02 metodo de biseccion

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DE UNA VARIABLE.

MÉTODO DE BISECCIÓN.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de bisección.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 20

1.5.- MÉTODOS CERRADOS.

Este capítulo sobre raíces de ecuaciones se ocupa de métodos que aprovechan el hecho de

que una función cambia de signo en la vecindad de una raíz. A estas técnicas se les llama

métodos cerrados o de intervalos, porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz.

Como su nombre lo indica, dichos valores iniciales deben “encerrar”, o estar a ambos lados

de la raíz. Los métodos particulares descritos aquí emplean diferentes estrategias para

reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta.

1.6.- MÉTODO DE BISECCIÓN.

Requisitos para la aplicación del método de bisección.

Para la aplicación del método de bisección, debe disponerse de:

a) La ecuación a resolver, la cual conduce a la función 0)( xf .

b) Un intervalo ],[ ba que contenga a la raíz de la ecuación, para lo cual es necesario que la

función evaluada en los extremos del intervalo tenga signos diferentes, esto es

0)()( bfaf .

c) Un mecanismo de paro1, que puede ser el número de iteraciones o la cota de error. El

procedimiento de paro más común es el de dar un número máximo de iteraciones N.

Cuando usamos un computador para generar las aproximaciones, conviene añadir una

condición que imponga un máximo al número de iteraciones realizadas. Así se elimina la

posibilidad de poner a la máquina en un ciclo infinito, una posibilidad que puede surgir

cuando la sucesión diverge (y también cuando el programa está codificado

incorrectamente).

Esto se hace fácilmente dando una cota inicial N y requiriendo que el procedimiento

termine si se supera esa cota.

Otros procedimientos de paro que se pueden aplicar a cualquier técnica iterativa son

los de dar una tolerancia TOL > 0 y generar una sucesión )(af hasta que una de las

siguientes condiciones se satisfaga:

TOLxx ii 1 (1.4)

1 El método se detiene si uno de los puntos medios del intervalo coincide con la raíz.



TOLx

xx

i

ii

1 (1.5)

TOLxf i )( (1.6)

Desafortunadamente, pueden surgir dificultades usando cualquiera de estos criterios de

paro. Existen sucesiones }{ ix con la propiedad de que las diferencias 1 ii xx convergen a

cero mientras que la sucesión misma diverge. Es posible también que )( ixf esté cerca de

cero mientras que ix difiere significativamente de p. Sin conocimiento adicional de f o p, la

desigualdad (1.5) es el mejor criterio de paro que puede aplicarse porque verifica el error

relativo.

El método de bisección se realiza con los siguientes pasos:

i) Definir )(xf . Debe tenerse en cuenta que la función a la cual se le determinarán las

raíces debe ser continua en el intervalo ],[ ba y contener sólo una raíz en dicho intervalo.

ii) Encontrar el intervalo ],[ ba tales que )(af y )(bf tienen signos opuestos, es decir,

0)()( bfaf .

iii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre a y b . La

fórmula iterativa del método es:

2

baxi

(1.7)

donde el intervalo ],[ ba que contiene a la raíz se redefine en cada iteración dependiendo

del signo que adopta la función en ix , esto es, dependiendo del signo de )( ixf .

iv) Evaluar )( ixf . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

0)()( ixfaf : En este caso, tenemos que )(af y )( ixf tienen signos opuestos, y por

lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo ],[ ixa .

0)()( ixfaf : En este caso, tenemos que )(af y )( ixf tienen el mismo signo, y de

aquí que )( ixf y )(bf tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el

intervalo ],[ bxi .



0)()( ixfaf : En este caso se tiene que 0)( ixf y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que se complete el número de

iteraciones indicadas ó el error relativo porcentual de aproximación sea menor que una

tolerancia porcentual prefijada s :

sa (1.8)

donde el error relativo porcentual de aproximación se determina mediante la ecuación:

100actualón Aproximaci

anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci

a (1.9)

O, en forma equivalente:

1001

i

iia

x

xx (1.10)

Si se cumple la relación 1.8, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del

nivel aceptable fijado previamente s .

Es conveniente también relacionar estos errores con el número de cifras significativas en la

aproximación. Es posible demostrar (Scarborough, 1966) que si el siguiente criterio se

cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras

significativas:

%)105.0( 2 n

s

(1.11)

de donde, la cantidad de cifras significativas en la aproximación es:

)2(log2 10 sn (1.12)

Cuando se conoce el valor verdadero de la raíz de la ecuación, el error relativo porcentual

verdadero se determina con la ecuación

100aderoValor verd

aproximadoValor aderoValor verd

t (1.13)

Algoritmo del método de bisección.

Para encontrar una solución de 0)( xf dada la función continua f en el intervalo ],[ ba

donde )(af y )(bf tienen signos opuestos:



ENTRADA: Extremos a, b; Tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N.

SALIDA: Solución aproximada p o mensaje de fracaso.

Paso 1. Tomar 1i .

Paso 2. Mientras que Ni , seguir Pasos 3 – 6.

Paso 3. Tomar 2

baxi

. (Calcular ix ).

Paso 4. Determinar )( ixf . Si 0)( ixf ó TOLab

2 entonces

SALIDA ( ix ); (Procedimiento completado satisfactoriamente)

PARAR.

Paso 5. Si 0)()( ixfaf entonces tomar ixa (Calcular ia , ib ).

si no, tomar ixb .

Paso 6. Tomar 1 ii .

Paso 7. SALIDA (“El método fracasó después de N iteraciones”); (Procedimiento

completado sin éxito).

PARAR.

Ejemplo 1.7.

Determine la raíz de 02 xex en el intervalo ]2,1[ usando el método de bisección

con tres iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en cada

iteración.

Solución.

- Ecuación a resolver: 02 xex .

- Un intervalo que contiene la solución es ]2,1[ , de donde: 1a y 2b .

- Se ejecutarán 3 iteraciones.

Desarrollo del método de bisección.

i) Definimos xexxf 2)( .

ii) Verificamos la existencia de una raíz en el intervalo dado.

67182818284.11)1()1()( )1(2 eefaf



68646647167.34)2()2()( 2)2(2 eefbf

Puesto que la función evaluada en los extremos del intervalo tiene signos opuestos, se

cumple que 0)()( bfaf .

Gráficamente:

Figura 1.8. Condiciones para la aplicación del

método de bisección para xexxf 2)( en

]2,1[ .

iii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.

Primera iteración ( 1i ). 1a , 2b .

5.02

1

2

21

21

bax

iv) 13565306597.0)5.0()5.0()( )5.0(2

1 efxf

Observamos que )( 1xf tiene el mismo signo que )(af , por lo tanto redefinimos el

intervalo ],[ ba como ],[ 1 bx , esto es: ]2,5.0[ .

En la figura siguiente se observa el principio del método. El intervalo original se ha

dividido a la mitad, lo cual conduce a dos intervalos: ]5.0,1[ y ]2,5.0[ . Para continuar

con el método, se elige el intervalo que contiene la solución.



Figura 1.9. Primera iteración del método de

bisección para xexxf 2)( en ]2,1[ .

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto

que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo

intervalo ]2,5.0[ .

Segunda iteración ( 2i ). 5.0a , 2b .

25.12

5.2

2

25.0

22

bax

42759952031.1)25.1()25.1()( )25.1(2

2 efxf

Observamos que )( 2xf tiene el mismo signo que )(bf , por lo tanto redefinimos el

intervalo ],[ ba como ],[ 2xa , esto es: ]25.1,5.0[ .

Gráficamente:

Figura 1.10. Segunda iteración del método de


Aquí podemos calcular el primer error relativo porcentual de aproximación, puesto que

contamos ya con la aproximación actual y la aproximación anterior:





a

10025.1

5.025.1

a

%60a

Tercera iteración ( 3i ). 5.0a , 25.1b .

875.02

75.1

2

25.15.0

23

bax

23487629803.0)875.0()875.0()( )875.0(2

3 efxf

Observamos que )( 3xf tiene el mismo signo que )(bf , por lo tanto redefinimos el

intervalo ],[ ba como ],[ 3xa , esto es: ]875.0,5.0[ .

Gráficamente:

Figura 1.11. Tercera iteración del método de


Obsérvese que el método va encerrando la raíz en un intervalo cada vez más pequeño.

Error relativo porcentual de aproximación.



a

100875.0

25.1875.0

a

%86.42a



Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente

tabla:

i ia ix ib )( iaf )( ixf )( ibf

1 –1 0.5 2 –1.71828182846 –0.35653065971 3.86466471676

2 0.5 1.25 2 –0.35653065971 1.27599520314 3.86466471676

3 0.5 0.875 1.25 –0.35653065971 0.34876298032 1.27599520314

La solución de la ecuación 02 xex es 875.03 x , obtenida aplicando el método de

bisección en el intervalo ]2,1[ con tres iteraciones. El error relativo porcentual de

aproximación es 42.86%.

El cálculo manual del método de bisección se puede llevar a cabo elaborando una

tabla como se muestra abajo. Cuando empieza la primera iteración, los valores de 1a y

2b y el punto medio 5.02

211

x se escriben en la tabla en el renglón 1.


1 –1 0.5 2

También se calculan )(af , )(bf y )( 1xf y se escriben en el mismo renglón.


1 –1 0.5 2 –1.71828182846 –0.10653065971 3.86466471676

Al examinar los signos de estos tres valores de f, vemos que la raíz se localiza entre 1x y b.

Por lo tanto, 1x y b del paso 1i se convierten respectivamente, en a y b para el paso

2i .


1 –1 0.5 2 –1.71828182846 –0.10653065971 3.86466471676

2 0.5 2

Así, )( 1xf y )(bf del paso 1i se copian a )(af y )(bf para el paso 2i .


1 –1 0.5 2 –1.71828182846 –0.10653065971 3.86466471676

2 0.5 2 –0.10653065971 3.86466471676



La 2x para el paso 2i es 25.1

2

25.02

x y se calcula )( 2xf , escribiendo su valor

en la tabla.


1 –1 0.5 2 –1.71828182846 –0.10653065971 3.86466471676

2 0.5 1.25 2 –0.10653065971 1.27599520314 3.86466471676

La iteración para el resto continúa de manera similar hasta que se alcanza la tolerancia. El

último valor de x es la respuesta final.

A pesar de lograr resolver la ecuación, éste método converge muy lentamente, por

lo cual se requieren muchas iteraciones para lograr una exactitud deseada.

El algoritmo de bisección, aunque conceptualmente claro, tiene inconvenientes

importantes. Converge muy lentamente (o sea, N puede ser muy grande antes que Nxp

sea suficientemente pequeño) y, más aún, una buena aproximación intermedia puede ser

desechada sin que nos demos cuenta. Sin embargo, el método tiene la propiedad importante

de que converge siempre a una solución y, por esta razón se usa frecuentemente para

“poner en marcha” a los métodos más eficientes que se presentarán más adelante.

Solución de ecuaciones mediante la calculadora CASIO fx-570 ES PLUS.

Si el objetivo es resolver la ecuación 0)( xf con el fin de disponer de la solución del

problema y tenerlo como valor referencial al cual deben converger los métodos numéricos,

entonces, para el ejemplo 02 xex se ingresa la función mediante la siguiente secuencia

de teclas:

ALPHA , ) , 2x , – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , )

El display mostrará:

xex 2 R Math

Presionar las teclas SHIFT CALC. Observaremos en el display:

Solve for x R Math

0

La calculadora solicita un valor de x que es una estimación inicial del valor de la

raíz. Presionar 1 =. Al cabo de unos segundos la calculadora muestra en el display:



xex 2 R Math

x = 0.7034674225

L – R = 0

Este valor 7034674225.0x es la raíz de la ecuación 02 xex . L – R = 0

proporcionado en el display es la exactitud (la diferencia entre el valor aproximado y el

valor real) en la solución de la ecuación. Es importante mencionar que esta raíz sirve como

valor referencial de la solución del problema. No obstante, para su determinación debe

aplicarse un método numérico apropiado, tal como lo exigen los objetivos de este curso.

Adicionalmente, es posible que existan múltiples raíces de una ecuación, en cuyo caso la

calculadora CASIO fx-570 ES PLUS determina la correspondiente a la que daría como

resultado la aplicación del Método de Newton – Raphson con la aproximación inicial

proporcionada.

Número de iteraciones.

En el caso del método de bisección, es posible determinar el número de iteraciones

requeridas para un error absoluto preestablecido.

Si el error absoluto sugerido es s , entonces al aplicar el método de bisección n veces:

sn

ab

2 1n

s

n

ab

12

s

n ab

2

s

abn

ln2ln

2ln

ln

s

ab

n

(1.14)



Es importante notar que ésta fórmula da solamente una cota para el número de iteraciones

necesarias, y en muchos casos esta cota es mucho más grande que el número realmente

requerido.

En el ejemplo 1.7, si previamente se hubiese establecido un error sugerido de 310s ,

entonces, al sustituir valores en la Ecuación 1.14:

2ln

10

)1(2ln

3

n

2ln

3000lnn

55.11n . Se requerirían al menos 12 iteraciones.

Ejemplo 1.8.

Determinar el número de iteraciones necesarias para alcanzar una aproximación con

exactitud de 10–3

a la solución de 0ln xe x , que se encuentra en el intervalo ]2,1[ .

Encuentre una aproximación a esta raíz con este grado de exactitud.

Solución.

310s , 1a , 2b .

Número de iteraciones.

De la Ecuación 1.14:

2ln

ln

s

ab

n

2ln

10

12ln

3

n

96.9n . Se requieren al menos 10 iteraciones.

Cifras significativas a utilizar en la solución del problema.

De la Ecuación 1.12:

)2(log2 10 sn



)102(log2 3

10

n

69.4n . Se deben utilizar 5 cifras significativas.

Desarrollo del algoritmo de bisección.

xexf x ln)(

3679.0)1(ln)1()( )1( efaf

5578.0)2(ln)2()( )2( efbf

0)()( bfaf


5.12

3

2

21

21

bax

1823.0)5.1(ln)5.1()( )5.1(

1 efxf

La raíz se encuentra en el intervalo ]5.1,1[ .

Estos resultados resumen en una tabla.

Segunda iteración ( 2i ). 1a , 5.1b .

25.12

5.2

2

5.11

22

bax

0634.0)25.1(ln)25.1()( )25.1(

2 efxf

La raíz se encuentra en el intervalo ]5.1,25.1[ .

Error absoluto de aproximación.

anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci a

5.125.1 a

25.0a

Tercera iteración ( 3i ). 25.1a , 5.1b .

375.12

75.2

2

5.125.1

23

bax

0656.0)375.1(ln)375.1()( )375.1(

3 efxf

La raíz se encuentra en el intervalo ]375.1,25.1[ .



Error absoluto de aproximación.

anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci a

25.1375.1 a

125.0a

Tabla resumen.

i ia ib ix )( iaf )( ibf )( ixf a

1 1.0000 2.0000 1.5 0.3679 –0.5578 –0.1823

2 1.0000 1.5000 1.25 0.3679 –0.1823 0.0634 0.25

3 1.2500 1.5000 1.375 0.0634 –0.1823 –6.0656 0.125

4 1.2500 1.3750 1.3125 0.0634 –0.0656 –0.0028 0.0625

5 1.2500 1.3125 1.2813 0.0634 –0.0028 0.0299 0.03125

6 1.2813 1.3125 1.2969 0.0299 –0.0028 0.0134 0.015625

7 1.2969 1.3125 1.3047 0.0134 –0.0028 0.0053 0.0078125

8 1.3047 1.3125 1.3086 0.0053 –0.0028 0.0013 0.00390625

9 1.3086 1.3125 1.3106 0.0013 –0.0028 –0.0008 0.00195313

10 1.3086 1.3106 1.3096 0.0013 –0.0008 0.0002 0.00097656

La solución de la ecuación 0ln xe x es 3096.110 x , obtenida aplicando el método de

bisección en el intervalo ]2,1[ con diez iteraciones. El error absoluto de aproximación es

4107656.9 .

Ejemplo 1.9.

Determine la raíz real de x

xxf

4.09.0)(

:

a) Analíticamente.

b) Gráficamente.

c) Empleando el método de bisección, con valores iniciales de 1 a 3.

Solución.

a) x

xxf

4.09.0)(

0)( xf

04.09.0

x

x



04.09.0 x

9.04.0 x

4.0

9.0x

25.2x

b) La gráfica de la función x

xxf

4.09.0)(

se muestra a continuación.

Figura 1.12. Solución gráfica de la ecuación

04.09.0

x

x.

La raíz de la función es aproximadamente 2.2.

c) Aplicación del método de bisección.

Desarrollo del algoritmo de bisección.

x

xxf

4.09.0)(

, 2a , 3b

05.02

)2(4.09.0)2()(

faf

1.02

)3(4.09.0)3()(

fbf

0)()( bfaf


5.22

5

2

32

21

bax



04.02

)5.2(4.09.0)5.2()( 1

fxf

La raíz se encuentra en el intervalo ]5.2,2[ .

Estos resultados se resumen en una tabla.

Segunda iteración ( 2i ). 2a , 5.2b .

25.22

5.4

2

5.22

22

bax

02

)25.2(4.09.0)25.2()( 2

fxf

Puesto que 0)25.2()( 2 fxf , se tiene que la raíz de la ecuación es 25.2x

Tabla resumen.

i ia ib ix )( iaf )( ibf )( ixf

1 2 3 2.5 0.05 –0.1 –0.04

2 2 2.5 2.25 0.05 –0.04 0

La solución de la ecuación x

xxf

4.09.0)(

es 25.22 x (exacto), obtenida aplicando el

método de bisección en el intervalo ]3,2[ con dos iteraciones.

En el ejemplo anterior hemos encontrado la solución exacta del problema aplicando

el método de bisección. Esto fue posible porque en el proceso de dividir el intervalo a la

mitad, el límite generado en la división coincidió con el valor de la raíz. Es una situación

estrictamente excepcional, y no debe considerarse como una regla.

El método de bisección por lo general es lento, y en casos como el de la siguiente

gráfica, puede ser demasiado lento.



Figura 1.13. En el intervalo ]5,0[ la aplicación del

método de bisección es lento.

En un caso como éste, el proceso de bisección comienza a acercarse a la raíz de forma muy

lenta, ya que el método solamente toma en cuenta que la raíz se encuentra dentro del

intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Sería bueno implementar un método que tome en cuenta este detalle. Esto da lugar al

siguiente método de aproximación de raíces.

Resumen del método de bisección.

a) El método de bisección encuentra una raíz de una función si se sabe que la raíz existe en

un intervalo dado.

b) Una tarea importante que se debe realizar antes de aplicar el método de bisección es

encontrar un intervalo que contenga a la raíz. La búsqueda de raíces se puede llevar a cabo

listando una tabla de valores o graficando la función en la pantalla.

Ejercicios propuestos.

11. [BF] Demuestre que 1)( 3 xxxf tiene exactamente un cero en el intervalo ]2,1[ .

Aproxime el cero con 10–2

de precisión usando el algoritmo de bisección.

12. [CC] Determine la raíz real de 7.0ln 2 x :

a) Gráficamente.

b) Usando tres iteraciones en el método de bisección con los valores iniciales 5.0a y

2b .

13. [CC] Determine las raíces reales de 7.42.24.0)( 2 xxxf :

a) Gráficamente.



b) Empleando la fórmula cuadrática.

c) Usando el método de bisección con tres iteraciones para determinar la raíz más grande.

Emplee como valores iniciales 5a y 10b . Calcule el error estimado a y el error

verdadero t para cada iteración.

14. [CC] Determine las raíces reales de 32 6572)( xxxxf :

a) Gráficamente.

b) Usando el método de bisección para localizar la raíz más pequeña. Use los valores

iniciales 0a y 1b iterando hasta que el error estimado a se encuentre debajo de

%10s .

15. [CC] Determine las raíces reales de 5432 65.094.45883.8226)( xxxxxxf

a) Gráficamente.

b) Usando el método de bisección para localizar la raíz más grande con %10s . Utilice

como valores iniciales 5.0a y 0.1b .

16. [CC] Localice la primera raíz no trivial de 2sen xx , donde x está en radianes. Use

una técnica gráfica y bisección con un intervalo inicial de 0.5 a 1. Haga el cálculo hasta que

a sea menor que %2s . Realice también una prueba de error sustituyendo la respuesta

final en la ecuación original.

17. [BF] Use el algoritmo de bisección para encontrar soluciones con una exactitud de 10–2

para 04442 234 xxxx en

a) ]0,2[ b) ]2,0[ c) ]2,1[

18. [BF] Use el algoritmo de bisección para encontrar una solución con una exactitud de

10–2

para xx tan en ]5.4,4[ .

19. [BF] Use el algoritmo de bisección para encontrar todas las soluciones de

06147 23 xxx con una precisión de 10–3

. [Sugerencia: Considere la gráfica de f ].



Figura 1.14. Gráfica de la función

06147 23 xxx .

20. [BF] Use el algoritmo de bisección para encontrar soluciones correctas a 10–5

para los

siguientes problemas:

a) 02 xx para 10 x b) 06cos22 xe xx para 21 x

c) 0232 xxe x para 10 x

21. [BF] Use el algoritmo de bisección para encontrar una solución, correcta a 10–2

para

0)(cos25.0 xx en ]5.1,5.0[ . [Sugerencia: Existen dos raíces].

22. [BF] Encontrar una aproximación de 3 correcta a 10–4

, usando el algoritmo de

bisección.

23. [BF] Encontrar una aproximación de 3 25 correcta a 10–4

, usando el algoritmo de

bisección. [Sugerencia: Considere 25)( 3 xxf .]

24. [BF] Determinar el número de iteraciones necesarias para alcanzar una aproximación

con exactitud de 10–4

a la solución de 013 xx , que se encuentra en el intervalo ]2,1[ .

Encuentre una aproximación a esta raíz con este grado de exactitud.

25. [BF] Determinar el número de iteraciones necesarias para alcanzar una aproximación

con exactitud de 10–3

a la solución de 043 xx , que se encuentra en el intervalo ]4,1[

. Encuentre una aproximación a esta raíz con este grado de exactitud.

26. [BF] Encuentre los ceros de xxxf cos10)( 2 con una precisión de 10–2

.

[Sugerencia: Considere la gráfica de f ].



Figura 1.15. Gráfica de la función

xxxf cos10)( 2 .

27. Aplique el algoritmo de bisección a la ecuación 0)2(

742

x

x usando los intervalos

]2.2,2.1[ y ]5.2,5.1[ . Explique sus resultados gráficamente.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1.6.- MÉTODO DE BISECCIÓN.

11. 3203125.17 x

12. a)

b) 0625.13 x

13. a)

b) 7811.64459895x , 7817.14459895x

c) 875.63 x

14. a)



b) 0.343755 x

15. a)

b) 0.593754 x

16.

0.8906255 x



2380.01574791)890625.0( f

17. a) Existen dos raíces; b) 1.41406258 x ; c) 1.41406257 x

18. 4.49218756 x

19. ]1,0[ : 750.5849609310 x ; 3x ; ]4,2.3[ : 3.4148437510 x

20. a) 5800.6411819417 x ; b) 0101.8293838517 x ; c) 2400.2575302117 x

21. ]1,5.0[ : 0.71093756 x ; ]5.1,1[ : 1.17968756 x

22. En el intervalo ]2,1[ , 8911.7319946214 x

23. En el intervalo ]3,2[ , 0472.9240112314 x

24. 14 iteraciones, 6411.3247680614 x

25. 12 iteraciones, 9381.3786621012 x

26. En el intervalo ]2,1[ , 5471.9689331014 x , En el intervalo ]4,3[ ,

9533.1619262614 x . Por tratarse de una función par, las otras dos raíces son:

9533.16192626x y 5471.96893310x

27. Usando ]2.2,2.1[ converge a 1.75. Usando ]5.2,5.1[ da 21 x y )2(f no está

definida.

02 metodo de biseccion

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