monografia lengua

Ao de la Diversificacin Productiva y del Fortalecimiento de la EducacinUNIVERSIDAD CATOLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO

ESCUELA DE INGENIERA CIVIL

RELACIONES Y FUNCIONES Campos Sanchez, Edwin Angel Chavez Rojas, Luis Alberto Metodologa del Trabajo Intelectual

RAMIREZ GARCIA, JESSICA PATRICIAChiclayo, 03 de Junio del 2015

NDICEINDICE

iiDEDICATORIA ivAGRADECIMIENTO

vRESUMEN Y PALABRAS CLAVE

viABSTRACT Y KEYWORDS viiINTRODUCCION

viii 1.- RELACIONES Y FUNCIONES 9 1.1.- PAR ORDENADO 9 1.1.1.- DEFINICIN DE PAR ORDENADO 9 1.1.2.- PORQUE LA DEFINICIN DE PAR ORDENADO 9 1.1.3.- IGUALDAD DE PAR ORDENADO 10 1.1.4.- TEOREMAS DE PAR ORDENADO 11 1.2.- PRODUCTO CARTESIANO 13 1.2.1.- DEFINICIN DE PRODUCTO CARTESIANO 13 1.2.2.- TEOREMAS DE PRODUCTO CARTESIANO 14 1.2.3.- PRODUCTO CARTESIANO DE MS DE DOS CONJUNTOS 15 1.3.- RELACIN (R) 16 1.4.- REPRESENTACION (R) 17 1.5.- FUNCIN 18 1.5.1.- DEFINICIN DE FUNCIN 18 1.5.2.- REDUCCIN DE UNA RELACIN GENRICA A FUNCIN 21 1.5.3.- PORQUE FUNCIN 22 1.5.4.- FUNCIN COMPUESTA 23 1.5.4.1.- DEFINICIN DE FUNCIN COMPUESTA

23 1.5.4.2.- TEOREMAS 251.6.- RELACIONES BINARIAS: RELACIONES EN AxA 251.6.1.- R. REFLEXIVA, SIMTRICA, TRANSITIVA Y DE EQUIVALENCIA 251.6.1.1.- RELACIN REFLEXIVA 25 1.6.1.2.- RELACIN SIMETRICA 26 1.6.1.3.- RELACIN TRANSITIVA 26 1.6.1.4.-COMPATIBILIDAD E INDEPENDENCIA DE LAS RELACIONES REFLEXIVA, SIMTRICA Y TRANSITIVA 27 1.6.1.5.- RELACIN DE EQUIVALENCIA 28RECOMENDACIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

ANEXOSDEDICATORIA

AGRADECIMIENTO

RESUMENEn la vida cotidiana, y en los distintos campos de la ciencia, aparecen correspondencias que reflejan las interacciones de los fenmenos que ocurren en el universo. Por ejemplo, a cada estudiante le corresponde un numero de DNI; a cada auto su nmero de placa; a todo nmero real su cuadrado, etctera. En los ejemplos mencionados existe una relacin o correspondencia entre dos conjuntos cuyos elementos pueden ser nmeros u objetos del mundo que nos rodea. Dados los conjuntos A y B es posible establecer correspondencias de A en B, las cuales se determinan mediante un conjunto de pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente y elemento de B. En cada par ordenado, al primer componente, que pertenece al conjunto A, le corresponde el segundo que pertenece a B.Palabras Clave: Funcion, Relacion, Par ordenado, Producto Cartesiano, Teoremas.ABSTRACT

In everyday life and in different fields of science, maps that reflect the interactions of the phenomena occurring in the universe appear. For example, each student carries a number of ID; each car number plate; to every real number its square, and so on. In the examples there is a relationship or correspondence between two sets whose elements can be numbers or objects in the world around us. Given the sets A and B may be mapped to B , which are determined by a set of ordered pairs whose first component is an element A and the second component element and B. In each ordered pair, the first component, which belongs to set A, the second corresponds belonging to B.

Keywords: Function, Relationship, ordered pair, Cartesian product, Theorems.INTRODUCCION

El presente trabajo espera dar una corta visin a las funciones y razones trigonomtricas sus formas, diferentes ngulos, y la variacin de sus diferentes frmulas segn sea su aplicacin.Las funciones trigonomtricas son de gran importancia en fsica, astronoma, cartografa, nutica, telecomunicaciones, la representacin de fenmenos peridicos, y otras muchas aplicaciones.Es de gran importancia ya que las funciones trigonomtricas han sido de gran importancia en el desarrollo de la sociedad. Y su estudio permitido el desarrollo de formas de clculo exactas resolviendo diversos problemas de la vida cotidiana del ser humano1.- RELACIONES Y FUNCIONES 1.1.- Par ordenado 1.1.1.-Definicin de par ordenadoSe llama Par Ordenado o dupla cuyo smbolo es (x y) al conjunto cuyos elementos son a su vez otros dos conjuntos:

1.- el conjunto {x y} que es un par simple

2.- el conjunto {x} de un nico elemento

Def: (x y) := { {x y} {x} } (x y) : Par Ordenado (PO)

x : Primer elemento del PO

y : Segundo elemento del PO Obs 1: PO es un par de conjuntos (es un Conjunto de Conjuntos) donde {x, y} (x, y) Obs 2: La igualdad de PO es la de Conjuntos

Obs 3: Primer y segundo elemento es una forma de llamar a las componentes del PO, porque los nmeros todava no estn definidos. Justamente el concepto de nmero se definen a partir del PO. (Materias Fi Uba n.d.)

1.1.2.- Porqu la definicin de par ordenado

La importancia del PO se desprende de la simplicidad (facilidad, claridad, comodidad) con que a partir de el se puede estructurar una red de definiciones con los principales elementos de la matemtica clsica. Para la definicin del PO pilar de la matemtica, hace falta solamente la nocin previa de conjunto. Un par simple es un conjunto formado por 2 elementos, cuyo smbolo es

{x y} : Par y cumple con la igualdad de conjuntos {x y} = {y x} donde se observa que a los elementos x e y del par no se les asigna ninguna caracterstica particular que les otorgue un papel diferente dentro del Par. Es decir son simplemente y nada mas que elementos del Par.

Mientras en el PO a sus dos elementos x e y, se les asigna una caracterstica diferencial, la de ser primer o segundo elemento (componente). La definicin de PO se introduce justamente para asignar a cada elemento de un par simple propiedades especficas.

Por ejemplo el conjunto de manos de una persona constituyen un Par si no se da una diferencia entre ellas. Sin embargo si se distinguen la mano izquierda de la derecha se est en presencia de un PO al haberle asignado a los elementos del par una caracterstica diferencial.

Anlogamente se tiene otro ejemplo en el conjunto Matrimonio que esta formado por un par de personas, y se distingue entre hombre y mujer se tiene un par ordenado.

El papel diferente de ambas componentes es la base para establecer el concepto de Relacin en general.

La forma de asignar una caracterstica diferente a los elementos x e y es por medio de diferenciar su presencia en los conjuntos que lo definen:

1.- {x, y} donde se define el Par

2.- {x} donde se define la primera componente (Materias Fi Uba n.d)

1.1.3.- Igualdad de par ordenado La igualdad de PO es simplemente un caso particular de la Igualdad de Conjuntos.

T.- (x y) = (a b) { {x y} {x} } = { {a b} {a} } La igualdad de conjuntos cumple con el teorema siguiente T1:

La igualdad de dos PO es condicin necesaria y suficiente de la igualdad de las componentes homlogas es decir de las primeras componentes entre si y las segundas componentes entre si.

Esto justifica, como la definicin de PO distingue ambos elementos. (Materias Fi Uba n.d.)

1.1.4.- Teoremas de par ordenadox = a

T1.- (x y) = (a b) y = b

TCR T1.- (x y) (a b) x a y b D.- Por Hiptesis .

x = a y = b Se pasa a la demostracin del Teorema directo

Entonces

{x} = {a}

{x y} = {a b}

{{x y} {x}} = {{a b} {a}}

Por Def. PO queda

(x y) = (a b)

Partiendo de

(x y) = (a b)

Recordando Def. PO

{{x y} {x}} = {{a b} {a}}

Se presentan 2 opciones que se llamarn I y II

I. {x,y}={ab}

{x}={a} x a

y para satisfacer el sistema I tambin debe resultar y b

II.- {x y} = {a}

{x} = {a b}

x a y b

Que satisface el sistema II.

De ambas opciones I, II se llega a

x a y b

T2.- (x y) = (y x) x y TCR T2.- (x y) (y x) x y D1.- Caso particular de T1

D2.- {x} = {y} x y

{x y} = {y x}

{{x y} {x}} = {{y x} {y}}

Por la Def. PO

(x y) = (y x) (x y) = (y x)

{{x y} {x}} = {{y x} {y}}

Hay 2 Opciones I y III.- {x y} = {y x} {x} = {y}

x y

que satisface el sistema I

II.- {x y} = {y} {x} = {y x} x y

Que satisface el sistema II. El resultado de las opciones I y II es el mismo. Por lo tanto la Tesis es x y Obs: El TCR T2 representa la propiedad fundamental de los PO:

(x y) (y x) x y y muestra la diferencia esencial entre los PO y los pares simples que cumplen en todos los casos

{x y} = {y x}

T3.- Def PO (x x) = {{x}} D.- (x x) := {{x x} {x}}

= {{x} {x}}

= {{x}} (Materias Fi Uba n.d.) 1.2.- PRODUCTO CARTESIANO 1.2.1.- Definicin de producto cartesiano Dado 2 conjuntos A y B se llama Producto Cartesiano de A por B (en ese orden), cuyo smbolo es AxB, al conjunto de todos los pares ordenados (x y) tales que su primera componente x pertenece a A y la segunda y pertenece a B.

Def: AxB := { (x y): xA yB } AxB : Producto Cartesiano de A por B A : Primer Conjunto del Producto Cartesiano o Conjunto de Partida B : Segundo Conjunto del Producto Cartesiano o Conjunto de Llegada Ejemplo 1: A = { 1, 3, 5 }

B = { 2, 4 }

AxB = {( 1, 2 ) ( 1, 4 ) ( 3, 2 ) ( 3, 4 ) ( 5, 2 ) ( 5 , 4 )

Tambien puede determinarse AxB mediante el metodo del Diagrama del Arbol el cual nos permite observar el conjunto de pares ordenado (Ramos 2012)

Dibujo 1: (Ayuda Hispano n.d.) 1.2.2.- Teoremas de producto cartesianoT1.- AxB = BxA A = B TCR T1.- AxB BxA A B D.- AxB = BxA A = B

A B

Se presentan 2 opciones I y II

I.- x: xA xB (xy): (x y)AxB (x,y)BxA AxB BxA

II.- x: xA xB

(xy): (x y)AxB (x y)BxA

AxB BxA

T2.- AxB = A = B =

(mendez 2009)

1.2.3.- Producto cartesiano de ms de dos conjuntos Dado n conjuntos A1, A2 , , An se llama Producto Cartesiano A1x A2 x x An al conjunto de todas las nuplas ordenadas (x1 x2 xn ) tales que la componente xi pertenece al conjunto

Def: A1x A2 x x An := { (x1 x2 xn ) : xi Ai } A1x A2 x x An : Producto Cartesiano A1 por A2 por por An Ai : Conjunto i-simo del Producto Cartesiano

Es comn el Producto Cartesiano de un conjunto por s mismo dos o ms veces, en ese caso la notacin se abrevia:

Def: E2 := ExE En := ExEx .. xE {n veces} Ejemplos: R2 := RxR Rn := RxRx ... xR { n veces } (sullivan 2006)

1.3.- RELACIN R Se llama Relacin en AxB a todo Subconjunto no vaco del Producto Cartesiano AxB Def: R Relacin AxB := R AxB , R R(AxB) := S(AxB) := { (x y) : (x y) R } R : Relacin AxB := R AxB , R S(AxB) : Grfica de R(AxB) A: Conjunto de Partida o Primer Conjunto del Producto Cartesiano B: Conjunto de Llegada o Segundo Conjunto del Producto Cartesiano Se define adems algunos elementos destacados de la Relacin R en AxB Def: D(R) := { x: xA (x y)R } I(R) := { y: yB (x y)R } D(R) : Dominio de R(AxB) I(R) : Imagen de R(AxB)} (sullivan 2006)1.4.- REPRESENTACION RUna representacin de R(AxB) sobre el Producto Cartesiano es:

Dibujo 2: (Materias Fi Uba n.d.)

Otra representacin de una relacin R(AxB) es por Grficas como las que se muestran a continuacin: Los Conjuntos Ay B y sus elementos se representan por Diagramas de Venn y los PO que componen la Relacin por segmentos orientados (flechas).

Dibujo 3: (Ayuda Hispano n.d.)

A = { a b c d e f }

B = { s t u v ]

Grfica (R) = { (a t) (b t) (c t) (c u) (c v) (d u) (d v) }

Dominio (R) = { a b c d } Imagen (R) = { t u v }

1.5.- FUNCIN 1.5.1.- Definicin de funcin Una funcin es una relacin que cumple 2 condiciones:

1.- Estar definida para todo elemento del Conjunto de Partida A. Es decir que el Dominio de la Relacin f es el Conjunto de Partida: A = D 2.- Ser Unvoca Def : x A ( xy ) ff : A B (xy) f

x y

f Unvoca := y z (xz) f

D(f) := { x: xA (x y) f }=A

I(f) := { y: yB (x y) f }

f(AxB) := { (x y) : (x y) f } f : funcin

A : Conjunto de Partida o Primer Conjunto del Producto Cartesiano Dominio de la funcin

B : Conjunto de Llegada o Segundo Conjunto del Producto Cartesiano dominio de la funcin

f(AxB) :Grfica de la funcin

I(f) :Imagen de f(AxB) Obs 1: Ntese que el smbolo [ AB ] representa al Producto Cartesiano AxB y el smbolo [ xy] representa al PO (x y). Es decir que las dos flechas tienen significado diferente, y es por ello que la flecha que seala al PO a veces se la indica con una colita [ x + y ] para diferenciarla de la flecha que seala el PC. Esto se obvia si no hay confusin posible.

f : A B f : AxB x y ( xy ) Una primera forma de representar una funcin es con un grfico Cartesiano donde puede observarse las 2 proposiciones que hacen a la definicin de funcin:

1.- El estar definida para todo elemento del Dominio A = D.

2.- Ser Relacin Unvoca.

Dibujo 4: (Materias Fi Uba n.d.)La representacin de una funcin por diagramas de Venn es:

Dibujo 5: (Ayuda Hispano n.d.)

A = { a b c d e f }

B = { s t u v ]

Grfica (f) = { (a t) (b t) (c u) (d v) (e u) (f t) }

Dominio (f) = { a b c d e f } = A

Imagen (f) = { t u v }

Obs 1: En una funcin de cada elemento del Conjunto de partida A sale una flecha y solo una {1}. Con respecto al Conjunto de Llegada B no existen restricciones.Obs 2: En la definicin de funcin existen 4 elementos, el primero de los cuales es su nombre, y los otros 3 elementos son 3 conjuntos el Dominio, el Codominio y la Grfica, de las cuales depende la funcin. Cambiando cualquiera de estos 3 Conjuntos cambia la funcin. Se plantean un ejemplo:

Ejemplo: Sea el Conjunto de pares ordenados G := {(x y) : y = x1/2 } 1.- Este Conjunto G carece de sentido si no se aclara que son x e y . Pueden ser elementos de cualquier conjunto genrico ( que significara y = x1/2 ? ), o nmeros reales o complejos etc. Esto muestra que debe definirse el PC AxB sobre el cual se quiere trabajar.

Suponiendo que AxB = RxR entonces G sera la Grfica siguiente:


2.- Si se toma A = R no existe funcin pues

2.1.- La relacin no es unvoca

2. 2.- La relacin no est definida para todo elemento de R. Es decir D = A R

3.- Si se restringe a A = R+ {0} no existe funcin pues

3. 1.- La relacin no es unvoca

4.- Si se restringe a A = R+ {0} y a B = R+ {0} si existe funcin, que se llamar arbitrariamente:

RazCuad: R+ {0} B = R+ {0} x y = x1/2

5.- Pero tambin se podra haber elegido arbitrariamente a A = [0 2] y los siguientes subconjuntos de G: x [0 1[ y = + x1/2 x [1 2] y = x1/2 lo cual permite definir otra funcin que se llamar f2 diferente por supuesto de la anterior RazCuad:

f2: [ 0 2] R+ {0} x y =+x 1 / 2 x [0 1] y =x1 / 2 x [1 2]todo este anlisis muestra como una funcin depende no solamente de su Grfica, sino tambin de sus Conjuntos

de Partida y de Llegada. (sullivan 2006)

1.5.2.- Reduccin de una relacin genrica a funcin Una Relacin Genrica R siempre puede reducirse a una funcin, en forma totalmente arbitraria, por medio de dos pasos que consisten en hacer cumplir las dos definiciones de la definicin de funcin:

Paso I: Reducir el Conjunto de Partida de la relacin D(f) para que se cumpla D(R) = D(f) o tambin reducirlo a parte de D(R) [ D(f) D(R) ]. Es decir que para todo elemento del Dominio de la funcin D(f) exista por lo menos un elemento en la Grfica G o sea: D(f) D(R).

Paso II.- Asignar a cada elemento de D(f) un solo par de la Grfica G (Unicidad). (naquiche 2006)

1.5.3.- Porque funcin El objetivo de definir el concepto de funcin, es decir una relacin univoca para todo un dominio es porque permite la implicacin

xA x = y f(x) = f(y) Por otro lado la importancia de la definicin de funcin resulta de su gran aplicacin. Algunas funciones matemticas entre las ms usuales:

Tipo funcin

Sucesiones S:NB

Matrices M:N2B

Leyes de Composicin Interna T:ExEE

Leyes de Composicin Externa T:KxEE

Productos Hermticos T:ExEK

Polinomios P:R2R2

n xai xi

i=0

Funciones de 1 variable real P:RR

Funciones de varias variables reales P:RnR

Funciones de variable compleja P:R2R2

(Ramos 2012)

1.5.4. FUNCION COMPUESTA1.5.4.1.- Definicin de funcin compuesta Si se plantea una composicin sucesiva de funciones tambin se tiene una funcin directa de A a D como se vera a continuacin:


la relacin compuesta es funcin si se toma la precaucin de asegurar que B C

Teorema

f : A Bx y

g : C D

y Z

B C gof : A D x z = g( f ( x ))

gof = g(f) : funcin compuesta de g con f

D.-

( xy ) f

f : A B := xA (xy) f y = y ( xy' ) f ( yz ) g g : C D := yC (yz) g z = z ( yz' ) g como B C se tiene

( yz ) g yB (yz) g z = z ( yz' ) g por lo tanto se puede se puede definir una relacin sobre AxD que para todo elemento de A tenga un par en la relacin y adems sea unvoca:

xz ) gof gof : A D := xA (xz)gof

(xz)gof Existe entonces una funcin llamada compuesta gof que se define como:

gof : A D

x z = g( f ( x ))

1.5.4.2.- Teoremas T1.- Def gof = g(f) ho( gof) = (hog)of (naquiche 2006) Dibujo 7: (Ayuda Hispano n.d.)

1.5.- RELACIONES BINARIAS: RELACIONES EN AxA 1.5.1.- Relaciones reflexiva, simtrica transitiva y de equivalencia 1.5.1.1.- Relacin reflexiva Def: R Reflexiva := xA (x x)R

Dibujo 8. (Materias Fi Uba n.d.)

Obs : La relacin es Reflexiva si contiene toda la diagonal Principal del Producto Cartesiano AxA. (naquiche 2006)

1.5.1.2.- Relacin simtrica Def: R Simtrica := (x y)R (y x)R


Obs: La relacin es Simtrica si los pares ordenados del Producto Cartesiano AxA son Simtricos respecto de la Diagonal Principal. Teorema R Simtrica := (x y)R (y x)R D.- Por definicin de Relacin Simtrica

(x y)R (y x)R

(y x)R (x y)R (naquiche 2006)

1.5.1.3.- Relacin transitiva ( x, y ) R Def: R Transitiva := (x, z)R

( y,z ) R Obs: La relacin es Transitiva cuando: dado dos pares (x,y) y (y,z) de la relacin R, existe un tercer par (x, z) que tambin pertenece a la relacin. Este ltimo es el par que est en la misma columna del primero y fila del segundo. (jaque de torres) (baldor 1997)

1.5.1.4.- Compatibilidad e independencia de las relaciones reflexiva, simtrica y transitiva Dibujos 10: (Materias Fi Uba n.d.)

Las relaciones Reflexivas, Simtrica y Transitiva son compatibles e independientes como se demuestra en los ejemplos expuestos. Obs: En particular la relacin Reflexiva es independiente de las Simtrica y transitiva: R Simtrica R Reflexiva (RSimtrica)(R Transitiva)(R Reflexiva) RTransitiva Sin embargo hay una aparente demostracin de que la condicin de relacin Simtrica y Transitiva implica la de Reflexiva. Esta demostracin es falsa, a pesar de lo que parecera en un primer anlisis:

Demostracin aparente de la proposicin no vlida Por ser R una relacin Simtrica

(x y)R (y x)R

y por ser R una relacin Transitiva

( x, y ) R (x, x)R

( y, x ) RLa proposicin demostrada no es vlida para todos los elementos x del conjunto A por lo tanto la condicin de simetra y transitividad no aseguran la reflexividad. (baldor 1997)

1.5.1.5.- Relacin de equivalencia A partir de la compatibilidad e independencia de las Relaciones Reflexiva, Simtrica y Transitiva se puede definir:

R Re flexivaDef: R Equivalencia := R Simtrica R Transitiva


Ejemplos: Relaciones de Equivalencia

= Igualdad de Conjuntos en genera y en particular Igualdad de Nmeros, Naturales, Enteros, Fraccionarios, Reales y Complejos.

Identidad de elementos

Doble Implicacin de Proposiciones

|| Paralelismo de Rectas y Planos

Semejanza de figuras y Congruencias (baldor 1997)

CONCLUSIN

Las funciones y las razones trigonomtricas, son grandes herramientas en el desarrollo de complicados problemas, que incluyen tringulos no rectngulos y en que no se tienen muchos datos o informacin referente a los mismos. Con estas se pueden resolver problemas que antes no eran posibles de resolverse con los mtodos tradicionales.REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS1.- Ayuda Hispano. s.f. http://ayudahispano-3000.blogspot.com/2015/02/matematicas-eponimos-matematicos_41.html (ltimo acceso: 24 de Junio de 2015).

2.- Baldor, Aurelio. Baldor. (Mexico: Publicaciones Cultural Cdice Amrica, S.A. 1997)

3.- Mendez, Eduardo Ramos. Matematicas. (2009.) 103-1134.- Naquiche, Manuel coveas. Matematica 1. (2006.) 625-6415.- Ramos, Eduardo Espinoza. Matematica basica. (Lima: Servicios graficos j.j, 2012.) 323-3436.- Sullivan, michael. Algebra y trigonometria. (Mexico: pearson education, 2006.) 217-2227.- Materias Fi Uba. s.f. http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/Rel.pdf (ltimo acceso: 27 de junio de 2015).

ANEXOS:

-Mario Javier Figueroa Chvez, relaciones y funciones. https://www.youtube.com/watch?v=neZbvLLxxEA video de hace un mes.

-Tu profesor virtual, funciones. https://www.youtube.com/watch?v=Sidgrh0aqNc video de hace 11 meses.

Dedicamos este trabajo a nuestros padres ya que con su esfuerzo luchan por darnos da a da los recursos y facilidades para hacer nuestros trabajos, a nuestros compaeros y amigos, los que estuvieron a nuestro lado, con quienes compartimos momentos de alegra y de estudio y a todo aquel lector que desee informarse y conocer ms sobre el tema.

Los Autores

Primeramente agradecemos a Dios quien es nuestro gua y la luz en nuestro camino de estudio, seguidamente a nuestra profesora de rea el cual nos ha formado debidamente y nos ha tutelado para poder hacer correctamente este trabajo.

Los Autores

z = z

Materias Fi Uba. n.d. http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/Rel.pdf (accessed junio 15, 2015).





Ramos, Eduardo Espinoza. Matematica basica. lima: Servicios graficos j.j, 2012.

Ayuda Hispano. n.d. http://ayudahispano-3000.blogspot.com/2015/02/matematicas-eponimos-matematicos_41.html (accessed Junio 24, 2015).

Mendez, Eduardo Ramos. Matematicas. 2009.

Sullivan, michael. Algebra y trigonometria. (Mexico: pearson education, 2006.) 217-222








Sullivan, michael. Algebra y trigonometria.( Mexico: pearson education, 2006.) 217-222

Naquiche, Manuel coveas. Matematica 1. 2006.

Ramos, Eduardo Espinoza. Matematica basica. lima: Servicios graficos j.j, 2012.




Ayuda Hispano. n.d. http://ayudahispano-3000.blogspot.com/2015/02/matematicas-eponimos-matematicos_41.html (accessed Junio 24, 2015)


Naquiche, Manuel coveas. Matematica 1. 2006



baldor, aurelio. baldor. 1997.





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