38° conrespecto al suelo.

63. Los clavadistas de Acapulco se lanzan horizontalmente desdeplataformas de roca localizadas aproximadamente a 35 m so-bre el agua, pero deben librar las salientes rocosas al niveldel agua que se extienden 5.0 m desde la base del risco direc-tamente bajo su punto de lanzamiento. Observe la figura 3-44.¿Qué rapidez de lanzamiento mínima es necesaria para librarlas rocas? ¿Cuánto tiempo están en el aire?

_

35 m

I;5.0m;


64. Durante el servicio, un jugador de tenis apunta para golpearla pelota horizontalmente. ¿Qué rapidez mínima se requierepara que la pelota libre la red de 0.90 m de alto aproximada-mente a 15.0 m del jugador, si la pelota es "lanzada" desdeuna altura de 2.50 m? ¿Dónde caerá la pelota si apenas librala red (y el servicio será "bueno" si la pelota cae dentro de los7.0 m a partir de la red)? ¿Cuánto tiempo estará en el aire?Observe la figura 3-45.

65. Un espía, que vuela horizontalmente a 215 km/h constantesen un helicóptero ligero, quiere soltar documentos secretos enel automóvil abierto de su contacto, quien viaja a 155 km/hen una autopista localizada a 78.0 m por debajo del helicóp-tero. ¿En qué ángulo (con respecto a la horizontal) debe es-tar el auto en su campo visual cuando el paquete sea liberado(figura 3-46)?

215km/h

78.0 m

155km/h


66. La rapidez de un bote en agua tranquila es v. El bote habráde realizar un viaje redondo en un río cuya corriente viajacon rapidez u. Deduzca una fórmula para determinar el tiem-po necesario para hacer un viaje redondo de distancia totalD si el bote realiza el viaje redondo moviéndose a) corrientearriba y de vuelta corriente abajo, b) directamente a travésdel río y de vuelta. Debemos suponer que u < v; ¿por qué?

I

195 m


67. Se lanza un proyectil desde el nivel del suelo hasta lo alto deun risco que está a 195 m de distancia y tiene 155 m de altu-ra (figura 3-47). Si el proyectil llega a lo alto del risco 7.6 sdespués de que es disparado, encuentra la velocidad inicial delproyectil (magnitud y dirección). Desprecie la resistenciadel aire.


2.50 m!

15.0 m - -7.0 m-

70 CAPÍTULO 3 Cinemática en dos dimensiones; vectores

68. a) Una esquiadora acelera hacia abajo por una colina de 30°a 1.80 m/s2 (figura 3-48). ¿Cuál es el componente vertical desu aceleración? b) ¿Cuánto tiempo le tomará alcanzar el fondode la colina, suponiendo que parte desde el reposo y acelerauniformemente, si el cambio en la elevación es de 335 m?


69. Un balón de basquetbol pierde contacto con las manos de unjugador a una altura de 2.10 m sobre el piso. La canasta estáa una altura de 2.60 m. Al jugador le gusta lanzar la pelota enun ángulo de 38.0°. Si el tiro se realiza desde una distanciahorizontal de 11.00 m y debe ser preciso hasta ± 0.22 m (ho-rizontalmente), ¿cuál es el rango de rapidez inicial permitidapara hacer la canasta?

70. Una clavadista deja el extremo de un trampolín a 5.00 m dealtura y golpea el agua 1.3 s después, 3.0 m más allá del finaldel trampolín. Si se considera a la clavadista como una par-tícula, determine: a) su velocidad inicial, v0, b) la altura máxi-ma alcanzada, y c) la velocidad Vf con la que entra al agua.

71. Un doble de películas quiere hacer que su auto salte sobreocho automóviles estacionados lado a lado debajo de unarampa horizontal (figura 3-49). a) ¿Con qué rapidez mínimadebe dejar la rampa horizontal? La altura vertical de la ram-pa es de 1.5 m sobre los automóviles, y la distancia horizontalque debe librar es de 20 m. b) Si ahora la rampa se muevehacia arriba, de modo que el "ángulo de despegue" es de 10°sobre la horizontal, ¿cuál es la nueva rapidez mínima?

-20m

1. Un beisbolista batea una bola elevada que deja el bat a 0.90 msobre el suelo en un ángulo de 61°, con una rapidez inicial de28 m/s con dirección hacia el jardín central. Ignore la resis-tencia del aire, a) ¿A qué distancia de home caería la bola sino se le atrapa? b) El jardinero central, para atrapar la bola,parte de una distancia de 105 m desde home, corre en línearecta hacia home con una rapidez constante y la atrapa al ni-vel del suelo. Determine su rapidez.

73. En í = O, un jugador batea una pelota de béisbol con una ra-pidez inicial de 32 m/s a un ángulo de 55° con respecto a lahorizontal. Un jardinero está a 85 m del bateador en t = O y,como se ve desde home, la línea de visión hacia el jardineroforma un ángulo horizontal de 22° con el plano en el que semueve la bola (figura 3-50). ¿Qué rapidez y dirección debetomar el jardinero para atrapar la bola a la misma altura des-de la que fue bateada? Determine el ángulo con respecto a lalínea de visión del jardinero hacia home.

El jardinero correhasta acá desde aquí


74. Una bola se lanza desde lo alto de un edificio con una veloci-dad inicial de 18 m/s en un ángulo d = 42° sobre la horizon-tal, a) ¿Cuáles son los componentes x y y de la velocidadinicial? b) Si un edificio cercano está a la misma altura y a 55m de distancia, ¿a qué distancia por debajo de la parte supe-rior de ese edificio golpeará la bola?

75. El lector compra una pistola de dardos de plástico y, como esun astuto estudiante de física, decide hacer un cálculo rápidopara encontrar su alcance horizontal máximo. Dispara el ar-ma en línea recta hacia arriba y al dardo le toma 4.0 s regre-sar al cañón. ¿Cuál es el alcance horizontal máximo de lapistola?

¡Debe librareste punto!


Respuestas a los ejerciciosA: Cuando los dos vectores £>, y D2 apuntan en la misma direc-

ción.B: 3V2 = 4.24.C: Golpean al mismo tiempo.

D: Ambas bolas alcanzan la misma altura; por lo tanto, están enel aire durante la misma cantidad de tiempo.

E: (b).

Problemas generales 71

movimiento en 2d fg

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