metodo de biseccion en matlab

DESARROLLAR INTERFAZ GRAFICA (GUI) EN MATLAB DEL MÉTODO NUMERICO: MÉTODO DE BISECCIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA

MECÁNICA

TEMA


“AÑO DE LA CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU”

ESTUDIANTE:

o Cabanillas Corzo Raúl Fernando

Simulación Numérica Página 1


o Vilchez Acuña Katerinne Mirella

o Zare Carbonel Álvaro Gustavo

ASIGNATURA:

o Simulación Numérica

FECHA:

o 12/07/2016

DOCENTE:

o Ing. Giovene Perez Campomanes

ÍNDICE

I. INTRODUCCIÓN……………………………………………………..…….04



II. OBJETIVOS…………………………………………………………………05

a. Objetivos generales

b. Objetivos Específicos

III. MARCO TEORICO………………………………………………………..06

IV. DESARROLLO DEL TEMA……………………………………...………..15

V. CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y SUGERENCIAS……….20

VI. BIBLIOGRAFÍA Y LINKOGRAFIA…………………………………………21

VII. ANEXOS………………………………………………………………...……22

I. INTRODUCCIÓN



Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio. Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f (b). Esto es que todo valor entre f(a) y f (b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a, b]. En caso de que f(a) y f (b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f (j) y f(s), por lo que con certeza existe un p en [a, b] que cumple f (p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a) *f (b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f.Este método de bisección se utiliza para encontrar las raíces de polinomios, que son procesos muy largos y repetitivos según la complejidad del polinomio, por lo tanto se planteara la solución de estos métodos a través de un programa llamado matlab. En el presente trabajo determinaremos una interfaz del método de bisección utilizando

dicho programa.

Figura 01

II. OBJETIVOS


https://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia_(matem%C3%A1ticas)

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua


https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton

https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_ecuaci%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_ecuaci%C3%B3n



https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_intermedio

https://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones

https://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones


Objetivos Generales:

- Desarrollar una interfaz sencilla de utilizar con desarrollo de forma secuencial de forma que el usuario se sienta guiado a través de la interfaz.

- Determinar una interfaz gráfica en Matlab del método de bisección.

Objetivos Específicos:

- Presentación de resultados numéricos y gráficos para el análisis de la bondad y ajuste del modelo.

- Análisis previo de datos.

- Aplicación de los conceptos adquiridos en el curso de simulación numérica.

III. MARCO TEÓRICO



El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se Divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

Figura 02

Es bueno puntualizar aquí dos conceptos:

- Llamamos error a la diferencia entre el valor encontrado para la raíz y el valor

verdadero de esta.

- Llamamos tolerancia al máximo valor admitido para el valor absoluto de la

función evaluada en el valor de la aproximación encontrada para la raíz.

Algoritmo sencillo para cálculo del método de Bisección

- Paso 1: Elija valores iniciales inferior, XI, y superior, XS, que encierren la raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que:

o

- Paso 2: Una aproximación de la raíz Xr se determina mediante:



o

- Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué subintervalo está la raíz:

o Si f (XI) f (Xr) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga XS = Xr y vuelva al paso 2.

o Si f (XI) f (Xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga XS = Xr y vuelva al paso 2.

o Si f (XI) f (Xr) = 0, la raíz es igual a Xr; termina el cálculo.

Consideraciones en un método de bisección

Se considera un intervalo (XI, XS) en el que se garantice que la función tiene raíz.

tomamos el punto de bisección Xr como aproximación de la raíz buscada. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de bisección X r coincide

prácticamente con el valor exacto de la raíz.

Criterios de paro y estimaciones de errores

Diciendo que el método se repite para obtener una aproximación más exacta de la raíz. Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuándo debe terminar el método.

Una sugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. Puede decidirse que el método termina cuando se alcance un error más bajo, por ejemplo, al 0.1%. Dicha estrategia es inconveniente, en caso que la estimación del error se basó en el conocimiento del valor verdadero de la raíz de la función. Éste no es el caso de una situación real, ya que no habría motivo para utilizar el método si se conoce la raíz.

Por lo tanto, se requiere estimar el error de forma tal que no se necesite el conocimiento previo de la raíz. Se puede calcular el error relativo porcentual ea de la siguiente manera:

ea=|X rnuevo−X ranteriorX rnuevo |100 %

Donde X rnuevoes la raíz en la iteración actual y X r

anteriores el valor de la raíz en la iteración anterior. Se utiliza el valor absoluto, ya que por lo general importa sólo la magnitud de ea sin considerar su signo. Cuando ea es menor que un valor previamente fijado es, termina el cálculo.



Figura 03

Errores en el método de bisección. Los errores verdadero y aproximado se grafican contra el número de iteraciones.

Ejemplo

Para determinar el número de iteraciones necesarias para aproximar el cero de

f(x)= xsen x - 1 con una exactitud de 10-2 en el intervalo [0,2], se debe hallar un

número n tal que:

Se necesitan aproximadamente unas 8 iteraciones.



Se necesitan aproximadamente unas 8 iteraciones.

Observe en la tabla de aproximaciones que el cero de f(x) = xsen x - 1 es c=1.114157141 y c8=1.1171875.

El error real es = 0.003030359 3x10-3.

El error real es menor que el error dado por el teorema; en la mayoría de casos la cota de error dada por el teorema es mayor que el número de iteraciones que realmente se necesitan. Para este ejemplo,

= 0.004782141<10-2 = 0.01

Importancia del metodo de biseccion

Es importante porque puede utilizar para resolver muchos tipos de problemas.

Por ejemplo para resolver ecuaciones de una variable sin tener que despejar

para encontrar la raiz cuadrada.

Para la gran mayoría de los modelos matemáticos del mundo real, las

soluciones analíticas pueden no existir o ser extremadamente complejas, por lo

cual se recurre a métodos numéricos como es el método de bisección que

aproximen las soluciones dentro de ciertos márgenes de tolerancia.

El análisis de los métodos numéricos nos permite realizar estimaciones tanto

de la eficiencia o complejidad de los algoritmos asociados, así como de la

confiabilidad de los resultados numéricos obtenidos durante su aplicación.



Figura 04 : Grafica del metodo de biseccion: Tres iteraciones

Otra aplicación de método de bisección:

Análisis de Vibraciones mediante el Método de la Bisección

Figura 05

Como se observa en la figura, un carro de masa m se soporta por medio de resortes y amortiguadores. Los amortiguadores presentan resistencia al movimiento, que es proporcional a la velocidad vertical (movimiento ascendente-descendente). La vibración libre ocurre cuando el automóvil es perturbado de su condición de equilibrio, como ocurre cuando se pasa por un bache (agujero en el camino). Un instante después de pasar por el bache, las fuerzas netas que actúan sobre m son la resistencia de los resortes y la fuerza de los amortiguadores. Tales fuerzas tienden a regresar el carro al estado de equilibrio original. De acuerdo con la ley de Hooke, la resistencia del resorte es proporcional a su constante k y a la distancia de la posición de equilibrio x. Por lo tanto,Fuerza del resorte = –kxDonde el signo negativo indica que la fuerza de restauración actúa regresando el automóvil a su posición de equilibrio (es decir, la dirección x negativa). La fuerza para un amortiguador está dada porFuerza de amortiguación =



Donde c es el coeficiente de amortiguamiento y dx/dt es la velocidad vertical. El signo negativo indica que la fuerza de amortiguamiento actúa en dirección opuesta a la velocidad.Las ecuaciones de movimiento para el sistema están dadas por la segunda ley deNewton (F = ma), que en este problema se expresa como

O bien

Entonces se escribe la ecuación característica

(1)

El coeficiente de amortiguamiento crítico cc

(2)Donde

(3)

Si consideramos que esta solución en estado estacionario tiene la forma

(4)

La cantidad xm/dm llamada factor de amplificación de la amplitud depende tan sólo de la razón del amortiguamiento real con el amortiguamiento crítico, y de la razón de la frecuencia forzada con la frecuencia natural. Observe que cuando la frecuencia forzada w se aproxima a cero, el factor de amplificación se aproxima a 1. Si, además, el sistema es ligeramente amortiguado, es decir, si c/cc es pequeño, entonces el factor de amplificación se hace grande cuando w es cercano a p. Si el amortiguamiento es cero, entonces el factor de amplificación tiende a infinito cuando w = p, y se dice que la función de fuerza entra en resonancia con el sistema. Por último, conforme w/p se vuelve muy grande, el factor de amplificación se aproxima a cero. La figura 8.9 muestra una gráfica del factor de amplificación como una función de w/p para diversos factores de amortiguamiento.



Observe que el factor de amplificación se conserva pequeño al seleccionar un factor de amortiguamiento grande, o manteniendo muy distantes las frecuencias natural y forzada.

El diseño del sistema de suspensión del automóvil comprende una solución intermedia entre comodidad y estabilidad para todas las condiciones de manejo y velocidad. Se pide determinar la estabilidad del carro para cierto diseño propuesto que ofrezca comodidad sobre caminos irregulares. Si la masa del carro es m = 1.2 *10^8 gramos y tiene un sistema de amortiguadores con un coeficiente de amortiguamiento c = 1 *10^7g/s.

Suponga que la expectativa del público en cuanto a la comodidad se satisface si la vibración libre del automóvil es subamortiguada y el primer cruce por la posición de equilibrio tiene lugar en 0.05 s. Si en t = 0, el carro súbitamente se desplaza una distancia x0, desde el equilibrio, y la velocidad es cero (dx/dt = 0).

SOLUCIÓN

Se pueden utilizar el método de la bisección, ya que este método no requiere la evaluación de la derivada de la ecuación, la cual podría resultar algo difícil de calcular en este problema.Utilizando el método de bisección con un intervalo que va desde k=109a2∗109

Aunque este diseño satisface los requerimientos de vibración libre (después de caer en un bache), también debe probarse bajo las condiciones de un camino accidentado.

El factor de amortiguamiento se calcula de acuerdo con la ecuación (2)

Aplicamos la ecuación 4

Ahora, se buscan valores w/p que satisfagan la ecuación (4),

(5)

Si la ecuación (5) se expresa como un problema de raíces

(6)

Vea que los valores w/p se determinan al encontrar las raíces de la ecuación (6).Una gráfica de la ecuación (6) se presenta en la figura 1. En ésta se muestra que la ecuación (6) tiene dos raíces positivas que se pueden determinar con el método de bisección, usando el comando ROOTS. El valor más pequeño para w/p es igual a



0.7300 en 18 iteraciones, con un error estimado de 0.000525% y con valores iniciales superior e inferior de 0 y 1. El valor mayor que se encuentra para w/p es de 1.1864 en 17 iteraciones, con un error estimado de 0.00064% y con valores iniciales superior e inferior de 1 y 2. También es posible expresar la ecuación (8.30) como un polinomio:

Y usar MATLAB para determinar las raíces como sigue:

El valor de la frecuencia natural p está dado por la ecuación (3),

Figura 06

Las frecuencias forzadas, para las que la máxima deflexión es 0.2 m, entonces se calculan como



Con lo cual se obtiene

D es la distancia entre los picos que es igual a 20 m. (característica de funcionamiento del sistema de vibración)

Se determina que el diseño del carro propuesto se comportará de forma aceptable para velocidades de manejo aceptables.Es decir, el diseñador debe estar consciente de que el diseño podría no cumplir los requerimientos cuando el automóvil viaje a velocidades extremadamente altas (por ejemplo, en carreras).



IV. DESARROLLO DEL TEMA

Diagrama de flujo de interfaz del método de bisección en programa Matlab

Figura 07



Aplicación de interfaz gráfica (o también llamado gui o guide) en programa Matlab del método de la bisección

1. Abrimos programa MATLAB desde nuestra pc.

2. En comando de Matlab , escribimos :"guide"*nos cargara una ventana, le daremos clic en blank gui o también llamado gui en blanco

3. Nos cargara una ventana, le damos clic en herramienta " panel". seleccionamos un área que deseemos. luego le damos doble click en esa misma ventana seleccionada.*nos cargara un cuadro como aquí vemos. Luego, vean lo que voy a hacer a continuación: buscamos donde dice: TITLE y le damos clic y borramos lo que dice panel. *a continuación cerramos este cuadro. Si queremos darle color a este panel le damos clic en back round. Y cerramos el cuadro.

4. Seleccionamos la herramienta static text, luego seleccionamos un área, y le damos doble clic *nos vamos a donde dice STRING y borramos ese texto para cambiarlo de nombre a nuestro gusto .en el mismo cuadro*nos vamos a FONTSIZE (tamaño de la letra) y cambiamos al tamaño que deseemos*luego cerramos ese cuadro

5. Seleccionamos nuevamente la herramienta static text y creamos varios cuadros más.

6. Ahora seleccionamos la herramienta EDICT TEXT y creamos la misma cantidad de cuadros. Doble clic a cada cuadro, borramos lo que diga string.luego nos vamos a donde dice TAG y le ponemos la función que ira tener esta ventana.

7. Seleccionamos la herramienta PANEL y en TITLE ponemos RAIZ. vemos que hicimos lo anterior de 5.

8. Para crear la gráfica le damos clic donde verán a continuación: le damos doble clic a ese cuadro y en tag borramos el texto q está ahí y escribimos "grafica “luego cerramos el cuadro.

9. Seleccionamos la herramienta donde dice OK. le damos doble clic, y en el cuadro seleccionamos en string ponemos CALCULAR y EN TAG ponemos CALCULAR y cerramos el cuadro.

10. Le damos doble clic lo que esta fuera del cuadro de panel. En NAME ponemos el nombre a nuestro gusto, en este caso pondré Método de Bisección y cerramos el cuadro como lo acaban de ver.



11. Guardamos todo este proceso. Cuando guardamos vemos que automáticamente sale la otra ventana de Matlab y en EDITOR se carga una serie de comandos

12. Nos vamos donde dice "function calcular_callback... y le damos clic debajo de este, para empezar a programar las herramientas que creamos. bueno el código de bisección ya lo tenemos, por lo que solo lo copiamos y pegamos desde nuestro informe a la ventana de MATLAB.

13. Le damos clic en save ad rum bisección y nos tendrá que salir nuestra interfaz.

14. Como vemos sí nos cargó el cuadro de la interfaz. Ahora veremos si funciona.

*En resumen a lo anterior:

La interfaz gráfica fue esta

Figura 08

Y el código introducido:



function calcular_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to calcular (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)

f=get(handles.funcion,'string');a=get(handles.liminf,'string');b=get(handles.limsup,'string');t=get(handles.tolerancia,'string');f=inline(f);xai=str2num(a)xbi=str2num(b)tol=str2num(t)i=1;ea(1)=100;if f(xai)*f(xbi)<0 xa(1)=xai; xb(1)=xbi; xr(1)=(xa(1)+xb(1))/2; while abs (ea(i))>=tol if f(xa(i))*f(xr(i))<0 xa(i+1)=xa(i); xb(i+1)=xr(i); end if f(xa(i)) *f(xr(i))>0 xa(i+1)=xr(i); xb(i+1)=xb(i); end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))/2; ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))/(xr(i+1))*100); i=i+1 end r=num2str(xr(i)); set(handles.raiz,'string',r); fplot(handles.grafica,f,[xai xbi]);else set(handles.advertir,'string','NO EXISTE UNA RAIZ EN ESTE INTERVALO');end



Al correr el programa luego de dar clin en” save ad rum bisección” se observa que sale la interfaz

Figura 09

1. Inicio2. Introducir la funcion en el casillero superior3. Agregar el limite inferior de la funcion4. Establecer el limite superior de la funcion5. Introducir la tolerancia de error 6. Analizar que el producto del limite superior por el interior sea menor que cero7. Determinar si la intervalo es correcto para esa funcion si si esta bien te dara

resultado y ni no te marcara error8. Da clic en calcular y se imprimira el resultado9. Fin



Ejemplo: dada la siguiente función con sus valores dados calcular la raíz en la interfaz gráfica (guide) del método de bisección en MATLAB

a)-0.4*x^2+2.2*x+4.7

xi= 5, xu=10, tolerancia = 0.1%



V. CONCLUSIONES , RECOMENDACIONES Y SUGERENCIAS

Conclusiones

- Desarrollamos una interfaz sencilla de utilizar con desarrollo de forma secuencial de forma que el usuario se sienta guiado a través de la interfaz.

- Determinamos una interfaz gráfica en Matlab del método de bisección.- Aplicación de los conceptos adquiridos en el curso de simulación numérica.

- El método de bisección tiene la desventaja que es lento en cuanto a convergencia Otros métodos requieren menos iteraciones para alcanzar la misma exactitud, pero entonces no siempre se conoce una cota para la precisión.

- Comprendimos que el método de bisección utiliza poca información de la función a analizar. Utilizamos sólo el signo de la función en los extremos del intervalo, no utilizamos por ejemplo su valor, el de sus derivadas u otra información que ésta nos ofrece.

- Se llegó a demostrar que es el método más aplicable con una mayor generalidad y con más probabilidades de converger hacia el resultado.

- Concluimos que cuando hay raíces múltiples, el método de bisección quizá no sea válido, ya que la función podría no cambiar de signo en puntos situados a cualquier lado de sus raíces. Una gráfica es fundamental para aclarar la situación. En este caso sería posible hallar los ceros o raíces trabajando con la derivada f’(x), que es cero en una raíz múltiple.

- demostramos el algoritmo de bisección, aunque conceptualmente claro, tiene inconvenientes importantes. Converge muy lentamente (o sea, N puede ser muy grande antes que |p − pN | sea suficientemente pequeño) y, más aun, una buena aproximación intermedia puede ser desechada sin que nos demos cuenta.

Recomendaciones

- El método de bisección suele recomendarse para encontrar un valor aproximado del cero de una función, y luego este valor se refina por medio de métodos más eficaces. La razón es porque la mayoría de los otros métodos para encontrar ceros de funciones requieren un valor inicial cerca de un cero; al carecer de dicho valor, pueden fallar por completo.

- Conocer las condiciones de aplicabilidad de este método en Matlab.



Sugerencias

- son procesos muy largos y repetitivos según la complejidad del polinomio, por lo tanto es necesario plantear la solución de este método atraves de un programa en Matlab.

- Cuando usamos un ordenador para generar las aproximaciones, conviene añadir una condición que imponga un máximo al número de iteraciones realizadas. Así se elimina la posibilidad de poner a la maquina en un ciclo infinito, una posibilidad que puede surgir cuando la sucesión diverge (y también cuando el programa está codificado incorrectamente).

VI. BIBLIOGRAFIA Y LINKOGRAFIA

- METODODS NUMERICOS PARA INGENIEROS- quinta edición .Steven C. y Raymond P.

- http://www.bioingenieria.edu.ar/grupos/cibernetica/milone/download/ enl1996.pdf

- https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n

- http://www.ehu.eus/~mepmufov/html/Parte2.pdf

- https://nolorodriguez.wordpress.com/2014/04/08/metodo-de-biseccion-y- newton-rapshon-en-matlab/

- https://prezi.com/asuxtlhdqfxs/metodo-de-biseccion-en-matlab/

- http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo5/5.htm


http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo5/5.htm

https://prezi.com/asuxtlhdqfxs/metodo-de-biseccion-en-matlab/

https://nolorodriguez.wordpress.com/2014/04/08/metodo-de-biseccion-y-newton-rapshon-en-matlab/

https://nolorodriguez.wordpress.com/2014/04/08/metodo-de-biseccion-y-newton-rapshon-en-matlab/

http://www.ehu.eus/~mepmufov/html/Parte2.pdf

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n

http://www.bioingenieria.edu.ar/grupos/cibernetica/milone/download/enl1996.pdf

http://www.bioingenieria.edu.ar/grupos/cibernetica/milone/download/enl1996.pdf


VII. ANEXOS

GUÍA PARA LA EVALUACIÓN DE INFORMES ESCRITOS

GUÍA DE OBSERVACIÓN PARA EVALUAR EXPOSICIÓN


metodo de biseccion en matlab

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