biseccion y sustitución sucesiva - métodos numéricos

Conocimientos previosMetodo de biseccion

Metodo de sustitucion sucesiva

Unidad III

Ecuaciones no lineales

M. en C. Miguel Angel Can Ek

Facultad de Matematicas

Universidad Autonoma de Yucatan

M. en C. Miguel Angel Can Ek Unidad IIIEcuaciones no lineales



1 Conocimientos previosRaz o cero

2 Metodo de biseccionEl metodoEjemplo

3 Metodo de sustitucion sucesivaEl metodoEjemplo



Metodo de sustitucion sucesivaRaz o cero

Conocimientos previos

Definicion

Un funcion puede verse como una regla de asignacion en la cual a cadaelemento del dominio le corresponde un unico elemento del contradominio.





Definicion


Definicion

Una ecuacion se define como una igualdad entre dos expresiones algebraicaslas cuales pueden contener una o mas incognitas (variables), as comoalguna constante.





Definicion


Definicion

Una ecuacion se define como una igualdad entre dos expresiones algebraicaslas cuales pueden contener una o mas incognitas (variables), as comoalguna constante.

Definicion

Una raz o cero real de una ecuacion f (x) = 0 es un valor xr tal quef (xr ) = 0.




Ejemplo

1 Funciones1 f (x) = 2x + ex cos 2x2 g(x) = ln(x + 1)




Ejemplo


2 Ecuaciones1 x xy = 102 x2 + y2 2xy = z




Ejemplo


2 Ecuaciones1 x xy = 102 x2 + y2 2xy = z

3 Raz de una ecuacion.1 xr = 2 es raz de f (x) = 2 x pues f (2) = 2 2 = 02 xr = 0 es raz de g(x) = xe

x pues g(0) = 0e0 = 0 1 = 0




Ubicacion de races en el plano cartesiano

4 3 2 1 0 1 2 3 43

2

1

0

1

2

3

x

y




Ubicacion de races en el plano cartesiano

4 3 2 1 0 1 2 3 43

2

1

0

1

2

3

x

y

4 3 2 1 0 1 2 3 43

2

1

0

1

2

3

xy




El metodoEjemplo

Metodo de biseccion

Este metodo es conocido como abierto por que no tiene la necesidad depuntos iniciales. Su herramienta basica es el Teorema de Bolzano 1. Esteteorema nos garantiza la existencia de un cero de una funcion continua fen [a, b] cuando f (a) y f (b) difieren en signo. Como su nombre lo indi-ca el metodo biseca el intervalo dado y checa en que subintervalo siguecambiando de signo la funcion. Y as sucesivamente.

1Bernard Bolzano




El metodoEjemplo




El metodoEjemplo

Grafica de una funcion continua

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Podemos observar como la funcion corta una vez al eje x por cambiar designo en los extremos, por ejemplo en el intervalo [3, 8].




El metodoEjemplo

Geometricamente ...

Como funciona el metodo?




El metodoEjemplo

Geometricamente ...

Como funciona el metodo?Usaremos Geogebra y la ecuacion

2x cos(2x) (x + 1)2 = 0

Se requiere de una conexion a Internet.

Metodo de biseccion(clic aqu)




El metodoEjemplo

Ejemplo

Ejemplo

Aplicar el metodo de biseccion a la ecuacion2x cos(2x) (x + 1)2 = 0

para encontrar su raz.

6 4 2 0 2 4 620

15

10

5

0

5

10

x

2 x cos(2 x)(x+1)2

Si observamos la grafica de arriba, podemos elegir el intervalo [3,2],entonces ...




El metodoEjemplo

continuacion




El metodoEjemplo

continuacion

Solucion




El metodoEjemplo

continuacion

Solucion

n an pn bn f (pn) Los signosdentro de losparentesis,pertenecen ala funcion.




El metodoEjemplo

continuacion

Solucion


1 -3.00000(-) -2.50000 -2.00000(+) -3.66831




El metodoEjemplo

continuacion

Solucion


1 -3.00000(-) -2.50000 -2.00000(+) -3.668312 -2.50000(-) -2.25000 -2.00000(+) -0.61392




El metodoEjemplo

continuacion

Solucion


1 -3.00000(-) -2.50000 -2.00000(+) -3.668312 -2.50000(-) -2.25000 -2.00000(+) -0.613923 -2.25000(-) -2.12500 -2.00000(+) 0.63025




El metodoEjemplo

continuacion

Solucion


1 -3.00000(-) -2.50000 -2.00000(+) -3.668312 -2.50000(-) -2.25000 -2.00000(+) -0.613923 -2.25000(-) -2.12500 -2.00000(+) 0.630254 -2.25000(-) -2.18750 -2.12500(+) 0.03808




El metodoEjemplo

continuacion

Solucion


1 -3.00000(-) -2.50000 -2.00000(+) -3.668312 -2.50000(-) -2.25000 -2.00000(+) -0.613923 -2.25000(-) -2.12500 -2.00000(+) 0.630254 -2.25000(-) -2.18750 -2.12500(+) 0.038085 -2.25000(-) -2.21875 -2.18750(+) -0.28084




El metodoEjemplo

continuacion

Solucion


1 -3.00000(-) -2.50000 -2.00000(+) -3.668312 -2.50000(-) -2.25000 -2.00000(+) -0.613923 -2.25000(-) -2.12500 -2.00000(+) 0.630254 -2.25000(-) -2.18750 -2.12500(+) 0.038085 -2.25000(-) -2.21875 -2.18750(+) -0.280846 -2.21875(-) -2.20313 -2.18750(+) -0.11961




El metodoEjemplo

continuacion

Solucion


1 -3.00000(-) -2.50000 -2.00000(+) -3.668312 -2.50000(-) -2.25000 -2.00000(+) -0.613923 -2.25000(-) -2.12500 -2.00000(+) 0.630254 -2.25000(-) -2.18750 -2.12500(+) 0.038085 -2.25000(-) -2.21875 -2.18750(+) -0.280846 -2.21875(-) -2.20313 -2.18750(+) -0.119617 -2.20313(-) -2.19532 -2.18750(+) -0.04035




El metodoEjemplo


Dada una ecuacion f (x) = 0 el metodo consiste en despejar x paraencontrar una funcion auxiliar g(x) de tal manera que se tenga la relacion

x = g(x)




El metodoEjemplo



x = g(x)

La relacion anterior nos dice que la recta identidad en algun punto coin-cide con g(x) y ese punto sera una raz de f (x) = 0.




El metodoEjemplo



x = g(x)

La relacion anterior nos dice que la recta identidad en algun punto coin-cide con g(x) y ese punto sera una raz de f (x) = 0.

La razon de que el valor fijo de la ecuacion x = g(x), digamos xr , escero de f (x) se obtiene de la siguiente forma:




El metodoEjemplo


Seaf (x) = x g(x)




El metodoEjemplo


Seaf (x) = x g(x)

Si hay un punto xr tal que xr = g(xr ), entonces




El metodoEjemplo


Seaf (x) = x g(x)

Si hay un punto xr tal que xr = g(xr ), entonces

f (xr ) = xr g(xr ) = 0

y as xr es raz de f (x) = 0.




El metodoEjemplo

Geometricamente

Como funciona el metodo?




El metodoEjemplo

Geometricamente

Como funciona el metodo?Para esto nos basaremos de una construccion usando el software Geogebra.Tomamos como ejemplo la ecuacion

ex x = 0

con g(x) = ex . Se requiere de una conexion a Internet.

Metodo de sustitucion sucesiva(clic aqu)




El metodoEjemplo

El metodo en forma iterativa

Apoyandonos de la idea anterior, una vez que tenemos la funcion auxiliarg(x), aplicamos el proceso iterativo

xn = g(xn1), n = 1, 2,

dando como valor inicial x0, para ir aproximando el valor de la raz buscada.




El metodoEjemplo

Condicion de convergencia

Al ser un metodo iterativo, dependemos de convergencia para que podamosencontrar una raz. As la condicion necesaria para que el metodo converjaes que

|g (x)| < 1,




El metodoEjemplo



|g (x)| < 1,El metodo es bueno cuando la condicion anterior se cumple en un intervaloque contenga la raz buscada. Por otro lado, es posible que hayan diferentesg(x). Cual elegir?




El metodoEjemplo



|g (x)| < 1,El metodo es bueno cuando la condicion anterior se cumple en un intervaloque contenga la raz buscada. Por otro lado, es posible que hayan diferentesg(x). Cual elegir?

Mucho depende de las condiciones del problema. Pero lo mas importantees que se cumpla la condicion de la derivada de g(x).




El metodoEjemplo

Ejemplo

Aplicar el metodo de sustitucion sucesiva a la funcion

f (x) = x3 + x 1





El metodoEjemplo

Ejemplo

Aplicar el metodo de sustitucion sucesiva a la funcion

f (x) = x3 + x 1


Solucion

Dos posibles elecciones de g son

1 g1(x) = 1 x32 g2(x) =

31 x




El metodoEjemplo

Para estas dos funciones hay que verificar cuales cumplen con la condicion|g (x)| < 1. Las derivadas son

1 g 1(x) = 3x2

2 g 2(x) =1

3(1 x)2/3




El metodoEjemplo

Graficas

g1

1 0.5 0 0.5 1 1.5 22

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

f(x)=x3+x1

identidadg(x)f(x)gprima




El metodoEjemplo

Graficas

g1

1 0.5 0 0.5 1 1.5 22

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

f(x)=x3+x1


g1 cumple la hipotesis

Podemos observar como laderivada de g1 no cumple lahipotesis.




El metodoEjemplo

Graficas

g2

1 0.5 0 0.5 1 1.5 22

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

f(x)=x3+x1





El metodoEjemplo

Graficas

g2

1 0.5 0 0.5 1 1.5 22

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

f(x)=x3+x1


g2 cumple la hipotesis

Podemos observar como laderivada de g2 s cumple lahipotesis.




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873 0.96403747




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873 0.96403747 0.633959344




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873 0.96403747 0.633959344 0.10405419




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873 0.96403747 0.633959344 0.10405419 0.859983285




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873 0.96403747 0.633959344 0.10405419 0.859983285 0.99887338




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873 0.96403747 0.633959344 0.10405419 0.859983285 0.99887338 0.894819196




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873 0.96403747 0.633959344 0.10405419 0.859983285 0.99887338 0.894819196 0.00337606




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873 0.96403747 0.633959344 0.10405419 0.859983285 0.99887338 0.894819196 0.00337606 0.995497327




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873 0.96403747 0.633959344 0.10405419 0.859983285 0.99887338 0.894819196 0.00337606 0.995497327 0.99999996




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag1(x) = 1 x3.i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.87500000 0.375000002 0.33007813 0.544921873 0.96403747 0.633959344 0.10405419 0.859983285 0.99887338 0.894819196 0.00337606 0.995497327 0.99999996 0.99662390...

La tercera columna representa el error absoluto entre dos iteracionesconsecutivas y mientras mas chico sera mejor la aproximacion.




El metodoEjemplo

Las iteraciones

A continuacion mostramos como iterar usando sustitucion sucesiva parag2(x) =

31 x .




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423 0.74236393




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423 0.74236393 0.151483824




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423 0.74236393 0.151483824 0.63631020




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423 0.74236393 0.151483824 0.63631020 0.106053735




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423 0.74236393 0.151483824 0.63631020 0.106053735 0.71380081




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423 0.74236393 0.151483824 0.63631020 0.106053735 0.71380081 0.077490616




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423 0.74236393 0.151483824 0.63631020 0.106053735 0.71380081 0.077490616 0.65900615




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423 0.74236393 0.151483824 0.63631020 0.106053735 0.71380081 0.077490616 0.65900615 0.054794667




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423 0.74236393 0.151483824 0.63631020 0.106053735 0.71380081 0.077490616 0.65900615 0.054794667 0.69863261




El metodoEjemplo

Las iteraciones


31 x .

i xi |xi xi+1|0 0.5 1 0.79370053 0.293700532 0.59088011 0.202820423 0.74236393 0.151483824 0.63631020 0.106053735 0.71380081 0.077490616 0.65900615 0.054794667 0.69863261 0.03962646...




El metodoEjemplo

Tarea

Para las siguientes ecuaciones, determinar los elementos necesarios paraaplicar los metodos de sustitucion sucesiva y biseccion.

1 x 2x = 02 2 sen(pix) + x = 0

3 x3 x 1 = 0


Conocimientos previosRaz o cero

Mtodo de biseccinEl mtodoEjemplo

Mtodo de sustitucin sucesivaEl mtodoEjemplo

biseccion y sustitución sucesiva - métodos numéricos

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