método numérico regla de simpson
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MÉTODO NUMÉRICO: REGLA DE SIMPSON
Una forma de obtener una aproximación adecuada de una integral es usar
polinomios de grado superior para unir los puntos y aproximar la función real.
El método de Simpson, a diferencia de la Regla trapezoidal, intenta no incurrir en
un mayor número de subdivisiones; se trata de ajustar una curva de orden superior en
lugar de una línea recta como en la Regla Trapezoidal.
Sea una función f(x), si entre f(a) y f( b) existe un tercer punto, entonces será
posible ajustar por ellos una parábola, en la misma forma, si existe dos puntos entre f
(a) y f( b), entonces por esos cuatro puntos se podrá ajustar una curva de grado tres,
y así sucesivamente.
En la figura, se muestra la función que es una parábola que aproxima a la
función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la parábola que une los
tres puntos. Note que hay tres puntos y dos segmentos, por lo que se verá más
adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 1/3. Por lo tanto las
fórmulas que resultan de tomar integrales bajo estos polinomios se conocen como regla
de Simpson.
Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 1/3
En la figura, se muestra la función que describe una ecuación cúbica que
aproxima a la función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la cúbica
que une los cuatro puntos. Note que hay cuatro puntos y tres segmentos, por lo que se
verá más adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 3/8.
Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 3/8
Regla de Simpson 1/3
Esta regla resulta cuando se utiliza una interpolación polinomial de segundo
orden:
La función , es la interpolación polinomial de
segundo orden. Esto se logra con el polinomio de Lagrange de segundo grado. Sea c=
(a+b)/2.
La función f2 es un polinomio de Lagrange de Segundo grado. Sea c= (a+b)/2.
Sustituyendo en la ecuación de la integral, se obtiene:
A continuación haremos todo el análisis matemático para obtener el valor de la
ecuación que es conocida como la regla de Simpson.
Tome en cuenta que h = (b-a)/2 y c =(a+b)/2 para la demostración.
Para b hacemos la siguiente sustitución:
La expresión la sustituimos de la siguiente forma.
Y obtenemos lo siguiente:
Usando la expresión: u = x-a, para el cambio de variable:
En donde se obtiene:
En forma similar se obtiene que
Tenemos pues que
La ecuación anterior se conoce como la regla de Simpson 1/3. La especificación
1/3 se origina del hecho que h está dividida en tres intervalos.
Recordando que la expresión h = (b-a)/2, podemos expresar la ecuación anterior
de la siguiente manera.
(1.1)
Además se puede determinar que la ecuación anterior tiene un error asociado
de:
La expresión anterior se puede expresar también así:
(1.2)
El término lo podemos aproximar al promedio de la cuarta derivada.
(1.3)
El error asociado a la regla de Simpson nos indica que este método es más
exacto que otros métodos de integración como la regla del trapecio. Vemos que el error
es proporcional a la cuarta derivada, por lo tanto el coeficiente del tercer grado se hace
cero en la interpolación polinomial. Por lo tanto, para ecuaciones de tercer grado se
obtienen ecuaciones exactas aunque se aproxime con una parábola. Así, el método de
Simpson es muy relevante.
De las ecuaciones (1.1) y (1.2). La integral es igual a:
(1.4)
Regla de Simpson 3/8
La regla de integración de Simpson 3/8 para la “integración cerrada”, es decir,
para cuando los valores de la función en los extremos de los límites de integración son
conocidos.
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentación más fina, otra forma de
obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomios de
orden superior para conectar los puntos (en lugar de utilizar líneas para conectarlos).
Las reglas de Simpson son las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo
los polinomios que conectan a los puntos.
La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla
de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que
conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer
grado es:
Descripción de la gráfica de la regla de Simpson 3/8
En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase
a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada. El intervalo de
integración es de - a , lo que produce:
que es la regla de los tres octavos de Simpson.
La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:
Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3.
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que
alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos
necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las
aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar.
Aplicación de la regla de Simpson 1/3.
EJEMPLO
Se tiene un sistema magnético en un transformador, en donde la energía se
almacena en la inductancia. Recordemos que la energía en este caso está relacionada
con el enlazamiento de flujo λ y sabemos que la corriente en función de los
enlazamientos de flujo es:
Determine la energía almacenada en la inductancia desde λ=20, hasta λ=25Wb.
Además encuentre el error estimado usando la regla de Simpson.
Solución:
La energía está dada por la siguiente ecuación:
Sustituyendo la ecuación
en la ecuación anterior se obtiene:
(1)
Utilizando el método de Simpson 1/3, hacemos la siguiente aproximación:
(2)
Determinación de puntos:
Sustituyendo en (2)
El error de truncamiento o error estimado en este ejemplo está dado por la
ecuación:
(3)
El término lo aproximaremos al promedio de la cuarta derivada.
(4)
Derivando la expresión:
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (4) y colocando los límites de
integración se obtiene:
Ya obtenido el valor anterior sustituimos en la ecuación (3) para encontrar el
error.
Si derivamos de manera analítica la solución es: 81.3802083333.
Si restamos el valor real menos el aproximado obtenido con la regla de SImpson
se obtiene: .
En este caso se concluye que el error es el mismo.
Regla de Simpson 3/8.
EJEMPLO
Para los datos de máximo punto del volumen en un tanque tabulado obtenido en
una fábrica de jugos medidos por un sensor cada cierto tiempo
Integrar con trapecio de segmentos múltiples
I = (b-a)* f(Xo)+2 ∑f(X1)+∑f(Xn)
2n
I = (3,4-1,6) 4,593+2*(108,015 +29,964)
29,9643,4
24,5333,2
20,0663
16,4452,8
13,4642,6
11,0232,4
9,0252,2
7,3892
6,051,8
4,5931,6
f(t)t
Datos tabulados
2*18
I = 25,0547
Aplicando Simpson 3/8
I1 = (0,6)*4,593+3(6,050)+3(7,389)+9,025
8
I1 = 4,045125
I2 = (0,6)*9,025+3(11,023)+3(13,464)+16,445
8
I2 = 7,4198
I3 = (0,6)*16,445+3(20,086)+3(24,533)+29,964
8
I3 = 13,1449
I = 24,6099
MÉTODO NUMÉRICO: REGLA TRAPEZOIDAL
La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de
Newton-Cotes. Esta regla permite aproximar el resultado de una integración en el
intervalo [a,b] con la ecuación:
Representación gráfica de la regla del trapecio.
Formula Regla Trapezoidal
Cuando se aplica esta regla para aproximar una integral se puede obtener un error
considerable. Estimar el valor de este error se hace con la siguiente fórmula:
La regla del trapecio de aplicación múltiple es una forma de mejorar la precisión
de la regla trapezoidal. Lo que se hace es que se divide el intervalo de integración [a,b]
en varios segmentos aplicando el método a cada uno. De esta forma se obtiene la
siguiente ecuación:
(a)
(b)
a) Representación gráfica de la regla del trapecio de aplicación múltiple con dos
segmentos.
b) Representación gráfica de la regla del trapecio de aplicación múltiple con tres
segmentos.
Ejemplo:El cuerpo de revolución que se muestra, se obtiene al girar la curva dada
por , , entorno al eje x. Calcule el volumen utilizando la regla extendida del trapecio con . El valor exacto es I=11.7286, u2.Evalué el error para cada N.
Donde:
