FUNDAMENTOS DE MECANICA DE FLUIDOSHugo Daro Pasinato Regional Acadmica Confluencia Universidad Tecnolgica Nacional - U.T.N Marzo 2008/Plaza HuinculEditorial de la Universidad Tecnolgica Nacional 2PrefacioEl material presentado aqu es una introducci on a los fundamentos de Mec anica de Fluidos. Sepresentan todos los conceptos y principios en los cuales se basan las ecuaciones, manteniendosiempre el nivel introductorio correspondiente a un curso b asico de ingeniera. Se concentra enun mismo material el estudio de la cinem atica y din amica de un uido en movimiento, hastallegar a las ecuaciones para un uido Newtoniano o ecuaciones de Navier-Stokes.Con el ordenamiento usado en este libro se supone que una vez conocidas las ecuacionesgenerales, la tarea de especializarlas a casos aplicados ayuda a jar conceptos relacionados conla fsica del problema. Se tiene sin embargo la desventaja que al presentar las ecuaciones apartir de aspectos fundamentales, sin relacionarlas con casos aplicados, los desarrollos puedenresultar algo abstractos.El objetivo es presentar un material introductorio sobre Mec anica de Fluidos para quienesnecesiten estudiar temas m as avanzados y no hayan realizado un primer curso formal. Es decirse supone que el material presentado aqu puede ser asimilado en un lapso corto de tiempo,enrelaci onconelusadoenuncursoregular. Ladistribuci ondelostemascomienzaenelCapitulos 1 con una introducci on y una revisi on de algebra vectorial Cartesiana. En el Captulo2 se progresa desde los conocimientos b asicos vistos en Fsica, hasta llegar a describir todaslas relaciones de la cinem atica de un uido en movimiento. Y por ultimo en el Captulo 3 sepresenta la din amica de un uido en movimiento, nalizando con las ecuaciones generales paraun uido Newtoniano o ecuaciones de Navier-Stokes.Indice general1. Introducci on 51.1. Orgenes de la Mec anica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Introducci on a la Mec anica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Revisi on de algebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1. Escalares, vectores y tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Operadores gradiente y divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262. Cinem atica de un uido en movimiento 292.1. Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Descripci on del movimiento de un uido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.1. Movimiento traslacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2. Movimiento rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3. Descripci on de la deformaci on de un uido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.1. Deformaci on longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.2. Deformaci on angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4. Movimiento relativo entre dos puntos de una partcula . . . . . . . . . . . . . . 482.5. Dilataci on c ubica y divergencia de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6. Teorema de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.7. Ley de conservaci on de masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55342.8. Consecuencia de la irrotacionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.9. Consecuencia de la incompresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.10. Circulaci on y el teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623. Din amica de un uido en movimiento 653.1. Ecuaci on de cantidad de movimiento integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2. Estado de tensiones en un uido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.1. Equilibrio de fuerzas en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.2. Estado de tensiones en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3. Ecuaciones diferenciales de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 823.4. Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.1. Especializaci on de las ecuaciones de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . 913.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934. Bibliografa 95Captulo 1Introducci on1.1. Orgenes de la Mec anica de FluidosA modo de introducci on se comenta algo sobre el lugar que ocupa la Mec anica de Fluidosen el cuerpo general de las ciencias y luego se hace una rese na hist orica de los orgenes de lamisma.Como punto de partida se dene a la Mec anica de Fluidos como la ciencia que estudiala cinem atica y din amica de los uidos ante la acci on de fuerzas aplicadas. Y se puede ar-mar que los conocimientos de Mec anica de Fluidos son cientcos, porque conforman teorascorroboradas por la experimentaci on.Se puede ahora dar un r apido recorrido por las diferentes ramas de la ciencia que intentanexplicarelmundomaterialenquevivimos,paraverdondeest anubicadoslosconocimien-tos correspondientes a Mec anica de Fluidos. La rama principal de las ciencias que explican elmundo material es denominada Filosofa de la Naturaleza o Filosofa Natural. Pero dado quela Matem atica como ciencia juega un rol importante en el modelado de la naturaleza, se puedehablar de un cuerpo m as amplio de la ciencia que explica el mundo material como es la FilosofaNatural y Matem atica. Existe, por otro lado, una divisi on de la Matem atica en Pura y Aplica-da. La primera comforma un cuerpo de conocimientos abstractos, que no hace necesariamentereferencia al mundo en el que vivimos. En contraste la Matem atica Aplicada es aquella partede la Matem atica orientada al estudio de los aspectos fsico del mundo real. Es decir la mismaincluye el estudio de la cinem atica y din amica de cuerpos, deformaci on de s olidos y estadstica,entre otras ciencias. Y en especial el estudio en general del movimiento, que constituye el ob-56jeto de estudio de la Mec anica. Y es en esta ultima rama de la ciencia donde reside la Mec anicade Fluidos. Es decir la Mec anica de Fluidos es una rama de la Mec anica, dentro de Matem aticaAplicada. Sin embargo a diferencia del resto de la Mec anica, la Mec anica de Fluidos estudiala materia que tiene capacidad de uir o uido. Por otra parte, ya dentro de la Mec anica deFluidos existen inumerables subdivisiones seg un el uido sea un gas, en Din amica de Gases, oun lquido, Hidromec anica, Hidr aulica e Hidroest atica. O seg un el gas en cuesti on sea el aire,tomando el nombre de Aerodin amica Experimental o Te orica. O m as expecializada a un, comoAeroespacial o Aeron autica, para hacer referencia a las ciencias sobre vuelos en la atm osfera ofuera de ella. Y quedan muchas subdivisiones sin comentar, pero esas pocas nos da una idea delo completo que es el cuerpo de conocimiento que hoy en da abarca la Mec anica de Fluidos.Adem as de ser amplio y completo el espectro de temas que estudia la Mec anica de Fluidos,existemuchariquezadeproblemasfsicos.DentrodelaMec anica, laMec anica deFluidoscompite de igual a igual frente a otras ramas de la misma como la Fsica At omica, la Mec anciaCu antica y la Relatividad, en la riqueza de fen omenos as como en el desafo que representan sucompresi on para el ser humano. Mucha de la riqueza de dichos fen omenos fsicos es explicadapor el modelo matem atico, que a diferencia de las otras ciencias mencionadas, en la Mec anicade Fluidos est a conformado por ecuaciones no lineales. De hecho uno de los fen omenos m asintrigantes y fascinantes de la naturaleza como es la turbulencia, la cual no tiene al presente unateora completa, pertenece al movimiento de los uidos.Adem as de conocer su lugar dentro de las ciencias en general, otro aspecto interesante esconocer algo de la historia de la Mec anica de Fluidos, para tener una ubicaci on en el tiempode sus conocimientos y tambi en para dar reconocimiento a los cienticos que han realizadocontribuciones a la misma. En primer lugar digamos que la historia de la Mec anica de Fluidoses paralela a la historia de la civilizaci on. Y esto ha ocurrido as dada la importancia que tienenalgunos uidos en el desarrollo de la vida, como lo es el agua, por ejemplo. Los seres humanos,animales y vegetales, por cierto, son literalmente seres basados en agua. El cuerpo humano, porcitar un caso, tiene aproximadamente un 71 % de agua, con lo cual queda en claro la impor-tancia de la misma en el desarrollo de la vida humana y de los seres vivos en general. Por esopara hacer una rese na del origen de la Mec anica de Fluidos sera necesario ir hacia atr as hastatiempos muy remotos, de los cuales no se tienen registros de ning un tipo. Sin embargo s sepueden comentar hechos m as recientes, ocurridos en alg un momento antes del a no 5000 antesde Cristo, AC, aunque en estos casos no se pueden atribuir autorias a individuos sino a toda unapoblaci on. Existen evidencias arqueol ogicas de un pueblo pacco y muy talentoso que descen-Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 7di o por esa epoca desde Asia Central hacia la Mesopotamia, es decir a la zona entre los RosTigris y Eufrates (regi on que en la actualidad corresponde a Irak). Esos registros muestran queel mismo tena suciente manejo ingenieril de los ros, como para realizar sistemas de irrigaci ony as conseguir mejorar la producci on de sus plantaciones. Se les atribuye a ellos haber realiza-do las primeras obras de lo que hoy se conoce como ingeniera hidr aulica, muy elementalespor cierto, pero muy avanzadas para su epoca. Dicho pueblo haba tambi en conseguido avancesnotablesenastronoma,queluegotransrieronalosegpciosquienesmostraronserdignoscontinuadores de dicha cultura. Uno de los usos que los egpcios hicieron de los conocimien-tos astron omicos heredados, fue denir el a no civil con una duraci on exacta de 365 das, o 12meses con 30 das cada uno, m as 5 das extras denominados sagrados. Por otro lado realizaronverdaderas obras de ingeniera en cuanto al manejo de las aguas del Ro Nilo. Algo asombrosoes saber que ellos haban relacionado el da que la estrella Sirious apareca visible en el rma-mento cada a no, con el inicio aproximado de las crecidas del Nilo. Y como se percataron de laregularidad de las mismas, para ellos el nivel del Nilo pas o a ser algo as como un calendario. Esasombroso tambi en saber, por ejemplo, que se han encontrado evidencias de tablas que dabancuenta de anotaciones o registros de los cambios de nivel del Ro Nilo ya en esa epoca. As co-mo saber que ellos habian percibido que exista una conexi on entre las estaciones del a no, elagua y el aire. Lo que podriamos denir como el inicio del estudio, si es que se puede usar esapalabra dado que no eran conocimientos ciertamente cientcos, del movimiento de los uidosque rodean la tierra.En base a lo anterior se le puede atribuir al pueblo que habit o la regi on entre los ros TigrisyEufrates,yalosegpcios,habersidolosqueiniciaroneldesarrollodelconocimientoenMec anica de Fluidos, sobre la base de la necesidad del manejo del agua.Peroparaserequitativos,porqueencienciasOccidenteavecesescribeunahist oriade-sconectadadeAsia, esimportantecomentarquealrededordel a no3000AC, enlaregi onque hoy ocupan China e India, se desarrollaron tambi en civilizaciones que haban detectadola relaci on existente entre las estaciones del a no, con el agua y el aire en la naturaleza. Por otraparte tampoco se debe olvidar que el pueblo que descendi o a la Mesopotamia, provena de AsiaCentral.En sntesis, se puede concluir que en esencia fueron las civilizaciones que se desarrollaronen las regiones que hoy en da ocupan China-India, Mesopotamia-Babilonia y Egipto las quedieronorigenaldesarrollodeconocimientosobreelmanejodelaguayporlotantodelosuidos. Y la raz on que motiv o dicho desarrollo ha sido sin dudas la importancia del agua en el8desarrollo de la vida. De donde se concluye tambi en que la historia de la Mec anica de Fluidoses en cierto modo paralela a la historia de la civilizaci on.En los casos anteriores se habla de civilizaciones que se desarrollaron en tal o cual regi on yse hace referencia a las poblaciones, porque no existen registros como para identicar quienesfueron los individuos que realizaron las contribuciones. Sin embargo para tiempos algo m asmodernos, de los cuales ya se tienen registros, se pude hablar de cientcos que han realizadocontribuciones y dar sus nombres. A modo de reconocimiento en esta rese na se citan aquellaspersonas reconocidas por sus contribuciones a Mec anica de Fluidos, hasta que fue obtenido elmodelo m as general sobre din amica de uidos conocido como ecuaciones de Navier-Stokes. Seaclara sin embargo que dicha lista puede ser sin dudas incompleta, por un lado. Por otra parte,de las contribuciones solo se comentan algunos casos muy notables, ya que mayores detallesest an fuera del alcance de este libro.Luego una lista con nombres ilustres en cuanto a contribuciones a Mec anica de Fluidospuede comenzar con Tales de Miletos, quien naci o y muri o en Grecia entre los a nos (624-546),AC, y seguir con Aristoteles quien naci o en Macedonia y murio en Grecia y vivi o entre los a nos(384-367), AC. Luego seguir con Arqumedes, quien naci o y muri o en Siracusa, Sicilia, entrelos a nos (287-212) AC; Her on de Alejandra, quien naci o en Grecia y luego emigr o a Egipto,precisamente a Alejandra, a no 260 AC, aproximadamente. Siendo los anteriores los primeroscientcos que hicieron aportes notables para esa epoca. Sin embargo luego la historia de laciencia parece haberse detenido a los inicios de la Era Cristiana.Esdecir, elnacimientodelaMec anicadeFluidosocurri obienalcomienzodelacivi-lizaci on, pero luego al inicio de la Era Cristiana, coincidente aproximadamente con la cada delImperio Romano, los avances en Mec anica de Fluidos se fueron deteniendo. El panorama gen-eral para la civilizaci on en esa epoca fue de adormecimiento. Se puede decir que la civilizaci onse detuvo, entre otras causas, por las invasiones de pueblos b arbaros del norte de Europa. Losconquistadores b arbaros no conocian sobre leyes, estado y todo lo que haba existido en Greciay Roma hasta esa epoca. Fueron quemados libros y bibliotecas completas.A un cuando fue larga, felizmente esa era de atraso y destrucci on ces o. Alrededor del naldel siglo XV , inicio del periodo conocido como Renacimiento, soplaron nuevos aires y Europacomenz o a redescubrir los conocimientos almacenados de Grecia y Roma. El lapso de tiempoentre la cada del Imperio Romano y el Renacimiento no fue sin embargo todo desolaci on yconformismo. Existiron aquellos que lucharon a lo largo de esos oscuros siglos, pero fue soloa partir de la epoca del Renacimiento, que surgieron personalidades como Leonardo de Vinci,Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 9entre otros, quienes le dieron nuevos impulsos a la ciencia.Por eso la lista de citas comenzada anteriormente puede ser seguida, sin embargo, solo de-spu es del Renacimiento, con Leonardo de Vinci, quiz a el m as importante representante de eserenacer cientco, quien naci o y vivi o en Italia y muri o en Francia entre los a nos (1452-1519).Leonardo hizo notables contribuciones a diferentes areas de la ciencia, pero especialmente aHidr aulica. Fue el quien primero realiz o un estudio, se puede decir cientco, sobre la circu-laci on del aire alrededor de la tierra o inicio de la Meteorologa. Se puede seguir con Sim onStevin quien vivi o en Suiza entre los a nos (1548-1620). Luego Galileo Galilei, quien naci o ymuri o en Italia entre los a nos (1565-1642) y es considerado el padre de la Fsica moderna en elsentido que us o la experimentaci on en forma sistem atica para corroborar teoras. EnvangelistaTorricelli, quien vivi o en Italia entre los a nos (1608-1647) y es el autor de la expresi on2ghpara la velocidad media de un chorro, dondeg es la aceleraci on de la gravedad yh la alturade la supercie libre del uido sobre el centro del oricio. Se puede seguir con Otto von Guer-icke, Alemania, (1602-1686); Bl as Pascal, Francia, (1623-1662) e Issac Newton, quien naci o yvivi o en Gran Breta na entre los a nos (1642-1727). Newton en realidad realiz o inumerables con-tribuciones a Mec anica de Fluidos y fue alguien humilde al punto que en la introducci on desu tan famoso libro Philosophice Naturalis Principia Mathematica escribi o, en otras palabras,. . . si en realidad v lejos fue porque me sub sobre los hombros de gigantes . . . , para hacer ref-erencia a los conocimientos que le habian legado cienticos como Galileo Galilei. Por ejemploa Newton se debe entre muchos otros aportes la relaci on tensi on interna en un uido = coe-ciente gradiente de la velocidad, la cual da el nombre de Newtonianos a los uidos que lacumplen como el agua y el aire. Luego de Newton se puede seguir con Daniel Bernoulli, Fran-cia, (1700-1752), quien escribi o el primer libro sobre Mec anica de Fluidos y por lo tanto muyreconocido en los libros actuales, a un cuando no es, por ejemplo, el autor de la famosa ecuaci onhoy en da conocida como Ecuaci on de Bernoulli. Leonardo Euler, quien vivi o entre los a nos(1707-83), naci o en Suiza pero desarroll o sus contribuciones en Rusia. Euler es consideradootros de los grandes contribuidores de Mec anica de Fluidos, el gran arquitecto de gran partede la matem atica que se usa actualmente y del modelo matem atico de la din amica de uidospara uidos ideales. El unico error que cometi o fue no considerar los efectos de la viscosidaden dichas ecuaciones. Luis A. Cauchy (1789-1857), quien naci o en Francia y desarroll o sustrabajos en Paris, Turn y Praga. Su contribuci on m as importante para Mec anica de Fluidoses su desarrollo para expresar el estado de tensiones en un medio continuo. Jos e Luis de La-grange, Francia, (1736-1813) fue otro de los grandes talentos con inumerables contribuciones a10Mec anica de Fluidos. Por ejemplo la ecuaci on que hoy en da se conoce como de Bernoulli, enrealidad es la integral que realiz o Lagrange de la ecuaci on de cantidad de movimiento presen-tada por Euler, para un uido sin viscosidad. Se puede luego citar a Jean DAlembert, Francia,(1717-1783),autor de la famosa paradoja de DAlembert.Dicha paradoja hace referencia ala discrepancia que encontraba DAlembert de la fuerza de un ujo de un uido ideal sobre uncilindro, con lo que el observaba en los experimentos. Y ya m as recientemente citar a Poiseuille,Francia, (1799-1869) y luego Claude Navier, Francia, (1785-1836), quien primero present o lasecuaciones conocidas como de Navier-Stokes. Es interesante comentar que Navier al presentaresas ecuaciones, consideradas una de las mayores contribuciones a la ciencia, llam o la atenci onen su presentaci on expresando que quiz a las mismas no fuesen nada nuevo, porque en realidadusaba el concepto propuesto por Newton para tratar los efectos de la viscosidad. Y nalmentesin dudas hay que citar a quien lleg o tiempo despu es a las mismas ecuaciones por un caminodiferente, Jorge Stokes, que viv o en Gran Breta na, (1819-1903). Stokes realiz o las hip otesis delas sustancias que hoy en da se modelan con las ecuaciones de Navier-Stokes. Y de ah que lasmismas reciban el nombre de Navier-Stokes.En sntesis, usando una perspectiva hist orica es interesante destacar sobre las citas anteri-ores, que existieron dos periodos de progresos bien diferenciados para Mec anica de Fluidos.Uno en los comienzo de la civilizaci on, hasta aproximadamente la cada del Imperio Romano,y otro que se inici o con el Renacimiento y que llega a nuestros das. Separados ambos por unaera de oscurantismo de aproximadamente 1.400 a nos.Paraterminarconestarese nahist orica, sinemabrgo, esimportantecomentarsobreunacierta metamorf osis que sufri o la ciencia en general en el segundo periodo. Es decir existieronciertas particularidades en el desarrollo de Mec anica de Fluidos, en el segundo periodo desdeel Renacimiento hasta nuestros das, que vale la pena comentar. En ese sentido algo que enprincipio se puede armar es que hasta el siglo XV II, el desarrollo de Mec anica de Fluidos sedio b asicamente con la acumulaci on de conocimientos originados con el menejo del agua paradiferentes usos. Sin embargo por esos a nos surgira una rama menos pr actica de la Mec anicade Fluidos, basada en supuestos un tanto idealizados de la naturaleza. Por aquella epoca enlas ciencias en general reinaba la Mec anica Cl asica de Newton. Y el demonio imaginado porRen e Descartes, losofo y cientco franc es (1596-1650), haca pensar que era posible un de-terminismo absoluto que permitira a trav es de una monta na de c alculos, s olo posibles de serrealizados por un demonio, conocer cada detalle del futuro. Un optimismo desmedido originadopor la mec anica Newtoniana.Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 11Esta visi on un tanto idealizada de la naturaleza tuvo por supuesto su correlato en el es-tudio de los uidos. Basados en el modelo de uido ideal de Roberto Boyle (1662), fsicos ymatem aticos desarrollaron la rama de Mec anica de Fluidos denominada Hidrodin amica Cl asica.Los aportes de Leonardo Euler pueden ser considerados en esa direcci on, pero para nada debeser tomado eso como un desmerecimiento de los mismos, ya que fueron de los m as importantes.Sin embargo, como fue comentado antes, el error cometido por Euler fue despreciar los efectosde la viscosidad, es decir de la fricci on interna del uido, quiz a inuenciado por el modelo deuido ideal. En particular la Hidrodin amica Cl asica no era considerada de uso pr actico por losingenieros de entonces, a no ser incorpor andole correcciones a trav es de factores. Por lo tantotodos los conocimientos desarrollados hasta entonces a trav es de los siglos, conformaban la ra-ma de la Mec anica de Fluidos denominada Hidr aulica. Esta englob o todos los conocimientoshasta ah desarrollados en el manejo del agua en canales, ros, sistemas de irrigaci on, etc, y en lamedida que el desarrollo tecnol ogico exiga dise nar sistemas de conducci on de uidos y otros,la Hidr aulica fue quien ocup o esos espacios. Sin embargo a un cuando sus f ormulas permitandise nar, sus ecuaciones o modelos matem aticos no conseguan explicar ciertos principios delmovimiento de los uidos. En contraste, mientras con la Hidrodin amica Cl asica se conseguanexplicar aspectos fundamentales, la misma no poda ser usada para el c alculo en ingeniera, ano ser usando coecientes de correcci on. La m as famosa de estas diferencias qued o registradaen la hist oria con el nombre de Paradoja de DAlembert, como fue comentado anteriormente.Es decir cuando DAlembert trataba de vericar sus c alculo experimentando con el ujo deaire sobre un cilindro, observaba que exista en realidad una fuerza de arrastre sobre el mismo,resultando para el en una paradoja que fue aclarada reci en un siglo m as tarde.En sntesis, m as que dos ramas, exista una ruptura en la Mec anica de Fluidos. La Hidr aulicacon resultados pr acticos pero con falencias en los fundamentos y la Hidrodin amica Cl asica,explicando aspectos fundametales pero fallando en los c alculos pr acticos. Para explicar comotermina esta historia, sin embargo, es necesario dar una r apida revisi on de lo ocurrido con lasciencias en general en el siglo XV III, con el nacimiento de la Termodin amica.En ese siglo ocurri o un hito importantsimo en las ciencias en general, algo que Ilya Pri-gogine, nacido en Mosc u en 1917 y Premio Novel de Qumica en 1977 por sus contribucionesa la termodin amica del desequilibrio, llam o La Nueva Alianza. En sntesis dicho hito implic o eln del optimismo determinista de Descartes y por lo tanto la reconsideraci on de la Mec anicaCl asica, con el surgimiento de la Termodin amica. Fue la necesidad de generaci on de potencia apartir del carb on, que desat o una corrida cientco-tecnol ogica que deriv o en el nacimiento de12la tecnologa del calor, con los nuevos conceptos de procesos irreversibles, fricci on, imposibil-idad de transformar toda la energa del calor en trabajo mec anico y as por delante. Todos estosavances cientcos signicaron una revoluci on, quiz a una de las m as importantes de los ultimossiglos, dentro de la ciencia en general, quit andole preeminencia a la Fsica Cl asica o Mec anicaNewtoniana y por tanto al determinismo. Todas estas adaptaciones que sufri o la ciencia, coninterpretaciones nuevas a la luz de la Termodin amica, fue denominada por Prigogine como unametamorfosis de las ciencias.Quiz aunpocoadestiempo, dentrodelaMec anicadeFluidosenparticulartambi ensevivi o la reconsideraci on de la importancia de la fricci on interna de los uidos en movimiento,es decir la importancia de la viscosidad a un para los gases como el aire. La reconsideraci onque las ecuaciones propuestas por Euler eran s olo v alidas para uidos ideales, sin rozamientos.Esto llev o a una convergencia de la Hidrodin amica Cl asica con la Hidr aulica, siendo posiblede ah en m as, explicar el origen de los coecientes que se usaban en los c alculos. Algunosde los aportes notables en esta Nueva Alianza en los uidos, fueron la teora de la capa limitedesarrollada por Prandtl(1905) y los realizados por Reynolds (1899) en Gran Breta na, quienestudi o en forma sistem atica la importancia de las fuerzas viscosas en comparaci on con las deinercia en tuberas, entre muchas otras cosas.Con esto se puede dar por terminada esta rese na. Lo que resta de historia de la Mec anicade Fluidos del siglo XX, est a casi todo relacionado con el problema de la turbulencia, el cualresulta ser el problema central sin resoluci on de Mec anica de Fluidos.1.2. Introducci on a la Mec anica de FluidosDesdeelpuntodevistadelaTermodin amicalamateriapuedeestarenestadogaseoso,lquido o s olido, siendo que a una sustancia en estado gaseoso o lquido se la denomina ui-do. Para Mec anica de Fluidos, no obstante, la denici on de uido tiene que ver con aspectosmec anicos de la materia y se dene como tal a una sustancia cualquiera que reacciona defor-mandose en forma inst antanea, ante un esfuerzo de corte por mnimo que sea. Un esfuerzo decorte es una fuerza por unidad de area o tensi on. Cuando friccionamos la manteca para luegountar una tostada, lo que aplicamos a la supercie del pan de manteca es un esfuerzo de corteo tensi on de corte. El mismo es una fuerza por unidad de area que tiende a romper la sustanciapor ser esta un s olido. Si realizamos un esfuerzo similar ahora sobre la supercie de un uido,el esfuerzo produce una deformaci on de la supercie, generando un movimiento de la sustan-Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 13cia. Por mnimo que sea dicho rozamiento sobre un uido, siempre se genera una deformaci oncontinua resultando en un movimiento. As la denici on traza una separaci on entre aquellas sus-tancias denominadas s olidos, que presentan cierta resistencia a esos esfuerzos deformandose, ylas denominadas uidos que no presentan ninguna resistencia.Denido lo que es un uido, a seguir se dene el signicado de teora del continuo. Unade las hip otesis m as importante en Mec anica de Fluidos es la de continuidad de la materia. Asimple vista el agua en un vaso se nos presenta como una masa continua, sin discontinuidades.Esta es la visi on macrosc opica de la materia. No obstante se sabe que la misma est a conformadapor mol eculas, estas por atomos y estos ultimos por partculas subat omicas, las cuales ocupanuna porci on reducida del espacio vaco. Es decir que la materia no es continua. Sin embargomuchos c alculos en ingeniera, como los relacionados con las fuerzas de arrastre de un ujosobre un cuerpo, la transferencia de calor desde un s olido hacia un uido en movimiento, entreotros ejemplos, no necesitan del detalle molecular ni at omico de la materia, sino de su efectomedio. Es decir se emplea una visi on macrosc opica de la materia, o modelo de comportamientomacrosc opico, el cual no hace referencia a la estructura molecular. A dicho modelo se lo conocecomo mec anica del continuo o teora del continuo.Figura 1.1: Denici on de la densidad de un gas en funci on del volumen.Para que dicha teora sea v alida, sin embargo, las escalas caractersticas de longitud y tiempomnimas del problema deben ser mucho mayores que las escalas moleculares de longitud ytiempo. Escalascaractersticasdelongitud, tiempo, etc, sonvaloresrepresentativosdeesasdimensiones en el problema. Cuando la escala de longitud es sucientemente grande, el n umerode mol eculas es elevado y una propiedad del uido tal como la densidad, o la presi on, etc,puede ser bien denida y su comportamiento no experimentar a variaciones relacionadas con elmovimiento molecular. En ese caso se est a dentro del rango de validez de la teora del continuo.Por ejemplo consid erese la presi on en la pared de un recipiente que contiene un gas ideal en14equilibrio termodin amico. Se sabe que la misma es la suma de las fuerzas de las colisiones de lasmol eculas en la supercie. Si observamos la presi on en una supercie muy peque na, con escalaspr oxima a las moleculares, el n umero de mol eculas ser a reducido y las colisiones denir an unapresi onofuerzaoscilantesobrelasupercie. Porelcontrario, considerandounasuperciemayor, con una escala de longitud bien superior a las distancias moleculares, el n umero demol eculasqueintervienenaumentar aylapresi onofuerzaporunidadde areaejercidaporlas colisiones de las mol eculas ser a una variable continua. Otro ejemplo es la denici on dedensidad de un gas, la cual es igual a masa/volumen. Una observaci on macrosc opica requiereconsiderar un volumen mnimo de uido para eliminar el efecto de las mol eculas individuales.Enotraspalabras, paradenirlamasaporunidaddevolumenenunpunto, ser anecesarioconsiderar un volumen mnimo que contenga un n umero sucientemente alto de mol eculas, demodo que la funci on densidad no oscile o sea discontinua. La Figura 1.1 muestra un esquemade lo que ocurrira al observar la densidad de un gas en un punto, para diferentes dimensionesdel volumen considerado en la medici on. En ese sentido resulta util saber que1mm3de aireen condiciones estandard contiene en forma aproximada 1012mol eculas, el cual es un n umerogrande lo suciente para que una propiedad resulte bien denida. Un problema en el cual seviola la hip otesis del continuo es el correspondiente al ujo alrededor de un cohete que ingresadesde la atmosfera exterior, dado que en las primeras capas de la misma el aire es enrarecido yel desplazamiento medio de las mol eculas es grande en comparaci on a la distancia mnima deinteres del cohete.En relaci on con la denici on de la continuidad de la materia comentada en el p arrafo ante-rior, conviene aclarar que en este libro se hace referencia a una porci on mnima de uido conel nombre de partcula de uido, lo cual es una idealizaci on. Esta partcula de uido para nadahace referencia a partculas elementales de la sustancia. Se hace en realidad referencia a unaporci on elemental de uido que contiene un n umero sucientemente grande de mol eculas.En sintesis en Mec anica de Fluidos se estudia todo lo concerniente a un uido en movimien-to, desde un punto de vista macrosc opico. Todas las variables, adem as de la presi on y la densi-dad comentada antes, describen comportamientos de la materia con visi on macrosc opica. Otrasvariables a ser usadas son el vector velocidad, v, aceleraci on, a, vorticidad, , entre otras, to-das variables dependientes, las cuales reciben el nombre de campos cuando son funci on de lasvariables espaciales (x, y, z) y el tiempo t, denominadas variables independientes.Por otra parte la descripci on de la cinem atica y la din amica de un uido se sintetizan conecuaciones matem aticas, que representan principios fundamentales de la naturaleza como laFundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 15segunda ley de Newton, la conservaci on de la energa, etc, dentro de la mec anica del continuo.Los principios fundamentales usados en Mec anica de Fluidos son la (i) conservaci on de masa,( ii ) la conservaci on de la cantidad de movimiento lineal y rotacional, ( iii ) la conservaci onde la energa y (iv) ley de variaci on de la entropa. Se citan los cuatro a un cuando en este librono se presentan los desarrollos que conducen a la ecuaci on de la energa ni a la segunda ley dela Termodin amica o ley de variaci on de la entropa.Los principios fundamentales en Mec anica de Fluidos, sin embargo, tienen algunas restric-ciones, es decir no son todos universales. La segunda ley de Newton por ejemplo es v alidaaplicada a un sistema inercial y para velocidades muy peque nas en relaci on a la velocidad dela luz. La ecuaci on de conservaci on de masa es v alida tambi en s olo para bajas velocidades encomparaci on a la velocidad de la luz. En contraste la ley de conservaci on de la energa s esuniversal, se verica en todos los casos. O en otras palabras, ya que es una ley experimental,hasta lo que se sabe se verica en todos los casos.Fueradeesasrestricciones,elmodelomatem aticom asgeneralenMec anicadeFluidoscorrespondienteaesascuatroleyes,nohacereferenciaauntipodesustancia. Noobstantecomo se ver a m as adelante, las tensiones y deformaciones internas de un uido son propias delmismo y para que las ecuaciones sean resolubles es necesario dar informaci on sobre el tipo deuido. A esa informaci on se la denomina ecuaciones constitutivas, porque tienen que ver con laconstituci on mec anica de la sustancia y del estado termodin amico de la misma.En sntesis, dentro de la teora del continuo la naturaleza cumple con los cuatro principiosfundamentales comentados antes, sin importar la sustancia o tipo de material estudiado. Esasson leyes generales para cualquier sustancia. Pero para formular el principio de conservaci on decantidad de movimiento para una sustancia en particular, por ejemplo agua o aire, es necesarioexpresar las fuerzas de reacci on del uido ante las deformaciones, con una ecuaci on propiapara esa sustancia. Esas reacciones o tensiones internas de la materia son funci on del tipo desustancia, ya que no toda sustancia reacciona o deforma del mismo modo. Esas ecuaciones querelacionan las fuerzas superciales con las deformaciones son leyes empricas, o responden amodelos te oricos basados en datos experimentales. Un ejemplo es la denominada ley de New-ton, que siguen sustancias como el aire y el agua denominadas uidos Newtonianos por esaraz on, que establece una relaci on lineal entre las tensiones y las deformaciones. Para otros u-idos esas relaciones llegan a ser muy complejas y son modeladas con funciones no lineales.Dichas sustancias son denominadas uidos no-Newtonianos y algunos ejemplos son el petr oleoy derivados del mismo en la industria petroqumica, en la medicina la sangre y otros uidos del16cuerpo humano y en la industria alimenticia sustancias como la miel, la mayonesa, entre otras.Bien cabe decir que mientras el estudio de los uidos Newtonianos se encuentra en un estadoavanzado dada la simplicidad del modelo, el de los no Newtonianos es tan complejo y rico enfen omenos que el mismo no est a todava sucientemente desarrollado.1.3. Revisi on de algebra vectorialUna particularidad de Mec anica de Fluidos es la necesidad de trabajar con algebra vecto-rial. Los conceptos de ujo, gradiente de un escalar, divergencia de un vector y los productosescalares y vectoriales son de uso frecuente. Esta breve revisi on tiene por objetivo recordar losmismos en el contexto de Mec anica de Fluidos, a un cuando no es completa ni general. En otraspalabras, se revisan los conceptos m as usuales sin seguir un ordenamiento y desarrollo gradualdel tema. Sin embargo en el item correspondiente a bibliografa se dan referencias de libros m asavanzados y con un desarrollo m as completo sobre el tema. Cabe tambi en aclarar y enfatizarque todo lo presentado aqu corresponde a algebra vectorial y tensorial Cartesiana. En ese sen-tido, en algebra vectorial Cartesiana existe una notaci on muy conveniente denominada indicial,la cual facilita enormemente la manipulaci on de expresiones matem aticas. Por ese motivo enesta revisi on se introduce tambi en dicha notaci on de forma muy breve y suscinta.1.3.1. Escalares, vectores y tensoresPara caracterizar un fen omeno fsico en Mec anica de Fluidos, se usan propiedades fsicas deluido y del ujo, adem as de caractersticas geom etricas. Dichas propiedades o caractersticasson las variables dependientes del problema y en general se representan con escalares, vectoresy tensores. Por otra parte cuando las mismas son funci on del tiempo y del espacio, es decir delas variables independientes, se habla de campo, por ejemplo campo escalar, campo vectorialo campo tensorial. Para una simple magnitud, como es la temperatura, basta con un escalar ocon un campo o funci on escalar para representar la temperatura en el espacio y en el tiempo.No obstante para ciertas propiedades del ujo como velocidad o fuerza, donde es necesaria unamagnitud una direcci on y un signo, se usan vectores o campos vectoriales. Y si la complejidadaumenta, como al representar la tensi on en un punto en un uido en movimiento, donde esnecesarioespecicarlosvaloresnormalesytangencialesacadaplanocoordenado, seusantensores. Los tensores m as comunes en Mec anica de Fluidos son de segundo orden los cualesFundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 17(a) (b)Figura 1.2: (a) Sistema de ejes coordenados x, y, z. (b) Sistema de ejes coordenados x1, x2, x3.tienen nueve componentes, como se ver a m as adelante.Por otra parte, para hacer referencia en general a lo que en particular se denominan es-calares, vectores o tensores, se usa la expresi on entidad vectorial. Estas entidades vectorialesse denominan de grado 0 cuando es un escalar, 1 para un vector y 2 en adelante para tensores.Y el n umero de componentes de estas entidades vectoriales est a dado por el n umero de coorde-nadas del espacio Euclidiano, elevado al grado correspondiente; ej. 30para un escalar, 31paraun vector, 32para un tensor de segundo orden, etc.En este libro se usar an letras min uscular en negritas para representar vectores y en generalmay usculas en negritas para tensores, a un cuando algunos tensores especiales como el delta deKronecker, se representan con letras griegas min usculas.El primer concepto a revisar es el de vector en el espacio. Considerando un sistema Carte-sianos de coordenadas en el espacioO123, con origenOy vectores unitarios i =(1, 0, 0),j =(0, 1, 0), k=(0, 0, 1) como base de dicho sistema, la representaci on de un vector, porejemplo del vector posici on r, es la siguiente,r = xi + yj + zk (1.1)donde(x, y, z) son las coordenadas seg un cada eje de dicho sistema, como se muestra en laFigura 1.2(a).Como punto de partida sobre notaci on indicial, digamos que otra forma de denominar losejes coordenados y la base de vectores unitarios de un sistema de coordenadas O123 es comose muestra en la Figura 1.2(b). En esa gura la base de vectores unitarios es e1=(1, 0, 0),e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1) y los ejes coordenados ahora se denominan como (x1, x2, x3).18Usando esta nueva notaci on la representaci on del vector posici on r resulta,r = x1e1 + x2e2 + x3e3(1.2)Aprovechando las dos notaciones y sistemas de coordenadas, es importante comentar queel vector r es una entidad vectorial como lo es la cantidad fsica que representa y por lo tantotendr a en cada sistemas de coordenadas, diferentes componentes, a no ser que esos sistemassean coincidentes. Pero en cada sistema el vector es exactamente el mismo. Por otro lado sedebe observar tambi en que un vector, us andolo a este como ejemplo de entidad vectorial, serepresenta a trav es de una combinaci on lineal o sumatoria de productos de escalares con losvectores unitario de la base del sistemas de coordenadas. Por ejemplo para el caso del vectorposici on r, se tienen los escalares x1, x2 y x3 representando la magnitud del vector seg un lasdirecciones de cada eje coordenado y los vectores unitarios e1, e2 y e3, seg un las tres direcciones,respectivamente.Siguiendo con la representaci on en la expresi on (1.2), la misma permite escribir el vectortambi en como,r =i=3i=1xiei(1.3)que constituye la base para introducir la notaci on indicial. Lo esencial en dicha notaci on consisteen suprimir el signo de sumatoria, es decir se escribe solo,r = xiei(1.4)y las expresiones con esta notaci on cumplen las siguientes reglas.1. Una expresi on con un ndice repetido, denominado ndice mudo, representa una sumato-ria. Dicho ndice vara a trav es de su rango 1, 2, 3 para el caso de un espacio Euclidiano.Ej. aixi=a1x1 + a2x2 + a3x3, i=1, 2, 3. O tambi en aijxixj=a11x1x1 + a12x1x2 +a13x1x3 + a21x2x1 + + a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3, i = 1, 2, 3 y j= 1, 2, 3.2. Un ndice que no es repetido en un factor es denominado ndice libre. Ej. aijbj= ai1b1 +ai2b2+ ai3b3, coni como ndice libre. Se entiende que en el espacio Euclidano dichondice puede ser 1, 2 o 3, por lo tanto se tiene una expresi on para cada valor de i.Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 193. Los ndices repetidos en una expresi on pueden tener su nombre cambiado. Ej.aijbj=aikbk.4. En algebra vectorial no tiene sentido un ndice repetido tres veces. Ej. La expresi on allbljno tiene sentido dado que se repite 3 veces el ndice l.5. El n umero de t erminos de una expresi on es igual a 3n, donde n es el n umero de ndiceslibres. Ej. aj, tiene 31t erminos; aii, tiene 30t erminos; aij, tiene 32t erminos.6. El orden del ente vectorial que representa la expresi on est a dado por el n umero de ndiceslibres de los factores. Ej. q, tiene orden 0; ai, tiene orden 1; aij tiene orden 2.En lo que resta de esta revisi on se presentar an deniciones y ejemplos tanto con notaci onvectorial ordinaria como indicial, con el objetivo de ganar cierta familiaridad con esta ultima.Continuando ahora con las operaciones entre vectores, la suma de vectores es representadadel siguiente modo en notaci on indicial,a + b = c = (a1e1 + a2e2 + a3e3) + (b1e1 + b2e2 + b3e3) = (aiei) + (biei) = ciei(1.5)con las propiedades (i) a + b = b + a; (ii)(a + b) + c = a + (b + c); (iii)a b = a + (1)b;(iv)c = a + b, donde c es un vector contenido en el mismo plano formado por a y b.El producto escalar de dos vectores, cuyo m odulo se dene como a b = |a||b|cos, donde es el angulo comprendido entre dicho vectores, se dene como,a b = (axi + ayj + azk) (bxi + byj + bzk) = axbx + ayby + azbz(1.6)con las siguientes propiedades: (i) si se multiplican vectores perpendicualres entre s a b = 0;(ii) al multimplicar un vector a por un vector unitario n se obtiene la proyecci on del vector enla direcci on del vector unitario, a n = |a|cos ; (iii)a b = b a.As el producto escalar entre vectores resulta en un escalar dado que al multiplicar miembroa miembro todas las componentes, solo resultan los escalares diferentes de cero de los siguientesproductos i i=1, j j=1 y k k=1. Se puede tambi en decir que el producto escalar entrevectores da como resultado un escalar igual a la suma de los elementos de la diagonal principal,de la matriz formada por las 9 combinaciones que resultan del producto de las componentes delos vectores.20Usando ahora la notaci on indicial el producto escalar es,a b = (a1e1 + a2e2 + a3e3) (b1e1 + b2e2 + b3e3) = aibi(1.7)donde otra vez por ser los ejes multualmente ortogonales, los unicos factores diferentes de ceroson aquellos con los productos e1 e1= 1, e2 e2= 1, e3 e3= 1.Luego en general para la base los productos escalares resultan,ei ej=

1 cuando i = j,0 cuando i = j.(1.8)Es decir que el producto ei ej, con i=1, 2, 3 y j=1, 2, 3, ordenados en forma matricialforman la matrz unidad,[ei ej] =

1 0 00 1 00 0 1= [ij] = I (1.9)donde I es el tensor identidad o unidad, cuyas componentes coinciden tambi en con las del tensor[ij] denominado delta de Kronecker, el cual es un tensor de segundo orden con la siguientedenici on,ij=

1 cuando i = j,0 cuando i = j.(1.10)o 11= 22= 33= 1 mientras que 21= 12= 13= 31= 23= 32= 0.El tensor delta de Kronecker es de suma utilidad en el desarrollo de expresiones algebraicasvectoriales. Ej. aj1j= a1; T2mmj= T2j; Timmj= Tij; (P/xi)1i= (P/x1), donde enesta ultima Tij es un tensor de 9 componentes.Usando ahora las propiedades del producto escalar entre vectores se dene el m odulo r deun vector r, como la raz cuadrada del producto escalar, r = (r r)1/2= (riri)1/2.Es importante remarcar que en las operaciones algebraicas entre entes vectoriales, se tienela operaci on entre la parte escalar de las componentes y la operaci on entre la parte vectorialde las mismas. Ambas partes tienen propiedades diferentes. Por ejemplo al multiplicar en for-ma escalar dos vectores se tiene el siguiente factor(a2e2 b2e2), que debe entenderse comoFundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 21(a2b2 e2 e2), donde el producto entre los escalares a2 y b2 tiene las propiedades del productoque conocemos de Aritm etica (propiedades conmutativa, asociativa, etc.), mientras que el pro-ducto escalar entre los vectores e2 e2 debe realizarse con las reglas del producto entre vectores,escalar en este caso. Este concepto se debe generalizar para todas las operaciones algebricasentre entes vectoriales.El otro producto que le sigue en importancia al escalar es el producto vectorial entre vectoresa b, el cual da como resultado otro vector, c. Las propiedades del producto vectorial son: (i)no es conmutativo, ab = ba; (ii) el m odulo del vector resultante es |c| = |a||b|sen ; (iii)la direcci on del vector resultante es normal al plano denido por los vectores a y b y el sentidose corresponde con la regla de la mano derecha; (iv) el m odulo del vector resultante |a||b|sen es tambi en el area del paralelograma formado por los dos vectores a y b.Un procedimiento para obtener las componentes del vector c resultante es a trav es de laresoluci on del determinante,a b = c =

i j ka1a2a3b1b2b3(1.11)Por otra parte los productos de la base en la notaci on indicial, usando la regla de la manoderecha, son e1e2= e3; e2e3= e1; e2e1= e3; e3e2= e1. Se introduce ahora elsmbolo de permutaci onel cual es de mucha utilidad para el c alculo de dichas componentes.El mismo tiene tres subndices y es denido como,

ijk=

0 si dos cualquiera de los subndices i, j, k son iguales,1 si ijk es una permutaci on par de 1,2,3,1 si ijk es una permutaci on impar de 1,2,3.(1.12)es decir que,

123= 231= 312= 1, y en contraste 321= 213= 132= 1, por otro lado 113= 212=

322= = 0. As como tambi en ijk= jki= kij, o tambi en ijk= jik= ikj= kji.Usando ahora el smbolo de permutaci on el producto vectorial de los vectores unitarios dela base e1; e2; e3 se dene como ei ej=ijkek. Este smbolo permite por tanto simplicar elc alculo de las componentes del producto vectorial entre vectores. As la denici on del productovectorial entre dos vectores a y b cualquiera resulta,22a b = ijkaibj ek(1.13)donde la expresi on (1.13) representa una sumatoria con 27 elementos debido a que existen trespares de subndices, al estar repetidos i, j y k; luego se deber a hacer variar los subndices ijkentre los valores 1, 2 y 3 en loops anidados. Sin embargo una regla pr actica que permite obtenerlas componentes del vector resultate en forma m as directa que considerar las 27 posibilidades,resulta de considerar solo aquellos t erminos para los cuales el signo de permutaci on es diferentedeceroyalavezagrupandolosescalaresquecontribuyenalamismadirecci on. Enotraspalabras,ijkaibjek=(123a1b2+ 213a2b1)e3+ (132a1b3+ 312a3b1)e2+(321a3b2+ 231a2b3)e1, sustituyendo luego los valores del signo de permutaci on deacuerdo a la denici on dada antes.Existe un tercer producto entre vectores denominado producto diada, cuyo resultado es untensor de segundo orden y se representa simplemente como ab o en funci on de sus componentescomo aibj. En notaci on matricial este producto es representado como,ab = [aibj] =

a1b1a1b2a1b3a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b3(1.14)Un ejemplo en Mec anica de Fluidos de este tensor es el producto del vector velocidad vv enel t erminos convectivo de la ecuaci on de cantidad de movimiento en forma vectorial, cuando seescriben las ecuaciones en forma divergente, como se ver a en el Captulo 3.1.3.2. Operadores gradiente y divergenciaAl smbolo , denominado nabla, se lo usa para representar un operador vectorial derivada,que en coordenadas Cartesinas tiene la siguiente forma, =xi +yj +zk (1.15)y en notaci on indicial, =x1e1 +x2e2 +x3e3=xiei(1.16)Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 23El operador vectorial nabla no puede aparecer solo en un expresi on matem atica, sino operan-do sobre un campo escalar, un campo vectorial o un campo tensorial. Y la operaci on que realizaes obtener la derivada de dicho campo.La forma m as simple de obtener la derivada de un ente vectorial es a trav es del productosimplede conelentevectorial. Enestecasoaloperadorselodenominagradiente. Porejemplo en = grad() como gradiente de un escalar o en v = grad(v) comogradiente de un vector.Una forma de comprender el concepto de gradiente de un campo escalar es a trav es de laderivada direccional. Considerando la densidad de un uido como ejemplo de campo escalar(x1; x2; x3; t) y el vector unitario n, la derivada en la direcci on del vector unitario n resulta,n= n (1.17)donde en la ecuaci on (1.17) el operador nabla obtiene la derivada del campo escalar , resul-tando en un vector denominado gradiente de , el cual luego es proyectado en la direcci on delvector unitario n a trav es del producto escalar de este con el vector gradiente. Y el resultadonal es el escalar conocido como dervidad direccional.Por otro lado es importante observar que al ser el gradiente de un campo escalar, un vectorformado por la derivada de dicho campo, el mismo tiene la direcci on de la m axima variaci on delmismo. En otras palabras, el vector gradiente es normal a las supercies formadas con valoresconstantes del campo escalar.Luego el gradiente de un escalar es la operaci on m as simple de este operador derivada y elresultado es un vector. Un ejemplo frecuente en Mec anica de Fluidos lo constituye el gradientede presi on. La presi on est atica Pes un campo escalar, como se demostrar a m as adelante, y eloperador gradiente sobre la presi on dene el vector gradiente de presi on, el cual representa unafuerza,grad P= P=Pxi +Py j +Pz k (1.18)donde en la ecuaci on (1.18) grad Pes un vector representando la fuerza (en realidad la fuerzaes igual gradP) que act ua sobre el uido debido a la variaci on de Pen el espacio. Existenotros muchos ejemplos de gradiente de escalares deniendo ujos de propiedades, los cuales sonvectores, con signicado fsico de importancia en Mec anica de Fluidos. De hecho el transporte24difusivo de una propiedad se modela con un coeciente de transporte que multiplica el gradientede la propiedad. Ej. la Ley de Fourier, q = k grad(T), donde q es el vector que representael ujo de calor por unidad de tiempo y area, [W/m2]. Otro ejemplo importante en Mec anicade Fluidos lo constituye el gradiente de la velocidad, grad(v). En primer lugar porque comose ver a en el Captulo 2, toda la informaci on sobre la cinem atica de un uido en movimientopuede ser extrada de dicho gradiente. Y tambi en porque muestra que cuando se le aplica elgradiente a un campo vectorial, en forma an aloga que al aplicarlo al campo escalar, el entevectorial resultante tiene un grado superior al campo derivado. En otras palabras el gradienteeleva en 1 el grado del ente vectorial. Al aplicarlo a un escalar se obtiene un vector y al hacerloa un vector se obtiene un tensor de segundo orden y as por delante.Luego el gradiente de la velocidad en notaci on indicial es,v = grad (v) = [uixj] =

u1/x1u1/x2u1/x3u2/x1u2/x2u2/x3u3/x1u3/x2u3/x3(1.19)Otra forma de aplicar el operador derivada es haciendo un producto escalar de con unvector o tensor. Dado que el es un vector y que el producto escalar solo es aplicable entrevectores o entre un vector y un tensor, no existe la divergencia de un escalar. El ejemplo m asfrecuente en Mec anica de Fluidos de dicha operaci on es la divergencia del vector velocidad. Enese caso la operaci on es,div(v) = v = (xi +yj +zk) (ui + vj + wk) =ux+vy+wz(1.20)Si en cambio se usa notaci on indicial la divergencia de la velocidad resulta,div(v) = (x1e1+x2e2+x3e3) (u1e1+u2e2+u3e3) =u1x1+ u2x2+ u3x3=uixi(1.21)Otro ejemplo de uso en Mec anica de Fluidos es la divergencia del gradiente de un escalar.En ese caso en notaci on vectorial, tomando al escalar como siendo la temperaturaT, resulta T = 2T. Es decir que la divergencia del gradiente de un escalar resulta ser el operador2, conocido como Laplaciano de un escalar.Un teorema de uso frecuente en el cual interviene el operador divergencia en un integrando,es el teorema de la divergencia. El mismo establece que si v es un campo vectorial con primerasFundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 25derivadas continuas en todos los puntos de una regi on en el espacioV C, contornado por lasupercie SV C, luego,

V Cdiv (v) dV=

SV C(v n) dS (1.22)donde dVy dS son elementos de area y de volumen, respectivamente, y n es un vector unitarionormal externo a SV C. Usando notaci on indicial el teorema anterior es,

V C(vixi)dV=

SV C(vini) dS (1.23)Otra aplicaci on del operador derivada es el producto vectorial del mismo con un vector,denominado rotor de un vector. Y otra vez es el rotor de la velocidad un ejemplo pr oximo, cuyaoperaci on es,rot v = v = (xi +yj +zk) (ui + vj + wk) (1.24)de forma que usando,rot v =

i j k/x /y /zu v w= (wy vz)i + (uz wx)j + (vx uy)k (1.25)el cual tambi en puede ser calculado usando notaci on indicial y el operador permutaci on, seg unla denici on en la ecuaci on (1.13),v = ijkvjxiek(1.26)Con este tema y la siguiente lista de ejercicios se considera cerrada esta breve revisi on sobre algebra vectorial Cartesiana.261.4. EjerciciosPuede ocurrir que para resolver algunos de los siguientes ejercicios, sea insuciente la teorasobre notaci on indicial presentada arriba.1. Demostrar que a)ii= 3; b)1mam= a1; c)immj= ij.2. Demostrar que a) ijm

klm= ikjliljk.3. Considerando los vectores a = (1; 2 : 0) y b = (2; 1; 1) obtener el producto vectoriala b usando notaci on indicial. Respuesta c = (2; 1; 5).4. Demostrar que (a) = 0 usando notaci on indicial.5. Demostrar que () = 0, donde es un campo escalar.6. Demostar que () = 0, donde es un campo vectorial.7. Demostrar que a b = (ab)I, donde I es la matriz identidad.8. Demostrar usando notaci on indicial que para un escalar Tresulta T = 2T.9. Dado el siguiente campo vectorial a = (6x2)i + (6y)j 7zxk, obtener la divergencia enel punto (10; 6; 1).10. Dado el siguiente campo vectorial b=10x2yi + 20(yz + x)j + 13k, obtener el rotor enel punto (6, 1, 2).11. Considerando el siguiente campo escalar = 10x2y+3zxy, obtener el m odulo del vectorgradiente en el punto (0, 1, 2).12. Considerando el siguiente campo escalar = xy +z, obtener el vector unitario normal ala supercie determinada por = constante que pasa por el punto (2, 1, 0).13. Si la expresi on q = k permite calcular el ujo de calor, donde = 2(x2+ y2) es latemperatura, y k la conductividad t ermica, a)hallar el ujo de calor en los puntos (1, 0) y(1, 1), b)trazar curvas de = constante y trazar los vectores de ujos de calor en los dospuntos.14. Dado el siguiente campo vectorial v=(x2y)i + (xyz)j y2zk, obtener el gradiente dedicho campo en el punto (1; 0; 2).Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 2715. Dada la siguiente matriz,[Sij] =

1 0 20 1 23 0 3evaluar Sii; b)SijSij; c)SjkSjk.28Captulo 2Cinem atica de un uido en movimiento2.1. Introducci onEn este Captulo se presenta la cinem atica de un uido en movimiento. Cuando hablamosde cinem atica hablamos de movimiento y entonces lo que se presenta son las descripciones delos diferentes tipos de movimientos de una partcula de uido y temas relacionados como laecuaci on de conservaci on de masa, operador derivada sustancial o total y teorema de transportede Reynolds.Figura 2.1: Lneas de corriente describiendo el movimiento de un uido en el espacio.Para hacer referencia al espacio fsico se usan las variables x,y,z, Figura 2.1, para los tres ejesde coordenadas cartesianos y t para el tiempo. As se tienen las cuatro variables independientesx,y,z,t, en funci on de las cuales se denen las dependientes como velocidad v(x, y, z, t) y presi onP(x, y, z, t), entreotras. Enparticularlavelocidadylapresi onsondenominadasvariables2930primarias, ya que existen otras variables dependientes como la vorticidad (x, y, z, t), etc, quepueden ser derivadas de las anteriores. Y por ese motivo son denominadas secundarias. Luegola cinem atica consiste en detallar paso a paso como se denen todas las variables que denen elmovimiento y la deformaci on de un uido.Para hacer referencia al uido se considera una partcula del mismo, tal como fue deni-da anteriormente. Es decir por partcula de uido se entiende un conglomerado sucientementegrande de mol eculas, de forma que se puedan denir apropiadamente las variables como veloci-dad, densidad, etc, en un punto del espacio. Y una forma conveniente de imaginar una partculadel mismo, es con forma c ubica porque facilita su estudio usando ejes cartesianos y en dostiempos sucientemente pr oximos, de tal forma que la misma no se llegue a desintegrar desdeun punto de vista macrosc opico.En primer lugar, partiendo de los conceptos vistos en Fsica, se considera el movimientode una partcula o cuerpo rgido en relaci on a un sistema de coordenadas en el espacio. Estapartculatieneseisgradosdelibertaddemovimiento.Esdecirpuededesplazarseenformarectilinea seg un los tres ejes {x, y, z} y tambi en puede girar alrededor de los mismos. Luegotodo movimiento de un cuerpo rgido puede ser descompuesto seg un esos seis movimientossimples. As se tiene,movimiento de cuerpo rgido = traslaci on seg un {x,y,z} + rotaci on seg un {x,y,z}Hasta ah los grados de libertad de movimientos posibles de una partcula rgida. El nuevofen omeno a considerar al analizar el movimiento de una partcula de uido es la deformaci on.De los cursos de Fsica se sabe que las mol eculas pueden tener solo una determinada distribu-ci on dentro de un cuerpo en estado s olido. Si queremos modicar esa distribuci on aplicandouna determinada fuerza, el cuerpo rompe cuando la fuerza excede alg un limite. En contraste,los uidos no tienen esa restricci on al movimiento relativo de las mol eculas, con lo cual, porejemplo, adoptan la forma del recipiente que los contienes. Es decir modican su forma o de-forman ante un esfuerzo por mnimo que sea. Sin embargo la deformaci on es una propiedadfundamental de los uidos, la cual requiere tambi en un nivel mayor de detalle para describir elmovimiento del mismo.Un experimento sencillo (que podemos hacer tambi en en forma imaginaria) que permitecomprender esta propiedad de un uido, consiste en usar un vaso con miel y dibujar con alg unotro uido con diferente color, un cuadrado sobre su supercie simulando ser una partcula deuido. Si luego se mueve la miel en la parte exterior del cuadrado con alg un objeto, el uidoFundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 31se deforma transmitiendo parte de esa deformaci on a la partcula de uido. Si el movimien-toquerealizamospr oximodelcuadradoesencirculos,veremosquedeformanlos angulosoriginalmente rectos. Si el movimiento en cambio es rectilineo hacia afuera, el cuadrado seelongar a tendiendo a un rect angulo. Ese experimento imaginario da una idea del concepto dedeformaci on de una partcula de uido.La deformaci on del uido puede ser cuanticada en funci on del movimiento relativo entredos puntos sobre una partcula del mismo. Por ejemplo podemos considerar los puntos extremosde uno de los lados de la partcula dibujada sobre la miel en el experimento de arriba y calcularla deformaci on de ese segmento. Es necesario tambi en decir que en realidad lo que se debecuanticar es la deformaci on especica en funci on del tiempo, [deformaci on/(longitud original tiempo], o velocidad de deformaci on especica.Luego,ensntesis,alpasaraconsiderarunapartculadeuidoenvezdeunapartculas olida, hay que agregar a los grados de libertad de movimiento de la partcula s olida, la defor-maci on que sufre el uido al moverse. Y como al movimiento relativo entre dos puntos sobreuna partcula de uido se lo puede descomponer en movimientos simples, tambi en la defor-maci on es descompuesta en deformaciones simples, seg un el movimiento sea rectilineo o rota-cional. As se habla de deformaciones longitudinales seg un {x,y,z} y deformaciones angularescon centro en esos ejes, o en los planos {xy}, {xz} y {yz}. En otras palabras, existe una sumade efectos cinem aticos, los originales de un cuerpo rgido m as las deformaciones del uido.Luego, los grados de libertad al movimiento de un uido pueden ser descompuestos en losgrados de libertad de un cuerpo rgido m as los correspondientes a las deformaciones,movimiento de un uido = movimiento de cuerpo rgido + deformacionesdonde los grados de libertad a la deformaci on se descomponen en,deformaciones = longitudinales en x,y,z + angulares en torno de x,y,z.As se deben describir los siguientes cuatro fen omenos, traslaci on en x,y,z + rotaci on entorno de x,y,z + deformaciones longitudinales en x,y,z + deformaciones angulares en torno dex,y,z.Las Figuras 2.2(a), 2.2(b), 2.3(a), y 2.3(b), presentan esquemas con el signicado de traslaci on,rotaci on y deformaci on longitudinal y angular en relaci on al eje de coordenbadas z.Con los conceptos introducidos antes en cuanto a separar la descripci on del movimiento enmovimiento de traslaci on y de rotaci on y luego las deformaciones en longitudinales y angulares,32(a) (b)Figura2.2:Partculadeuidoent,lineas olida,yent + t,lineadetrazos,conmovimiento(a)traslacional; (b) rotacional.(a) (b)Figura 2.3:Partcula de uido ent, linea s olida, y ent + t, linea de trazos, con deformaci on (a)longitudinal ; (b) angular.Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 33a seguir se presenta la descripci on del movimiento traslacional o lineal, luego del movimientorotacional y por ultimo las deformaciones logitudinales y angulares.2.2. Descripci on del movimiento de un uidoEn este itemse describe el movimiento de un uido descomponiendo al mismo en movimien-tos simples seg un los ejes coordenados. Antes de siguir, sin embargo, es necesario determinarun m etodo para describir esos movimientos. En otras palabras, cuando en Fsica se describeel movimiento de un cuerpo rgido, se lo hace siguiendo al cuerpo a trav es del espacio. Sinembargo,dadoqueunuidoest aconformadoporunmediocontinuoconinnitaspartcu-las, en algunos casos es conveniente describir su movimiento en funci on del movimiento departculas que pasan por un punto jo del espacio. As existen dos posibilidades, (i) describir elmovimiento de partculas que pasan por un determinado punto del espacio, denominado Euleri-ano o espacial, o (ii)describir el movimiento de una partcula a trav es del espacio, denominadoLagrangiano o material. (i) y (ii) son m etodos alternativos. Luego se puede:(i)Realizar una descripci on del movimiento de un uido tomando como marco de referenciael espacio fsico y describir el movimietno de todas las partculas que est an pasando por unpunto gen erico a lo largo del tiempo. Por ejemplo, para expresar la velocidad del uido se hacereferencia a la velocidad que tienen las partculas que pasan por un punto P(x,y,z). Luego lamisma se escribe como v(x,y,z,t) en el punto P(x,y,z). La velocidad aparece tambi en en funci ondel tiempo porque las velocidades de las diferentes partculas que pasan por ese punto puedenser diferentes. Esta es la descripci on espacial o Euleriana. Si se describe la velocidad de losvehculos que circulan por una autopista usando este m etodo, v(x,y,z,t) describe las velocidadesde los mismos en un punto jo en un carril a lo largo del tiempo.(ii)El segundo m etodo consiste en describir el movimiento del uido usando como marco dereferencia las diferentes partculas. Es decir la velocidad corresponde a la de una partcula es-pecca del uido v(x0, y0, z0, t) a trav es del espacio. Se sigue a la partcula de inter es a lo largodel espacio. Las coordenadas (x0, y0, z0) son, por as decirlo el nombre de la partcula, dado quecorresponden al punto del espacio en el cual se encontraba la misma en t=0. Esta es la descrip-ci on material o Lagrangiana. Haciendo referencia al ejemplo de arriba, ahorav(x0, y0, z0, t)describe la velocidad de un vehculo en particular a trav es de la autopista a lo largo del tiempo.En sntesis, las decripciones espacial y material dicen del marco de referencia que se usa34para expresar el movimiento. Un punto jo en el espacio o una partcula ja de uido. Si en vezdel movimiento se quieren describir las propiedades del uido como la densidad, presi on, entreotras, las mismas pueden ser descriptas tambi en seg un uno de los dos m etodos. Sin embargodado que los problemas m as usuales en Mec anica de Fluidos conviene estudiarlos usando unadescripci on espacial, en este libro se usa solo esa discripci on. Existen problemas como el c aculodel ujo de sustancias en diferentes fases, por ejemplo de burbujas de un gas en un lquido,dispersi on de un contaminante en otro uido, entre otros casos, a los cuales puede resultar m asconveniente estudiarlos usando la descripci on material o Lagrangiana.2.2.1. Movimiento traslacionalDelmovimientolinealdeunapartculadeuidoseestudialavelocidadv(x, y, z, t),lacual tiene componentes ui + vj + wk y la aceleraci on a(x, y, z, t), la cual tiene componentesaxi +ayj +azk usando notaci on Cartesiana convencional. O v = u1e1 +u2e2 +u3e3=uieiy a = a1e1 + a2e2 + a3e3=aiei usando notaci on indicial.El m etodo de descripci on es el Euleriano. Sin embargo, dado que el uido est a en movimien-to la velocidad y la aceleraci on se calculan siguiendo a las partculas de uido y luego se lasdescribe en un punto jo del espacio. Este c alculo puede ser explicado con la ayuda de la Figu-ra 2.4, la cual presenta en 2 dimensiones las lineas trayectorias de un ujo. El punto gen ericodonde se desea calcular la velocidad en ese ujo es P(x, y). Y el c alculo se hace siguiendo lapartcula de uido que en t = 0 estuvo en P(x0, y0) y que en el tiempo t pasa por P(x, y) (porsimplicidad la gura presenta una situaci on bidimensional, no obstante al desarrollo se lo haceen el espacio). El vector posici on del punto gen erico P(x, y, z) es,r = xi + yj + zk (2.1)Por otro lado las ecuaciones param etricas de la trayect oria de la partcula que ent =0estuvo en P(x0, y0, z0) son,Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 35Figura 2.4: Lneas trayectorias de un uido en movimiento en el plano x y, donde el punto P(x0, y0)corresponde a la posici on de la partcula en el tiempo 0 y P(x, y) a la posici on de la misma en el tiempot.x = x0 +

t0u(x0, y0, z0, )dy= y0 +

t0v(x0, y0, z0, )d (2.2)z= z0 +

t0w(x0, y0, z0, )ddonde representa el tiempo. Estas ecuaciones describen las trayectorias de la partcula en cadauno de los ejes coordenados. Como esas trayectorias son funci on del espacio y del tiempo, lasecuaciones (2.2) tambi en pueden escribirse en forma gen erica simplemente como,x = x(x0, y0, z0, t), y= y(x0, y0, z0, t), z= z(x0, y0, z0, t) (2.3)Si en las ecuaciones (2.3) los valores x0, y0, z0 varian, cambia la partcula a la cual se hacereferencia. Si en cambio esos valores se jan,xx0,y0,z0= x(t), yx0,y0,z0= y(t), zx0,y0,z0= z(t) (2.4)se est a siguiendo a una partcula y la unica variable independiente es el tiempo. Luego paraseguir una partcula con el radio vector posici on r(x, y, z), ecuaci on (2.1), basta con sustituirlas coordenadas espaciales x, y, z del mismo con las ecuaciones (2.4), el cual resulta,36rx0,y0,z0(t) = xx0,y0,z0(t)i + yx0,y0,z0(t)j + zx0,y0,z0(t)k (2.5)donde la unica variable independiente es t y r apunta a la partcula a lo largo del tiempo descri-biendo su trayectoria. Por lo tanto con la ecuaci on (2.5) se puede denir la velocidad obteniendola derivada en relaci on al tiempo del vector rx0,y0,z0(t) manteniendo los valores x0, y0, z0 con-stantes,drdt|(x0,y0,z0)= v(x0, y0, z0, t) =dx(t)dt|(x0,y0,z0)i +dy(t)dt|(x0,y0,z0)j +dz(t)dt|(x0,y0,z0)k (2.6)dondelamismaexpresalavelocidaddelapartculaqueenel tiempotest apasandoporP(x, y, z). Sustituyendo dx/dt = u, dy/dt = v y dz/dt = w en la ecuaci on (2.6) se tiene,v(x0, y0, z0, t) = ui + vj + wk (2.7)Y para recuperar la descripci on espacial de la velocidad, es decir tener la velocidad en unpunto jo del espacio a lo largo del tiempo, se sustituye x0, y0, z0 en la ecuaci on (2.7) por x, y, zusando ecuaci on (2.3) donde se han explicitado x0, y0, z0, con lo cual se tiene,v(x, y, z, t) = ui + vj + wk (2.8)Aslaecuaci on(2.8)describelavelocidaddelasdiferentespartculasquepasanporelpunto P(x, y, z) a lo largo del tiempo. Esta es la forma usual de velocidad con descripci on Eu-leriana o espacial. Todo el procedimiento seguido para obtenerla tuvo como objetivo explicar elconcepto. Como se ver a luego de presentar la aceleraci on, en la pr actica se usa un operador de-nominado derivada sustancial o derivada material, D/Dt, que realiza el c alculo de una derivadaen relaci on al tiempo de una funci on cualquiera de una partcula de uido, manteniendo con-stante las coordenadas (x0, y0, z0). Siendo el resultado una funci on con descripci on espacial oEuleriana. El nombre de derivada sustancial o material se reere justamente a que sigue a unapartcula. Sobre este tema se volver a m as adelante.Asociados a la funci on velocidad existen algunos conceptos como los de linea trayectoria,que ya fue presentado antes, siendo la linea que describe la trayectoria de una partcula y lineade corriente la cual se dene como la curva tangente al campo de velocidad en cada punto. Unejemplo de lineas de corriente se tiene en la Figura 2.1.Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 37Ahora se puede denir la aceleraci on la cual es la variaci on en relaci on al tiempo de lavelocidad. Aestec alculootravezselohacesinhacerusodeloperadorderivadamaterial,D/Dt, sino en forma detallada como fue realizado el de velocidad. Por tanto es necesario otravez usar la descripci on material usada antes, con la cual se puede seguir a una partcula. Esdecir se parte de la ecuaci on (2.8) y se realiza la transformaci on de las variables x, y, z con laecuaci on (2.3). As la aceleraci on resulta, usando la regla de la cadena en la funci on velocidad,derivando primero en relaci on ax y esta en relaci on al tiempo manteniendo jo los valores(x0, y0, z0) como,dvdt|(x0,y0,z0)= a(x0, y0, z0, t) =vxdxdt|(x0,y0,z0)+vydydt|(x0,y0,z0)+vzdzdt|(x0,y0,z0)+vt(2.9)transformandoahoraotravezusandolaecuaci on(2.3)yempleandotambi endx/dt =u,dy/dt = v, dz/dt = w se tiene,a(x, y, z, t) = uvx+ vvy+ wvz+vt(2.10)El c alculo de la velocidad y la aceleraci on arriba son algo complicado, dado que se de-scriben propiedades de un medio que est a en movimiento y se lo hace en un punto jo delespacio. Como ya se adelant o, sin embargo, existe el operadorD/Dt, que realiza todas esasoperaciones en forma autom atica. Es decir obtiene la derivada en relaci on al tiempo de unafunci on cualquiera manteniendo constante los valores (x0, y0, z0) y la expresa con descripci onespacial. Si para calcular por ejemplo la aceleraci on se hubiese usado directamente la derivadamaterial se tendra,DvDt= a(x, y, z, t) =vxdxdt+vydydt+vzdzdt+vt(2.11)donde se sobreentiende que ese operador obtiene la derivada siguiendo una partcula y expresael resultado en un punto jo del espacio. Luego empleando la denici on de la velocidad resulta,a(x, y, z, t) = uvx+ vvy+ wvz+vt(2.12)Usando ahora las componentes del vector velocidad v = ui +vj +wk se tienen las compo-nentes escalares de la aceleraci on,38a = axi + ayj + azk =(2.13)(uux+ vuy+ wuz+ut)i +(uvx+ vvy+ wvz+vt)j +(uwx+ vwy+ wwz+wt )k (2.14)Siguiendo con el concepto de derivada sustancial o total, la aplicaci on del operador D/Dta una funci on cualquieraf =f(x, y, z, t), de por s considera que la derivada es realizadasiguiendoalmovimientodeluido,atrav esdelempleodelasecuacionesparam etricasdeldesplazamiento. Comparada con la derivada parcial en relaci on al tiempo se tiene que,t= derivada en relaci on al tiempo manteniendo constante (x, y, z)(2.15)DDt= derivada en relaci on al tiempo manteniendo constante (x0, y0, z0)de donde se tiene,DfDt=fxdxdt+fydydt+fzdzdt+ft(2.16)o tambi en,DfDt= ufx+ vfy+ wfz+ft(2.17)Por otra parte como se puede observar en la ecuaci on (2.17), la derivada material o sustanciales la suma de las variaciones que experimenta la funci on en un punto jo en el espacio m as laque experimenta con la traslaci on. Estas dos variaciones se denominan variaci on temporal yconvectiva, respectivamente. Volviendo al c alculo de la aceleraci on, lo anterior signica quela misma es la suma de la variaci on de la velocidad en relaci on al tiempo en un punto jo,la cual es denominada aceleraci on o variaci on local, m as la variaci on que sufre la velocidadde la partcula en su desplazamiento, denominada aceleraci on o variaci on convectiva. Es decirreescribiendo la expresi on de la aceleraci on,Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 39a(x, y, z, t) = (vt ) + (uvx+ vvy+ wvz) (2.18)el primer t ermino a la derecha del signo igual es la aceleraci on temporal y el siguiente t erminoentre par entesis representa la aceleraci on convectiva.A seguir conviene ver un ejemplo para comprender lo que ocurre en la pr actica con esos dost erminos para la aceleraci on, pero sin olvidarnos que lo mismo ocurre con cualquier propiedadde la cual se obtiene la variaci on con el tiempo usandoD/Dt. Supongase un ujo de aguapermanente, dondepermanentesignicaquenadacambiaenrelaci onaltiempoentodoeldominio, en una expansi on gradual de una tubera con velocidad media axial u1, a otra con undiametro mayor y velocidad media axial u2, como se muestra en la Figura 2.5.Figura 2.5: Flujo incompresible en una expansi on gradual de una turbera.Sin aplicar ninguna ley, solo por intuici on se puede concluir que la velocidad es mayor en laturbera de menor diametro, u1> u2. Para circunscribir m as nuestro ejemplo se debe pensar enel ujo de un lquido, el cual no sufrir a efectos de cambios de volumen, lo que comunmente esdenominado ujo incompresible. Un contraejemplo es el ujo con n umero de Mach superior a 1de un gas, denominado supers onico, para el cual no se verica esa relaci on entre las velocidadesu1yu2. Es decir dado que la secci on de pasaje se expande en la direcci on axial, existe unadisminuci ongradual de la velocidad en formaparalela con el aumento del area transversal.Dicho cambio de la velocidad en el espacio se denomina aceleraci on convectiva, que en estecaso es en realidad negativa.Si se desea calcular la aceleraci on en forma aproximada en la linea de simetra y en la mitad40de la expansi on, puntoP, se debe calcular, (a)la variaci on de la velocidad de las partculas amedida que se desplazan en el espacio, o aceleraci on convectiva, m as (b)la variaci on que sufrela velocidad en relaci on al tiempo en dicho punto, o aceleraci on temporal, como fue comentadoantes. Sin embargo dado que es un fujo permanente, nada cambia en relaci on al tiempo en todala regi on. Por lo tanto no existir a aceleraci on temporal. Es decir la variaci on en (b) es nula. Porsu parte la aceleraci on convectiva, punto (a), puede ser evaluada con un c alculo aproximadocomo (u2u1)/L, de donde la aceleraci on en el punto Presulta,DDt(uP) = aP u2u1L(2.19)donde aPy uPson los m odulos de la aceleraci on y de la velocidad axial en el punto P, respec-tivamente.Se supone ahora una situaci on m as compleja de ujo transitorio, en la cual el caudal deagua es gradualmente aumentado en el tiempo. En este caso en un punto jo del espacio lavelocidad tambi en aumentar a en relaci on al tiempo, al contrario del caso anterior. Por lo tantopara calcular la aceleraci on en forma aproximada en P, es necesario obtener (a)la variaci on dela velocidad de las partculas de uido en el trayecto L de la expansi on para un tiempo jo, m as(b)la variaci on que sufre la velocidad a lo largo del tiempo en P. Luego en este caso la variaci oncon la convecci on, punto (a), en forma aproximada es (u2u1)/L y la variaci on temporal enforma aproximada, punto (b), es (uP(t + t) uP(t))/t. Luego resulta,DDt(uP) = aP u2u1L+uP(t + t) uP(t)t(2.20)Como se ve en ese c alculo simple la propiedad aceleraci on de una partcula puede cambiarenelespacioytambi enalolargodeltiempo. Ycomoyafuecomentado, alapartedelaaceleraci on en relaci on al espacio se la denomina aceleraci on convectiva y a la que resulta de lavariaci on en el tiempo en un punto jo del espacio, aceleraci on temporal. Otra vez hay que decirque la suma de esas dos variaciones representan la variaci on total de la velocidad en el puntoP. Lo mismo resulta si dicho operador es aplicado a cualquier propiedad como por ejemplo ladensidad , la temperatura, etc.De aqu en m as para obtener una derivada material en relaci on al tiempo se usar a el operadorD/Dt directamente sin comentario alguno.Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 412.2.2. Movimiento rotacionalEl movimiento rotacional de un ujo puede ser expresado en funci on de la vorticidad orotaci on que experimentan las partculas del mismo. La vorticidad luego permite denir el con-cepto de ujo rotacional e irrotacional y sus consecuencias.Figura 2.6: Partcula de uido con velocidad u y v, seg un los ejes x e y, respectivamente, en su centrogeom etrico.Por denici on la vorticidad de un uido es igual al movimiento rotacional de cuerpo rgidodel mismo. Por eso se obtienen las expresiones de la rotaci on de cuerpo rgido que sufre unapartcula de uido c ubica, seg un los tres ejes coordenados. La Figura 2.6 muestra el plano x-y deuna partcula c ubica. La rotaci on de cuerpo rgido en ese plano est a dada por el valor medio de larotacion de dos segmentos jos a la partcula, en la direcci on de los ejes x y y, respectivamente.Por un lado la rotaci on del segmento jo a la partcula en la direcci on del eje x,ab, es ellimite de la diferencia de las velocidades de sus extremos, en la direcci on normal al mismo,limx 0(v(x + x, y, z, t) v(x, y, z, t))x=vx(2.21)y del mismo modo la del segmentoad en la direcci on del eje y es,limy 0(u(x, y + y, z, t) u(x, y, z, t))y= uy(2.22)42donde el signo negativo tiene que ver con el signo de la rotaci on que se considera positva enla direcci on opuesta a las agujas del reloj. Luego el valor medio de la rotaci on de esos dossegmentos es,rotaci on media en el plano x-y =12(vx uy) (2.23)Y en forma an aloga las dem as rotaciones medias son,rotaci on media en el plano y-z =12(wy vz) (2.24)rotaci on media en el plano z-x =12(uz wx) (2.25)Luego, la suma de las tres rotaciones medias de cuerpo rgido seg un los ejes coordenadosrecibe el nombre de vector vorticidad,=12(wy vz)i +12(uz wx)j +12(vx uy)k (2.26)y el vector vorticidad se relaciona con el operador rotor de la velocidad de la siguiente forma,=12rot (v) =12(v) (2.27)que en coordenadas cartesianas se puede calcular resolviendo el determinante de la siguientematriz como se present o en el Captulo 1,=12rot (v) =

i j k/x /y /zu v w

(2.28)o tambi en usando notaci on indicial como en la expresi on (1.26) que se repite aqui por comodi-dad,=12v =12

ijkvjxiek(2.29)Luego si la vorticidad en un punto es nula se dice que el ujo es irrotacional en ese punto.Si para el ujo de toda una regi on y en todos sus puntos, = 0, al mismo se lo denomina ujoFundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 43irrotacional. Por el contrario toma el nombre de ujo rotacional siempre que =0 en alg unpunto en dicha regi on. Al nal de este Catulo se presentar an consecuencias adicionales de larotacionalidad e irrotacionalidad de un ujo, como es la denici on del potencial de velocidad yla denici on de circulaci on.2.3. Descripci on de la deformaci on de un uidoEn relaci on con lo estudiado en los cursos de Fsica sobre cinem atica de cuerpos s olidos, ladeformaci on es el nuevo fen omeno al estudiar el movimiento de un uido. La importancia deltema en relaci on a la din amica de un uido en movimiento, radica en que la tasa de deformaci onpermite expresar las tensiones que el mismo sufre en su interior. Como se ver a en el Captulo3, los esfuerzos que sufre un uido en movimiento pueden ser expresados en funci on de lasdeformaciones del mismo, permitiendo que las ecuaciones generales sean resolubles. Siendoesa relaci on entre tensiones y deformaci on una funci on de cada sustancia. En otras plabras, eltema de deformaciones no es dado para tornar completo el estudio de la cinem atica de un uidoen movimiento, sino por lo contrario, es uno de los temas centrales de Mec anica de Fluidos.Por otra parte como ya se coment o en la introducci on de este Captulo, las deformacionespueden ser longitudinales o angulares. Y dado que un uido siempre deforma por mnimosque sea un esfuerzo aplicado al mismo, para medir la deformaci on no se usa la deformaci onabsolutaoespecicacomoenResistenciadeMateriales, sinolavelocidaddedeformaci onespecica. Es decir que la medida de la deformaci on en Mec anica de Fluidos es denida co-mo deformaci on/(magnitud original tiempo de la deformaci on), denominandose tasa de de-formaci on especca o velocidad de deformaci on especica. Sin embargo por simplicidad sehar a referencia a la misma solo como deformaci on.Por otra parte la descripci on de la deformaci on, al igual que para la velocidad y aceleraci on,se hace en un punto jo del espacio a lo largo del tiempo. Siendo que la misma expresa ladeformaci on de las partculas de uido que pasan por ese punto a lo largo del tiempo. Y serecuerda tambi en que las mismas pueden descomponerse en deformaciones simples seg un ladirecci on de los ejes coordenados. Para obtenerlas se considera como siempre una partculac ubica y se presentan las deformaciones logitudinales y angulares descompuestas seg un cadauno de los ejes coordenados, como fue comentado en la introducci on.442.3.1. Deformaci on longitudinalLa deformaci on longitudinal que sufre un uido en movimiento seg un una direcci on, sepuedeevaluarcalculandolamodicaci ondellargoespecicoenfunci ondeltiempo,deunsegmento perteneciente a una partcula en esa direcci on, Figura 2.3(a). Cuando la deformaci ones positiva se denomina elongamiento y compresi on cuando es negativa. En forma matem aticaes el lmite al que tiende la diferencia de velocidad especca, de dos puntos pertenecientes auna partcula de uido, cuando la distancia entre los mismos tiende a 0. Es decir considerandodospuntosgen ericosaybsobreunapartcula, loscualesest anseparadosunsytienenvelocidades va y vb, la deformaci on longitudinal en la direcci on de la recta que une esos puntoses,

ss=lims 0(vbva)s=vs(2.30)Se considera ahora la partcula en la Figura (2.6) con dimensiones 2x y 2y en el planox y, con componentes de la velocidad {u,v} en su centro. Luego la deformaci on longitudinalen la direcci on del eje x es,limx 0(u(x + x, y, z, t) u(x, y, z, t))x=ux(2.31)de donde la tasa de deformaci on especca longitudinal en x, xx, resulta,

xx=ux(2.32)y por analoga las deformaciones especcas longitudinales en y y z son,

yy=vy(2.33)

zz=wz(2.34)As xx, yy y zz son las deformaciones longitudinales seg un los ejes coordenados {x,y,z}.La suma de esas deformaciones expresa la tasa de dilataci on c ubica especica, que en este librose simboliza con la letra . La misma dice de la variaci on total especica del volumen que sufreuna partcula en movimiento, como se demostrar a m as adelante,Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 45 = xx + yy + zz=ux+vy+wz(2.35)2.3.2. Deformaci on angularAhoraseestudianlasdeformacionesangularesquesufrenlos angulosdeunapartculade uido en movimiento. Una deformaci on angular se dene como la deformaci on media delos angulos de una partcula, en relaci on a los 3 planos coordenados. Es, en otras palabras, larotaci on opuesta de los segmentos que forman cada angulo en cada plano. Lo de rotaci on op-uesta tiene que ver con el hecho que son estas las que deforman el angulo que forman. Si lossegmentos rotan en igual sentido se tiene que la partcula tiene rotaci on de cuerpo rgido, nodeformaci on angular.Considerando otra vez la Figura 2.6, por denici on la tasa de deformaci on especca angularen el plano x-y, o deformaci on angular alrededor del eje z, es el valor medio de las rotacionesopuestas de los segmentosab yad. O lo que es lo mismo de los puntosP(x + x, y, z) yP(x, y + y, z), en relaci on al centro geometrico de la partcula. Las rotaciones se toman consigno positivo cuando tienen sentido opuesto a las agujas del reloj.En primer lugar, la rotaci on del punto P(x + x, y, z) en relaci on al centro geom etrico dela partcula es,limx 0(v(x + x, y, z, t) v(x, y, z, t))x=vx(2.36)y la rotaci on de P(x, y + y, z), o rotaci on del otro lado del angulo, es,limy 0(u(x, y + y, z, t) u(x, y, z, t))y=uy(2.37)Luego, el valor medio de la rotaci on inversa de los lados del angulo en el plano x-y, denom-inada xy, en funci on de los resultados de las expresiones (2.36-2.37), es,

xy=12(vx+uy) (2.38)De forma analoga, las deformaciones especcas angulares medias en los planos y-z y z-xson,46

yz=12(wy+vz) (2.39)

zx=12(uz+wx) (2.40)Siendo que las deformaciones totales seg un los planos x y, y z, y z x son respectiva-mente,

xy=12(vx+uy); yz=12(wy+vz); xz=12(uz+wx) (2.41)Una forma de ordenar todas las deformaciones, tanto longitudinales como angulares, es enuna matriz denominada tensor de deformaciones, la cual es,D =12

(u/x + u/x) (u/y + v/x) (u/z + w/x)(u/y + v/x) (v/y + v/y) (v/z + w/y)(u/z + w/x) (v/z + w/y) (w/z + w/z)

=

xx

xy

xz

yx

yy

yz

zx

zy

zz

(2.42)Este tensor tiene toda la informaci on relacionada con la deformaci on que sufre un uido enmovimiento en un punto jo del espacio a lo largo del tiempo. Y a modo de sntesis es buenocomentar que el mismo puede ser obtenido a partir del tensor gradiente de la velocidad. Paramostrar eso de una forma m as compacta se usa notaci on indicial. As en esa notaci on el tensorgradiente de la velocidad es,v = [uixj]

u1/x1u1/x2u1/x3u2/x1u2/x2u2/x3u3/x1u3w/x2u3w/x3

(2.43)y dado que en esa notaci on el tensor deformaci on, D = [Dij], es,Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 47[Dij] =12

(u1/x1 + u1/x1) (u1/x2 + u2/x1) (u1/x3 + u3/x1)(u2/x1 + u1/x2) (u2/x2 + u2/x2) (u2/x3 + u3/x2)(u3/x1 + u1/x3) (u3/x2 + u2/x3) (u3/x3 + u3/x3)

=

11

12

13

21

22

23

31

32

33

(2.44)resulta que una de sus componentes puede ser escrita como Dij= 1/2(ui/xj + uj/xi), otambi en usando notaci on vectorial el tensor completo como D = 1/2(v + vT), donde ves el tensor gradiente de la velocidad y vTla transpuesta del mismo.Recordando de lo cursos de Algebra, para un tensor gen ericoSijel tensor denido conlas componentes1/2(Sij+ Sji) (como ocurre con el tensor gradiente de la velocidad, v=[ui/xj] para formar el tensor deformaci on) constituye la parte sim etrica del original, Sij. Esdecir que el tensor deformaci on esta conformado por la parte sim etrica del tensor gradientede la velocidad. Siendo que la parte antisim etrica del mismo, obtenida restando los t erminos,representa el tensor rotaci on de cuerpo rgido del uido en un punto,[ij] =12

(u1/x1u1/x1) (u1/x2u2/x1) (u1/x3u3/x1)(u2/x1u1/x2) (u2/x2u2/x2) (u2/x3u3/x2)(u3/x1u1/x3) (u3/x2u2/x3) (u3/x3u3/x3)

=

111213212223313233

(2.45)elcualtiene6componentesdiferentesde0,aquellasfueradeladiagonalprincipal,siendolas sim etircas a esta iguales en valor absoluto e iguales, por otro lado, a las componente dela vorticidades en los planosx y, componente12, planoy z, componente23, y planoxz, componente 13. Es decir son las componentes del vector vorticidad visto anteriormente,equaci on (2.26).Los resultados anteriores pueden sintetizarse diciendo que la parte sim etrica del tensor vrepresenta las deformaciones del uido, D, y la parte antisim etrica la rotaci on de cuerpo rgido48del uido, . En resumen el gradiente de la velocidad puede descomponerse de la siguienteforma,[uixj] = [Dij + ij] =12

(u1/x1 + u1/x1) (u1/x2 + u2/x1) (u1/x3 + u3/x1)(u2/x1 + u1/x2) (u2/x2 + u2/x2) (u2/x3 + u3/x2)(u3/x1 + u1/x3) (u3/x2 + u2/x3) (u3/x3 + u3/x3)

+ (2.46)12

(u1/x1u1/x1) (u1/x2u2/x1) (u1/x3u3/x1)(u2/x1u1/x2) (u2/x2u2/x2) (u2/x3u3/x2)(u3/x1u1/x3) (u3/x2u2/x3) (u3/x3u3/x3)

2.4. Movimiento relativo entre dos puntos de una partculaA modo de conclusi on sobre la cinem atica de un uido en movimiento, en este item semuestra como el movimiento relativo de dos puntos de una partcula de uido, puede ser de-scompuesto en movimiento traslacional y rotacional, m as deformaci on longitudinal y angular.Enotraspalabras,elmovimientorelativoentredospuntostieneimplcitotodoslosefectoscinem aticos estudiados hasta aqu.Figura 2.7: Partcula de uido cuyo centro, punto a, tiene velocidad u y v seg un los ejes x e y, respec-tivamente.Fundamentos de Mec anica de Fluidos, Hugo D. Pasinato 49En relaci on a la partcula de uido de la Figura 2.7, los dos puntos que se t