proyecto 3 - mecanica de fluidos 2 - uls

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Proyecto 3 Mecánica de fluidos II

Cristian Orlando Angel Valdivia Mecánica de Fluidos 2, Ingeniería Civil Mecánica

La Serena, Primer semestre de 2015

Estudio de la mecánica de fluidos en un túnel de viento virtual en el enfriamiento

de agua en una cavidad llenada con agua y aire

Estudio teórico analítico numérico del flujo de fluidos de aire acondicionado dentro

de la cabina de una auto.

2

1. Enfriamiento de agua en recipiente de acero al centro de una cavidad cuadrada – Estudio

de convección mixta en una cavidad cuadrada con un obstáculo cuadrado de lado variable.

Resumen – Este trabajo estudia la mecánica de fluidos y transferencia de calor en una cavidad

cuadrada donde se produce convección mixta con un obstáculo cuadrado de ancho variable en el centro. En la cavidad se induce esfuerzo de corte en el fluido desde la pared superior por una velocidad impuesta además existe convección natural debido a la diferencia de temperatura entre la pared superior a una temperatura fría y la pared inferior a una temperatura alta. Las simulaciones se efectúan para dos fluidos, agua y aire (Pr = 7.1, 0.71 respectivamente) para el mismo número de Reynolds (Re=1000) y para diferentes números de Grashof y Richardson (104, 105, 106; 0.01, 0.1, 1 respectivamente) obteniendo diferentes números de Nusselt en las paredes no adiabáticas que varían según los parámetros numéricos impuestos y el ancho del obstáculo. Introducción:

La convección mixta, es decir,

convección natural y forzada a mismo tiempo, puede observarse en muchas situaciones naturales y de ingeniería como por ejemplo el movimiento de agua en lagos debido a cambios de temperatura de agua y velocidad del viento, enfriamiento de reactores nucleares, piscinas de evaporación solar, industria de alimentos, etcétera.

En este trabajo se presenta un estudio de mecánica de fluidos y transferencia de calor en una cavidad cuadrada con una pared caliente en su parte inferior y una fría en la parte superior con un obstáculo cuadrado caliente que simula ser un objeto que se enfría debido a la convección forzada que se representa como una velocidad impuesta que induce el movimiento del fluido desde la pared superior y la convección natural por los cambios de densidad debido a los cambios de temperatura del fluido. Este trabajo valida sus resultados en el paper “Prandtl number effects on a laminar mixed convection heat trnsfer in a lid driven cavity.” De M.K.Moallemi y K.S.Jang publicado el año 1991. Situación física:

Se desea efectuar un estudio de la

mecánica de fluidos y transferencia de calor en una cavidad cuadrada sometida a convección mixta en estado permanente, es decir, convección forzada y natural al mismo tiempo. La cavidad cuadrada tiene una longitud característica H, con las paredes laterales adiabáticas, la pared inferior a una temperatura alta TH, y la superior a una temperatura baja TC para generar convección natural y al mismo tiempo con una velocidad impuesta U0 en dicha pared para inducir el movimiento forzado en la cavidad. El flujo se

establece como laminar y las propiedades del fluido constante, a excepción de la densidad en los términos de flotación que variará según la aproximación de Boussinesq, ya que se supondrá que el agua tiene un cambio de temperatura tal, que su densidad varía de forma lineal. Se utilizarán dos modelos físicos, el anteriormente nombrado y otro igual con la adición de un obstáculo a temperatura alta que simulará ser un objeto que se enfría dentro de la cavidad. Los parámetros variables utilizados serán el ancho del obstáculo w, y los números de Prandtl, Reynolds, Grashof y Richardson. Este último parámetro es la conjugación de los dos anteriores.

Fig.1 Modelo físico del problema sin y con obstáculo, arriba y abajo respectivamente.

3

Supuestos: Laminar Newtoniano Incompresible Permanente Propiedades constantes, excepto la

densidad en el término de flotación la cual varía según la aproximación de Boussinesq.

Modelo matemático: Modelo matemático dimensional:

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

𝜌 [𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦] = −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜇 [

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2]

𝜌 [𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦] = −

𝜕𝑝

𝜕𝑦+ 𝜇 [

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2] + 𝑔𝛽∆𝑇°

𝜌𝐶𝑃 [𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦] = 𝑘 [

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2]

Condiciones de borde 𝑢(𝑥, 𝐻) = 𝑈𝑜; 𝑢(𝑥, 0) = 0; 𝑢(0, 𝑦) = 0 𝑢(𝐻, 𝑦) = 0; 𝑣(𝑥, 𝐻) = 0; 𝑣(𝑥, 0) = 0

𝑣(0, 𝑦) = 0; 𝑣(𝐻, 𝑦) = 0; 𝑇(𝑥, 𝐻) = 𝑇𝐶

𝑇(𝑥, 0) = 𝑇𝐻; 𝜕𝑇

𝜕𝑥(0, 𝑦) = 0;

𝜕𝑇

𝜕𝑥(𝐻, 𝑦) = 0

Obstáculo de tamaño variable:

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑣(𝑥, 𝑦) = 0; 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝐻; (𝑘, 𝜌, 𝜇)𝑎𝑔𝑢𝑎

Modelo matemático adimensional:

𝜕𝑈

𝜕𝑋+

𝜕𝑉

𝜕𝑌= 0

𝑈𝜕𝑈

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝑈

𝜕𝑌= −𝐸𝑢

𝜕𝑃

𝜕𝑋+ 𝑅𝑒−1 [

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2+

𝜕2𝑈

𝜕𝑌2]

𝑈𝜕𝑉

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑌= −𝐸𝑢

𝜕𝑃

𝜕𝑌+𝑅𝑒−1 [

𝜕2𝑉

𝜕𝑋2+

𝜕2𝑉

𝜕𝑌2]

+ 𝑅𝑖𝜃

𝑈𝜕𝜃

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝜃

𝜕𝑌= 𝑅𝑒−1𝑃𝑟−1 [

𝜕2𝜃

𝜕𝑋2+

𝜕2𝜃

𝜕𝑌2]

Condiciones de bore 𝑈(𝑋, 1) = 1; 𝑈(𝑋, 0) = 0; 𝑈(0, 𝑌) = 0; 𝑈(1, 𝑌) = 0; 𝑉(𝑋, 1) = 0; 𝑉(𝑋, 0) = 0 𝑉(0, 𝑌) = 0; 𝑉(1, 𝑌) = 0; 𝑇(𝑋, 1) = 0

𝑇(𝑋, 0) = 1; 𝜕𝜃

𝜕𝑋(0, 𝑌) = 0;

𝜕𝜃

𝜕𝑋(1, 𝑌) = 0

Obstáculo de tamaño variable: 𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑉(𝑋, 𝑌) = 0

𝜃(𝑋, 𝑌) = 1; [𝑃𝑟 → ∞ ⟹ Γ𝜃 = 0]

Con las siguientes escalas de adimensionalización:

𝑈 =𝑢 ∙ 𝛼

𝑈𝑜 ∙ 𝜈; 𝑉 =

𝑣 ∙ 𝛼

𝑈𝑜 ∙ 𝜈; 𝑋 =

𝑥

𝐻; 𝑌 =

𝑦

𝐻

𝑃 =𝑝

𝑃0; 𝑃0 =

𝜌𝑈02

2; 𝐸𝑢 =

2∆𝑝

𝜌𝑈02

𝑅𝑒 =𝑈𝑜∗𝐻

𝜈; 𝑃𝑟 =

𝜈

𝛼; 𝐺𝑟 =

𝑔∙𝛽∙𝐻3∙∆𝑇°

𝜈2 ; 𝑅𝑖 =𝐺𝑟

𝑅𝑒2

Parámetros del problema: Agua Aire

Prandtl 7.1 0.71 Euler 1

Grashof Reynolds Richardson

1 105 103 0.1 2 106 103 1 3 107 103 10 Tabla 1. Parámetros numéricos del problema

Metodología de solución:

Implementación computacional: SIMPLE 2D:

𝜙 𝛤 SC SP

U 𝑅𝑒−1 0 0

V 𝑅𝑒−1 𝑅𝑖 ∙ 𝜃 0

𝜃 𝑅𝑒−1𝑃𝑟−1 0 0

𝜃𝑜𝑏𝑠 0 0 0

Tabla 2. Coeficientes computacionales de SIMPLE2D, 𝜃𝑜𝑏𝑠 corresponde a la temperatura en el obstáculo.

Coeficientes de sub relajación

U V P T

0.6 0.6 0.8 0.9 Parámetros a calcular:

𝑁𝑢𝐻 =𝜕𝜃

𝜕𝑌=

𝜃(𝑖, 2) − 𝜃(𝑖, 1)

𝑌(2) − 𝑌(1)

𝑁° 𝑁𝑢𝑠𝑠𝑒𝑙𝑡 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑁𝑢𝐶 =𝜕𝜃

𝜕𝑌=

𝜃(𝑖, 𝑀1) − 𝜃(𝑖, 𝑀2)

𝑌(𝑀1) − 𝑌(𝑀2)

𝑁° 𝑁𝑢𝑠𝑠𝑒𝑙𝑡 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑓𝑟í𝑎

𝑁𝑢̅̅ ̅̅𝑋 = ∫

𝜕𝜃

𝜕𝑌

1

0

𝑑𝑋

𝑁° 𝑁𝑢𝑠𝑠𝑒𝑙𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑

𝑁𝑢̅̅ ̅̅𝐻 = ∑ [(

𝜃(𝑖, 2) − 𝜃(𝑖, 1)

𝑌(2) − 𝑌(1)) ∙ (𝑋(𝐼 + 1) − 𝑋(𝐼))]

𝐿1−1

1

𝑁𝑢̅̅ ̅̅𝐶 = ∑ [(

𝜃(𝑖, 𝑀1) − 𝜃(𝑖, 𝑀2)

𝑌(𝑀1) − 𝑌(𝑀2)) ∙ (𝑋(𝐼 + 1) − 𝑋(𝐼))]

𝐿1−1

1

4

Criterios de convergencia: En el algoritmo simple, el residuo SMAX se establece que debe ser de orden 10-5 o menor para que los resultados de presión y velocidades obtenidos satisfagan de manera aceptable la ecuación de continuidad, es decir para que se cumpla la ley de continuidad.

𝑆𝑀𝐴𝑋~10−5 Por otro lado se debe cumplir la ley de conservación de la energía, para ello se establece que la transferencia de calor entrante debe ser en la misma cantidad la transferencia de calor saliente. Para cumplir esto, el número de Nusselt promedio de la pared caliente debe ser igual al de la pared fría. Se establece el siguiente criterio de convergencia:

𝑒%𝑁𝑢 = 1 −𝑁𝑢̅̅ ̅̅

𝐻

𝑁𝑢̅̅ ̅̅𝐶

~10−2

Elección de malla: En la elección de malla se establecen los siguientes parámetros:

𝑊 = 0.2; 𝑃𝑟 = 7.1; 𝑅𝑒 = 103; 𝐺𝑟 = 106; 𝑅𝑖 = 1

Mallas Iteraciones SMAX Tiempo CPU [s]

40X40C 10000 6.937321E-08 111.859400 40X40R 10000 6.559384E-07 130.375000 80x80C 10000 7.339342E-05 507.343800 80X80R 20000 6.690128E-06 1063.234000

120x120C 19988 9.680320E-05 2395.953000

Mallas 𝑁𝑢̅̅ ̅̅𝐻 𝑁𝑢̅̅ ̅̅

𝐶 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟%𝑁𝑢̅̅ ̅̅

40X40C 19.527750 19.52762 0.00067% 40X40R 19.826540 19.27811 2.84483% 80x80C 19.756670 58.90444 66.45979% 80X80R 22.620410 21.15531 6.92545%

120x120C 19.500710 60.93089 67.99536%

Tabla 3. Comparación tiempo y error entre las mallas a

utilizar. Los subíndices R y C significan refinada y

constante respectivamente.

Luego de cinco intentos de cálculo

con la mallas 80X80C y 120x120C con

2000,5000, 8000, 10000 y 20000 se concluye

que la malla no converge y que el error del

número de Nusselt hace imposible el

cumplimiento de la ley de conservación de la

energía, por lo tanto estas mallas son

descartadas. Entre las mallas que quedan, la

de 40x40 nodos constante es la mejor debido

a que tiene un error en los números de Nusselt

de orden 10-4 y un error de residuo de 10-8, sin

embargo al momento de simular este modelo

con un obstáculo ancho con diferentes anchos

habrán nodos que serán desperdiciados y en

sus bordes quizá no se calculen de la mejor

forma la temperatura ni la velocidad, por lo

tanto, se elige la malla 40x40 refinada. Esta

malla está programada de tal forma que al

incrementar el ancho del obstáculo la cantidad

de nodos dentro de este es siempre la misma.

Figura 2. Malla utilizada para resolver el problema.

Validación de los resultados:

Los resultados numéricos se validan

comparando el perfil de números de Nusselt

en la pared inferior caliente en el modelo físico

que no posee obstáculo con el programa

utilizado en este trabajo y el perfil obtenido en

la simulación de Moallemi y Jang [1] con los

siguientes parámetros: Re=103, Gr=104,

Pr=7.1 (Ri=0.01) utilizando las mismas 1800

iteraciones con una malla de 40x40 nodos

refinada cerca de las paredes. Obteniendo un

error de 2.96%, 6.08% y 6.02% para Pr = 1,

7.1, 50 respectivamente (ver tabla X).

El error se calculó por medio de

integración numérica de la siguiente manera:

𝑒% =|𝑦1̅̅̅ − 𝑦2̅̅ ̅|

𝑦1̅̅̅=

|∫ 𝑦1(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑑𝑥−

∫ 𝑦2(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑑𝑥|


∫ 𝑑𝑥

5

Tabla 4. Números de Nusselt obtenidos en las aredes superior e inferior

=|∫ 𝑦1(𝑥)𝑑𝑥

𝑋𝐿 −∫ 𝑦2(𝑥)𝑑𝑥

𝑋𝐿 |

∫ 𝑦1(𝑥)𝑑𝑥𝑋𝐿

=

𝑒% =|∫ 𝑦1(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑦2(𝑥)𝑑𝑥|


Donde y1(x) es la curva Nu(X) del paper y y2(x)

es la curva obtenida por el programa propio.

∫ 𝑦(𝑥)𝑑𝑥 = ∑(𝑦𝑖+1 + 𝑦𝑖)(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)

2

𝑘−1

𝑖=1

𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑥 = {0, … , 𝑘}

Los datos tomados desde el paper

fueron extraídos con el programa “Web Plot

Digitizer 3.8” para luego ser comparados en

MS Excel. Debido a que el programa es de

reconocimiento gráfico, pueden existir

pequeños errores en algunos puntos

obtenidos debido a la mala calidad de imagen

del gráfico analizado.

Figura 3. Resultados numéricos del número de Nusselt

obtenidos en la pared caliente para distintos números de

Prandtl. Las series M-H representan los datos obtenidos

por Moallemi y Jang.

A su vez, los cálculos de Moallemi y

Jang están validados con datos

experimentales obtenidos por Prasad y Koseff

[2] con un 5% de diferencia con los siguientes

parámetros: Pr = 0.6, Re = 2200, Gr = 104.

Pr 𝑁𝑢̅̅ ̅̅

obtenido 𝑁𝑢̅̅ ̅̅

paper error

Tiempo CPU [s]

1.0 7.77484 7.55106 2.96% 28.421880 7.1 16.40098 15.40448 6.08% 28.015630 50 31.97515 34.02514 6.02% 27.015630

Figura 4. Resultados numéricos del número de Nusselt

obtenidos en la pared caliente para distintos números de

Prandtl obtenidos por Moallemi y Jang.

0

20

40

60

80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Nu

(X)

X

Nu(Pr) M-H

M-H

M-H

0.01

0.1

1.0

7.1

50

6

Tabla 5 Tabla 6

Tabla 7

Tabla 9

Tabla 8

Tabla 10

Figura 5. Figura 6.

Resultados:

Variación del número de Nusselt con respecto al Número de Richardson:

Agua, 𝑃𝑟 = 7.1

𝑅𝑖 = 1 w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢

0.2 1.54E+01 1.50E+01 2.7662%

0.4 1.60E+01 1.56E+01 2.7660%

0.6 1.90E+01 1.85E+01 2.7664%

0.8 2.46E+01 2.40E+01 2.7654%

𝑅𝑖 = 0.1 w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢

0.2 1.63E+01 1.58E+01 2.7656%

0.4 1.72E+01 1.68E+01 2.7660%

0.6 1.94E+01 1.89E+01 2.7661%

0.8 2.49E+01 2.43E+01 2.7654%

𝑅𝑖 = 0.01

w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢

0.2 1.98E+01 1.93E+01 2.7661%

0.4 1.60E+01 1.56E+01 2.7660%

0.6 1.90E+01 1.85E+01 2.7664%

0.8 2.46E+01 2.40E+01 2.7654%

Aire, 𝑃𝑟 = 0.71

𝑅𝑖 = 1 w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢

0.2 1.98E+01 1.93E+01 2.7661%

0.4 9.58E+00 9.31E+00 2.7660%

0.6 1.05E+01 1.02E+01 2.7662%

0.8 1.31E+01 1.27E+01 2.7652%

𝑅𝑖 = 0.1 w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢

0.2 7.16E+00 6.96E+00 2.7658%

0.4 7.52E+00 7.32E+00 2.7660%

0.6 9.11E+00 8.86E+00 2.7663%

0.8 9.03E+00 8.78E+00 2.7654%

𝑅𝑖 = 0.01

w NuH NuC 𝑒%𝑁𝑢

0.2 6.66E+00 6.47E+00 2.7657%

0.4 7.13E+00 6.93E+00 2.7659%

0.6 8.70E+00 8.46E+00 2.7661%

0.8 8.24E+00 8.01E+00 2.7652%

A continuación gráficos Nusselt vs ancho obstáculo para diferentes números de Richardson en las

paredes no adiabáticas para ambos fluidos.

14

16

18

20

22

24

26

0,2 0,4 0,6 0,8

Nu

ssel

t

Ancho de obstáculo w

Pared caliente - agua

14

16

18

20

22

24

26

0,2 0,4 0,6 0,8

Nu

ssel

t


Pared fría - agua

7

Figura 7.

Figura 10.

Figura 11. Figura 12.

Variación de Nusselt con respecto al número de Richardson:

A continuación se grafican las líneas de corriente y contornos de temperatura para todos los casos simulados.

5

7

9

11

13

15

17

19

21

0,2 0,4 0,6 0,8

Nu

ssel

t


Pared caliente - aire

Ri=1

Ri=0.1

Ri=0.01

5

7

9

11

13

15

17

19

21

0,2 0,4 0,6 0,8

Nu

ssel

t


Pared fría - aire

Ri=1

Ri=0.1

Ri=0.01

14

16

18

20

22

24

26

0,01 0,1 1

Nu

ssel

t

Richardson

Nusselt pared caliente -agua

w=0.2 w=0.4 w=0.6 w=0.8

14

16

18

20

22

24

26

0,01 0,1 1

Nu

ssel

t

Richardson

Nusselt pared fria -agua

w=0.2 w=0.4 w=0.6 w=0.8

5

10

15

20

0,01 0,1 1

Nu

ssel

t

Richardson

Nusselt pared caliente -aire

w=0.2 w=0.4 w=0.6 w=0.8

5

10

15

20

0,01 0,1 1

Nu

ssel

t

Richardson

Nusselt pared fria -aire

w=0.2 w=0.4 w=0.6 w=0.8

Figura 8.

Figura 9.

8

Figura 11. Figura 12. Figura 13.




Líneas isotermas obtenidas para el caso del agua Ri=0.01 Ri=0.1 Ri=1.0

9





Líneas de corriente obtenidas para el caso del agua Ri=0.01 Ri=0.1 Ri=1.0

10





Líneas isotermas obtenidas para el caso del aire Ri=0.01 Ri=0.1 Ri=1.0

11





Líneas de corriente obtenidas para el caso del aire Ri=0.01 Ri=0.1 Ri=1.0

12

Análisis de los resultados:

Se observa en todos los casos de manera

independiente del fluido que:

i. En las caras superior y derecha del objeto en el

centro de la cavidad se producen mayores

gradientes de temperatura con respecto a las

otras caras debido a la propia temperatura del

objeto y a la velocidad inducida que rodea al

objeto con corrientes frías, por lo tanto, si se

desea enfriar un objeto de manera similar a la

descrita en este trabajo se deberá considerar que

su temperatura comenzará a descender desde

las dos caras ya descritas.

ii. Al observar la variación del número de

Richardson para cada tamaño de obstáculo se

tiene que a menor número de Richardson, mayor

es la influencia de la velocidad en las isotermas.

Esto es debido a que si este número

adimensional es cada vez menor, la distribución

de las isotermas son influidas de mayor manera

por la convección forzada en vez de la

convección natural.

iii. El tamaño del obstáculo en conjunción con el

número de Prandtl y de Richardson influyen

significativamente en la cantidad de vórtices

generados en el dominio obteniéndose mayor

cantidad de vórtices cuando el ancho w=0.4 y

Richardson Ri=1 (comparar figuras 28 y 52 con

las demás figuras de líneas de corriente con el

mismo número de Prandtl).

iv. Para que el objeto puesto dentro de la cavidad se

enfríe más rápido, el coeficiente de transferencia

de calor (Nusselt promedio) en la pared superior

tiene que ser lo más grande posible, ya que este

número refleja la cantidad de energía que

absorbe el ambiente desde la cavidad.

Para el caso del agua en donde la difusividad de

movimiento es más de siete veces su difusividad

térmica se tiene que:

i. Se recomienda que para que haya una mayor

transferencia de calor desde el objeto caliente al

ambiente representado por la pared superior

cuando el fluido es agua, que el ancho del objeto

sea 0.8, es decir, que ocupe un 80% de la

sección transversal de la cavidad y que el

número de Richardson sea Ri=0.1, es decir que

se produzca el movimiento principalmente por la

convección natural antes que forzada, ya que de

lo contrario, el movimiento inducido no permitiría

la máxima transferencia de calor en la pared

superior.

Para el caso del aire en donde la difusividad de

movimiento 0.7 veces su difusividad térmica se

tiene que:

i. Por las mismas razones que en el caso del agua,

para el caso del aire se establece que las mejores

condiciones que permiten que el objeto se enfríe

más rápidamente es con un ancho de obstáculo

w=0.2 con un número de Richardson Ri=1. Esto

es debido a que las propiedades difusivas del

aire y las características del problema proponen

que cuando el movimiento del fluido se debe

igualmente a la convección natural y forzada, la

transferencia de calor es máxima para los casos

estudiados.

Discusión – Debido a que se buscaba la malla más

eficiente y con menor error, se eligió una de 40x40

nodos refinada hacia los bordes sólidos, pueden

existir inexactitudes en cuanto a valores numéricos

que podrían ser solucionadas si la malla fuera más

fina, por ejemplo, el error de los números de

Nusselt que bordean el 3% (tablas 5, 6, 7, 8, 9, 10)

puede disminuirse mejorando la malla. Pudo

haberse recolectado una mayor cantidad de datos

con más números de Nusselt, ancho w, Prandtl si

hubiera un sistema que cambiara

automáticamente estos valores tras almacenar los

datos en carpetas separadas, por lo tanto, se

plantea la idea de que para futuros trabajos se

programe un algoritmo que haga dicha tarea y que

se acople al programa principal.

Conclusiones:

El efecto de la convección mixta con diferentes

parámetros en la transferencia de calor fue

estudiado obteniendo diferentes resultados

numéricos y gráficos. Se puede concluir que para

obtener una mayor cantidad de transferencia de

calor en convección mixta cuando el número de

Prandtl es del orden de 7, el movimiento del fluido

se debe mayormente a las fuerzas de flotación.

Ocurre lo contrario con el aire (Pr=0.71) en dondes

según los casos estudiados, se produce una mayor

transferencia de calor cuando el movimiento del

fluido se debe igualmente debido a la convección

forzada como a la natural.

13

2. Estudio teórico, analítico y numérico del flujo de fluidos en aire acondicionado dentro de un auto.

Resumen – En esta sección se estudia la mecánica de fluidos y transferencia de calor en una sección

transversal de una limusina, ya que debido a sus longitudes permite efectuar un estudio en dos dimensiones, donde se produce convección mixta debido a que en el interior circula aire frío a una velocidad de entrada impuesta y a la vez se genera convección natural debido al calor que entra por las ventanas. Las simulaciones se efectúan con aire (Pr = 0.71) para el mismo número de Reynolds (Re=105, 106) y para diferentes números de Grashof (109, 1010) y Richardson (0.1, 1 y 100 respectivamente) obteniendo diferentes comportamientos de las líneas de corriente y contornos de temperatura.

Introducción:

Al igual que la sección anterior, esta estudia la convección mixta en un espacio cerrado, en una aplicación más específica. Se busca caracterizar el comportamiento de las corrientes con la energía que transporta dentro de la cabina de una limusina. Se ocupa el programa SAINTS de

Akira Nakayama que viene con el libro “Pc-aided numerical heat transfer and convective flow” simulando que la limusina es lo suficientemente larga como para considerar un comportamiento 2D de la mecánica de fluidos.

Situación física:

Se tiene una sección transversal cuadrada de una limusina, cuyo exterior está aislado térmicamente a

excepción de las ventanas, que simulan tener una temperatura alta TH, también se tiene la sección del asiento

que se considera también adiabática y un minibar que posee la misma característica, los aparatos de aire

acondicionado se representan por los pequeños cuadrados en la parte superior, estos están aislados

térmicamente, en su salida tienen una velocidad impuesta de entrada Uo a una temperatura baja TC. En el

suelo existe un orificio del mismo tamaño que la suma del área de la salida de aire en la parte superior donde

existe una velocidad de salida Uo. Las medidas de cada elemento están en la figura 59.

Figura 59.

Sustancia: Aire, (𝑘, 𝜌, 𝜇)𝑎𝑖𝑟𝑒 Supuestos:

Turbulento Newtoniano Incompresible

Permanente Propiedades constantes, excepto la

densidad en el término de flotación la cual varía con la aproximación de Boussinesq.

14

Modelo matemático:

Continuidad: 𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

Momento lineal:

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ (𝜈 + 𝜈𝑡) [

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2]

𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦= −

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑦+ (𝜈 + 𝜈𝑡) [

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2]

+ 𝑔𝛽∆𝑇° Energía:

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦= (

𝜈

𝑃𝑟+

𝜈𝑡

𝜎𝑇) [

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2]

Turbulencia:

𝑢𝜕𝑘

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑘

𝜕𝑦= (𝜈 +

𝜈𝑡

𝜎𝑘) [

𝜕2𝑘

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑘

𝜕𝑦2] + 𝑃 + 𝐺 − 𝜀

𝑢𝜕𝜀

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝜀

𝜕𝑦= (𝜈 +

𝜈𝑡

𝜎𝜀) [

𝜕2𝜀

𝜕𝑥2+

𝜕2𝜀

𝜕𝑦2] +

𝜀

𝑘[𝑐1(𝑃 + 𝐺)

− 𝑐2𝜀] Donde:

𝑃 = 𝜈𝑡 [2 (𝜕𝑢

𝜕𝑥)

2

+ 2 (𝜕𝑣

𝜕𝑦)

2

+ (𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑥)

2

]

𝐺 =𝑔𝛽𝜈𝑡

𝜎𝑇(

𝜕𝑇

𝜕𝑥+

𝜕𝑇

𝜕𝑦)

Constantes del modelo de turbulencia: (Launder y Spalding, 1974)

𝑐1 𝑐2 𝜎𝑇 𝜎𝑘 𝜎𝜀

1.44 1.92 0.9 1 1.3 Tabla 11. Constantes del modelo estándar de turbulencia k-

épsilon

Condiciones de borde:

𝑢(0.05𝐿, 0.65𝐿 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 𝑈𝑜

𝑢(0.95𝐿, 0.65𝐿 < 𝑦 < 0.7𝐿) = −𝑈𝑜 𝑣(0.4𝐿 < 𝑥 < 0.5𝐿, 0) = −𝑈𝑜

𝑢(0 < 𝑥 < 0.4𝐿, 0 < 𝑦 < 0.42𝐿) = 0 𝑣(0 < 𝑥 < 0.4𝐿, 0 < 𝑦 < 0.42𝐿) = 0

𝑢(0.4 < 𝑥 < 0.5𝐿, 0 < 𝑦 < 0.2𝐿) = 0

𝑣(0.4 < 𝑥 < 0.5𝐿, 0 < 𝑦 < 0.2𝐿) = 0 𝑢(0.7 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 0.35𝐿) = 0

𝑣(0.7 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 0.35𝐿) = 0 𝑢(0 < 𝑥 < 0.05𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0

𝑣(0 < 𝑥 < 0.05𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0

𝑢(0.95𝐿 < 𝑥 < 𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0 𝑣(0.95𝐿 < 𝑥 < 𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0

𝑢(0,0 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 𝑣(0,0 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 0

𝑢(𝐿, 0 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 𝑣(𝐿, 0 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 0 𝑢(0 < 𝑥 < 𝐿, 0.7𝐿) = 𝑣(0 < 𝑥 < 𝐿, 0.7𝐿) = 0

𝑢(0 < 𝑥 < 𝐿, 0) = 𝑣(0 < 𝑥 < 𝐿, 0) = 0 𝑇(0.05𝐿, 0.65𝐿 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 𝑇𝐶

𝑇(0.95𝐿, 0.65𝐿 < 𝑦 < 0.7𝐿) = 𝑇𝐶

𝑇(0,0.42𝐿 < 𝑦 < 0.65𝐿) = 𝑇𝐻

𝑇(𝐿, 0.42𝐿 < 𝑦 < 0.65𝐿) = 𝑇𝐻 𝜕𝑇

𝜕𝑥(0 < 𝑥 < 0.4𝐿, 0 < 𝑦 < 0.42𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑦(0 < 𝑥 < 0.4𝐿, 0 < 𝑦 < 0.42𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑥(0.4 < 𝑥 < 0.5𝐿, 0 < 𝑦 < 0.2𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑦(0.4 < 𝑥 < 0.5𝐿, 0 < 𝑦 < 0.2𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑥(0.7 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 0.35𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑦(0.7 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑦 < 0.35𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑥(0 < 𝑥 < 0.05𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑦(0 < 𝑥 < 0.05𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑥(0.95𝐿 < 𝑥 < 𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑦(0.95𝐿 < 𝑥 < 𝐿, 0.65 < 𝑦 < 𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑥(𝐿, 0.35𝐿 < 𝑦 < 0.4𝐿) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑦(0.5 < 𝐿 < 0.7𝐿, 0) = 0

𝜕𝑇

𝜕𝑦(0.05 < 𝐿 < 0.95𝐿, 0.7𝐿) = 0

Modelo matemático adimensional: Continuidad:

𝜕𝑈

𝜕𝑋+

𝜕𝑉

𝜕𝑌= 0

Momento lineal:

𝑈𝜕𝑈

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝑈

𝜕𝑌= −

𝜕𝑃

𝜕𝑋+ 𝑅𝑒−1 [2

𝜕2𝑈

𝜕𝑋2+

𝜕2𝑈

𝜕𝑌2+

𝜕2𝑉

𝜕𝑋𝜕𝑌]

𝑈𝜕𝑉

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑌= −

𝜕𝑃

𝜕𝑌+𝑅𝑒−1 [

𝜕2𝑉

𝜕𝑋2+ 2

𝜕2𝑉

𝜕𝑌2+

𝜕2𝑈

𝜕𝑋𝜕𝑌]

+ 𝑅𝑖𝜃 Energía:

𝑈𝜕𝜃

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝜃

𝜕𝑌= 𝑅𝑒−1𝑃𝑟−1 [

𝜕2𝜃

𝜕𝑋2+

𝜕2𝜃

𝜕𝑌2]

Turbulencia:

𝑈𝜕𝐾

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝐾

𝜕𝑌= 𝑅𝑒−1 [

𝜕2𝐾

𝜕𝑋2+

𝜕2𝐾

𝜕𝑌2] − 𝜀∗ + 𝑃∗ + 𝐺∗

𝑈𝜕𝜀∗

𝜕𝑋+ 𝑉

𝜕𝜀∗

𝜕𝑌= 𝑅𝑒−1 [

𝜕2𝜀∗

𝜕𝑋2+

𝜕2𝜀∗

𝜕𝑌2] +

𝜀∗

𝐾[𝒄𝟏(𝑃∗

+ 𝐺∗) − 𝒄𝟐𝜀∗] Donde:

𝐺∗ =−𝑅𝑖

𝑅𝑒 ∙ 𝜎𝑇[𝜕𝜃

𝜕𝑌]

15

𝑃∗ = 𝑅𝑒−1 [2 (𝜕𝑈

𝜕𝑋)

2

+ 2 (𝜕𝑉

𝜕𝑌)

2

+ (𝜕𝑈

𝜕𝑌+

𝜕𝑉

𝜕𝑋)

2

+ 2𝑉2]

Condiciones de borde

𝑈(0.05,0.65 < 𝑌 < 0.7) = 1 𝑈(0.95,0.65 < 𝑌 < 0.7) = −1

𝑉(0.4 < 𝑋 < 0.5,0) = −1 𝑈(0 < 𝑋 < 0.4,0 < 𝑌 < 0.42) = 0 𝑉(0 < 𝑋 < 0.4,0 < 𝑌 < 0.42) = 0

𝑈(0.4 < 𝑋 < 0.5,0 < 𝑌 < 0.2) = 0 𝑉(0.4 < 𝑋 < 0.5,0 < 𝑌 < 0.2) = 0

𝑈(0.7 < 𝑋 < 1,0 < 𝑌 < 0.35) = 0

𝑉(0.7 < 𝑋 < 1,0 < 𝑌 < 0.35) = 0 𝑈(0 < 𝑋 < 0.05,0.65 < 𝑌 < 1) = 0

𝑉(0 < 𝑋 < 0.05,0.65 < 𝑌 < 1) = 0

𝑈(0.95 < 𝑋 < 1,0.65 < 𝑌 < 1) = 0 𝑉(0.95 < 𝑋 < 1,0.65 < 𝑌 < 1) = 0

𝑈(0,0 < 𝑌 < 0.7) = 𝑣(0,0 < 𝑌 < 0.7) = 0 𝑈(1,0 < 𝑌 < 0.7) = 𝑣(1,0 < 𝑌 < 0.7) = 0

𝑈(0 < 𝑋 < 1,0.7) = 𝑣(0 < 𝑋 < 1,0.7) = 0

𝑈(0 < 𝑋 < 1,0) = 𝑣(0 < 𝑋 < 1,0) = 0 𝜃(0.05,0.65 < 𝑌 < 0.7) = −1

𝜃(0.95,0.65 < 𝑌 < 0.7) = −1 𝜃(0,0.42 < 𝑌 < 0.65) = 1

𝜃(1,0.42 < 𝑌 < 0.65) = 1 𝜕𝜃

𝜕𝑋(0 < 𝑋 < 0.4,0 < 𝑌 < 0.42) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑌(0 < 𝑋 < 0.4,0 < 𝑌 < 0.42) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑋(0.4 < 𝑋 < 0.5,0 < 𝑌 < 0.2) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑌(0.4 < 𝑋 < 0.5,0 < 𝑌 < 0.2) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑋(0.7 < 𝑋 < 1,0 < 𝑌 < 0.35) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑌(0.7 < 𝑋 < 1,0 < 𝑌 < 0.35) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑋(0 < 𝑋 < 0.05,0.65 < 𝑌 < 1) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑌(0 < 𝑋 < 0.05,0.65 < 𝑌 < 1) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑋(0.95 < 𝑋 < 1,0.65 < 𝑌 < 1) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑌(0.95 < 𝑋 < 1,0.65 < 𝑌 < 1) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑋(1,0.35 < 𝑦 < 0.4) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑌(0.5 < 𝑋 < 0.7,0) = 0

𝜕𝜃

𝜕𝑌(0.05 < 𝑋 < 0.95,0.7) = 0

Escalas:

𝑈 =𝑢

𝑈𝑜; 𝑉 =

𝑣

𝑈𝑜; 𝑋 =

𝑥

𝐿; 𝑌 =

𝑦

𝐿; 𝜃 =

2𝑇

𝑇𝐻 − 𝑇𝐶

𝑃 =𝑝

𝑃0; 𝑃0 = 𝜌𝑈0

2; 𝐾 =𝑘

𝑈02 ; 𝜀∗ =

𝜀𝐿

𝑈03

𝐸𝑢 =2∆𝑝

𝜌𝑈02 ; 𝑅𝑒 =

𝑈𝑜∗𝐻

𝜈; 𝑃𝑟 =

𝜈

𝛼; 𝐺𝑟 =

𝑔∙𝛽∙𝐻3∙∆𝑇°

𝜈2 ; 𝑅𝑖 =

𝐺𝑟

𝑅𝑒2

Parámetros del problema: Aire

Prandtl 0.71 Euler 1


1 109 105 0.1

2 1010 105 1

3 1010 106 100 Tabla 1. Parámetros numéricos del problema

Metodología de solución:

Se utiliza el programa SAINTS, el cual

ocupa el método SIMPLE con la adición de

turbulencia y medios porosos. Se utiliza una malla

de 80x56 nodos, es decir para las longitudes

dadas, se genera una malla estructurada

cuadrada. El criterio de convergencia principal es

que el residuo máximo debe ser del orden de 10-4.

Figura 60. Malla utilizada en el programa.

16

Resultados:


1 109 105 0.1

Figura 61.

Error máximo (I,J) TiempoCPU [s] 3.045802E-04 (3,36) 233.203100


2 109 105 0.1

Figura 62.


17


3 1010 106 100

Figura 63.


Análisis:

Como era de esperarse, los números de

Reynolds, Grashof y Richardson influyen

claramente en las líneas de corriente y como

consecuencia en la distribución de temperatura. Se

puede observar que a mientras mayor es la

convección forzada, mayor área del dominio tiene

una temperatura baja.

Discusión:

Se observa también que en los tres casos

la zona superior adyacente al minibar no es influida

significativamente por los cambios de temperatura,

para solucionar ello se podría cambiar el diseño del

aparato de aire acondicionado en la esquina

superior derecha de manera que todo el dominio

se vea influenciado por la temperatura baja.

Conclusiones:

El efecto de la convección mixta dentro de

una cabina de una limusina con diferentes

parámetros en la transferencia de calor fue

estudiado obteniendo diferentes resultados

gráficos. Se puede concluir que para obtener una

mayor cantidad de transferencia de calor en

convección mixta para las condiciones dadas, la

velocidad de entrada debe ser lo más grande

posible, aunque no se ha tomado en cuenta el

confort de los ocupantes del vehículo.

18

Referencias:

1. Moallemi, M. K. & Jang, K. S. (1992). Prandtl

number effects on laminar mixed convection

heat transfer in a lid-driven cavity. Int. J. Heat

Mass Tran., Vol. 35, pp. 1881–1892,

[doi:10.1016/0017-9310(92)90191-T]

2. A. K. Prasad and J. R. Koseff, Combined

forced and natural convection heat transfer in

a deep lid-driven cavity flow, in Heat Transfer

in Convective Flows, HTD- 10’7, pp. 155-162.

ASME: New York (1989).

Bibliografía:

1. “Numerical heat transfer and fluid flow”, Suhas

V. Patankar, 1980.

2. “PC-Aided numerical heat transfer and

convective flow”, Akira Nakayama, 1994.

proyecto 3 - mecanica de fluidos 2 - uls

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