INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL

INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

“Tarea 5: Método del Punto Fijo. ”

Figueroa Romero Jorge Luis

Hernández López Aide

Zamora Zecua Leonardo

Grupo: 4BM1

Materia: Métodos numéricos

Profesor: FLORES NUÑEZ JOSÉ IGNACIO

GRANADOS HERNANDEZ JESUS

México, D.F. a 10 de Septiembre del 2014

MÉTODO DEL PUNTO FIJO.

1) Un objeto de 60 kg de masa después de 10 segundos en caída libre adquiere una velocidad de 40 m/s. ¿Cuál será el coeficiente de rozamiento del aire en ese momento? Por leyes de la física se sabe que para este tipo de movimiento la velocidad está dada por:

V ( t )=g∗mc

(1−e−cm

∗t)

Dónde:

V= velocidad del objeto que cae = 40 m/s.

g = gravedad = 9.81 m/s2

m = masa del objeto que cae = 60 kg.

c = coeficiente de razonamiento = X.

t = tiempo = 10 segundos.

*Encontrar el coeficiente de rozamiento con un error menor de 0.0001, mediante el método del punto fijo.

Método de Punto Fijo.

Consiste en obtener una raíz, o solución, de una ecuación de la forma f(x)=0, la misma que se debe ser transformada en una ecuación equivalente de punto fijo g(x), de tal forma que al redondear la ecuación f(x)=0, x se ubique al lado izquierdo de la ecuación de manera que se defina: x=g(x).

Posteriormente, dado un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación (x0), del punto fijo x i

de g, de tal forma que si: xi = g(xi), entonces:

Xn+1 = g (xn)

Entonces la ecuación anterior puede usarse para obtener una aproximación, para k=1, 2, 3…, hasta

que convergen, y expresada por la fórmula iterativa Xi+1 = g (xi). Al realizar las aproximaciones iterativas, es posible establecer el error relativo porcentual mediante la siguiente ecuación:

%erp=|x 1−x0|x 1

∗100

Ahora se procederá a resolver el ejercicio mediante la aplicación de este método.

1) Se iguala a cero la expresión:

V (t )−g∗mc

(1−e−cm

∗t)=0

2) En primer lugar, dado que c es nuestra incógnita, haremos el siguiente cambio de la expresión de la siguiente manera, para aplicar el método de punto fijo.

*Dado que el objetivo de este método es obtener una expresión g(c)=c, se hace el siguiente cambio de la expresión:

c= g∗mV (t )

(1−e−cm

∗t)

Entonces:

g (c )= g∗mV (t )

(1−e−cm

∗t)

3) Dado que es necesario encontrara un Co, se graficará la función donde se observe un valor de Co aproximado al de la raíz:

Por tanto Co=10, ya que es donde de manera gráfica se ve que es un punto cercano a la raíz. Para encontrar la raíz de manera más exacta se evalúa este Co de la siguiente manera:

g(Co) = C1

Donde C1 será la raíz que se obtiene con Xo=10 y evaluada en la función, obteniendo así la primera raíz:

g(10) = 11.935695504245277

El error se calcula de la siguiente manera:

%erp=|x 1−x0|x 1

∗100

Para este caso el error es de 16.217701796738957%.

Iteración Raíz Erp%0 10 --1 11.935695504245277 16.217701796738957 %2 12.702083233842536 6.033559342103423 %3 12.943452409687412 1.864797491465451 %4 13.013304148724318 0.536771739433707 %5 13.033000344225817 0.151125565727660 %6 13.038512790433003 0.042278182303361 %7 13.040052340694007 0.011806319643362 %8 13.040482063244369 0.003295296510338 %9 13.040601988636165 9.196307954282495*10-4 %

10 13.040635455441294 2.566347724572968*10-4 %11 13.040644794687235 7.161644296711001*10-5 %4) Se muestra en esta tabla los resultados resumidos obtenidos mediante sucesivas

iteraciones:

*Por tanto el resultado obtenido mediante este método es un coeficiente de rozamiento igual a 13.040644794687235 con un error relativo porcentual de 7.161644296711001*10-5 %

A continuación se muestra el algoritmo con el que se construyó la tabla de resultados, y con el que se halló la raíz con la una tolerancia menor a una diezmilésima. Elaborado en MatLab.