ESTADISTICAS DESCRIPTIVA

PRIMERA UNIDAD

ESTADISTICA DESCRIPTIVA. Conceptos generales sobre estadstica Distribuciones de frecuencias. Medidas de tendencia central. Medidas de dispersin. Grficos Estadsticos

Conceptos Generales

DEFINICION DE ESTADISTICALa estadstica es una ciencia que estudia los mtodos, normas, reglas, leyes para la recoleccin, organizacin y anlisis de datos, para sacar conclusiones vlidas y tomar decisiones acertadas.POBLACION: Es el conjunto universal, el conjunto de referencia, el cual est conformado por todos los elementos que tienen la caracterstica de estudio. Una poblacin puede ser finita, (de tamao N) o infinita.MUESTRA: Es un subconjunto de la poblacin. Es una parte de la poblacin, la cual debe cumplir con dos requisitos fundamentales: ser aleatoria y representativa. La primera hace referencia a que sus elementos deben seleccionarse al azar, y la segunda hace referencia al tamao de la muestra. DATO: Es la medida de la observacin.

VARIABLES ESTADISTICAS.Una variable estadstica es una caracterstica la cual al ser observada en diferentes individuos nos genera resultados distintos.

Las variables estadsticas pueden clasificarse en: CUANTITAVAS y CUALITATIVAS.Las variables CUANTITATIVAS se clasifican en: Continas y Discretas. Las variables CUALITATIVAS se clasifican en: Nominales y Ordinales.

Las variables CUANTITATIVAS son aquellas que las podemos medir mediante un nmero.Las variables cuantitativas continas son aquellas, que pueden tomar cualquier valor entre dos valores, o ms fcilmente, aquellas que admiten decimales, por ejemplo, El salario de una persona, las utilidades diarias de un negocio, la puntuaciones en un examen, el cociente intelectual, etc.Las variables cuantitativas discretas son aquellas que admiten, nicamente valores enteros, por ejemplo, el nmero de personas que habita en una casa, el nmero de estudiante en un curso de economa, la cantidad de familias que tienen acceso directo a internet, la cantidad de microempresa en una regin, etc.

Las variables CUALITATIVAS son aquellas que representan, una propiedad, un atributo.Las variables cualitativas nominales presentan modalidades no numricas y no se las puede ordenar, como por ejemplos: el color del cabello de una persona, el color de automvil que prefiere una mujer, el estado civil de una persona, etc,.Las variables cualitativas ordinales son aquellas que adems de representar una propiedad, las podemos ordenar. Es decir podemos determinar cul va de primero, segundo, tercero,., como por ejemplo: El nivel educativo de una persona, ( sin estudio, primarios, secundarios, tecnlogo, pregrado o universitarios, especialista, master, Doctor, PD). Otra variable ordinal, puede ser la apreciacin de cierta marca de computadores por un usuario: mala, regular, buena, excelente. El premio que adquiere un deportista en los olmpicos: Bronce, plata, oro.

SUMATORIA Y PRODUCTORIA (opcional)

SUMATORIA.En las frmulas que utilizamos para obtener varios resultados en estadstica usamos las letras griegas. El smbolo, , el cual se lee sumatoria se utiliza para simplificar una suma de trminos. Esta letra griega sigma se acompaa con un valor inicial de la variable y un lmite superior hasta donde toma el valor la variable, este valor va cambiando de uno en uno. El smbolo, , significa que los trminos que se obtienen al remplazar el valor de la variable se suman del primero hasta el ltimo, en el caso de que la suma termine.

En general la sumatoria, se simboliza y define, as:

En algunos casos el lmite superior de la sumatoria es infinito, , y se obtiene una serie, as:

Ejercicio.Desarrollar y simplificar las siguientes sumatorias:

Solucin.

PRODUCTORIA .El smbolo, , el cual se lee productoria, se utiliza para simplificar un producto de trminos. Esta letra griega pi se acompaa con un valor inicial de la variable y un lmite superior hasta donde toma el valor la variable, este valor va cambiando de uno en uno. El smbolo, , significa que los trminos que se obtienen al remplazar el valor de la variable se multiplican del primero hasta el ltimo.

En general la productoria, se simboliza y define, as:

Ejercicio.Desarrollar y simplificar las siguientes productorias:

Solucin.

SEGUNDA UNIDAD

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

Distribuciones de frecuencias para variable cuantitativa discreta y variables cualitativasSi tenemos una variable cuantitativa discreta o una variable cualitativa, la podemos resumir en una tabla que recibe el nombre de distribuciones de frecuencias. Para ellos revisemos las siguientes definiciones:Frecuencias absolutas. Las frecuencias absolutas es el nmero de veces que se repite un dato. Las simbolizaremos con la letra efe minscula: La suma de las frecuencias absolutas es igual al nmero de datos (). + + + + Observe que hemos tomado un subndice , debido a que los valores que toma la variable, por lo general son menores que el nmero de datos ()Para determinar las frecuencias absolutas se utiliza el conteo o recuento. Se escriben los valores ordenados de la variable sin repetirlos. Luego se hace una marca frente a cada valor tantas veces el dato se encuentre en la lista de datos, se recomienda hacer grupos de cinco marcas. Para explicarlo ms claramente, consideremos los siguientes datos los cuales podran corresponder al nmero de hijos de 17 familia observadas: 2, 5, 4, 0, 2, 0, 2, 4, 2, 0, 5, 2,4,2, 0, 2, 2 El conteo o recuento se realizara as:0 IIII = 42 IIII III = 84 III = 35 II = 2Por lo tanto, las frecuencias absolutas son 4, 8, 3, 2, respectivamente.

Las Frecuencias Absolutas Acumuladas Las frecuencias absolutas acumuladas se obtienen mediante sumas sucesivas de las frecuencias absolutas. Las simbolizaremos con la letra EFE MAYUSCULA:

Observe que la ltima frecuencia absoluta acumulada es igual al nmero de datos.

Frecuencias relativas. Las frecuencias relativas se calculan dividiendo cada frecuencia absoluta (), entre el nmero de datos (). Generalmente se las expresa en porcentaje para su fcil interpretacin. Se denotan y definen as: La suma de las frecuencias relativas es igual a 1 o al 100%. 1 = 100%.

Las Frecuencias Relativas Acumuladas. Las frecuencias relativas acumuladas se calculan dividiendo cada frecuencia absoluta acumulada (), entre el nmero de datos (). Generalmente se las expresa en porcentaje para su fcil interpretacin. Se denotan y definen as:

Otra forma de calcular las frecuencias relativas acumuladas es mediante las sumas sucesivas de las frecuencias relativas. 1 100%

Observe que la ltima frecuencia relativa es el 100% o uno.

Con cada valor calculado procedemos a construir la distribucin de frecuencias, la cual es una tabla que contiene: la variable de estudio, las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas, las frecuencias absolutas acumuladas y frecuencias relativas acumuladas. La forma general de una distribucin de frecuencias es la siguiente.

.....

.....

TOTAL1=100%

donde, : Variable de estudio : Frecuencias absolutas. : Frecuencias absolutas acumuladas. : Frecuencias relativas. : Frecuencias relativas acumuladas.

Ejemplo:Las pesquera ms grande del Puerto de Tumaco, tiene en su nmina a 40 empleados. Por leyes del gobierno toda empresa debe dar un subsidio de educacin a cada hijo de los trabajadores. El gerente para hacer ajustes en el presupuesto de la empresa determina el nmero de hijos de los trabajadores que estn estudiando y obtiene los siguientes resultados:2, 3, 1, 0, 3, 2, 0, 1, 3, 2, 3, 4, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 4, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 1, 1, 0, 2 Construir una distribucin de frecuencias.

Solucin:La variable es el nmero de hijos de los empleados de la pesquera los cuales estn actualmente estudiando, esta variable es cuantitativa discreta y toma valores de 0, 1, 2, 3, 4.El conteo se indica a continuacin.# de hijosConteo

0IIII I = 6

1IIII IIII = 9

2IIII IIII = 10

3IIII IIII I = 11

4IIII = 4

Aplicando las definiciones y las frmulas respectivas se obtiene la siguiente distribucin de frecuencias.# de hijos# de empleados

06615%15%

191522,5%37,5%

2102525%62,5%

3113627,5%90%

444010%100%

TOTAL40100%

Analizando los resultados del tercer rengln tenemos que:10 empleados de la pesquera, equivalentes al 25% del total, tienen 2 hijos estudiando.25 empleados de la pesquera, equivalentes al 62,5% del total, tienen 2 o menos de dos hijos estudiando.Distribuciones de frecuencias para una variable cuantitativa continua.Si tenemos una variable cuantitativa continua, generalmente los datos repetidos van hacer muy pocos, y al calcular sus frecuencias absolutas estas, tomarn valores de 1 o 2, en su gran mayora. En estos casos para analizar este tipo de variables se recomienda agruparla en intervalos, clases o categoras. Por ejemplo, al clasificar a los habitantes de una regin por su edad, podramos hacer grupos de bebes (edades hasta el ao y medio), de nios (edades hasta los 10 o 12 aos), de adolescentes (edades hasta los 18 o 21 aos), jvenes (edades hasta los 25 o 30 aos), adultos (edades hasta los 50 aos), mayores (edades hasta los 60 aos), tercera edad (edades despus de los 60).Para construir una distribucin de frecuencias para este tipo de variables, consideremos las siguientes definiciones:Rango o recorrido. Es la diferencia entre el valor mximo de los datos y el valor mnimo. = Nmero de intervalos, clase o categoras: A pesar de ser un criterio del investigador el de elegir con cuntos intervalos va a trabajar, la regla de Sturges, propuesta por Herbert Sturges, sugiere una frmula para determinar cuntos intervalos, clases o categoras se debe utilizar. , (La aproximacin se la hace sin decimales y por exceso)Nota: Los intervalos que se forman se consideran semi-abiertos por derecha, es decir tienen la forma: [), este intervalo contiene todos los valores comprendidos entre y , incluyendo a y excluyendo a . Algunos autores definen de manera diferente los intervalos, por ejemplo, al considerarlo cerrado, es decir de la forma, [a,b] al siguiente intervalo se debe iniciar por lo menos 1 milsima ms grande que b.Amplitud del intervalo. (). Es la distancia que hay entre el lmite superior y el lmite inferior de cada intervalo. No necesariamente todos los intervalos deben tener la misma amplitud. Se aconseja usar la siguiente frmula , (La aproximacin se la hace por exceso. Se puede usar decimales).Construccin de los intervalosEl lmite inferior (), del primer intervalo es el valor mnimo de los datos, y el lmite superior del primer intervalo (), se obtiene sumando al valor mnimo la amplitud. Este lmite superior ser el lmite inferior del segundo intervalo, de aqu en adelante el proceso se repite hasta formar el ltimo intervalo.Supongamos que deseamos trabajar con 5 intervalos de amplitud 4 y que el valor mnimo de los datos es de 23. Los intervalos se forman as:Primer intervalo [23 , 23+ 4) = [23 , 27)Segundo intervalo [27 , 27+ 4) = [27 , 31)Tercer intervalo [31 , 31+ 4) = [31 , 35)Cuarto intervalo [35 , 35+ 4) = [35 , 39)Quinto intervalo [39 , 39+ 4) = [39 , 43)

Conteo o recuento:Construidos los intervalos empezamos a ubicar cada dato en uno de ellos, haciendo una marca frente al intervalo que lo contenga. Se recomienda hacer grupos de cinco marcas. Para explicarlo ms claramente, consideremos los intervalos anteriores y los siguientes datos: 25, 40, 33, 31, 41, 28, 36, 42, .El conteo o recuento comenzara as: (por facilidad utilizamos una lnea como marca) [23 , 27) I[27 , 31) I [31 , 35) II [35 , 39) I [39 , 43) III

Observemos que el dato 31 se ubic en el tercer intervalo y NO en el segundo, debido a que el segundo intervalo contiene los datos mayores o iguales a 27 y menores que 31. Esto debido a que los intervalos son de la forma [a,b).

Marcas de clase: Son los puntos medios de cada intervalo y se calculan promediando el lmite inferior y el lmite superior de cada intervalo. Determinados los anteriores valores procedemos a construir la distribucin de frecuencias, la cual es una tabla que contiene: la variable, las marcas de clase, las frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.

.......

.......

=

TOTAL1=100%

donde, : Lmite inferior de cada intervalo : Lmite superior de cada intervalo. : Marca de clase o punto medio de cada intervalo. : Frecuencias absolutas. : Frecuencias absolutas acumuladas. : Frecuencias relativas. : Frecuencias relativas acumuladas.

Nota: Si la variable es cuantitativa discreta y toma muchos valores, tambin la podramos organizar utilizando intervalos.

Ejemplo.La ms grande pesquera del Puerto de Tumaco, tiene en su nmina a 40 empleados. Por leyes del gobierno toda empresa debe dar un subsidio de educacin a cada hijo de los trabajadores, como se mencion y analiz en el problema anterior. Suponga ahora que la empresa crea un programa nutricional para sus empleados. La variable ms importante es el peso de los trabajadores (medidos en kilogramos). Los especialistas en nutricin recogieron los siguientes datos60, 70, 78, 80, 66, 59, 86, 88, 97, 68, 46, 61, 76, 45, 77, 70, 62, 73, 64, 72, 102, 74, 75, 82, 89, 66, 52, 90, 84, 57, 76, 87, 62, 73, 93, 69, 55, 75, 94, 54.Construir una distribucin de frecuencias.

Solucin:La variable de inters es el peso de los empleados, la cual es una variable cuantitativa continua, por lo tanto calculemos:Rango.En la serie de datos podemos observar que el peso mnimo es 45 Kg. y el peso mximo es de 102 Kg., entonces = 102 45 57Nmero de intervalos.Aplicando la regla de Sturges, tenemos 6,286799

La amplitud de cada intervalo es 8,142857 8,2Los intervalos y el conteo o recuento se indican en la siguiente tabla. Recuerde que el lmite inferior del primer intervalo es 45 y su lmite superior se obtiene sumndole la amplitud de 8,2. Una manera de observar rpidamente el conteo es ordenando los datos, as.45, 46, 52, 54, 55, 57, 59, 60, 61, 62, 62, 64, 66, 66, 68, 69, 70, 70, 72, 73, 73, 74, 75, 75, 76, 76, 77, 78, 80, 82, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 93, 94, 97, 102.Peso (Kg)Conteo

4553,2III = 3

53,261,4IIII I = 6

61,469,6IIII II = 7

69,677,8IIII IIII I = 11

77,886IIII = 4

8694,2IIII II = 7

94,2102,4II = 2

Con las definiciones y frmulas correspondientes construimos la siguiente distribucin de frecuencias

Peso(kg.)Marcas de clase

# empleados

4553,249,1337,5%7,5%

53,261,457,36915%22,5%

61,469,665,571617,5%40%

69,677,873,7112727,5%67,5%

77,88681,943110%77,5%

8694,290,173817,5%95%

94,2102,498,32405%100%

TOTAL 40100%

El anlisis de los resultados en la tabla se hace tal como se indican para el tercer rengln, as:7 de los empleados de la pesquera, equivalentes al 17,5% tienen pesos entre los 61,4 Kg. y 69,6 Kg. Podramos decir que el peso promedio de estos siete trabajadores es aproximadamente de 65,5 Kg.16 de los empleados de la pesquera, equivalentes al 40% tienen pesos entre los 45 Kg. y 69,6 Kg.

Estos resultados los podramos observar grficamente en un HISTOGRAMA, o en un POLIGONO DE FRECUENCIAS, los cuales se definen en la sesin de Grficos Estadsticos.

TERCERA UNIDADMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, MEDIDAS DE POSICION Y MEDIDAS DE DISPERSION

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALLas medidas de tendencia central son valores que en una serie ordenada de datos tienden a ubicarse en el centro. Tambin, se las conoce con el nombre de promedios. Entre ellas tenemos:La media aritmtica o promedio aritmtico.La media aritmtica ponderada.La media geomtrica.La mediana. La moda.

Media Aritmtica o Promedio Aritmtico.Es el cociente entre la suma de los datos y el nmero de datos(). Una ventaja de este promedio es que considera la informacin de todos los datos, y una desventaja es que es muy sensible a valores extremos. , para datos NO agrupados , para datos agrupados.Nota: De ahora en adelante los datos NO agrupados sern aquellos que se vienen dados en una lista de datos. Los datos Agrupados son los que vienen dados en una distribucin de frecuencias.

Ejemplo. Un clientes de un local que vende accesorios para computador: una USB en 20.000 pesos, un mouse en 12.000 pesos, un protector de pantalla 9.000 pesos y un teclado en 17.000 pesos. El precio promedio de los cuatro productos es de 14.500. Se calcula as: 14.500

Ejemplo. El dueo del local del ejemplo anterior registr la cantidad de los productos de las ventas del da de hoy. En la siguiente tabla se resume los precios de cada artculo y las cantidades vendidas de cada producto. ProductoPrecioCantidad

USB20.0004

Mouse12.00012

Protector de pantalla9.0009

Teclado17.00015

Cul es precio promedio de los productos que se vendieron en dicho local el da de hoy?

Solucin:Se observa que la variable de inters es el precio de los productos, por tanto, el precio promedio se calcula as: 14.000Otra forma de calcularla es desarrollando las operaciones en una tabla, as:Producto

PrecioCantidad

USB20.000480.000

Mouse12.00012144.000

Protector de pantalla9.000981.000

Teclado17.00015255.000

TOTAL = 40560.000

14.000

Media aritmtica ponderadaSe la utiliza cuando los datos tienen diferente importancia. Se denota y define as: ; donde las son las importancias de cada dato.

Ejemplo. La alcalda de Pasto tiene una vacante para el cargo de director del rea contable. Como requisitos se exige: entrevista, examen de conocimientos y puntaje de la hoja de vida. Adems, se conoce que la entrevista se ponderar con un 10%, el examen de conocimientos con un 70% y la hoja de vida con un 20%. El mnimo aprobatorio es de 60 puntos en una escala de 0 a 100 puntos, el aspirante que obtenga el ms alto puntaje ser el seleccionado, si se presentaron Roberto, Luis, Jos, Ana y Rosa y obtuvieron los puntajes que se muestran en la siguiente tabla. Quin fue el seleccionado?.AspiranteConocimientosHoja de vidaEntrevista

Roberto687280

Luis756478

Jos677178

Ana726973

Rosa736588

Solucin: Como cada prueba tiene diferente importancia ponderacin o peso, no podemos aplicar la media aritmtica o promedio aritmtico para calcular el puntaje de cada aspirante. Aqu debemos utilizar la media aritmtica ponderada .Para calcular el puntaje promedio ponderado que obtuvo Roberto debemos calcularlo as: 70 puntos.

En la tabla se muestran los puntajes promedios ponderados (), para los dems aspirantes.NombreaspiranteConocimientos(70%)Hoja de vida(20%)Entrevista(10%)

Roberto6872807073,3

Luis75647873,172,3

Jos67717868,972

Ana72697371,571,3

Rosa73658872,975,3

CorrectoIncorrecto

Por lo tanto, Luis es el seleccionado para el cargo director del rea contable en la alcalda de Pasto, con un puntaje promedio de 73,1 puntos.Observemos que calculado la media aritmtica (), Rosa sera la seleccionada con un puntaje de 75,3 puntos, cometiendo el error de darle una ponderacin de 33,3% a la entrevista y a las otras dos pruebas; cambiando as las reglas de seleccin.

Media Geomtrica.Se la utiliza cuando los datos crecen en progresin geomtrica, es decir, los datos aumentan rpidamente.Las frmulas de clculo son las siguientes: , para datos NO agrupados

, para datos agrupados

Los productos dentro de la raz suelen ser muy grandes, una forma de trabajar con valores pequeos es utilizando los logaritmos en base 10, as: , para datos NO agrupados , para datos agrupados

Ejemplo: Calcular la media geomtrica de los siguientes datos: 2, 56, 198, 9.650,

Solucin: 120,95

Usando logaritmos en base 10 se calculara as:

Mediana La mediana de una serie de datos ordenados es el valor que se encuentra en el centro de los datos. Otra forma es, un valor mayor al 50% de los datos y es menor que el otro 50%. La mediana se la utiliza cuando existe un valor extremo o dato atpico, en ingls outlier.El lugar donde se encuentra la mediana se obtiene as:

Mediana para datos No agrupados:Si el nmero de datos es impar, la mediana es el valor que se encuentra en el centro de la serie ordenada.Si el nmero de datos es par, el valor de la mediana se encuentra promediando los dos valores centrales.

Ejemplo:En internet publican los precios de cinco planes tursticos: 35, 37, 29, 31, 60 dlares. Calcular la mediana.Solucin: La serie de datos ordenados es: 29, 31, 35, 37, 60. El lugar de la mediana es 3. Esto indica que el tercer dato es la mediana. Es decir, la mediana es 35. La interpretacin de la mediana es: El 50% de los planes tursticos cuestan menos de 35 dlares y el otro 50% cuesta igual o ms de 35 dlares.

Ejemplo:Los pesos de los instrumentos de seis cientficos que inspeccionaron al Volcn Galeras son: 4530, 4510, 6000, 4700, 4600, 4490 gramos. Calcular y analizar la mediana.Solucin: La serie de datos ordenados es: 4490, 4510, 4530, 4600, 4700, 6000. El lugar de la mediana es 3,5. Esto indica que la mediana se encuentra entre el tercer dato y el cuarto. Es decir, la mediana es 4565. Esto significa que el 50% de los instrumentos vulcanolgicos pesa menos de 4565 gramos y el otro 50% pesa ms de 4565 gramos.

Mediana para datos agrupados:(variable cuantitativa discreta)Se calcula el lugar de la mediana, y haciendo lectura en las frecuencias absolutas acumuladas , se selecciona la inmediatamente mayor o igual al lugar de la mediana y se determina donde se encuentra la mediana. Haciendo lectura en la columna de la variable y la fila donde se encuentra la mediana se encuentra el valor de la mediana. Ejemplo: 80 familias viajaron al puerto de Tumaco por una semana. El organizador y gua pregunto cuntas personas por familia estn de acuerdo que la dieta para esa semana sea a base de mariscos?. Los resultados se resumen en la siguiente tabla.

010

124

230

312

74

donde, : Nmero de personas que respondieron afirmativamente : Nmero de familias.Calcular y analizar la mediana.

Solucin: Antes de calcular la mediana complementemos la tabla con las frecuencias absolutas acumuladas, como se observa en la siguiente tabla.

01010

12434

23064

31276

7480

80

Para determinar el lugar de la mediana aplicamos la frmula: , lo cual indica que la mediana se encuentra entre el dato de lugar 40 y el dato de lugar 41.El valor de las frecuencias absoluta acumuladas (), inmediatamente mayor a 40,5 es 64 (ver tabla anterior), el cual se encuentra en el tercer rengln. Por tanto el dato que ocupa el lugar 40 es 2 y el dato que ocupa el dato de lugar 41 es 2, promediando los dos valores se obtiene que la mediana es 2.La interpretacin es: En el 50% de las familias, ninguna, una o mximo 2 personas si desean la dieta a base de mariscos; y en el otro 50% de las familias, 2 o ms de dos personas prefieren la dieta a base de mariscos.

Mediana para datos agrupados:(variable cuantitativa continua)La mediana en datos agrupados con intervalos se calcula as:Se calcula el lugar de la mediana, y haciendo lectura en las frecuencias absolutas acumuladas se selecciona la inmediatamente mayor o igual al lugar de la mediana y se determina la clase o intervalo donde se encuentra la mediana (llamada clase mediana). Luego se aplica la siguiente frmula. + : Lmite inferior de la clase mediana (intervalo donde se encuentra la mediana). : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana. : Frecuencia absoluta de la clase mediana. : Amplitud de la clase mediana. (Diferencia entre el lmite superior y lmite inferior de cada intervalo)Ejemplo: A un grupo de personas seleccionadas aleatoriamente se les pregunt cuntos salarios mnimos invertiran en tecnologa en el ao?. La informacin se resume en la siguiente tabla.Salarios mnimos que se invertiran en tecnologaNmero de personas

1-35

3-57

5-712

7-92

Calcular y analizar la mediana.

Solucin: Complementado la tabla, con las frecuencias absolutas acumuladas tenemosSalarios mnimos que se invertiran en tecnologaNmero de personas

1-355

3-5712

5-71224

7-9226

26

El lugar de la mediana es 13,5. Este valor indica que la mediana se encuentra entre la persona de lugar 13 y la persona de lugar 14. El valor de la frecuencia absoluta acumulada inmediatamente mayor o igual a 13,5 es 24. Por lo tanto la mediana se encuentra en el intervalo ubicado en el tercer rengln, el cual corresponde a la clase mediana y se obtiene que 5 12 12 7 5 2

Remplazando en la frmula se obtiene + 5 + + 5,17 5,2 sm.Es decir, la mediana es 5,2 salarios mnimos. Lo cual significa que el 50% de las personas invertiran anualmente en tecnologa 5,2 salarios mnimos, y el otro 50% de las personas invertiran ms de 5,2 salarios mnimos anualmente en tecnologa.

La moda o modo. La moda o modo se define como el dato de mayor frecuencia o el dato que ms se repite. Si una serie de datos tiene una moda se dice que es unimodal, si tiene dos modas se dice que es bimodal y si tiene ms de dos modas se dice que es multimodal.Ejemplo. La moda de los datos: 3, 6, 2, 2, 5, 6, 2, 7, 2, 4, 5, 2, 2 es , el cual es el dato de mayor frecuencia.

Ejemplo. Una aerolnea est planeando descuentos para los hijos de sus clientes. Se realiz un estudio a un grupo de 40 clientes, en el cual la variable de inters fue el nmero de hijos por cliente. Se obtuvo la siguiente informacinNmero de hijosnmero de clientes

05

110

215

38

42

Calcular la moda

Solucin.La moda es , ya que es el nmero de hijos que se repite con mayor frecuencia, en este caso se presenta en 15 clientes.

Moda en datos agrupados (Variable cuantitativa continua)Para determinar el lugar de la moda en datos agrupados (Variable cuantitativa continua), basta con observar la mayor frecuencia absoluta. El intervalo correspondiente se llama clase modal.La moda se calcula de la siguiente manera: + : Lmite inferior de la clase modal (intervalo donde se encuentra la moda). : Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta anterior. : Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta siguiente. : Amplitud de la clase modal. (Diferencia entre el lmite superior y lmite inferior de la clase modal)

Ejemplo. Una empresa de turismo tiene en su nmina 60 empleados, clasificados por edad, como lo indica la siguiente tabla.Edad# de empleados

20255

253012

303518

354015

404510

Calcular y analizar la moda.

Solucin:La mayor frecuencia es 18 y corresponde al tercer rengln. Este intervalo recibe el nombre de clase modal, en el cual se tiene que: 30 18 12 = 6 18 15 = 3 35-30 = 5

Remplazando en la frmula de la moda tenemos: + + + 33,3 aos.Lo cual indica que la edad que ms se repite entre los empleados de la empresa de turismo es de 33,3 aos.

Nota: Se debe aclarar que en la construccin de datos agrupados con intervalos se pierde informacin, esto implica que si tuviramos la lista de datos posiblemente la edad que ms se repite podra ser otro valor, puesto que si los 18 empleados de la clase modal todos tienen edades diferentes y los 5 empleados del primer intervalo tiene la misma edad, entonces la moda cambiara.

LAS MEDIDAS DE POSICION

Ya hemos realizado una exploracin de los datos, analizando los valores centrales, ahora nos interesa analizar los datos en cualquier posicin de una serie ordenada, para ello estudiaremos las medidas de posicin.Entre las medidas de posicin tenemos: Los cuartiles, los deciles y los percentiles.

Cuartiles ( )Son tres valores ( 1, 2, 3) que dividen al rango o recorrido en cuatro partes iguales, cada una de ellas equivalente al 25%.

El lugar de cada cuartil se calcula con la siguiente frmula. El cuartil se calcula as: + donde, : Lmite inferior de la clase cuartil (Intervalo donde se encuentra el cuartil ). : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase cuartil : Frecuencia absoluta de la clase cuartil : Amplitud de la clase cuartil (Diferencia entre el lmite superior y lmite inferior de cada intervalo)

Como las frmulas son muy similares a las de la mediana se procede y analiza de manera equivalente.

Deciles ()Son nueve valores ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.) que dividen al rango o recorrido en diez partes iguales, cada una de ellas equivalente al 10%.

El lugar de cada decil se calcula con la siguiente frmula. El decil se calcula asi: + : Lmite inferior de la clase decil (Intervalo donde se encuentra el decil ). : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase decil : Frecuencia absoluta de la clase decil : Amplitud de la clase decil (Diferencia entre el lmite superior y lmite inferior de cada intervalo)Como las frmulas son muy similares a la mediana y los curtiles, se procede y analiza de manera equivalente.PercentilesSon noventa y nueve valores ( 1, 2, 3, , 99) que dividen al rango o recorrido en cien partes iguales, cada una de ellas equivalente al 1%.El lugar de cada percentil se calcula con la siguiente frmula: El percentil se calcula as: + donde, : Lmite inferior de la clase percentil (Intervalo donde se encuentra el percentil ). : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase percentil : Frecuencia absoluta de la clase percentil : Amplitud de la clase percentil (Diferencia entre el lmite superior y lmite inferior de cada intervalo)

Como las frmulas son muy similares a la mediana, los cuartiles y los deciles, se procede y analiza de manera equivalente.

Ejemplo: Se realiz un estudio en el cual se preguntaba de las utilidades mensuales que tenan 45 empresas catalogadas como las ms grandes del pas. Por convenio con las empresas no se debe publicar sus nombres ni mucho menos directamente el valor informado, por lo tanto se construy una distribucin de frecuencias con intervalos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.Utilidad mensual(millones de pesos)# de empresas

2544

581014

8111529

11141342

1417345

45

Calcular y analizar .

Solucin.Clculo del cuartil 3. (Equivalente al 75% de los datos). Lugar del cuartil 34,5. Esto indica que el se encuentra entre el dato de lugar 34 y el dato de lugar 35. Adems, la frecuencia absoluta acumulada inmediatamente mayor a 34,5 es 42, correspondiente al cuarto intervalo.

Utilidad mensual(millones de pesos)# de empresas

2544

581014

8111529

11141342

1417345

45

Por lo tanto 11 29 13 14 11 3

Remplazando en la frmula tenemos, + + *3 12,096154 Esto significa que el 75% de las empresas ms grandes del pas, tienen utilidades mensuales inferiores a 12096.154 pesos y el 25% de las empresas ms grandes del pas tienen utilidades mensuales superiores a 12096.154.

Clculo del decil 4. (Equivalente al 40% de los datos). Lugar del decil 18,4. Esto indica que el se encuentra entre el dato de lugar 18 y el dato de lugar 19. Adems, la frecuencia absoluta acumulada inmediatamente mayor a 18,4 es 29, correspondiente al tercer intervalo.Utilidad mensual(millones de pesos)# de empresas

2544

581014

8111529

11141342

1417345

45

Por lo tanto 8 14 15 11 8 3

Remplazando en la frmula tenemos, + + *3 8,8Esto significa que el 40% de las empresas ms grandes del pas, tienen utilidades mensuales inferiores a 8800.000 pesos y el 60% de las empresas tienen utilidades mensuales superiores a 8800.000.

Clculo del percentil 29. (Equivalente al 29% de los datos). Lugar del percentil 29 13,34. Esto indica que el se encuentra entre el dato de lugar 13 y el dato de lugar 14. Adems, la frecuencia absoluta acumulada inmediatamente mayor a 13,34 es 14, correspondiente al segundo intervalo. Utilidad mensual(millones de pesos)# de empresas

2544

581014

8111529

11141342

1417345

45

Por lo tanto 5 4 10 8 5 3

Remplazando en la frmula tenemos, + + *3 7,715Esto significa que el 29% de las empresas ms grandes del pas, tienen utilidades mensuales inferiores a 7715.000 pesos y el 71% de las empresas tienen utilidades superiores a 7715.000.

RANGO PERCENTIL ()En el ejemplo anterior nos podramos preguntar Qu porcentaje de las empresas tienen utilidades inferior a 10500.000 pesos mensuales?. Estas preguntas se resuelven calculando el rango percentil , mediante la siguiente frmula, que se obtiene al despejar de la frmula de los percentiles. donde, : Percentil , este valor se ubica en los intervalos y me determina la clase rango percentil : Lmite inferior de la clase rango percentil. : Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase rango percentil. : Frecuencia absoluta de la clase rango percentil. : Amplitud de la clase rango percentil. (Diferencia entre el lmite superior y lmite inferior de la clase rango percentil)

Ejemplo:Resolvamos la pregunta: Qu porcentaje de las empresas ms grandes del pas tienen utilidades inferior a 10500.000 pesos mensuales?.

Solucin.Segn la informacin del problema los 10500.000 pesos, equivalentes a 10,5 millones de pesos, corresponde a 10,5; el cual se encuentra en el tercer rengln de la tabla.Utilidad mensual(millones de pesos)# de empresas

2544

581014

8111529

11141342

1417345

45

De donde se tiene que: 10,5 8 14 15 11 8 = 3

Remplazando en la frmula del rango percentil se tiene 58,9% Es decir, que el 58,9% de las empresas ms grandes del pas tienen unas utilidades inferiores a 10500.000 pesos mensuales y el 41,1% de las empresas tienen utilidades superiores a 10500.000 pesos mensuales.

LAS MEDIDAS DE DISPERSION, VARIACION o DESVIACION

Las medidas de tendencia central, NO indican que caracterstica tienen los datos en cuanto a si son parecidos, (homogneos o tienen poca variabilidad) o si son muy distintos (heterogneos o tienen variabilidad considerable). Las medidas de dispersin son las que me indican que tanta variabilidad tienen los datos.Las medias de dispersin, variacin o desviacin que estudiaremos sern: El rango o recorrido, la desviacin media, la varianza, la desviacin estndar y el coeficiente de variacin.

El rango o recorridoEs la diferencia entre el valor mximo de los datos y el valor mnimo. Si el rango es muy grande y tenemos muy pocos datos, se puede decir, que los datos tienen mucha variabilidad. Pero si el rango es pequeo y tenemos muchos datos, estos tienen poca variabilidad o son homogneos.Aunque esta medida es muy fcil de calcular su interpretacin es muy subjetiva, adems, nicamente utiliza los valores extremos y no considera los otros datos.

Desviaciones con respecto a la media.Estas no son medidas de dispersin, pero se las utiliza para las calcular la desviacin media y la varianza las cuales las estudiaremos a continuacin.Las desviaciones respecto a la media es la diferencia entre cada dato y la media aritmtica de los datos, se pueden simbolizar como: , indican que tan distante se encuentra cada dato con respecto a la media aritmtica. Si la diferencia es negativa el dato se encuentra a la izquierda de la media y si es positiva el dato se encuentra a la derecha de la media, si es cero el dato es igual a la media.Una propiedad de las desviaciones respecto a la media es que la suma de todas ellas es igual a cero, es decir, 0, para datos NO agrupados 0, para datos agrupadosEjemplo: Calcular las desviaciones respecto a la media de los siguientes datos: 6, 4, 3, 7, 2.Solucin: La media aritmtica de los cinco datos es, 4,4En la siguiente tabla se calculan las desviaciones respecto a la media y se comprueba la propiedad.

66 4,4 = +1,6

44 4,4 = - 0,4

33 4,4 = - 1,4

77 4,4 = +2,6

22 4,4 = - 2,4

TOTAL 0

Desviacin mediaLa desviacin media es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media aritmtica. Dicho de otra manera, es el cociente entre la suma de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media y el nmero de datos. Las frmulas correspondientes son: , para datos NO agrupados.

, para datos agrupados.

Ejemplo: Calcular la desviacin media de los siguientes datos: 6, 4, 3, 7, 2.Solucin: La media aritmtica de los cinco datos es, 4,4En la siguiente tabla se calculan las desviaciones respecto a la media, sus valores absolutos y los totales.

66 4,4 = +1,61,6

44 4,4 = - 0,40,4

33 4,4 = - 1,41,4

77 4,4 = +2,62,6

22 4,4 = - 2,42,4

0 = 8,4

De la tabla se obtiene que: 1,68.

Otra manera de calcularla es 1,68.Este valor indica que la distancia promedio a cada uno de los datos con respecto a la media aritmtica es de 1,68 unidades. Es decir, que en promedio, los datos se separan de la media en 1,68 unidades. Adems, podramos asegurar que en distribuciones normales (estas distribuciones se estudiarn en las unidades de probabilidad), que la mayora de los datos se encuentran entre

VARIANZASe podra definir la varianza como un promedio de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media, o como el cociente entre la suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media y el nmero de datos. Las unidades de la variable de estudio quedan elevadas al cuadrado y carecen de significado real, por tanto, la varianza no tiene interpretacin. La varianza es el medio para calcular la desviacin estndar.Las frmulas respectivas para el clculo de la varianza son:Varianza corregida , para datos NO agrupados. , para datos agrupados.La varianza corregida es la ms utilizada para calcular la varianza de una muestra. Se divide entre , porque se est estimando un parmetro que es la media poblacional.

Varianza SIN corregir , para datos NO agrupados , para datos agrupados

DESVIACION ESTANDAR o TPICALa desviacin estndar o desviacin tpica es la raz cuadrada positiva de la varianza. Las unidades de la desviacin estndar son las mismas de la variable de estudio, y por este hecho tiene interpretacin. Nos indica cunto pueden alejarse los datos respecto a la media aritmtica, dicho de otra manera, la desviacin estndar es una medida del grado de dispersin de los datos con respecto al valor promedio. Esta medida es ms estable que el rango o recorrido y toma en consideracin el valor de cada dato.

Desviacin estndar corregida , para datos NO agrupados

, para datos agrupados

Desviacin estndar SIN corregir , para datos NO agrupados. , para datos agrupados.

COEFICIENTE DE VARIACIONEl coeficiente de variacin es una medida de dispersin y se define como el cociente entre la desviacin estndar y la media aritmtica. Este carece de unidades y por tanto se puede expresar en porcentaje. Su frmula de clculo es: El indica que tan dispersos se encuentran los datos con respecto a la media aritmtica. Este es ms preciso que la desviacin estndar.El Coeficiente de variacin mide la dispersin en trminos de porcentaje, seala qu tan grande es la magnitud de la desviacin estndar respecto al promedio del conjunto de datos que se examina.Si el es menor o igual al 20% se dice que el promedio es representativo, o que los datos son homogneos

Si el es mayor al 20%, el promedio NO es representativo, o que los datos NO son homogneosOtra interpretacin muy similar a la anterior se muestra en la siguiente tabla Interpretacin

Menos del 11%Muy homogneos

11% al 16%Homogneos

16% al 26%Heterogneos

Ms del 26%Muy heterogneos

Ejemplo.De los siguientes datos calcular la media, la desviacin media, la varianza, la desviacin estndar y el coeficiente de variacin.168, 170, 196, 180, 173.Solucin.Calculemos la media aritmtica 177,4

Calculemos la desviacin media = 8,48Este valor indica que la distancia promedio a cada uno de los datos con respecto a la media aritmtica es de 8,48. Es decir, que en promedio, los datos se separan de la media en 8,48 unidades.

Calculemos la Varianza (corregida) 128,8Este valor no tiene anlisis, es el proceso para calcular la desviacin estndar.

Calculemos la desviacin estndar (corregida) 11,35Nos indica que los datos pueden alejarse de la media aritmtica 11,35 unidades o que los datos se encuentran desviados con respecto del promedio en 11,35 unidades.

Calculemos el coeficiente de variacin. 0,063979.. 6,4%Este valor es menor que el 20%, concluimos que los datos son homogneos. Segn la tabla de anlisis del , el 6,4% es menor de 11% y se concluye que los datos son muy homogneos.

Ejemplo.Un campesino del municipio del Encano, Nario (Lugar donde se encuentra uno de los sitios ms tursticos de Nario, La Laguna de la Cocha o Lago Guamuez), tiene en uno de sus criaderos truchas arco iris, a las cuales las alimenta con un producto extrado de vsceras de las mismas truchas sacrificadas, dicho alimento es rico en protenas. Para el control de peso y tamao ha instalado una tecnologa nica en el Departamento de Nario, en el cual con un software especial obtiene automticamente el peso y tamao de cada una de ellas. El anterior fin de semana, tomo mediciones sobre el peso (en gramos) de las truchas de este criadero y obtuvo los siguientes resultados.Peso(gr.)# truchas

1751859

18519530

19520557

205215103

21522526

22523515

23524010

TOTAL250

Calcular y analizar el peso promedio de las truchas, la varianza, la desviacin estndar y el coeficiente de variacin.Solucin:Para empezar hacer los clculos necesitamos determinar las marcas de clase () . Luego realizando las operaciones indicadas y las sumatorias que aparecen en las frmulas obtenemos la siguiente tabla.

Peso(gr.)# truchas

17518591801.620-27,68766,18246.895,6416

185195301905.700-17,68312,58249.377,472

1952055720011.400-7,6858,98243.361,9968

20521510321021.6302,325,3824554,3872

215225262205.72012,32151,78243.946,3424

225235152303.45022,32498,18247.472,736

235245102402.40032,321.044,582410.445,824

TOTAL25051.92042.054,4

Nota: Esta tabla se construye fcilmente en la hoja electrnica, usando las operaciones como frmulas de Excel.

Calculemos la media aritmtica 207,68 Esto significa que el peso promedio de las 250 truchas que hay en el criadero es de 207,68 gramos.

Calculemos la Varianza (corregida) 168,89Este valor no tiene anlisis porque las unidades de este valor son gramos al cuadrado. Calculemos la desviacin estndar (corregida) 12,9957 13Nos indica que los pesos de las truchas pueden alejarse del peso promedio 13 gramos, o que los pesos de las truchas se encuentran desviados con respecto del peso promedio en 13 gramos.Nota: Si el peso de las truchas se distribuyen normalmente (consultar distribucin normal) se puede afirmar que aproximadamente un 68,26% de las truchas tiene pesos entre 207,68 13 y 207.68 + 13, es decir, hay un gran porcentaje de truchas cuyos pesos se encuentran entre 194,68 gramos y 220,68 gramos.

Calculemos el coeficiente de variacin. 0,0626 6,26%Este valor es menor que el 20%, concluimos que los pesos de las truchas arco iris del criadero son homogneos, es decir, los pesos de las 250 truchas del criadero tienen poca variabilidad. Segn la tabla de anlisis del , el 6,26% es menor de 11% y se concluye que los pesos de las truchas son muy homogneos.

COEFICIENTE DE SIMETRIA Y CURTOSIS (opcional)

COEFICIENTE DE SIMETRIA ().Es el cociente entre el tercer momento central () y el cubo de la desviacin estndar.

El tercer momento central se define y calcula, as:

La interpretacin del coeficiente de simetra se hace de la siguiente manera:Si , la distribucin es simtrica. Otra manera de llegar a la misma conclusin es observando que la media aritmtica, la mediana y la moda coincidan, (). Grficamente se tendra:

Si , la distribucin es asimtrica a la izquierda o de sesgo negativo. Otra manera de llegar a la misma conclusin es observando que la media aritmtica es menor que la mediana y menor la moda, (). Grficamente se tendra:

Si , la distribucin es asimtrica a la derecha o de sesgo positivo. Otra manera de llegar a la misma conclusin es observando que la moda es menor que la mediana y menor media aritmtica, (). Grficamente se tendra:

COEFICIENTE DE CURTOSIS O APUNTAMIENTO ().Es el cociente entre el cuarto momento central () y la desviacin estndar elevada a la cuatro.

El cuarto momento central se define y calcula, as:

La interpretacin del coeficiente de curtosis o apuntamiento se hace de la siguiente manera:Si , la distribucin es normal o mesocrtica. Si , la distribucin es achatada o platicrtica. Si , la distribucin es apuntada o leptocrtica.

CUARTA UNIDAD

GRAFICOS ESTADISTICOS

Una manera de representar la informacin es mediante los grficos estadsticos. Estos ayudan de manera rpida a revisar la descripcin de los datos. Los grficos ms comunes son:El grfico o diagrama de barras (horizontales, verticales o en componentes)El grfico o diagrama de lneas o trazos.El grfico o diagrama de sectores, circular, de torta o de pastel.Los Pictogramas.El diagrama de Cajas y Bigotes.El Histograma.El polgono de frecuenciasLas ojivas o polgono de frecuencias acumuladas.

Hay otros grficos que se utilizan segn la disciplina, tales como los cartogramas que se utilizan en las ciencias sociales, la curva de Lorenz que explica el Coeficiente de Gini, el cual lo utilizan los economistas. EXCEL, STATGRAPHICS y SPSS, en la galera de grficos presenta una gran variedad de grficos e incluso en 3D. Otros paquetes estadsticos presentan grficos especiales como las caras de Chernoff y estrellas utilizados para anlisis de datos multivariados.Cada tipo de grfico est destinado para una labor especfica. Con la prctica y de acuerdo a tus necesidades determinars cual utilizar segn tus datos.

El grfico o diagrama de barras (horizontales, verticales o en componentes)

Es un grfico que utiliza rectngulos horizontales o verticales llamados barras. El ancho de cada barra es arbitrario, pero se debe tener en cuenta que ninguna de ellas se debe cruzarse o solaparse con otra. El alto de cada barra depende de las frecuencias de los datos. Generalmente los valores de las variables se ubican en el eje X, y las frecuencias en el eje Y (grfico vertical). Cuando se van a analizar dos o ms variables el grfico recibe el nombre de grfico de barras en componentes, tambin se pueden comparar la misma variable en dos periodos distintos con este tipo de grficas.

Ejemplo:

Se registr en el primer semestre del ao 2011, la cantidad de USB que se vendieron en un local donde se comercializa accesorios para PC, estos registros se realizaron en cada uno de los meses. La informacin se observa en la siguiente tabla.

MesCantidad de USB vendidas(miles)

enero25

febrero12

marzo38

abril94

mayo12

junio28

Construir un diagrama de barras.

Solucin.

El grfico de barras verticales es el siguiente. (Si queremos las barras horizontales, ubicamos los meses en el eje Y, y la cantidad de USB vendidas en el eje X).

Ejemplo:

Se registr en el primer semestre de los aos 2011 y 2012, la cantidad de USB que se vendieron en el mismo local del ejemplo anterior, estos registros se realizaron en cada uno de los meses. La informacin se presenta en la siguiente tabla.

MesCantidad de USB vendidas 2011 Cantidad de USB vendidas 2012

enero2575

febrero1264

marzo3850

abril9484

mayo1220

junio2852

Construir un diagrama de barras en componentes

Solucin.

El grfico de barras en componentes es el siguiente. Observa que si tenemos dos variables en cada valor del eje X, se grafican dos barras. Si se tienen tres componentes se debern graficar tres barras, etc.

El grfico o diagrama de lneas o trazos.

Es un grfico que para trazarlo se ubican puntos en el plano cartesiano y luego se los une mediante segmentos de recta, llamados trazos.

Ejemplos. Veamos la informacin de los dos ejemplos anteriores en un diagrama de lneas.

El grfico o diagrama de sectores, circular, de torta o de pastel.

Se utiliza cuando la unidad se puede subdividir. La informacin la podemos representar en un crculo en el cual se muestra la proporcin o porcentaje equivalente a cada parte.

Para determinar dicho porcentaje hacemos corresponder el total al 100% y mediante regla de tres simple directa determinamos el porcentaje que equivale cada parte.

100% ?De forma similar haciendo corresponde el total a 360 del crculo y aplicando regla de tres simple directa determinamos cuntos grados le corresponde a cada parte.

360 ?

Ejemplo.

La facultad de Economa de una universidad est compuesta por: estudiantes, docente, administrativos y servicios generales. Si las cantidades de personas en cada estamento son las que aparecen en la siguiente tabla, representemos esta informacin mediante un diagrama circular.

EstamentosCantidad

Estudiantes800

Administrativos100

Docente340

Servicios Generales80

TOTAL1320

Solucin.

Calculando los porcentajes y los grados para cada estamento, y poder trazar el grfico sin usar herramientas informticas tenemos los siguientes resultados.

EstamentosCantidadPorcentajesGradosGrados Acumulados

Estudiantes80060,6%218218

Administrativos1007,6%27245

Docente34025,8%93338

Servicios Generales806,1%22360

TOTAL1320100%360

El diagrama circular es el siguiente, presentado en tres dimensiones