NDICE

INTRODUCCIN..03

MTODO DE LA BISECCIN04

1. Concepto..04

2. Algoritmo..04

3. Pasos fundamentales.04

4. Caractersticas.05

5. Teorema del Valor Intermedio (Bolzano)06

6. Anlisis del Mtodo de Biseccin.07

7. Teorema1 (Error absoluto mximo del Mtodo de Biseccin)08

8. Funcin.08

9. Intervalo08

10. Tolerancia08

11. Iteraciones estimadas08

12. Grfica:.09

13. Ejercicios..09

CONCLUSIONES13

BIBLIOGRAFA14

INTRODUCCIN

Este es uno de los mtodos ms sencillos y de fcil intuicin para resolver

ecuaciones en una variable.

El mtodo de biseccin es menos eficiente que el mtodo de Newton, pero es

mucho ms seguro para garantizar la convergencia. Si f es una funcin

continua en el intervalo [a, b] y f(a). f(b) < 0, entonces este mtodo converge a

la raz de f. De hecho, una cota del error absoluto es: |ba|2n en la ensima

iteracin. La biseccin converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin

embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.

Si existieran ms de una raz en el intervalo entonces el mtodo sigue siendo

convergente pero no resulta tan fcil caracterizar hacia qu raz converge el

mtodo.

Los estudiantes.

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES

MTODO DE LA BISECCIN:

14. Concepto:

El mtodo de biseccin es un algoritmo de bsqueda de races que

trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo

que tiene la raz y resuelve funciones de la forma F(x) = 0, donde esta

funcin puede ser algebraica o trascendente requiriendo solamente que

sea diferenciable.

1. Algoritmo:

Para aplicar el mtodo consideremos tres sucesiones an pn bn

definidas por las siguientes relaciones:

Pn = an + bn2,

an+1= {an pn si: f(an)f(pn) < 0 si: f(an)f(pn) > 0,

bn+1={bn pn si: f(bn)f(pn) < 0 si f(bn)f(pn) > 0

Donde los valores iniciales vienen dados por:

a0:=a,

b0:=b

Se puede probar que las tres sucesiones convergen al valor de la nica

raz del intervalo:

limnan = limnpn=limnbn

2. Pasos fundamentales:

Se determina un valor aproximado a la raz buscada

Se mejora la solucin hasta un grado de precisin determinado.

El primer paso: se resuelve bsicamente por consideraciones fsicas del

problema que se estudia o simplemente tabulando la funcin F(x). Si para

los valores x- y x+ de x se obtiene que:

Se puede asegurar que existir un valor de x en el intervalo x- < x < x+

para el cual F(x)=0.

Como una primera aproximacin a una raz de la ecuacin F(x)=0, se

puede tomar el punto medio entre los valores x- y x+, segn se observa

en la figura siguiente.

3. caractersticas :

Es un mtodo muy didctico.

til en cualquier ecuacin.

Si las condiciones se cumplen. converge con seguridad (+,-).

Algoritmo muy sencillo.

La precisin la fija el usuario, de acuerdo a sus necesidades.

Ocupa poca memoria.

Operaciones muy sencillas.

Poco error de redondeo.

Mtodo lento.

F(x-) < 0

F(x+) > 0

4. Teorema del Valor Intermedio (Bolzano):

Sea f(x) contina en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a)f(b).

Bsicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda funcin

contina en un intervalo cerrado, una vez que alcanz ciertos valores en

los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores

intermedios.

En particular, si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces un valor

intermedio es precisamente z=0 , y por lo tanto, el Teorema del Valor

Intermedio nos asegura que debe existir xb (a,b), tal que f(xb)=0 , es

decir, debe haber por lo menos una raz de f(x) en el intervalo (a,b).

Encontrar valores iniciales xa y xb, tales que f(xa) y f(xb) tienen signos

opuestos, es decir:

La primera aproximacin a la raz se toma igual al punto medio entre xa y

xb:

Evaluar f(xy). Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos

Empezar con un intervalo de partida [a, b] en el que f (a) y f (b) tengan

distinto signo. Entonces, por el anterior Teorema, la grfica y = f (x)

cruzar el eje OX en un cero x = r que est en dicho intervalo.

Tomar el punto medio del intervalo c = (a+b)/2

Si f (a) y f (c) tienen signos opuestos, entonces hay un cero en

[a, c].

Si f (c) y f (b) tienen signos opuestos, entonces hay un cero en

xy = (xa + xb) / 2

f(xa) . f(xy) < 0

f(xa)- f(xb)

[c, b].

Si f (c) = 0, entonces c es un cero.

5. Anlisis del Mtodo de Biseccin:

Calculo previo del nmero de interacciones

Recordemos que

Para garantizar que el error del Mtodo de Biseccin sea menor o igual

que un cierto valor de tolerancia " se aplica el siguiente resultado:

6. Teorema1 (Error absoluto mximo del Mtodo de

Biseccin)

Se debe verificar que:

7. Funcin:

8. Intervalo:

9. Tolerancia:

10. Iteraciones estimadas:

11. Grfica:

Ejemplos:

1. Calcular la

SOLUCIN:

Si:

Elevando al cuadrado ambos miembros en (2), tendremos:

Luego hacemos:

Entonces comparamos (1) y (4)

La misma que debe cumplir con la siguiente condicin:

Reemplazando con a y c tenemos:

Lo cual es < que cero de la restriccin dada, en el ejemplo tenemos:

Los mismos que podemos colocar en tablas:

Podemos concluir que la raz cuadrada de 5 es: 2.2354 con un error de

2. Resolver la ecuacin:

Supongamos que deseamos que en = 10^-3. Como f(0) = 6 > 0 y

f(1) = -6:524 < 0 entonces podemos tomar [a; b] = [0; 1].

El nmero de iteraciones que debemos realizar para asegurar la

tolerancia de error considerada es:

Es decir, n = 9.

3. Aproximar la raz de () = + hasta que

| | < %

SOLUCION

Sabemos que f(x) es continua en el intervalo [0,1], y revisamos que f(0) y

f(1) tengan signos opuestos.

En efecto,

f(0) = arctan0 + 0 1 = -1 < 0

Mientras que,

f(1) = arctan1 + 1 1 = 0.7853 > 0

Por lo tanto, si podemos aplicar el mtodo de biseccin.

Calculamos el punto medio del intervalo [0,1].

Xn = (1 +0)/2 =0.5

Que es la primera aproximacin a la raz de f(x).

Evaluamos f(0.5) = arctan(0.5) + 0.5 1 = -0.0363 < 0

Y hacemos nuestra tabla de signos,

Puesto que f(0.5) y f(1) tienen signos opuestos, entonces la raz se

localiza en el intervalo [0.5, t].

En este punto, solo contamos con una aproximacin, a saber, Xn = 0.5, que es el primer punto medio calculado. Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del

intervalo [0.5, 1]

Que es la nueva aproximacin a la raz de f(x).

Aqu podemos calcular el primer error aproximado:

Evaluamos:

:

Y hacemos la tabla de signos

Puesto que f(0.5) y f(0.75) tienen signos opuestos, entonces la raz se

localiza en el intervalo [0.5, 0.75]

Calculamos el punto medio.

Y el nuevo error aproximado:

El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

De lo cual, vemos que la aproximacin buscada es Xn = 0.51953125 El mtodo de biseccin por lo general es lento, y en casos como el de la siguiente grfica, puede ser demasiado lento.

En un caso como ste, el proceso de biseccin comienza a acercarse a la raz de forma muy lenta, ya que el mtodo solamente toma en cuenta que la raz se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra ms cerca de alguno de los extremos del intervalo. Sera bueno implementar un mtodo que tome en cuenta este detalle. Esto da lugar al siguiente mtodo de aproximacin de races.

CONCLUSIONES:

El mtodo es robusto en cuanto que si existen ms de una raz en el

intervalo original (a0, b0) y bajo el supuesto que la funcin es contina,

despus de un nmero arbitrario de iteraciones, digamos n, el intervalo

final (an, bn), contiene al menos una de las races contenidas en el

intervalo original.

El mtodo de biseccin es menos eficiente que el mtodo de Newton,

pero es mucho ms seguro para garantizar la convergencia.

Que toda funcin continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los

valores que se hallan entre f(a) y f(b).

BIBLIOGRAFIA:

Richard l Burden, j. Douglas Faires (2000), "numerical analysis, (7th

ed)", brooks/Cole. isbn 0-534-38216-9.

Anlisis Numricos. Conte Carl de boor2.

Analisis Numerico Richard l. Burden j. Douglas faires3.

Prawda Witenberg, juan, mtodos y modelos de investigacin de

operaciones, edit. Limusa, 1976.

Nakamura, mtodos numricos.

Carrasco Venegas, Luis, editorial amrica, Lima Per, 1era. edic. 2002.

http://www.unalmed.edu.co/~metnum/integracion.pdf.

http://docentes.uacj.mx/gtapia/an/unidad2/newton.htm.