modelo matricial para el cálculo de pórticos de seccion variable

Modelo Matricial para el Cálculo de Pórticos de Inercia Variable y Estudio del Pandeo por Flexión

para Elementos de Sección Variable

Tesis presentada para optar al Titulo de Ingeniero Civil en Obras Civiles

Profesor Patrocinante

Sr. Julio Lopetegui Torres Ingeniero Civil, Dr. en Ingenieria

Profesor Patrocinante Sr. Alejandro Niño Solis

Ingeniero Civil, M. Sc. de la Ingenieria

Profesor Informante Sr. Adolfo Castro Bustamante

Ingeniero Civil, M. Sc de la Ingenieria

Luis Franklin Antonio Stuardo Alarcón Valdivia – Chile

2010

Y así, después de esperar tanto, un día como cualquier otro decidí triunfar... Decidí no esperar a las oportunidades, sino yo mismo buscarlas

Decidí ver cada problema como la oportunidad de encontrar una solución Decidí ver cada noche como un misterio a resolver

Decidí ver cada día como una nueva oportunidad de ser feliz. Aquel día descubrí que mi único rival no eran más que mis propias debilidades,

y que en éstas está la única y la mejor forma de superarnos. Descubrí que no era yo el mejor, y que quizás nunca lo fuí.

Me dejó de importar quién ganara o perdiera. Ahora me importa simplemente saberme mejor que ayer.

Aprendí que lo difícil no es no llegar a la cima, sino jamás dejar de subir. Aprendí que el mejor triunfo que puedo tener es tener el derecho de llamar a alguien amigo.

Descubrí que el amor es más que un simple estado de enamoramiento, "el amor es una filosofía de vida".

Aquel día dejé de ser un reflejo de mis escasos triunfos pasados y empecé a ser mi propia tenue luz de este presente.

Aprendí que de nada sirve ser luz si no vas a iluminar el camino de los demás. Aquel día decidí cambiar tantas cosas.

Aquel día aprendí que los sueños son solamente para hacerse realidad. Desde aquel día yo ya no duermo para descansar... ahora simplemente duermo para soñar.

Walt Disney

Si piensas que estas vencido, lo estas.

Si piensas que no te atreves, así es. Si te gusta ganar, pero piensas que no puedes,

es casi seguro: no ganarás. Si piensas que perderás, estas perdido,

pues el mundo nos enseña que el éxito empieza en la voluntad del hombre...

Todo esta en el estado de ánimo. Si piensas que eres superior, lo eres.

Has tenido que pensar alto para ascender. Has tenido que estar seguro de ti mismo

antes de ganar ningún premio. Las batallas de la vida no siempre favorecen

al hombre mas fuerte o al mas rápido, pero tarde o temprano el hombre que gana

¡es el hombre que PIENSA QUE PUEDE! Napoleón Hill

Padres, he aquí un objetivo cumplido, un sueño hecho realidad, una meta alcanzada…no ha sido fácil…

pero siempre he sentido su apoyo y preocupación, Hermanos, unidos hemos superado grandes peligros y

dificultadas, y aquí estamos, juntos nuevamente, Amor, gracias por aparecer en mi vida, por darle

sentido a muchas cosas alentándome a ser cada vez mejor, Familia, esto es para ustedes con el afán de seguir soñando,

con la ambición de seguir creyendo que con esfuerzo todo se consigue y que los sueños están

para nunca dejar de soñar… Franklin Stuardo

Índice General

i

Índice General i

Índice de Tablas iii

Índice de Figuras vi

Resumen . ix

Summary . ix

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN 1

1.1 Antecedentes Generales 1

1.2 Revisión Bibliográfica 3

1.3 Objetivos y Alcances 5

1.3.1 Objetivo General 5

1.3.2 Objetivos Específicos 5

1.4 Metodología y Materiales Empelados 6

1.4.1 Metodología 6

1.4.2 Materiales 7

CAPÍTULO II

LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINÚA 8

2.1. Antecedentes Generales 8

2.2. Consideraciones e Hipótesis a Utilizar 14

2.3. Columna de Inercia Variable Biarticulada 16

2.4. Columna de Inercia Variable Empotrada – Libre 22

2.4.1 Caso A: Empotrada – Libre 22

2.4.2 Caso B: Libre – Empotrada 31

2.5. Columna de Inercia Variable Biempotrada 38

2.6. Columna de Inercia Variable Biempotrada con

Posibilidades de Desplazamiento Lateral Relativo

entre sus Extremos 45

2.7. Columna de Inercia Variable Empotrada en un

Extremo y Articulada en el otro 52

2.7.1 Caso A: Empotrada – Articulada 52

2.7.2 Caso B: Articulada – Empotrada 60

Índice General

ii

CAPÍTULO III

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO NO PRISMÁTICO 66

3.1. Antecedentes Generales 66

3.2. Matriz de Rigidez para Elementos No Prismáticos 66

3.3. Transformación de Rigideces al Cambiar de Sistema

de Coordenadas 70

3.4. Resolución de las integrales de flexibilidad 74

CAPÍTULO IV

CONCLUSIONES 76

Bibliografía 78

Anexo A Cálculo de la Carga de Pandeo para un elemento

de sección constante con el Programa SAP2000 80

Anexo B Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento

No Prismático con el Programa Sap2000 96

Anexo C Ejemplo de Aplicación del Análisis Matricial de un

Marco Compuesto por Elementos de Sección

Variable (Resuelto en el Programa MathCad) 106

Anexo D Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación 118

Índice de Tablas

iii

INDICE DE TABLAS

Capítulo II: La Barra de sección Variable Continua.

Página

Tabla 2.1: Valores del factor m de Ec.2.23 para � � 2 13

Tabla 2.2: Coeficientes de longitud de Pandeo para una columna de

sección constate (Valores Teóricos y Recomendados).

13

Tabla 2.3: Parámetro m para la barra biarticulada no prismática. 18

Tabla 2.4: Coeficiente de esbeltez, � , para la barra biarticulada no

prismática.

21

Tabla 2.5: Coeficientes δ para la barra biarticulada no prismática 26

Tabla 2.6: Parámetro m para la barra empotrada - libre no prismática. 28

Tabla 2.7: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra empotrada libre

no prismática.

30

Tabla 2.8: Coeficientes � para la barra Libre Empotrada no

prismática.

33

Tabla 2.9: Parámetro m para la barra libre – empotrada no

prismática.

35

Tabla 2.10: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra libre - empotrada

no prismática.

37

Tabla 2.11: Parámetro m para la barra biempotrada no prismática 42

Tabla 2.12: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra biempotrada no

prismática

44

Tabla 2.13: Parámetro m para la barra Biempotrada no prismática con

desplazamiento lateral relativo entre sus extremos.

48

Tabla 2.14: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra Biempotrada no

prismática con desplazamiento lateral relativo entre sus

extremos

51

Tabla 2.15: Coeficientes � para la barra no prismática empotrada en

un extremo y articulada en el otro

55

Tabla 2.16: Parámetro m para la barra no prismática empotrada en un

extremo y articulada en el otro.

56

Índice de Tablas

iv

Página

Tabla 2.17: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra no prismática

empotrada en un extremo y articulada en el otro.

59

Tabla 2.18: Parámetro m para la barra no prismática articulada en un

extremo y empotrada en el otro.

63

Tabla 2.19: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra no prismática

articulada en un extremo y empotrada en el otro.

65

Anexo A: Cálculo de la Carga de Pandeo con el Programa SAP2000

Página

Tabla A.1: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un

elemento sección constante

95

Anexo B: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no

Prismático con el Programa Sap2000

Página

Tabla B.1: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un

elemento sección variable (no prismático)

105


elemento con variación de inercia lineal y otro con

variación parabólica

105

Anexo D: Resumen formulación de los Parámetros que definen:

Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una

Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.

Página

Tabla C.1: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica,

Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no

Prismática Biempotrada y Empotrada – Articulada,

respectivamente.

118

Índice de Tablas

v

Página



Prismática Articulada – Empotrada y Empotrada – Libre,

respectivamente.

119

Tabla C 3: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica,


Prismática Libre – Empotrado y Biarticulado,

respectivamente

120



Prismática Biempotrada con Desplazamiento Lateral

Relativo.

121

Índice de Figuras

vi

INDICE DE FIGURAS

CAPITULO II La Barra de sección Variable continua.

Página

Figura 2.1: Barra de sección variable modeladas con � � 2. 9

Figura 2.2: Esquema de la barra usada por Timoshenko. 10

Figura 2.3: Esquema de la Columna Tipo de inercia Variable. 15

Figura 2.4: Columna de inercia Variable Biarticulada en sus

extremos.

16

Figura 2.5: Deformada de la Columna de inercia Variable Biarticulada

en sus extremos.

20

Figura 2.6: Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y

libre en el otro.

22

Figura 2.7a: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el

Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento

igual a 0.2 y aproximación inicial 1.

25

Figura 2.7b: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el


igual a 0.2 y aproximación inicial 5

25

Figura 2.7c: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el



26

Figura 2.8: Deformadas de la Columna de inercia Variable

empotrada en un extremo y libre en el otro, con diferentes

desplazamientos laterales.

29

Figura 2.9: Columna de inercia Variable libre en un extremo y

empotrada en el otro.

31

Figura 2.10: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.113 por el



33

Índice de Figuras

vii

Página

Figura 2.11: Deformadas de la Columna de inercia Variable

empotrada en un extremo y libre en el otro, con diferentes

desplazamientos

36

Figura 2.12: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus

extremos

38

Figura 2.13: Deformada de la Barra de inercia Variable Biempotrada

en sus extremos.

43

Figura 2.14: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus

extremos con posibilidades de desplazamiento relativo

entre sus nudos.

45

Figura 2.15: Deformada de la Columna de inercia Variable

Biempotrada con desplazamiento relativo entre sus

extremos

49


articulada en el otro.

52

Figura 2.17: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.237 por el


igual a 0.2 y aproximación inicial 25.

55

Figura 2.18: Deformada de la Columna de inercia Variable empotrada

en un extremo y articulada en el otro.

58

Figura 2.19: Columna de inercia Variable articulada en un extremo y


60

Figura 2.20: Deformada de la Columna de inercia Variable articulada

en un extremo y empotrada en el otro.

64

Índice de Figuras

viii

CAPITULO III Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático.

Página

Figura 3.1: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático 67


Figura 3.2: Elementos de sección variable más comunes: (a) Sección

T; (b) Sección Rectangular; (c) Sección Circular;

(d) Sección Cuadrada

68


Figura 3.6: Resolución en MathCad de la integral definida en

ecuación 3.2

75

ix

Resumen

Este estudio es desarrollado para contribuir al análisis de los elementos de

sección variable, generalizando el método matricial para este tipo de elementos,

definiendo y resolviendo claramente cada una de las integrales de flexibilidad, con las

cuales se obtienen los coeficientes de rigidez y así definir la matriz característica para

un elemento no prismático. Además se muestra la resolución de un pórtico compuesto

por elementos de sección constante y sección variable, resolviendo el problema en una

hoja de cálculo en el programa MathCad.

También se estudia el pandeo por flexión para un elemento aislado de sección

variables con variadas condiciones de sustentación (Biempotrada, Biarticulada,

Empotrado – Libre con y sin desplazamiento Lateral, Articulado – Empotrado) de donde

se deducen: la ecuación para la deformada, la carga crítica de pandeo, la longitud de

pandeo y el coeficiente de esbeltez para cada uno de los casos analizados.

Las formulaciones desarrolladas se comparan con los resultados que se obtienen

al modelar los elementos en el programa SAP2000, para lo cual se entrega un práctico

manual de este programa para análisis y calculo de estructuras, que explica la forma y

parámetros necesarios para modelar elementos de sección variable, y cómo conseguir

que el programa determine la carga critica de pandeo para un elemento cualquiera.

Summary

This study was developed to help analyze the elements of the variable section,

generalizing the matrix method for these elements, clearly defining and solving each of

the integrals of flexibility, which yields the stiffness coefficients and define the feature

matrix for a non-prismatic element.

It also shows the resolution of a frame composed of elements of constant section

and section variable, solving the problem in a MathCard¨s spreadsheet program.

We also studied the flexural buckling for a single element of the variable section with

various conditions of support (fixed-ended, bi-articulated, Built - Free movement with or

without Lateral, Articulated - Built) from which it is deducted: the equation for the

deformed, the critical buckling load, the buckling length and the slenderness coefficient

for each of the cases analyzed.

The developed formulations are compared with the results obtained by SAP2000

modeling program. A practical manual of this program is included for the analysis and

calculation of structures, which explains the form and parameters necessary to model

elements of the variable section, and how to get the program to determine the critical

buckling load for any element.

Capítulo I: Introducción

1

CAPITULO I

INTRODUCCION

1.1. ANTECEDENTES GENERALES

Los métodos clásicos de análisis estructural que se desarrollaron a fines del siglo

XIX, tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática.

Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se

aplicaban en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto. Por esta

razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de reducir el conjunto

de cálculo. Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico fueron apareciendo

(Método de Cross), pero la mayoría de las mismas eran aplicables solo a determinados

tipos de estructuras.

La aparición del computador a comienzos del siglo XX, hizo posible la resolución

de los enormes sistemas de ecuaciones lineales que planteaban los primeros métodos

de análisis. En donde el análisis matricial saco amplia ventaja debido a los siguientes

hechos: primero, proporciona un medio matemático muy cómodo para expresar la

teoría; segundo, la solución que expresa la teoría puede obtenerse fácilmente mediante

una secuencia de operadores matriciales, secuencias que el computador pudo resolver

fácilmente.

En el mundo de la ingeniería, cada vez causan más atracción los elementos de

sección variable, ya que permiten una mejor optimización de la estructura y un

consecuente ahorro de material, sobre todo en pórticos donde las luces a salvar son

muy elevadas. Estos cambios de geometría que se producen en una estructura o

elemento estructural suelen traducirse en una disminución de su capacidad para

soportar cargas, de manera que el colapso se produce para cargas inferiores a las

teóricamente necesarias, fenómeno conocido como inestabilidad del equilibrio elástico

(pandeo por flexión).

Para enfrentar el diseño de los elementos de sección variable, los ingenieros

recurren a métodos aproximados basados en considerar al elemento de inercia variable

como un número finito de elementos de inercia constante que pueden proporcionar

soluciones adecuadamente exactas, ya que el cálculo por ordenador ha hecho posible

dividir la pieza de una manera eficiente; pero no aportan soluciones generales que

permitan definir la forma general del comportamiento estructural. De esta manera,


2

parámetros fundamentales como la esbeltez no encuentran, si se recurre a una

discretización, una definición adecuada en nuestra opinión, ya que vendrá siempre

referida a elementos parciales y no al elemento global.

Al momento del calcular y diseñar estructuras, es frecuente el

sobredimensionamiento de los elementos de sección variable, para tener la seguridad

de que el pandeo no será un problema. Esta es una práctica que va en contra de la

filosofía de la barra de inercia variable, ya que son elementos fabricados para optimizar.

A esto se suma que la información disponible en la bibliografía sobre elementos

de sección variable referente a su matriz de rigidez y, más aún, al pandeo por flexión es

bastante escasa y tal vez se deba a la enorme proliferación de aplicaciones informáticas

que realizan el cálculo de estos elementos con métodos aproximados, lo que ha dado

lugar al abandono de este tema por parte de los investigadores.

Por tanto se abordará el problema haciendo un análisis cualitativo completo de la

barra de inercia variable, obteniendo sus diferentes rigideces, abarcando el fenómeno

del pandeo por flexión, para así poder abordar modelos de cálculos válidos y fiables.

Para esto, se seguirá la vía analítica para la resolución de las condiciones de equilibrio,

ecuaciones de la curva elástica, cargas de pandeo y otros parámetros de interés, ya

que es la única manera de conocer cómo se comporta la barra de inercia variable en un

sistema estructural global, teniendo presente que el abandono de la simplicidad y

potencia de los modelos numéricos, será una tarea difícil de llevar.

Para dar un uso práctico al estudio, se comparará la metodología propuesta con

los resultados obtenidos usando las herramientas para el cálculo de estructuras que

están implementadas en el Programa SAP2000, tanto para obtener la carga critica

como para calculo de elementos de sección variable.


3

(Ec. 1.1)

(Ec. 1.2)

(Ec. 1.3

(Ec. 1.4)

(Ec. 1.5)

(Ec. 1.6)

(Ec. 1.7)

1.2. REVISION BIBLIOGRAFICA

Para el estudio del pandeo en barras de inercia variable, Timoshenko et al (1961)

estudio por el método de bifurcación, elementos con variación de inercia según la ley:

��

�

Particularizada para n=2 y n=4, empotrados en su base, y libres en su extremo

superior, sometidos a un esfuerzo de compresión axial constate a lo largo de toda su

longitud

La ecuación diferencial de la elástica de esta pieza es:

��

�� 0

Cuya solucion es

�� sin �� ln �

� � cos �� ln �

Con

� � ��!"# $ �

%

Aplicando las condiciones de contorno y los principios propios de la teoría de

bifurcación del equilibrio, se obtiene la ecuación:

tan �� ln �() � 2� � 0

Donde conociendo los valores de + � -, puede deducirse el menor valor de � que

satisface la ecuación 1.5. Así el valor de la carga critica puede calculares por medio de

la ecuación 1.4 al ser conocidos +, �, �� .

Para el mismo caso, y aplicando los mismos principios V. Cudos y F. Quinteros

(1988) afirman que la carga critica de un voladizo con inercia variable según la ley

cuadrática, es igual a la de otro de inercia constante de valor:

�/0 � 1 �

Donde:

1 � 4 �3�(4, 5�6� �1 $ 8� , 19: 8 �

()

Siendo � la solución de la ecuación 1.5 para + � - conocidos.


4

(Ec. 1.8)

(Ec. 1.9)

(Ec. 1.10)

(Ec. 1.11)

Estos autores consideran que la aplicación de la ley de inercia propuesta por

Timoshenko se puede hacer extensiva al caso de perfiles en Doble T de ala constante y

alma de canto variable linealmente, si se desprecia la aportación del alma en la

definición del momento de inercia.

Balli y Mazzolani (1983) proponen el siguiente valor para el coeficiente c de la

ecuación 1.6, en piezas biarticuladas:

1 � 0,08 � 0,92=

Dentro del mismo contexto, pero con un enfoque ligeramente diferente Galambos

(1987) considera que el cálculo de vigas ahusadas biarticuladas puede reducirse al

cálculo de vigas de inercia constante igual a la inercia mínima de la viga �/0 � �� y

longitud

-/0 � > -, 19: > � 1 $ 0,375 � ) � 0,08 � )

�1 $ 0,0775 � )

Por otra parte, Belluzi (1967) propone emplear el método energético para abordar

el problema de la barra de inercia variable, de tal maneta que la carga de pandeo se

ajusta a una expresión del tipo:

�B/�C � D E FGHI ��E J�K��

L�K� ��HI

O bien:

�BM�C � D E N��FGGHI ��E FGHI ��

Dependiendo de si se usa el momento externo o interno en el cálculo del trabajo

de deformación, se usa una u otra expresión.

La dificultad del método energético radica en la estimación de una ley de la

deformada =��, que se ajuste bien al problema. No obstante, basta con que la

ecuación cumpla con las condiciones de contorno de la barra para obtener una buena

aproximación de la carga de pandeo. Además, siempre se puede seguir afinar en la

ecuación de la deformada por iteraciones sucesivas.


5

1.3. OBJETIVOS Y ALCANCES

1.3.1. OBJETIVO GENERAL

Calcular pórticos compuestos por elementos de Inercia Variable y estudiar el

Pandeo por Flexión en elementos de sección variable.

1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a. Generalizar el método matricial para la barra de sección variable, obteniendo

cada una de sus rigideces (Rigidez Axial, al Desplazamiento y al Giro).

b. Obtener la matriz de rigidez necesaria para analizar un pórtico conformado por

elementos de sección variable.

c. Estudiar el pandeo por flexión en las barras de inercia variable con base en los

trabajos realizados por Timoshenko.

d. Análisis sistemático del fenómeno de pandeo por flexión en la barra aislada de

inercia variable mediante el uso de la vía analítica. Observando cómo se

comporta bajo diferentes condiciones de sustentación.

e. Resolución de algunos problemas prácticos para verificar la metodología

propuesta frente a resultados de otros métodos recogidos en la bibliografía.

f. Uso del Programa Sap2000 para modelar elementos tipo frame de sección

variable y obtener la carga de pandeo

g. Aportar al estudio de los problemas de inestabilidad en pórticos de elementos de

sección variable. Concepto existente en casi todas las normas de cálculo y

diseño a nivel mundial.


6

1.4. METODOLOGIA Y MATERIALES EMPLEADOS

1.4.1. METODOLOGIA

Para cumplir con los objetivos y fines del presente trabajo de titulación, es

necesario emplear un conjunto de métodos físicos y matemáticos, así como una gran

cantidad de medios instrumentales, que permitan dar sustento a las conclusiones

obtenidas.

Para lograr completar el análisis matricial de los pórticos de inercia variable y el

pandeo por flexión en los elementos de sección variable, el presente trabajo se divide

en 3 grandes partes:

La primera parte se encarga de estudiar el pandeo por flexión en la barra ideal de

inercia variable rescatando los trabajos realizados por Timoshenko.

La segunda parte tiene por objeto la obtención de la matriz de rigidez para un

elemento viga-columna de inercia variable y su aplicación en el cálculo y análisis de un

pórtico conformado por elementos de inercia variable.

Y la última parte, consta de 2 anexos que prácticamente forman un básico tutorial

del programa SAP2000 v14 que pretende orientar sobre la modelación de elementos y

sistemas estructurales, de sección constante y/o sección variable, así como las

metodologías y procedimientos que se deben usar en el programa para determinar la

carga de pandeo de estos elementos.

Dado que la literatura es bastante deficiente respecto a la sección variable, ha

sido difícil contar con ejemplos y ejercicios que permitan validar las formulaciones

planteadas en este trabajo de titulación, por lo cual se ha escogido el programa

SAP2000 v14 para la comprobación de los problemas a resolver aplicando las

formulaciones desarrolladas en los siguientes capítulos.

Así el Anexo 1 se centra en explicar cómo calcular la carga de pandeo en un

elemento de sección constante y el resultado obtenido se comprueba con las fórmulas

para el pandeo de Euler de un elemento de sección constante, ampliamente usadas y

estudiadas en la literatura actual. Y el Anexo 2, emplea el procedimiento expuesto en el

Anexo 1 pero aplicado al cálculo de la carga de pandeo para un elemento no prismático

modelado en el programa SAP2000, así se puede dar sustento a los objetivos

planteados en este trabajo de titulación.

Se pretende que el presente trabajo sea una herramienta útil en el conocimiento

y estudio de los elementos de sección variable y una muestra de los beneficios que se

obtienen al complementar los métodos tradicionales de análisis estructural con los

avances computacionales existentes en la actualidad.


7

1.4.2. MATERIALES

A continuación se describen los medios instrumentales y métodos no propios

empleados en la elaboración de este trabajo de titulación, necesarios para dar solución

a los objetivos planteados:

a. Computador Personal HP EliteBook 8530w:

- Procesador Inter® Core™ 2 Duo, CPU

- CPU T9400 @ 2.53GHz

- 2 GB en memoria RAM

b. Impresora Multifuncional Epson

c. Conexión a Internet

d. Programas Informáticos:

- Microsoft Word: Editor de texto

- Microsoft Excel: Editor hojas de calculo

- MathCad 14: Programa algebraico con prestaciones de cálculo

numérico y simbólico, herramientas de programación y trabajo de

matrices.

- AutoCad MAP 2010: Programa de diseño asistido por ordenador para

dibujos en 2D y 3D.

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

8

CAPITULO II

LA BARRA DE SECCION VARIABLE CONTINUA


A continuación se revisará la teoría propuesta por Timoshenko & Gere en su libro

Theory of Elastic Stability, formulación que servirá de base para el desarrollo del

presente capítulo.

Timoshenko et al. (1961) plantea que para estudiar el pandeo en una barra de

inercia variable con eje centroidal idealmente recto, lo primero es definir una geometría,

para lo que propuso la siguiente Ley General de Variación de Inercia:

��

Donde:

�: Longitud de la barra

I�: Momento de inercia menor de la barra

a: Longitud ficticia que resulta de prolongar las aristas de la barra hasta su concurrencia

(Fig. 2.1)

n: corresponde al tipo de variación a usar, pudiendo obtenerse una variación lineal,

parabólica, cubica, etc., según sea el valor a indicar.

Cuando n � 1 se obtiene el caso de una columna con la forma de una placa de

espesor constante t y ancho variable (Fig. 2.1). El exponente n � 2, representa bastante

bien la mayoría de las secciones empeladas en la construcción, en especial las

secciones rectangulares, secciones en I o doble T y columnas de celosía (por ejemplo

una columna formada por 4 ángulos conectados por diagonales)

(Ec. 2.1)


9

(Ec. 2.5)

Figura 2.1: Barras de sección variable modeladas con � � 2

En la Fig. 2.1 también se definen el puntos inicial �� y final �� de la barra, y

es posible asociar a cada extremo los parámetros de Momento de Inercia de la sección

respecto aje centroidal �� , Área de la sección transversal �� y Canto

de la sección (�� ). En base a estos parámetros se puede establecer el llamado

coeficiente de ahusamiento de la barra, denominado con la letra griega γγγγ.

(Timoshenko et al. 1961)

� � ��

Según lo planteado anteriormente es posible obtener una relación directa entre

los momentos de inercia para los extremos de la barra:

Momento de inercia nudo inicial:

��

Momento de inercia nudo final:

�� 1 � �� !� � � ��

Luego de reescribir la ecuación anterior, se obtiene la relación buscada:

"#$%"# � "#�&�'�("# � �1 � ��

(Ec. 2.2)

(Ec. 2.3)

(Ec. 2.4)


10

(Ec. 2.6)

(Ec. 2.7)

Una vez definida la geometría de la barra Timoshenko et al. (1961) basado en el

método estático estudió una barra Empotrada - Libre sometida a una carga axial P

en ambos extremos (Fig. 2.2).

Figura. 2.2: Esquema de la barra usada por Timoshenko

La carga critica según la teoría de bifurcación del equilibro considerando

pequeñas deformación resulta de la resolución de la siguiente ecuación diferencial:

)�� *(+*�( � ,- . ,∆� 0

Y al aplicar las condiciones de contorno es posible conseguir una solución no

trivial. Esta es una ecuación diferencial de segundo orden que corresponde al tipo de

ecuación de Euler y se transforma en una ecuación diferencial lineal de coeficientes

constantes al realizar el siguiente cambio de variable:

�� 12


11

(Ec. 2.8)

(Ec. 2.9)

(Ec. 2.10)

(Ec. 2.11)

(Ec. 2.12)

(Ec. 2.13)

(Ec. 2.14)

(Ec. 2.15)

(Ec. 2.16)

(Ec. 2.17)

De donde se obtiene que *2*� � &� y por lo tanto:

*+*2 � *+*2 *2*� � &� *+*2

3�-3�� 33� 41� 3-356 � 1� 33� 43-356 � 3-35 33� 41�6 � 1�� 3�-35� . 1�� 3-35

Reescribiendo la ecuación 2.8 resulta

�� 3�-3�� 3�-35� . 3-35

Y sustituyendo la ecuación 2.9 en la ecuación 2.6 queda:

*(+*2( . *+*2 � 7�(8"# - . ∆�(8"# � 0

-"�� . -´�� :��-�� . :��∆� 0, !� :� � ,)��

Esta ecuación de coeficientes constantes tiene la siguiente solución general:

-�5� � √12�= sin @5 � A cos @5� � ∆

donde A y B son constantes de integración y

@ � D,��)�� . 14 � D�:�� . 14 � D4:�� 6� . 14

Desasiendo el cambio de variable, la ecuación 2.12 queda

-�� F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ∆

y las condiciones de contorno para el problema planteado son:

-�� ∆ ; -�� 0 ; -´�� 0

Usando la primera condición, se tiene que:

-�� ∆� F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ∆ , !� ln �� 0

-�� 0 � L= sin�0� � A cos�0�M , NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1

P A � 0 Para obtener la constante A, se usa la segunda condición considerando el valor

ya obtenido para la constante A � 0 :

-�� 0 � F�� G= sin �@ ln �� I � ∆ , NO��3! � � ��


12

(Ec. 2.18)

(Ec. 2.19)

(Ec. 2.20)

(Ec. 2.21)

(Ec. 2.22)

(Ec. 2.23)

(Ec. 2.24)

(Ec. 2.25)

-�� 0 � Q�1 � ��L= sin�@ ln�1 � ��M � ∆

P = � . ∆Q�1 � ��Lsin�@ ln�1 � ��M Así la ecuación de la deformada queda:

-�� .F�� R ∆Q�1 � ��Lsin�@ ln�1 � ��M sin �@ ln ��S � ∆

Y sus derivadas son:

-´�� .∆ @ cos �@ ln �� . ∆2 sin �@ ln �� sin�@ ln�1 � ��Q1 � �F��

-"�� ∆ sin �@ ln �� 4@� � 1�4�� sin�@ ln�1 � ��Q1 � � ��T�

Finalmente aplicando la última condición es posible obtener los parámetros que

definen a la carga de pandeo crítica:

-´�� 0 � .∆ @ cos �@ ln � � �� . ∆2 sin �@ ln � � �� sin�@ ln�1 � ��Q1 � �F� � �� , !� � � ��

-´�� 0 � ∆ @ cos�@ ln�1 � �� . ∆� sin�@ ln�1 � �� P tanL@ ln�1 � ��M � .2@

Esta relación es una ecuación trigonométrica de difícil solución, en donde

conociendo los parámetros � - � (o su grado de ahusamiento, �) es posible obtener el

coeficiente @ que satisface ésta ecuación. Luego se podrá calcular el valor para la carga

de pandeo al trabajar con la siguiente expresión en función de los parámetros @ - �,

obtenida a partir de la ecuación 2.23, asi:

@ � D,��)�� . 14 V @� � 14 � ,WX ��)��

P ,WX � �� @� � 14)�� Y)�� !� Y � �� 4@� � 146

Para subsanar esta dificultad Timoshenko et al. (1961) propone resolver la

ecuación en forma numérica, valores entregados en Tabla 2.1 que demuestran la


13

(Ec. 2.26)

convergencia de la ecuación 2.25 hacia la carga de pandeo de Euler para una barra

Empotrada - Libre de inercia constante a medida que la inercia del punto inicial (inercia

mínima) se aproxima a la inercia del punto final (inercia máxima), es decir, la barra se

transforma en un elemento de inercia constante: "#"#$% Z 1

Tabla 2.1: Valores del factor m de Ec.2.23 para n=2 ��/�� 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

m 0,250 1,350 1,593 1,763 1,904 2,023 2,128 2,223 2,311 2,392 \]/^

Se aprecia claramente cuando las inercias de los extremos se igualan, el valor

del coeficiente m es el valor de la carga critica de Euler para vigas de inercia constante

de una barra Empotrada - Libre ampliamente descrita en la bibliografía. Este hecho

nos permite afirmar que la formulación expresada en la ecuación 2.25 representa un

enfoque más general del valor de la carga critica que el descrito para vigas de inercia

constante y nos determina un modo de trabajo en el todo análogo a los descritos por los

métodos clásicos para las vigas de inercia constate, las cuales solo representan un

caso particular de la formulación aquí descrita.

,WX � _�4 )��

Basados en esta demostración y en los trabajos realizados por Timoshenko et al.

(1961), se desarrollarán en los siguientes apartados los 5 casos del pandeo de Euler

para una columna de inercia constante tratados ampliamente en la literatura (ver tabla

2.2), pero teniendo en cuenta que la inercia es variable, obteniendo la ecuación

diferencial para el equilibrio de momentos en cada caso, y trabajando las expresiones

de la misma forma que se hizo anteriormente se conseguirá la carga de pandeo,

longitud de pandeo y ecuación de la deformada para casa situación.

Tabla 2.2: Coeficientes de longitud de Pandeo para una columna de sección constante (Valores Teóricos y Recomendados)

Fuente Libro diseño de estructuras en acero, ICHA


14

(Ec. 2.27)

(Ec. 2.28)

(Ec. 2.29)

(Ec. 2.30)

2.2. CONSIDERACIONES E HIPOTESIS A UTILIZAR

La barra a estudiar tendrá las siguientes características (Fig 2.3):

� Longitud de la barra: �

� Longitud de convergencia de aristas: �

� Canto mínimo: `�

� Canto máximo `��

� Área mínima: =�

� Área máxima: =��

� Momento de inercia mínimo: ��

� Momento de inercia máximo: ��

� Coeficiente de ahusamiento:

� � ��

� Peso propio del elemento despreciable

� Inercia variable según la ley de Timoshenko:

��

De donde se obtienen las siguientes relaciones:

- Relación entre las inercias extremas (�� - ��: �� 1 � �� V � � D�� . 1

- Relación entre los cantos extremos para una barra de sección rectangular

(`� - `��: �� V a`��T12 � a`�T12 ��

P `�� `� ��(b


15

Figura 2.3: Esquema de la Columna Tipo de inercia Variable


16

2.3. COLUMNA DE INERCIA VARIABLE BIARTICULADA

Figura 2.4: Columna de inercia Variable Biarticulada en sus extremos.

Análisis Estático

Momento externo: cd�e � , · -�� Momento interno: cge � .)�� · -"�� .)�� · -"��

Igualando ambos momentos se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio para la

barra:

)�� -" � ,- � 0

Haciendo el cambio de variable �� 12 y operando de la misma forma descrita en

el punto 2.1 resulta la siguiente ecuación diferencial:

-"�5� � :��-�5� � 0, !� :� � ,)��

(Ec. 2.31)

(Ec. 2.32)

(Ec. 2.33)

(Ec. 2.34)


17

Ecuación diferencial que tiene una solución general del tipo:

-�� F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I !� @ � F�h�' � . &i Las condiciones de contorno para el problema planteado son:

-�� 0 ; -�� 0 ; -´�� 0 ; -´�� 0 De la primera condición, se tiene:

-�� 0 � F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I , �jkl ��3! ln �� 0

-�� 0 � = sin�0� � A cos�0� , NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1

P A � 0

Para obtener la constante A, se usa la segunda condición y el valor ya obtenido

para la constante A � 0 :

-�� 0 � F�� G= sin �@ ln �� I , NO��3! � � ��

-�� 0 � Q�1 � ��L= sin�@ ln�1 � ��M Por lo que la constante A tiene infinitas soluciones.

Carga de Pandeo

Recordando que según la teoría de bifurcación del equilibrio para , � ,WX

la viga puede permanecer recta o bien curvarse, la obtención de la carga critica para la

pieza objeto de estudio es igual a:

0 � sin�@ ln�1 � �� , 3�3! mN1 � n 0 - = o 0

Cuya solución general es:

@ ln�1 � �� _ , !� � � 1,2,3…. El menor valor de @ compatible con la configuración deformada se obtiene sin

más que hacer � � 1 en la ecuación anterior, lo cual conduce a:

@ � _ln�1 � ��

Sustituyendo @ por el valor indicado en la ecuación 2.24 y operando

adecuadamente se deduce que el valor para la carga crítica de la barra es:

(Ec. 2.35)

(Ec. 2.36)

(Ec. 2.37)

(Ec. 2.38)

(Ec. 2.39)

(Ec. 2.40)

(Ec. 2.41)

(Ec. 2.42)


18

4:�� 6� . 14 � s _ln�1 � ��t� , 3!�31 :� � ,WX)�� ,WX)�� . 14 � _�ln��1 � ��

,WX � �� R4_� � ln��1 � ��4 ln��1 � �� S)��

Este resultado permite reescribir la ecuación 2.44 de la siguiente manera:

,WX � Y)�� !� Y � �� R4_� � ln��1 � ��4 ln��1 � �� S

Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de

ahusamiento de la barra (�). Tomando límite de m para � tendiendo a cero, que

representa el caso de viga de inercia constante, se obtiene:

lim'Vv R4_� � ln��1 � ��4 ln��1 � �� S �� _�

lim'VvY � _�

Así, la carga de pandeo queda:

,WX � _� )��

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra biarticulada

con inercia constante ��.

Tabla 2.3: Parámetro m para la barra biarticulada no prismática

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

m 9.87 11.89 13.99 16.17 18.44 20.79 23.22 25.73 28.31 30.97 33.71 36.52 39.40 42.35 45.38 48.47

De las ecuaciones 2.37 y 2.42 se deduce que cuando la carga axial compresora

es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de expresión:

-�� =F�� sin 4 _ln�1 � �� ln ��6

(Ec. 2.43)

(Ec. 2.44)

(Ec. 2.45)

(Ec. 2.46)

(Ec. 2.47)

(Ec. 2.48)


19


-´�� =F�� w 2_ !O x _ ln ��ln�1 � ��y � ln�1 � �� Ol� x _ ln �� ln�1 � ��yz2 � ln�1 � ��

-"�� = Ol� x _ ln �� ln�1 � ��y � ln��1 � �� 4_��4 � � ln��1 � ��F��

Longitud de pandeo

Recordando que la longitud de pandeo, �h, de una pieza ideal coincide con la

distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener

dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la

deformada de la barra (Timoshenko et al. 1961)

En la Figura 2.5 se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del

Programa MathCad, en donde se han supuesto valores para las constantes con el

objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir lo siguiente:

- La constante A amplifica a la grafica en el sentido vertical (observar las graficas roja

y azul que corresponde a los valores para = � 1 - = � 2 respectivamente)

- El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión

aumente a medida que se avanza en el eje X.

- Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra � { L�, � � �M se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.

(Ec. 2.49)

(Ec. 2.50)


20

Figura 2.5: Deformada de la Columna de inercia Variable

Biarticulada en sus extremos.

Para obtener los puntos de inflexión se tiene que:

-"�� 0 � = Ol� x _ ln �� ln�1 � ��y � ln��1 � �� 4_��4 � � ln��1 � ��F��

Como δ o 0, � o 0 y � o 0 la solución para la ecuación anterior es:

Ol� } _ ln �� ln�1 � ��~ � 0

Cuya solución es:

_ ln �� ln�1 � �� _ , !� � � 0,1,2, ….

(Ec. 2.51)

(Ec. 2.52)

(Ec. 2.53)


21

ln �� ln�1 � �� ln �� ln 41 � ��6 1klYl��3! ��

�� 41 � ��6

Para que los puntos de inflexión pertenezcan al intervalo citado, debemos

encontrar � tal que � � � - � � � � �

�l � � 0: �� 1 V �v � �

�l � � 1: �� 1 � �� V �& � � � �

Así:

�h � ∆� � �� . �� . � � �

Por lo tanto la longitud de pandeo es igual a la longitud real de la barra, L, al

igual que en el caso de la barra de inercia constante, con lo que el coeficiente de

esbeltez es � � 1. Esto nos permite afirmar que la longitud de pandeo de una columna

biarticulada no prismática es siempre igual a su propia longitud, independientemente de

su grado de ahusamiento.

Tabla 2.4: Coeficiente de esbeltez, � , para la barra biarticulada no prismática

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

β 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

(Ec. 2.54)

(Ec. 2.55)

(Ec. 2.56)

(Ec. 2.57)


22

2.4. Columna de inercia variable Empotrada - Libre

2.4.1. Caso A: Empotrada – Libre

Figura 2.6: Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y libre en el otro.

Análisis estático

Momento externo: cd�e � , · -�� . , · ∆

Momento interno: cge � .)�� · -"�� Igualando ambos momentos llegamos a la siguiente ecuación de equilibrio:

)�� -" � ,- . , · ∆� 0


el capitulo anterior resulta la siguiente ecuación diferencial:

-"�5� . -´�5� � :��- . :��∆� 0, !� :� � ,)��

(Ec. 2.58)

(Ec. 2.59)

(Ec. 2.60)

(Ec. 2.61)


23

Ecuación diferencial con una solución general del tipo:

-�� F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ∆ !� @ � F�h�' � . &i Las condiciones de contorno para el problema planteado son:

-�� 0 ; -�� ∆ ; -´�� 0

De la primera condición, se tiene:

-�� 0 � F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ∆, �jkl ��3! ln �� 0

-�� 0 � 1L= sin�0� � A cos�0�M � ∆, NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1

-�� 0 � A � ∆ P A � .∆

Para obtener la constante A, se usa la segunda condición y el valor obtenido

para la constante A � .∆ :

La primera derivada de la ecuación 2.62 es:

-´�� = sin �@ ln �� A cos �@ ln ��2�F�� F��}=@ cos �@ ln �� . A@ sin �@ ln �� ~

Luego

-´�� 0 � � �� ##�� ##��F## � F�� ##�� ##� �

-´�� 0 � = sin�0� � A cos�0�2� � �=@ cos�0� . A@ sin�0�� NO��3! ln�1� � 0 -´�� 0 � A2� � =@� NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1

P = � ∆�� NO��3! A � .∆

De las ecuaciones 2.65 y 2.69 se deduce que cuando la carga axial compresora

es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de expresión:

-�� F�� G ∆�� sin �@ ln �� . ∆ cos �@ ln ��I � ∆

(Ec. 2.62)

(Ec. 2.65)

(Ec. 2.66)

(Ec. 2.67)

(Ec. 2.68)

(Ec. 2.69)

(Ec. 2.70)

(Ec. 2.64)


24

Y sus derivadas:

-´�� ∆ sin �@ ln �� 4@� � 1�4�@F��

-"�� .∆�4@� � 1� Gsin �@ ln �� . 2@ cos �@ ln ��I8��@ ��T�

Carga de pandeo

Aplicando la segunda condición de contorno

-�� ∆� F�� G ∆�� sin �@ ln �� . ∆ cos �@ ln �� I � ∆

∆2@ sin�@ ln�1 � �� . ∆ cos�@ ln�1 � �� 0 �jkl ��3! � � �� sin�@ ln�1 � ��cos�@ ln�1 � �� 2@ tanL@ ln�1 � ��M � 2@

Esta ecuación trigonométrica es de difícil solución, por lo cual se usará el método

de Newton-Rhapson programado en MathCad para buscar las soluciones de cada

grado de ahusamiento que se han abarcado, � � { L0,3M Con el método programado, resulta sencillo modificar el punto de partida para la

iteración según los valores que va encontrando el método. A continuación se muestra

este proceso para el grado de ahusamiento � � 0.2 (ver imagen 2.7a al 2.7c). Se

observa que con un punto de partida igual a 1, el método entrega valores cero o muy

cercano al cero (ver imagen 2.7b), para un valor 5, hay más valores de respuesta pero

no se parecía convergencia de la solución (ver imagen 2.7b), finalmente para un valor

de partida igual a 8 (ver imagen 2.7c), se obtiene una solución convergente hacia el

valor 8.284916066889.

(Ec. 2.71)

(Ec. 2.72)

(Ec. 2.73)

(Ec. 2.75)

(Ec. 2.74)


25

Figura 2.7a: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 1

Figura 2.7b: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 5


26

Figura 2.7c: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 8

Al resolver la ecuación 2.75 para cada grado de ahusamiento de la viga

empotrada libre, se obtiene la siguiente tabla para los grados de ahusamiento

comprendidos entre 0 y 3.

Tabla 2.5: Coeficientes @ para la barra biarticulada no prismática

γ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

δ 8.28 4.37 3.04 2.36 1.94 1.65 1.44 1.28 1.15 1.04 0.94 0.86 0.79 0.73 0.67

Con estos resultados es posible obtener una ecuación aproximada para @,

ecuación que tendrá la siguiente forma:

@ � _ln�1 � �� = � � A� Remplazando el punto (0.2, 8.285) en la ecuación 2.76 se obtiene la constante B

en función de A: 8.285 � ��&�'� �0.2= � A� A � 0.4808179 . 0.2=

(Ec. 2.76)

(Ec. 2.77)

(Ec. 2.78)


27

Remplazando el punto (4, 0.466) en la ecuación 2.76 y usando la constante B, se

obtiene la constante A:

0.466 � _ln�1 � �� 3= � 0.4808179 . 0.2=� = � .0.063707

Luego la constante B se obtiene al reemplazar la el valor de la constante A en la

ecuación 2.78:

A � 0.4808179 . 0.2�.0.063707� � 0.493559

Asi la ecuación 2.76 queda:

@ � _ln�1 � �� .0.063707� � 0.493559� Se observa que al evaluar para grado de ahusamiento 1, se obtiene @ � 1.94,

valor semejante al obtenido usando Newton-Rhapson

@ � D4:�� 6� . 14 � _ln�1 � �� 0.493559 . 0.063707�� Y despejando ::

: � ��D _�ln��1 � �� 0.493559 . 0.063707�� 14 Anteriormente se demostró que:

:� � ,)��

Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es:

,WX � �� R _�ln��1 � �� 0.493559 . 0.063707�� 14S� )�� Es decir:

,WX � Y)�� !� Y � �� R _�ln��1 � �� 0.493559 . 0.063707�� 14S Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de

ahusamiento de la barra (�). Tomando límite de m para � tendiendo a cero, que


lim'VvY � 0.2436 _� Z _�4

(Ec. 2.85)

(Ec. 2.86)

(Ec. 2.87)

(Ec. 2.79)

(Ec. 2.80)

(Ec. 2.81)

(Ec. 2.82)

(Ec. 2.83)

(Ec. 2.84)


28

La carga de pandeo queda:

,WX � _�4 )��

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra Empotrada-

Libre con inercia constante ��.

Tabla 2.6: Parámetro m para la barra Empotrada - Libre no prismática

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

m 2.47 2.76 3.10 3.42 3.74 4.05 4.34 4.62 4.88 5.14 5.39 5.62 5.85 6.06 6.27 6.48

Longitud de pandeo




deformada de la barra.

A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del

Programa MathCad (ver figura 2.8), en donde se han supuesto valores para las

constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir

lo siguiente:

- La grafica es de tipo senoidal

- La constante ∆ desplaza el eje de las ordenas y amplifica la grafica en el sentido

vertical (observar las graficas roja y azul que corresponde a los valores para ∆� 1 - ∆� 2 respectivamente)


aumente a medida que se avanza por el eje x.

- Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra � { L�, � � �M y

se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.

(Ec. 2.88)


29

Figura 2.8: Deformadas de la Columna de inercia Variable empotrada en un

extremo y libre en el otro, con diferentes desplazamientos laterales.


-"�� 0 � . ∆�i�(�&�G�� #�� #I��(��#b(

Como � o 0 - � o 0 se tiene:

sin �@ ln �� . 2@ cos �@ ln �� 0

tan �@ ln �� 2@

(Ec. 2.89)

(Ec. 2.90)

(Ec. 2.91)


30

Resolviendo para �:

� � �1s�� t � �� 1s�� t

La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de � entre � - � � 1 en el entorno del intervalo � { L�, � � �M siendo en este caso � � .1 - � � 0

�l � � .1: ��& � �' 1s��(�� t

�l � � 0: �v � �� 1s�� t

Así,

�h � ∆� � �v . ��& � �' 1s��(�� t . �' 1s��(�� t

P �h � �' G1 . 1� �I 14��(�� 6

Se observa que la longitud de pandeo si depende del coeficiente de

ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez (�) también sea variable y

dependiente de �, es decir:

�h � �+� , !� �+ � 1� s1 . 1�� t 14�� 6

- @ � _ln�1 � �� 0.493559 . 0.063707�� Tomando límite de �+ para � tendiendo a cero, que representa el caso de viga de

inercia constante, se obtiene:

lim'Vv�+ � 2

Que es justamente le valor de � para una barra Empotrada-Libre de inercias

constante, cuya longitud de pandeo es �h � 2�

Tabla 2.7: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra empotrada libre no prismática

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

δ #### 8.28 4.37 3.04 2.37 1.95 1.66 1.45 1.29 1.16 1.05 0.95 0.87 0.80 0.74 0.69

β 2.00 1.89 1.79 1.70 1.63 1.58 1.53 1.49 1.45 1.42 1.39 1.37 1.35 1.33 1.32 1.30

(Ec. 2.93)

(Ec. 2.94)

(Ec. 2.95)

(Ec. 2.96)

(Ec. 2.98)

(Ec. 2.92)

(Ec. 2.97)


31

(Ec. 2.101)

(Ec. 2.102)

2.4.2. Caso B: Libre – Empotrada

Figura 2.9: Columna de inercia Variable libre en un extremo y empotrada en el otro.

Análisis estático

Este caso es similar al caso A, con la única diferencia que la barra esta invertida

y también sus condiciones de borde. La Ecuación diferencial tiene una solución general

del tipo:

-�� F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ∆ !� @ � F�h�' � . &i Las condiciones de contorno para el problema planteado son:

-�� ∆ ; -�� 0 ; -´�� 0

De la primera condición, se obtiene:

-�� ∆� F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ∆ , NO��3! ln �� 0

-�� ∆� 1L= sin�0� � A cos�0�M � ∆, !� sin�0� � 0 - cos�0� � 1

(Ec. 2.99)

(Ec. 2.100)


32

(Ec. 2.111)

-�� ∆� A � ∆ P A � 0

Para obtener la constante A, se usa la segunda condición y el valor ya obtenido


-�� 0 � F�� G= sin �@ ln �� I � ∆ , NO��3! � � �� -�� 0 � Q�1 � ��L= sin�@ ln�1 � ��M � ∆

P = � . ∆Q�1 � ��Lsin�@ ln�1 � ��M De las ecuaciones 2.103 y 2.106 se deduce que cuando la carga axial

compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de

expresión:

-�� . ∆Q�1 � ��Lsin�@ ln�1 � ��MF�� sin �@ ln �� ∆ Y sus derivadas son:

-´�� .∆@ cos �@ ln �� ∆ sin �@ ln ��2� sin�@ ln�1 � ��Q�1 � ��F��

-"�� ∆ sin �@ ln �� 4@� � 1�� sin�@ ln�1 � ��Q�1 � �� T��

Aplicando la tercera condición de contorno:

-´�� 0 � .∆@ cos �@ ln � � �� ∆ sin �@ ln � � �� 2� sin�@ ln�1 � ��Q�1 � ��F� � ��

-´�� 0 � .∆@ cos�@ ln�1 � �� ∆ sin�@ ln�1 � ��2� sin�@ ln�1 � ��Q�1 � ��Q�1 � �� !� � � ��

(Ec. 2.103)

(Ec. 2.104)

(Ec. 2.106)

(Ec. 2.107)

(Ec. 2.108)

(Ec. 2.109)

(Ec. 2.110)

(Ec. 2.105)


33

0 � @ cos�@ ln�1 � �� sin�@ ln�1 � ��2

tanL@ ln�1 � ��M � .2@

Expresión similar al caso A y para la cual se ha obtenido una expresión analítica

aproximada para despejar @ operando de forma similar a la ecuación 2.75 del caso

anterior, se consigue:

Figura 2.10: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.113 por el Método Newton-

Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 9

Al resolver la ecuación 2.113 para cada grado de ahusamiento de la viga libre

empotrada, se obtiene la siguiente tabla para los grados de ahusamiento comprendidos

entre de 0 a 3.

Tabla 2.8: Coeficiente @ para la barra libre empotrada no prismática

γ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

δ 8.92 4.90 3.55 2.87 2.47 2.19 2.00 1.85 1.74 1.65 1.58 1.52 1.46 1.42 1.38

(Ec. 2.112)

(Ec. 2.113)


34



@ � _ln�1 � �� = � � A� Remplazando el punto (0.2, 8.922) en la ecuación 2.144 se obtiene la constante

B en función de A:

8.922 � _ln�1 � �� 0.2= � A� A � 0.517844 . 0.2=

Remplazando el punto (3, 1.3832) en la ecuación 2.114 y usando la constante B,

se obtiene la constante A:

1.3832 � _ln�1 � �� 3= � 0.517844 . 0.2=� = � 0.0330121


ecuación 2.116:

A � 0.517844 . 0.2�0.0330121� � 0.5112416


@ � _ln�1 � �� 0.0330121 � � 0.5112416� Se observa que al evaluar para grado de ahusamiento 1, se obtiene @ � 2.5,


@ � D4:�� 6� . 14 � _ln�1 � �� 0.0330121 � � 0.5112416� Y despejando ::

: � ��D _�ln��1 � �� 0.0330121 � � 0.5112416�� 14 Se sabe que:

:� � ,)��

(Ec.2.114)

(Ec. 2.115)

(Ec. 2.116)

(Ec. 2.117)

(Ec. 2.118)

(Ec. 2.119)

(Ec. 2.120)

(Ec. 2.121)

(Ec. 2.122)


35

(Ec. 2.124)


,WX � �� R _�ln��1 � �� 0.0330121 � � 0.5112416�� 14S�)�� Es decir:

,WX � Y)�� !� Y � �� R _�ln��1 � �� 0.0330121 � � 0.5112416�� 14S Tomando límite de m para � tendiendo a cero, que representa el caso de viga de

inercia constante, se obtiene:

lim'Vv Y � 0.261367973_� Z �(i

Así, la carga de pandeo queda:

,WX � _�4 )��

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra Libre –

Empotrada con inercia constante ��.

Tabla 2.9: Parámetro m para la barra Libre – Empotrada no prismática

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

m 2.47 3.19 3.88 4.63 5.44 6.33 7.30 8.33 9.44 10.63 11.90 13.25 14.67 16.19 17.78 19.46

Longitud de pandeo








lo siguiente:

- La grafica es del tipo senoidal, similar al caso anterior (empotrada libre) pero

desfasada un longitud L respecto a la anterior.

(Ec. 2.123)

(Ec. 2.125)

(Ec. 2.126)


36

- La constante A amplifica a la grafica en el sentido vertical (observar las graficas roja

y azul que corresponde a los valores para = � 1 - = � 2 respectivamente)



- Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra � { L�, � � �M y

se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.

Figura 2.11: Deformadas de la Columna de inercia Variable empotrada en un

extremo y libre en el otro, con diferentes desplazamientos.


-"�� 0 � ∆ sin �@ ln �� 4@� � 1�� sin�@ ln�1 � ��Q�1 � ��T�� (Ec. 2.127)


37

(Ec. 2.134)

Como � o 0 - � o 0 se tiene que:

@ ln �� _


� � �1G�� I � �� 1G�� I La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de � entre � - � � 1 en el entorno del intervalo � { L�, � � �M siendo en este caso � � 0 - � � 1

�l � � 0: �v � �' � �

�l � � 1: �& � �' 1� � Así, �h � ∆� � �v . �& � �' 1� � . �' � �' s1� � . 1t Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de



�h � �+� , !� �+ � &' G1� � . 1I !� @ � _ln�1 � �� 0.0330121 � � 0.5112416�

Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:}

lim'Vv�+ � 2

Que es justamente le valor de � para una barra Libre - Empotrada de inercias

constante, cuya longitud de pandeo es �h � 2�

Tabla 2.10: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra Libre - Empotrada no prismática

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

δ #### 8.92 4.90 3.55 2.87 2.47 2.19 2.00 1.85 1.74 1.65 1.58 1.52 1.46 1.42 1.38

β 2.00 2.11 2.25 2.37 2.48 2.57 2.65 2.72 2.78 2.82 2.85 2.88 2.89 2.90 2.90 2.90

(Ec. 2.129)

(Ec. 2.130)

(Ec. 2.132)

(Ec. 2.131)

(Ec. 2.133)

(Ec. 2.128)


38

(Ec. 2.138)

2.5. COLUMAN DE INERCIA VARIABLE BIEMPOTRADA

Figura 2.12: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus extremos

Análisis estático

Momento externo: cd�e � , · -�� . c� . ¡�� . �� Momento interno: cge � .)�� · -"��

Igualando ambos momentos se consigue la siguiente ecuación de equilibrio:

)�� -" � , · -�� . c� . ¡�� . �� 0

Haciendo el cambio de variable �� 12 Y operando de igual forma que en el caso de una barra biarticulada, se obtiene la

siguiente ecuación:

-"�5� � :��-�5� . c�:��, . ¡:��, �� . �� 0 !� :� � ,)��

(Ec. 2.136)

(Ec. 2.137)

(Ec. 2.135)


39

(Ec. 2.141)

(Ec. 2.147)

(Ec. 2.144)

(Ec. 2.145)

(Ec. 2.146)


-�� F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � c�, � ¡, �� . �� !� @ � D4:�� 6� . 14

Las condiciones de contorno para el problema planteado son:

-�� 0 ; -�� ∆ ; -´�� 0 ; -´�� 0 De la primera condición, se tiene que:

-�� 0 � F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ¢#7 � £7 �� . �� Aplicando ln �� 0 se tiene:

-�� 0 � L= sin�0� � A cos�0�M � ¢#7 , !� sin�0� � 0 - cos�0� � 1

-�� 0 � A �c�, P A � .¢#7

De la tercera condición y considerando A � .¢#7 se tiene:

La primera derivada (con ayuda de MathCad) es:

-´�� =, sin �@ ln �� . c� cos �@ ln �� 2c�@ sin �@ ln �� 2¡�F�� 2=,@ cos �@ ln ��2,�F��

Luego

-´�� 0 � =, sin �@ ln �� .c� cos �@ ln �� 2c�@ sin �@ ln �� 2¡�F�� 2=,@ cos �@ ln ��2,�F��

=jkl ��3! ln�1� � 0 se tiene:

-´�� 0 � =, sin�0� . c� cos�0� � 2c�@ sin�0� � 2¡� � 2=,@ cos�0�2,�

-´�� 0 � .c� � 2¡� � 2=,@2,� �jkl ��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1

P = � c� . 2¡� 2,@

(Ec. 2.139)

(Ec. 2.140)

(Ec. 2.142)

(Ec. 2.143)


40

(Ec. 2.150)

(Ec. 2.151)

(Ec. 2.152)

(Ec. 2.153)

De las ecuaciones 2.143 y 2.147 se deduce que cuando la carga axial


expresión:

-�� F�� G�¢#��£� �7� sin �@ ln �� . ¢#7 cos �@ ln ��I � ¢#7 � £7 �� . �� Y sus derivabas:

-´�� c� . 2¡� � 4c�@�� sin �@ ln �� 4¡�@F�� . 4=,@ cos �@ ln ��4,�@F��

-"�� 4@� � 1� G2c�@ cos �@ ln �� .c� sin �@ ln �� 2¡� sin �@ ln ��I8,��@ ��T�

Carga de pandeo

-�� 0 � D� � �� s4c� . 2¡� 2,@ 6 sin 4@ ln � � �� 6 .c�, cos 4@ ln � � �� 6t � c�, � ¡, �� . �� ¤O��3! � � �� , O1 ¥l1�1: -�� 0 � D1 � �� s4c� . 2¡� 2,@ 6 sin�@ ln�1 � �� . c�, cos�@ ln�1 � ��t � c�, � ¡, ��

Aplicando la cuarta condición de contorno, se obtiene:

-´�� 0 � c� sin �@ ln � � �� . 2¡� sin �@ ln � � �� 4c�@� sin �@ ln � � �� 4¡�@F� � �� . 4=,@ cos �@ ln � � ��

4,�@F� � ��

¤O��3! � � �� se tiene:

c� sin�@ ln�1 � �� . 2¡� sin�@ ln�1 � �� 4c�@� sin�@ ln�1 � �� 4¡�@Q1 � �. 4=,@ cos�@ ln ln�1 � �� 0

Así se obtiene un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, c� y ¡ tenemos

las siguientes condiciones para que el sistema tenga solución no trivial:

sin �@ ln�1 � ��2 � � 0

(Ec. 2.148)

(Ec. 2.149)

(Ec. 2.154)

(Ec. 2.155)


41

(Ec. 2.156)

(Ec. 2.164)

(Ec. 2.162)

(Ec. 2.163)

R��4@� . 1�4@ S cos �@ ln�1 � ��2 � . �� 2� sin �@ ln�1 � ��2 � � 0

La primera entrega la carga de pandeo simétrica y la segunda la carga de

pandeo antisimétrica. Es sabido que la carga de pandeo simétrica es menor que la

antisimétrica. Por lo cual se determinará la carga de pandeo simétrica para dar solución

a este problema.

sin �@ ln�1 � ��2 � � 0

@ ln�1 � ��2 � �_ !� � � 1,2,3…

La carga de pandeo se obtiene para � � 1

@ � 2_ln�1 � �� Igualando a la expresión conocida para @ :

@ � D4:�� 6� . 14 � 2_ln�1 � �� Y despejando ::

: � DL16_� � ln��1 � ��M��4�� ln��1 � ��

Sabemos que

:� � ,)��


,WX � �L16_� � ln��1 � ��M��4�� ln��1 � �� )�� Es decir:

,WX � Y)�� !� Y � �� R16_� � ln��1 � ��4 ln��1 � �� S Calculando el límite de m cuando � tiende a cero (barra de inercia constante) lim'VvY � 4_�

(Ec. 2.160)

(Ec. 2.161)

(Ec. 2.159)

(Ec. 2.158)

(Ec. 2.157)


42

(Ec. 2.165)


,WX � 4_�)��

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra Biempotrada

con inercia constante ��.

Tabla 2.11: Parámetro m para la barra Biempotrada no prismática

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

m 39.4 47.5 55.8 64.4 73.2 82.4 91.8 101.4 111.3 121.4 131.8 142.4 153.2 164.3 175.6 187.1

Longitud de pandeo








lo siguiente:

- La grafica es del tipo sinusoidal

- La constante A y B que multiplican al seno y coseno respectivamente, amplifica a la

grafica en el sentido vertical



- La curva oscila sobre un eje inclinado de pendiente £7



43

(Ec. 2.166)

Figura 2.13: Deformada de la Barra de inercia Variable Biempotrada

en sus extremos.


-"�� 0 � �4@� � 1� G2c�@ cos �@ ln �� .c� sin �@ ln �� 2¡� sin �@ ln ��I8,��@ ��T�

Como � o 0 - � o 0 resulta: 2c�@ cos �@ ln �� . c� sin �@ ln �� 2¡� sin �@ ln �� 0

tan �@ ln �� 2@c�c� . 2¡�

(Ec. 2.167)

(Ec. 2.168)


44

(Ec. 2.172)

(Ec. 2.170)

(Ec. 2.171)

(Ec. 2.173)

(Ec. 2.174)


� � �1¦��4 ��¢#¢#��£�6�� § � �� 1¦��4� ��¢#¢#��£�6�� §

La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de � entre � - � � 1 en el entorno del intervalo � { L�, � � �M siendo para este caso � �.1 - � � 0:

�l � � 0: V �v � �' 1¨��4 (�©#©#�(ª#6� «

�l � � 1: V �& � �' 1¨��4 (�©#©#�(ª#6$ � «

Así,

�h � ∆� � �& . �v � �� 1¦��4 ��¢#¢#��£�6�� § . �� 1¦��4 ��¢#¢#��£�6� §

P �h � �' s1� � . 1t 1¨��4 (�©#©#�(ª#6� «

Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de



�h � �+� , !� �+ � &' G1� � . 1I 1¨��4 (�©#©#�(ª#6� « - @ � ��&�'� Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:

lim'Vv �+ � &�

Que es justamente le valor de � para una barra Biempotrada de inercia

constante, cuya longitud de pandeo es �h � �/2

Tabla 2.12: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra Biempotrada no prismática

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

δ #### 34.5 18.7 13.4 10.7 9.1 8.0 7.2 6.6 6.1 5.7 5.4 5.1 4.9 4.7 4.5

β 0.50 0.48 0.46 0.44 0.43 0.41 0.40 0.39 0.38 0.37 0.37 0.36 0.35 0.35 0.34 0.33

(Ec. 2.169)

(Ec. 2.175)


45

2.6. COLUMNA DE INERCIA VARIABLE BIEMPOTRADA CON POSIBILIDADES

DE DESPLAZAMIENTO LATERAL RALATIVO ENTRE SUS EXTREMOS

Figura 2.14: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus extremos con

posibilidades de desplazamiento relativo entre sus nudos.

Análisis estático

Momento externo: cd�e � , · -�� . c�

Momento interno: cge � .)�� · -"�� Igualando ambos momentos se consigue la siguiente ecuación de equilibrio:

)�� -" � , · -�� . c� � 0

Haciendo el cambio de variable �� 12 Y operando de igual forma que en el caso de una barra biarticulada, se tiene la

siguiente ecuación

(Ec. 2.176)

(Ec. 2.177)

(Ec. 2.178)


46

(Ec. 2.182)

(Ec. 2.179)

(Ec. 2.190)

(Ec. 2.183)

(Ec. 2.184)

��-"�� :��-�� . c�:��, � 0, !� :� � ,)��


-�� F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ¢#7 !� @ � F�h�' � . &i Las condiciones de contorno para el problema planteado son:

-�� 0 ; -�� ∆ ; -´�� 0 ; -´�� 0 De la primera condición, tenemos:

-�� 0 � F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � c�, , NO��3! ln �� 0

-�� 0 � L= sin�0� � A cos�0�M � ¢#7 , !� sin�0� � 0 - cos�0� � 1

-�� 0 � A � ¢#7 P A � .c�,


-´�� =, sin �@ ln �� . c� cos �@ ln �� 2c�@ sin �@ ln �� 2=,@ cos �@ ln ��2,�F��

De la tercera condición y considerando A � .¢#7 se tiene que:

-´�� 0 � =, sin �@ ln �� .c� cos �@ ln �� 2c�@ sin �@ ln �� 2=,@ cos �@ ln ��2,�F��

�jkl ��3! ln�1� � 0

-´�� 0 � =, sin�0� . c� cos�0� � 2c�@ sin�0� � 2=,@ cos�0�2,� -´�� 0 � �¢#��7��7� �jkl ��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1

P = � c� 2,@ De las ecuaciones 2.185 y 2.190 se deduce que cuando la carga axial


expresión:

-�� F�� sc� 2,@ sin �@ ln �� . c�, cos �@ ln ��t � c�,

(Ec. 2.180)

(Ec. 2.181)

(Ec. 2.185)

(Ec. 2.186)

(Ec. 2.191)

(Ec. 2.187)

(Ec. 2.188)

(Ec. 2.189)


47

(Ec. 2.197)

(Ec. 2.196)

(Ec. 2.198)

Y sus derivabas:

-´�� c� sin �@ ln �� 4@� � 1�4,�@F��

-"�� c��4@� � 1� Gsin �@ ln �� . 2@ cos �@ ln ��I8,��@ ��T�

Carga de pandeo


-�� 0 � c� sin �@ ln � � �� 4@� � 1�4,�@F� � ��

¤O��3! � � �� se tiene:

-�� 0 � c� sin�@ ln�1 � �� 4@� � 1�4,�@Q�1 � �� Cuya solución es

sin�@ ln�1 � �� 0

@ ln�1 � �� _ !� � � 1,2,3…

La carga de pandeo se obtiene para � � 1

@ � _ln�1 � �� Igualando a la expresión conocida para @ :

@ � D4:�� 6� . 14 � _ln�1 � �� Y despejando ::

: � DL4_� � ln��1 � ��M��4�� ln��1 � ��

(Ec. 2.192)

(Ec. 2.193)

(Ec. 2.195)

(Ec. 2.199)

(Ec. 2.200)

(Ec. 2.194)


48

(Ec. 2.203)

(Ec. 2.202)

(Ec. 2.204)

Sabemos que

:� � ,)��


,WX � �L4_� � ln��1 � ��M��4�� ln��1 � �� )�� Es decir:

,WX � Y)�� !� Y � �� R4_� � ln��1 � ��4 ln��1 � �� S Calculando el límite de m cuando � tiende a cero (barra de inercia constante)

lim'VvY � _�


,WX � _�)��

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra biempotrada

con desplazamiento relativo entre sus extremos de inercia constante ��.

Tabla 2.13: Parámetro m para la barra Biempotrada no prismática con desplazamiento

relativo entre sus extremos

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

m 9.87 11.89 13.99 16.17 18.44 20.79 23.22 25.73 28.31 30.97 33.71 36.52 39.40 42.35 45.38 48.47

Longitud de pandeo






Programa MathCad (ver figura 2.12) , en donde se han supuesto valores para las


lo siguiente:

- La grafica es del tipo sinusoidal


grafica en el sentido vertical.

(Ec. 2.201)


49

(Ec. 2.205)



- La curva oscila sobre un eje horizontal con origen ¢#7


Figura 2.15: Deformada de la Columna de inercia Variable Biempotrada con

desplazamiento relativo entre sus extremos

Para obtener los puntos de inflexión se tiene que

-"�� 0 � c��4@� � 1� Gsin �@ ln �� . 2@ cos �@ ln ��I8,��@ ��T�


50

(Ec. 2.211)

(Ec. 2.209)

(Ec. 2.212)

(Ec. 2.210)

Como � o 0 - � o 0 tenemos:

sin �@ ln �� . 2@ cos �@ ln �� 0

tan �@ ln �� 2@


� � �1s�� t � �� 1s�� t La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de � entre � - � � 1 en el entorno del intervalo � { L�, � � �M . En este caso tenemos dos puntos

de inflexión, ��& � �� .1� - �& � �� 1� fuera del intervalo real de la barra y un

punto de inflexión �v � �� 0� perteneciente al intervalo real. Esto hace que existan

dos posibles longitudes de pandeo para la barra.

�h& � ∆�& � �v . ��& � �' 1s��(�� t . �' 1s��(�� t

P �h& � �' �1s��(�� t . 1s��(�� t�

�h� � ∆�� & . �v � �' 1s��(��$ � t . �' 1s��(�� t

P �h� � �� 1s�� t . 1s�� t� , Ol1�3! �h� n �h& � �

Es posible suponer que la barra está compuesta por dos barras ficticias tipo

empotrada-libre, cuyos extremos son respectivamente � � � - � � � � �, y el extremo

libre es el punto de inflexión real, �v, para ambas barras. Así se obtiene una longitud de

pandeo para cada barra ficticia, que al ser sumadas, darían la longitud de pandeo de la

barra real, por lo anterior es posible usar la media ponderada de las dos longitudes de

pandeo obtenidas anteriormente, para obtener la longitud de pandeo para la barra real.

�h � �h&��v . �� h&L�� . �vM�

�h � �h& ��v . �� h& G�� . �vI�

�h � �'( �1s��(�� t . 1s��(�� t� �1s��(�� t . 1� �

�� 1s�� t . 1s�� t� ��1 � �� . 1s�� t�

(Ec. 2.206)

(Ec. 2.207)

(Ec. 2.208)

(Ec. 2.213)

(Ec. 2.214)


51


ahusamiento y al igual que el coeficiente de esbeltez (�)

�h � �+�

!� �+ � 1�� 1s�� t . 1s�� t� �1s�� t . 1�� 1�� 1s�� t . 1s�� t� ��1 � �� . 1s�� t�

- @ � _ln�1 � �� Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:

lim'Vv�+ � 1

Que es justamente le valor de � para una barra con desplazamiento relativo

entre sus extremos de inercias constante, cuya longitud de pandeo es �h � �

Tabla 2.14: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra Biempotrada no prismática con

desplazamiento lateral relativo entre sus extremos

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

δ #### 17.2 9.3 6.7 5.3 4.5 4.0 3.6 3.3 3.1 2.9 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3

β 1.00 1.01 1.03 1.05 1.09 1.12 1.15 1.19 1.22 1.25 1.29 1.32 1.35 1.38 1.42 1.45

(Ec. 2.215)

(Ec. 2.216)


52

2.7. COLUMNA DE INERCIA VARIABLE EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y

ARTICULADA EN EL OTRO

2.7.1. Caso A: Empotrada – Articulada


articulada en el otro.

Análisis estático

Momento externo: cd�e � , · -�� . c � ¡�� . �� Momento interno: cge � .)�� · -"�� Además ¡ � ¢�

Igualando ambos momentos se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio:

)�� -" � , · -�� . c � ¡�� . �� 0


el capitulo anterior resulta la siguiente ecuación diferencial:

-"�� . -´�� :��-�� . ¢h(�(7 � ¢h(�(�7 �� . �� 0 !� :� � 78"#

(Ec. 2.217)

(Ec. 2.218)

(Ec. 2.219)

(Ec. 2.220)

(Ec. 2.221)


53

(Ec. 2.223)

(Ec. 2.222)

(Ec. 2.227)

(Ec. 2.226)

Ecuación diferencial que tiene una solución general del tipo:

-�� F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ¢7 . ¢�7 �� . �� !� @ � D4:�� 6� . 14

Las condiciones de contorno para el problema planteado son: -�� 0 ; -�� 0 ; -´�� 0 ; -´�� 0 De la primera condición, se tiene:

-�� 0 � F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ¢7 . ¢�7 �� . �� jkl ��3! ln �� 0:

-�� 0 � = sin�0� � A cos�0� �c, , NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1

-�� 0 � A � ¢7

P A � .c,

Para obtener la constante A, se usará la tercera condición y el valor ya obtenido

para la constante A � .c, :


-´�� =�, sin �@ ln �� . 2c�F�� . �c !O �@ ln �� 2�c@ sin �@ ln �� 2=�,@ !O �@ ln ��2�,�F�� Luego

-´�� 0 � =�, sin �@ ln �� . 2c�F�� . �c !O �@ ln �� 2�c@ sin �@ ln �� 2=�,@ !O �@ ln ��2�,�F�� Aplicando ln �� 0 se obtine:

-´�� 0 � =�, sin�0� . 2c� . �c !O�0� � 2�c@ sin�0� � 2=�,@ !O�0�2�,�

Usando sin�0� � 0 - cos�0� � 1, O1 ¥l1�1

-´�� 0 � .2c� . �c � 2=�,@

P = � 2c� � �c2�,@

(Ec. 2.224)

(Ec. 2.228)

(Ec. 2.229)

(Ec. 2.230)

(Ec. 2.225)


54

(Ec. 2.232)

(Ec. 2.233)

(Ec. 2.235)

(Ec. 2.236)

(Ec. 2.237)

De las ecuaciones 2.225 y 2.230 se deduce que cuando la carga axial


expresión:

-�� F�� R42c� � �c2�,@ 6 sin �@ ln �� .c, cos �@ ln ��S �c, . c�, �� . �� Y sus derivadas son:

-´�� 4�c@� � �c � 2c�� sin �@ ln �� 4c�@ !O �@ ln �� . 4c�@F��4�,�@F��

-"�� c�4@� � 1� G� sin �@ ln �� 2� sin �@ ln �� . 2�@ !O �@ ln ��I8�,��@ ��T�

Carga de pandeo


-�� 0 � D� � �� s42c� � �c2�,@ 6 sin 4@ ln � � �� 6 . c, cos 4@ ln � � �� 6t � c,. c�, �� . ��

Usando la siguiente expresión � � ��:

-�� Q�1 � �� s42c� � �c2�,@ 6 sin�@ ln�1 � �� . c, cos�@ ln�1 � ��t Como δ o 0, c o 0, , o 0, � o 0, � o 0 y � o 0 la solución de la ecuación

anterior es:

42c� � �c2�,@ 6 sin�@ ln�1 � �� . c, cos�@ ln�1 � �� 0

tan�@ ln�1 � �� c,2c� � �c2�,@ � 2�@� � 2�

Reemplazando � � �� tan�@ ln�1 � �� 2�@� � 2

(Ec. 2.231)

(Ec. 2.234)

(Ec. 2.236)


55

Expresión similar al caso A y para la cual se ha obtenido una expresión analítica

aproximada para despejar @ operando de forma similar a la ecuación 2.74 del caso

anterior, se consigue:

Figura 2.17: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.237 por el Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 25

Al resolver la ecuación 2.237 para cada grado de ahusamiento de la viga

empotrada libre, se obtiene la siguiente tabla para los grados de ahusamiento

comprendidos entre de 0 a 3

Tabla 2.15: Coeficientes @ para la barra no prismática empotrada en un extremo y articulada en el otro

γ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

δ 24.64 13.35 9.55 7.63 6.47 5.68 5.12 4.68 4.34 4.07 3.84 3.65 3.49 3.34 3.22



@ � _ln�1 � �� = � � A� (Ec.2.238)


56

(Ec. 2.247)

(Ec. 2.248)

Remplazando el punto (0.2, 24.642139) en la ecuación 2.238 se obtiene la

constante B en función de A:

24.642139 � _ln�1 � �� 0.2= � A� A � 1.430092 . 0.2=

Remplazando el punto (3, 3.21639) en la ecuación 2.238 y usando la constante

B, se obtiene la constante A:

3.21639 � _ln�1 � �� 3= � 1.430092 . 0.2=� = � .0.00391579


ecuación 2.238:

A � 1.430092 . 0.2�.0.00391579� � 1.4308755


@ � _ln�1 � �� .0.00391579 � � 1.4308755� Se observa que al evaluar para grado de ahusamiento 1, se obtiene @ � 6.5,


@ � F�h�' � . &i � ��&�'� �.0.00391579 � � 1.4308755� Y despejando ::

: � ��D _�ln��1 � �� .0.00391579 � � 1.4308755�� 14 Se sabe que:

:� � ,)��


,WX � �� R _�ln��1 � �� .0.00391579 � � 1.4308755�� 14S�)�� Es decir: ,WX � Y 8"#�(

!� Y � �� R _�ln��1 � �� .0.00391579 � � 1.4308755�� 14S

(Ec. 2.239)

(Ec. 2.240)

(Ec. 2.241)

(Ec. 2.242)

(Ec. 2.243)

(Ec. 2.244)

(Ec. 2.245)

(Ec. 2.246)


57

(Ec. 2.249)

Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de

ahusamiento de la barra (�). Tomando límite de M para � tendiendo a cero, que


lim'VvY � 20,21


,WX � 20,21)��

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra empotrada en

un extremo y articulada en el otro con inercia constante ��.

Tabla 2.16: Parámetro m para la barra no prismática empotrada en un extremo y articulada en el otro.

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

m 20.21 24.30 28.54 32.92 37.43 42.08 46.87 51.78 56.82 61.98 67.26 72.65 78.17 83.79 89.53 95.37

Longitud de pandeo








lo siguiente:

- grafica es del tipo sinusoidal





- La curva oscila sobre un eje inclinado de pendiente negativa - £7


(Ec. 2.250)


58

(Ec. 2.251)

Figura 2.18: Deformada de la Columna de inercia Variable empotrada en un

extremo y articulada en el otro.

Para obtener los puntos de inflexión se tiene que

-"�� 0 � c�4@� � 1� G� sin �@ ln �� 2� sin �@ ln �� . 2�@ !O �@ ln ��I8�,��@ ��T�

Como δ o 0 y � o 0 la solución de la ecuación anterior es:

� sin �@ ln �� 2� sin �@ ln �� . 2�@ !O �@ ln �� 0

tan �@ ln �� 2�@2� � � � 2�@�� 2

(Ec. 2.252)

(Ec. 2.253)


59

(Ec. 2.254)

(Ec. 2.255)

(Ec. 2.257)

(Ec. 2.260)

(Ec. 2.256)

(Ec. 2.258)


� � �1¦��4��@��6��@ § � �� 1¦��4��@��6��@ §

Para que los puntos de inflexión pertenezcan al intervalo citado, debemos

encontrar � tal que � � � - � � � � k. �l � � 0 V �v � �� 1¦��4��@��6@ §

�l � � 1: V �& � �� 1¨��4(�@�$(6$ @ «

Así: �h � ∆� � �& . �v � �� 1¨��4(�@�$(6$ @ « . �� 1¨��4(�@�$(6@ «

�h � �� 1 � . 1 1¨��4(�@�$(6@ «




�h � �� , 3!�31 �� &� �1 � . 1 1¨��4(�@�$(6@ « - @ � _ln�1 � �� .0.00391579 � � 1.4308755�

Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:

lim�Vv�� 0,7

Que es justamente le valor de � para una barra empotrada en un extremo y

articulada en el otro de inercias constante, cuya longitud de pandeo es �h � 0,7�

Tabla 2.17: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra no prismática empotrada

en un extremo y articulada en el otro.

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

δ #### 24.64 13.35 9.55 7.63 6.47 5.68 5.12 4.68 4.34 4.07 3.84 3.65 3.49 3.34 3.22

β 0.70 0.72 0.73 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.79 0.80 0.81 0.81 0.82 0.82 0.83 0.83

(Ec. 2.259)


60

(Ec. 2.261)

2.7.2. Caso A: Articulada – Empotrada

Figura 2.19: Columna de inercia Variable articulada en un extremo y


Análisis estático

Este caso es similar al caso A, con la única diferencia que la barra esta invertido

y también sus condiciones de contorno.

Así la Ecuación diferencial tiene una solución general del tipo:

-�� F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ¢7 . ¢�7 �� . �� !� @ � D4:�� 6� . 14

Las condiciones de contorno son:

-�� 0 ; -�� 0 ; -´�� 0 ; -´�� 0

(Ec. 2.262)


61

(Ec. 2.263)

(Ec. 2.264)

(Ec. 2.265)

(Ec. 2.266)

(Ec. 2.267)

(Ec. 2.269)

(Ec. 2.270)

De la primera condición, se tiene:

-�� 0 � F�� G= sin �@ ln �� A cos �@ ln ��I � ¢7 . ¢�7 �� . �� Aplicando ln �� 0, se obtiene:

-�� 0 � = sin�0� � A cos�0� , NO��3! sin�0� � 0 - cos�0� � 1

-�� 0 � A

P A � 0

Para obtener la constante A, se usará la segunda condición y el valor ya obtenido


-�� 0 � = sin 4@ ln � � �� 6√� � � �c, . c�, �� . � . ��

Usando la siguiente expresión � � ��

-�� 0 � = sin�@ ln�1 � ��Q�1 � �� c,

P = � . c , sin�@ ln�1 � ��Q�1 � �� De las ecuaciones 2.264 y 2.267 se deduce que cuando la carga axial


expresión:

-�� . c , sin�@ ln�1 � ��Q�1 � �� sin �@ ln ��F�� c, . c�, �� . ��


-´�� c� sin�@ ln�1 � ��F��1 � �� . �c sin �@ ln ��2 . �c@ !O �@ ln ��,� sin�@ ln�1 � ��Q1 � �F��

-"�� c�4@� � 1� sin �@ ln ��4,�� sin�@ ln�1 � ��Q1 � � ��T�

(Ec. 2.268)


62

(Ec. 2.272)

(Ec. 2.271)

(Ec. 2.275)

(Ec. 2.273)

(Ec. 2.276)

(Ec. 2.277)

(Ec. 2.278)

Carga de pandeo

Aplicando la cuarta condición de contorno

-´�� c� sin�@ ln�1 � ��F�� 1 � �� . �c sin �@ ln � � �� 2 . �c@ cos �@ ln � � �� ,� sin�@ ln�1 � ��Q1 � �F� � ��

Usando la siguiente expresión � � ��:

-´�� c� sin�@ ln�1 � ��Q�1 � ��1 � �� . �c sin�@ ln�1 � ��2 . �c@ cos�@ ln�1 � ��,� sin�@ ln�1 � ��Q1 � �Q1 � �

Como δ o 0, c o 0, , o 0, � o 0, � o 0 y � o 0 la solución de la ecuación anterior

es:

G��1 � �� . ��I sin�@ ln�1 � �� . �@ cos�@ ln�1 � �� 0

tan�@ ln�1 � �� @��1 � �� . �2

Reemplazando � � �� tan�@ ln�1 � �� 2�@� � 2

Ecuación trigonométrica idéntica a la del caso A (empotrada articulada). Esto

permite afirmar que la carga de pandeo de una barra articulada-empotrada de inercia

variable es igual a la carga de pandeo de una barra empotrada-articulada de inercia

variable, es decir, la posición relativa de los extremos no influye en la resistencia a

pandeo

Continuando de igual forma que en caso A

@ � _ln�1 � �� .0.00391579 � � 1.4308755� Igualando a la expresión conocida para @ :

@ � F�h�' � . &i � ��&�'� �.0.00391579 � � 1.4308755� Y despejando ::

: � ��D _�ln��1 � �� .0.00391579 � � 1.4308755�� 14

(Ec. 2.274)


63

(Ec. 2.280)

(Ec. 2.282)


,WX � �� R _�ln��1 � �� .0.00391579 � � 1.4308755�� 14S�)�� Es decir:

,WX � Y)�� !� Y � �� R _�ln��1 � �� .0.00391579 � � 1.4308755�� 14S Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de

ahusamiento de la barra (�). Tomando límite de M para � tendiendo a cero, que


lim'VvY � 20,21


,WX � 20,21)��

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra articulada en

un extremo y empotrada en el otro con inercia constante ��.

Tabla 2.18: Parámetro m para la barra no prismática articulada en un

extremo y empotrada en el otro

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

m 20.21 24.31 28.55 32.93 37.44 42.10 46.88 51.80 56.84 62.00 67.28 72.68 78.19 83.82 89.56 95.41

Longitud de pandeo

Recordando que la longitud de pandeo,�h, de una pieza ideal coincide con la







lo siguiente:

- grafica es del tipo sinusoidal



(Ec. 2.279)

(Ec. 2.281)


64

(Ec. 2.283)



- La curva oscila sobre un eje inclinado de pendiente positiva £7


Figura 2.20: Deformada de la Columna de inercia Variable articulada en un

extremo y empotrada en el otro

. Para obtener los puntos de inflexión se tiene que

-"�� 0 � c�4@� � 1� sin �@ ln ��4,�� sin�@ ln�1 � ��Q1 � � ��T�


65

(Ec. 2.286)

(Ec. 2.287)

(Ec. 2.289)

Como δ o 0, c o 0, , o 0, � o 0, � o 0 y � o 0 la solución de la ecuación

anterior es:

sin �@ ln �� 0


� � �� 1�� Para que los puntos de inflexión pertenezcan al intervalo citado, se debe

encontrar � tal que � � � - � � � � �

�l � � 0: V �v � �'

�l � � 1: V �& � �' �1 �

Así,

�h � ∆� � �& . �v � �� 1�� . �� G1�� . 1I Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de


dependiente de @, es decir:

�h � �'� , 3!�31 �' � &' G1 � . 1I - @ � _ln�1 � �� .0.00391579 � � 1.4308755�

Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:

lim'Vv�' � 0,7

Que es justamente le valor de � para una barra articulada en un extremo y

empotrada en el otro de inercia constante, cuya longitud de pandeo es �h � 0,7�.

Tabla 2.19: Coeficiente de esbeltez, �, para la barra no prismática articulada

en un extremo y empotrada en el otro.

γ 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

δ #### 24.6 13.3 9.6 7.6 6.5 5.7 5.1 4.7 4.3 4.1 3.8 3.7 3.5 3.3 3.2

β 0.70 0.68 0.66 0.65 0.64 0.63 0.61 0.61 0.60 0.59 0.58 0.57 0.57 0.56 0.56 0.55

(Ec. 2.285)

(Ec. 2.284)

(Ec. 2.288)

(Ec. 2.290)

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

66

(Ec. 3.2)

CAPITULO III

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO NO

PRISMATICO


Hace más de 35 años se desarrollaron varias ayudas de diseño, como las

presentadas por Guldan (1956), y las más conocidas tablas publicadas por la Portlan

Cement Association (PCA) donde se presentan contratantes de rigideces y momentos

de empotramiento de elementos no prismáticos (“Handbook 1958) en dicha publicación

se usan varias hipótesis que permiten simplificar el problema debido a las limitantes

para hacer los cálculos extensivos en esa época. Una de las hipótesis más importantes

fue considerar la variación de la rigidez de las cartelas (lineal o parabólica, según sea el

caso de la geometría a estudiar) en función del momento de inercia principal en flexión,

considerándolo independiente de la sección transversal, lo que se demostró que no es

así (Tena-Colunga 1996)

3.2. MATRIZ DE RIGIDEZ PARA ELEMENTOS NO PRISMÁTICOS

Utilizando el método de las flexibilidades es sencillo dar definición a un elemento

tipo Viga-Columna de sección variable, ya que debido al gran desarrollo que han tenido

las computadoras en los últimos años, es fácil resolver las integrales que definen la

matriz de rigidez

La matriz básica de flexibilidad para elementos bidimensionales de sección

variable sin considerar la deformación por cortante, tiene la siguiente forma (Tena-

Colunga 1996):

�� 0 00 �� 0 �� Donde: ��

(Ec. 3.1)


67

(Ec. 3.3)

(Ec. 3.4)

(Ec. 3.5)

(Ec. 3.6)

��

��

� � � � ��

Estos coeficientes de flexibilidad deben ser obtenidos por integración numérica,

por ejemplo aplicando la regla de Simpson.

Figura 3.1: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático

La matriz de rigidez se obtiene invirtiendo la matriz de flexibilidad, sin embargo

resulta más sencillo invertir submatrices de flexibilidad dada la complejidad y

desacoplamiento en los coeficientes de flexibilidad. La matriz de rigidez global en

coordenadas locales de un elemento viga-columna de dos nodos como los mostrados

en las figuras 3.2 se expresan como:

�� Figura 3.2: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático


68

(Ec. 3.7)

(Ec. 3.8)

(Ec. 3.9)

(Ec. 3.10)

Figura 3.3: Elementos de sección variable más comunes: (a) Sección T;

(b) Sección Rectangular; (c) Sección Circular; (d) Sección Cuadrada

Fuente Publicacion Stiffness Formulation for nonprismatic beam elements, Tena-Colunga 1996

Las submatrices de rigidez se calculan de la siguiente manera (Tena-Colunga

1996):

:

�� 0 00 �� 0 �� !�� 0 00 !�� 0 !�� 0 00 �� !��0 !�� "


69

(Ec. 3.11)

(Ec. 3.12)

(Ec. 3.13)

(Ec. 3.14)

(Ec. 3.15)

(Ec. 3.16)

(Ec. 3.17)

(Ec. 3.18)

(Ec. 3.19)

(Ec. 3.20)

(Ec. 3.21)

Donde: �� #$$

%&'� � �� ! ��

�� #��()*� �� #�+,-#��()*�

�� #++,�-�#�+,.#��()*�

�� /$$�./��.�/$��,�

�� /$$�./$��,

�� 0 ��1

El sistema de ecuaciones a resolver en coordenadas locales es de la forma:

�� 345�645�67 � 348�648�67 Donde se tiene:

45�6 � 95� 5�:;��< 45�6 � 95� 5�:;��< 48�6 � =8� 8�:>��

? 48�6 � =8� 8�:>��?


70

(Ec. 3.22)

(Ec. 3.23)

(Ec. 3.24)

(Ec. 3.25)

3.3. TRANSFORMACIÓN DE RIGIDECES AL CAMBIAR DE SISTEMA DE

COORDENADAS

Una vez obtenidas las matrices de rigidez en coordenadas locales de cada

elemento es necesario transformar esta rigideces a un sistema de coordenadas global,

para luego poder obtener los esfuerzos y deformaciones de cada elemento a partir de

las deformaciones globales de la estructura transformando nuevamente al sistema local

de cada elemento. Por lo tanto es necesario de una matriz de transformación que

permita permutar entre un sistema y otro.

Comenzando con el estudio de la rotación de los ejes en el plano cartesiano,

como ilustra la Fig. 3.4. El sistema coordenado original esta dado por el plano XY, y al

experimentar este sistema una rotación @, con respecto al origen O, pasa a un nuevo

sistema coordenado X’Y’. Si las coordenadas que definen la posición del punto P en el

sistema coordenado original XY (antes de la rotación) se denominan (x,y) y referidas en

el nuevo sistema coordenado X’Y’ (después de la rotación) se denomina (x’,y’) y de la

figura se define como r al segmento recto OP se tiene que a partir de las relaciones

trigonométricas que: A � BC � � cos �; 0 G� H � CI � � sin �; 0 G� A′ � BC′ � � cos �G� H′ � C′I � � sin �G�

Figura 3.4: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático


71

(Ec. 3.27)

(Ec. 3.26)

(Ec. 3.28)

(Ec. 3.29)

(Ec. 3.30)

(Ec. 3.32)

(Ec. 3.31)

(Ec. 3.33)

(Ec. 3.34)

A partir de las relaciones trigonométricas se tiene que la ecuación también puede

escribirse como (Anfosi, 1974) A � � cos�; 0 G� � � cos�;� cos�G� ! � sin�;� sin�G� Sustituyendo las ecuaciones 3.24 y 3.25 en la ecuación 3.26 se tiene: A � A ′ cos�;� ! H′ sin�;� De manera análoga, a partir de la ecuación 3.23 se tiene: H � � sin�; 0 G� � � sin�;� sin�G� ! � cos�;� cos�G� Sustituyendo las ecuaciones 3.24 y 3.25 en la ecuación 3.28 se tiene: H � A ′ sin�;� 0 H′ cos�;�

Por lo tanto la transformación de coordenadas de un punto P cualquiera en el

plano como consecuencia de rotar los ejes de referencia un ángulo ; dado, es posible

expresarla a partir de las ecuaciones 3.26 y 3.29 que pueden reescribirse en forma

matricial como:

LAHM � �cos�;� !sin�;�sin�;� cos�;� � 3A′H′7

O escribiendo de manera compacta

4C6 � �N�-�4C′6, PQRP& �N�-� � �cos�;� !sin�;�sin�;� cos�;� � Para el análisis estructuras es más necesario conocer la transformación inversa,

es decir, conociendo la posición del punto P con respecto al sistema rotado (x’,y’) poder

referir ese punto al sistema global (x,y). Esto se logra multiplicando la ecuación 3.30 por

la inversa de la matriz �N�-�: 4C′6 � �N�4C6

A partir de las propiedades para matrices de orden dos, se sabe que (Damy, 1986)

�S� � Ta bc dX H �S�-� � ��-Y� T d !b!c a X Por lo tanto la ecuación_ queda:

�N� � 1cos�;�� 0 sin�;�� cos�;� sin�;�! sin�;� cos�;� a� � � cos�;� sin�;�! sin�;� cos�;� a�

Con lo que se comprueba que la matriz de transformación en el plano es

ortogonal dado que su inversa es igual a su transpuesta �N�-� � �N�"

A continuación se referirán las propiedades del elemento viga-columna

bidimensional con ejes coincidentes con el plano Y’Z’, según el sistema global de

referencia XZ:


72

(Ec. 3.36)

(Ec. 3.35)

(Ec. 3.37)

(Ec. 3.38)

(Ec. 3.39)

(Ec. 3.40)

(Ec. 3.41)

(Ec. 3.42)

A partir del equilibrio se tiene que las fuerzas actuantes en el elemento según el

sistema local 48′6 o según el sistema global 486 tienen las siguientes relaciones: 48′6 � �[�486 486 � �[�"48′6

Y a partir de la ecuación de continuidad en coordenadas locales: 48′6 � ��′�45′6 Además las relaciones entre las deformaciones en el elemento según el sistema

local 45′6 o el golbal 456 estan dadas por: 45′6 � �[�456

Por lo tanto a partir de las ecuaciones 3.37 y 3.38 se llega a: 486 � �[�"��′��[�456 � ��456 \QR �� [�"��′��[� Donde: ��: Matriz de rigidez del elemento según el sistema global de referencia ��′�: Matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales �[�: Matriz de transformación del sistema local al sistema global

De la figura 3.34 se observa que, al rotar el plano YZ al Y’Z’, el eje X permanece

en la misma posición, por lo tanto, los giros y momentos que se aplican en ese plano no

sufren transformación alguna. Entones a partir de la figura y de lo expuesto

anteriormente, se obtiene que:

=8� ′8�:′>��′? � � cos�;� sin�;� 0! sin�;� cos�;� 00 0 1 =

8� 8�:>��?

=8� ′8�:′>��′? � � cos�;� sin�;� 0! sin�;� cos�;� 00 0 1 =

8� 8�:>��?

Por lo que:

]_^ 8� ′8�:′>��′8� ′8�:′>��′a

bc

�deeeef cos�;� sin�;� 0 0 0 0!sin�;� cos�;� 0 0 0 00000

00001000

0cos�;�!sin�;�00sin�;�cos�;�0

0001ghhhhi �

]_^ 8� ′8�:′>��′8� ′8�:′>��′a

bc


73

(Ec. 3.43)

(Ec. 3.44)

(Ec. 3.47)

(Ec. 3.46)

(Ec. 3.48)

(Ec. 3.49)

Y es claro que la matriz de transformación �[� &j:

�[� �deeeef cos�;� sin�;� 0 0 0 0!sin�;� cos�;� 0 0 0 00000

00001000

0cos�;�!sin�;�00sin�;�cos�;�0

0001ghhhhi

Escribiendo en forma compacta:

�[� � ��N� �0��0� �N�� PQRP&: �0� � �0 0 00 0 00 0 0 H �N� � � cos�;� sin�;� 0! sin�;� cos�;� 00 0 1 La matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales puede escribirse de la

siguiente forma:

��′� � ��′�� ′��′�� ′�� Donde cada una de las submatrices de rigidez del elemento viga-columna de la

figura 3.33 tiene la siguiente forma:

l�′mno � �C 0 00 S %0 p q

Donde i y j son los subíndices correspondientes a los extremos y A, B, C, D y E

son los respectivos coeficientes de rigidez de cada una de las submatrices y se han

cambiado para fines prácticos. A partir de la ecuación 3.39 se puede decir que:

�� [�"l�′mno�[� Por lo que sustituyendo las ecuaciones 3.44 y 3.46 en la ecuación se tiene que

cada submatriz del elemento expresada en coordenadas globales l�mno esta dada por:

l�mno � �C \Qj�; 0 S jrR�; �C 0 S�\Qj;j&R; !% j&R;�C ! S�\Qj;j&R; C \Qj�; 0 SjrR�; % \Qj;!p j&R; p \Qj; q

A modo de aplicación de las formulaciones aquí planteadas, en el anexo C del

presente trabajo se resuelve en una hoja de cálculo MathCad un pórtico de sección

variable.


74

(Ec. 3.2)

(Ec. 3.3)

(Ec. 3.4)

(Ec. 3.5)

3.4. RESOLUCION DE LAS INTEGRALES DE FLEXIBILIDAD

A continuación se resolverán las integrales que definen los coeficientes de

flexibilidad para un elemento de sección variable rectangular con ayuda del programa

MathCad, estas integrales pueden ser resueltas para otras formas geométricas,

haciendo los cambios de sección correspondiente, que se traduce en buscar las

funciones que rigen la inercia y el área de la sección.

Anteriormente se indicó que la matriz básica de flexibilidad para elementos

bidimensionales de sección variable sin considerar la deformación por cortante es:

�� 0 00 �� 0 �� Donde: ��

��

��

� � � � ��

Para una sección rectangular similar a la descrita en la figura 3.3b, es posible

definir la siguiente función para la variación de su canto (altura) a medida que se recorre

por su eje longitudinal

Figura 3.5: Elemento de sección rectangular bidimensional no prismático

(Ec. 3.1)


75

(Ec. 3.50)

(Ec. 3.51)

(Ec. 3.52)

(Ec. 3.53)

(Ec. 3.54)

(Ec. 3.55)

s�t� � s� ! s�1 �1 ! t� 0 s�

Así, para obtener la función del área de la sección rectangular de inercia variable,

basta con multiplicar la ecuación 3.50 por el ancho de la sección (b), obteniéndose:

C�t� � s�t� u � �s� ! s�1 �1 ! t� 0 s�� u

Finalmente al resolver en MathCad la ecuación 3.2, con E constante, se obtiene:

Figura 3.6: resolución en MathCad de la integral definida en ecuación 3.2

Reescribiendo la respuesta, queda:

�� v PtpC�t�� 1pus� w s�s� ! s�x ln ws�s�x De igual forma es posible obtener la respuesta de las demás ecuaciones que

definen los coeficientes de flexibilidad para la matriz de la ecuación 3.1,

consiguiéndose:

�� ,z��{$z |}{${�~� ! } {${�-{$~� �{�{$ ! {${� ! 2�R }{�{$~�� 612

pus13 } s1s2!s1~2 �1 0 }s1s2~2 ! 2�R }s1s2~� � ��

� � � � �� 61pus13 } s1s2!s1~ �1 ! }s1s2~2� Ecuaciones que corresponden exactamente a las entregadas por Tena-Colunga

en su publicación “Stiffness Formulation for nonprismatic beam elements”, 1996

0

L

z1

A z( )

⌠⌡

d asumir h1 h2>, L 0>, L ln h1−( ) ln h2−( )−( )⋅

b h1 h2−( )⋅0

L h1⋅

h1 h2−> 0

L h1⋅

h1 h2−≥∨

L h1⋅

h1 h2−L≥∨if

undefined otherwise

→

Capítulo IV: Conclusiones

76

CAPITULO IV

CONCLUSIONES

1. En el Capítulo III, se han formulado las integrales que expresan cada uno de los

coeficientes de flexibilidad y posterior matriz de rigidez para un elemento no

prismático (sección variable), y con ayuda de las herramientas de cálculo y

computadores existentes en la actualidad, se muestra cómo es posible resolver

estas integrales de manera simple y exacta.

2. Lo desarrollado en el Capítulo II, entrega un análisis sistemático para la obtención

de la deformada para cada uno de los elemento de sección variable estudiados,

ecuación de la cual es posible obtener la carga de pandeo por flexión, mostrando

claramente cuál es la carga critica para el elemento, así como también su coeficiente

de esbeltez y longitud de pandeo, parámetros de gran necesidad e importancia para

los ingenieros a la hora de diseñar estructuras con este tipo de elementos.

3. Queda demostrado que para el estudio del pandeo en barras de sección variable se

requiere del conocimiento de la ley que representa la variación de ciertos valores

estáticos de su sección transversal recata a lo largo de su directriz. Entre los cuales

destaca las funciones matemáticas para el momento de inercia ��, el área de cada

sección �� y el grado de ahusamiento �.

4. El análisis del pandeo para una barra aislada de inercia variable puede ser abordado

en forma análoga a lo establecido en la teoría clásica para el caso de la barra de

inercia constante.

5. Con el objetivo de buscar resultados en otras metodologías referidas a los

elementos de sección variable que permitan validar las formulaciones de esta tesis,

se ha optado por usar el programa SAP2000 para poder verificar algunos ejemplos a

desarrollar con los planteamientos expuestos en el presente trabajo de titulación. Así

del Anexo A y de sus resultados resumidos en Tabla A.1, puede concluirse que el

software SAP2000 determina correctamente la carga de pandeo para un elemento

cualquiera, y a medida que se aumenta la discretización del elemento (mesh)

modelado, el resultado converge al valor real de la carga critica de pandeo que se

puede obtener de la Ecuación de Euler, para el caso de un elemento de sección

constate. Con esto se da por aprobado este procedimiento para obtener la carga de

pandeo modelando una barra de sección constante en el programa SAP2000, y

procediendo de forma similar, en el anexo B se obtendrá la carga de pandeo para un

Capítulo IV: Conclusiones

77

elementos de sección variable, situación que permitirá comprobar la metodología

propuesta en el Capítulo II del presente trabajo de titulación (ver anexo B).

6. Según lo expuesto en Anexo B y resumido en Tabla B.1, los resultados obtenidos

con la metodología propuesta en este trabajo de titulación, basada en las

formulaciones de Timoshenko & Gere en su libro Theory of Elastic Stability, son

aceptables pues a medida que se aumenta la discretización del elemento modelado

en SAP2000, los resultados del programa convergen al valor de la metodología, al

igual que ocurre con un elemento de sección constante.

7. En el Anexo C, se resuelve un ejercicio de un marco Biempotrado compuesto por

una viga de sección variable y dos pilares de sección constante. Este ejercicio se

desarrolla detalladamente en una hoja de cálculo del programa MathCad, donde es

posible apreciar las ventajas de este programa y la simplicidad en los cálculo de la

metodología propuesta en el Capítulo III del presente trabajo, para la determinación

de los coeficientes de flexibilidad y rigidez, las matrices de rigidez de cada elemento,

la matriz de rigidez global, la ecuación matricial que gobierna el problema, la

obtención del vector desplazamientos para el marco en estudio, la determinación de

los giros y desplazamientos en cada nudo, así como la obtención de las fuerzas y

momentos en cada elemento. En los diagramas de esfuerzos de cada barra es

posible corroborar el equilibrio que existe en cada nodo, lo cual es suficiente para

establecer para que la resolución matricial del problema ha sido correcta.

Bibliografía

78

BIBLIOGRAFIA

1 Argüelles, R 1975. La estructura metálica hoy. Ed. Librería técnica

Ballisco, Madrid

2 Argüelles, R. 1996. Análisis de estructuras: Teoría, problemas y

programas. Ed. Fundación Conde del Valle de Salazar. Madrid

3 Ballio, G y Mazzolani, F.M. 1983. Theory and design of steel

structures. Ed. Chapman and Hall. London

4 Belluzi, o. 1967. Ciencia de la construcción. Ed. Aguilar. Madrid

5 Chen, W.F.; Lui, E. M. 1987. Structural Stability. Theory and

implementation. Ed. Elsevier. New York

6 Cudos, V. y Quinteros, F. 1988. Estructuras metálicas. La pieza

aislada. Inestabilidad. Ed. Elservier. New York

7 Edwards, C.H, Penney, D.E. 2001. Ecuaciones diferenciales. Ed.

Person. México

8 Ermopoulos, J.C; 1999. Buckling of teraped bars under stepped

axial loads. Journal of Structural Engineering. Vol 122

9 Galambos, T.N. 1987. Guide to stability design criteria for metal

structures. Ed. Wiley. New York

10 Lambe, C.G; Tranter, C.J. 1964. Ecuaciones diferenciales: para

ingenieros y científicos. Ed. UTEHA. México

11 Lopez, M.1993. Análisis de segundo orden de pórticos a dos aguas

con elementos de inercia variable. TPFC (ETSIAM, Córdoba)

12 Manual of steel construction. 1986, AISC. Chicago

13 Manual Software SAP2000 v14

<http://www.csiberkeley.com/products_SAP.html>

Bibliografía

79

14 Manual Software MathCad 14

<http://www.ptc.com/products/mathcad/>

15 Rodriguez, N. 1976. Estructuras para grandes claros. Ed. SOP.

UNAM. México

16 Tena – Colunga. 1996. Stiffness Formulation for Nonprismatic

Beam Elements. Journal of structural Engineering. Vol 122

17 Timoshenko, S.P. y Gere, J.M. 1961. Theory of elastic stability. Ed.

McGraw-Hill. New York

18 Wang, C.M.; Wang, C. Y.; Reddy, J.N. 2005. Exact solutions for

buckling of structural member. Ed. CRC Press LLC. Florida

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección

Constante con el Programa SAP2000

80

ANEXO A

CALCULO DE LA CARGA DE PANDEO PARA UN

ELEMENTO DE SECCION CONSTANTE CON EL

PROGRAMA SAP2000

Para realizar este tutorial se desarrollará el siguiente

problema:

• Columna de Acero (E = 2.100.000 kgf/cm^2)

• Condición de sustentación: Empotrada -Libre

• Longitud, L= 300 cm

• Propiedades de la sección: W10x12, A = 22,84 cm2 y

Ixx = 2240 cm^4

• Análisis en 2D (plano X-Z)

1. GENERACIÓN DE LA PLANTILLA PARA TRABAJO

1.1. Click en menú File �� New Model (Ctrl+N)

1.2. Seleccionar unidades de medida para trabajar 1.3. Seleccionar alguna de las plantilla

predeterminadas que ofrece el programa.

Para modelar la columna del problema existen

varias alternativas (Blank, Grid Only y 2d Template),

esta vez se usará la plantilla grilla (Grid Only), pues es

mas general y se ajusta de mejor forma al problema.



81

1.4 Configurar Grilla.

La Grilla servirá de referencia para modelar la barra del

problema, para esto se definen 2 líneas en la dirección Z

distantes 300 cm (longitud del elemento a analizar), los demás

valores pueden quedar tal cual vienen en el programa o como

muestra la imagen.

Se crea la red indicada y el programa ofrece dos

ventanas, una del plano XY y otra

de una vista en 3D, dejar sólo una

ventana y hacer click en el botón del

menú vista XZ para que la ventana

muestre el plano XZ.

2. DEFINICION DEL MATERIAL A USAR Click en menú Define �� Materials Con el botón agregar nuevo material (“Add

New Material”) se ingresa a la ventana de

propiedades de materiales en donde se indica un

nombre para el material (ACERO para este

caso) hay que revisar que el módulo de

elasticidad sea el indicado en el problema

(E=2.100.000 kgf/cm^2), de lo contrario hay que

ingresarlo, verificando que las unidades sean las

correctas.



82

3. DEFINICION DE LA SECCION A USAR

Define �� Section Properties �� Frame Section

Agregar nueva sección

Click en “Add New Property”

Luego sobre “I/W Wide Flange”



83

También es posible importar la sección

desde la librería.

Click en “Import New Property”

Seleccionar el tipo de sección a agregar

Click en “I/W Wide

Flange”

indicar el material para este elemento (“ACERO”, creado anteriormente, ver punto 2) y

seleccionar el perfil W10x12 en la lista.

Al hacer click en el botón OK, se abre la ventana con las propiedades del perfil

seleccionado anteriormente.



84

En el botón Propiedades de la sección (“Section Propertiers”) se pueden revisar

las propiedades de este perfil, como son el área

transversal, momentos de inercia, radio de giro, etc.

Y en el botón “Set Modifier” es posible modificar los factores que alteran las

propiedades del perfil usadas para el análisis

Por defecto todos tienen un valor unitario. En el

problema planteado solo se consideran las

deformaciones por flexión, ignorando las

deformaciones axiales y de corte. Para conseguir

esto, es necesario modificar los factores del corte a

cero e introducir un valor alto en el factor del área

(se usará 100000).

Haciendo click en los botones ok hasta

llegar a la ventana de “Frame

Propertiers” se puede observar que se

ha agregado el perfil W10x12.



85

4. MODELAMIENTO DE LA BARRA

4.1. Click en el botón Draw Frame/Cable Element

Seleccionar el perfil creado anteriormente para la

barra

Posicionar el puntero en el nudo inicial de la grilla, punto que será el extremo

inicial de la barra, luego mover el puntero hasta el nudo superior, punto que será el

extremo final de la barra.



86

Y al hacer click en este último punto, el programa genera el elemento barra entre los

puntos seleccionados anteriormente

Luego al hacer click en el icono, “Set

Select Mode”, el puntero cambia al modo

selección

4.2. Condiciones de sustentación

Seleccionar el nudo inferior (0, 0, 0)

En el menú Assign �� Joint �� Restraints

hacer click en el icono de empotramiento para dar la condición de columna empotrada

libre que nos indica el problema



87

Luego al hacer click en botón OK, se observa que el programa muestra un icono en el

punto seleccionado anteriormente, similar a un cajón que representa la condición de

empotramiento.

5. VISUALIZACIÓN DE LA SECCIÓN INTRODUCIDA

Es posible ver como es el elemento introducido, para esto hay que ir a “Set

Display Option” (Ctrl+E) en el menú y seleccionar el cajo Extrude View

Al hacer click en ok, el programa muestra una

nueva vista del elemento

5.1. Vista 3D

Para visualizar más claramente el elemento modelado, hacer

click en el botón 3D del menú barra de herramientas rápida.



88

En esta vista es posible rotar libremente el punto de vista y obtener una mejor

visualización (“Rotate 3D view”).

5.2. Realizar ZOOM

Para esto hacer click en botón

“Rubber Band Zoom (F2)” y

seleccionar la zona para aplicar el

zoom.

Asi es posible ver claramente la sección del elemento W modelado.



89

6. DEFINCION DE CARGAS EXTERNAS

6.1. Carga externa

En el menú Define �� Load Patterns

Aparece la venta de cargas

Modificar el nombre de la carga a Pcr y

colocar un cero en el coeficiente que

multiplica al peso, así se consigue

despreciar el peso propio del elemento.

Luego al pinchar en “Modify Load Pattern”

se actualiza lo realizado.

6.2. Combinaciones o casos de carga

El menú Define �� Load Cases

entrega la ventana de las combinaciones de carga que está

considerando el programa para el análisis, y al hacer click en

agregar nueva carga (“Add

New Load Case”)…

Se ingresa a la siguiente ventana, donde es necesario seleccionar Buckling

(pandeo) en el tipo de caso (“Load Case Type”), para indica al programa que analice

el pandeo en el elemento



90

A continuación es necesario agregar la carga Pcr a

las cargas a considerar y modificar a dos modos el

número de modos de pandeo a revisar.

Luego de hacer click en OK, hay que eliminar las otras

combinaciones que trae el programa por defecto

dejando solo la combinación creada anteriormente.

6.3. Introducción de la carga externa

Para que el programa pueda hacer el análisis es necesario

introducir una carga unitaria, para esto, hay que seleccionar el

nudo sobre el cual estará aplicada la carga (nudo superior para

este caso).

Luego en Assign �� Joint Loads �� Forces

se abre la ventana para las cargas (fuerzas) a

aplicar sobre el nudo seleccionado

Introducir una carga unitaria vertical de gravedad, es

decir el número -1 en la posición Z.



91

El programa muestra la carga introducida

7. CALCULO Y ANALISIS

7.1. Análisis en el Plano

Es necesario que el análisis se desarrolle solo

en el plano, para lo cual hay que modificar las

opciones de análisis en el menú Analyse �� Create

Analysis Model

Al hacer click en “Plane Frame”, se le indica al programa

que realice un análisis en el plano, situación que se

expresa dejando activo solo los grados de libertad UX –

UZ – RY



92

7.2. Discretización del elemento (MESH)

SAP2000 usa elementos finitos, estos se definen para una barra de nodo a nodo

en forma predeterminada, para verificar y modificar esto en caso de ser necesario, se

debe seleccionar la barra e ir al menú Analyse �� Frame �� Automatic Frame Mesh.

Aquí se observan las opciones predeterminadas que se no se modificara por el

momento.

.

7.3. Ejecución del Análisis

Ya se ha indicado todo lo necesario, solo faltando hacer el análisis.

Ir a Menú Analyze �� Run Analysis (F5)

Aparece la siguiente ventana en donde hay que

hacer click en el botón correr hora (“Run Now”)

El programa realiza el análisis y muestra un

resumen si se marco la opción Alwoys Show

(mostrar siempre) en la ventana anterior.

7.4. Resultados



93

Como el análisis realizado busca la carga de pandeo, en la esquina superior

izquierda aparece un valor que el programa denomina “Factor” que es un factor de

amplificación para la carga externa en el primer modo de pandeo del elemento, en

nuestro caso, se ha introducido una carga externa unitaria por lo cual el factor que

entrega el programa es directamente la carga critica del pandeo de Euler para el primer

modo de pandeo del elemento empotrado libre que se ha modelado. Es posible

visualizar más claramente las cargas de pandeo para todos los modos indicados.

Ir a Menú Display �� Show Tables

buscar la siguiente ruta

Así se consigue una tabla que muestra

los factores de pandeo (Buckling

Factor) para cada modo, como ya se

mención, acertadamente la carga

externa introducida fue unitaria, así los

valores que se observan en la tabla

corresponden a los valores de la carga

de pandeo de esta columna para cada

uno de sus modos analizados, y el

menor de ellos es el valor de la carga

critica de pandeo buscada.

La carga de pandeo obtenida del programa SAP2000 es: 129.893,78 kgf



94

8. COMPROBACION DE LOS RESULTADOS

Se sabe que la carga crítica de Euler para una barra Empotrada - Libre se

obtiene de la siguiente ecuación:

�� 4�

Para la columna del problema se tiene que:

• E= 2.100.000 kgf/cm2

• L= 300 cm

• A= 22,84 cm2

• I= 2239,325 cm4

Reemplazando en la ecuación anterior, se obtiene que:

�� 2.100.000 kgf

cm� � 2239,325cm�

4�300�� 128.923,97 "#$

Es fácil apreciar que existe una pequeña diferencia entre el resultado entregado

por SAP2000 y el resultado obtenido teóricamente mediante la ecuación de Euler, esta

diferencia se debe a la discretización que hace el programa SAP2000. Para corroborar

lo anterior, se mostrará como forzar al programa que divida al objeto en más elementos

(una mayor discretización) antes de ejecutar el análisis nuevamente.

Para continuar con el problema se correrá el análisis nuevamente para una

discretización de 2 y 4 partes respectivamente.



95

9. MODIFICACION DE LA DISCRETIZACION DEL ELEMENTO

Esto se consigue indicando un número mínimo de segmentos en la ventana

Frame Automatic Mesh, (revisar punto 7.2 de este anexo).

Al Introducir el valor 2 en la casilla Minimun Number of Segments, y ejecutar el

análisis se obtiene un factor de 128,989.99 kgf

Al Introducir el valor de 4 en la casilla Minimun Number of Segments, y ejecutar

el análisis se obtiene el factor de 128,923.97kgf

Los resultados anteriores se resumen en la siguiente tabla comparativa

Tabla A.1: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un elemento sección constante

Modelo Sap2000 (kgf) Euler (kgf) Diferencia (%)

A 1 elemento por objeto 129,893.7798 128,923.97 0.75

B 2 elemento por objeto 128,989.9987 128,923.97 0.05

C 4 elemento por objeto 128,928.1958 128,923.97 0.00

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000

96

ANEXO B

CALCULO DE LA CARGA DE PANDEO PARA UN ELEMENTO NO PRISMATICO CON EL PROGRAMA SAP2000

A continuación se describirá

como obtener la carga de pandeo para

una barra de sección variable

Empotrada - Libre usando las formulas

entregadas en el Capítulo 1 del presente

trabajo de titulación, y se comprobará

con los resultados que entrega el

programa SAP2000 al modelar un

elemento de sección variable con las

siguientes características y propiedades.

Para realizar esta demostración se

desarrollará el siguiente problema:

• Columna de Acero (E=2.100.000 kgf/cm^2)

• Condición de sustentación: Empotrada - Libre

• Longitud, L=400 cm, a=100cm

• Propiedades de la sección: Rectangular, �� 20��

• Análisis en el plano (plano X-Z), planteando como hipótesis que la columna esta

arriostrada en su eje débil por lo cual solo pandea en el plano de análisis.

p

1. USANDO LA METODOLOGIA PROPUESTA

1.1. Calculo dimensiones del elemento

Recordando que el análisis a realizar se basa en una relación de inercia

especifica propuesta por Timoshenko, una vez indicada la forma del elemento y las

dimensiones del la sección en el nodo inicial, a, se deben obtener las dimensiones para

el nodo final, a+L.

De la Ley de variación de inercia, se obtiene una relación entre los cantos inicial

y final de la barra.


97

��

12 � ��12 �

��

��

Así para el nudo final se tiene:

� � � � 400�� 100�� 500��

�� 20�� 500��100��

�� 58,48��

Se sabe que la Inercia para una sección rectangular respecto a su eje centroidal es:

� � ��12

Así, para el punto inicial a y para el punto final a+L, se tienen las siguientes inercias:

�� 20��20��12 � 13.333,33��!

�� 20��58,48��12 � 333.333,33��!

Comprobación:

Para el elemento del problema se tiene un grado de ahusamiento de:

" � � � 400��

100�� 4

Usando la 2.4 se obtiene:

�� 1 � "�� 13.333,33��!1 � 4�� 333.333,33��! � #$

En pagina 27, se deduce que la carga de pandeo para una barra de inercia

variable con condiciones de sustentación empotrada-libre, se rige por la ecuación 2.86:

%&' � � (�� )* � � "� + ,�ln�1 � "� 0.493559 0 0.063707"�� 1

43

Calculando con ayuda de MathCad el valor m para el valor de " � 4, se tiene que:

� � "� + ,�ln�1 � "� 0.493559 0 0.063707"�� 1

43 � 7,474

Así, la carga de pandeo para la barra del problema usando la metodología

propuesta en presente trabajo de titulación es:


98

%&' � � (�� 7,474 �2.100.000 kgfcm�� 13.333,33��!�400�� 1,308,036.77 9:;

2. CALCULANDO CON SAP2000

2.1. Modelamiento de la sección variable

Para modelar una barra se sección variable se procede de igual manera que para

una barra de sección constante (anexo A) salvo que al momento de indicar sección de

la barra (revisar punto 3, Anexo A) se debe proceder de la siguiente:

2.1.1. Creación de las secciones que forman el elemento

En un primer paso se deben crear las secciones extremas de la barra de sección

variable

Como el problema plantea secciones

rectangulares, se puede usar la plantilla de

sección rectangular que entrega el menú

para secciones de hormigón y modificar

sus propiedades según se necesita para

problema a analizar.

Al hacer click sobre el botón sección

rectangular, muestra la siguiente ventana:

Se selecciona el material a usar, que será el material denominado ACERO (ver

pag 81 Anexo A)


99

Se cambian los factores de modificación para las propiedades

Y se verifica que las propiedades de la

sección son las obtenidas anteriormente, por

ejemplo el momento de inercia mayor es

exactamente el momento de inercia ��

Como la segunda sección es similar a la sección ya creada, se puede agregar una

sección con las mismas propiedades de

alguna de las secciones ya creadas, en este

caso seleccionar la sección 20/20 y hacer

click sobre el botón add copy property.

Se introducen los nuevos valores de la

sección (nombre y dimensiones)


100

Se verifican que los coeficientes de modificación para las propiedades sean los

correspondientes al problema

Se verifican las propiedades de la sección y se

aprecia que existe una pequeña diferencia en el

momento de inercia en SAP2000 respecto al

momento de inercia ��, esto se debe a los

decimales omitidos en el canto final cuyo valor

con 10 decimales es: <=�> � ?@, A@BC?ADEACFG

2.1.2 Creación de la sección variable

El paso siguiente es la creación de la

sección variable y para esto se debe hacer un

click en Add New Property.

Seleccionar Other en Frame Section Property

Type:

Y hacer click sobre Nonprismatic

Aparece la venta de creación de sección variable

en donde hay que definir las secciones iniciales y

finales del elemento a modelar.


101

Indicar la sección inicial (20/20), la sección final (58.48/20), como la variación

de sección, la que se desarrollará durante toda la longitud del elemento, por lo que se

usa el valor 1 (100%) dado que el programa permite modelar una barra con mayor

cantidad de secciones, y por último se indica una variación de inercia parabólica ya

que se requiere un moldeamiento lo mas similar al problema para poder comparar la

metodología propuesta. Se hace click en agregar (“Add”) y se carga la configuración

creada.

Nota: al final del anexo se muestra la diferencia que existe al escoger una variación lineal o una variación

parabólica

Luego de clickear los botones Ok hasta llegar a

la ventana de trabajo, hay que seleccionar la

barra y proceder a asignar la sección variable

creada recientemente

Seleccionar la sección creada 20/20_58/20 y hacer

click en ok


102

Aparece la sección sobre la barra

Es posible ver la sección de una forma más real, siguiendo el procedimiento planteado

en Punto 5 del Anexo A

Y la vista en 3D queda de la siguiente forma:


103

2.2. ANALISIS Y RESULTADO

Luego de proceder con la introducción de cargas y puntos restantes indicados en

Anexo A, se debe ejecutar el análisis de la barra. Considerando la discretización

estándar que trae el programa sap2000 (1 solo elemento por objeto), se obtienen los

siguientes resultados


104

Para una discretización de 2 elementos, se obtiene: 1,292,110.58 kgf

Para una discretización 6 elementos, se obtiene: 1,308,551.88 kgf

La siguiente tabla muestra la comparación de los resultados obtenidos en

SAP2000 para diferentes discretizaciones del objeto (barra) respecto al resultado que

entrega la metodología propuesta.


105


Elemento sección variable (no prismatico)

Modelo Sap2000 (kgf) Metodología (kgf) Diferencia (%)

A 1 elemento por objeto 1,227,991.71 1,308,036.77 6.09

B 2 elemento por objeto 1,292,110.58 1,308,036.77 1.22

C 6 elemento por objeto 1,308,551.88 1,307,658.75 -0.04

2.3. VARIACION LINEAL O VARIACION PARABOLICA.

A continuación se muestran los diferentes resultados que entrega el programa

SAP2000 al modelar un elemento no prismático con una variación de inercia parabólica

o con una variación de inercial lineal.

Tabla B.2: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un elemento

con variación de inercia lineal y otro con variación parabólica

Modelo Sap2000 (kgf)

variación parabólica de

la inercia

Sap2000 (kgf)

variación lineal de la

inercia

Diferencia (%)

A

1 elemento por objeto 1,227,991.7140 1,866,426.51 34.21

B

2 elementos por objeto 1,292,110.5800 1,970,681.49 34.43

C

6 elementos por objeto 1,308,551.8880 2,006,618.30 34.79

Se observa que la diferencia es considerable para este caso de elemento

rectangular Libre - Empotrado (sobre 30%), es decir, al estudiar un elemento no

prismático con variación de inercia lineal como un elemento no prismático con variación

de inercia parabólica (ley de inercia planteada por Timoshenko), se obtiene una carga

critica de pandeo un 30% menor a la carga critica real del elemento en estudio, por lo

tanto la metodología propuesta aborda un diseño por el lado de la seguridad para los

elementos con variación de inercia lineal, que son los elementos de mayor fabricación y

de mayor uso en la construcción debido a su simplicidad y método de fabricación.

EJEMPLO DE APLICACION DEL ANALISIS MATRICIAL DE UN MARCO COMPUESTO POR ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE

(RESUELTO EN EL PROGRAMA MATHCAD)

Obtener los desplazamientos y giros en los nodos, las reacciones en los apoyos, así como loselementos mecánicos y sus diagramas de momento M del marco simple sujeto al sistema de cargasque se indica en la siguiente figura. Todos los elementos son tipo Viga-Columna bidimensionales, cuyaspropiedades se indican a continuación.

modulo elasticidad E 2100:= ton

cm2

elemento 1

ELEMENTOS SECCION RECTANGULAR CONSTANTE

seccion h1 60:=

b1 30:=

longitud L1 300:=

Area de la Sección A1 h1 b1⋅ 1800=:=

Momento de Inercia Mayor de la seccionIx1

b1 h13

⋅

12540000=:=

106

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

CALCULO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

renombre variables Ix Ix1 5.4 105×=:=

L L1 300=:=

A A1 1.8 103×=:=

razE A⋅L

1.26 104×=:=

raax12E Ix⋅

L3504=:=

rabx6 E⋅ Ix⋅

L27.56 104

×=:=

rbax rabx 7.56 104×=:=

r11x4 E⋅ Ix⋅

L1.512 107

×=:=

r22x r11x 1.512 107×=:=

r12x2 E⋅ Ix⋅

L7.56 106

×=:=

r21x r12x 7.56 106×=:=

SUBMATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES Kk11

k21

k12

k22

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

k´11

raz

0

0

0

raax

rabx

0

rabx

r11x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= k´12

raz−

0

0

0

raax−

rabx−

0

rbax

r12x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

k´21

raz−

0

0

0

raax−

rabx−

0

rbax

r12x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

T

:= k´22

raz

0

0

0

raax

rbax−

0

rbax−

r22x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

k´11

1.26 104×

0

0

0

504

7.56 104×

0

7.56 104×

1.512 107×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= k´12

1.26− 104×

0

0

0

504−

7.56− 104×

0

7.56 104×

7.56 106×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

k´21

1.26− 104×

0

0

0

504−

7.56 104×

0

7.56− 104×

7.56 106×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= k´22

1.26 104×

0

0

0

504

7.56− 104×

0

7.56− 104×

1.512 107×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

kelem1 stack augment k´11 k´12, ( ) augment k´21 k´22, ( ), ( ):=

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A. 107


kelem1

12600

0

0

12600−

0

0

0

504

75600

0

504−

75600

0

75600

15120000

0

75600−

7560000

12600−

0

0

12600

0

0

0

504−

75600−

0

504

75600−

0

75600

7560000

0

75600−

15120000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES

α1 90°:=Matriz cambiocoordenadas T

cos α1( )sin α1( )−

0

sin α1( )cos α1( )

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

k111 TT k´11⋅ T⋅

504

0

75600−

0

12600

0

75600−

0

15120000

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:= k112 TT k´12⋅ T⋅

504−

0−

75600

0−

12600−

0−

75600−

0

7560000

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=

k121 TT k´21⋅ T⋅

504−

0−

75600−

0−

12600−

0

75600

0−

7560000

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:= k122 TT k´22⋅ T⋅

504

0

75600

0

12600

0−

75600

0−

15120000

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=

K1 stack augment k111 k112, ( ) augment k121 k122, ( ), ( ):=

K1

504

0

75600−

504−

0−

75600−

0

12600

0

0−

12600−

0

75600−

0

15120000

75600

0−

7560000

504−

0−

75600

504

0

75600

0−

12600−

0−

0

12600

0−

75600−

0

7560000

75600

0−

15120000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

elemento 1

elemento 2

ELEMENTOS SECCION RECTANGULAR CONSTANTE

seccion h2 50:=

b2 40:=

longitud L2 300:=

Area de la Sección A2 h2 b2⋅ 2000=:=

Momento de Inercia Mayor de la seccionIx2

b2 h23

⋅

12416666.67=:=



CALCULO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

renombre variablesIx Ix2 416666.67=:=

L L2 300=:=

A A2 2000=:=

razE A⋅L

1.4 104×=:=

raax12E Ix⋅

L3388.889=:=

rabx6 E⋅ Ix⋅

L25.833 104

×=:=

rbax rabx 5.833 104×=:=

r11x4 E⋅ Ix⋅

L1.167 107

×=:=

r22x r11x 1.167 107×=:=

r12x2 E⋅ Ix⋅

L5.833 106

×=:=

r21x r12x 5.833 106×=:=

SUBMATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALESK

k11

k21

k12

k22

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

k´11

raz

0

0

0

raax

rabx

0

rabx

r11x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= k´12

raz−

0

0

0

raax−

rabx−

0

rbax

r12x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

k´21

raz−

0

0

0

raax−

rabx−

0

rbax

r12x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

T

:= k´22

raz

0

0

0

raax

rbax−

0

rbax−

r22x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

k´11

1.4 104×

0

0

0

388.889

5.833 104×

0

5.833 104×

1.167 107×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= k´12

1.4− 104×

0

0

0

388.889−

5.833− 104×

0

5.833 104×

5.833 106×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

k´21

1.4− 104×

0

0

0

388.889−

5.833 104×

0

5.833− 104×

5.833 106×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= k´22

1.4 104×

0

0

0

388.889

5.833− 104×

0

5.833− 104×

1.167 107×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=



kelem2 stack augment k´11 k´12, ( ) augment k´21 k´22, ( ), ( ):=

kelem2

14000

0

0

14000−

0

0

0

388.888889

58333.333333

0

388.888889−

58333.333333

0

58333.333333

11666666.666667

0

58333.333333−

5833333.333333

14000−

0

0

14000

0

0

0

388.888889−

58333.333333−

0

388.888889

58333.333333−

0

58333.333333

5833333.333333

0

58333.333333−

11666666.666667

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES

α1 90°:=Matriz cambiocoordenadas T


0


0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

k211 TT k´11⋅ T⋅

388.889

0

58333.333−

0

14000

0

58333.333−

0

11666666.667

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=

k212 TT k´12⋅ T⋅

388.889−

0−

58333.333

0−

14000−

0−

58333.333−

0

5833333.333

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=

k221 TT k´21⋅ T⋅

388.889−

0−

58333.333−

0−

14000−

0

58333.333

0−

5833333.333

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=

k222 TT k´22⋅ T⋅

388.889

0

58333.333

0

14000

0−

58333.333

0−

11666666.667

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=


K2

388.888889

0

58333.333333−

388.888889−

0−

58333.333333−

0

14000

0

0−

14000−

0

58333.333333−

0

11666666.666667

58333.333333

0−

5833333.333333

388.888889−

0−

58333.333333

388.888889

0

58333.333333

0−

14000−

0−

0

14000

0−

58333.333333−

0

5833333.333333

58333.333333

0−

11666666.666667

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

elemento 2



elemento 3

ELEMENTOS SECCION RECTANGULA VARIABLE

seccion h1 80:=

h2 30:=

b 30:=

longitud L31 300:= L32 200:= L33 300:= Lt L31 L32+ L33+ 800=:=

TRAMO a-b: Seccion Varible de 80cm a 30cm

Lab L31 300=:=

el peralte del alma varia de la siguiente forma

hab z( )h1 h2−

LabLab z−( )⋅ h2+:=

asi el area axial varia segun:

Aab z( ) b hab z( )⋅ flotante 4, 5.0− z⋅ 2400.0+→:=

El momento de inercia

Iab z( )b hab z( )3⋅

12flotante 4, 2.5− 0.1667 z⋅ 80.0−( )3⋅→:=

TRAMO b-c: Seccion Constante de 30cm

Lbc L32 200=:=

Abc h2 b⋅ 1.5 103×=:=

Ibcb h2

3⋅

123.125 105

×=:=

TRAMO c-d: Seccion Variable de 30cm a 80cm

Lcd L33 300=:=

el peralte del tramo varia

hcd z( )h2 h1−

Lcdz Lab− Lbc−( )⋅ h1+:=

asi el area axial varia segun:

Acd z( ) b hcd z( )⋅ flotante 4, 5.0− z⋅ 4900.0+→:=

El momento de inercia

Icd z( )b hcd z( )3⋅

12flotante 4, 2.5− 0.1667 z⋅ 163.3−( )3⋅→:=



Determinacion de los coeficientes de flexibilidad

f 1 1,

0

Labz

1E Aab z( )⋅

⌠⎮⎮⌡

d

Lab

Lab Lbc+

z1

E Abc⋅

⌠⎮⎮⌡

d+

Lab Lbc+

Lab Lbc+ Lcd+

z1

E Acd z( )⋅

⌠⎮⎮⌡

d+ flotante 5, 0.00025032→:=

f 6 6,

0

Labz

1E Iab z( )⋅

⌠⎮⎮⌡

d

Lab

Lab Lbc+

z1

E Ibc⋅

⌠⎮⎮⌡

d+

Lab Lbc+

Lab Lbc+ Lcd+

z1

E Icd z( )⋅

⌠⎮⎮⌡

d+ flotante 5, 0.0000013987→:=

f 2 2,

0

Lab

zz2

E Iab z( )⋅

⌠⎮⎮⎮⌡

d

Lab

Lab Lbc+

zz2

E Ibc⋅

⌠⎮⎮⎮⌡

d+

Lab Lbc+

Lab Lbc+ Lcd+

zz2

E Icd z( )⋅

⌠⎮⎮⎮⌡

d+ flotante 5, 0.36438→:=

f 2 6,

0

Labz

zE Iab z( )⋅

⌠⎮⎮⌡

d

Lab

Lab Lbc+

zz

E Ibc⋅

⌠⎮⎮⌡

d+

Lab Lbc+

Lab Lbc+ Lcd+

zz

E Icd z( )⋅

⌠⎮⎮⌡

d+ flotante 5, 0.00063461→:=

Determinacion de los coeficientes de rigidez

L Lt 800=:=

raz1

f1 1, 3.995 103

×=:=

Detx f2 2, f 6 6, ⋅ f 2 6, ( )2− 1.069 10 7−×=:=

r11xf2 2,

Detx3.408 106

×=:=

r12xf2 6, L⋅ f 2 2, −

Detx1.34 106

×=:=

r22xf6 6, L2

⋅ 2 f2 6, ⋅ L⋅− f 2 2, +

Detx2.284 106

×=:=

raaxr11x r22x+ 2 r12x⋅+

L213.081=:=

rabxr11x r12x+

L5.935 103

×=:=

rbaxr22x r12x+

L4.53 103

×=:=



submatrices de rigidez en coordenadas locales Kk11

k21

k12

k22

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

k11

raz

0

0

0

raax

rabx

0

rabx

r11x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:= k12

raz−

0

0

0

raax−

rabx−

0

rbax

r12x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

k21

raz−

0

0

0

raax−

rabx−

0

rbax

r12x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

T

:= k22

raz

0

0

0

raax

rbax−

0

rbax−

r22x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

k11

3.995 103×

0

0

0

13.081

5.935 103×

0

5.935 103×

3.408 106×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= k12

3.995− 103×

0

0

0

13.081−

5.935− 103×

0

4.53 103×

1.34 106×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

k21

3.995− 103×

0

0

0

13.081−

4.53 103×

0

5.935− 103×

1.34 106×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= k22

3.995 103×

0

0

0

13.081

4.53− 103×

0

4.53− 103×

2.284 106×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=

kelem3 stack augment k11 k12, ( ) augment k21 k22, ( ), ( ):=

kelem3

3994.886545

0

0

3994.886545−

0

0

0

13.080709

5934.902983

0

13.080709−

4529.664297

0

5934.902983

3407699.136291

0

5934.902983−

1340223.249969

3994.886545−

0

0

3994.886545

0

0

0

13.080709−

5934.902983−

0

13.080709

4529.664297−

0

4529.664297

1340223.249969

0

4529.664297−

2283508.187899

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

submatrices de rigidez en coordeanas globales

α3 0°:=

cambio coordenadas T


0


0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

k311 TT k11⋅ T⋅

3994.887

0

0

0

13.081

5934.903

0

5934.903

3407699.136

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=

k312 TT k12⋅ T⋅

3994.887−

0

0

0

13.081−

5934.903−

0

4529.664

1340223.25

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=

k321 TT k21⋅ T⋅

3994.887−

0

0

0

13.081−

4529.664

0

5934.903−

1340223.25

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=



k322 TT k22⋅ T⋅

3994.887

0

0

0

13.081

4529.664−

0

4529.664−

2283508.188

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=:=


K3

3994.886545

0

0

3994.886545−

0

0

0

13.080709

5934.902983

0

13.080709−

4529.664297

0

5934.902983

3407699.136291

0

5934.902983−

1340223.249969

3994.886545−

0

0

3994.886545

0

0

0

13.080709−

5934.902983−

0

13.080709

4529.664297−

0

4529.664297

1340223.249969

0

4529.664297−

2283508.187899

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

elemento 3

Ensamble de la matriz de rigidez Global

Usando la regla del ensamble, se obtendrá la matriz de rigidez global a partir de las submatricesglobales de rigidez de los elementos que aporten a los nudos 1 y 2:

KGral stack augment k122 k311+ k312, ( ) augment k321 k222 k322+, ( ), ( ):=

KGral

4498.89

0

75600

3994.89−

0

0

0

12613.08

5934.9

0

13.08−

4529.66

75600

5934.9

18527699.14

0

5934.9−

1340223.25

3994.89−

0

0

4383.78

0

58333.33

0

13.08−

5934.9−

0

14013.08

4529.66−

0

4529.66

1340223.25

58333.33

4529.66−

13950174.85

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Las fuerzas externas para cada nudo son:

F1

15

0

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:= F2

15

0

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=F stack F1 F2, ( )

15

0

0

15

0

0

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:=

con lo cual, es posible resolver el sistema, obteniendo el siguiente vector de desplazamientos global:

cm

cm

cm/radX lsolve KGral F, ( )

0.07823

0.00025

0.0003−

0.07872

0.00022−

0.0003−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:= cm

cm

cm/rad



a continuacion se generan los vetores de desplazamientos globales para cada nodo:

Δ1 submatrix X 1, 3, 1, 1, ( )

0.078

2.478 10 4−×

2.976− 10 4−×

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=:=Δa

0

0

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=

Δb

0

0

0

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=Δ2 submatrix X 4, 6, 1, 1, ( )

0.079

2.23− 10 4−×

3.007− 10 4−×

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

=:=

la matriz de cambio de coordenadas es:

T α( )

cos α( )

sin α( )−

0

0

0

0

sin α( )

cos α( )

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

cos α( )

sin α( )−

0

0

0

0

sin α( )

cos α( )

0

0

0

0

0

0

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Cálculo de deformacines en coordenalas locales y de elementos Mecánicos

ELEMENTO 1 (nodo inicial: a____nodo final: 1)

U1 stack Δa Δ1, ( )

0

0

0

0.0782

0.0002

0.0003−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:= u1 T α1( ) U1⋅

0

0

0

0.00025

0.07823−

0.0003−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:=

kelem1

12600

0

0

12600−

0

0

0

504

75600

0

504−

75600

0

75600

15120000

0

75600−

7560000

12600−

0

0

12600

0

0

0

504−

75600−

0

504

75600−

0

75600

7560000

0

75600−

15120000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Ton

Ton

Ton-cmFelem1 kelem1 u1⋅

3.1224−

16.9297

3664.4725

3.1224

16.9297−

1414.4452

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:= Ton

Ton

Ton-cm



ELEMENTO 2 (nodo inial: b___nodo final: 2)

U2 stack Δb Δ2, ( )

0

0

0

0.078717

0.000223−

0.000301−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:= u2 T α1( ) U2⋅

0

0

0

0.000223−

0.078717−

0.000301−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:=

kelem2

14000

0

0

14000−

0

0

0

388.888889

58333.333333

0

388.888889−

58333.333333

0

58333.333333

11666666.666667

0

58333.333333−

5833333.333333

14000−

0

0

14000

0

0

0

388.888889−

58333.333333−

0

388.888889

58333.333333−

0

58333.333333

5833333.333333

0

58333.333333−

11666666.666667

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Ton

Ton


3.1224

13.0703

2837.6392

3.1224−

13.0703−

1083.4431

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:= Ton

Ton

Ton-cm

ELEMENTO 3 (nodo inicial: 1___nodo final: 2)

U3 stack Δ1 Δ2, ( )

0.07823

0.00025

0.0003−

0.07872

0.00022−

0.0003−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:= u3 T α3( ) U3⋅

0.07823

0.00025

0.0003−

0.07872

0.00022−

0.0003−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:=

kelem3

3994.886545

0

0

3994.886545−

0

0

0

13.080709

5934.902983

0

13.080709−

4529.664297

0

5934.902983

3407699.136291

0

5934.902983−

1340223.249969

3994.886545−

0

0

3994.886545

0

0

0

13.080709−

5934.902983−

0

13.080709

4529.664297−

0

4529.664297

1340223.249969

0

4529.664297−

2283508.187899

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Ton

Ton


1.9297−

3.1224−

1414.4452−

1.9297

3.1224

1083.4431−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=:= Ton

Ton

Ton-cm



Diagrama de cuerpo libre con las fuerzas y momentos en las barras:

Diagramas de momentos flectores (Ton-cm)


ANEXO C: Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.

118

Tabla C.1: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Biempotrada y Empotrada – Articulada, respectivamente.

ESQUEMA

BIEMPOTRADA EMPOTRADA - ARTICULADA

CARGA CRITICA

DEFORMADA

COEFICIENTE DELTA

LONGITUD DE PANDEO


119

Tabla C.2: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Articulada – Empotrada y Empotrada – Libre, respectivamente.

ESQUEMA

ARTICULADA - EMPOTRADA EMPOTRADO – LIBRE

CARGA CRITICA

DEFORMADA

COEFICIENTE DELTA

LONGITUD DE PANDEO


120

Tabla C.3: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Libre – Empotrado y Biarticulado, respectivamente.

ESQUEMA

LIBRE - EMPOTRADO BIARTICULADO

CARGA CRITICA

DEFORMADA

COEFICIENTE DELTA

LONGITUD DE PANDEO


121

Tabla C.4: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Biempotrada con Desplazamiento Lateral Relativo.

ESQUEMA

BIEMPOTRADO CON DESPLAZAMIENTO LATERAL

CARGA CRITICA

DEFORMADA

COEFICIENTE DELTA

LONGITUD DE PANDEO

Eugenio

Línea

Eugenio

Línea

modelo matricial para el cálculo de pórticos de seccion variable

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