integración numérica. las reglas de...
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Integracion Numerica.Las reglas de Simpson.
Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM
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Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Topicos
1 Introduccion
2 Regla de Simpson 1/3
3 Regla de Simpson 3/8
4 Programas MATLAB
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Topicos
1 Introduccion
2 Regla de Simpson 1/3
3 Regla de Simpson 3/8
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Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Reglas de SimpsonPara mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,
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Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Reglas de SimpsonPara mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,
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Reglas de SimpsonPara mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,
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Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Reglas de SimpsonPara mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,
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Integral
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Introduccion Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Reglas de SimpsonLas formulas que resultan de aproximar la funcion integrandopor polinomios de orden superior se conocen como reglas deSimpson.
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Topicos
1 Introduccion
2 Regla de Simpson 1/3
3 Regla de Simpson 3/8
4 Programas MATLAB
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Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f2 (x) dx
donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:
f2 (x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
donde x0 = a, x2 = b y x1 =b+a2 (punto a la mitad entre a y b)
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Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f2 (x) dx
donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:
f2 (x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
donde x0 = a, x2 = b y x1 =b+a2 (punto a la mitad entre a y b)
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Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f2 (x) dx
donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:
f2 (x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
donde x0 = a, x2 = b y x1 =b+a2 (punto a la mitad entre a y b)
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Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f2 (x) dx
donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:
f2 (x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
donde x0 = a, x2 = b y x1 =b+a2 (punto a la mitad entre a y b)
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Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f2 (x) dx
donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:
f2 (x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
donde x0 = a, x2 = b y x1 =b+a2 (punto a la mitad entre a y b)
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Regla de Simpson 1/3
I =1
3h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
donde h = b−a2 .
La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cortes,La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.
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Regla de Simpson 1/3
I =1
3h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
donde h = b−a2 .
La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cortes,La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.
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Regla de Simpson 1/3
I =1
3h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
donde h = b−a2 .
La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cortes,La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.
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Regla de Simpson 1/3
I =1
3h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
donde h = b−a2 .
La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cortes,La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.
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Regla de Simpson 1/3
I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 4f(x1) + f(x2)
6︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio
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Regla de Simpson 1/3
I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 4f(x1) + f(x2)
6︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio
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Regla de Simpson 1/3 multiple
I =
b∫a
f (x) dx =
x2∫x0
f (x) dx+
x4∫x2
f (x) dx+ · · ·+xn∫
xn−2
f (x) dx
I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)
6+ 2h
f(x2) + 4f(x3) + f(x4)
6+
· · ·+ 2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)
6
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Regla de Simpson 1/3 multiple
I =
b∫a
f (x) dx =
x2∫x0
f (x) dx+
x4∫x2
f (x) dx+ · · ·+xn∫
xn−2
f (x) dx
I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)
6+ 2h
f(x2) + 4f(x3) + f(x4)
6+
· · ·+ 2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)
6
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Regla de Simpson 1/3 multiple
I =
b∫a
f (x) dx =
x2∫x0
f (x) dx+
x4∫x2
f (x) dx+ · · ·+xn∫
xn−2
f (x) dx
I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)
6+ 2h
f(x2) + 4f(x3) + f(x4)
6+
· · ·+ 2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)
6
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Regla de Simpson 1/3 multiple
I ≈ (b− a)︸ ︷︷ ︸f (x0) + 4
n−1∑i=1,3,5,...
f (xi) + 2n−2∑
j=2,4,6,...
f (xj) + f (xn)
3n︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio
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Topicos
1 Introduccion
2 Regla de Simpson 1/3
3 Regla de Simpson 3/8
4 Programas MATLAB
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Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =3
8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
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Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =3
8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
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Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =3
8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
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Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =3
8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
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Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =3
8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
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Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =3
8h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
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Regla de Simpson 3/8
I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)
8︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio
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I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)
8︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio
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Programa MATLAB: Regla de Simpson 1/3
function in t s impson13 v1 (F , x i , x f , np )% int s impson13 v1−−−−Nombre de l a func ion% F−−−−func ion matematica de entrada% [ x i x f]−−−− I n t e r v a l o de i n t e g r a c i o n% np−−−−Numero de p a r t i c i o n e sh=( xf−x i ) / ( 2∗ np ) ;x =[ x i : h : x f ] ;n=size ( x , 2 ) ;I n t =0; j =0;for i =1 :2 : n−1
j = j +1;I ( j ) =1/3∗h∗ (F ( x ( i ) ) +4∗F( x ( i +1) ) +F( x ( i +2) ) ) ;I n t = I n t + I ( j ) ;sa l i da1 =[ ’ P a r t i c i o n ’ , num2str ( j ) , ’ ’ , num2str ( I ( j ) ) ] ;disp ( sa l i da1 )
endSal ida2 =[ ’ I n t e g r a l To ta l ’ , ’ ’ ,num2str ( I n t ) ] ;disp ( Sal ida2 )end
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Programa MATLAB: Regla de Simpson 3/8
function in t s impson38 v1 (F , x i , x f , np )% int s impson38 v1−−−−Nombre de l a func ion% F−−−−func ion matematica de entrada% [ x i x f]−−−− I n t e r v a l o de i n t e g r a c i o n% np−−−−Numero de p a r t i c i o n e sh=( xf−x i ) / ( 3∗ np ) ;x =[ x i : h : x f ] ;n=size ( x , 2 ) ;I n t =0; j =0;for i =1 :3 : n−1
j = j +1;I ( j ) =3/8∗h∗ (F ( x ( i ) ) +3∗F( x ( i +1) ) +3∗F( x ( i +2) ) +F( x ( i +3) ) ) ;I n t = I n t + I ( j ) ;sa l i da1 =[ ’ P a r t i c i o n ’ , num2str ( j ) , ’ ’ , num2str ( I ( j ) ) ] ;disp ( sa l i da1 )
endSal ida2 =[ ’ I n t e g r a l To ta l ’ , ’ ’ ,num2str ( I n t ) ] ;disp ( Sal ida2 )end
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ProblemaCalcular la integral de la funcion:
f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x+ 0.2
desde a = 0 hasta b = 0.8. Considere el valor exacto de laintegral igual a: 1.640533.