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ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES 209

10.2. ESTRUCTURAS DE NODOS RÍGIDOS

10.2.1. PÓRTICOS PLANOS DE NODOS RÍGIDOS

Para cada elemento, habremos de considerar:

E. MARTIN & J. VALCARCEL & J. ESTEVEZ

Por otra parte:

210 CALCULO DE ESFUERZOS

La expresión matricial anterior conduce a las cuatro igualdades siguientes:

Análogamente, y acudiendo a la forma completa de la Matriz de Rigidez Local:



Desarrollando la anterior igualdad matricial:

E. MAflTIN & J. VALCARCEL & J. ESTEVEZ

donde


Siguiendo un razonamiento similar al utilizado en el cálculo de la Matriz de Rigidez,cuando se desprecian las deformaciones debidas a esfuerzos cortantes,

se produce una plena coincidencia entre las expresiones [162] y [163].

10.2.2. EMPARRILLADOS PLANOS DE NODOS RÍGIDOS

Cada uno de los miembros del emparrillado puede encontrarse sometido a lossiguientes esfuerzos:

donde:



SENTIDO POSITIVO PARA LOS ESFUERZOSCARACTERÍSTICOS (CORTANTE, ELECTOR, TORSOR)

EN LOS EXTREMOS DE CADA ELEMENTO(SISTEMA LOCAL)

En suma:




Operando de nuevo con la forma completa de la Matriz de Rigidez:

donde:

Asumiendo tales circunstancias, se establece una total identidad entre las igualdades[164] y [165].



Sobre los últimos resultados pueden plantearse las siguientes simplificaciones:

Los centros de corte y de gravedad se encuentran en la misma posición:a.-

b.- Se desprecian las deformaciones originadas por los esfuerzos cortantes:

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CAPITULO 11COMPROBACIÓN DE RESULTADOS

El hecho de que se puedan producir errores de truncadura durante la resolución delsistema de ecuaciones, tanto más graves cuanto peor sea su condicionamiento, obliga acomprobar que en cada punto se cumplan las condiciones de equilibrio antes de dar porfinalizado un cálculo.

Por otra parte, esta fase permite obtener, para aquellos puntos cuyos movimientos sehan visto coaccionados de alguna forma, las correspondientes fuerzas reactivas, necesariaspara el consiguiente cálculo de sustentaciones.

11.1. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Cada nodo se encuentra sometido a los siguientes tipos de acciones:

a. - Cargas exteriores. Para el presente tipo estructural, únicamente se consideran juerzasaplicadas en el punto.

b.- Las derivadas de los esfuerzos característicos que soportan cada una de las piezasque a él concurren (aquellas que el elemento genera sobre el propio nodo). En elcaso de miembros biarticulados, tan sólo opera el axil correspondiente.


218 COMPROBACIÓN DE RESULTADOS

Cabe señalar que la contribución del elemento k en su nodo frontal j será de signocontrario.

En la práctica, las tareas de comprobación suelen realizarse analizando un vector quecontiene inicialmente las acciones externas; y sobre las que se van sumando las aportacionesde cada miembro en las posiciones que corresponda. Por razones de comodidad, dichaadición se efectúa paralelamente al proceso de evaluación de esfuerzos. En suma:

11.2. ESTRUCTURAS DE NODOS RÍGIDOS


Un nodo integrante de un pórtico puede estar solicitado por una fuerza, concomponentes según las direcciones globales [X',Y'], y un momento de eje perpendicular alplano de la estructura. Por otra parte, cada barra presenta , en sus secciones extremas, elcuadro de esfuerzos característicos formado por [Nk, Vk, M^, MBJ. Con todo:


Bajo las consideraciones descritas, y para el nodo de numeración i, la Estática nosproporciona las siguientes igualdades:



Nuevamente variarán los signos de los esfuerzos axil y cortante en el nodo opuesto,respecto del inicial.

En el marco de una aplicación informática:Elemento k (k = l,2,...,n& total de elementos; nodos ij; i<f) Cálculo de los esfuerzos característicos WL, F,,Af..,Ms.)

Nodo i:

Nodo j:

11.2.2. EMPARRILLADOS PLANOS DE NODOS RÍGIDOS

Análogamente:

220 COMPROBACIÓN DE RESULTADOS

En el nodo frontal j se considerarán el momento torsor y el esfuerzo cortante consigno contrario. De este modo:

Elemento k (A: = l,2,...,n2 total de elementos; nodos ij; i<¡) -Cálculo de los esfuerzos característicos (Mk,Vk,MAk,MBk) -»

Nodo i:

Nodoj:



CAPITULO 12CARGA GENERAL DE UN MIEMBRO

A lo largo de la presente exposición, se ha considerado de forma implícita que lascargas se disponían aplicadas sobre los nodos. Esta particularidad constituye una importanterestricción, en la medida en que la mayor parte de las estructuras de edificación soportanacciones sobre sus propios miembros. Un primer artificio, de cara a solventar el problema,puede consistir en sustituir las cargas distribuidas por una serie de fuerzas concentradas ydistanciadas por breves intervalos. El segundo paso consiste en la colocación de nodosadicionales en todos y cada uno de los puntos de carga. No obstante, esta táctica complicanotablemente la preparación e introducción de datos, incrementa extraordinariamente lasnecesidades de almacenamiento, así como el tiempo de cálculo, y hace de las labores deinterpretación de resultados una tarea prohibitiva.

Existe una segunda vía, de fácil concepción y desarrollo, basada en el Principio deSuperposición; según el cual, la situación general de carga puede analizarse comocombinación de dos estados. A esta estructuración del análisis le corresponden dos fases biendiferenciadas:

a. - En una primera etapa se bloquean todos los nodos, impidiendo sus traslaciones ygiros, si no lo están ya por efecto de las sustentaciones. En estas condiciones, losesfuerzos en los miembros cargados son los de empotramiento perfecto; cuyadeterminación manual resulta inmediata, y que figuran igualmente en diversas tablas


222 CARGA GENERAL DE UN MIEMBRO

publicadas para una gran variedad de solicitaciones. De cara a la implantación delanálisis en ordenador, no es preciso contemplar tal diversidad, lo que complicaríainnecesariamente la concepción del programa y su posterior uso. En la prácticaconstructiva, las solicitaciones usuales pueden reducirse a una combinación deacciones uniformemente distribuidas y concentradas; de modo que con dos únicostipos de carga puede estudiarse un abanico muy amplio de situaciones reales.

Cabe señalar que, para que la hipótesis de bloqueo de nodos sea correcta, es precisoaplicar en los mismos unas acciones ficticias iguales a las reacciones deempotramiento perfecto.

b.- En segundo término, se considera la estructura bajo las condiciones reales desustentación, y sometida a las mencionadas reacciones de empotramiento perfectocambiadas de signo (así como a aquellas fuerzas exteriores que estuviesen dispuestasen las propias uniones). En esta fase, el sistema contiene únicamente cargasaplicadas en los nodos, y con ella se afronta el análisis matricial de acuerdo a loscriterios expuestos en el presente texto.

Una vez finalizado el cálculo, y disponiendo tanto de los desplazamientos en losnodos como de los esfuerzos en los miembros, los resultados definitivos se obtienensumando a los anteriores los correspondientes a la primera fase.

12.1. ACCIONES DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Se pretende analizar el valor de las acciones de empotramiento perfecto para cada unade las dos condiciones de carga antes descritas, y teniendo en cuenta que vienen dadasa partir de las respectivas reacciones, simplemente cambiando su sentido.

12.1.1. CARGA CONCENTRADA

Nuevamente de acuerdo con el Principio de Superposición, el estudio del elementopuede abordarse como combinación de los estados indicados en la figura, con tal de que lasuma de los giros extremos correlativos sea nula. El valor de los mencionados giros seobtiene de forma muy simple a partir del Primer Teorema de la Viga Conjugada:



Aplicando la condición indicada:

donde el signo negativo indica un sentido contrario al considerado inicialmente.

Sustituyendo en la primera expresión:


Restando de la primera igualdad la segunda multiplicada por 2:


El valor anterior también puede expresarse de la siguiente forma:

De otra forma:


Atendiendo a las ecuaciones de equilibrio que facilita la Estática:


Las reacciones buscadas pueden obtenerse por integración en el intervalo adecuado;esto es, considerando la carga uniformemente distribuida como una serie de cargasconcentradas muy próximas.

resulta:

E. MARTIN & J.VALCARCEL & J. ESTEVEZ

12.1.2. CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA

Desarrollando los correspondientes exponentes:

(A +B)3 = (A +B)2 (A +B) = (A 2 +2AB +B2) (A +B) ==A3+A2B+2A2B+2AB2+AB2+B3=A3+B3+3A2B+3AB2

(A+B)* = (A+B)3(A+B) =A4+AB3+3A3B+3A2B2+A3B+B4+3A2B2+3AB3 ==A4+B4+4A3B+4AB3+6A2B2


En ocasiones suele interesar una igualdad que incluya como parámetro la posición delpunto medio del tramo de carga, A+(B/2). Para ello, consideremos en primer lugarexpresiones del tipo:

Tratando de agrupar valores similares:

Simplificando:

Análogamente:


Redistribuyendo términos:


En lo que respecta a las reacciones verticales:

Reordenando términos:


Concluyendo:


Aplicando nuevamente la ecuación que regula el equilibrio de fuerzas verticales:

Reordenando las expresiones hasta aquí obtenidas:



12.2. SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS

Una vez concluida la primera etapa del análisis, con el sistema estructural sometidoúnicamente a las acciones de empotramiento perfecto, sólo resta abordar la correspondientesuperposición de estados. Esta sección del proceso de cálculo se ve identificadafundamentalmente por los siguientes apartados:

a.- Consideraciones relativas al convenio de signos empleado en cada caso.

b. - Combinación de los correspondientes diagramas característicos, a efectos de obtenerel trazado definitivo.

En los próximos párrafos se pretende analizar estas cuestiones con los modelos deestructuras reticuladas ya propuestos.


Sea el pórtico ejemplo propuesto, cuyo dintel 1-2 se encuentra sometido a un sistemagenérico de acciones, integrado éste por una carga distribuida de magnitud q, y otraconcentrada de valor P.

Se recuerda que el proceso de análisis matricial, de acuerdo con los criteriosexpuestos, sólo puede abordarse con estructuras solicitadas en sus nodos. En base a esta


SOLICITACIÓNCUADRO RESUMENREACCIONES DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO


De cara a obtener una expresión universal, útil en un entorno informatizado,habremos de considerar las cargas positivas (ascendentes), y deducir la forma en queintervienen; esto es, sumando las de empotramiento perfecto, con el signo que corresponda,a las acciones exteriores que actúan sobre los nodos correlativos.

La suma de los valores correlativos anteriores proporciona los esfuerzos finales en lassecciones extremas. Para posiciones intermedias, hemos de completar la tarea desuperposición de la forma corriente:


consideración, se inicia el procedimiento con el sistema en su Estado II, bajo el cual soportalas acciones de empotramiento perfecto, cuya evaluación ya fue tratada en el apartadoanterior. Los signos indicados en la figura surgen de la comparación entre el sentido de lasmencionadas acciones, y el que en cada caso establece como positivo el convenio general.


[182]

[183]


Tramo AB ]JJN(x)=RA + VlsenaV(x)=RV+Vlcosa

M(x) = -RMÍ +M1- (RV+ VI cosa)*

Tramo BC ]£N(x) =RA + VI sena -qxsenaV(x) =RV+ VI cosa, -qxcosa

M(x) = ~RM1 +M7 -

x2

- (RV+ VI cosa) (a+x) +q — cosa2

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