MDULO DE ESTADSTICA

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLGICO DAVID AUSUBEL

SEMIPRESENCIAL

TECNOLOGA EN: CONTABILIDAD Y AUDITORIAE INFORMTICA

ESTADSTICA

GUIA DIDCTICA

AUTOR DEL MDULO

M.Sc. Ing. VICENTE VINICIO NICOLALDE MORETA

3 er. NIVEL

QUITO - ECUADOR

PRESENTACIN

En el proceso formativo de los Tecnlogos, tanto en Informtica, como en Administracin de Empresas, con especialidad en Contabilidad y Auditora, es necesario el conocimiento terico prctico de la Disciplina de Estadstica, debido a que el proceso administrativo inicia y termina con el anlisis de informacin, la misma que debe ser recopilada, ordenada, analizada y presentada en forma sistemtica para tomar decisiones.

Es muy importante que el nuevo Tecnlogo en estas ramas del conocimiento a nivel superior llegue a dominar la base conceptual sobre Estadstica, mediante la aplicacin en la resolucin de ejercicios y problemas de manejo de datos, convirtindole en una valiosa herramienta dentro de la planificacin, organizacin y control, pues esta disciplina le permitir definir las desviaciones que pueden generarse dentro de los procesos y determinar con certeza los correctivos, mediante una acertada toma de decisiones.

"Slo una cosa convierte en imposible un sueo: el miedo a fracasar" (Paulo Coelho).Lo que tenemos que aprender a hacer, lo aprendemos hacindolo. (Aristteles)"No esperes por el momento preciso. Empieza ahora. Hazlo ahora. Si esperas por el momento adecuado, nunca dejars de esperar" (Jasmine Gillman)

NDICETEMAPAG.OBJETIVOS ESPECFICOS6COMPETENCIAS ESPECFICAS6INTRODUCCIN7EPTOME8CONTENIDOS9COMPETENCIA GENERAL11

CAPITULO I COMPETENCIA ESPECFICA12

ORIENTACIONES DE ESTUDIO121- LA ESTADSTICA1.1- DEFINICIN121.2- RESEA HISTRICA121.3- CLASES DE ESTADSTICA121.4- POBLACIN Y MUESTREO; ESTADSTICA INDUCTIVA Y DESCRIPTIVA131.5- FUENTES DE INFORMACIN131.6- ELEMENTOS MATEMTICOS IMPORTANTES EN LA ESTADSTICA.14EVALUACIN DEL APRENDIZAJE17

CAPITULO II COMPETENCIA ESPECFICA18

ORIENTACIONES DE ESTUDIO182- DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS182.1- LA FILA DE DATOS182.2- ORDENACIONES182.3- DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS18EVALUACIN DEL APRENDIZAJE27

CAPITULO III COMPETENCIA ESPECFICA29

ORIENTACIONES DE ESTUDIO293- REPRESENTACION GRAFICA293.1- FINALIDAD DE LA REPRESENTACIN GRFICA293.2- GRAFICOS EN EL SISTEMA CARTESIANO293.3- GRAFICO CIRCULAR303.4- GRAFICOS DE BARRAS313.5- GRAFICA DE TABLA DE FRECUENCIAS323.6- DIAGRAMA DE BARRAS O HISTOGRAMA333.7- DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS RELATIVAS333.8- DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS333.9- TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS35EVALUACIN DEL APRENDIZAJE37

CAPITULO IV COMPETENCIA ESPECFICA39

ORIENTACIONES DE ESTUDIO394- PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL394.1- DEFINICIN Y CLASES DE PROMEDIOS394.2- LA MEDIA ARITMTICA404.3- ANLISIS CON VARIABLE DISCRETA404.4- MEDIA ARITMTICA PONDERADA 414.5- ANLISIS CON VARIABLE CONTNUA414.6- PROPIEDADES43EVALUACIN DEL APRENDIZAJE46

CAPITULO V COMPETENCIA ESPECFICA47ORIENTACIONES DE ESTUDIO475- OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL475.1- LA MEDIANA475.2- CUARTILES505.3- DECILES515.4- PERCENTILES 515.5- LA MODA52EVALUACIN DEL APRENDIZAJE53

CAPITULO VI COMPETENCIA ESPECFICA55

ORIENTACIONES DE ESTUDIO556- ESTADGRAFOS DE POSICIN556.1- LA MEDIA ARMNICA556.2- LA MEDIA GEOMTRICA566.3- LA MEDIA CUADRTICA57EVALUACIN DEL APRENDIZAJE59

CAPITULO VII COMPETENCIA ESPECFICA61

ORIENTACIONES DE ESTUDIO617- ESTADGRAFOS DE DISPERSIN617.1- LA DISPERSIN Y SU MEDIDA617.2- DESVIACIN MEDIA647.3- DESVIACIN ESTNDAR647.4- LA VARIANZA687.5- EL COEFICIENTE DE VARIACIN68EVALUACIN DEL APRENDIZAJE72

CAPITULO VIII COMPETENCIA ESPECFICA74

ORIENTACIONES DE ESTUDIO748- ANLISIS DE VARIABLES TIPO UNO748.1- LA COVARIACIN748.2- ANLISIS GRFICO DE LA COVARIACIN758.3- LA REGRESIN778.4- CORRELACIN ENTRE DOS VARIABLES80EVALUACIN DEL APRENDIZAJE83

CAPTULO IX COMPETENCIA ESPECFICA85

ORIENTACIONES DE ESTUDIO859- CLASIFICACIN DE LOS NDICES859.1- NDICE SIMPLE DE PRECIOS859.2- NDICE SIMPLE DE CANTIDAD869.3- PRINCIPALES NDICES UTILIZADOS EN LA ADMINISTRACIN Y LA ECONOMA87EVALUACIN DEL APRENDIZAJE89

BIBLIOGRAFA91

OBJETIVOS ESPECFICOS

Dominar la base conceptual referente a estadstica, fuentes de informacin y elementos matemticos.

Dominar la base conceptual y analtica sobre la distribucin de frecuencias; la representacin grfica, tipos de curvas de frecuencias; las medidas de tendencia central; estadgrafos de posicin; estadgrafos de dispersin; el anlisis de variables tipo uno; aplicar y resolver ejercicios.

Dominar la base conceptual y analtica sobre los ndices de precios y cantidad y aplicar en forma prctica.

COMPETENCIAS ESPECFICAS

Domina la base conceptual referente a estadstica, fuentes de informacin y elementos matemticos.

Domina la base conceptual y analtica sobre la distribucin de frecuencias; la representacin grfica, tipos de curvas de frecuencias; las medidas de tendencia central; estadgrafos de posicin; estadgrafos de dispersin; el anlisis de variables tipo uno; aplica y resuelve ejercicios.

Domina la base conceptual y analtica sobre los ndices de precios y cantidad y su aplicacin prctica.

INTRODUCCIN

La estadstica es una tcnica auxiliar de las ciencias administrativas, esta permite determinar y medir matemticamente las variables que intervienen dentro de las actividades administrativas y sus aplicaciones informticas.

Se convierte en una herramienta fundamental dentro de la planificacin y la organizacin, pues la estadstica permite definir las desviaciones que pueden generarse dentro de los procesos y determinar con certeza los correctivos que se pueden tomar, a fin de evitar mayores problemas o eliminarlos.

Esta tcnica est presente en los estudios de mercado de las empresas, en los informes contables, informes econmicos, en el desarrollo de nuevos proyectos, informes empresariales, en definitiva en toda actividad de carcter administrativo.

Es importante que los tecnlogos conozcan y apliquen los conceptos bsicos de Estadstica, tales como la distribucin de frecuencias, su representacin grfica, las medidas de tendencia central, de dispersin, el anlisis de variables tipo uno y los ndices de precios y cantidad.

EPTOME

ESTADSTICACONCEPTOS, ELEMENTOS MATEMTICOSDISTRIBUCIN DE FRECUENCIASREPRESENTACIN GRFICAMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALESTADGRAFOS DE POSICINESTADGRAFOS DE DISPERSINANLISIS DE VARIABLES TIPO UNONDICES: DE PRECIOS Y CANTIDAD

CONTENIDO

CAPITULO I

1- LA ESTADSTICA1.1. DEFINICIN1.2. RESEA HISTRICA1.3. CLASES DE ESTADSTICA1.4. POBLACIN Y MUESTREO; ESTADSTICA INDUCTIVA Y DESCRIPTIVA

1.5. FUENTES DE INFORMACIN1.5.1. El Censo1.5.2. La Muestra1.5.3. La Encuesta1.6. ELEMENTOS MATEMTICOS IMPORTANTES EN LA ESTADSTICA.1.6.1. Variables1.6.2. El redondeo de datos1.6.3. La notacin cientfica1.6.4. El operador sumatorio

CAPITULO II

2- DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS2.1- LA FILA DE DATOS2.2- ORDENACIONES2.3- DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS2.3.1- Ejemplo con Variable Discreta.2.3.1.1- Datos originales2.3.1.2- Frecuencia absoluta Ni.2.3.1.3- Frecuencia absoluta acumulada descendente Ni.2.3.1.4- Frecuencia relativa simple hi2.3.1.5- Frecuencia relativa acumulada ascendente Hi2.3.1.6- Frecuencia relativa acumulada descendente Hi2.3.2- Ejemplo con variable continua2.3.2.1- Frecuencia absoluta simple ni2.3.2.2- Frecuencia absoluta Ni2.3.2.3- Frecuencia absoluta acumulada descendente Ni2.3.2.4- Frecuencia relativa simple hi2.3.2.5- Frecuencia relativa acumulada ascendente Hi2.3.2.6- Frecuencia relativa acumulada descendente Hi

CAPITULO III

3- REPRESENTACION GRAFICA3.1- FINALIDAD DE LA REPRESENTACIN GRFICA3.2- GRAFICOS EN EL SISTEMA CARTESIANO3.3- GRAFICO CIRCULAR3.4- GRAFICOS DE BARRAS3.5- GRAFICA DE TABLA DE FRECUENCIAS3.6- DIAGRAMA DE BARRAS O HISTOGRAMA3.7- DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS RELATIVAS3.8- DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS3.9- TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS

CAPITULO IV

4- PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL4.1- DEFINICIN Y CLASES DE PROMEDIOS4.2- LA MEDIA ARITMTICA4.3- ANLISIS DE LA MEDIA ARITMTICA CON VARIABLE DISCRETA4.4- MEDIA ARITMTICA PONDERADA4.5- ANLISIS DE LA MEDIA ARITMTICA CON VARIABLE CONTINUA4.6- PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICA

CAPITULO V

5- OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL5.1- LA MEDIANA5.1.1- Clculo para datos originales5.1.2- Clculo para datos agrupados5.2- CUARTILES5.3- DECILES5.4- PERCENTILES 5.5- LA MODA5.5.1- Moda por observacin5.5.2- Moda bimodal5.5.3- Moda en datos agrupados

CAPITULO VI

6- ESTADGRAFOS DE POSICIN6.1- LA MEDIA ARMNICA6.3- LA MEDIA GEOMTRICA6.4- LA MEDIA CUADRTICA

CAPITULO VII

7- ESTADGRAFOS DE DISPERSIN7.1- LA DISPERSIN Y SU MEDIDA7.2- DESVIACIN MEDIA7.3- DESVIACIN ESTNDAR7.4- LA VARIANZA7.5- EL COEFICIENTE DE VARIACIN

CAPITULO VIII

8- ANLISIS DE VARIABLES TIPO UNO8.1- LA COVARIACIN8.2- ANLISIS GRFICO DE LA COVARIACIN8.3- LA REGRESIN8.4- LA REGRESIN LINEAL8.5- CORRELACIN ENTRE DOS VARIABLES

CAPTULO IX

9- CLASIFICACIN DE LOS NDICES9.1- NDICE SIMPLE DE PRECIOS9.2- NDICE SIMPLE DE CANTIDAD9.3- PRINCIPALES NDICES UTILIZADOS EN LA ADMINISTRACIN Y LA ECONOMA9.3.1- ndice de precios al consumidor9.3.2- Usos del IPC

COMPETENCIA GENERAL.- los estudiantes dominan los procesos cognitivos y analticos de la Estadstica, sus conceptos, Distribucin de frecuencias, Representacin grfica, Medidas de tendencia central, de dispersin e ndices y su aplicacin.

CAPITULO I

COMPETENCIA ESPECFICA

Domina la base conceptual referente a estadstica, fuentes de informacin y elementos matemticos.

ORIENTACIONES DE ESTUDIO

Por tratarse de una Unidad introductoria tcnica, se recomienda a los y las estudiantes que se familiaricen con los conceptos bsicos de Estadstica, su clasificacin, sus usos y aplicaciones; adems deben llegar a conocer y dominar el manejo de algunos elementos matemticos, los ms utilizados en esta asignatura. Al conocer estos elementos y conceptos podrn poner en prctica con ejercicios, ejemplos, y resolucin de problemas. Se utilizar la metodologa de enseanza aprendizaje de aprender haciendo.

Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos impartidos en clases.

1- LA ESTADSTICA

1.1- DEFINICIN

La estadstica es una parte del conocimiento cientfico. La estadstica estudia los mtodos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, as como para sacar conclusiones vlidas y tomar decisiones razonables basadas en dichos anlisis.

La estadstica sirve para describir y entender los fenmenos econmicos, sociales, polticos, incluso fenmenos naturales que acontecen en el desarrollo del mundo.

As la estadstica se encamina a recolectar informacin, tabular la informacin, clasificar la informacin y graficar la misma.

1.2- RESEA HISTRICA

La palabra estadstica naci en el imperio Romano, la utilizaban los reyes para elaborar encuestas y sondeos del nmero de habitantes en las ciudades para poder cobrar los impuestos. Se la utiliz en este sentido por el Estado hasta la revolucin industrial, actualmente todas las actividades humanas, consciente o inconscientemente utilizan la estadstica.

1.3- CLASES DE ESTADSTICA

a) Por las observaciones Primarias Derivadas

b) Por la materia de EstudioDemogrficas, de transportes, sanitarias, agropecuarias, econmicas, educativas, de comercio exterior, de precios, de accidentes de trabajo, etc.

c) Por el nmero de caracteres De variables De atributos Mixtas

d) Por las observaciones Distribuciones de Frecuencias Estadsticas Geogrficas Estadsticas Sectoriales Estadsticas Temporales

1.4- POBLACIN Y MUESTREO; ESTADSTICA INDUCTIVA Y DESCRIPTIVA

Cuando se recogen datos relativos a las caractersticas de un grupo de individuos u objetos, sean alturas, pesos, de los estudiantes de un colegio, o universidad o pernos defectuosos producidos en una fbrica, suele ser imposible o nada prctico observar todo el grupo, por ser este muy grande, llegando a ser casi imposible su verificacin de uno en uno. En vez de examinar el grupo entero llamado universo o poblacin, se opta por tomar una parte del universo el cual toma el nombre de muestra.

Una poblacin puede ser finita o infinita. Por ejemplo una poblacin finita puede ser todos los estudiantes matriculados en la Universidad Central del Ecuador en un ao determinado. Mientras que una poblacin infinita puede ser los posibles resultados de cara o cruz al lanzar sucesivamente una moneda al aire.

Si una muestra es representativa de una poblacin, de ella se pueden extraer importantes conclusiones que sern aplicadas a la muestra mediante el anlisis de la muestra. La fase de la estadstica que trata con las condiciones bajo las cuales tal diferencia es vlida se llama estadstica inductiva o inferencia estadstica. Ya que dicha inferencia no es del todo exacta, el leguaje de las probabilidades aparecer al establecer nuestras conclusiones.

La parte de la estadstica que solo se dedica a describir y analizar un grupo de datos, sin extraer conclusiones sobre un grupo mayor se llama estadstica descriptiva o deductiva.

1.5- FUENTES DE INFORMACIN

Las fuentes de informacin son las formas de dnde y cmo podemos obtener datos ya sean cualitativos y cuantitativos.Las principales fuentes de informacin para una investigacin estadstica son: El censo La muestra La encuesta

1.5.1- EL CENSO

Es la enumeracin total de todos y cada uno de los elementos del universo, poblacin o masa estadstica.

1.5.2- LA MUESTRA

Es una enumeracin parcial de algunos de los elementos del universo, poblacin o masa estadstica, la cual es previamente seleccionada y contiene las caractersticas ms comunes del universo y que lo representa; la cual es sometida a ciertos criterios para ser definida.

1.5.3- LA ENCUESTA

Es la forma ms directa de obtener informacin estadstica o datos, es utilizada por el censo o por la muestra. La encuesta puede ser verbal o escrita, pero en los dos casos debe estar previamente elaborada con los objetivos de la investigacin.

1.6- ELEMENTOS MATEMTICOS IMPORTANTES EN LA ESTADSTICA.

1.6.1- VARIABLES

Una se la representa con un smbolo, tal como X, Y, H, A o B, que puede tomar un conjunto prefijado de valores, llamado Dominio de esa variable. Si la variable puede tomar un solo valor, se llama constante. Una variable que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados se dice que es una variable continua; en caso contrario diremos que la variable es discreta.

Por ejemplo el nmero huevos H que puede poner una gallina en una semana puede ser 5, 6, 7, . Pero no puede poner 5,7 o 6,34, por lo tanto es una variable discreta.

Entonces diremos: variables discretas son aquellas que presentan un valor bien determinado entre las cuales no cabe ningn otro valor, es decir son aquellas que pueden tomar un valor, o un nmero limitado de valores dentro de un rango o intervalo los cuales pueden ser expresados solo en nmeros enteros y no en decimales o fracciones.

En cambio la altura de una persona puede ser 1.65 cm., o 1.78 cm., dependiendo de la precisin de la medida, es una variable continua. Entonces diremos que se denomina variable continua a toda medida que expresa un nmero, es decir, son aquellas que pueden tomar un nmero ilimitado de valores, dentro de un rango o intervalo que puede ser expresado de cualquier forma, ya sea en valores enteros o decimales.

1.6.2- EL REDONDEO DE DATOS

El resultado de redondear un nmero como 64.6 en unidades es 65 pues este es ms prximo que 64. Analgicamente si queremos redondear 4.2689 en centsimas o sea con 2 decimales nos da 4.27, pero si queremos redondear 3.4325 en centsimas nos da 3.43 pues es el ms prximo en lugar de 3.44 . Para determinar el redondeo se debe tomar como referencia el valor de 5, dando que si un el valor que le preside por ejemplo en 4.2689 su tercer valor es 8 5 entonces el segundo valor sube de 6 a 7; en el ejemplo 3.4325 como el tercer valor es 25 entonces el segundo nmero se mantiene en 3.

1.6.3- LA NOTACIN CIENTFICA

Al escribir nmeros, especialmente los que poseen muchos ceros antes o despus de punto decimal, interesa emplear la notacin cientfica mediante potencias de 10.

Ejemplo.10=10,10=10x10=100105=10x10x10x10x10=100,000108=10x10x10x10x10x10x10x10=100,000,00010=110-1=0.1 o sea .110-2=0.01 o sea .0110-5=0.00001 o sea .00001 Entonces864,000,000=8.64x1080.00003416=3.416x10-5Ntese que al multiplicar un nmero por 108, por ejemplo, el punto decimal se mueve 8 posiciones a la derecha, y la multiplicar por 10-6 se mueve seis posiciones a la izquierda.

A menudo escribimos 0.1253 en vez de .1253 para recalcar el hecho de que no se ha omitido accidentalmente un entero no nulo delante del punto decimal. Sin embargo, ese cero puede omitirse cuando no exista riesgo de confusin, por ejemplo, en tablas.

1.6.4- EL OPERADOR SUMATORIO

Es un smbolo convencional matemtico que indica que tenemos que sumar, desde que la variable toma el valor de 1 hasta que la variable toma el valor de n.1.6.4.1- PROPIEDADES DEL OPERADOR SUMATORIO

1.-La sumatoria de una constante es Kk=k+k+k+k+k++kn vecesk = n veces la misma constante

k = nk

2.-Sumatoria de una constante con una variable.

kXi=Kx1+kx2+kx3+..+kxn

kXi=k(x1+x2+x3+xn)

kXi=kXi

Esto es igual a la constante por la sumatoria de la parte variable.

3.-La sumatoria de una suma de variables

(Xi+Yi+Zi) = x1+y1+z1+x2+y2+z2++xn+yn+zn

(x1+x2+.+xn)+(y1+y2+..yn)+(z1+z2+zn)

Xi+Yi+Zi

La sumatoria de variables siempre ser igual a la sumatoria de cada una de las variables

PARA RECORDAR:

La estadstica estudia los mtodos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, as como para sacar conclusiones vlidas y tomar decisiones razonables basadas en dichos anlisis.Una poblacin puede ser finita o infinita. La fase de la estadstica que trata con las condiciones bajo las cuales tal diferencia es valida se llama estadstica inductiva o inferencia estadstica.La parte de la estadstica que solo se dedica a describir y analizar un grupo de dado, sin extraer conclusiones sobre un grupo mayor se llama estadstica descriptiva o deductiva.Las fuentes de informacin son las formas de donde y como podemos obtener datos ya sean cualitativos y cuantitativos.La variable puede tomar un solo valor, se llama constante. Una variable que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados se dice que es una variable continua; en caso contrario diremos que la variable es discreta.El operador sumatorio es un smbolo convencional matemtico que indica que tenemos que sumar, desde que la variable toma el valor de 1 hasta que la variable toma el valor de n.

EVALUACIN DEL APRENDIZAJE:

1- De 2 ejemplos de poblacin o universo2- De 2 ejemplos de muestra3- Realice un ejemplo de una encuesta para obtener informacin de ingresos y gastos de una familia4- De 5 ejemplo de variables discretas5- De 5 ejemplos de variables continuas6- Realice un cuadro sinptico de cmo se clasifica la estadstica

Realice los siguientes ejercicios:

1- Redondeo1

a) 2.35616 con dos decimales b) 4.5621 con dos decimalesc) 15536,351 en millones cerradosd) 24.564 en enteros(sin decimales)e) 54.799988 con 3 decimales

2- Notacin cientfica. Expresar los siguientes nmeros sin usar la potencia de 10a) 132.5x104 b) 418.72x10-5c) 280x10-7d) 0.0001850x105e) 730x106

3- Realice la sumatoria de:

Ingresos mensuales de los obreros de la empresa EUROTEL en 1998

345, 462, 689, 345, 645, 278, 356 y 435CAPITULO II

COMPETENCIA ESPECFICA

Domina la base conceptual y analtica sobre la distribucin de frecuencias; aplica y resuelve ejercicios.

ORIENTACIONES DE ESTUDIO

Por tratarse de una Unidad tcnica, se recomienda a los y las estudiantes que se familiaricen con los conceptos de la distribucin de frecuencias, sus usos y aplicaciones; adems deben llegar a conocer y dominar el manejo de frecuencias absolutas y relativas. Al conocer estos elementos y conceptos podrn poner en prctica con ejercicios, ejemplos, y resolucin de problemas. Se utilizar la metodologa de enseanza aprendizaje de aprender haciendo.

Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos impartidos en clases.

2- DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

2.1- LA FILA DE DATOS

Una fila de datos son datos recogidos los cuales no han sido organizados numricamente, por ejemplo la altura de 100 estudiantes por letra alfabtica.

2.2- ORDENACIONES

Una ordenacin es un conjunto de datos numricos en orden creciente o decreciente. La diferencia entre el mayor y el menor se llama rango de ese conjunto de datos. As si la mayor altura de entre los 100 estudiantes era de 160 cm., y la menor 150 cm., el rango es 160 150 = 10 cm.

2.3- DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

2.3.1- EJEMPLO CON VARIABLE DISCRETA.

Nmero de miembros por familia de los estudiantes del tercer curso.Donde:

n = nmero total de observaciones, o tamao de la muestran = 10

2.3.1.1- DATOS ORIGINALES

Son Aquellos que se toman directamente del campo de investigacin y generalmente se representan con xi.

xi15xi62

xi24xi713

xi35xi86

xi46xi96

xi57xi105

Partiendo de los datos originales se ordenan estos

264656575 13

Los datos agrupados son los mismos datos originales que se los clasifica en orden y se los presenta en forma ascendente o descendente, en la tabla de frecuencias.

m: numero de filas, intervalos o lneas de la tabla de frecuencias.yi: valor distinto de la variable xini: nmero de veces que se repite el valor de una variable

myini

121

241

353

463

571

6131

TOTAL10

ni = n = 10

hi = 1

Interpretacin de ni

Ejemplo en la fila m3 tenemos:

ni3: Significa que 3 estudiantes tienen 5 miembros en su familia

Ejemplo en la fila m6 tenemos

ni6: Significa que 1 estudiante tiene 13 miembros en su familia

2.3.1.2- LA FRECUENCIA ABSOLUTA Ni.

Esta nos indica el nmero de observaciones con valores a lo mucho o valores a lo mximo que puede tomar la variableEl nmero de observaciones menores o igual a la variable, entonces:Ni1 = ni1Ni2 = ni1+ni2Ni3 = ni1+ni2+ni3As tenemos:Ni3 = 1+1+3Ni3 = 5

myiniNi

1211

2412

3535

4638

5719

613110

TOTAL

Interpretacin de Ni:

Ni3: Cinco estudiantes tienen a lo mximo 5 miembros en su familiaNi6: Diez estudiantes tienen a lo mximo 13 miembros en su familia.

2.3.1.3- LA FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA DESCENDENTE Ni.

Nos indica el nmero de observaciones con valores por lo menos o como mnimo igual a la variable. O nos indica el nmero de observaciones mayores o iguales a la variable.

Ni1 = ni1+ni2+ni3+ni4+ni5+ni6Ni2 = ni1+ni2+ni3+ni4+ni5Ni3 = ni1+ni2+ni3+ni4As tenemos:Ni3 = 1+1+3+3Ni3 = 8

mYiniNiN'i

121110

24129

35358

46385

57192

6131101

Interpretacin de Ni:

Ni3: 8 estudiantes tienen como mnimo 5 miembros en su familiaNi5: 2 estudiantes tienen como mnimo 7 miembros en su familia

2.3.1.4- FRECUENCIA RELATIVA SIMPLE hi

La Frecuencia relativa simple nos indica la proporcin o porcentaje de observaciones con valores iguales a la variable. Su frmula de clculo es:

Ejemplo:

hi1 = 1/10 = 0.10hi3 = 3/10 = 0.30

MyiniNiN'ihi

1211100.1

241290.1

353580.3

463850.3

571920.1

61311010.1

TOTAL1

Interpretacin:hi4: El 30% de los estudiantes del tercer curso, tienen 6 miembros en su familiahi2: el 10% de los estudiantes del tercer curso, tienen 4 miembros en su familia.

2.3.1.5- FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ASCENDENTE Hi

Nos indica la proporcin de observaciones que con valores a lo mucho o iguales a la variable; o tambin a lo mximo o igual a la variable. Su frmula es:

MyiniNiN'ihiHi

1211100.10.1

241290.10.2

353580.30.5

463850.30.8

571920.10.9

61311010.11

TOTAL1

Ejemplos:Hi6 = 10/10 = 1Hi3 = 5/10 = 0.50

Interpretacin:

Para su interpretacin los resultados obtenidos se deben multiplicar por 100, as tenemos:

Hi6: el 100% de los estudiantes del tercer curso, tendrn a lo mucho 13 miembros en su familia.Hi3: el 50% de los estudiantes del tercer curso, tendrn a lo mucho 5 miembros en su familia.

2.3.1.6- FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA DESCENDENTE Hi

Nos indica la proporcin de observaciones con valores por lo menos o como mnimo iguales a la variable; o nos indica el porcentaje de observaciones con valores mayores o iguales a la variable. Su frmula es:

Ejemplos:

Hi3 = 8/10 = 0.80Hi5 = 2/10 = 0.20

MyiniNiN'ihiHiH'i

1211100.10.11

241290.10.20.9

353580.30.50.8

463850.30.80.5

571920.10.90.2

61311010.110.1

TOTAL1

Interpretacin:

Para interpretar los resultados obtenidos se deben multiplicar por cien, as tenemos:Hi3: El 80% de los estudiantes del tercer curso tienen por lo menos 5 miembros en su familia.Hi5: El 20% de los estudiantes del tercer curso tienen por lo menos 7 miembros en su familia.

2.3.1.7- EJERCICIO DEMOSTRATIVO

De 20 encuestas realizadas en el mercado Iaquito a las vendedoras de este lugar sobre el nmero de hijos que poseen se obtuvieron los siguientes datos:

Xi = 4, 4, 2, 2, 5, 10, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 1, 2, 3, 2, 1, 9, 10.Se pide: Obtener las frecuencias absolutas y relativas ascendentes y descendentes e interpretar los datos obtenidos de las filas 2 y 5.

DesarrolloXi:1234

1235

1249

23410

23410

mYiniNiN'ihiHiH'i

1133200.150.151.00

2258180.250.400.90

33412170.200.600.85

44416160.200.800.80

55117120.050.850.60

6911880.050.900.40

71022030.101.000.15

TOTAL201

Interpretacin de la variable ni:

ni2: Cinco vendedoras del mercado Iaquito tienen 2 hijosni5: Una vendedora del mercado Iaquito tiene 5 hijos

Interpretacin de la frecuencia absoluta Ni:Ni2: Ocho vendedoras del mercado Iaquito tiene como mximo 2 hijosNi5: Diecisiete vendedoras del mercado Iaquito tienen como mximo 5 hijos

Interpretacin de la frecuencia acumulativa descendente NiNi2: Dieciocho vendedoras del mercado Iaquito tiene como mnimo 2 hijosNi5: Doce vendedoras del mercado Iaquito tienen como mnimo 5 hijos

Interpretacin de la frecuencia relativa simple hi:hi2: El 25% de las vendedoras del mercado Iaquito tienen 2 hijoshi5: El 5% de la vendedora del mercado Iaquito tiene 5 hijos

Interpretacin de la frecuencia relativa acumulada ascendente Hi:Hi2: El 40% de las vendedoras del mercado Iaquito tiene a lo mucho 2 hijosHi5: El 85% de las vendedoras del mercado Iaquito tienen a lo mucho 5 hijos

Interpretacin de la frecuencia relativa acumulada descendente HiHi2: El 90% de las vendedoras del mercado Iaquito tiene como mnimo 2 hijosHi5: El 60% de las vendedoras del mercado Iaquito tienen como mnimo 5 hijos

2.3.2- EJEMPLO DE VARIABLE CONTINUA

Se realiz la medicin de la estatura de 20 estudiantes del aula de cuarto curso especializacin contabilidad obteniendo los siguientes datos en metros:

Xi:1.561.721.541.66

1.681.801.531.65

1.501.781.801.70

1.761.531.801.52

1.681.881.601.80

n = 20

Ordenar

1.501.561.681.80

1.521.601.701.80

1.531.651.721.80

1.531.661.761.80

1.541.681.781.80

Lmite mximo: Es el mximo valor observado de la variableLmite mnimo: es el mnimo valor observado de la variableLm. mximo: 1.80Lm. mnimo: 1.50

Rango de amplitud: se obtiene de la diferencia entre le lmite mximo menos el lmite mnimo y lo representamos con la letra r

r = lm. max. lm. Mnr = 1.80 1.50r = 0.30

Para establecer el nmero de intervalos que darn origen al nmero de filas realizamos:

r = 0.30 0.30 es divisible para 2, 3, 5, 6, 10, 15; mientras trabajemos con un mayor nmero de filas menor ser el margen de dispersin datos y error en los clculos.

m = 5

myi'-1 -- yi'yiniNiN'iHi

11.50 -- 1.561.5366200.3

21.56 -- 1.621.5928140.1

31.62 -- 1.681.65412120.2

41.68 -- 1.741.7121480.1

51.74 -- 1.801.7762060.3

201

Generalidades:

yi'-1 = Lmite inferior de cada intervalo.yi = Lmite superior de cada intervaloC = Campo de amplitud o intervalo de clase0.30/5 = 0.06

yi = Punto medio o marca de clase

(1.50+1.56)/2 = 1.53Donde:

2.3.2.1- FRECUENCIA ABSOLUTA SIMPLE ni

Es el nmero de observaciones con valores comprendidos entre el lmite superior e inferior de cada intervalo. Su interpretacin es similar al caso de la variable discreta, por ejemplo:

ni1: Significa que 6 estudiantes tienen una estatura comprendida entre 1.50 a 1.56 m.

ni3: Significa que 4 estudiantes tienen una estatura comprendida entre 1.62 a 1.68 m.

2.3.2.2- FRECUENCIA ABSOLUTA Ni

Es un nmero de valores a lo mucho o igual al lmite superior de cada intervalo, o nmero de observaciones menores o iguales al lmite superior de cada intervalo

Ni5: Veinte estudiantes a lo mucho tiene una estatura de 1.80 m.Ni2: Ocho estudiantes tienen a lo mucho una estatura de 1.62 m.

2.3.2.3- FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA DESCENDENTE Ni

Nos indica el nmero de observaciones con valores por lo menos igual al lmite inferior de cada intervalo. O el nmero de observaciones con valores mayores o iguales al lmite inferior de cada intervalo. Su interpretacin es similar a la variable discreta, as tenemos:

Ni2: Catorce estudiantes tienen por lo menos una estatura de 1.56 m.Ni4: Ocho estudiantes tienen por lo menos una estatura de 1.68 m.

2.3.2.4- FRECUENCIA RELATIVA SIMPLE hi

Nos indica la proporcin o porcentaje de observaciones comprendidos entre le

lmite inferior y superior de cada intervalo.

myi'-1 -- yi'yiniNiN'ihiHiH'i

11.50 -- 1.561.5366200.30.31

21.56 -- 1.621.5928140.10.40.7

31.62 -- 1.681.65412120.20.60.6

41.68 -- 1.741.7121480.10.70.4

51.74 -- 1.801.7762060.310.3

201

Su interpretacin es similar a la variable discreta, por ejemplo:hi3: El 20% de los estudiantes poseen una estatura entre 1.62 y 1.68 m. de altura

2.3.2.5- FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ASCENDENTE Hi

Indica la proporcin de observaciones con valores a lo mucho o iguales al lmite superior de cada intervalo. O el porcentaje de observaciones, con valores menores o iguales al lmite superior de cada intervalo.Para su interpretacin es necesario que los valores obtenidos de la formula se multipliquen por 100.

Hi4: El 70% de estudiantes a lo mximo o a lo mucho miden 1.74 m.Hi2: el 40% de estudiantes a lo mximo o a lo mucho miden 1.62 m.

2.3.2.6- FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA DESCENDENTE Hi

Indica la proporcin de observaciones con valores a lo menos o iguales al lmite inferior de cada intervalo, o nos indica que el porcentaje de las observaciones con valores mayores o iguales al lmite inferior de cada intervalo.Y se interpreta:

Para su interpretacin es necesario que los valores obtenidos de la formula se multipliquen por 100.Hi1 = El 100% de los estudiantes miden por lo menos 1,50 m. de estatura.Hi4 = El 40% de los estudiantes miden por lo menos 1,68 m. de estatura

PARA RECORDAR:

Una fila de datos son valores recogidos los cuales no han sido organizados numricamente, por ejemplo la altura de 100 estudiantes por letra alfabtica.Una ordenacin es un conjunto de datos numricos en orden creciente o decreciente.

Son Aquellos que se toman directamente del campo de investigacin y generalmente se representan con xi.

La frecuencia absoluta Ni nos indica el nmero de observaciones con valores a lo mucho o valores a lo mximo que puede tomar la variable

La frecuencia absoluta acumulada descendente Ni indica el nmero de observaciones con valores por lo menos o como mnimo igual a la variable.

La Frecuencia relativa simple nos indica la proporcin o porcentaje de observaciones con valores iguales a la variable.

La frecuencia relativa acumulada ascendente Hi, indica la proporcin de observaciones que con valore a lo mucho o iguales a la variable; o tambin a lo mximo o igual a la variable.

La frecuencia relativa acumulada descendente Hi indica la proporcin de observaciones con valores por lo menos o como mnimo iguales a la variable.

EVALUACIN DEL APRENDIZAJE:

a- Qu nos indica la frecuencia absoluta Ni?b- Qu nos indica la frecuencia relativa simple hi?c- Qu nos indica la frecuencia relativa acumulada descendente Hi?

Realice los siguientes ejercicios

d- En el siguiente cuadro se expone de a cuerdo a una muestra, el nmero de pelotas de tenis que producen en un da 20 obreros de una fabrica. Realice la tabla de frecuencias e interprete todas.

320350325350330

330330310315310

350310315325360

325320325350320

e- La tabla adjunta muestra los dimetros de 60 bolas de cojinete manufacturadas por una fbrica. Construir una distribucin de frecuencias con intervalos de clase apropiados e interpretar 3 de cada frecuencia.

1.7381.7291.7431.7401.7361.741

1.7351.7311.7261.7371.7281.737

1.7361.7351.7241.7331.7421.736

1.7391.7351.7451.7361.7421.740

1.7281.7381.7251.7331.7341.732

1.7331.7301.7321.7301.7391.734

1.7381.7391.7271.7351.7351.732

1.7351.7271.7341.7321.7361.741

1.7361.7441.7321.7371.7311.746

1.7351.7351.7291.7341.7301.740

CAPITULO III

COMPETENCIA ESPECFICA

Domina la base conceptual y analtica sobre la representacin grfica, distribucin de frecuencias relativas, tipos de curvas de frecuencias; aplica y resuelve ejercicios.

ORIENTACIONES DE ESTUDIO

Por tratarse de una Unidad tcnica, se recomienda a los y las estudiantes que se familiaricen con los conceptos de la representacin grfica, distribucin de frecuencias relativas y tipos de curvas de frecuencias, sus usos y aplicaciones. Al conocer estos elementos y conceptos podrn poner en prctica con ejercicios, ejemplos, y resolucin de problemas. Se utilizar la metodologa de enseanza aprendizaje de aprender haciendo.

Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos impartidos en clases.

3- REPRESENTACIN GRFICA

3.1- FINALIDAD DE LA REPRESENTACIN GRFICA

La representacin grfica de los datos contenidos en un cuadro estadstico, tiene como finalidad ofrecer una visin de conjunto del fenmeno sometido a investigacin, el cual es ms rpidamente perceptible que la observacin directa de los datos numricos. As la representacin grfica es unos medios eficaz para el anlisis de las estadsticas ya que las magnitudes y las regularidades se aprecian y recuerdan con ms facilidad cuando se examinan grficamente.

Sin embargo la representacin grfica no es ms que un medio auxilia, de la investigacin estadstica, pues est es fundamentalmente numrica.

La representacin grfica puede hacerse utilizando un sistema geomtrico de representacin, en cuyo caso tiene las propiedades de rigurosidad y precisin, o bien puede utilizarse smbolos alusivos al tema de estudio, como por ejemplo rboles, casas, automviles, figuras humanas, etc.

Mediante este ltimo sistema de representacin, no persigue una rigurosa exactitud, sino lograr efectos impresionistas en las personas de poca preparacin en el campo de la estadstica.

3.2- GRFICOS EN EL SISTEMA CARTESIANO

Como es conocido el Sistema Cartesiano esta formado por un par de ejes, uno vertical y otro horizontal que se cortan en un ngulo recto. El eje horizontal toma el nombre de las abscisas, y le vertical de eje de las ordenas; el punto de interseccin es el origen

Ambos ejes estn graduados de acuerdo a una escala que pueden ser diferente para los dos ejes.

Aqu se pueden trazar los conocidos grficos de siluetas.

Balanza Comercial

AOSALDO

19901500

1991800

1992-215

1993530

1994-156

1995-256

1996-562

1997-324

1998315

1999-50

3.3- GRFICO CIRCULAR

Como su nombre lo indica constituye en representar los datos de una investigacin estadstica en el interior de un crculo o pastel.

POBLACIN ECONMICAMENTE ACTIVA

SituacinPoblacinGrados

Empleados20%73

Subempleados35%128

Desocupados45%164

TOTAL100%365

3.4- GRFICOS DE BARRAS

Se dibuja en un par de ejes cartesianos; en el de las abscisas se toman los valores distintos de la variable y en el de la ordenada, las frecuencias. Cada valor de la variable, con su correspondiente frecuencia, constituye una pareja de nmeros, a la que corresponde en el plano un punto. Habr pues, tantos puntos como valores distintos que tome la variable. Para dar mayor visibilidad al grfico, es costumbre materializar las ordenadas de cada punto mediante una lnea gruesa o Barra. De aqu que esta representacin se llame grfico o diagrama de barras.

INDICE DE DELINCUENCIA

Guayaquil11%

Quito8%

Ambato5%

Cuenca3%

3.5- GRFICA DE TABLA DE FRECUENCIAS

De una muestra tomada en la provincia de los ros, sobre la produccin de arroz en quintales por hectreas, durante el mes de diciembre de 1991 se obtuvieron los siguientes datos:

Yi:

115.5126.0245.0342.0

100.0138.0287.0278.0

50.0153.0293.0215.0

58.0191.0306.0165.0

Lm.Mx

350

Lm.Mn50

r = 350-50

r = 300==>3002

3

4

5

6

10

12

60

m = 4

C = r/m==>300/4

C = 75

Myi'-1 -- yi'yiniNiN'ihiHiH'i

150 12587.566200.300.301.00

2125 200162.5511140.250.550.70

3200 275237.531490.150.700.45

4275 350312.562060.301.000.30

TOTAL201.00

3.6- DIAGRAMA DE BARRAS O HISTOGRAMA

Los histogramas y los polgonos de frecuencias son dos representaciones grficas de las distribuciones de frecuencias.

Un histograma o histograma de frecuencias, consiste en un conjunto de rectngulos con:

a) Base en el eje X horizontal, centros en la marca de clase y longitudes iguales a los tamaos de los intervalos de clase.b) rea proporcional a las frecuencias de clase.

Si los intervalos de clase tienen todos la misma anchura, las alturas de los rectngulos son proporcionales a las frecuencias de clase. En caso contrario, deben ajustarse las alturas.

Un polgono de frecuencias es un grfico de trozos de la frecuencia de clase con relacin a la marca de clase. Puede obtenerse conectando los puntos medios de las partes superiores de los rectngulos del histograma.

3.7- DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS RELATIVAS

La frecuencia relativa de una clase es su frecuencia dividida por la frecuencia total de todas las clases y se expresa generalmente como un porcentaje. La suma de frecuencias relativas sabemos que suman 1 o 100.

La representacin grfica de distribucin de frecuencias relativas se puede obtener del histograma o polgono de frecuencias sin ms que cambiar la escala vertical de frecuencias a frecuencias relativas o histograma de porcentajes, y polgonos de frecuencias relativas o polgono de porcentajes, respectivamente.

3.8- DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS

La frecuencia total de todos los valores menores que la frontera de clase superior de un intervalo de clase dado se llama frecuencia acumulada hasta ese intervalo de clase inclusive.

Una tabla que presente tales frecuencias acumuladas se llama una distribucin de frecuencias acumuladas, tabla de frecuencias acumuladas o brevemente una distribucin acumulada.

Un grfico que recoja las frecuencias acumuladas por debajo de cualquiera de las fronteras de clase superior respecto a dicha frontera se llama polgono de frecuencias acumuladas u ojiva.

yi'-1 -- yi'Hi

50 1250.30

125 2000.55

200 2750.70

275 3501.00

Estas son las ojivas ascendentes y descendentes.

3.9- TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS

Las curvas de frecuencias que aparecen, en la prctica adoptan formas caractersticas como son:

1- Las curvas de frecuencias simtricas o en forma de campana, se caracterizan porque las observaciones equidistantes del mximo central tienen la misma frecuencia. Ejemplo importante es la curva normal.

2- En las curvas de frecuencia poco asimtricas, o sesgadas, la cola de la curva a un lado del mximo central es ms larga que al otro lado. Si la cola mayor est a la derecha, la curva se dice asimtrica a la derecha o asimtrica positiva. En caso contrario, se dice asimtrica a la izquierda o asimtrica negativa.

3- En una curva en forma de J o de J invertida, hay un mximo y un extremo

4- Una curva de frecuencia en forma de U tiene mximo en ambos extremos.

5- Una curva de frecuencia bimodal tiene dos mximos.

6- Una curva de frecuencia multimodal tiene ms de dos mximos.

PARA RECORDAR:

La representacin grfica es un medio eficaz para el anlisis de las estadsticas.

La representacin grfica puede hacerse utilizando un sistema geomtrico de representacin, en cuyo caso tiene las propiedades de rigurosidad y precisin, o bien puede utilizarse smbolos alusivos al tema de estudio, como por ejemplo rboles, casas, automviles, figuras humanas, etc.

El Sistema Cartesiano esta formado por un par de ejes, uno vertical y otro horizontal que se cortan en un ngulo recto.

El grfico circular como su nombre lo indica constituye en representar los datos de una investigacin estadstica en el interior de un crculo o pastel.

El grfico de barras se dibuja en un par de ejes cartesianos; en el de las abscisas se toman los valores distintos de la variable y en el de la ordenada, las frecuencias.

Los histogramas y los polgonos de frecuencias son dos representaciones grficas de las distribuciones de frecuencias.

Un polgono de frecuencias es un grfico de trozos de la frecuencia de clase con relacin a la marca de clase.

La frecuencia relativa de una clase es su frecuencia dividida por la frecuencia total de todas las clases y se expresa generalmente como un porcentaje.

Un grfico que recoja las frecuencias acumuladas por debajo de cualquiera de las fronteras de clase superior respecto a dicha frontera se llama polgono de frecuencias acumuladas u ojiva.

EVALUACIN DEL APRENDIZAJE:

Realice los siguientes ejercicios

a- Realice el grfico de barras en funcin de los siguientes datos:Pies Perforados por Petroproduccin en 1998

Cuyabeno8.000

Cononaco10.820

Shushufindi9.445

Sacha10.028

Lago Agrio10.140

Sacha II9.980

b- Realice el grfico de pastel o circular en base a los siguientes datosMateria Prima Total Procesada en el Pas en diciembre de 1998 en barriles

Refinera Esmeraldas2692.956

Refinera la Libertad1040.714

Refinera Amazonas628.335

Refinera Lago4362.005

c- En la siguiente tabla se muestra la distribucin de cargas mximas en toneladas cortas (1 tonelada corta = 2000 Lb), que soportan los cables producidos por cierta fabrica.

Realice la distribucin de frecuencias acumuladas y ojivas ascendentes y descendentes.

Carga Mxima (Toneladas Cortas)Yi-1 ------------- YiNmero de Cablesni

9.510.57

10.511.55

11.512.512

12.513.517

13.514.514

14.516.56

16.517.53

17.518.54

68

CAPITULO IV

COMPETENCIA ESPECFICA

Domina la base conceptual y analtica sobre las medidas de tendencia central; aplica y resuelve ejercicios.

ORIENTACIONES DE ESTUDIO

Por tratarse de una Unidad tcnica, se recomienda a los y las estudiantes que se familiaricen con los conceptos y aplicaciones prcticas de las medidas de tendencia central. Al conocer estos conceptos podrn poner en prctica con ejercicios, ejemplos, y resolucin de problemas. Se utilizar la metodologa de enseanza aprendizaje de aprender haciendo.

Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos impartidos en clases.

4- PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

4.1- DEFINICIN Y CLASES DE PROMEDIOS Al obtener una poblacin de tamao N, la distribucin de frecuencias de una variable, lo que se persigue es reducir o condensar en pocas cifras el conjunto de observaciones relativas a dicha variable.

Pero con extremada frecuencia, el proceso de reduccin hay que continuarlo hasta su grado mximo, o sea, hasta sustituir todos los valores observados por uno solo, que se llama promedio. Cuando se acta as se logra por una parte una visin ms clara del nivel que alcanza la variable y por otra, mayor facilidad al hacer comparaciones.

Por ejemplo, la estatura media del soldado ecuatoriano y la estatura media de los oficiales del ejrcito y la marina.

La nocin del promedio lleva implcita la idea de variacin, ya que no tiene sentido promediar un carcter invariable. Pero el nmero singular promedio- que a de sustituir al nmero de observaciones de la poblacin a de cumplir la condicin de ser representativo de dicho conjunto, para lo cual a de reflejar la tendencia de las observaciones. De aqu que los promedios tambin se los denomina Medidas de Tendencia Central. El carcter representativo del promedio exige que su valor est comprendido, al menos, entre los valores extremos observados de la variable.

Las principales son: Media Aritmtica Mediana Moda Media Geomtrica Media Armnica

4.2- LA MEDIA ARITMTICA

Es en nmero que se obtiene al dividir la suma de todas las observaciones para el nmero de ellas.La media aritmtica es un valor de la variable, posiblemente no observable, que viene dado en la misma unidad de medida que la variable.La media aritmtica es un estadgrafo de tendencia central que nos proporciona un promedio con respecto al total de los datos de una investigacin estadstica, su smbolo es

:

La X o se utiliza para datos originales y la siguiente para datos agrupados Y o

4.2.1- ANLISIS DE LA MEDIA ARITMTICA CON VARIABLE DISCRETA

La media aritmtica, o simplemente media, de un conjunto de N nmeros X1, X2, X3,.,Xn , se denota por

As por ejemplo, la media aritmtica de los nmeros 8, 3, 5, 12 y 10 es:

= (8+3+5+12+10)/5 ) = 38/5 = 7.6

Ahora bien, si los nmeros X1, X2, .., Xk ocurren k1, k2, .., k veces, respectivamente (o sea con frecuencia f1, f2, .., fk ), la media aritmtica es:

Donde N = es la frecuencia total o sea, el nmero total de casos.Por ejemplo, si 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencia 3, 2, 4, y 1 respectivamente, su media aritmtica es:

= [(3)(5) + (2)(8) + (4)(6) + (1)(2)] / [3 + 2 +4 +1]

= (15 + 16 + 24 + 2) / 10 = 5.7

Ejercicio:

Los presentes datos son una muestra de las edades que poseen 10 estudiantes del Colegio CENTEBAD:

X1: 24X6: 18

X2: 18X7: 22

X3: 16X8: 17

X4: 22X9: 22

X5: 19X10: 20

= (24+18+16+22+19+18+22+17+22+20)/10 = 198/10 = 19.8

La edad promedio de los estudiantes del Colegio CENTEBAD es de 19.8 aos.

4.2.2- MEDIA ARITMTICA PONDERADA

A veces asociamos con los nmeros X1, X2, ., Xk ciertos factores peso W1, W2, .., Wk, dependientes de la relevancia asignada a cada nmero. En tal caso,

Se llama la media aritmtica ponderada con peso w1, w2, ., wk.

Por ejemplo si el examen final de un curso cuenta 3 veces ms que una evaluacin parcial, y un estudiante tiene calificacin 85 en el examen final y 70 y 90 en los dos parciales, la calificacin media es:

= [(1)(10)+(1)(90)+(3)(85)]/(1+1+3)=415/5)=83

4.2.3- ANLISIS DE LA MEDIA ARITMTICA CON VARIABLE CONTINUA

Cuando los datos se presentan en una distribucin de frecuencias, todos los valores que caen dentro de un intervalo de clase dado se consideran iguales a la marca de clase, o punto medio, del intervalo. Las formulas antes enunciadas son vlidas para tales datos agrupados si interpretamos Xj como la marca de clase, nj como su correspondiente frecuencia de clase, A como cualquier marca de clase conjeturada y dj = Xj - A como la desviacin de Xj respecto de A.Si todos los intervalos de clase tienen idntica anchura c, las desviaciones dj = Xj A pueden expresarse

como cuj, donde uj puede ser 0, 1, 2, 3, ., se obtiene la formula:

Que es equivalente a la ecuacin X = A + c. Esto se conoce como mtodo de compilacin para calcular la media. Es un mtodo muy breve y debe usarse siempre para datos agrupados con intervalos de clase de anchuras iguales. Ntese que en mtodo de compilacin los valores de la variable u de acuerdo con X = A + cu.

Ejercicio.

El nivel de ingresos mensual en dlares de las familias de los estudiantes del curso de estadstica es:Xi:320200250380

180200300450

150200800200

350300110250

300350450300

a) Media Aritmtica de datos originales:

= (xi)/N = 6040/20 = 302

El ingreso promedio mensual de las familias de los estudiantes del curso de estadstica es de 302 dlares.

b) Media Aritmtica de datos agrupados

Lm. mx.: 800Lm. mn.: 110

320200250380

180200300450

150200800200

350300110250

300350450300

Lim, Mx.:800

Lim, Mn.:110Divisb.

r =690==>25

310

4m = 4

C = r/mC = 690/4172.5

myi'-1 -- yi'yiniYi.ni

1110282.5196.2591766.25

2282.5455368.75103687.5

3455627.5541.2500

4627.5800713.751713.75

TOTAL206167.5

==>6167.5/20 = 308.375

El ingreso promedio mensual de las familias de los estudiantes del curso de Estadstica clasificados en 4 grupos es de $ 308.375 dlares al mes.

Cabe mencionar que mientras mayor sea el nmero de intervalos el resultado de los datos agrupados se va acercarse al resultado de los datos originales.

En la variable continua no siempre la media aritmtica de datos originales coincide con la media aritmtica de datos agrupados, porque al trasladar los datos originales a la tabla de frecuencias se pierde alguna informacin de acuerdo a los intervalos que se hayan escogido.

4.2.4- PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICA

1) La media aritmtica es el centro de gravedad de los datos y lo expresamos con:

(Xi - ) = 0

(Xi-)=Zi

Zi.ni = 0

Por ejemplo en el ejercicio del ingreso de las familias los datos eran:

320200250380

180200300450

150200800200

350300110250

300350450300

Y la media aritmtica es 302, las desviaciones son entonces:

Xi(Xi )

32030218

180302-122

150302-152

35030248

300302-2

38030278

450302148

200302-102

250302-52

300302-2

200302-102

200302-102

200302-102

300302-2

35030248

250302-52

300302-2

800302498

110302-192

450302148

60400

La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmtica es nula, o cero.

2) La media aritmtica de los valores de una variable, no varan sino todas las frecuencias de su distribucin se multiplican o dividen por un mismo nmero.Esta propiedad sirve para calcular la media aritmtica con las frecuencias relativas simple o con porcentajes. El resultado es el mismo:En el ejemplo del ingreso de las familias en datos agrupados la media aritmtica es de 308.375 dlares.

Myi'-1 -- yi'yinihiyi.hi

1110282.5196.2590.4588.3125

2282.5455368.75100.50184.375

3455627.5541.2500.000

4627.5800713.7510.0535.6875

201308.375

PARA RECORDAR:

La nocin del promedio lleva implcita la idea de variacin, ya que no tiene sentido promediar un carcter invariable. Pero el nmero singular promedio- que a de sustituir al nmero de observaciones de la poblacin a de cumplir la condicin de ser representativo de dicho conjunto, para lo cual a de reflejar la tendencia de las observaciones. La media aritmtica es un estadgrafo de tendencia central que nos proporciona un promedio con respecto al total de los datos de una investigacin estadstica, su smbolo es x :

La media aritmtica, o simplemente media, de un conjunto de N nmeros X1, X2, X3,.,Xn , se denota por

Ahora bien, si los nmeros X1, X2, .., Xk ocurren f1, f2, .., fk veces, respectivamente (o sea con frecuencia f1, f2, .., fk ), la media aritmtica es:

La ecuacin de la media aritmtica ponderada es:

EVALUACIN DEL APRENDIZAJE:

Realice los siguientes ejercicios:

a- Calcular la media aritmtica de los ingresos mensuales de los ecuatorianos del rea artesanal de la provincia de Imbabura.

136, 98, 110, 142, 122, 117, 93, 90, 125, 129, 149, 132, 134, 140, 105

b- El examen final de grado de sexto curso vale 4 veces ms que un aporte y un examen trimestral vale 2 veces ms que un aporte, un estudiante obtiene la nota de 75 en el examen final, 68 en los exmenes trimestrales y 95 en los aportes. Cul es la calificacin media?

c- La siguiente tabla muestra la distribucin de los dimetros de los remaches salidos en una fbrica. Calcular el dimetro medio.

Dimetro (m.m)Yi-1 --------- YiFrecuenciasni

2472502

2502536

2532568

25625915

25926242

26226568

26526849

26827125

27127418

27427712

2772804

2802821

CAPITULO V

COMPETENCIA ESPECFICA

Domina la base conceptual y analtica sobre los estadgrafos de posicin; aplica y resuelve ejercicios.

ORIENTACIONES DE ESTUDIO

Por tratarse de una Unidad tcnica, se recomienda a los y las estudiantes que se familiaricen con los conceptos de los estadgrafos de posicin, sus usos y aplicaciones; adems deben llegar a conocer y dominar el manejo de los estadgrafos de posicin, el clculo de datos originales y datos agrupados. Al conocer estos elementos y conceptos podrn poner en prctica con ejercicios, ejemplos, y resolucin de problemas. Se utilizar la metodologa de enseanza aprendizaje de aprender haciendo.

Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos impartidos en clases.

5- ESTADGRAFOS DE POSICIN

5.1- LA MEDIANA

Si todos los valores de la variable se ordenan en sentido creciente o decreciente, la mediana es el valor que ocupa el lugar central, o sea, el que deja a un lado y al otro el mismo nmero de observaciones.

La mediana es un conjunto de nmeros ordenados en magnitud es o el valor central o la media de los dos valores centrales.

La mediana es un estadgrafo de tendencia central que nos marca una posicin tal que nos asegura que supera no ms del 50% de los datos de una investigacin estadstica y a la vez es superado por no ms del 50% de las observaciones.

Me es el smbolo de la mediana

5.1.1- CLCULO PARA DATOS ORIGINALES

Primer Caso: cuando el nmero de datos n es impar; por ejemplo, notas obtenidas por los estudiantes del aula 5 contabilidad.

6, 7, 8, 10, 10, 10, 10, 8, 7, 8, 6, 8

a- Ordenar los datos en forma ascendente1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, 116 7 7 8 8 8 8 10 10 10, 10

b- Ubicamos el nmero de orden que le corresponde a la mediana aplicando la formula:n + 1 2 (11+1) / 2 Me = 12/2 en n Me=6 en n entonces la mediana es 8; Me = 8

El 50% de los estudiantes del aula 5 obtendrn una nota de 6 a 8, en el primer quimestre y el 50% restante de estudiantes obtendrn una nota de 8 a 10 puntos.

Segundo Caso: Cuando el nmero de datos n es par

En el mismo ejemplo anterior:

8, 10, 10, 10, 8, 5, 8, 9, 5, 10, 8, 7, 5, 7, 10, 9

a- Ordenamos en forma ascendente

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165 5 5 7 7 8 8 8 8 9 9 10 10 10 10 10

b- Ubicamos mediante la frmula:n + 1 2 (16+1) / 2 Me = 17/2 en n Me=8,5 en n; tomamos los valores intercalados que son 8 y 8 y dividimos para 2 Me = 8 + 8 = 8 2El 50% de los estudiantes del aula 5 contabilidad obtendrn una nota de 5 a 8 en el primer quimestre, mientras que el 50% restante obtendrn notas de 8 a 10

5.1.2- CLCULO PARA DATOS AGRUPADOS

En este tipo de distribucin no puede observarse exactamente la mediana porque se desconocen las observaciones singulares de la variable. Pero una aproximacin se puede obtener mediante la siguiente frmula:

Donde:Me= MedianaYi-1= frontera inferior de la clase de la medianaC= Anchura del intervalo de clase de la medianan= nmero de datos, o frontera totalNj= Frecuencia simple acumulada Nj > n/2nj= Observaciones hasta NjNj-1 = Frecuencia simple acumulada anterior a Nj

Ejemplo de acuerdo al ejercicio anterior:

En base a las siguientes datos que corresponden a los salarios semanales de un grupo de trabajo medidas en dlares (sector industrial textil) de la ciudad de Quito. Calcular e interpretar la media aritmtica y comprobar las propiedades de la misma, si suponemos que existe un decreto ejecutivo por el cual se sube todos los salarios semanales en un dlar a nivel general, y adicionalmente por efectos de negociacin de contratos colectivos al sector industrial textil se duplican sus salarios semanales, con el objeto de aumentar la productividad para competir en el mercado andino, los datos que se obtuvieron son:

MYi'-1 -- yi'YiNiNiN'iHiZiZi.niUiUi.niYi.niYi.hiZ'iZ'i.ni

141072525800.313-9-225-2-501752.1875-12-300

21016132045550.250-3-60-1-202603.2500-6-120

31622191560350.1883450/2853.56250420

42228251070200.1259901102503.1250660

52834311080100.125151502203103.875012120

801-401280

Nj > 80/2Nj > 40

45 > 40

Me = 10 + 6x 40-25 20Me = 10 + 6x 15 20Me = 10 + 6x0,75Me = 10+4.5Me = 14,5

El 50% de los trabajadores del sector textil de quito tienen un salario por hora de 4 a 14.5 dlares y el 50% restante ganan de 14.5 a 34 dlares. = Ot K = 19-3 = 16

El salario promedio de los trabajadores del sector industrial textil de Quito es de 16 dlares.

Como una aplicacin de la mediana aparecen los cuartiles, deciles y los percentiles

Estos estadgrafos de orden dividen a los datos de una investigacin estadstica en tantas partes iguales de acuerdo al objetivo de percilavos.

5.2- LOS CUARTILES

Aquellos dividen a los datos de la investigacin en 4 partes iguales conteniendo cada parte el 25% de los datos.

Su frmula es:

Ejemplo: calcular el cuartil 3, Q3

Nj>3n/4Nj>3.80/4Nj>60

Q3 = 22 +6. 60 - 60 10

Q3 = 22 +6. 0 10Q3 = 22

El 75% de los trabajadores textiles de Quito, ganan de 4 a 22 dlares mientras que el 25% restante ganan de 22 a 34 dlares.

5.3- LOS DECILES

Son estadgrafos de orden que dividen a los datos de la investigacin estadstica en 10 partes iguales, las cuales contienen el 10% de los datos.

Su frmula es:

Ejemplo: clculo del decil 6, D6 Nj > 6n/10 Nj >6.80/10 Nj > 48 60 > 48

D6 = 16 + 6. 48-45 15D6 = 16 + 1,2D6 = 17.2

El 60% de los trabajadores textiles ganan de 4 a 17.2 dlares mensuales y el 40% restante ganan de 17.2 dlares a 34 dlares mensuales.

5.4- LOS PERCENTILES

Aqu los valores se dividen en 100 partes iguales, por lo que se los llama tambin Centiles y se denotan por P1, P2, P3, .., P99. El quinto decil y el cincuentavo percentil coinciden en la mediana.

El 25 y el 75 percentiles coinciden con el primer y tercer cuartil.Su formula es:

Calcular el percentil 35

Nj > (35n)/100Nj > (35.80)/100Nj > 2800/100Nj > 2845 > 28P35= 10+6x 28-25 20P35=10+6x3/20P35=10+0.9P35=10.9

El 35% de los trabajadores de la industria textil ganan entre 4 y 10.9 dlares mientras que el 65% ganan entre 10.9 y 34 dlares.

5.5- LA MODA

Es un estadgrafo de tendencia central o de posicin que nos indica el valor ms observado en una investigacin estadstica.

5.5.1- MODA POR OBSERVACIN

Ejemplo: Notas de los alumnos de cuarto contabilidad.9, 5, 7, 8, 8, 8, 7, 8, 8, 8Por simple observacin la moda es 8. La mayora de los estudiantes obtendrn una nota de 8 sobre 10 es estadstica en el primer Quimestre.

5.5.2- MODA BIMODAL

Ejemplo: Notas de los alumnos de cuarto contabilidad.7, 9, 5, 7, 8, 8, 8, 7, 8, 8, 8, 7, 7, 7La mayora de los estudiantes sacarn notas de 7 y 8 en estadstica.

5.5.3- MODA EN DATOS AGRUPADOS

No puede observarse con exactitud, por desconocerse los valores realmente observados de la variable. Con la siguiente formula podemos obtener un valor ms o menos aproximado.

Pero no deben ser utilizados cuando los intervalos tienen la misma amplitud. En este caso la lnea i del cuadro es aquella la mayor frecuencia; ni-1 y ni+1 son las frecuencias anteriores y posteriores Yi-1; el lmite inferior del intervalo correspondiente a la lnea i y C la amplitud que es igual a todos los intervalos.Ejemplo. El salario por hora de 160 obreros clasificados y tabulados son:

Y'i-1 YiniNi

4833

8121215

12164015

162047102

202432134

242813147

28359156

32364160

160

Como se puede apreciar la mayor frecuencia es 47, luego:

Que indica que la mayora de los trabajadores perciben un salario de 17.78 dlares

La moda es un estadgrafo de tendencia central o de posicin que nos indica el valor ms observado en una La frmula para calcular moda en datos agrupados es:

EVALUACIN DEL APRENDIZAJE:

1- Realice los siguientes ejercicios:

a- Calcule la mediana de:

16, 18, 17, 11, 18, 11, 10, 18, 17, 19, 11, 14, 13, 11, 17

b- Calcule la mediana de:

235, 239, 237, 233, 231, 239, 235, 237, 239, 240, 239, 236

c- De la siguiente tabla muestra una distribucin de frecuencias de las notas obtenidas en una prueba de matemticas, hallas los cuartiles de la distribucin e interpretar sus significados:

GradoYi-1 ---- YiNmero de estudiantes

30403

40506

506011

607021

708043

809032

901009

125

d- Hallar los deciles e interpretar cada una de ellos, en base a la siguiente tabla, que representa los nmeros de errores milimtricos en los tornillos de producidos por diferentes mquinas.

Errores milimtricosYi-1 ------ YiObservaciones

0.2070.2145

0.2140.2214

0.2210.22816

0.2280.23514

0.2350.24211

0.2420.2498

0.2490.2567

e- Encontrar la moda e interpretar, de las siguientes medidas de pantalones que se venden en un centro comercial.

34, 32, 28, 34, 36, 40, 38, 32, 34, 36, 34, 32, 38, 34, 32, 38, 28, 34, 32, 34

CAPITULO VI

COMPETENCIA ESPECFICA

Domina la base conceptual y analtica sobre otros estadgrafos de posicin; aplica y resuelve ejercicios.

ORIENTACIONES DE ESTUDIO

Por tratarse de una Unidad tcnica, se recomienda a los y las estudiantes que se familiaricen con los conceptos de otros estadgrafos de posicin, tales como la Media Armnica, la Media Geomtrica y la Media Cuadrtica. Al conocer estos conceptos podrn poner en prctica con ejercicios, ejemplos, y resolucin de problemas. Se utilizar la metodologa de enseanza aprendizaje de aprender haciendo.

Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos impartidos en clases.

6- OTROS ESTADGRAFOS DE POSICIN

6.1- LA MEDIA ARMNICA

La media armnica que la representamos con la H, de un conjunto de nmeros X1, X2, X3, .., Xn es el reciproco de la media Aritmtica de los recprocos de esos nmeros:

En la prctica es ms fcil recordar que:

Por ejemplo la media armnica de los nmeros 2, 4 y 8 es:

Otro ejemplo puede ser:

Durante 4 aos sucesivos, una familia compr el gas para su calefaccin a $0.80, $0.90, $1.05, $1.25 por cilindro respectivamente. Hallar el costo medio del gas en ese perodo?

Que al comparar con la media aritmtica en el supuesto caso que la familia gasta cada ao la misma cantidad de dinero en gas, digamos unos $ 1000 entonces:

Costo medio = Costo total = $ 4000 = 0.975 Cantidad total adquirida 1250+1111+925+800

6.2- MEDIA GEOMTRICA

Se define a la media geomtrica, de una distribucin de datos como la raz ensima del producto de los n valores de la distribucin.

La media geomtrica G de un conjunto N nmeros positivos X1, X2, X3, , Xn es la raz N-sima del producto de esos nmeros:

Esta se utiliza para datos originales, mientras que para datos agrupados podemos usar:

El clculo de la G se hace recurriendo al empleo de logaritmos y no es aplicable cuando la variable toma valores negativos.Hallar la media geomtrica de los nmeros 3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12.

Log G= 1/7 .Log 453,600 = 1/7 . (5.6567) = 0,8081 y G=6,43 (a la centsima). Alternativamente, puede usarse una calculadora.Otro mtodo podra ser:

Log G=1/7(log 3+log 5+log 6+log 6+log 7+log 10+log 12)Log G=1/7(0.4771+0.6990+0.7782+0.7782+0.8451+1.000+1.0792)Log G=0.8081G=6.43

Para datos agrupados su clculo se hara de la siguiente forma de acuerdo al ejercicio anterior

MYi'-1 -- yi'YiNiNiN'iHi

141072525800.313

21016132045550.250

31622191560350.188

42228251070200.125

52834311080100.125

801

G= 13.91579391835

Otra forma seria

Log G=1/80.(log1.341068619664e+24 + log1.900496377488e+22 + log1.518112702987e+19 + log9.536743164063e+13 + log8.196282869808e+14

Log G=1.143507988573

G=13.91579391835

6.3- MEDIA CUADRTICA

A veces la variable toma valores positivos y negativos como ocurre por ejemplo, en los errores de medida. En tal caso se puede estar interesado en obtener un promedio que no recoja los efectos del signo; en el caso de los errores por ejemplo, se puede desear un error medio prescindiendo del signo.

Este problema se resuelve, entre otros procedimientos, mediante la llamada media cuadrtica que la representa remos por C. Consiste en elevar al cuadrado todas las observaciones para que desaparezcan los signos negativos, luego obtener su media aritmtica y extraer finalmente la raz cuadrada y regresamos a la unidad de medida original.

La formula de la media cuadrtica para el caso de datos originales es:

Y la formula de la media cuadrtica para el caso de datos agrupados es:

Por ejemplo la media cuadrtica del conjunto 1, 3, 4, 5 y 7 es:

C=

O por ejemplo en el caso de nuestro ejercicio de datos agrupados tenemos:

mYi'-1 -- yi'YiniNiN'iHiYi2Yi2.ni

141072525800.313491225

21016132045550.251693380

31622191560350.1883615415

42228251070200.1256256250

52834311080100.1259619610

801216525880

PARA RECORDAR:

LA MEDIA ARMNICA es el conjunto de nmeros X1, X2, X3, .., Xn es el reciproco de la media Aritmtica de los recprocos de esos nmeros, su frmula es:

LA MEDIA GEOMTRICA Se define a la media geomtrica, de una distribucin de datos como la raz ensima del producto de los n valores de la distribucin. Sus formulas son:

Para datos originales

Para datos agrupados

MEDIA CUADRTICA Consiste en elevar al cuadrado todas las observaciones para que desaparezcan los signos negativos, luego obtener su media aritmtica y extraer finalmente la raz cuadrada y regresamos a la unidad de medida original.

Y la formula de la media cuadrtica para el caso de datos agrupados es:

O por ejemplo en el caso de nuestro ejercicio de datos agrupados tenemos:

EVALUACIN DEL APRENDIZAJE:

1- Calcular la media armnica de la velocidad alcanzada en un circuito de carreras por 3 automviles cuya velocidad respectiva es:V1 = 150 Km/h.V2 = 175 Km/h.V3 = 185 Km/h.

2- Calcular la media armnica de la variacin de potencia de 6 motoresP1 = 10 HPP2 = 15 HPP3 = 14 HPP4 = 11 HPP5 = 17 HPP6 = 21 HP

3- Hallar la media geomtrica ponderada de una distribucin de datos obtenida al anotar el nmero de veces que un dado ha encontrado una de las 6 posiciones posibles en 30 lanzamientos.

Valores PosiblesN Efectivos

123456456375

4- Los pesos de una muestra de paquetes de que se cargan en un avin de carga pesados en Kilos son 10, 16, 25, 18, 13, 21, 9, 22, 19, 12. Determine la media geomtrica, la mediana y la moda.

5- La siguiente tabla indica una muestra del nmero de pedidos de cajas de tabaco por los establecimientos comerciales de la ciudad de Quito. Calcule la media aritmtica, la moda y la media geomtrica

CajasPedidos

2-77-1212-1717-2222-27105953

6- De una nuestra de consumidores de tabaco se obtuvieron los siguientes datos de consumo diario por unidades. Calcule la Moda e interprete y la media cuadrtica.

CajasPedidos

5-1111-1717-2323-2917-2222-2715119846

7- Calcule la media cuadrtica de 5, 2, 6, 9, 7, 4CAPITULO VII

COMPETENCIA ESPECFICA

Domina la base conceptual y analtica sobre los estadgrafos de dispersin; aplica y resuelve ejercicios.

ORIENTACIONES DE ESTUDIO

Por tratarse de una Unidad tcnica, se recomienda a los y las estudiantes que se familiaricen con los conceptos de los estadgrafos de dispersin, sus usos y aplicaciones. Al conocer estos conceptos podrn poner en prctica con ejercicios, ejemplos, y resolucin de problemas. Se utilizar la metodologa de enseanza aprendizaje de aprender haciendo.

Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos impartidos en clases.

7- ESTADGRAFOS DE DISPERSIN.

7.1- LA DISPERSIN Y SU MEDIDA

Un promedio resume todos los valores observados en uno solo que los representa; su utilidad depende por tanto, de su representatividad del conjunto de observaciones.

Si los valores observados de la variable estn muy concentrados alrededor del promedio, este es muy representativo; pero si estos valores estn muy dispersos con relacin al promedio, ser muy poco representativo. En consecuencia, el significado de un promedio gana mucho si viene acompaado de una media de la concentracin o dispersin de las observaciones en torno a l.

Las palabras concentracin y dispersin se refieren a los aspectos contrarios del mismo fenmeno.

El problema lo plantearemos con el siguiente ejemplo: supongamos dos familias de dos personas cada una; el consumo diario de caloras de las personas de la primera familia es de 1500 y 4500 y el de las personas de la segunda familia es de 2900 y 3100. El consumo medio de caloras de ambas familias diariamente es 3000, cabe concluir entonces que las dos tienen el mismo nivel calrico. Esto es verdad, adems, en la segunda familia el promedio en este caso, es ms representativo que en la primera. Pero esta ltima conclusin puede sacarse porque se dispone de las observaciones primarias porque stas son pocas y puede deducirse con facilidad la caracterstica de dispersin.

Otro ejemplo puede ser el siguiente chiste: Si yo me como dos pollos y tu no te comes ninguno, la estadstica demuestra que cada uno hemos comido un pollo. Aqu se ha prescindido de la idea de dispersin y se razona exclusivamente con el promedio, porque estos solamente dan un valor central de la variable y prescinden de la magnitud de su variabilidad o dispersin.

Puede observase que se ha hablado de la dispersin como algo ligado a un promedio, como una medida para conocer su representatividad. Sin embargo, la dispersin existe con independencia de los promedios.

Los caracteres atributos o variables- no suelen permanecer constantes, estables al pasar de un elemento de poblacin a otro.

No todas las personas tienen la misma estatura, ni los mismos ingresos, ni el mismo lugar de nacimiento, etc. Si no existiera esta variabilidad, la estadstica se reducira a muy poca cosa, esta variabilidad es su esencia ya que esta tcnica persigue conocer las regularidades existentes en dicha variabilidad.

La existencia de la variabilidad en los valores de una variable es la que origina las distribuciones de frecuencias, cuyas representaciones grficas suelen expresar ms perceptiblemente que los nmeros, la concentracin o dispersin de las observaciones.

Un grfico bien ledo proporciona una idea bastante completa de la dispersin, pero para ser bien ledo no hay olvidar lo dicho a propsito de las escalas, porque una misma distribucin puede tener una representacin grfica muy concentrada o muy dispersa, aparentemente, si se utilizan escalas diferentes.

Un ejemplo lo tenemos en los siguientes grficos:

OBREROS CLASIFICADOS POR SUS SALARIOS

Paga por horaNo. de obreros

VariableFrecuencia

4 - 83

8 1212

12 - 1640

16 - 2047

20 - 2432

24 - 2813

28 - 329

32 - 364

TOTAL160

En este primer grfico se tiene la sensacin de que los datos estn muy dispersos mientras que en el siguiente que los datos estn muy concentrados; no obstante como se puede observar comparando las escalas, corresponden a una misma distribucin.

Cundo se quiere saber la dispersin de una variable, lo que se intenta es obtener una medida y un nmero, que indique el mayor o menor grado de dispersin.

Las medidas ms conocidas son la desviacin estndar y recorrido que vienen expresadas en la misma unidad que la variable; tambin es frecuente el uso del coeficiente de variacin, que viene expresado como porcentaje. La ms usada es la primera medida.

7.2- DESVIACIN MEDIA

La desviacin o desviacin promedio, de un conjunto de n nmeros X1, X2, ., Xn es abreviada por MD y se define como:

Donde o es la media aritmtica de los nmeros y Xj - ex el valor absoluto de la desviacin de Xj respecto de. ( El valor absoluto de un nmero es el nmero sin signo y se denota con dos barras verticales; as -4 = 4, +3 =3, 6 = 6 y -0.56 = 0.56

Por ejemplo; hallar la desviacin media del conjunto 2, 3, 6, 8, 11Primero extremos la media aritmtica:

=(2+3+6+8+11)/5 = 6

y posterior mente la desviacin media:

DM = 2-6 + 3-6 + 6-6 + 8-6 + 11-6 = -4 + -3 + 0 + 2 + 5 5 5

DM = (4+3+0+2+5)/5 = 2.8

7.3- DESVIACIN ESTNDAR

La medida numrica de la dispersin la podemos obtener a partir de las diferencias de cada valor de la variable con respecto a su media aritmtica o con respecto a otro promedio.Simblicamente estas diferencias se llaman desviaciones y se expresan as:

xi -

Como hay n observaciones, habr n desviaciones como la anterior. Pues bien si los valores de la variable estn muy concentrados alrededor de , entonces las desviaciones xi - sern pequeas, y si estn muy dispersos, las desviaciones sern grandes. Luego, un promedio de tales desviaciones da un solo nmero que es expresivo del grado de concentracin o dispersin de las observaciones; si hay concentracin, el promedio ser un nmero pequeo, y si hay dispersin, el promedio ser un nmero grande.

Hay que elegir un promedio para aplicarlo a las n desviaciones; este podra ser la media aritmtica, pero en este caso no es aplicable.

Para obtener la media aritmtica de n nmeros ahora son las n desviaciones Xi - -, hay que sumarlos y dividirlos por n, pero la suma de las desviaciones con respecto a la media aritmtica, como ya dijimos, es siempre igual a cero, porque se compensan las desviaciones positivas con las negativas.

Por tanto la desviacin media de todas las desviaciones Xi- no puede ser una medida de la dispersin porque siempre es igual a cero.

El promedio ideal, sin duda, es la media cuadrtica, que hay que aplicar ahora, no a los valores X, sino a las desviaciones Xi -. Esta media cuadrtica se denomina desviacin estndar y es representada por la letra S. Su frmula es:

Hay que recordar que la raz cuadrada de un nmero es otro nmero que puede tomarse como signo positivo o negativo, en este caso se usa el signo positivo.S vara desde cero en adelante.

Cuando S= 0; todos los valores de Xi son iguales.

A medida que S es mayor, la dispersin tambin es mayor.

La desviacin estndar es una medida de dispersin de los valores de la variable con respecto a la media aritmtica.

Para datos originales podemos aplicar directamente la formula anterior, pero es mejor utilizar la siguiente frmula:

Por ejemplo:La edad de 5 personas que conforman una familia son:8, 26, 23, 19, 44. aos

XiXi2

864

19361

23529

26676

441936

1203566

La desviacin estndar viene dada por la misma unidad de medida que la variable.Para datos agrupados se utiliza otra formula donde aparecen los valores distintos de la variable. Por tanto cada Xi y cada X12, se multiplican por las frecuencias correspondientes, que es la que indica el nmero de veces que se repite ese valor distinto:

Por ejemplo: Hallar la desviacin estndar de la muestra de produccin de zapatos de 50 personas que trabajan en una pequea fbrica artesanal, cuyas frecuencias se expresan en el siguiente cuadro:

XiniXi.niXi2Xi2 . ni

11616116

22040480

3927981

45201680

Total5010330257

Pares de zapatos

Para datos agrupados y en intervalos, como para la media aritmtica, no pude obtenerse exactamente la desviacin estndar por no conocerse los valores de la variable realmente observados; una aproximacin se obtiene transformando cada intervalo por una marca de clase correspondiente y se calcula como en el caso anterior. Por ejemplo, el salario por hora de 160 obreros se clasifica de la siguiente forma:

mYi-1Yi'niYiYi.niYi2Yi2.ni

148361836108

281212101201001200

3121640145601967840

41620471884632415228

52024322270448415488

6242813263386768788

728329302709008100

8323643413611564624

1602992387261376

dlares

7.3.1- PROPIEDADES DE LA DESVIACIN ESTNDAR

Si la variable se distribuye normalmente, entonces el intervalo construido sumado y restado a la media aritmtica 1.96 veces a la desviacin estndar contiene el 95% de las observaciones. Simblicamente este intervalo se expresa as:

- 1.96S; + 1.96S

As mismo, si el intervalo se construye sumando y restando a la media aritmtica 2.58 veces, la desviacin estndar dentro de dicho intervalo est el 99% de las observaciones. Simblicamente el intervalo ser:

- 2.58S; + 2.59S

Esto se aplica para las distribuciones normales, pero tambin sirve para las campaniformes simtricas y moderadamente asimtricas, en este caso es mejor aplicar a los intervalos, los enteros convirtiendo 1.96 en 2 y 2.58 en 3, as tenemos:

2S

3S

Cualquiera de los intervalos, es a su vez, otra medida de dispersin, dada ahora, por su intervalo y no por su valor singular. Si ese intervalo es muy pequeo, las observaciones estn muy concentradas; si es muy grande es que estn muy dispersas.La fundamental utilidad de estos intervalos radica en que se aplican a las estimaciones estadsticas hechas por muestreo.

7.4- LA VARIANZA

La varianza es el conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviacin tpica o estndar y viene dada en consecuencia por S2 cuando se habla de poblaciones y de 2 cuando se trata de muestras, en las ecuaciones antes indicadas, por tanto es una medida de dispersin. Por no tener la raz cuadrada facilita las deducciones y las operaciones algebraicas, pero en cambio la unidad en que viene expresada es el cuadrado de la unidad de la variable.La varianza es siempre positiva y mayor o igual a la desviacin tpica.

mYi-1Yi'niYiYi.niYi2Yi2.ni

148361836108

281212101201001200

3121640145601967840

41620471884632415228

52024322270448415488

6242813263386768788

728329302709008100

8323643413611564624

1602992387261376

7.5- COEFICIENTE DE VARIACION

Frecuentemente, se presenta el problema de comparar las dispersiones de dos o ms distribuciones. Por ejemplo, si se desea saber si la variabilidad de la temperatura de un lugar es mayor o menor que de otro; si los salarios varan ms en un grupo de obreros que en otro, etc.

En todos estos casos de comparacin de dispersiones, se puede efectuar utilizando la desviacin estndar. Si las variables comparadas tienen sus medias aritmticas iguales o aproximadamente similares y si dichas variables vienen expresadas en la misma unidad de medida. Si estas circunstancias no ocurren, que suele ser lo habitual la comparacin debe hacerse mediante el coeficiente de variacin cuya frmula es:

V = (S/).100

Que no es sino la desviacin estndar expresada como porcentaje de la media aritmtica. V no se expresa en unidades de la variable.Ejemplo: de los siguientes cuadros

a- Edad de cinco personas

Aos

826231944

b- familias distribuidas por sus personas activas

Personas activasVariableNo. de familiasFrecuencia

1234Total16209550

c- Obreros clasificados por su salario

Paga por HoraVariableNo. de ObrerosFrecuencia

4 88 1212 - 1616 2020 2424 2828 3232 363124047321394

Total160

Cuyos resultados son:

Cuadro

SUnidad

a2411.71Aos

b2.060.95Personas

c18.705.83Dlares

Tomando la desviacin estndar, para comparar la dispersin de las tres distribuciones, no se llega a ninguna conclusin correcta.

Lo que al calcular el coeficiente de dispersin se tiene:

Va= (11.71/24)x100 = 48.79Vb= (0.95/2.06)x100 = 46.17Vc= (5.83/18.70)x100 = 31.18

Puede decirse entonces, que la distribucin del cuadro c tiene la menor dispersin porque su coeficiente de variacin es menor.

Este coeficiente de variacin depende de S y de.

Si = 0; el coeficiente de variacin es infinito

V no tiene sentido cuando = 0 o aproximado a cero

PARA RECORDAR:

Si los valores observados de la variable estn muy concentrados alrededor del promedio, este es muy representativo; pero si estos valores estn muy dispersos con relacin al promedio, ser muy poco representativo. La dispersin existe con independencia de los promedios. La existencia de la variabilidad en los valores de una variable es la que origina las distribuciones de frecuencias, cuyas representaciones grficas suelen expresar ms perceptiblemente que los nmeros, la concentracin o dispersin de las observaciones.

La frmula para la desviacin media es:

DESVIACIN ESTANDAR

La medida numrica de la dispersin la podemos obtener a partir de las diferencias de cada valor de la variable con respecto a su media aritmtica o con respecto a otro promedio. La desviacin media de todas las desviaciones Xi- no puede ser una medida de la dispersin porque siempre es igual a cero.

Sus formulas son: y

Cuando S= 0; todos los valores de Xi son iguales.A medida que S es mayor, la dispersin tambin es mayor.

La desviacin estndar es una medida de dispersin de los valores de la variable con respecto a la media aritmtica.

La desviacin estndar viene dada por la misma unidad de medida que la variable.

LA VARIANZA es el conjunto de datos que se define como el cuadrado de la desviacin tpica, sus formulas son:

COEFICIENTE DE VARIACION

Frecuentemente, se presenta el problema de comparar las dispersiones de dos o ms distribuciones. Si las variables comparadas tienen sus medias aritmticas iguales o aproximadamente similares y si dichas variables vienen expresadas en la misma unidad de medida. V no se expresa en unidades de la variable.

Este coeficiente de variacin depende de S y de.

Su formula es:

V = (S/).100

EVALUACIN DEL APRENDIZAJE:

1- Hallar la desviacin media de 4, 6, 9, 3, 7. 16, 22, 5, 11, 17, 14

2- La siguiente tabla nos indica las medidas de las longitudes de los cordones de zapatos arrojadas por una muestra de 70 pares. Hallar la desviacin media.

Longitud en centmetrosNo de observaciones

20-2323-2626-2929-3232-3535-3838-4141-4412961115764

3- Hallar la desviacin media de los errores en milmetros arrojados en las dimensiones de clavos producidos por una mquina. La muestra corresponde a 30 observaciones.

n: 1.21.51.61.91.5

1.31.71.451.51.25

0.90.921.81.371.21

1.110.560.931.271.76

1.231.421.290.920.17

1.961.730.771.820.64

4- Determinar la variacin estndar de los tabacos consumidos por unidades en un da por 8 fumadores: 16, 14, 15, 5, 23, 9, 11, 20

5- El siguiente cuadro indica el nivel de salarios mensuales que perciben 40 trabajadores de la Constructora Andrade y Prez Ca. Determinar la media aritmtica y la desviacin estndar.

Sueldos en DlaresN de trabajadores

197-210210-223223-236236-249249-262262-275275-288288-301161219223135108

6- De una muestra de 30 observaciones sobre el consumo de energa elctrica en Kw/h., por las plantas industriales dedicadas a la produccin de muebles se obtuvieron los siguientes datos:

81.366.598.422.539.251.525.372.587.851.721.678.937.564.876.1

21.626.562.967.436.849.227.761.791.842.157.644.254.129.753.8

Hallar la desviacin estndar

7- Determinar la varianza del consumo de gasolina por litros diarios de 8 camiones de transporte de una compaa: 11, 18, 19, 13, 15, 29, 21, 27

8- De una muestra de 40 observaciones sobre el desgaste de brocas de perforacin en milmetros por una planta de perforacin de pozos petroleros se obtuvieron los siguientes datos:

71.567.578.447.529.231.671.957.564.271.1

46.548.772.646.265.244.158.142.961.653.8

61.636.542.967.436.857.642.254.129.753.8

51.525.378.587.851.649.237.751.791.852.1

Hallar la varianza

9- La primera tabla indica el consumo de carne en libras por 10 familias compuestas de 5 miembros y la segunda tabla indica el nmero de personas que trabajan en una muestra de 15 familias

Tabla 1 Tabla 21.51.8222

23.5143

11.4432

2.52.2514

2.83123

Determinar los coeficientes de variacin y realizar la comparacin entre ellos.

CAPITULO VIII

COMPETENCIA ESPECFICA

Domina la base conceptual y analtica sobre el anlisis de variables tipo uno; aplica y resuelve ejercicios.

ORIENTACIONES DE ESTUDIO

Por tratarse de una Unidad tcnica, se recomienda a los y las estudiantes que se familiaricen con los conceptos y elementos del anlisis de Variables tipo uno, sus usos y aplicaciones. Al conocer estos elementos y conceptos podrn poner en prctica con ejercicios, ejemplos, y resolucin de problemas. Se utilizar la metodologa de enseanza aprendizaje de aprender haciendo.

Es importante desarrollar la lectura adicional para completar los conocimientos impartidos en clases

8- ANLISIS DE VARIABLES TIPO UNO

8.1- LA COVARIACIN

Muchos de los fenmenos o problemas a investigar presentan dos y ms variables las cuales precisan ser determinadas para ver cmo influyen entre s. Para comenzar el estudio nos referiremos a 2 variables X y Y.

Muchas variables se mueven con sincronizacin o variacin conjunta ms o menos intensa, a esta forma de comportarse la variable se la llama covariacin.

La covariacin puede presentarse de las siguientes formas:

a- Dependencia causal o unilateral, que es cuando una variable X influye en otra variable Y, pero no influye Y en X.

Un ejemplo puede ser el que la altitud influye en el rendimiento de los jugadores de ftbol; pero el rendimiento de los jugadores no influye en la altitud.

En este tipo de dependencia la variable X se denomina independiente, explicativa o variable causa y Y se denomina variable dependiente, explicada o variable efecto.

En el ejemplo anterior la altitud seria la variable independiente y el rendimiento de los jugadores la variable dependiente.

b- Interdependencia, donde la influencia de X y Y es reciproca y se producen en las dos direcciones. Esta relacin se la conoce como bilateral o interdependencia.

Un ejemplo es la demanda de un bien en el mercado y el precio del mismo en el mercado; si el precio es menor o mayor la demanda sube o baja y si la demanda es baja se reducen los precios y si la demanda sube se incrementan los precios.

c- Dependencia indirecta, donde 2 variables X y Y pueden mostrar una covariacin por medio de una tercera variable Z que influye en ellas. Si Z es la tercera variable, esta influye aumentando o reduciendo a X y Y, variando X y Y en el mismo sentido pero no hay dependencia o interdependencia entre X y Y.

Por ejemplo en el siguiente cuadro se presenta la tasa de natalidad y el consumo de protenas animales, la dependencia es indirecta con la tercera variable que es el nivel de vida, medible por el nivel del ingreso por habitante.

NATALIDAD Y CONSUMO DE PROTENAS

PasesTasa de natalidadConsumo diario de protenas

EcuadorArgentinaBoliviaEE.UU.Cuba30.920.334.417.017.453.6105.757.561.477.4

d- Concordancia, que indica que si X y Y son variables independientes, pueda que en sus variaciones haya alguna concordancia, As por ejemplo en la eleccin de Mis Ecuador s