3.1 - 1

Medidas de posición relativa

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3.1 - 2

Las medidas de posición relativa son también llamadas cuantiles o

fractiles describen la distribución de una

variable dividiendo sus valores en cierto número de partes que son porcentualmente iguales presentaremos: los cuartiles (dividen en cuarto

partes) los percentiles (cien partes).

Medidas de posición relativa

3.1 - 3

El k-ésimo percentil de un conjunto de datos (Pk) es la observación del conjunto que divide el conjunto de tal forma que k porciento de las observaciones es menor o igual a ese valor.

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Percentiles

• Los percentiles dividen los datos ordenados en 100 partes iguales.

• Estar en el percentil 90 de un examen no significa, necesariamente, que usted obtuvo el 90% en una prueba.

• Significa que el 90% de los resultados en la prueba es menor o igual a su puntuación y el 10% es mayor o igual a su calificación en la prueba.

• Los percentiles son útiles para comparar valores.

3.1 - 4

El Graduate Record Examination (GRE) es una prueba necesaria para la admisión a muchas escuelas graduadas de Estados Unidos. La Escuela Graduada de Salud Pública de la Universidad de Pittsburgh requiere una puntuación en el GRE no menor que el percentil 70 para la admisión en su program graduada de Genética Humana (Fuente: http://www.publichealth.pitt.edu/interior.php?pageID=101.)

Interprete este requisito de admisión.

Solución:

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EJEMPLO

3.1 - 5

Determinar el percentil de un valor

Se presente una fórmula para encontrar el percentil de un valor de un conjunto de datos.

• Ordenar los datos de menor a mayor.

• x = el número de valores, contando desde la parte inferior de la lista de datos hasta, pero no incluyendo, el valor para el cual se desea encontrar el percentil.

• y = número de valores de datos que son iguales al valor para el que desea encontrar el percentil.

• n = el número total de datos.

• Calcular

• Luego, redondear al entero más cercano.

𝑥 + 0.5𝑦 𝑛

∙ 100

3.1 - 6

Ejemplo La tabla siguiente contiene 35 valores que representan los presupuestos ordenados (en millones de dólares) de una muestra aleatoria simple de películas taquilleras. Encuentre el percentil para el valor de $68 millones.

Solución:

3.1 - 7

Hallar el valor de un conjunto de

datos que representa el késimo

percentil

1. Ordenar los datos de menor a mayor. 2. Calcular la posición del valor, i ,

i=𝒌

𝟏𝟎𝟎(𝒏 + 𝟏), donde n es el número de

observaciones, y k el percentil del valor. 3. Si i NO es un entero, hallar el entero mayor y el

entero menor que i. 4. Calcular el promedio del valor en cada posición. 5. Si i es entero, entonces el valor correspondiente

a 𝑃𝑘 es valor en la posición i.

3.1 - 8

Ejemplo Encuentre el presupuesto indicado a) 𝑃70 b) 𝑃25

Solución:

3.1 - 9

Práctica 1 Se muestran las edades de 29 actores que han ganado un premio óscar, en orden de menor a mayor.

18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77

Encuentre 𝑃85.

Solución:

3.1 - 10

Práctica 2 Se muestran las edades de 29 actores que han ganado un premio óscar, en orden de menor a mayor.

18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77

Encuentre el percentil de 30.

Solución:

3.1 - 11

Los cuartiles dividen un conjunto de datos en cuartos o 4 partes iguales.

• El 1er cuartil, se denota Q1, separa el 25% inferior de los datos del 75% superior. Por lo tanto, el 1er cuartil es

equivalente al percentil 25.

• El 2do cuartil, se denota Q2, separa el 50% inferior de los datos del 50% superior. Por lo tanto, el 2do cuartil es

equivalente a la mediana.

• El 3er cuartil, se denota Q3, separa el 75% inferior de los datos del 25% superior. Por lo tanto, el 3er cuartil es

equivalente al percentil 75.

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Cuartiles

3.1 - 12 3-12

Cuartiles - resumen

•Q2 es la mediana del conjunto completo.

•Q1 (el primer cuartil) es la mediana de la mitad inferior del conjunto.

•Q3 (el tercer cuartil) es la mediana de la mitad superior del conjunto.

3.1 - 13

Se recolectó datos sobre la velocidad de vehículos que viajan por una zona de construcción en una carretera estatal, donde la velocidad máxima es 25 mph. La velocidad registrada de 14 vehículos seleccionados al azar, es la siguiente:

20, 24, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 36, 38, 39, 40, 40 Determinar e interpretar los cuartiles para la velocidad en la zona de construcción.

3-13

EJEMPLO Determinar e interpretar los cuartiles

Solución:

3.1 - 14

Interpretación:

• 25% de las velocidades son menor o igual a 28 millas por hora, y 75% son mayores que 28 millas por hora.

• 50% de las velocidades son menor o igual a 32.5 millas por hora, y 50% de las velocidades son mayores que 32.5 millas por hora.

• 75% de las velocidades son menor o igual a, 38 millas por hora, y 25% de las speeds are greater than 38 miles per hour.

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EJEMPLO Determinar e interpretar los cuartiles (cont.)

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z Score (valor estándarizado)

identifica a cuántas desviaciones estándares se encuentra un valor por debajo o por encima de la media de un conjunto

Z score (valor Z)

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Para una muestra Para una población

x – µ z =

Se redondean valores z a 2 lugares decimales

Medidas de posición: z Score

z = x – x

s

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Interpretación de valores Z

Siempre que una observación es menor que la media, la puntuación z correspondiente es negativo.

Valores ordinarios: –2 ≤ z score ≤ 2

Valores atípicos: z score < –2 ó z score > 2

3.1 - 18

Ejemplo

• Determine cuál medida es más extrema en un hombre : una altura de 76.2 in. o un peso de 237.1 lb.

• Compare estos dos valores determinando el valor z que corresponde a cada uno, si sabemos lo siguiente sobre los conjuntos a los cuales pertenecen los datos:

– Altura promedio de un hombre: 68.34 in

– Desviación estándar de las alturas: 3.02 in

– Peso promedio de un hombre: 172.55 lb.

– Desviación estándar de los pesos: 26.33 lb.

• Nota: Las alturas y los pesos se miden en escales diferentes con diferentes unidades de medida, pero podemos estandarizar los valores de los datos mediante la conversión a puntuaciones z.

3.1 - 19

Ejemplo - continuación • Altura promedio de un hombre: 68.34 in

• Desviación estándar de las alturas: 3.02 in

• Peso promedio de un hombre: 172.55 lb.

• Desviación estándar de los pesos: 26.33 lb.

Solución:

3.1 - 20

Ejemplo

A continuación se presenta una muestra aleatoria simple de puntuaciones de crédito.

714, 751, 664, 789, 818, 779,

698, 836, 753, 834, 693, 802

Basado en las estadísticas de una variable que se presentan, ¿es una puntuación de 500 un dato atípico?

Solución: