METODOS NUMERICOS

METODO DE PUNTO FIJO Sea el inicio la ecuación general:

f(x)=0 De la cual se desea encontrar una raíz real x. El primer paso consiste en transformar algebraicamente la ecuación a la forma equivalente:

x=g(x) Una vez que se ha determinado una forma equivalente, el siguiente paso es tantear una raíz; esto puede hacerse por observación directa de la ecuación. Se denota el valor de tanteo a valor 0 valor de inicio como x0. Otros métodos de tanteo se estudiaran en la sección. Una vez que se tiene x0, se evalúa g(x) en x0, denotándose el resultado de esta evaluación como x1; esto es

x1=g(x0)

El valor de x1 comparado con x0 presenta los dos casos siguientes:1. Que x1=x0

Esto indica que se elegido como valor inicial una raíz y el problema queda resuelto. Para aclararlo, recuérdese que si x es una raíz de la ecuación x=g(x), se cumple que:

f(x)=0 Y como la ecuación x=g(x) es rearreglo de f(x), también esta queda resuelta.2. Que x1x0

Es el caso mas frecuente e indica que x1 y x2 son distintos de x. Esto es fácil de explicar, ya que si x no es una raíz se tiene que:

f(x)0 En esta circunstancias se procede a una segunda evaluación de g(x), ahora en x1, denotándose como x2:

x2=g(x1)OLCJ Estudios Superiores (949229274) 1

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Este proceso se repite y hasta obtener resultados iguales.

EL CRITERIO DE CONVERGENCIA g’(X) <1

Se estudiara un criterio más de convergencia del proceso iterativo, basado en que

g(x)=x Por lo cual suponerse que si la sucesión x0, x1, x2,… converge a x, los valores consecutivos xi y xi+1 irán acercándose entre si conforme el [proceso iterativo avanza. Un modo práctico de saber si los valores consecutivos se acercan es ir calculando la distancia entre ellos:

d=xi+1-xi Si la sucesión d1, d2, ... tiende a cero, puede pensarse que el proceso está convergiendo a una raíz x y debe continuarse hasta que di<. Y tomar a xi+1 como la raíz buscada. Si d1, d2, ... no converge para un número "grande" de iteraciones, entonces x1, x2, ... diverge de x y se detiene el proceso para iniciar un nuevo, modificando la función g(x), el valor inicial o ambos. Este criterio de convergencia se utiliza ampliamente en el análisis numérico y resulta más sencillo de calcular que el que se emplea la sucesión. Pero también es menos seguro, como se verá más adelante. Un buen control de convergencia se efectúa mediante la regla de correspondencia obtenida de la derivada.

g’(x0)<1PROPIEDADES DEL PUNTO FIJO

Para que el algoritmo del punto fijo sea confiable, se requieren 3 condiciones:1. Desde un punto inicial x0 se puede iniciar la sucesión x1, x2 ...OLCJ Estudios Superiores (949229274) 2

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2. La sucesión x1, x2 ... converge al punto x.3. El valor de x es el punto fijo de g(x); esto es x=g(x).

PROBLEMA DE APLICACIÓN

El diseño de un canal de abastecimiento de agua a un molino de bolas en una planta concentradora esta dado por el fabricante y es:

V=c Donde:

C= m= Coeficiente de rugosidad del material. r= Radio hidráulico en pies (área dividida entre el perímetro

mojado). e= Pendiente de la superficie del fluido. V= Velocidad del fluido en pies/segundo. Aparentemente la ecuación es sencilla de usar, sin embargo los cálculos para su solución requieren de un método rápido y fácil de operar. Se debe calcular el radio hidráulico correspondiente para los siguientes datos de operación:

m=1,1 e=0,001 v=5 Los datos tienen unidades consistentes. El uso optimo de un equipo esta en función de aprovechar al máximo su funcionamiento. Generalmente los molinos de bolas esta conectados en paralelo dentro de un complejo de maquinaria de la planta concentradora. No solo depende de otras maquinas de la planta, sino que su buen funcionamiento hace trabajar óptimamente otros equipos que continúan. Así, en la molienda del mineral se suele agregar reactivos químicos como depresores y xantatos que facilitan la separación del mineral de las impurezas. Es por ello que las

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variables en estudio deben ser cuidadosamente diseñadas, ya que es allí donde se agregan muchos de los compuestos que continúan el proceso. Como se ve, es un tanto la experiencia, como el análisis del equipo, lo que permiten seleccionar los parámetros de operación. Nuestro problema esta presentando solo una pequeña parte de los múltiples cálculos que implica una batería de molino, así como un circuito de flotación. En todo esto, es el factor económico del proceso lo que prima para seleccionar no solo equipos, sino circuitos y personal de operación.

SOLUCION Sustituyendo c en v:

c= o bien:

=87r Despejando se llega a:

r= =

Podemos usar como valor inicial, el valor usado en el equipo antiguo: r=1 pie.

r= =

r= =0,9494252874 Los demás valores en la tabla siguiente:

i x0 11 3,002346382 3,737423023 3,93857934 3,99008772

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5 4,003064156 4,006320057 4,007136158 4,007340669 4,0073919110 4,0074047511 4,00740796

Aunque para efectos de diseño se va ha usar un radio hidráulico de 4 pies.

ALGORITMO DE PUNTO FIJOLeer x0Repetir X0=x X=g(x) Hasta x-x0<error Escribir x0. Fin.

PROGRAMA DE PUNTO FIJO EN C++ #include<math.h>#include<stdio.h>#include<conio.h>#include<iostream.h>float Gx(float x) { return(exp(-x)); }void PuntoFijo(float x,int *f,float *r)

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{ float x0; int n; *f=0; n=0; do{

x0=x;x=Gx(x0);cout<<" "<<x;n++;

}while(fabs(x0-x)>0.0005 && n!=50); if (n<50)

{ *f=1; *r=x;}

}void main() { float A,XX; int f; clrscr(); cout<<"Ingrese A: "; cin>>A; PuntoFijo(A,&f,&XX); if (f)

cout<<"\nLa Raiz es: "<<XX; else

cout<<"\nERROR"; getch();OLCJ Estudios Superiores (949229274) 6

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}

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BIBLIOGRAFIA

1. Asesoramiento: Ingeniero Nilo Martínez Rodríguez, Ingeniero jefe de planta de concentración de minerales en la unidad de Quiruvilca, Perú.

2. Nakamura, Shoichiro. "Métodos numéricos aplicados con sofware", primera edición en español. Editorial Prentice-Hall hipanoamericana, S.A. México, 1996.

3. Nieves Hurtado, Antonio y Domínguez Sánchez, Federico. "Métodos Numéricos aplicados a la ingeniería". Compañía editorial Continental, S.A. de C.V. primera edición en español. México, 1995.

4. Raffo Lecca, Eduardo. "Métodos Numéricos para ciencia e Ingeniería con Pascal". Raffo Lecca editores, Lima, Perú, 1997.

5. Direcciones electrónicas con temas de referencia al presente laboratorio:

- www.lafacu.com - www.monografias.com - www.rincondelvago.com

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