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Integracion Numerica.Las reglas de Simpson.

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: j.a.otero@itesm.mxweb: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionActividadReglas de Simpson

3 Regla de Simpson 1/3Problema

4 Regla de Simpson 3/8Problema

5 Programas MATLABPrograma: int simpson13 v1Programa: int simpson3/8 v1

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionActividadReglas de Simpson

3 Regla de Simpson 1/3Problema

4 Regla de Simpson 3/8Problema

5 Programas MATLABPrograma: int simpson13 v1Programa: int simpson3/8 v1

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Objetivo de la claseConocer e implementar los metodos numericos basicos para elcalculo aproximado de integrales mediante el empleo decomputadoras programables: Las reglas de Simpson.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionActividadReglas de Simpson

3 Regla de Simpson 1/3Problema

4 Regla de Simpson 3/8Problema

5 Programas MATLABPrograma: int simpson13 v1Programa: int simpson3/8 v1

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Actividad

Actividad: quad()

Dada la funcion f(x) = cos2(x)ex, calcular la integralaproximada en el intervalo [0 3]. Utilizar la funcion quad() deMatlab.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Reglas de Simpson

Reglas de SimpsonPara mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Reglas de Simpson

Reglas de SimpsonPara mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Reglas de Simpson

Reglas de SimpsonPara mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Reglas de Simpson

Reglas de SimpsonPara mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Reglas de Simpson

Integral

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Reglas de Simpson

Reglas de SimpsonLas formulas que resultan de aproximar la funcion integrandopor polinomios de orden superior se conocen como reglas deSimpson.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionActividadReglas de Simpson

3 Regla de Simpson 1/3Problema

4 Regla de Simpson 3/8Problema

5 Programas MATLABPrograma: int simpson13 v1Programa: int simpson3/8 v1

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f2 (x) dx

donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:

f2 (x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)

+(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)

donde x0 = a, x2 = b y x1 =b+a2 (punto a la mitad entre a y b)

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f2 (x) dx

donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:

f2 (x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)

+(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)

donde x0 = a, x2 = b y x1 =b+a2 (punto a la mitad entre a y b)

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f2 (x) dx

donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:

f2 (x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)

+(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)

donde x0 = a, x2 = b y x1 =b+a2 (punto a la mitad entre a y b)

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f2 (x) dx

donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:

f2 (x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)

+(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)

donde x0 = a, x2 = b y x1 =b+a2 (punto a la mitad entre a y b)

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f2 (x) dx

donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:

f2 (x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)

+(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)

donde x0 = a, x2 = b y x1 =b+a2 (punto a la mitad entre a y b)

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

I =1

3h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]

donde h = b−a2 .

La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cotes,La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

I =1

3h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]

donde h = b−a2 .

La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cotes,La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

I =1

3h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]

donde h = b−a2 .

La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cotes,La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

I =1

3h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]

donde h = b−a2 .

La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cotes,La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 4f(x1) + f(x2)

6︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3

I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 4f(x1) + f(x2)

6︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3 multiple

I =

b∫a

f (x) dx =

x2∫x0

f (x) dx+

x4∫x2

f (x) dx+ · · ·+xn∫

xn−2

f (x) dx

I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)

6+ 2h

f(x2) + 4f(x3) + f(x4)

6+

· · ·+ 2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)

6

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3 multiple

I =

b∫a

f (x) dx =

x2∫x0

f (x) dx+

x4∫x2

f (x) dx+ · · ·+xn∫

xn−2

f (x) dx

I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)

6+ 2h

f(x2) + 4f(x3) + f(x4)

6+

· · ·+ 2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)

6

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3 multiple

I =

b∫a

f (x) dx =

x2∫x0

f (x) dx+

x4∫x2

f (x) dx+ · · ·+xn∫

xn−2

f (x) dx

I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)

6+ 2h

f(x2) + 4f(x3) + f(x4)

6+

· · ·+ 2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)

6

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 1/3 multiple

I ≈ (b− a)︸ ︷︷ ︸f (x0) + 4

n−1∑i=1,3,5,...

f (xi) + 2n−2∑

j=2,4,6,...

f (xj) + f (xn)

3n︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Problema

ProblemaCalcular la integral de la funcion:

f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x+ 0.2

desde a = 0 hasta b = 0.8. Utilizar la regla de Simpson 1/3 conun segmento. Considere el valor exacto de la integral igual a:1.640533. Evalue el error verdadero.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionActividadReglas de Simpson

3 Regla de Simpson 1/3Problema

4 Regla de Simpson 3/8Problema

5 Programas MATLABPrograma: int simpson13 v1Programa: int simpson3/8 v1

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f3 (x) dx

I =3

8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]

donde h = b−a3 .

La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cotes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f3 (x) dx

I =3

8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]

donde h = b−a3 .

La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cotes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f3 (x) dx

I =3

8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]

donde h = b−a3 .

La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cotes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f3 (x) dx

I =3

8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]

donde h = b−a3 .

La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cotes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f3 (x) dx

I =3

8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]

donde h = b−a3 .

La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cotes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,

I =

b∫a

f (x) dx ≈b∫

a

f3 (x) dx

I =3

8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]

donde h = b−a3 .

La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cotes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 3/8

I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)

8︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Regla de Simpson 3/8

I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)

8︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Problema

ProblemaCalcular la integral de la funcion:

f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x+ 0.2

desde a = 0 hasta b = 0.8. Utilizar la regla de Simpson 3/8 conun segmento. Considere el valor exacto de la integral igual a:1.640533. Evalue el error verdadero.

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Topicos

1 Objetivo

2 IntroduccionActividadReglas de Simpson

3 Regla de Simpson 1/3Problema

4 Regla de Simpson 3/8Problema

5 Programas MATLABPrograma: int simpson13 v1Programa: int simpson3/8 v1

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Programa: int simpson13 v1

Programa MATLAB: Regla de Simpson 1/3

function in t s impson13 v1 (F , x i , x f , np )% int s impson13 v1−−−−Nombre de l a func ion% F−−−−func ion matematica de entrada% [ x i x f]−−−− I n t e r v a l o de i n t e g r a c i o n% np−−−−Numero de p a r t i c i o n e sh=( xf−x i ) / ( 2∗ np ) ;x =[ x i : h : x f ] ;n=size ( x , 2 ) ;I n t =0; j =0;for i =1 :2 : n−1

j = j +1;I ( j ) =1/3∗h∗ (F ( x ( i ) ) +4∗F( x ( i +1) ) +F( x ( i +2) ) ) ;I n t = I n t + I ( j ) ;sa l i da1 =[ ’ P a r t i c i o n ’ , num2str ( j ) , ’ ’ , num2str ( I ( j ) ) ] ;disp ( sa l i da1 )

endSal ida2 =[ ’ I n t e g r a l To ta l ’ , ’ ’ ,num2str ( I n t ) ] ;disp ( Sal ida2 )end

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Programa: int simpson3/8 v1

Programa MATLAB: Regla de Simpson 3/8

function in t s impson38 v1 (F , x i , x f , np )% int s impson38 v1−−−−Nombre de l a func ion% F−−−−func ion matematica de entrada% [ x i x f]−−−− I n t e r v a l o de i n t e g r a c i o n% np−−−−Numero de p a r t i c i o n e sh=( xf−x i ) / ( 3∗ np ) ;x =[ x i : h : x f ] ;n=size ( x , 2 ) ;I n t =0; j =0;for i =1 :3 : n−1

j = j +1;I ( j ) =3/8∗h∗ (F ( x ( i ) ) +3∗F( x ( i +1) ) +3∗F( x ( i +2) ) +F( x ( i +3) ) ) ;I n t = I n t + I ( j ) ;sa l i da1 =[ ’ P a r t i c i o n ’ , num2str ( j ) , ’ ’ , num2str ( I ( j ) ) ] ;disp ( sa l i da1 )

endSal ida2 =[ ’ I n t e g r a l To ta l ’ , ’ ’ ,num2str ( I n t ) ] ;disp ( Sal ida2 )end

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Objetivo Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB

Programa: int simpson3/8 v1

ProblemaCalcular la integral de la funcion:

f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x+ 0.2

desde a = 0 hasta b = 0.8. Considere el valor exacto de laintegral igual a: 1.640533.