modulo estadistica descriptiva 19 mayo 2014

7/26/2019 Modulo Estadistica Descriptiva 19 Mayo 2014

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n5mero de estudiante en un curso de economa, la cantidad de *amilias quetienen acceso directo a internet, la cantidad de microemresa en una regi!n,etc%

Las $ariales C+ALITATI4AS son aquellas que reresentan, una roiedad, unatriuto%

Las $ariales cualitati$as nominales resentan modalidades no numricas y nose las uede ordenar, como or e)emlos( el color del caello de una ersona,el color de autom!$il que re-ere una mu)er, el estado ci$il de una ersona,etc,%

Las $ariales cualitati$as ordinales son aquellas que adem#s de reresentaruna roiedad, las odemos ordenar% Es decir odemos determinar cu#l $a derimero, segundo, tercero,7%, como or e)emlo( El ni$el educati$o de una

ersona, . sin estudio, rimarios, secundarios, tecn!logo, regrado ouni$ersitarios, esecialista, master, Doctor, &D0% Otra $ariale ordinal, uedeser la areciaci!n de cierta marca de comutadores or un usuario( mala,regular, uena, e6celente% El remio que adquiere un deortista en losolmicos( 'ronce, lata, oro%


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SUMATORIA PRODUCTORIA.ocional0

SUMATORIA ( ) %

En las *!rmulas que utili"amos ara otener $arios resultados en estadstica

usamos las letras griegas% El smolo, , el cual se lee 8sumatoria9 se

utili"a ara simli-car una suma de trminos% Esta letra griega 8sigma 8 seacoma/a con un $alor inicial de la $ariale y un lmite suerior 3asta dondetoma el $alor la $ariale, este $alor $a camiando de uno en uno% El smolo,

, signi-ca que los trminos que se otienen al remla"ar el $alor de la

$ariale se suman del rimero 3asta el 5ltimo, en el caso de que la sumatermine%

En general la sumatoria, se simoli"a y de-ne, as(

i=1

n

x i=x1+x2+x3++xn

En algunos casos el lmite suerior de la sumatoria es in-nito, , y se

otiene una serie, as(


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i=1

x i=x1+x2+x3++xn+

E)ercicio%

Desarrollar y simli-car las siguientes sumatorias(

1.i=1

4

2i

2.i=3

5i+1

i2

3.x=0

1

x !

Soluci!n%

1.i=1

4

2i=21+22+23+24=2+4+8+16=30

2.

i=3

5i+1

i2 =

3+1

32 +

4+1

42 +

5+1

52 =

4

9+

5

16+

6

25=

3589

3600

3.x=0

1

x !=

1

0 !+ 1

1 !+1

2 !+1

3!++

1

n!+=e=2,718281828.


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1.i=1

4

2i=2

12

22

32

4=24816=1024

2.i=3

5i+1

i2 =

3+1

32 4+1

42 5+1

52

=

4

95

16 6

25 =

1

30

SEGUNDA UNIDAD

DIST2I'+CIONES DE F2EC+ENCIAS

Dist&i'(ciones de )&ec(encias pa&a *a&ia'le c(antitati*a disc&eta +*a&ia'les c(alitati*as

Si tenemos una $ariale cuantitati$a discreta o una $ariale cualitati$a, la

odemos resumir en una tala que recie el nomre de distriuciones de*recuencias% &ara ellos re$isemos las siguientes de-niciones(

Frecuencias asolutas% fi

Las *recuencias asolutas es el n5mero de $eces que se reite un dato% Las

simoli"aremos con la letra 8e*e9 min5scula( fi

La suma de las *recuencias asolutas es igual al n5mero de datos . n 0%

n f1 , f2 , f3 , -- , fm

fi


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Oser$e que 3emos tomado un sundice m , deido a que los $alores que

toma la $ariale, or lo general son menores que el n5mero de datos . n 0

&ara determinar las *recuencias asolutas se utili"a el conteo o recuento% Se

escrien los $alores ordenados de la $ariale sin reetirlos% Luego se 3ace unamarca *rente a cada $alor tantas $eces el dato se encuentre en la lista dedatos, se recomienda 3acer gruos de cinco marcas% &ara e6licarlo m#sclaramente, consideremos los siguientes datos los cuales odran corresonderal n5mero de 3i)os de :; *amilia oser$adas( , ?,


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Oser$e que la 5ltima *recuencia asoluta acumulada es igual al n5mero dedatos%

Frecuencias relati$as% hi

Las *recuencias relati$as se calculan di$idiendo cada *recuencia asoluta . fi

0, entre el n5mero de datos . n 0% eneralmente se las e6resa en orcenta)e

ara su *#cil interretaci!n% Se denotan y de-nen as(

hi fi

n

fi

n100

La suma de las *recuencias relati$as es igual a : o al :??%

h1+h2+h3++hm h i : @ :??%

Las Frecuencias 2elati$as Acumuladas% Hi

Las *recuencias relati$as acumuladas se calculan di$idiendo cada *recuencia

asoluta acumulada . Fi 0, entre el n5mero de datos . n 0% eneralmente se

las e6resa en orcenta)e ara su *#cil interretaci!n% Se denotan y de-nenas(

Hi Fi

n

Fi

n100

Otra *orma de calcular las *recuencias relati$as acumuladas es mediante lassumas sucesi$as de las *recuencias relati$as%


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H1 h1

H2 h2+h1

H3 h3+h2+h1

-------------

Hm hm++h3+h2+h1 $ $##.

Oser$e que la 5ltima *recuencia relati$a es el :?? o uno%

Con cada $alor calculado rocedemos a construir la distriuci!n de *recuencias,la cual es una tala que contiene( la $ariale de estudio, las *recuenciasasolutas, las *recuencias relati$as, las *recuencias asolutas acumuladas y*recuencias relati$as acumuladas% La *orma general de una distriuci!n de*recuencias es la siguiente%

x i fi Fi hi Hi

x1 f1 F1h1=

f1

n

H1

x2 f2 F2h2=

f2

n

H2

x3 f3 F3h3=

f3

n

H3

% % % % %% % % % %

xm fm Fm=nhm=

fm

n

Hm=100=1

TOTAL n $/$##.

donde,

xi : 4ariale de estudio


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fi : Frecuencias asolutas%

Fi : Frecuencias asolutas acumuladas%

hi : Frecuencias relati$as%

Hi : Frecuencias relati$as acumuladas%

E)emlo(

Las esquera m#s grande del &uerto de Tumaco, tiene en su n!mina a >?emleados% &or leyes del goierno toda emresa dee dar un susidio deeducaci!n a cada 3i)o de los traa)adores% El gerente ara 3acer a)ustes en el

resuuesto de la emresa determina el n5mero de 3i)os de los traa)adoresque estn estudiando y otiene los siguientes resultados(


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? G G := :=: H :=


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Nota( Los inter$alos que se *orman se consideran semiJaiertos or derec3a, es

decir tienen la *orma( K a , b 0, este inter$alo contiene todos los $alores

comrendidos entre a y b , incluyendo a a y e6cluyendo a b %

Algunos autores de-nen de manera di*erente los inter$alos, or e)emlo, alconsiderarlo cerrado, es decir de la *orma, Ka, al siguiente inter$alo se deeiniciar or lo menos : milsima m#s grande que %

Amlitud del inter$alo% . c 0% Es la distancia que 3ay entre el lmite suerior y

el lmite in*erior de cada inter$alo% No necesariamente todos los inter$alosdeen tener la misma amlitud% Se aconse)a usar la siguiente *!rmula

c rango

nmerodetervao

R

m , .La aro6imaci!n se la 3ace

or e6ceso% Se uede usar decimales0%

Construcci!n de los inter$alos

El lmite in*erior . "inf1 0, del rimer inter$alo es el $alor mnimo de los datos,

y el lmite suerior del rimer inter$alo . "1 0, se otiene sumando al $alor

mnimo la amlitud% Este lmite suerior ser# el lmite in*erior del segundointer$alo, de aqu en adelante el roceso se reite 3asta *ormar el 5ltimointer$alo%

Suongamos que deseamos traa)ar con =inter$alos de amlitud >y que el$alor mnimo de los datos es de


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&ara e6licarlo m#s claramente, consideremos los inter$alos anteriores y lossiguientes datos( ?, BB, B:, >:,


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Construir una distriuci!n de *recuencias%

Soluci!n(

La $ariale de inters es el eso de los emleados, la cual es una $arialecuantitati$a continua, or lo tanto calculemos(

2ango%

En la serie de datos odemos oser$ar que el eso mnimo es >=Pg% y el esom#6imo es de :?< Pg%, entonces

Rango @ R Vmximo Vmnimo :?= =;

N5mero de inter$alos%

Alicando la regla de Sturges, tenemos

m 1+3,3log (n) 1+3,3log (40) 6!"76899- 7

La amlitud de cada inter$alo es

c rango

nmerodeintervao

R

m

57

7

7!$%"78- ,= y su lmite suerior se otienesum#ndole la amlitud de ,=, >G, =, ==, =;, =H, G?, G:, G, H;, :?=B,< G:,> IIII I / 6G:,> GH,G IIII II / 8GH,G ;;, IIII IIII I / $$;;, G IIII / %


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G H>,< IIII II / 8H>,< :? II / "

Con las de-niciones y *!rmulas corresondientes construimos la siguientedistriuci!n de *recuencias

Peso;?54= Ma&cas de clasexi

0 e3pleadosfi Fi

hi Hi"inf . " .

>= =B,< >H,: B B ;,= ;,==B,< G:,> =;,B G H := ?GH,G ;;, ;B,; :: ,< H?,: ; B :;,= H=H>,< :? H,B < >? = :??

TOTAL %# :??

El an#lisis de los resultados en la tala se 3ace tal como se indican ara eltercer rengl!n, as(

;de los emleados de la esquera, equi$alentes al :;,=tienen esos entrelos G:,> Pg% y GH,G Pg% &odramos decir que el eso romedio de estos sietetraa)adores es aro6imadamente de G=,= Pg%

:Gde los emleados de la esquera, equi$alentes al >?tienen esos entrelos >= Pg% y GH,G Pg%

Estos resultados los odramos oser$ar gr#-camente en un ISTO2A1A, oen un &OLIONO DE F2EC+ENCIAS, los cuales se de-nen en la sesi!n der#-cos Estadsticos%


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Histograma

45 55 5 !5 "5 #5 $ %5

peso

%

5

$%

$5

&%

&5

'%

p

o

rce

n

ta

(e

Pogono de )recuencias para PE*+

45 55 5 !5 "5 #5 $%5

peso

%

5

$%

$5

&%

&5

'%

p

o

rce

n

ta

(e

,E-CE- /01DD1EDIDAS DE TENDENCIA CENT2AL 1EDIDAS DE &OSICION

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son $alores que en una serie ordenada dedatos 8tienden9 a uicarse en el centro% Tamin, se las conoce con el nomrede romedios% Entre ellas tenemos(

La media aritmtica o romedio aritmtico%La media aritmtica onderada%La media geomtrica%La mediana%La moda4

Media A&it3@tica o P&o3edio A&it3@tico4

Es el cociente entre la suma de los datos y el n5mero de datos. n 0% +na

$enta)a de este romedio es que considera la in*ormaci!n de todos los datos, yuna des$enta)a es que es muy sensile a $alores e6tremos%

x xin

x1+x2+x3++xn

n ! ara datos

NO agruados


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Se oser$a que la $ariale de inters es el recio de los roductos, or tanto, elrecio romedio se calcula as(

x (xifi )

n

x1f1+x2f2++xmfm

n

20.0004+12.00012+9.0009+17.00015

40

560.000

40 :>%???

Otra *orma de calcularla es desarrollando las oeraciones en una tala, as(

P&od(cto P&ecio Cantidadx ifix i fi

+S'


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el asirante que otenga el m#s alto unta)e ser# el seleccionado, si seresentaron 2oerto, Luis, os, Ana y 2osa y otu$ieron los unta)es que semuestran en la siguiente tala% uin *ue el seleccionadoR%

Aspi&ante Conoci3ientos Bo2a de *ida Ent&e*ista2oerto G ;< ?Luis ;= G> ;

os G; ;: ;Ana ;< GH ;B2osa ;B G=

Soluci!n(

Como cada ruea tiene di*erente imortancia 8onderaci!n o eso9, noodemos alicar la media aritmtica o romedio aritmtico ara calcular elunta)e de cada asirante% Aqu deemos utili"ar la media aritmtica

onderada x# %

&ara calcular el unta)e romedio onderado que otu$o 2oerto deemoscalcularlo as(

x# (xi$ i)

$i

x1$1+x2$2++xm$m

$1+$2+$3++$ m

680,70+720,20+800,10

0.70+0,20+0,10

70

1 ;? untos%

En la tala se muestran los unta)es romedios onderados . x# 0, ara los

dem#s asirantes%

No3'&easpi&ante

Conoci3ientos;8#.=

Bo2a de *ida;"#.=

Ent&e*ista;$#.= x# x

2oerto G ;< ? ;? ;B,BLuis ;= G> ; ;B,: ;


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&or lo tanto, Luis es el seleccionado ara el cargo director del #rea contale enla alcalda de &asto, con un unta)e romedio de ;B,:untos%

Oser$emos que calculado la media aritmtica ; x =, 2osa sera la

seleccionada con un unta)e de ;=,B untos, cometiendo el error de darle unaonderaci!n de BB,B a la entre$ista y a las otras dos rueasU camiando aslas reglas de selecci!n%

Media Geo3@t&ica4

Se la utili"a cuando los datos crecen en rogresi!n geomtrica, es decir, los

datos aumentan r#idamente%

Las *!rmulas de c#lculo son las siguientes(

%g n

(x1x2x3xn ) n

(xi ) ! ara

datos NO agruados

%g n

(x1f1x2

f2x3f3xm

fm) n

(xifi ) ! ara datos

agruados

Los roductos dentro de la ra" suelen ser muy grandes, una *orma de traa)arcon $alores eque/os es utili"ando los logaritmos en ase :?, as(

%g antiog ( log x in ) ! ara datos NO agruados

%g antiog ( (filogx i)n ) ! ara datos agruados

E)emlo(


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Calcular la media geomtrica de los siguientes datos(


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1ediana ara datos No agruados(

Si el n5mero de datos es imar, la mediana es el $alor que se encuentra en elcentro de la serie ordenada%

Si el n5mero de datos es ar, el $alor de la mediana se encuentra

romediando los dos $alores centrales%

E)emlo(

En internet ulican los recios de cinco lanes tursticos( B=, B;, >H?, >=:?, >=B?, >G??, >;??, G???4

El lugar de la mediana es "%e

n+1

2 =

6+1

2 B,=% Esto indica

que la mediana se encuentra entre el tercer dato y el cuarto% Es decir, la

mediana es4530+4600

2

9130

2 >=G=% Esto signi-ca que el

=? de los instrumentos $ulcanol!gicos esa menos de >=G= gramos y el otro=? esa m#s de >=G= gramos%


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1ediana ara datos agruados(.$ariale cuantitati$a discreta0

Se calcula el lugar de la mediana, y 3aciendo lectura en las *recuencias

asolutas acumuladasFi

, se selecciona la inmediatamente mayor o igual allugar de la mediana y se determina donde se encuentra la mediana% aciendolectura en la columna de la $ariale y la -la donde se encuentra la mediana seencuentra el $alor de la mediana%

E)emlo(

? *amilias $ia)aron al uerto de Tumaco or una semana% El organi"ador y guaregunto cu#ntas ersonas or *amilia est#n de acuerdo que la dieta araesa semana sea a ase de mariscosR% Los resultados se resumen en lasiguiente tala%

x i fi

? :?: < B?B :

donde, x i : N5mero de ersonas que resondieron a-rmati$amente

fi : N5mero de *amilias%

Calcular y anali"ar la mediana%

Soluci!n(

Antes de calcular la mediana comlementemos la tala con las *recuenciasasolutas acumuladas, como se oser$a en la siguiente tala%

x i fi Fi

? :? :?: B>< B? G>B :< ;G


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E)emlo(

A un gruo de ersonas seleccionadas aleatoriamente se les regunt! cu#ntossalarios mnimos in$ertiran en tecnologa en el a/oR% La in*ormaci!n se resumeen la siguiente tala%

Sala&ios 3ni3os (ese in*e&ti&an en tecnolo5a N3e&o de pe&sonas

:JB =BJ= ;=J; :,=% Esto

indica que el +3 se encuentra entre el dato de lugar B> y el dato de lugar

B=% Adem#s, la *recuencia asoluta acumulada inmediatamente mayor a B>,=es >


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"inf . " . fi Fi

< = > >= :? :> :: := :B > :; B >='(')" %

&or lo tanto

"inf . ::

Fa Q :: B

2emla"ando en la *!rmula tenemos,

+3 "inf . , [(n,4 Fa)fo

]c 11 M [ (453

4 29)13 ] VB

:

Esto signi-ca que el ;= de las emresas m#s grandes del as, tienenutilidades mensuales in*eriores a : esos y el ? de los datos0%

Lugar del decil 4


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"- 4

,(n+1 )10

4(45+1 )

10

184

10 :,>% Esto

indica que el -4 se encuentra entre el dato de lugar : y el dato de lugar

:H% Adem#s, la *recuencia asoluta acumulada inmediatamente mayor a :,>es >= :? :> :: := :B > :; B >=

'(')" %

Po& lo tanto

"inf .

Fa :>

fo :=

c :: Q B


-4 "inf . , [(n

10 Fa)fo

]c 8 M [ (45410

14 )15 ] VB

,

Esto signi-ca que el >? de las emresas m#s grandes del as, tienenutilidades mensuales in*eriores a W??%??? esos y el G? de las emresastienen utilidades mensuales sueriores a W??%???%

Clc(lo del pe&centil "94 ;Equi$alente al


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"29

,(n+1 )100

29(45+1 )

100

1334

100 :B,B>%

Esto indica que el 29 se encuentra entre el dato de lugar :B y el dato de

lugar :>% Adem#s, la *recuencia asoluta acumulada inmediatamente mayor a:B,B> es :>, corresondiente al segundo inter$alo%

Utilidad 3ens(al;3illones de pesos= 0 de e3p&esas

"inf . " . fi Fi

< = > >

= :? :> :: := :B > :; B >=

'(')" %

&or lo tanto

"inf . =

Fa >

fo :?

c Q = B


29 "inf . , [ (n

100Fa)

fo ]c 5 , [ (4529

100 4)

10 ] H> 8!8$


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Esto signi-ca que el


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"inf . " . fi Fi

< = > >= :? :> :: := :B > :; B >='(')" %

De donde se tiene que(

:?,=

"inf .

Fa :>

fo

:=c :: Q @ B

2emla"ando en la *!rmula del rango ercentil se tiene

[("inf .

c )fo+Fa]100n

= [(

10,58

3 )15+14]10045

[( 2,53)15+14]10045

[26,5 ]100

45 =,H

Es decir, que el =,H de las emresas m#s grandes del as tienen unasutilidades in*eriores a :?W=??%??? esos mensuales y el >:,: de las emresastienen utilidades sueriores a :?W=??%??? esos mensuales%


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CUARTA UNIDAD

LAS MEDIDAS DE DISPERSION! VARIACION oDESVIACION

Las medidas de tendencia central, NO indican que caracterstica tienen losdatos en cuanto a si son arecidos, .3omogneos o tienen oca $ariailidad0 osi son muy distintos .3eterogneos o tienen $ariailidad considerale0% Lasmedidas de disersi!n son las que me indican que tanta $ariailidad tienen losdatos%

Las medias de disersi!n, $ariaci!n o des$iaci!n que estudiaremos ser#n( Elrango o recorrido, la des$iaci!n media, la $arian"a, la des$iaci!n est#ndar y el

coe-ciente de $ariaci!n%

El &an5o o &eco&&ido

Es la di*erencia entre el $alor m#6imo de los datos y el $alor mnimo%

Rango R Vmximo Vmnimo Vmx.

Vmn.

Si el rango es muy grande y tenemos muy ocos datos, se uede decir, que los

datos tienen muc3a $ariailidad% &ero si el rango es eque/o y tenemosmuc3os datos, estos tienen oca $ariailidad o son 3omogneos%

Aunque esta medida es muy *#cil de calcular su interretaci!n es muysu)eti$a, adem#s, 5nicamente utili"a los $alores e6tremos y no considera losotros datos%

Des*iaciones con &especto a la 3edia4

Estas no son medidas de disersi!n, ero se las utili"a ara las calcular lades$iaci!n media y la $arian"a las cuales las estudiaremos a continuaci!n%

Las des$iaciones resecto a la media es la di*erencia entre cada dato y la

media aritmtica de los datos, se ueden simoli"ar como( (xix ) ! indican

que tan distante se encuentra cada dato con resecto a la media aritmtica% Sila di*erencia es negati$a el dato se encuentra a la i"quierda de la media y si es


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ositi$a el dato se encuentra a la derec3a de la media, si es cero el dato esigual a la media%

+na roiedad de las des$iaciones resecto a la media es que la suma detodas ellas es igual a cero, es decir,

(xix ) #! ara datos NOagruados

[(xix)fi ] #! ara datos agruados

E)emlo(

Calcular las des$iaciones resecto a la media de los siguientes datos( G, >, B, ;,,> @ M:,G> > Q >,> @ J ?,>B B Q >,> @ J :,>; ; Q >,> @ M,> @ J TOTAL (xix ) #

Des*iaciFn 3edia

La des$iaci!n media es el romedio de los $alores asolutos de lasdes$iaciones resecto a la media aritmtica% Dic3o de otra manera, es elcociente entre la suma de los $alores asolutos de las des$iaciones resecto ala media y el n5mero de datos% Las *!rmulas corresondientes son:


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-% |xix|

n

|x1x|+|x2x|+|x3x|++|xnx|n !

ara datos NO agruados%

-% [|x ix|fi ]

n

|x1x|f1+|x2x|f2+|x3x|f3++|xmx|fmn ! ara datos agruados%

E)emlo(

Calcular la des$iaci!n media de los siguientes datos( G, >, B, ;, ,>

En la siguiente tala se calculan las des$iaciones resecto a la media, sus$alores asolutos y los totales%

x i x ix |xix|

G G Q >,> @ M:,G :,G> > Q >,> @ J ?,> ?,>B B Q >,> @ J :,> :,>; ; Q >,> @ M @ J

'(')" (x ix ) # |x ix| / 7!%

De la tala se otiene que( -% |xix|

n

8,4

5 :,G%


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Otra manera de calcularla es

-% |xix|

n

|x1x|+|x2x|+|x3x|++|xnx|n

|64,4|+|44,4|+|34,4|+|74,4|+|24,4|5

1,6+0,4+1,4+2,6+2,4

5

8,4

5 :,G%

Este $alor indica que la distancia romedio a cada uno de los datos conresecto a la media aritmtica es de :,G unidades% Es decir, que en romedio,

los datos se searan de la media en :,G unidades.Adem#s, odramosasegurar que en distribuciones normales.estas distriuciones se estudiar#n enlas unidades de roailidad0, que la mayora de los datos se encuentran entre

x-%/ x+-%

VARIANA

Se odra de-nir la $arian"a como un romedio de los cuadrados de las

des$iaciones resecto a la media, o como el cociente entre la suma de loscuadrados de las des$iaciones resecto a la media y el n5mero de datos% Lasunidades de la $ariale de estudio quedan ele$adas al cuadrado y carecen designi-cado real, or tanto, la $arian"a no tiene interretaci!n% La $arian"a es elmedio ara calcular la des$iaci!n est#ndar%

Las *!rmulas resecti$as ara el c#lculo de la $arian"a son(

Va&ianJa co&&e5ida

2

(xix )

2

n1

(x1x )

2+(x2x )

2+(x3x )

2++ (xmx )

2

n1!



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2

[(xix )2fi ]

n1

(x1x )2f1+(x2x )

2f2+(x3x )

2f3++(xmx )

2fm

n1

! ara datos agruados4

La $arian"a corregida es la m#s utili"ada ara calcular la $arian"a de una

muestra%Se di$ide entre n1 , orque se est# estimando un ar#metro que

es la media olacional%

Va&ianJa SIN co&&e5i&

2

(xix )2

n

(x1x )2+(x2x )

2+(x3x )2++ (xmx )

2

n!

ara datos NO agruados

2

[(xix )2fi ]

n

(x1x )2f1+(x2x )

2f2+(x3x )2f3++(xmx )

2fmn

! ara datos agruados

DESVIACION ESTANDAR o TKPICA

La des$iaci!n est#ndar o des$iaci!n tica es la ra" cuadrada ositi$a de la$arian"a% Las unidades de la des$iaci!n est#ndar son las mismas de la $arialede estudio, y or este 3ec3o tiene interretaci!n% Nos indica cu#nto uedenale)arse los datos resecto a la media aritmtica, dic3o de otra manera, lades$iaci!n est#ndar es una medida del grado de disersi!nde los datos conresecto al $alor romedio% Esta medida es m#s estale que el rango orecorrido y toma en consideraci!n el $alor de cada dato%

Des*iaciFn estnda& co&&e5ida

2

varian0a corregida (x ix )

2

n1!

ara datos NO agruados


46/79

2

varian0a corregida [(xix )2fi ]

n1!

ara datos agruados

Des*iaciFn estnda& SIN co&&e5i&

2

varian0a sin corregir (xix )

2

n!


2

varian0a sin corregir

[(xix )2fi ]

n! ara datos agruados%

COEICIENTE DE VARIACION

El coe-ciente de $ariaci!n es una medida de disersi!n y se de-ne como elcociente entre la des$iaci!n est#ndar y la media aritmtica% Este carece deunidades y or tanto se uede e6resar en orcenta)e% Su *!rmula de c#lculoes(

1V

x

x100

El 1V indica que tan disersos se encuentran los datos con resecto a la

media aritmtica% Este es m#s reciso que la des$iaci!n est#ndar%

El Coe-ciente de $ariaci!n mide la disersi!n en trminos de orcenta)e,se/ala qu tan grande es la magnitud de la des$iaci!n est#ndar resecto alromedio del con)unto de datos que se e6amina%


47/79


48/79

-% |xix|

n

|x1x|+|x2x|+|x3x|++|xnx|n

|168177,4|+|170177,4|+|196177,4|+|180177,4|+|173177,4|

5

9,4+7,4+18,6+2,6+4,45

42,4

5 @ ,>

Este $alor indica que la distancia romedio a cada uno de los datos conresecto a la media aritmtica es de ,>% Es decir, que en romedio, los datosse searan de la media en ,> unidades.

Calc(le3os la Va&ianJa ;co&&e5ida=

2

(xix )2n1

(x1x )

2+(x2x )2+(x3x )

2++ (xmx )2

n1

(168177,4 )2+(170177,4 )2+(196177,4 )2+(180177,4 )2+ (173177,4 )2

51

88,36+54,76+345,96+6,76+19,36

4

515,2

4 = :


49/79

1V

x

x100

11,35

177,4 ?,?GBH;H%% G,>

Este $alor es menor que el


50/79

Peso;5&4= 0t&(c1as

fi

xi x ifi xix (x2x )2 (x2x )

2fi

"inf . " .

:;= := H :? :%G>,= :?%>>=,TOTAL "# =:%H


51/79

2

varian0a corregida (xix )

2fi

n1

168,89 :


52/79

m3= (x ix )3

n

La interretaci!n del coe-ciente de simetra se 3ace de la siguiente manera(

Si a3=0 , la distriuci!n es simtrica% Otra manera de llegar a la misma

conclusi!n es oser$ando que la media aritmtica, la mediana y la moda

coincidan, . x=%e=%0 0% r#-camente se tendra(

Si a3


53/79

COEFICIENTE DE C+2TOSIS O A&+NTA1IENTO . a4 0%

Es el cociente entre el cuarto momento central . m4 0 y la des$iaci!n est#ndar

ele$ada a la cuatro%

a4=m4

43

El cuarto momento central se de-ne y calcula, as(

m4= (x ix )

4

n

La interretaci!n del coe-ciente de curtosis o auntamiento se 3ace de lasiguiente manera(

Si a4=0 , la distriuci!n es normal o mesoc5rtica%

Si a40 , la distriuci!n es auntada o letoc5rtica%


54/79

QUINTA UNIDAD

GRAICOS ESTADISTICOS

+na manera de reresentar la in*ormaci!n es mediante los gr#-cosestadsticos% Estos ayudan de manera r#ida a re$isar la descrici!n de losdatos%

Los gr#-cos m#s comunes son(

El gr#-co o diagrama de arras .3ori"ontales, $erticales o en comonentes0El gr#-co o diagrama de lneas o tra"os%El gr#-co o diagrama de sectores, circular, de torta o de astel%

Los &ictogramas%El diagrama de Ca)as y 'igotes%El istograma%El olgono de *recuenciasLas o)i$as o olgono de *recuencias acumuladas%


55/79

ay otros gr#-cos que se utili"an seg5n la discilina, tales como loscartogramas que se utili"an en las ciencias sociales, la cur$a de Loren" quee6lica el Coe-ciente de ini, el cual lo utili"an los economistas% EYCEL,STAT2A&ICS y S&SS, en la galera de gr#-cos resenta una gran $ariedadde gr#-cos e incluso en BD% Otros aquetes estadsticos resentan gr#-cos

eseciales como las caras de C3ernoZ y estrellas utili"ados ara an#lisis dedatos multi$ariados%

Cada tio de gr#-co est# destinado ara una laor esec-ca% Con la r#cticay de acuerdo a tus necesidades determinar#s cual utili"ar seg5n tus datos%

El gr#-co o diagrama de arras .3ori"ontales, $erticales o en comonentes0

Es un gr#-co que utili"a rect#ngulos 3ori"ontales o $erticales llamados arras%El anc3o de cada arra es aritrario, ero se dee tener en cuenta que ninguna

de ellas se dee cru"arse o 8solaarse9 con otra% El alto de cada arra deendede las *recuencias de los datos% eneralmente los $alores de las $ariales seuican en el e)e Y, y las *recuencias en el e)e .gr#-co $ertical0% Cuando se$an a anali"ar dos o m#s $ariales el gr#-co recie el nomre de gr#-co dearras en comonentes, tamin se ueden comarar la misma $ariale endos eriodos distintos con este tio de gr#-cas%

E)emlo(

Se registr! en el rimer semestre del a/o


56/79

El gr#-co de arras $erticales es el siguiente% .Si queremos las arras3ori"ontales, uicamos los meses en el e)e , y la cantidad de +S' $endidas enel e)e Y0%

?


57/79

Soluci!n%

El gr#-co de arras en comonentes es el siguiente% Oser$a que si tenemosdos $ariales en cada $alor del e)e Y, se gra-can dos arras% Si se tienen tres

comonentes se deer#n gra-car tres arras, etc%

enero *erero mar"o aril mayo )unio?

:?


58/79

enero *erero mar"o aril mayo )unio?


59/79

'ota BG?[

#arte x R

E)emlo%

La *acultad de Economa de una uni$ersidad est# comuesta or( estudiantes,docente, administrati$os y ser$icios generales% Si las cantidades de ersonasen cada estamento son las que aarecen en la siguiente tala, reresentemosesta in*ormaci!n mediante un diagrama circular%

Esta3entos Cantidad

Estudiantes ??Administrati$os :??Docente B>?Ser$icios enerales ?

TOTAL $>"#

Soluci!n%

Calculando los orcenta)es y los grados ara cada estamento, y oder tra"ar elgr#-co sin usar 3erramientas in*orm#ticas tenemos los siguientes resultados%

Esta3entos CantidadPo&cent

a2es G&ados

G&adosAc(3(la

dosEstudiantes ?? G?,G


60/79

El diagrama circular es el siguiente, resentado en tres dimensiones

G:


61/79

El diagrama de Ca)as y 'igotes%

Este gr#-co se utili"a ara anali"ar $ariailidad de los datos y simetra, adem#sme determina datos aticos 8outlier9%

NOTA% &ara comrender los trminos usados en este gr#-co, remitirse a lasesi!n de medidas de osici!n%

En una serie ordenada de datos o en datos agruados odemos calcular lostres cuartiles los cuales di$iden al rango en cuatro artes iguales% Se aclara queel segundo cuartil es igual a la mediana% Calculados estos $alores construimos

una ca)a entre el cuartil : . +1 0 y el cuartil B . +3 0, con un anc3o

aritrario, en medio de la ca)a se uica el segundo cuartil . +2 0 o mediana%

Luego se encuentran dos $alores 21 y 22 de la siguiente *orma(

21 +11,5(+3+1 )

22 +3+1,5(+3+1 )

En el medio del anc3o de la ca)a se tra"a una segmento de recta 3asta llegar a21

y otro segmento de recta al otro lado de la ca)a 3asta llegar a22

4Estos segmentos de recta recien el nomre de igotes%

E)emlo%

Construir un diagrama de ca)as y igote ara reresentar los siguientes datos(

>=, >G, =, ==, =;, =H, G?, G:, G


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"+1 ,(n+1 )

4

1(27+1 )4

;, el stimo dato es el cuartil

:, +1= 9

"+2 ( n+1 )

4

2(27+1 )4

:>, el dato de lugar :> es el

cuartil :, +1= 66

"+3 ,(n+1 )

4

3(27+1 )4

9= / 9%

Como los igotes soreasan al $alor mnimo .>=0 y al $alor m#6imo .;;0 delos datos, los igotes toman estos $alores( >= y ;;% Esto signi-ca que noe6isten $alores aticos%

El gr#-co aro6imado es el siguiente

>=, >G, =, ==, =;, =H, G?, G:, G


63/79

GrficodeCa(a 23igotes

45 55 5 !5 "5

pesog

GrficodeCa(a23i gotes

1nter6alos deconfian7a del #58para la mediana9 :$;$$%4; !%;""#= =B,% G HG:,> GH,G% ; :GGH,G ;;,% :: B:G H>,,< :?% < >?


65/79

>= =B,% GH,G% ;;,% G% H>,


66/79

que resentar se re*erir#n a dados, monedas, cartas y se alternar# cone)emlos de alicaci!n a otras situaciones%

&2INCI&IO F+NDA1ENTAL DEL CONTEO .%*%c0

Si un e$ento o suceso 31 uede ocurrir de n1 maneras di*erentes, un

e$ento o suceso 32 uede ocurrir de n2 maneras di*erentes, un e$ento o

suceso 33 uede ocurrir de n3 maneras di*erentes, y as sucesi$amente,

un e$ento o suceso 3, uede ocurrir de n maneras di*erentes,

entonces, todos los e$entos en con)unto ueden ocurrir de

n1 4n2 4n3 4.. .4nmaneradiferente

35em#o

De cu#ntas maneras di*erentes ueden caer tres monedasR%

6o7ci8n

De-namos los e$entos de la siguiente manera(

31: lanzar la primer moneda , este e$ento o suceso uede ocurrir de dos,

n1=2 , maneras di*erentes( {cara, eo}

32 :lanzar la segunda moneda , este e$ento o suceso uede ocurrir de dos,

n2=2 , maneras di*erentes( {cara, eo}

33 :lanzar la tercer moneda , este e$ento o suceso uede ocurrir de dos, n3=2

, maneras di*erentes( {cara, eo}

&or lo tanto, or el .%*%c0, las tres monedas ueden caer de(

n1 4n2 4n3=24 242=23=8maneradiferente


67/79

Nota( Si se lan"an :? monedas, estas ueden caer de 210=1024 maneras

di*erentes%

35em#o

De cu#ntas manera di*erentes ueden caer dos dadosR%

6o7ci8n


31: lanzar el primer dado , este e$ento o suceso uede ocurrir de seis, n1=6 ,

maneras di*erentes( {1,2,3,4,5,6 }

32 :lanzar el segundo dado , este e$ento o suceso uede ocurrir de seis,

n2=6 , maneras di*erentes( {1,2,3,4,5,6 }

&or lo tanto, or el .%*%c0, los dos dados ueden caer de(

n1 4n2=6 46=62

=36 manera diferente

&ara $eri-car este resultado, suongamos que en el rimer dado se otiene eluno, entonces el otro dado uede caer de las seis *ormas di*erentes, ero si elrimer dado se -)a en dos, tres, cuatro cinco o seis, el otro dado uede camiaren las seis *ormas, otenindose las BG maneras di*erentes% 4e#moslo de lasiguiente manera(

Los osiles resultados de lan"ar dos dados serian(

(1,1 ) , (1,2 ) , (1,3 ) , (1,4 ) , (1,5 ) , (1,6 )

(2,1 ) , (2,2 ) , (2,3 ) , (2,4 ) , (2,5 ) , (2,6 )

(3,1 ) , (3,2 ) , (3,3 ) , (3,4 ) , (3,5 ) , (3,6 )


68/79

(4,1 ) , (4,2 ) , (4,3 ) , (4,4 ) , (4,5 ) , (4,6 )

(5,1 ) , (5,2 ) , (5,3 ) , (5,4 ) , (5,5 ) , (5,6 )

(6,1 ) , (6,2 ) , (6,3 ) , (6,4 ) , (6,5 ) , (6,6 )

35em#o

De cu#ntas manera di*erentes ueden caer un dado y una monedaR%

6o7ci8n


31: lanzar el dado , este e$ento o suceso uede ocurrir de seis, n1=6 ,

maneras di*erentes( {1,2,3,4,5,6 }

32 : lanzar la moneda , este e$ento o suceso uede ocurrir de dos, n2=2 ,

maneras di*erentes( {cara, eo}

&or lo tanto, or el .%*%c0, el dado y la moneda ueden caer de(

n1 4n2=6 42=12 manera diferente

35em#o

Cu#ntas lacas de autom!$il es osile *ormar en ColomiaR% .Oser$aci!n(Cada laca de autom!$il tiene tres letras y tres n5meros y admite reetici!n deletras y n5meros% Las letras c3, rr, ll, /, no se consideran, es decir, solamentese cuenta con


69/79

31: llenar la primera casilla de la placa con una letra , este e$ento o suceso uede

ocurrir de


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= alotas numeradas del ?: 3asta >=, todas del

mismo tama/o y eso% Cuando )uega el aloto salen aleatoriamente G deellas0%=%0 Cuantos n5meros de lotera de cuatro dgitos y dos en la serie es osile

*ormarR%

TIPOS DE AGRUPACIONES .ocional0

Entre los tios de agruaciones tenemos(

Las Cominaciones (n1r )

Las 4ariaciones o &ermutaciones (nr )

Las $ariaciones con elementos idnticos% (Vn9 ,: ,; , )


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LAS CO1'INACIONES (n1r )

Llamaremos CO1'INACIONES a las di*erentes agruaciones que odemos

*ormar tomando r de los n elementos dados, de tal manera que cada

agruaci!n sea di*erente en or lo menos un elemento, SIN I1&O2TA2 ELO2DEN DE +'ICACI]N%

El total de cominaciones que odemos *ormar con n elementos tomadolos

de r en r , se simoli"a y calcula as(

n1r=(nr )= n!

r!( nr ) !

donde, n !=n(n1 )(n2 )321 , se llama N5mero Factorial%

LAS 4A2IACIONES o &E21+TACIONES (nr )

Llamaremos 4A2IACIONES a las di*erentes agruaciones que odemos *ormartomando r de los n elementos dados, de tal manera que cada

agruaci!n sea di*erente en or lo menos un elemento, O EN EL O2DEN DE+'ICACI]N .8si imorta el orden90%

El total de $ariaciones que odemos *ormar con n elementos tomadolos de

r en r , se simoli"a y calcula as(

nr=

n !

(nr )!


72/79

4A2IACIONES CON ELE1ENTOS ID^NTICOS% (Vn9, : ,; , )

Si en una $ariaci!n, de los n elementos dados tenemos una cantidad( 9

que son idnticos,:

que son idnticos,;

son idnticos, etc%, el n5merode $ariaciones que odemos *ormar , se simoli"an y calculan as(

Vn9 , : , ; ,

= n !

9 !: !; !

E)emlo :%

De un gruo de :? ro*esionales que con*orman una cooerati$a quierennomran la )unta directi$a comuesta or( &residente, Tesorero y -scal% Decu#ntas maneras di*erentes se uede nomrar la )unta directi$aR%

Soluci!n(

Suongamos que los nomres de los ro*esionales son(

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 9, 10 .

+na de las osiles )untas directi$a odra estar *ormada or(

4

reidente

3

'eorero

9

Fica

&ero si camiamos de cargo a las ersonas de la siguiente manera(

9

reidente

4

'eorero

3

Fica

otenemos otra )unta directi$a, a esar de ser las mismas ersonas, ero condi*erentes cargos, or lo tanto se trata de una 4A2IACION% .8si imorta elorden90%

&or lo tanto, si n=10< r=3 otenemos(


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nr=103= n !

(nr )!=

10 !

(103 ) !=

10!

7 !=1098=720

que corresonde a la cantidad de )untas directi$as di*erentes que es osile*ormar con los :? ro*esionales%

E)emlo


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cinco otenemos el =BG, muy di*erente al anterior, es decir, imorta el orden,

entonces es una $ariaci!n con n=4< r=3 , or lo tanto

nr=43= n !(nr )!

= 4 !(43 )!

=4 !1!=432=24

es la cantidad de n5meros que odemos *ormar%

&ara $eri-car este resultado 3agamos un listado de ellos(

No : < B > = G ; H :? :: : := :G :; : :H


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Tamin llamada de-nici!n te!rica de roailidad% La roailidad de que

ocurra un suceso o e$ento 8 3 8 es el cociente entre el n5mero de casos

*a$orales . h 0 y el n5mero de casos asiles . n 0% Esto se simoli"a as(

# (3 )=hn=h

n4100

Oser$aci!n(Como nos odemos dar cuenta la *!rmula es muy simle y sencilla de alicar,

ero cuando nos resentan situaciones comle)as donde se dean calcular n

y h entonces se comlica, orque antes de alicarla se deen usar las

tcnicas de contar%

DEFINICION F2EC+ENCIAL DE &2O'A'ILIDAD%

Tamin llamada de-nici!n e6erimental% La roailidad de que ocurra un

suceso o e$ento 8 3 8 es el cociente entre el n5mero de $eces que se reite

un resultado . f 0 y el n5mero de $eces que se reali"a el e6erimento . n 0%

Esto se simoli"a as(

# (3 )=f

n

=f

n

4100

Esta de-nici!n, es la que 3ace osile que cuando se realice en *orma in-nitaun e6erimento, la roailidad se aro6ima a la roailidad te!rica o cl#sica%

Notas(

Si # (3 )=0, e 7ceo eim#oibe % La roailidad de otener un n5mero

en el lan"amiento de un dado es cero, es decir, otener es sucesoimosile%

Si # (3 )=1, e 7ceo e eg7ro % La roailidad de otener un n5mero

menor que ; en el lan"amiento de un dado es siemre seguro, conroailidad de :?? @ :%

La roailidad de que ocurra cualquier e$ento, siemre $a estar entrecero y uno .lo que es equi$alente entre ? y :??0%


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35em#o

Cu#l es la roailidad de otener un n5mero m5ltilo de B en el lan"amientode un dadoR

6o7ci8n

Este rolema no tiene muc3a di-cultad y usted odra decir la resuesta deinmediato%

2ealicemos el rocedimiento%

Experimento:Lan"ar un dado

Espacio muestral: 6 @ _:,,=,G, , entonces n @ G, de casos

osiles%

Evento o suceso 3 : 8otener m5ltilos de B9 @_B,G`, entonces h @


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6o7ci8n

Este rolema tiene m#s di-cultad que el unto anterior y usted odratamin decir la resuesta de inmediato%

2ealicemos el rocedimiento%

Experimento:Lan"ar un ar de dados

Espacio muestral: 6 es(

(1,1 ) , (1,2 ) , (1,3 ) , (1,4 ) , (1,5 ) , (1,6 )

(2,1 ) , (2,2 ) , (2,3 ) , (2,4 ) , (2,5 ) , (2,6 )

(3,1 ) , (3,2 ) , (3,3 ) , (3,4 ) , (3,5 ) , (3,6 )

(4,1 ) , (4,2 ) , (4,3 ) , (4,4 ) , (4,5 ) , (4,6 )

(5,1 ) , (5,2 ) , (5,3 ) , (5,4 ) , (5,5 ) , (5,6 )

(6,1 ) , (6,2 ) , (6,3 ) , (6,4 ) , (6,5 ) , (6,6 )

entonces n @ BG% de casos osiles% &ero recuerde que alicando el

rinciio *undamental del conteo se determin! que las *ormas osiles de caerdos dados se calculan as( G6G@BG%

Evento o suceso 3 : 8otener una suma de = untos9 @_.:,>0, ., de casos *a$orales%

&or lo tanto,

# (3 )=h

n=

4

36=0,1111=11,11


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35em#o

+n ca)a contiene ; camisas y = antalones, si se seleccionan aleatoriamenteuna renda, cu#l es la roailidad de que la renda seleccionada sea unantal!nR%

6o7ci8n

Experimento:Seleccionar una renda de $estir

Espacio muestral: 6 @ _; camisas, = antalones`, entonces n @ : untos, el tercero una suma de ; untos y elcuarto una suma de :: untos% Cu#l es la roailidad de ganar decada uno de ellos y quin tiene mayor roailidad de ganarR%


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modulo estadistica descriptiva 19 mayo 2014

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