estadística - universidad tecnológica del centro · rango percentil el rango percentil (d) es la...

1

. Estadística. UNITEC Tema 4: Medidas de Dispersión y Forma Prof. L. Lugo

Estadística

Tema 4: Medidas de Dispersión y Forma

2

Tema 4: Medidas de Dispersión y Forma Prof. L. Lugo. Estadística. UNITEC

Medidas de variabilidad o dispersiónLa variabilidad o dispersión de un grupo de datos se refiere al arreglo de dichos datos en referencia a las medidas de tendencia central estudiadas en temas previos.

Por ejemplo, definimos la media aritmética como el centro de masa de un grupo de datos; sin embargo, estos datos pueden estar agrupados muy cerca de la media o tener un campo amplio de valores a derecha e izquierda de esta.

Definimos medidas de dispersión a indicadores del comportamiento de los datos; es decir, indicadores calculados sobre los datos que de acuerdo a sus valores numéricos se interpretan en términos de agrupación de los mismos.

Los mas comunes son: el rango o amplitud, la desviación cuartílica, el rango percentil, la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.

3


Rango o AmplitudEl rango o amplitud de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor mas grande y el valor mas pequeño del conjunto.

MenorValorMayorValorRango −=

Por su simplicidad, el rango proporciona una rápida indicación de la variabilidad existente entre las observaciones; sin embargo como medida de dispersión debe usarse con precaución, sobretodo si el conjunto de observaciones es grande.

4


Desviación CuartílicaLa desviación cuartílica (Q) es la distancia media entre el primer y el tercer cuartil, o entre los percentiles 25 y 75.

2PP

2QQQ 257513 −

=−

=

Q es una medida de variabilidad útil y de fácil computo. Para propósitos descriptivos es definitivamente superior al rango.

25%25%

25%25%

5


Rango PercentilEl rango percentil (D) es la amplitud entre el percentil 10 y el percentil 90, o entre los deciles 1 y 9.

191090 DDPPD −=−=

D es una medida de variabilidad un poco mas estable que el rango y un poco mas fácil de calcular que otras medidas mas usadas; sin embargo, a pesar de estas ventajas, es una medida poco empleada.

10%10%90%

6


Desviación MediaLa diferencia entre el valor de cada observación y la media aritmética se denomina desviación. La suma de las desviaciones de todas las observaciones respecto a su media es nula.

Llamamos desviación media a la sumatoria de los valores absolutos de las desviaciones de las observaciones respecto a su media dividida entre el número de observaciones.

∑=

−=n

1ii |xx|

n1DM

La desviación media nos indica la distancia promedio a la que se encuentran los valores de las observaciones a derecha e izquierda de la media aritmética. Es una medida de variabilidad mas sencilla de calcular que la desviación típica; aunque menos usada que esta última.

7


VarianzaLa varianza es la sumatoria de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto a su media dividida entre el número de observaciones o entre el número de observaciones menos una.

Cuando se calcula la varianza de toda una población o de una muestra con un número muy grande de datos, se denomina la varianza con la letra griega sigma y se divide entre el número total de observaciones. Cuando se trabaja con muestras pequeñas, la varianza se denota con la letra s y se divide entre el número total de observaciones menos una.

( )∑∑==

−−

=µ−=σn

1i

2i

2n

1i

2i

2 )xx(1n1s)x(

n1

En la práctica, estas fórmulas se reducen a:

( )1n

xn1)x(

sn

xn1)x(

2n

1ii

n

1i

2i

2

2n

1ii

n

1i

2i

2

−

−

=

−

=σ∑∑∑∑====

8


Desviación TípicaLa desviación típica o desviación estandar es la raiz cuadrada positiva de la varianza.

Tiene la ventaja, con respecto a la varianza, de que viene expresada en las mismas unidades de la variable estudiada. (la varianza se expresa en unidades cuadradas)

( )∑∑==

−−

==µ−=σ=σn

1i

2i

2n

1i

2i

2 )xx(1n1ss)x(

n1

O bien, como en el caso de la varianza:

( )1n

xn1)x(

sn

xn1)x(

2n

1ii

n

1i

2i

2n

1ii

n

1i

2i

−

−

=

−

=σ∑∑∑∑====

9


Coeficiente de VariaciónEs la razón entre la desviación típica y la media aritmética, expresada en porcentaje.

Es una medida adimensional, cuyo valor nos permite conocer cuan agrupados están los valores alrededor de la media aritmética; de acuerdo al porcentaje de la media que representa la desviación típica.

100*xsCV =

El coeficiente de variación es útil cuando se compara la variabilidad de dos o mas conjuntos de datos que difieren de manera considerable en la magnitud de las observaciones.

10


Datos AgrupadosLas expresiones dadas para la desviación media y para la varianza se modifican, para datos agrupados en tablas de frecuencia, de la siguiente manera:

( ) ( ) [ ]

( ) [ ]∑

∑∑

=

==

−−

=

−−

=−=

n

1ii

2i

n

1ii

2i

2n

1iii

f*)xx(1n1s

f*)xx(1n1sf*|xx|

n1DM

11


Forma de la gráficaDespués de trazar algunos polígonos de frecuencia, se ve que las curvas tienden a adoptar formas que pueden clasificarse en varios tipos.

Esta clasificación toma en cuenta las medidas de tendencia central y la dispersión de los datos; es decir, la forma de la gráfica depende del patrón de agrupación de los datos.

Definimos medidas de dispersión a indicadores del patrón de agrupación de los datos; es decir, indicadores calculados sobre los datos que de acuerdo a sus valores numéricos se interpretan en términos de forma de las gráficas de distribución.

Los mas comunes son: la asimetría o sesgo y la curtosis o apuntamiento.

12


Asimetría o SesgoUna distribución es simétrica si la mitad izquierda de su distribución es la imagen especular de su mitad derecha.En las distribuciones simétricas media y mediana coinciden. Si sólo hay una moda también coincideLa asimetría es positiva o negativa en función de a qué lado se encuentra la cola de la distribución.

13


Asimetría o SesgoLa media tiende a desplazarse hacia las valores extremos (colas).

Las discrepancias entre las medidas de centralización son indicación de asimetría.

14


Coeficiente de AsimetríaEs una medida adimensional que, de acuerdo a su signo, nos indica el grado de asimetría que posee una distribución. Si es negativo indica asimetría a la izquierda, si es positivo nos indica asimetría a la derecha y si es nulo nos indica que la distribución es simétrica.

El cálculo de este indicador es relativamente complejo, por lo que en la mayoría de los casos se prefiere observar la gráfica y realizar apreciaciones visuales acerca del sesgo o usar alguno de los otros dos indicadores que, aunque algo menos confiables que este, son mas sencillos de calcular.

15


Indice Basado en los Tres Cuartiles

1223 QQQQ −=−

1223 QQQQ −>−

Si una distribución es simétrica, es claro que deben haber tantas observaciones entre la que deja por debajo de sí las tres cuartas partes de la distribución y la mediana, como entre la mediana y la que deja por debajo de sí un cuarto de todas las observaciones. De forma abreviada esto es,

Distribución asimétrica positiva (figura)

1223 QQQQ −<−

Distribución asimétrica negativa

( ) ( )( ) 1

QQQQQQA1

AsimetríadeIndice

13

1223s ≤

−−−−

=≤−

16


Coeficientes de Sesgo de PearsonBasándonos en que si una distribución de frecuencias es simétrica y unimodal, entonces la media, la mediana y la moda coinciden, podemos definir otras medidas de asimetría, como son:

( )sMdx3A

sMoxA

2

1

−=

−=

Los indices anteriores se conocen como primer y segundo coeficientes de sesgo de Pearson, respectivamente.

El signo de cualquiera de los dos indicadores que usemos nos permiten concluir acerca de la asimetría; es decir, si el indicador es negativo la distribución tienen asimetría negativa y si es positivo, pues la asimetría es positiva.

17


Apuntamiento o CurtosisLa curtosis nos indica el grado de apuntamiento (aplastamiento) de una distribución

con respecto a la distribución normal o gaussiana. Es adimensional.

Platicúrtica: curtosis < 0

Mesocúrtica: curtosis = 0

Leptocúrtica: curtosis > 0

En la práctica se usa un indice mas fácil de calcular llamado coeficiente percentil de curtosis. Para la distribución normal este coeficiente vale 0,263

( )

1090

13

PP

QQ21

DQ

−

−==κ

18


Apuntamiento o Curtosis

L e p to cú rtica

138

108

102

97

92

87

82

77

72

67

62

57

52

47

42

37

32

27

16

3

Fre

cuencia

400

300

200

100

0

Platicúrtica

8481787572696663605754514845

Frec

uenc

ia

160

140

120

100

80

60

40

Mesocúrtica

9993

8985

8177

7369

6561

5753

4945

4137

3227

Frec

uenc

ia

300

200

100

0

Los gráficos siguientes poseen la misma media y desviación típica, pero con diferente grado de apuntamiento.

19


Ejemplo con datos no agrupadosDe acuerdo con la revista Informes al Consumidor en su número de febrero de 1980, las

cuotas anuales de 40 compañías para un seguro de $ 25000 para hombres de 35 años de edad son la siguientes: (en $) (Canavos, 1988. p 5)

Hallar el rango, la desviación cuartílica, el rango percentil, la desviación media, la varianza, la desviación típica, el coeficiente de variación, la asimetría y la curtosis.

112110110109107107107106

103

97

92

86

103

98

93

87

101

95

91

85

105105104103101

100100999995

9595959491

9089898782

20


Cálculo del Rango y la Desviación Cuartílica

Para calcular la desviación cuartílica necesitamos hallar el primer y el tercer cuartil.

112110110109107107107106

103

97

9286

103

98

9387

101

95

9185

105105104103101

100100999995

95959594919089898782

3082112MenorValorMayorValorRango =−=−=

5,62

5,915,1042QQQ5,104

2105104Q5,91

29291Q 13

31 =−

=−

==+

==+

=

( ) ( ) 3040431040

41

=∧=

Primero multiplicamos el total de datos por las fracciones correspondiente al primer y al tercer cuartil.

Dado que los resultados son enteros, promediamos el dato 10 con el dato 11, obteniendo el primer cuartil, y el dato 30 con el 31, obteniendo el tercer cuartil.

21


Cálculo del Rango PercentilPara calcular el rango percentil necesitamos hallar los percentiles 10 y 90.

112110110109107107107106

103

97

9286

103

98

9387

101

95

9185

105105104103101

100100999995

95959594919089898782

2187108PPD1082109107P87

28787P 10909010 =−=−==+==+=

( ) ( ) 364010090440

10010

=∧=

Primero multiplicamos el total de datos por las fracciones correspondiente a los percentiles 10 y 90.

Dado que los resultados son enteros, promediamos el dato 4 con el dato 5, obteniendo el percentil 10, y el dato 36 con el 37, obteniendo el percentil 90.

22


Cálculo de la Media Aritmética y la Desviación Media

925,97403917

40112110...868582

n

xx

n

1ii

==+++++

==∑=

[ ]

[ ] 629,6075,14...925,12925,15401xx

n1DM

925,97112...925,9785925,9782401xx

n1DM

n

1ii

n

1ii

=+++

=−=

⇒−++−+−

=−=

∑

∑

=

=

La media aritmética es la suma de las observaciones dividida entre el total de estas.

La desviación media es la suma de los valores absolutos de las desviaciones de las observaciones con respecto a la media dividido entre el total de observaciones.

23


Cálculo de la Varianza, la Desviación Típica y el Coeficiente de Variación

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) [ ] 712,611056,198...0556,1676056,253391xx

1n1s

925,97112...925,9785925,9782140

1xx1n1s

n

1i

2i

2

222n

1i

2i

2

=+++

=−

−=

⇒−++−+−

−

=−−

=

∑

∑

=

=

( ) ( ) 856,7712,61xx1n1s

n

1i

2i ==−

−= ∑

=

La varianza es la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con respecto a la media dividido entre el total de observaciones menos uno.

La desviación típica es la raiz cuadrada positiva de la varianza.

El coeficiente de variación es la razón entre la desviación típica y la media aritmética, expresada en porcentaje.

%002,8100*925,97856,7100*

xsCV ===

24


Cálculo de la Asimetría

( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( )( )( )

[ ] 098,0337,2788...67,4038856,73839

40xxs2n1n

nA

925,97112...925,9782856,7240140

40xxs2n1n

nA

3

n

1i

3i3

333

n

1i

3i3

−=++−

=−

−−=

⇒−++−

−−=−

−−=

∑

∑

=

=

( ) ( )( )

( ) ( )( ) 077,0

5,915,1045,915,985,985,104

QQQQQQA

13

1223s −=

−−−−

=−

−−−=

Calculemos, en primer lugar, el coeficiente de asimetría.

Esto indica que la distribución es ligeramente asimétrica a la izquierda. Veamos que nos dice el indice basado en los tres cuartiles. Anteriormente calculamos los cuartiles 1 y 3 y de clases previas conocemos la mediana que es el cuartil 2.

Aunque este valor es un poco mas bajo que el anterior, la conclusión a la que nos lleva es similar con respecto a la asimetría negativa de la distribución de los datos.

25



( ) ( ) 219,0856,7

5,98925,973sMdx3A

376,0856,7

95925,97sMoxA

2

1

−=−

=−

=

=−

=−

=

Calculemos ahora los coeficientes de sesgo de Pearson. En clases previas calculamos la mediana y la moda de este grupo de datos.

Los resultados son contradictorios; aunque ambos indican una distribución casi simétrica. El primer coeficiente de Pearson nos indica que la distribución es asimétrica positiva; mientras que el segundo coeficiente de Pearson nos indica lo contrario. Sabemos que la mediana esta mas cerca de la media que la moda en una distribución con baja asimetría por lo tanto deberiamos confiar mas en el segundo coeficiente; además los resultados previos se acercan mas a este.

26


Cálculo de la Curtosis

( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )[ ] ( )( )

( )( ) 937,237383939384,39245...81,64315

856,73738394140Cu

3n2n1n1n3xx

s3n2n1n1nnCu

4

n

1i

4i4

−=−++

=

⇒−−−−

−−−−−

+= ∑

=

( ) ( )309,0

87108

5,915,10421

PP

QQ21

DQ

1090

13=

−

−=

−

−==κ

Primero calculemos el coeficiente de curtosis.

Esto indica que la gráfica de la distribución es platicúrtica; es decir, sin picos pronunciados. Es una curva muy suave con apariencia de loma. Veamos el coeficiente percentil de curtosis:

Este valor nos indica que la curva es casi mesocúrtica (recordar que una curtosis de cero es un coeficiente percentil de curtosis igual a 0,263). ¿Podemos confiar en el?

27


Ejemplo con datos agrupadosPara el ejemplo de los salarios semanales de los 65 empleados de la empresa P&R hallar el rango,

la desviación cuartílica, el rango percentil, la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación, agrupándolos en una tabla de distribución de frecuencias. Construya el polígono de frecuencias y estudie la asimetría y la curtosis.

319.5295283276.75263314.1294.25282275262308293281.5272.5261

306.35292281.35272.25260.25305288281272260304287279271258

302.75286.5279271256299.5286.3279270.8255.5299286278267253

296.25286278266.75253296285277.55265252.5296284277263.5251295283.25277263250

28


Cálculo del rango y construcción de la tabla

.10Icunyclases7contablaunaconstruirpodemos,Asi705,692505,319menorvalormayorvalorRango

=≅=−=−=

En cada clase vamos a considerar incluidos los límites inferiores; y por ende, excluidos los límites superiores.

630652315310 - 3201525635305300 – 310

26501810265260 – 27044003416275270 – 28039904814285280 – 29029505810295290 – 300

250 – 260Ic

204088255xi*fiFifixi

29


Cálculo de la Desviación Cuartílica

652315310 - 320

635305300 – 310

1810265260 – 270

3416275270 – 280

4814285280 – 290

5810295290 – 300

250 – 260

Ic

88255

Fifixi

Para calcular la desviación cuartílica necesitamos hallar el primer y el tercer cuartil.

( ) ( ) 75,48654325,1665

41

=∧=

Primero multiplicamos el total de datos por las fracciones correspondientes al primer y al tercer cuartil.

Dado que los resultados no son enteros, aproximamos al dato inmediato superior. El primer cuartilcorresponde al dato 17 (segunda clase), y el tercer cuartil corresponde al dato 49 (quinta clase).

( )( )

( ) 75,2901010

4843*65

290Q25,2681010

8465

260Q 31 =

−+==

−+=

25,112

25,26875,2902QQQ 13 =

−=

−=

30


Cálculo del Rango Percentil

652315310 - 320

635305300 – 310

1810265260 – 270

3416275270 – 280

4814285280 – 290

5810295290 – 300

250 – 260

Ic

88255

Fifixi

Para calcular el rango percentil necesitamos hallar los percentiles 10 y 90.

( ) ( ) 5,5865100905,665

10010

=∧=

Primero multiplicamos el total de datos por las fracciones correspondientes a los percentiles 10 y 90.

Dado que los resultados no son enteros, aproximamos al dato inmediato superior. El percentil 10 corresponde al dato 7 (primera clase), y el percentil 90 corresponde al dato 59 (sexta clase).

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 301105

58659,0300P125,258108

0651,0250P 9010 =

−

+==

−

+=

875,42125,258301PPD 1090 =−=−=

31


Cálculo de la Media Aritmética y la Desviación Media

( ) ( ) ( )[ ]

( ) [ ] 989,1246,70...16,198651f*xx

n1DM

277,279315...877,279255651f*xx

n1DM

n

1iii

n

1iii

=++

=−=

⇒−++−

=−=

∑

∑

=

=

La media aritmética es la suma de los productos de los centro de clase por la frecuencia absoluta de clase, dividida entre la frecuencia acumulada de la última clase.

La desviación media es la suma de los productos de los valores absolutos de las desviaciones de los centros de clase con respecto a la media por las frecuencias absolutas de clase, dividida entre la frecuencia acumulada de la última clase.

( ) ( ) ( ) 77,27965

630...26502040n

fxx

n

1iii

=+++

==∑=

32


Cálculo de la Varianza, la Desviación Típica y el Coeficiente de Variación

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] [ ] 21,2473058,2482...4232,4908641f*xx

1n1s

277,279315...877,279255165

1f*xx1n1s

n

1ii

2i

2

22n

1ii

2i

2

=++

=−

−=

⇒−++−

−

=−−

=

∑

∑

=

=

( ) ( )[ ] 72,1521,247f*xx1n1s

n

1ii

2i ==−

−= ∑

=

La varianza es la suma de los productos de los cuadrados de las desviaciones de los centros de clase con respecto a la media por la frecuencia absoluta de clase, dividida entre la frecuencia acumulada de la última clase menos uno.

La desviación típica es la raiz cuadrada positiva de la varianza.

El coeficiente de variación es la razón entre la desviación típica y la media aritmética, expresada en porcentaje.

%62,5100*77,27972,15100*

xsCV ===

33


Polígono de Frecuencias: Asimetría y Curtosis

02468

1012141618

255 265 275 285 295 305 315

Salario Semanal ($)

Frec

uenc

ia A

bsol

uta

Media(279,77)

Moda(277,50)

Mediana(279,06)

ASIMETRÍA: Ligera asimetría hacia la derecha.

CURTOSIS: Ligeramente Leptocúrtica. Un pico algo pronunciado.

34



( )( ) ( )[ ]( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]( )( )( )

[ ] 205,0633,87451...643,12158172,156364

65f*xxs2n1n

nA

277,279315...877,27925572,15265165

65f*xxs2n1n

nA

3

n

1ii

3i3

333

n

1ii

3i3

=++−

=−

−−=

⇒−++−

−−=−

−−=

∑

∑

=

=

( ) ( )( )

( ) ( )( ) 039,0

25,26875,29025,26806,27906,27975,290

QQQQQQA

13

1223s =

−−−−

=−

−−−=

Calculemos, en primer lugar, el coeficiente de asimetría.

Esto indica que la distribución es ligeramente asimétrica a la derecha. Veamos que nos dice el indice basado en los tres cuartiles. Anteriormente calculamos los cuartiles 1 y 3 y de clases previas conocemos la mediana que es el cuartil 2.

Aunque este valor es mas bajo que el anterior, la conclusión a la que nos lleva es similar con respecto a la asimetría positiva de la distribución de los datos. En ambos casos coincidimos con nuestra apreciación visual.

35



( ) ( ) 135,072,15

06,27977,2793sMdx3A

144,072,15

5,27777,279sMoxA

2

1

=−

=−

=

=−=−=

Calculemos ahora los coeficientes de sesgo de Pearson. En clases previas calculamos la mediana y la moda de este grupo de datos.

Los resultados coinciden con las apreciaciones previas, ambos indican una distribución ligeramente asimétrica a la derecha.

Todos los coeficientes de asimetría que hemos usado han ratificado nuestra apreciación gráfica. En nuestro curso usaremos principalmente la gráfica para definir la asimetría y la curtosis de la distribución de las observaciones.

36


Cálculo de la Curtosis

( )( )( )( ) ( )[ ] ( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )[ ] ( )( )

( )( ) 12,1162636464308,6161842...3,24092618

72,156263646665Cu

3n2n1n1n3f*xx

s3n2n1n1nnCu

4

n

1ii

4i4

=−++

=

⇒−−−−

−−−−−

+= ∑

=

( ) ( )262,0

125,258301

25,26875,29021

PP

QQ21

DQ

1090

13=

−

−=

−

−==κ

Primero calculemos el coeficiente de curtosis.

Esto indica que la gráfica de la distribución es ligeramente leptocúrtica; es decir, con un pico algo pronunciado. Esto coincide con nuestra apreciación en la gráfIca. Veamos el coeficiente percentil de curtosis:

Este valor nos indica que la curva es casi mesocúrtica (recordar que una curtosis de cero es un coeficiente percentil de curtosis igual a 0,263). De nuevo observamos la poca confiabilidad de este indicador.

estadística - universidad tecnológica del centro · rango percentil el rango percentil (d) es la...

Documents