cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas y solicitaciones de una barra 1 cálculo...

Desplazamientos y solicitaciones de una barra

1

Cálculo matricial de pórticos biempotrados

a dos aguas

1. Hipótesis de cálculo.

Se verifica la ley de Hooke, lo que significa que en las estructuras los

desplazamientos son proporcionales a las fuerzas aplicadas.

Los desplazamientos son pequeños en relación con las dimensiones de la

estructura. En el proceso de carga de la estructura, ésta se deforma, pero al ser las

deformaciones pequeñas comparadas con las dimensiones de la estructura, se

desprecian los cambios que las cargas producen, considerándose que la estructura

mantiene su forma y dimensiones primitivas.

Al verificarse la ley de Hooke y la hipótesis de pequeños desplazamientos, el

principio de superposición es aplicable a estas estructuras y, en consecuencia, los

efectos que en un sistema de cargas ejercen sobre una estructura es igual a la suma

de los efectos que ejercen esas mismas cargas actuando por separado.

Se supone también el principio de unicidad de las soluciones, según el cual

son únicos los desplazamientos y las solicitaciones originadas en una estructura por

un determinado estado de cargas.

2. Desplazamientos y solicitaciones en una barra.

Consideremos una barra AB que pertenece a una estructura, y sean E y G

sus módulos de elasticidad longitudinal y transversal. Supongamos que a esta barra

AB se le provocan por separado los siguientes desplazamientos en sus extremos:

Desplazamiento longitudinal del extremo A respecto al B.

Desplazamiento transversal del extremo A respecto al B.

Desplazamiento angular de flexión del extremo A.

Desplazamiento angular de torsión del extremo A.

Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas

2

Para provocar cada uno de estos desplazamientos es necesario aplicar

determinadas solicitaciones en las secciones extremas A y B, solicitaciones tanto

mayores cuanto mayor sea la rigidez de la barra a ese desplazamiento.

A continuación se determinan las solicitaciones así definidas en una barra de

longitud L y sección transversal constante. La generalización a una barra de sección

variable supone una mayor complicación operativa pero no conceptual.

2.1. Desplazamiento longitudinal del extremo A respecto al B.

Figura 1. Desplazamiento longitudinal del extremo A respecto al B.

Sea A el área de la sección transversal de la barra AB (figura 1). Para que el

extremo A de la barra experimente un desplazamiento longitudinal A respecto al

extremo B es preciso que, en las secciones A y B, actúen las fuerzas normales NAB y

NBA. Teniendo en cuenta que:

AE

LNABA

resulta que para provocar el desplazamiento longitudinal A es preciso aplicar en A y

B las fuerzas normales:

ABAAB L

AENN

[1]

2.2. Desplazamiento transversal del extremo A respecto al B.

Siendo I el momento de inercia Iz de la sección transversal de la barra AB

(figura 2), supongamos ahora que el extremo A experimenta un desplazamiento

transversal A respecto al extremo B, y que además a ninguna de las dos secciones

extremas se les permite girar. Ello exige aplicar en el extremo A las solicitaciones

TAB, MAB y en el extremo B las solicitaciones TBA, MBA. De las ecuaciones de la

Estática:


3

0MB 0MMLT BAABAB

0Fy 0TT BAAB

y por tanto L

MMTT BAAB

BAAB

Figura 2. Desplazamiento transversal del extremo A respecto al B.

A una distancia x de la extremidad A, el momento flector es (figura 3):

xL

MMMxTMM BAAB

ABABABz

Figura 3. Momento flector en una sección x.

Aplicando el primer teorema de Mohr entre A y B obtenemos:

B,A

L

0

BAABAB

zBA 0

IE

dxxL

MMM

IE

dxM

Suponiendo que la sección transversal es constante,


4

02

x

L

MMxM

L

0

2BAABL

0 AB

02

LMMLM BAABAB

02

LM

2

LM BAAB

Por tanto, BAAB MM

Aplicando ahora el segundo teorema de Mohr entre A y B:

B,A

L

0 A

ABAB

AzB,A IE

dxxxL

M2M

IE

dxxM

A

2

AB

2

AB 3

LM2

2

LM

IE

1

IE6LM 2

ABA

y por tanto A2AB L

IE6M

y A3AB L

IE12T

.

En resumen, para provocar el desplazamiento transversal A es preciso

aplicar en A y en B las solicitaciones:

A3BAAB L

IE12TT

[2]A2BAAB L

IE6MM

2.3. Desplazamiento angular de flexión del extremo A.

Para que la barra AB experimente únicamente el giro de flexión A en su

sección extrema A (figura 4) es necesario aplicar las solicitaciones MAB, TAB en el

extremo A y las solicitaciones MBA, TBA en el extremo B. A una distancia x de la

extremidad A, el momento flector es:

xTMM ABABz


5

Figura 4. Desplazamiento angular de flexión en el extremo A.

Aplicando el segundo teorema de Mohr:

B,A

L

0

ABABAzB,A 0

IE

dxxxTM

IE

dxxM

L

0

2AB

L

0 AB 0dxxTdxxM

03L

T2L

M3

AB

2

AB

L2

M3T AB

AB

Aplicando el primer teorema de Mohr entre A y B:

B,A

L

0

ABABzAB,A IE

dxxTM

IE

dxM

2

LTLM

IE

1 2

ABABA

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores, se

obtiene:

AAB L

IE4M

A2AB L

IE6T

De las ecuaciones de la Estática:

0MB 0MMLT BAABAB


6

ABA L

IE2M


7

0Fy 0TT BAAB

A2BAAB L

IE6TT

En resumen, para provocar el giro A es preciso aplicar en A y en B las

solicitaciones:

A2BAAB L

IE6TT

[3]AAB L

IE4M

ABA L

IE2M

2.4. Desplazamiento angular de torsión del extremo A.

Finalmente, sea It el momento de inercia equivalente de torsión de la sección

transversal de la barra AB (figura 5).

Figura 5. Desplazamiento angular de torsión del extremo A.

Para que el extremo A experimente un giro de torsión A respecto al extremo

B es preciso que en las secciones A y B actúen momentos torsores iguales y opuestos A

tM y BtM . Teniendo en cuenta que:

t

At

A IG

LM

resulta que para provocar el giro de torsión A es preciso aplicar en A y en B los

momentos torsores

AtB

tAt L

IGMM

Método de cálculo

9

3. Método de cálculo.

Como método de cálculo vamos a seguir el método de los desplazamientos,

en el que las incógnitas son los desplazamientos de los nudos de la estructura.

Y para estudiar el método, y ver como se determina la matriz de rigidez del

pórtico, se va a sistematizar. En primer lugar hay que hallar la matriz de rigidez de

cada una de las barras que componen la estructura, referidas a unas coordenadas

locales propias de cada barra. Posteriormente todas estas matrices se refieren a

unas coordenadas globales propias de la estructura, para finalizar agrupándolas en

la matriz de rigidez del pórtico, en la cual quedan incorporadas las condiciones de

compatibilidad y de equilibrio de todos los nudos.

3.1. Sistemas de ejes coordenados.

En una estructura continua plana se utiliza un sistema de ejes globales XG, YG

para toda la estructura y un sistema de ejes locales XL, YL para cada barra.

Figura 6. Ejes locales y globales en un pórtico biempotrado.

Tanto en un sistema como en otro, el eje X es el eje longitudinal de la barra y

el eje Y se obtiene girando 90º el eje X en sentido sinextrorsum (a izquierdas).

En el sistema de ejes locales de una barra 1-2, el eje X coincide con la

directriz de la barra y su sentido positivo es el de avance desde el extremo que se

considera origen –1– hasta el extremo final –2–. A este sistema de ejes se refieren

las solicitaciones y los desplazamientos de la barra.


10

En el sistema de ejes globales del pórtico se refieren las coordenadas de sus

nudos, sus desplazamientos, las fuerzas que equilibran sus nudos y las cargas que

actúan sobre la estructura.

3.2. Vectores de desplazamientos y de fuerzas.

Los nudos de una estructura experimentan desplazamientos y están

sometidos a fuerzas externas. Análogamente, los extremos de cualquier barra de la

estructura experimentan desplazamientos y están sometidos a fuerzas internas o

solicitaciones. Todos estos desplazamientos de los nudos y de los extremos de las

barras y todas las fuerzas internas y externas se representan por matrices columna,

que constituyen los vectores de desplazamientos y de fuerzas.

3.2.1. Desplazamientos y fuerzas internas de un nudo.

i

XG

YG

Figura 7. Desplazamientos de un nudo.

YG

XGPi

PP

M

Figura 8. Fuerzas externas sobre un nudo.

Un nudo rígido puede experimentar un desplazamiento longitudinal y un

desplazamiento angular (figura 7). Los sentidos positivos de las componentes x, y

del desplazamiento son los que coinciden con los sentidos positivos de los ejes

globales XG, YG. El sentido positivo del giro es el sentido sinextrorsum. Los

desplazamientos del nudo i se representan por el vector {di}G, definido por

G

y

x

Gid

Las fuerzas externas que actúan sobre el nudo i son, en general, la fuerza P y

el par de momento M (figura 8). Análogamente, los sentidos positivos de las

componentes Px, Py de la fuerza P coinciden con los sentidos positivos de los ejes

globales XG, YG. El sentido positivo del momento M es el correspondiente a un giro

Método de cálculo

11

sinextrorsum. Las fuerzas externas sobre el nudo i se representan por el vector {Pi}G,

definido por:

G

y

x

Gi

M

P

P

P

3.2.2. Desplazamientos y solicitaciones en una barra.

22

YL

2

2

XL3

3 3

3

N23

M23

2T23

YL

T32

3 N32

M32

XL

Figura 9. Desplazamientos y solicitaciones en una barra 2-3.

Sea la barra 2-3, que pertenece a un pórtico objeto del estudio. Se adopta el

extremo –2– como origen de la barra y se representan el sistema de ejes locales, las

solicitaciones y los desplazamientos de sus extremos. Se consideran positivos los

desplazamientos longitudinales y transversales dirigidos según los sentidos

positivos de los ejes locales XL, YL. Sucede igual con los sentidos positivos de las

fuerzas normales N y de las fuerzas cortantes T.

Así mismo, los sentidos positivos de los giros de las secciones extremas y

de los momentos flectores son los correspondientes a giros sinextrorsum.

Los desplazamientos de los extremos 2 y 3 de la barra se representan por los

vectores {d2}L y {d3}L, definidos por:

L2

2

2

L2d

L3

3

3

L3d


12

Análogamente, las solicitaciones en los extremos 2 y 3 se representan por los

vectores {S2}L y {S3}L, definidos por:

L23

23

23

L2

M

T

N

S

L32

32

32

L3

M

T

N

S

3.3. Matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales.

1 21

23 5

4

6

(a)

1

S2S3

S1 (b)

S6S5

2 S4

Figura 10. Desplazamientos y solicitaciones en una barra.

En la figura 10 a) se representa una barra 1-2 de sección constante, cuyos

extremos experimentan los desplazamientos L3

2

1

L1d

y L6

5

4

L2d

. Estos

desplazamientos originan en los extremos de la barra las solicitaciones L3

2

1

L12

S

S

S

S

y L6

5

4

L21

S

S

S

S

(figura 10 b). Según la ley de Hooke y el principio de superposición,

entre los desplazamientos y las solicitaciones existen las siguientes relaciones:

6165154143132121111 KKKKKKS

6265254243232221212 KKKKKKS

6365354343332321313 KKKKKKS

6465454443432421414 KKKKKKS

6565554543532521515 KKKKKKS

6665654643632621616 KKKKKKS

Método de cálculo

13

donde el coeficiente de proporcionalidad Kij, o coeficiente de rigidez Kij de la barra,

representa la solicitación Si originada por un desplazamiento j unitario.

Estas expresiones pueden escribirse en forma matricial:

6

5

4

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

5

5

4

3

2

1

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

S

S

S

S

S

S

o de un modo más reducido

LL L dKS [4]

siendo [K]L la matriz de rigidez de la barra en coordenadas locales.

Para determinar los 36 elementos de la matriz [K]L se provocan aisladamente

desplazamientos unitarios dirigidos según 1, 2, ...6 y se calculan mediante las

expresiones [1], [2] y [3] las solicitaciones que originan, que son precisamente los

coeficientes de rigidez Kij.

1

EAL

2

YL

XL1'

1=1

EAL

Figura 11: Desplazamiento 1=1.

L

AEK11

L

AEK

41

0K21 0K51

0K31 0K61

1

1'2=1

2

6EIL2

12EIL3

YL

XL

312EI

L2

6EIL


0K12 0K42

322 L

IE12K

352 L

IE12K

232 L

IE6K

262 L

IE6K


14

1 2

3=1

YL

26EIL

6EIL2 XL

4EIL

2EIL


K13 = 0 K43 = 0

223 L

IE6K

253 L

IE6K

L

IE4K33

L

IE2K63

4=1

1

YL

EAL

2'

EAL

2XL


L

AEK14

L

AEK44

0K24 0K54

0K34 0K64

YL2

6EIL

12EIL

2

5=1

3

2'

6EIL

12EIL

2

3XL

1


0K15 0K45

325 L

IE12K

355 L

IE12K

235 L

IE6K

265 L

IE6K

6EIL2

YL

1

4EIL

6=1

2EIL

2

XL6EIL2


0K16 0K26

226 L

IE6K

256 L

IE6K

L

IE2K36

L

IE4K66

Una vez determinados los coeficientes de rigidez se compone la matriz de

rigidez de la barra en coordenadas locales:

Método de cálculo

15

L

IE4

L

IE60

L

IE2

L

IE60

L

IE6

L

IE120

L

IE6

L

IE120

00L

AE00

L

AEL

IE2

L

IE60

L

IE4

L

IE60

L

IE6

L

IE120

L

IE6

L

IE120

00L

AE00

L

AE

K

22

2323

22

2323

L 12

La matriz de rigidez [K]L tiene las siguientes propiedades:

Es una matriz cuadrada de orden 6.

Los elementos de la diagonal principal son positivos y no pueden ser

nulos. Ello se debe a que el desplazamiento de un extremo de la barra, en

un determinado sentido, exige la aplicación en ese extremo de la

solicitación correspondiente y en el mismo sentido.

El elemento Kij representa la solicitación de orden i (Si) originada por el

desplazamiento unitario de orden j (j).

K36K26

1

6=1 K56K66

2

sistema 1

K25

K351

5=1

2

K65

K55

2'

sistema 2

Figura 17: Reciprocidad de los trabajos de deformación.

Es una matriz simétrica, lo que se demuestra mediante el teorema de

Maxwell o de la reciprocidad de los trabajos. En efecto, una igualdad

cualquiera entre elementos simétricos, por ejemplo K56 y K65 (figura 17),

se demuestra igualando el trabajo que realizan las fuerzas de un sistema

1 al efectuar los desplazamientos de un sistema 2, al trabajo que realizan

las fuerzas de un sistema 2 al efectuar los desplazamientos de un sistema

1.

De la igualdad 1,22,1 WW se deduce

665556 KK

y teniendo en cuenta que 5 = 1 y 6 = 1, K56 = K65.


16

3.4. Solicitaciones de extremo.

Sustituyendo la matriz de rigidez [K]L en [4] se obtiene la ecuación matricial:

2

2y

2x

1

1y

1x

22

2323

22

2323

21

21

21

12

12

12

L

IE4

L

IE60

L

IE2

L

IE60

L

IE6

L

IE120

L

IE6

L

IE120

00L

AE00

L

AEL

IE2

L

IE60

L

IE4

L

IE60

L

IE6

L

IE120

L

IE6

L

IE120

00L

AE00

L

AE

M

T

N

M

T

N

[5]

que determina las solicitaciones de los extremos de la barra en función de los

desplazamientos de esos extremos. Teniendo en cuenta las particiones de matrices

realizadas, la ecuación matricial [5] puede expresarse en la forma:

L2

1

2221

1211

L21

12

d

d

KK

KK

S

S

[6]

o bien

L2L 12L1L 11L12 dKdKS

[7] L2L 22L1L 21L21 dKdKS

siendo

12

12

12

L12

M

T

N

S ,

21

21

21

L21

M

T

N

S ,

1

y1

x1

L1d y

2

y2

x2

L2d los vectores de

solicitaciones y de desplazamientos de los extremos 1 y 2 en coordenadas locales.

Además:

Método de cálculo

17

L

IE4

L

IE60

L

IE6

L

IE120

00L

AE

K

2

23L 11

L

IE2

L

IE60

L

IE6

L

IE120

00L

AE

K

2

23L 12

L

IE2

L

IE60

L

IE6

L

IE120

00L

AE

K

2

23L 21

L

IE4

L

IE60

L

IE6

L

IE120

00L

AE

K

2

23L 22

son las submatrices de rigidez de la barra 1-2 en coordenadas locales.

Una submatriz cualquiera [K12]L determina las solicitaciones que se originan

en el extremo 1 debidas a los desplazamientos del extremo 2. Se observa que las

matrices [K11]L y [K22]L son simétricas y que las submatrices [K12]L y [K21]L son

transpuestas.

3.5. Matriz de rigidez de una barra en coordenadas globales.

Sea una barra 1-2 cuyos ejes locales XL, YL están girados un ángulo

respecto a los ejes globales (figura 18).

YG

XG1

YL

2XL

Figura 18: Ejes locales de una barra y ejes globales.

Entre un vector cualquiera {V}L referido a coordenadas locales y ese mismo

vector {V}G referido a coordenadas globales existen las relaciones

LG VRV [8] G

TL VRV [9]


18

siendo [R] la matriz de rotación definida por:

100

0cossen

0sencos

R

Premultiplicando por la matriz de rotación la expresión [7] se obtiene:

L2L 12L1L 11L12 dKRdKRSR

L2L 22L1L 21L21 dKRdKRSR

y teniendo en cuenta [8] y [9]

G2

TL 12G1

TL 11G12 dRKRdRKRS

[10] G2T

L 22G1T

L 21G21 dRKRdRKRS

Designando por

TL 11G11 RKRK TL 12G12 RKRK

TL 21G21 RKRK TL 22G22 RKRK

las expresiones [10] se convierten en:

G2G12G1G11G12 dKdKS

G2G22G1G21G21 dKdKS

o bien

G2

1

G22G21

G12G11

G21

12

d

d

KK

KK

S

S

De una forma más simple,

GGG dKS

siendo

G22G21

G12G11G KK

KKK

Método de cálculo

19

3.6. Matriz de rigidez completa del pórtico.

Una vez estudiada la matriz de una barra, se va a determinar la matriz de

rigidez completa del pórtico. Para ello se considera un nudo común a más de una

barra, como es el caso del nudo de la clave del pórtico, el número 3, común a las

barras 2-3 y 3-4 (figura 19).

51

2

3

YG

4

XG

Figura 19: Ejes globales y numeración de nudos en un pórtico.

Las ecuaciones que determinan las solicitaciones en los extremos de la barra

2-3 en función de los desplazamientos de esos extremos, en coordenadas globales,

son:

G233

G232

G2333G

2332

G2323G

2322

G233

G232

d

d

KK

KK

S

S [11]

De igual modo, las ecuaciones en coordenadas globales que determinan las

solicitaciones en los extremos de la barra 3-4 en función de los desplazamientos de

esos extremos son:

G344

G343

G3444G

3443

G3434G

3433

G344

G343

d

d

KK

KK

S

S [12]

Al ser rígidos los nudos, los desplazamientos del nudo 3 de la barra 2-3

coinciden con los desplazamientos del mismo nudo de la barra 3-4. Se verifican las

condiciones de compatibilidad, de modo que:


20

G3

G3

3y

3x

G

233

233y

233x

G233 dd

G3

G3

3y

3x

G

343

343y

343x

G343 dd

Así, G3G

343G

233 ddd

Teniendo en cuenta estas condiciones de compatibilidad, las condiciones de

extremo dadas por [11] que los desplazamientos de la barra 2-3 originan en los cinco

nudos del pórtico pueden expresarse de la forma:

G5

4

3

2

1

2333

2332

2323

2322

G5

4

233

232

1

d

d

d

d

d

00000

00000

00KK0

00KK0

00000

S

S

S

S

S

De igual modo, las solicitaciones de extremo que los desplazamientos de la

barra 3-4 originan en los nudos del pórtico, recogidas en la expresión [12], pueden

escribirse así:

G5

4

3

2

1

3444

3443

3434

3433

G5

344

343

2

1

d

d

d

d

d

00000

0KK00

0KK00

00000

00000

S

S

S

S

S

El efecto que producen los desplazamientos de todas las barras, o sea, los

desplazamiento de todos los nudos de la estructura, se recoge en la siguiente

ecuación matricial:

Método de cálculo

21

G5

4

3

2

1

G

4555

4554

4545

4544

3444

3443

3434

3433

2333

2332

2323

2322

1222

1221

1212

1211

G

455

454

344

343

233

232

122

121

d

d

d

d

d

KK000

KKKK00

0KKKK0

00KKKK

000KK

S

SS

SS

SS

S

[13]

Se puede comprobar que únicamente se producen sumas de submatrices en

la diagonal principal, y que las submatrices nulas son aquéllas cuyos subíndices

corresponden a dos nudos no contiguos del pórtico.

Ahora bien, el equilibrio de un nudo cualquiera exige que las solicitaciones

que el nudo ejerce sobre los extremos de todas las barras que concurren en él

formen un sistema equivalente con las fuerzas externas que actúan sobre el nudo.

En otras palabras, la suma de solicitaciones en un nudo debe ser igual a la carga

genérica externa aplicada sobre ese nudo.

La expresión matricial de esta condición de equilibrio es, para un nudo

genérico i:

GiGi PS

Entonces, la ecuación [13] puede escribirse

G5

4

3

2

1

G5554

454443

343332

232221

1211

G5

4

3

2

1

d

d

d

d

d

KK000

KKK00

0KKK0

00KKK

000KK

P

P

P

P

P

es decir, GG0G dKP [14]

siendo {P}G el vector de las fuerzas externas (cargas y reacciones) que

actúan sobre los nudos, en coordenadas globales.

{d}G el vector de desplazamiento de los nudos, referido también a

coordenadas globales.

[K0]G la matriz de rigidez completa de la estructura. Se obtiene de

ensamblar las cuatro matrices de rigidez de las barras en


22

coordenadas globales.

3.6.1. Propiedades de la matriz completa [K0].

En los pórticos a dos aguas, que constan de cinco nudos (n = 5), el orden

de la matriz completa es 3n, es decir, 15.

La matriz de rigidez completa es una matriz simétrica. Las submatrices de

la diagonal principal [Kii] son simétricas al proceder a su vez de matrices

simétricas. Del mismo modo, las submatrices [Kij] y [Kji], que ocupan

cuadrículas simétricas respecto a la diagonal principal, también son

submatrices simétricas al ser submatrices de barra transpuestas. Desde

un punto de vista energético, toda esta simetría es consecuencia del

teorema de Maxwell.

Los elementos de la diagonal principal nunca pueden ser submatrices

nulas.

La matriz [K0] es una matriz singular (no tiene matriz inversa). En

principio, y hasta ahora se ha constatado, la matriz [K0] se genera

estableciendo las condiciones de equilibrio de todos los nudos de la

estructura, como si en el pórtico no hubiese enlaces externos.

Por ello, y como parece razonable, si entre las cargas aplicadas existe

equilibrio, el sistema de ecuaciones [14] es indeterminado por haber

infinitas soluciones de desplazamientos de los nudos, entre las que se

incluye la solución transcendente, que equivale a suponer el pórtico como

un cuerpo rígido.

Y en el caso de no existir equilibrio entre las cargas aplicadas, el sistema

de ecuaciones [14] es incompatible.

Tanto en un caso como en otro, el determinante es nulo, y por

consiguiente la matriz de rigidez del pórtico [K0] es una matriz singular.

La matriz de rigidez [K0] es una matriz en banda, y como ya se ha visto,

además simétrica. El semiancho de banda Sb, medido en unidades de

submatrices, y sin contar la submatriz de la diagonal principal, es igual a

la máxima diferencia existente en la numeración de dos nudos contiguos

de la estructura, dada por la expresión:

Método de cálculo

23

n ... 2j

1-n ... 1i ijmáxSb

siendo i, j nudos contiguos.

Adoptando la numeración de los nudos del pórtico que se muestra en la

figura 19, se obtiene como semiancho de banda Sb en este tipo de

estructuras

14-5 ,3-4 ,2-3 ,12Sb

Además, el número máximo de elementos no nulos en cualquier fila fmáx contados a partir de la diagonal principal es 1Snf bsmáx , siendo ns el

orden de las submatrices. Al ser los pórticos estructuras planas, nS = 3, por lo que 6113fmáx .

3.7. Matriz de rigidez del pórtico.

La ecuación matricial [14]

GG0G dKP

relaciona las fuerzas que actúan sobre los nudos de la estructura, definidas por el

vector {P}G, con los desplazamientos de esos nudos, definidos por el vector {d}G.

Esta relación se establece a partir de la matriz de rigidez completa de la estructura

[K0].

Ahora bien, en el vector {P}G intervienen tanto las cargas aplicadas como las

reacciones de los enlaces externos. Así mismo, en el vector {d}G intervienen los

desplazamientos desconocidos de los nudos libres y los desplazamientos de los

nudos unidos a los enlaces externos, que suelen ser nulos en el caso de apoyos o

empotramientos, constantes cuando se produce un asiento en un apoyo, o bien

función de las reacciones en el caso de apoyos elásticos.

En los pórticos biempotrados a dos aguas, con la numeración de los nudos

definida en la figura 19, se observa que en los nudos 2, 3 y 4 los desplazamientos


24

son desconocidos, mientras que en los empotramientos 1 y 5 los desplazamientos

han de ser nulos.

Teniendo en cuenta estas consideraciones, la ecuación [14] puede escribirse:

G

4

3

2

G5554

454443

343332

232221

1211

G5

4

3

2

1

0

d

d

d

0

KK000

KKK00

0KKK0

00KKK

000KK

P

P

P

P

P

o también:

G

4

3

2

G5554

1112

454443

343332

212322

G5

1

4

3

2

0

0

d

d

d

K0K00

0K00K

K0KK0

00KKK

0K0KK

P

P

P

P

P

De forma más reducida:

G

1

IIII

II

G

a

0

d

KK

KK

R

P

[15]

De aquí se deduce:

G1Ga dKP [16]

que es la ecuación matricial de la estructura, correspondiente a unas cargas

determinadas. En esta ecuación:

{Pa}G es el vector de cargas aplicadas sobre los nudos libres.

{d1}G es el vector de desplazamiento de los nudos.

[K] es la matriz de rigidez de la estructura que tiene en cuenta únicamente las

solicitaciones en los nudos libres, mientras que la matriz de rigidez

completa considera las solicitaciones de todos los nudos.

Método de cálculo

25

La matriz de rigidez [K] es una matriz de orden m, siendo m el número posible

de desplazamientos de los nudos (o grado de indeterminación cinemática de la

estructura). En los pórticos biempotrados objeto de estudio, el orden de la matriz [K]

es 9, que corresponde con el grado de indeterminación cinemática de estos pórticos.

El principio de unicidad de las soluciones exige que el sistema de ecuaciones

[16] tenga solución única. En consecuencia, la matriz de rigidez [K] tiene que ser

regular, mientras que, como hemos visto, la matriz de rigidez completa [K0] es

singular.

Además de esta diferencia, y del menor orden de [K] respecto a [K0], (en

pórticos planos biempotrados de 5 nudos el orden de [K] es 9 y el de [K0] 15), el

resto de propiedades coincide.

3.8. Ejemplo.

Se va a calcular la matriz de rigidez de un pórtico biempotrado a dos aguas

simétrico, de 25 m de luz, 5 m de altura de pilares y 10% de inclinación de cubierta.

Como predimensionamiento se eligen los siguientes perfiles metálicos:

Tabla 1.

Predimensionamiento del pórtico.

Perfil Iz (cm4) A (cm2)

Pilar HEB 280 19270 131

Dintel IPE 450 33740 98.8

1

XL

YL

2

3

5 m

5

XL

YL4

YG

XG

XL

YL

XL

YL

25 m

6.25 m

Figura 20: Representación del pórtico ejemplo.


26

3.8.1. Consideraciones geométricas.

En la figura 20 se representa el pórtico del ejemplo, mostrándose los ejes

locales de cada barra y los ejes globales de la estructura. Con todo ello podemos

realizar la siguiente tabla, en la cual se determinan las longitudes de las barras del

pórtico, así como el ángulo que forman los ejes globales con los ejes locales de cada

barra.

Tabla 2.

Datos geométricos del pórtico.

Barra Longitud (cm) (º)

1-2 500 90

2-3 1256.23 5.711

3-4 1256.23 354.289

4-5 500 270

Método de cálculo

27

3.8.2. Matrices de rigidez de las barras en coordenadas locales.

Barra 1-2

3237360009712080

97120883.38840

00550200

L

IE4

L

IE60

L

IE6

L

IE120

00L

AE

K

2

23L 11

1618680009712080

97120883.38840

00550200

L

IE2

L

IE60

L

IE6

L

IE120

00L

AE

K

2

23L 12

1618680009712080

97120883.38840

00550200

L

IE2

L

IE60

L

IE6

L

IE120

00L

AE

K

2

23L 21

3237360009712080

97120883.38840

00550200

L

IE4

L

IE60

L

IE6

L

IE120

00L

AE

K

2

23L 22

Barra 2-3

2.22560756851.2693850

51.26938588.4280

0025.165160

K L 22

1.11280378451.2693850

51.26938588.4280

0025.165160

K L 23


28

1.11280378451.2693850

51.26938588.4280

0025.165160

K L 32

2.22560756851.2693850

51.26938588.4280

0025.165160

K L 33

Barra 3-4

2.22560756851.2693850

51.26938588.4280

0025.165160

K L 33

1.11280378451.2693850

51.26938588.4280

0025.165160

K L 34

1.11280378451.2693850

51.26938588.4280

0025.165160

K L 43

2.22560756851.2693850

51.26938588.4280

0025.165160

K L 44

Barra 4-5

3237360009712080

97120883.38840

00550200

K L 44

1618680009712080

97120883.38840

00550200

K L 45

Método de cálculo

29

1618680009712080

97120883.38840

00550200

K L 54

3237360009712080

97120883.38840

00550200

K L 55

3.8.3. Matrices de rigidez de las barras en coordenadas globales.

Barra 1-2

La matriz de rotación [R] es:

100

001

010

100

0cossen

0sencos

R

Para obtener cualquier submatriz [Kij] en coordenadas globales será necesario

realizar la siguiente operación:

T

L ijGij RKRK

Las submatrices obtenidas son:

3237360000971208

05502000

971208083.3884

K G11

1618680000971208

05502000

971208083.3884

K G12

1618680000971208

05502000

971208083.3884

K G21


30

3237360000971208

05502000

971208083.3884

K G22

Barra 2-3


100

099503719.0099503719.0

0099503719.099503719.0

100

0cossen

0sencos

R

Las submatrices que se obtienen al premultiplicar las submatrices [Kij] por [R]

y posteriormente multiplicar por su transpuesta [R]T son:

2.22560756860.26804886.26804

60.26804888.205904.16310

86.2680404.1631025.163529

K G22

1.11280378460.26804886.26804

60.26804888.205904.16310

86.2680404.1631025.163529

K G23

1.11280378460.26804886.26804

60.26804888.205904.16310

86.2680404.1631025.163529

K G32

2.22560756860.26804886.26804

60.26804888.205904.16310

86.2680404.1631025.163529

K G33

Barra 3-4


100

099503719.0099503719.0

0099503719.099503719.0

100

0cossen

0sencos

R

Método de cálculo

31

Las submatrices [Kij] en coordenadas globales son:

2.22560756860.26804886.26804

60.26804888.205904.16310

86.2680404.1631025.163529

K G33

1.11280378460.26804886.26804

60.26804888.205904.16310

86.2680404.1631025.163529

K G34

1.11280378460.26804886.26804

60.26804888.205904.16310

86.2680404.1631025.163529

K G43

2.22560756860.26804886.26804

60.26804888.205904.16310

86.2680404.1631025.163529

K G44

Barra 4-5


100

001

010

100

0cossen

0sencos

R

Las submatrices [Kij] en coordenadas globales son:

3237360000971208

05502000

971208083.3884

K G44

1618680000971208

05502000

971208083.3884

K G45


32

1618680000971208

05502000

971208083.3884

K G54

3237360000971208

05502000

971208083.3884

K G55

3.8.4. Ensamblaje de las submatrices.

Únicamente afecta a las submatrices de la diagonal principal.

2.54934356860.26804814.944403

60.26804888.55225904.16310

14.9440304.1631008.167414

KKK G2322G

1222G22

5.451215136000192.072.53609

000192.076.4119001159.0

72.53609001159.050.327058

KKK G3433G

2333G33

2.54934356860.26804814.944403

60.26804888.55225904.16310

14.9440304.1631008.167414

KKK G4544G

3444G44

3.8.5. Matriz de rigidez completa [K0] del pórtico.

Se muestra a continuación:

32373600009712081618680000971208000000000

0550200005502000000000000

971208083.3884971208083.3884000000000

16186800009712082.54934356860.26804814.9444031.11280378460.26804886.26804000000

0550200060.26804888.55225904.1631060.26804888.205904.16310000000

971208083.388414.94440304.1631008.16741486.2680404.1631025.163529000000

0001.11280378460.26804886.268045.451215136000192.072.536091.11280378460.26804886.26804000

00060.26804888.205904.16310000192.076.4119001159.060.26804888.205904.16310000

00086.2680404.1631025.16352972.53609001159.050.32705886.2680404.1631025.163529000

0000001.11280378460.26804886.268042.54934356860.26804814.9444031618680000971208

00000060.26804888.205904.1631060.26804888.55225904.1631005502000

00000086.2680404.1631025.16352914.94440304.1631008.167414971208083.3884

00000000016186800009712083237360000971208

0000000000550200005502000

000000000971208083.3884971208083.3884

3.8.6. Matriz de rigidez [K] del pórtico.

2.54934356860.26804814.9444031.11280378460.26804886.26804000

60.26804888.55225904.1631060.26804888.205904.16310000

14.94440304.1631008.16741486.2680404.1631025.163529000

1.11280378460.26804886.268045.451215136000192.072.536091.11280378460.26804886.26804

60.26804888.205904.16310000192.076.4119001159.060.26804888.205904.16310

86.2680404.1631025.16352972.53609001159.050.32705886.2680404.1631025.163529

0001.11280378460.26804886.268042.54934356860.26804814.944403

00060.26804888.205904.1631060.26804888.55225904.16310

00086.2680404.1631025.16352914.94440304.1631008.167414

cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas y solicitaciones de una barra 1 cálculo...

Documents