mecánica de materiales

1 CAPÍTULO 7 Análisis <te esfuerzos y deformación

Ahora se traza el círculo por los puntuv Ay H con centro en C y radio R (de la ecuación 7-3Ib) igual a

//-50MPa - lOMPaV 777 - /í j+ <-40 Mpa>‘ “ 50 Mpa

a) Esfuerzos sobre un elemento inclinado un ángulo t i = 45®. Los esfuerzos que actúan sobre un plano orientado según un ángulo t i ■ 45°, están dados por las coordenadas del punto D, que se halla a un ángulo 2t i « 90® desde el punto A (figura 7-2lb). Para evaluar estas coordenadas necesitamos conocer c! ángulo entre la linca CD y el eje a x negativo (es decir, el ángulo DCPi), lo que a su vez requiere que cooozcamos el ángulo entre la línea CA y el eje <r x ¡ negativo (ángulo ACP*l Estos ángulos se determinan a partir de la geometría del círculo como sigue:

40 MPa 4*-^-3Ói¡PÍ-3 ACP¡ - 53.13*

FIG 7-22 Ejemplo 7-6 (continuación), (a) esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado a t i

• 45°; (b) esfuerzos principales y (c) esfuerzos cortantes máximos.

DCP 2 = 90° -

ACP 2 — 90° - 53.13° = 36.87°

Conocidos estos ángulos, podemos obtener las coordenadas del punto D directamente de la figura:

(Punto D) a l x = -20 MPa -

(50 MPaKcos

36.87°) = -60 MPa

«"i rM % J i = (50

(a)(c)

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2 CAPÍTULO 7 Análisis <te esfuerzos y deformación

MPaXsc

n

36.87*

) = 30

MPa

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4 CAPÍTULO 7 Análisis de esfuerzos y deformación


7.5 LEY DE HOOKE PARA EL ESFUERZO PLANO

&11»

F16.7-23 Elemento de material en el es-fuerzo plano (a. = 0).

Los esfuerzos que actúan sobre planos inclinados cuando el material está

sometido al esfuerzo plano (figura 7-23) se analizaron en las secciones 7.2, 7.3 y 7.4. Las ecuaciones de transformación de esfuerzos

deducidas en esos análisis se obtuvieron solamente a partir de consideraciones de equilibrio, y por tanto no se requirieron las propiedades de los materiales. En esta sección investigaremos ahora las deformaciones

en el material, esto significa que debemos considerar las propiedades del material. Ahora bien, limitaremos el análisis a materiales que satisfagan dos condiciones importantes: primero, el material es

uniforme en lodo el cuerpo, con

las mismas propiedades en

todas direcciones (materiales homogéneos e isótropos). y segundo, el material

obedece la ley de Hooke (materiales clásticolincalcs). Con estas condiciones resulta fácil obtener las relaciones entre

r~

SECCIÓN 7.5 Ley de Hooke para el esfuerzo plano 5

los esfuerzos y las deformaciones en el cuerpo.

Comencemos considerando las deformaciones normales e„ e y

y e : en el esfuerzo plano. Los efectos de dichas deformaciones se exhiben en la figura 7-24, que muestra los cambios en dimensiones de un elemento ¡nfinitesimalmentc pequeño con bordes de longitud

a. b y c. Las tres deformaciones ilustradas son positivas (alargamientos). Las deformaciones pueden expresarse en témtinos de los esfuerzos (figura 7-23) sobreponiendo los efectos de los esfuerzos individuales.

Por ejemplo, la deformación e, en la dirección .r debida al esfuerzo a, es igual a <r,/E, donde E

es el módulo de elasticidad. Además, la deformación e, debida al esfuerzo <rv es igual a - i trJE. donde ves la razón de Poisson (véase la sección 1.5). Por supuesto, el esfuerzo cortante no produce deformaciones normales en las direcciones x. y o z. Entonces, la deformación resultante en la dirección x es

FIO. 7-24 Elemento de material sometido a deformaci

ones normales t„ «.• y <r<« ■ “(«y. “ wy)

Obtenemos las deformaciones en las direcciones y y ; de manera similar

(7-34a)

(7-34b. c)—{<ry - w.)

Estas ecuaciones pueden usarse para encontrar las deformaciones normales (en los

esfuerzos planos) cuando se conocen los esfuerzos.

El esfuerzo cortante rxy (figura 7-23) ocasiona una distorsión del elemento tal

que cada cara z se convierte en un rombo (figura 7-25). La deformación cortante yxy es la disminución del ángulo entre las caras x y y del elemento y se relaciona con

el esfuerzo cortante mediante la ley de Hooke en cortante como sigue:

(7-35)y*r

SECCIÓN 7.5 Ley de Hooke para el esfuerzo plano 7

ncs (en el esfuerzo plano) cuando todos los esfuerzos (rz,. y r„) actúan al mismo tiempo.

Las primeras dos ecuaciones (ecuaciones 7-34a y 7-34b) dan las deformaciones e, y e, en términos de los esfuerzos. Estas ecuaciones pueden resolverse simultáneamente para los esfuerzos en términos de las deformaciones:

a t - E 2 (í, + Me») <r v = j (í¥ + Mf,) (7-36a. b)

1 - v 1 - V

Además, tenemos la siguiente ecuación para el esfuerzo cortante en términos de la deformación cortante:

Tr, = Gjry (7-37)

Las ecuaciones (7-36) y (7-37) son útiles para encontrar los esfuerzos (en el esfuerzo plano) cuando se conocen las deformaciones. Por supuesto. el esfuerzo normal a. en la dirección z es igual a cero.

Las ecuaciones (7-34) a la (7-37) se conocen colectivamente como ley de Hooke para el esfuerzo plano Contienen tres constantes del material (£. G y r) pero sólo dos son independientes debido a la relación

°-2(7T1Í <7-38’

la cual ya se dedujo en la sección 3.6.

Casos especiales de la ley de Hooke

En el caso especial de esfuerzo bixxial (figura 7-10b). tenemos r„ =0. por lo que la ley de Hooke para el esfuerzo plano se simplifica a

1 , > 1 , fx = — (ax - i*Ty) ey = — {<ry - txrx)

c z ■ —j «7, + <r}) (7-39i,b. c)

£ £ tr , -£ Ux + «y) t(f> + «,) (7-40a.b)

Estas ecuaciones son las mismas que las ecuaciones (7-34) y (7-36) porque los efectos de los esfuerzos normales y cortantes son independientes unos de otros.

Para el esfuerzo uniaxial con */, = 0 (figura 7-IOa), las ecuaciones de la ley de Hooke se simplifican más aún:

ÍTX \HJX*r = — Cy = € z = —— <TX = Ec t (7-4la, b. c)

Por último, consideramos el esfuerzo plano (figura 7-1 la), que significa que a x — <rv

= 0. Obtenemos entonces

= o (7-42a.b)

En estos tres casos especiales, el esfuerzo normal a. es igual a cero.

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SECCIÓN 7.5 Ley de Hooke para el esfuerzo piano 9


yd

--ILL

V

o- - X

AV, = T=<' + <> +

<» Y 0

Aplicando esta ecuación a un elemento diferencial de volumen e in-

tegrándola después, es posible obtener el cambio en el volumen de un cuerpo aún cuando

las deformaciones normales varíen a todo lo largo del cuerpo.

Las ecuaciones anteriores para los cambios de volumen son aplicables tanto para deformaciones de tensión como de compresión, puesto que las deformaciones t y

y son cantidades algebraicas (positivas para el alargamiento y negativas para el acortamiento). Con esta convención de signos, los valores positivos para AV y para e representan aumentos del volumen, en tanto que los valores negativos representan reducciones.

Regresemos a los materiales que sigue la ley de Hooke y que están sometidos solamente a un esfuerzo plano (figura 7-23). En este caso, las deformaciones („ « y y «. están dadas por las ecuaciones (7-43 a. b y c). Sustituyendo estas relaciones en la ecuación (7-46). tenemos la siguiente expresión para el cambio unitario de volumen en función de los esfuerzos:AV' _ 1-2v V0

Observe que esta ecuación también es aplicable al esfuerzo biaxial.

Para el caso de una barra prismática en tensión, es decir, sometida a un esfuerzo uniaxial, la ecuación (7-47) se simplifica a_ AV* v0

A partir de esta ecuación, se observa que el máximo valor posible de la razón de Poisson para materiales comunes es igual a 0.5. puesto que un valor mayor significaría que el volumen disminuye cuando el material está en tensión, lo que contradice el comportamiento físico común.

Densidad de la energía de deformación en el esfuerzo plano

La densidad de la energía de deformación u es la energía de deformación almacenada en un volumen unitario del material (véase los análisis en las secciones 2.7 y 3.9). Para un elemento en el esfuerzo plano, podemos obtener la densidad de la energía de deformación consultando a los elementos mostrados en las figuras 7-24 y 7-25. Ya que las deformaciones normales y cortante* ocurren de manera independiente, podemos sumar las energías de deformación de estos dos elementos para obtener la energía total.

Comencemos por encontrar la energía de deformación asociada

(7-46)

(7-47)

(7-4«)

Ha 7-24 (Repetida).

bty

FIG.7-25 (Repetida).

10 CAPtTlAO 7 Análisis de esfuerzos y deformación


con las deformaciones normales (figura 7-24). Puesto que el esfuerzo que actúa sobre la cara x del elemento es a x (véase la figura 7-23), encontramos que la fuerza que actúa sobre la cara x del elemento (figura 7-24) es igual a ajoc. Por supuesto, conforme se aplican cargas a la estructura, esta fuerza se incrementa gradualmente desde cero hasta su valor máximo. Al mismo tiempo, la cara x del elemento recorre la distancia at x \ por lo tanto, el trabajo que realiza esta fuerza es

SECCIÓN 7.5 Ley de Hooke para el esfuerzo piano 11


siempre que la lev de Hooke sea aplicable para el material. Similarmente, la fuerza a yac que actúa sobre la cara y efectúa un trabajo igual a

j(avac)(bet)

La suma de estos dos términos da la energía de deformación almacenada en el elemento:

(O,*, + (Tyty)

Así entonces, la densidad de la energía de deformación (energía de deformación por volumen unitario) debida a los esfuerzos y deformaciones normales es

"i = J +

La densidad de la energía de deformación asociada con las deformaciones de cortante (figura 7-25) se evaluó previamente en la sección 3.9 (véase la ecuación d de esa sección):

«2 = —^— (d)

Al combinar las densidades de energía de deformación para las deformaciones normales y cortantes, obtenemos la siguiente fórmula para la densidad de la energía de deformación en esfuerzo plano:

k = ^ «M* + <Ty*y + Ttvy,v)(7-49)

Sustituyendo las deformaciones de las ecuaciones (7-34) y (7-35). obtenemos la densidad de la energía de deformación en términos sólo de esfuerzos:

u « ^ (trj + <7y - 2vcr,0y) + (7-50)

De manera similar, podemos sustituir los esfuerzos de las ecuaciones (7-36)y (7-37)

y obtener la densidad de la energía de deformación en términos sólo de deformaciones:

« " 2d _ yi) (g- + + (7-51)

Para obtener la densidad de la energía de deformación en el caso especial de esfuerzo biaxial, basta cancelar los términos de cortante en las ecuaciones (7-49), (7-50) y (7-51).

Para el caso especial de esfuerzo uniaxial, sustituimos los valores siguientes

<Ty = 0 T,, =0 €y « - VC, y, y » 0

en las ecuaciones (7-50) y (7-51) y obtenemos, respectivamente.

abe2

12 CAPtTlAO 7 Análisis de esfuerzos y deformación


<r\ EtlU-- *■■■ T (

Estas ecuaciones conctierdan con las ecuaciones (2-44a) y (2-44b) de la sección 2.7.

SECCIÓN 7.6 Estado triaxial de esfuerzos 13

<*■*)« - i


También, para el estado de cortante puro, sustituimos

ax • <Ty - 0 (x “ €y ■0

en las ecuaciones (7-50) y (7-51) y obtenemos

u = í£ <8'h>

Que concucrdan con las ecuaciones (3-55a) y (3-55b) de la sección 3.9.

7.6 ESTADO TRIAXIAL DE ESFUERZOS

Se dice que un elemento de material se encuentra en estado triaxial de esfuerzos al estar sometido a esfuerzos normales a„ a y y a. que actúan en tres direcciones mutuamente perpendiculares (figura 7-26a). Dado que no hay esfuerzos cortantes sobre las caras x, y y

z . los esfuerzos a„ <rv y a. son los esfuerzos

principales en el material.Si se corta un plano inclinado paralelo

al eje ; a través del elemento (figura 7-26b). los únicos esfuerzos sobre la cara inclinada son el esfuerzo normal a y el esfuerzo cortante r. que actúan paralelos al plano xy y son análogos a los esfuerzos a, x y t,(J| que hallamos en el análisis del esfuerzo plano (véase, por ejemplo, la figura 7-2a). Puesto que los esfuerzos a y r (figura 7-26b) se encuentran a partir de ecuaciones de equilibrio de fuerzas en el plano xy, son independientes del esfuerzo normal a.\ por lo tanto, podemos usar las ecuaciones de transformación del esfuerzo plano y el círculo de Mohr para el esfuerzo plano al determinar los esfuerzos ay r en el estado triaxial de esfuerzos. La misma conclusión general es válida para los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre planos inclinados cortados a través del elemento paralelo a los ejes x y y.

Esfuerzos cortantes máximos

Por nuestros análisis del esfuerzo plano, sabemos que los esfuerzos cortantes máximos se presentan en planos orientados a 45° respecto a los planos principales; por lo

tanto, para un material en el estado triaxial de esfuerzos (figura 7-26a). los esfuerzos cortantes máximos se dan en elementos orientados según ángulos de 45° respecto a los ejes x, y y z. Consideremos por ejemplo, un elemento obtenido por una rotación de 45° respecto al eje z. Los esfuerzos cortantes positivo y negativo máximos que actúan sobre este elemento son

FIG. 7-26 Elemento en el estado triaxial de esfuerzos.

a, - a.

(7-52a)

SECCIÓN 7.6 Estado triaxial de ssfuerzos 15


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(7-53a)

fy = ^~ ^ te + (7-53b)

(7-530

En estas ecuaciones se usan las convenciones

estándares de signos; es decir, los esfuerzos de tensión a y las deformaciones de alarga-miento e, son positivas.

Las ecuaciones anteriores pueden



resolverse simultáneamente para los esfuerzos en términos de las deformaciones:

** = (T+-xi

-2,)[( 1 “ **> + + '*>] (7-54b)

* ■ (I i ^1-2^1" "

+ «’• + ‘-'I (7 54c)

Las ecuaciones (7-53) y (7-

54) representan la ley de Hooke para

el estado triaxial de esfuerzos.

En el caso especial de esfuerzo biaxial (figura 7-l0b). podemos obtener las ecuaciones de la ley de Hooke sustituyendo <r.

= 0 en las ecuaciones anteriores. Las ecuaciones resultantes se reducen a las ecuaciones (7-39) y (7-40) de la sección 7.5.

Cambio de



volumen unitario

El cambio de volumen unitario (o dilatación) para un elemento en el estado triaxial de esfuerzos se obtiene del mismo modo que para el

esfuerzo plano (sección 7.5). Si el elemento está sometido a las de-formaciones «„ y f z , podemos usar la ecuación (7-46) para el cambio de volumen unitario:



e « ex

+

+ í,

(7-55

)

Esta ecuación es válida para cualquier material, siempre que las de-formaciones sean pequeñas.

Si la ley de Hooke se cumple para el material,

podemos susti-tuir las deformaciones e4, e, y e. de las ecuaciones (7-53a, b y c) y obtener

e = 1 f

c.2y

(<

r, + <r y

+ <r z)

(7-56)

Las ecuaciones



(7-55) y (7-56) dan el cambio de volumen unitario en el estado triaxial de esfuerzos en términos de las deformaciones y esfuerzos, respectivament

29 CAPÍTULO 7 Análisis de estucaos y deformación

Densidad de la energía de deformación

La densidad de la energía de deformación para un elemento en el estado triaxial de esfuerzos se obtiene por el mismo método usado para el esfuerzo plano. Cuando los esfuerzos a, y <r y actúan solos (esfuerzo biaxial), la densidad de la energía de deformación (de la ecuación 7-49 con el término de cortante cancelado) es

1 ,u ■ T (<?'<, + <r,ey)

Cuando el elemento está en el estado triaxial de esfuerzos y sometido a esfuerzos <r„ tz, y a., la expresión para la densidad de la energía de deformación es

(7-57a)

Si sustituimos las deformaciones de las ecuaciones (7-53a, b y c). obtenemos la densidad de la energía de deformación en términos de los esfuerzos:

u = jg (<r? + a; + tr?) - ~ (tr,<r, + tr xa. + a,a.) (7-57b)

De manera similar, pero con las ecuaciones (7-54a, b y c), podemos expresar la densidad de la energía de deformación en términos de las deformaciones:

-KI» ¿-a»«1-■* + «? + «!>

RG. 7-28 Elemento en el esfuerzo esférico.

+ 2ite,ey + e,

e.

+ e,e.)] (7-57c)

Al usar estas expresiones para calcular, debemos cercioramos de sustituir los esfuerzos y las deformaciones con sus signos algebraicos correctos.

Esfuerzo esférico

Un tipo especial del estado triaxial de esfuerzos, llamado esfuerzo esférico, ocurre cuando los tres esfuerzos normales son iguales (figura 7-28):

<t x ■ oy ■ a. "

(7-59)

tZ(i(7-58)

En estas condiciones de esfuerzo, cualquier plano que corte al elemento estará sometido al mismo esfuerzo normal a 0 y estará libre de esfuerzos cortantes. Tenemos entonces

esfuerzos normales igua-les en toda dirección y ningún esfuerzo cortante en el material. Cada plano es un plano principal y los tres círculos de Mohr de la figura 7-27 se reducen a un solo punto.

Las deformaciones normales en el esfuerzo esférico también son las mismas en todas direcciones, siempre que el material sea homo-géneo e isótropo. Si la ley de Hooke es aplicable, las deformaciones normales son

f <1 - 2.)

como resulta de las ecuaciones (7-53a, b y c).

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Puesto que no hay deformaciones cortantes, un elemento en forma de cubo cambia de tamaño pero conserva la forma de cubo. En general, cualquier cuerpo sometido a esfuerzo esférico mantendrá sus proporciones relativas pero su volumen se dilatará o se contraerá. según si o-« es de tensión o de compresión.

I.a expresión para el cambio de volumen unitario puede obtenerse de la ecuación (7-55) sustituyendo las deformaciones de la ecuación (7-59). El resultado es

, = = JMO,

Por lo general la ecuación (7-60) se expresa en forma más compacta introduciendo una nueva cantidad A', llamada módulo de elasticidad volumétrico o módulo de elasticidad a granel, que se definecomo sigue:

Con esta notación, la expresión para el cambio de volumen unitario es

« - f (7*2)

y el módulo volumétrico es

K = ^ (7-63)

De esta manera, es posible definir el módulo del volunten como la relación del esfuerzo esférico con la deformación volumétrica, que es análoga a la definición del módulo E en el estado uniaxial de esfuerzos. Observe que las fórmulas anteriores para e y K se basan en la suposición de que las deformaciones son pequeñas y

que la ley de Hooke es x-álida para el material .

De la ecuación (7-61) para K. vemos que si la razón de Poisson r-es igual a 1/3, los módulos K y E son numéricamente iguales. Si v = 0, entonces K tiene el valor E/3 y si v = 0.5, K se vuelve infinito. lo cual corresponde a un material rígido que no cambia de volumen (es decir, el material es incompresible).

Las fórmulas anteriores para el esfuerzo esférico se obtuvieron para un elemento sometido a tensión uniforme en toda dirección pero. por supuesto, también se aplican a un elemento en compresión uniforme. En el caso de compresión uniforme, los esfuerzos y las de-



formaciones tienen signos negativos. La compresión uniforme ocurre cuando el material está sometido a una presión uniforme en todas direcciones; por ejemplo, un objeto sumergido en el mar o una roca a una gran profundidad dentro de la corteza terrestre. A este estado de esfuerzo se le suelo denominar esfuerzo hid rosta tico

Aunque la compresión uniforme es relativamente común, un estado de tensión uniforme es difícil de lograr. Puede alcanzarse por el calentamiento repentino y uniforme de la superficie externa de una esfera metálica sólida, de manera que las capas exteriores alcancen una temperatura mayor que la de las capas interiores. La tendencia de las capas exteriores a expandirse, produce tensión uniforme en todas direcciones en el centro de la esfera.



Las deformaciones en un punto de una estructura cargada varían de acuerdo con la orientación de los ejes de manera similar a los esfuerzos. En esta sección obtendremos las ecuaciones de transforma-ción que relacionan las deformaciones en direcciones inclinadas con las deformaciones en las direcciones de referencia. Estas ecuaciones de transformación se utilizan ampliamente en los laboratorios e investigaciones de campo que comprenden mediciones de deformaciones.

Las deformaciones suelen medirse con extensómetros' , por ejemplo. éstos se instalan en aeronaves a fin de medir el comportamiento estructural durante el vuelo, y en edificios con objeto de medir los efectos de los sismos. Puesto que cada extensómetro mide la deformación en una dirección específica, por lo general hay que calcular las deformaciones en otras direcciones por medio de las ecuaciones de transformación.

Deformación plana versus esfuerzo plano

Expliquemos primero qué significa deformación plana y cómo se relaciona con el esfuerzo plano. Consideremos un pequeño elemento de material con lados de longitud a, b y c en las direcciones x,yyz,

respectivamente (figura 7-29a). Si las únicas deformaciones se presentan en el plano xy, entonces pueden existir tres componentes de deformación: la deformación normal e x en la dirección x (figura 7-29b). la deformación normal t y en la dirección y (figura 7-29c) y la deformación cortante y n

(figura 7-29d). Se dice que un elemento de material sometido a estas deformaciones (y sólo a esas deformaciones) se halla en estado de deformación plana.

Se infiere que un elemento en deformación plana no tiene deformación normal e. en la dirección c ni deformaciones corlantes y x . ni ■yy. en los planos xz y yz. respectivamente. Así. la deformación plana se define mediante las siguientes condiciones:

í¿ = 0 y, . = 0 y y : - 0 (7-64a,b.c)

Las deformaciones restantes (*,. « y y y,v) pueden tener valores diferentes de cero.

7.7 DEFORMACIÓN PLANA



R6.7-29 Componente* de deformación f x . fy y y„ en el plano xy (deformación plana).

y

(d)

f/

(c)

X(b)

SECCIÓN 7.7 Ddormaclón plana 35


En la definición anterior, vemos que la deformación plana ocurre cuando las caras frontal y posterior de un elemento de ma-terial (figura 7-29a) están restringidas por completo contra desplazamientos en la dirección z. una condición idealizada que rara vez se cumple en estructuras reales. Ahora bien, esto no significa que las ecuaciones de transformación de la deformación plana no sean útiles. Resulta que son sumamente útiles porque también se aplican a las deformaciones del esfuerzo plano, como se explica a continuación.

La definición de deformación plana (ecuaciones 7-64a, b y c) es análoga a la del esfuerzo plano. En el esfuerzo plano, los siguientes esfuerzos deben ser cero:

tr. = 0 t x : = 0 ryi = 0(7-65a,b,c)

mientras que los esfuerzos restantes (a, . a y y r„) pueden tener valores diferentes a cero. En la figura 7-30 se comparan los esfuerzos y las deformaciones en el esfuerzo plano y en el estado plano de de-formación.

A partir de las semejanzas en las definiciones del esfuerzo plano y de la deformación plana, no debe inferirse que ambos se presentan al mismo tiempo. En general, un elemento en el esfuerzo plano sufrirá una deformación en la dirección ; (figura 7-30); por lo tanto, no está en deformación plana. Además, un elemento en deformación plana suele recibir la acción de los esfuerzos cr. debido al requisito de que «. ■ O. así pues, no está en deformación plana. Entonces, en condiciones ordinarias, el esfuerzo plano y deformación plana no son

simultáneos.

Deformación plana

I".

;o! r-

—><r x

Ksfuer/i» plano

Esfuerzos

r

Í7. = 0 T« = 0 r*«0

(Tg, (7 y y Tgy pueden tener -.-aloro diferentes de cero

i-ry 4os. . . . -

r*«0 ^= 0

tr,, <7r <r. y t„ pueden tener

valores diferentesde cero

R6- 7-30 Comparación del esfuerzo plano con la deformación plana.r« = o y,- = o

*x-y 7iy pueden tener

valores diferentes deceso

«t-o y* = o r« = o

^ y fxy pueden tener valores diferenie* de cero

Deformaciones

SECCIÓN 7.7 D«»onnac¡6n plana 37


Se présenla una excepción cuando un elemento en el esfuerzo plano está sometido a esfuerzos normales iguales y opuestos (es decir, cuando <r x m —* f) y el material obedece la ley de Hookc. En este caso especial, no se tiene deformación normal en la dirección z, como se muestra con la ecuación (7-54c ). de modo que el elemento se encuentra en deformación plana y también en el esfuerzo plano. Otro caso especial, si bien hipotético, se manifiesta cuando un material tiene una razón de Poisson igual a cero (v = 0); entonces, cada elemento en el esfuerzo plano se halla también en la deformación plana porque e : = 0 (ecuación 7-34c).*

Aplicación de las ecuaciones de transformación

Las ecuaciones de transformación de esfuerzos obtenidas para el esfuerzo plano en el plano xy (ecuaciones 7-4a y 7-4b) son válidas aun cuando esté presente un esfuerzo normal a.. La explicación estriba en el hecho de que el esfuerzo a z no entra en las ecuaciones de equilibrio usadas al deducir las ecuaciones (7-4a) y (7-4b); por lo tanto. las ecuaciones de

transformación para el esfuerzo piano pueden usarse también para

los esfuerzas en deformación plana.

Se tiene una situación análoga para deformación plana. Aunque obtendremos las ecuaciones de transformación para la deformación para el caso deformación plana en el plano xy, las ecuaciones valen aunque se tenga una deformación c. (la razón es muy simple: la deformación € z no afecta a las relaciones geométricas usadas en la deducción); por lo tanto, las ecuaciones de

transformación para la deformación plana también pueden

uti l izarse para las deformado- nes en el esfuerzo plano.

Por último, hay que recordar que las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano tan sólo se obtuvieron de consideraciones de equilibrio, de suerte que son válidas para cualquier material, sea clástico lineal o no. I.a misma conclusión es aplicable a las ecuaciones de transformación para la deformación plana ya que como se obtuvieron sólo de consideraciones geométricas, son independientes

de las propiedailes deI material .

Ecuaciones de transformación para la deformación plana



En la obtención de las ecuaciones de transformación para la deformación plana usaremos los ejes

coordenados mostrados en la figura 7-31. Supondremos que se conocen las deformaciones normales e x y €y y la deformación cortante yK y relacionadas con los ejes xy (figura

7-29). Los objetivos del análisis son determinar la deformación normal éM y la deformación cortante y*, *, asociadas con los ejes XjVi, que están girados

en sentido contrario a las manecillas del reloj un ángulo 0 desde los ejes xy (no es necesario

obtener una ecuación separada para la deformación normal e t l porque puede obtenerse de la ecuación para eX { sustituyendo 0 + 90° en lugar de 0).

FIG. 7-31 Los ejes x\ y y% girados unángulo 0 desde los ejes xy. _______

*En los análisis de csic capítulo, omitimos los efectos de k* cambios de tempe- racura y predcfocmactoocs« tos cuales producen defomucione* adiciónale* que pueden alta« algunas de nuestras cunclusxxics.

SECCIÓN 7.7 D«»onnac¡6n plana 39


Deformación normal e, . Para hallar la deformación normal ít| en la dirección X|, consideramos un pequeño elemento de mate-rial seleccionado de manera que el eje esté dirigido a lo largo de una diagonal de la cara z del elemento y los ejes xyy estén a lo largo de los lados del elemento (figura 7-32a). La figura ilustra una vista bidimensional del elemento, con el eje z hacia el observador. Por supuesto, el elemento en realidad es tridimensional, como en la figura 7-29a, con una dimensión en dirección z-

Consideremos primero la deformación e, en la dirección x (figura 7-32a). Esta deformación produce un alargamiento en la dirección x igual a e x dx. donde dx es la longitud del lado correspondiente del elemento. Como resultado de este alargamiento, la diagonal del elemento aumenta de longitud una cantidad

e.dx eos# (a)

según se ve en la figura 7-32a.Consideremos ahora la deformación e, en

la dirección y (figura7- 32b). Esta deformación produce un alargamiento en la dirección y igual ac ydy. donde dy es la longitud dellado del elementoparaleloal eje y. Como resultado deeste alargamiento, la diagonaldel elemento aumenta de longitud una cantidad

e, dy sen 6 (b)

que se presenta en la figura 7-32b.

RG.7-32 Deformaciones de un elemento en deformación plana debido a: (a) defor-mación normal (b) deformación normal e, y (c) deformación cortante y,*.

Hidden pageEntonces, para encontrar la deformación cortante y,,,,, debemos determinar los ángulos a y f ) .

El ángulo a puede hallarse a partir de las deformaciones

SECCIÓN 7.7 Deformación plana 41


mostradas en la figura 7-32. como sigue. La deformación e x (figura 7-32a) produce una rotación horaria de la diagonal del elemento. Denotemos este ángulo de giro



con ay. El ángulo a, es igual a la distancia e, dx

sen 9dividida entre la longitud ds de la diagonal:

a, m

(f — s



en 9 (f)ds

13c manera similar, la deformación ev produce una rotación antihoraria de la diagonal mediante un ángulo a 2



(figura 7-32b). Este án-gulo es igual a la distancia e y dx eos 0dividida entre ds:

dya2 = €, —



cos9 (g)

Para finalizar, la deformación y x , produce una rotación horaria me-diante un ángulo (figura



7-32c) igual a la distancia y x >

dy sen »/di-vidida entre ds:

dxa

3 = yxy-±xnf



í (h)

Por lo tanto, la rotación en sentido contrano a las manecillas del reloj resultante de la diagonal (figura 7-32), igual al



ángulo a mostrado en la figura 7-33. es

a = — Oj+ a 2 - ay

dxí/v

dy= —sen 0 +



— eos O -

yxy — sen 0

(i)ds 'ds ' ds

Al observar de nuevo que dx/ds = eos 0 y dy/ds



= sen 0. obte-nemos

a = -(e* - € y)sct \ 0 eos 0 - yM > sen2 0

(7-68)

La rotación de la línea Ob (figura 7-33), que se



encontraba inicialmente a 90° con respecto a la línea Oa% puede encontrarse sustituyendo 0 4- 90° en lugar de 0cn la expresión para a. La expresión resultante es



positiva en sentido contrario a las manecillas del reloj (porque a es positiva en ese sentido), por lo cual es igual al negativo del ángulo ( i (porque f i es

positivo en el sentido de las manecillas del reloj). Entonces,

/3 = (e, -

Osen {0 +

9Oc)cos<0 •+

90*) + yX J

sen2 (0 4-



90a) ■ -(í,

- €,) sen

icos 0 + y,,

eos2 0 (7-69)Al sumar ay f i resulta la deformación cortante y x ¡ y i (véase la ecuación 7-67):



y,iy| = ~2(€, - «,)scn 9eos 9 +

y x , (eos2 9 - sen2 9) (j)



Para poner la ecuación en una forma más útil, dividimos cada término entre 2:

~lj~ = —~ fjscn 0COS0 + ~~

feos2 0- scn:0) (7-70)



Tenemos ahora una expresión para la deformación cortante yXifx

asociada con los ejes *|>'| en términos de las deformaciones e„ e, y y,, relacionada con los ejes xy.

Ecuaciones de



transformación para la deformación plana. Las ecuaciones para la deformación plana (ecuaciones 7-66 y 7-70) pueden expresarse en términos del ángulo 26 usando las



siguientes identidades trigonométricas:

eos2 0 = ~ (1 + eos 20) sen2 0 = y (I - eos

20)

sen 0cos 0 = -7 sen 20 2

Así pues, las



ecuaciones de transformación para la deformación plana son

e, + €v ,-“ 2 2

y

— eos 20 + sen 20 (7-7 la)

m - ~~~~ sen 20 + —• eos 20

í í te

Esfuerzos Deformaciones

<**

°y

T*y

r*\y\ y*iyfí

Estas ecuaciones son la contraparte de las

(7-7 Ib)



ecuaciones (7~4a y b) pa-ra el esfuer

zo plano.

Al comparar los dos conjuntos de ecuaciones, observe que ct| corresp



onde a a„ t y.,,,/2 corresponde a T I j y ¡ ,

e,

corresponde a tr„ e t corresponde a oy. y y,

v/2 corresponde a r x y . Las variables corres-



pondientes en los dos conjuntos de ecuaci

ones de transformación están listadas en la tabla 7-1.

La analogía entre las ecuacio



nes de transformación para el es-fuerzo

plano y para la deformación plana muestra que todas las observaciones hechas en las



secciones 7.2. 7.3 y 7.4 relativas al es-

fuerzo plano, esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos y círculo



de Mohr. tienen sus contrapartes en la def

ormación plana. Por ejemplo, la suma de las deformaciones normales en direcci

ones perpendiculares es una constante (co

mpárese la ecuación 7-6):

+ «y, = «, + <y(7-72)

Es fácil comprobar esta

igualdad sustituyendo las expresiones par

a <t| (de la ecuación 7-7la) y eV| (de la ecuación 7-7la con 0 reemplazada por 0 +



90°).

SECCIÓN 7.7 Deformación piaña 71


Deformaciones principales

La* deformaciones principales existen sobre planos perpendiculares con los ángulos principales 6P calculados con la siguiente ecuación (compárela con la ecuación 7-11):

(7-73)

Las deformaciones principales pueden calcularse con la ecuación

que corresponde a la ecuación (7-17) para los esfuerzos principales. Las dos deformaciones principales (en el plano xy) pueden correlacionarse con las dos direcciones principales usando el procedimiento descrito en la sección 7.3 para los esfuerzos principales (que se ilustra luego en el ejemplo 7-7). Por último, observe que la tercera deformación principal es = 0 en la deformación plana. Además, las deformaciones cortantes también son cero sobre los planos prin-cipales.

Deformaciones cortantes máximas

Las deformaciones cortantes máximas en el plano xy se asocian con ejes a 45° respecto a las direcciones de las deformaciones principales. La deformación cortante algebraicamente máxima (en el plano xy) está dada por la siguiente ecuación (compárela con la ecuación 7-25):

La deformación cortante mínima tiene la misma magnitud pero es negativa. En las direcciones de la deformación cortante máxima, las deformaciones normales son



(7-76)

que es análoga a la ecuación (7-27) para esfuerzos. Las deformaciones cortantes máximas fuera del plano; es decir, las deformaciones cortantes en los planos xz y yz, pueden obtenerse de ecuaciones análogas a la ecuación (7-75).

Un elemento en el esfuerzo plano orientado según las direcciones principales de esfuerzo (observe la figura 7-12b), no recibe la acción de los esfuerzos cortantes sobre sus caras; por lo tanto, la deformación cortante yV| para este elemento es cero. Se infiere que las deformaciones normales en este elemento son las deformaciones principales. Entonces, en un punto dado de un cuerpo sometido a esfuerzos, las deformaciones principales y

los esfuerzos principales se presentan en las mismas direcciones.

Círculo de Mohr para la deformación plana

El círculo de Mohr para la deformación plana se construye igual que el círculo para el esfuerzo plano, como se ilustra en figura 7-34. 1.a deformación normal el( se traza como abscisa (positiva hacia la derecha) y la mitad de la deformación cortante (y,)V|/2). como ordenada (positiva hacia abajo). El centro C del círculo tiene una abscisa igual a «p,om (ecuación 7-76).

El punto A. que representa las deformaciones asociadas con la dirección x

(0 = 0). tiene coordenadas <T y y„/2. El punto B, en el extremo opuesto de un diámetro desde A, posee coordenadas e y y —

y tJ2, y representa las deformaciones vinculadas con un par de ejes girados en un ángulo 0 = 90°.

Las deformaciones relacionadas con los ejes girados un ángulo 6 están dadas por el punto D que se localiza sobre el círculo midiendo un ángulo 20 en sentido contrano a las manecillas del reloj desde el radio CA. Los puntos P¡ y P : representan las deformaciones principales y los puntos 5| y S>. las deformaciones cortantes máximas. Todas estas deformaciones pueden determinarse de la geometría del círculo o con las ecuaciones de transformación.

Medición de la deformación

Un extensómetro de resistencia eléctrica es un dispositivo para medir deformaciones normales sobre la superficie de un objeto sometido a esfuerzos. Tales exteasómetros son tan pequeños que sus longitudes varían entre un octavo y media pulgada. Se adhieren firmemente a la superficie del objeto, de manera que cambian de longitud en proporción a las deformaciones del objeto.



FIO. 7-34 lil círculo de Nfohr puní la deformación plana.Hidden page

————————^^Ejemplo 7-7

Un elemento de material en la deformación plana experimenta la* siguien-tes deformaciones:

€x

* 340 X l(T6

€ym

110 X 10"6

yK

y

-



180 x 10“6

Estas deformaciones se muestran muy exageradas en la figura 7-36a. la cual ilustra las deformaciones de un elemento de dimensiones unitarias. Como los

bordes del elemento tienen longitudes unitarias, los cambios en las dimensiones lineales poseen la* mismas magnitudes que las deforma-ciones normales e, y € y . La deformación cortante



yxv es la disminución del ángulo que está en la esquina inferior izquierda del elemento.

Determine las siguientes

cantidades: a) las

340 x 10-*

deformaciones para un ele-mento orientado a un ángulo $ m 30°. la* deformaciones principales y c) las deformaciones cortantes máximas (considere sólo las deformaciones en el



plano y muestre todos los resultados sobre croquis de elementos orienta-dos de manera apropiada).

(b)

F16.7-38 Ejemplo 7-7. Elemento de ma



terial en la deformación plana: (a) elemento o

rientado según los ejes x y y, (b) elemento or



ientado a un ángulo $ m

30°; (c) deformaciones

principales y (d) deformaciones cortantes máxi



mas. (Nota: los bordes de los elementos tienen

longitudes unitarias.)

Solucióna) Elemento orientado a un ángulo $ = 3(X\ Las

deformaciones para un elemento orientado a un ángulo 0 respecto al eje x pueden encontrarse de las ecuaciones de transformación (ecuaciones 7-7la y 7-7Ib). Como aspecto preliminar, efectuaremos primero los siguientes cálculos:

— - 90 X 10 *

Sustituimos en las ecuaciones (7-7la) y (7-7lb). y obtenemos

í' + e’ 1 *■ € >eos2(9 + ^ sen 2»

2 2 2 « (225 x 10"*) + (115 x 10'*)(co»

60°) + (90 x 10_6Vscn60o) = 360 X 10-6

- - -*-=-£ *cn 26 + a» 2tí

= -(115 x I0"6Xscn60®) + (90 x

10"6Xcos60°)

= -55X 10-6

Por lo tanto, la deformación cortante es

-110XI0-6 4"

La deformación e } ] puede obtenerse de la

ecuación (7-72). como sigue:

£V| = í, + e)-é,I = <M0+ 110-360)I(T* = 90

x ICT6

Las deformaciones e,Jt tri y y g % y se muestran en lu figura 7-36b para un elemento orientado a 0 = 30°. Observe que el ángulo en la esquina inferior izquierda del elemento crece porque y%jV, es negativo.

b) Deformaciones principales. Las deformaciones principales se determinan con facilidad

=

mediante la ecuación (7-74) corno sigue:

= 225 X 10"* ± V(115 X IO-6)2 + <90 X IO-6)2

= 225 X 10 6 ± 146 X 10"*

Asi, las deformaciones principales son

é, = 370 X ICT* * m 80 X 10"*

Hidden page



Ejemplo 7-8__Una roseta de deformación a 45° (llamada también roseta rectangular consiste en tres extensómetros de resistencia eléctrica dispuestos para medir deformaciones en dos direcciones perpendiculares y también a un ángulo de 45° entre ellos, como se observa en la figura 7-37a. La roseta



se adhiere a la superficie de la estructura antes de que ésta se cargue. Los ex-tensómetros A. B

y C miden las deformaciones normales c„ y «, en las direcciones de las líneas Oa, Ob y Oc, respectivamente.

Explique cómo obtener las deformaciones eX x % eT| y yX l 7 l asociadas con un elemento



orientado según un ángulo 0 respecto a los ejes xy (figura7-37b).

Solución

En la superficie del objeto esforzado, el material está en el esfuerzo plano. Como las ecuaciones de transformación de las deformaciones (ecua-ciones 7-7la y 7-7Ib) son aplicables al esfuerzo plano y también a la



deformación plana, podemos usarlas para determinar las deformaciones en cualquier dirección deseada.

Deformaciones asociadas con los ejes xy. Comenzamos determinando las deformaciones asociadas con los ejes xy. Como los extensómetros A

y C están alineados con los ejes x y y, respectivamente, dan las



deformaciones 6j y 6*. directamente:

(7.77a, b)

Para obtener la deformación cortante y x y % usamos la ecuación de transformación para deformaciones normales (ecuación 7-7la):

eos 20+1

sen20

Para un ángulo 0 = 45°. sabemos que ét( = (figura 7-37a); por lo tanto, la ecuació



n anterior da

R6.7-37 Ejemplo 7-8. (a) roseta de deformación a

45° y (b) elemento orien-tado según un ángulo 0 respecto a los cjesxy.

- ■ + - 2 -■ (eos 90°) + ^ (sen 90°)

Despejamos y^

(a)



y obtenemos

y x y = 2e* - e* - (7-78)

Así entonces, las deformas*iones

y

y*, se

determinan fácilmente a partir de las lecturas dadas por los extensómetros.

Deformaciones asociadas con los ejes x,yi. Conocidas las deforma-ciones €*, e, y y,y,



podemos calcular las deformaciones para un elemento or

ientado a cualquier ángulo 0 (figura 7-37b) a partir de las ecuaciones de transformación para las deformaciones (ecuaciones 7-7la y 7-7Ib),



o bien, con ayuda del círculo de Mohr. Podemos calcular t

ambién las deformacio-nes principales y las deformaciones cortantes máximas de las ecuaciones (7-74) y (7-75), respectivamente.

Problemas 101

PR08. 7.2-5


PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 7Esfuerzo plano

7.2- 1 Un elemento en esfuerzo plamt está sometido a los esfuerzos = 6 500 lb/pulg*. oy = 1 700 lb/pulg2 y r x y = 2 750 lb/pulg\ como se ve en la figura.

Determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado a un ángulo 0 = 60° respecto ai eje x. donde el ángulo Oes positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj. Muestre estos esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado según el ángulo 0.

PR06.7.2-1

7.2- 2 Resuelva el problema anterior para tr x = 80 MPa, <r y = 52 MPa. Tgy = 48 MPa y 0 = 25° (véase la figura).

PR08. 7.2-2

7.2- 3 Resuelva el problema 7.2-1 con a x ■ -9 900 Ib/pulg*'. - -3 400

lb/pulg*\ 7y, = 3 600 Ib/pulg*’ y 0 •

I 3 400 lb/pulg:

9 900 Ib/pulr

<7V= I 700 ItVpulg2

(TI«6 500 Ib/pulg2Íax » 6 50 Jij. » 2

750 lb/pulg:

O

PR08.7.2-3

7*2-4 Los esfuerzos que actúan en el elemento A en el alma de un riel de tren son de 42 MPa en tensión en dirección horizontal y de 140 MPa en compresión en dirección vertical (véase la figura). Los esfuerzos cortantes son de 60 MPa de magnitud y actúan en los sentidos mostrados.

Determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado a un ángulo contrario a las manecillas del reloj de 48° desde la horizontal. Muestre los esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado según este ángulo.

52 MPa

48 MPa80 MPa



50° (observe la figura).

7.2- 5 Resuelva el problema anterior si los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre el elemento A son de 7 500. 20 500 y 4 800 Ib/pulg2 (en las direcciones es que se muestran en la figura) y el ángulo es de 30° (en sentido contrario a las manecillas del reloj).

140 MPa

VistalateralPR08. 72-4Seccióntransversal

20 500 Ib/pulg2

500 Ib/pulg2

Prosternas 103

PR08. 7.2-12 PR08. 7.2-14


7.2- 6 Un elemento en el esfuerzo plano

que forma parte del fuselaje de un avión, se ve sometido a esfuerzos de compresión con una magnitud de 25.5 MPa en dirección horizontal y a esfuerzos de tensión con magnitud de 6.5 MPa en dirección vertical (véase la figura). Además, en las direcciones que se muestran, actúan esfuerzos de cortante con una magnitud de 12.0 MPa.

Determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado a 40° en sentido de las manecillas del reloj con respecto a la horizontal. Muestre esos esfuerzos en un diagrama de un elemento con dicha orientación.PB06. 72-8

J I 350 lb/pulg:

o

120 lb/pulg;

MPa

20 MPa

MPaB

1 12 Ib/pul g 2



7.2- 6 Resuelva el problema anterior considerando que los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre el elemento B son de 54, 12 y 20 MPa (en las direcciones que se mue%tran en la figura) y el ángulo es de 42.5° (en sentido de las manecillas del reloj).7.2- 10 Resuelva el problema anterior considerando que los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre el elemento son av = 2 100 kPa. a y = 300 kPa y 7P = -560 kPa, y el cordón de \oldadum forma

un ángulo de 22.5* con respecto al elemento (véase la figura).

Prosternas 105

PR08. 7.2-12 PR08. 7.2-14


7.2- 13 En un punto sobre la superficie de una máquina, el material se encuentra en esfuerzo biaxial con cz, = 3 600 lb/pulg2 y a y m — 1 600 lb/pulg2. según se ve en la primera pane de la figura; la segunda parte presenta un plano inclinado aa cortado a través del mismo punto en el material, pero orientado según un ángulo 6.

Determine el valor del ángulo 6 entre cero y 90a tal que ningún esfuerzo normal actúe sobre el plano aa. Esboce un elemento de esfuerzo que tenga el plano aa como uno de su* lados y muestre todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento.

ÍT i i— O t

tt

m u i

PROS. 7.2-10

PflOB. 7.2-13

7.2- 14 Resuelva el problema anterior para trM = 32 MPa y <r y

- -50 MPa (véase la figura).

7.2- 12 Resuelva el problema antcnor para una placa con

dimensiones de 100 mm X 250 mm, sometida a un esfuerzo de compresión de 2.5 MPa en dirección larga y un esfuerzo de tensión de 12.0 MPa en dirección corta (véase la figura).

12.0 MPa

ttttfTTT IT

2.5 MPa-

:=

— ■i —

111 111 LL LL

PR06. 72-11

t

50 MPa

Prosternas 107

PR08. 7.2-12 PR08. 7.2-14


7.2- 15 Un elemento en el esfuerzo

plano del chasis de un auto de carreras está orientado según un ángulo conocido 0 (véase la figura). Sobre este elemento inclinado, los esfuerzos normales y corlantes tienen las magnitudes y direcciones mostradas en la figura.

Determine los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre un elemento cuyos lados son paralelos a los ejes xy\ es decir, encuentre cr„ <r y y Muestre los resultados en el diagrama de un elemento orientado a 0 = 0o.

PR06. 72-17

•7.2-18 La superficie del ala de un avión está sometida al esfuerzo plano con los esfuerzos normales a x y <r y y el esfuerzo cortante como se muestra en la figura. A un ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj de 0 = 30° desde el eje x, el esfuerzo normal es de 35 MPa a tensión y a un ángulo 0 = 50°

XI

<rx » 2 000 Ib/pulg:



es de 10 MPa a compresión.Si el esfuerzo aM es de 100

MPa a tensión, ¿cuáles son los esfuerzos a y y r^?

72-16 Resuelva el problema anterior para el elemento que se muestra en la figura.

PR08.72-16-7

I-

PR06. 72-18

*72-19 En un punto de una estructura sometida al rr- fuerzo plano. los esfuerzos son o x - -4 000 lb/pulg2. (7y m 2 500 lb/pulg2

y = 2 800 lb/pulg2 (en la figura7- 1 se muestra la convención de signos para estos esfuer-zos). Un

elemento de esfuerzo ubicado en el mismo punto de la estructura, pero que forma un ángulo 0, en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al eje x. está sometido a los esfuerzos que se muestran en la figura (o*. r h y 2 000 lb/pulg2).

Suponiendo que dicho ángulo 0, se encuentra entre cero y 90°. calcule el esfuerzo normal a b % el esfuerzo corlante r*y el ángulo $ t .

100 MPaOv

>' 26.7 MPa

Problemas 109


PflOB. 7.2-19

Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximosAl resolver los problemas de la sección 7.3. considere sólo los esfuerzos en el plano (los esfuerzos en el plano xy).

7.3- 1 Un elemento en el esfuerzo plano está sometido a los esfuerzos o n = 6 500 Ib/pulg2, <r y = I 700 Ib/pulg2 y Tiy * 2 750 Ib/pulg2 (véase la figura del problema 7.2-1).

Determine los esfuerzos principales y muéstrelos en un diagrama de un elemento bien orientado.

7.3- 2 Un elemento en el esfuerzo plano está sometido a los esfuerzos <rK - 80 MPa, oy ■ 52 MPa y r x y = 48 MPa (véase la figura del problema 7.2-2).

Determine los esfuerzos principales y muéstrelos en un diagrama de un elemento orientado de forma apropiada.

7.3- 3 Un elemento en el esfuerzo plano está sujeto a los esfuerzos <rA = -9 900 Ib/pulg*. <r y = -3 400 Ib/pulg2, y r„ ■» 3 600 Ib/pulg2 (véase la figura del problema 7.2-3).

Determine los esfuerzos

principales y muéstrelos en un diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.

7.3- 4 Un elemento en el esfuerzo plano está sujeto a los esfuerzos ar% * 42 MPa. cr } ■ -140 MPa y -60 MPa (véase la figura del problema 7.2-4).

Determine los esfuerzos principales y muéstrelos en un diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.

7.3- 5 Un elemento en el esfuerzo plano está sujeto a los esfuerzos o, = 7 500 ltv*pulg2 <rv - -20 500 IWpulg2 y

= -4 800 lb/pu!g: (véase la figura del problema 7.2-5). Determine los esfuerzos cortantes máximos y sus es-fuerzos normales asociados, y muéstrelos en un diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.7.3- 6 Un elemento en el esfuer/xi plano está sujeto a los esfuerzos <r x ■ -25.5 MPa, <r y

- 6.5 MPa y r x y= -12.0 MPa (ohserve la figura del problema 7.2-6).

Determine los esfuerzos cortantes máximos y sus es-fuerzos normales asociados y muéstrelos en un diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.

7.3- 7 Un elemento en el esfuerzo plano está sujeto a los esfuerzos <rz « -11 000 Ib/pulg“, <rT ■ -3 000 Ib/pulg2 y tm y • -4 200 Ib/pulg“ (véase la figura del problema7.2- 7).

Determine los esfuerzos cortantes máximos y sus es-fuerzos normales asociados, y

muéstrelos en un diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.

7.3- 8 Un elemento en el esfuerzo plano está sujeto a los esfuerzos a x = -54 MPa. a y = -12 MPa y rw y

m 20 MPa (véase la figura del problema 7.2-8).

Determine los esfuerzos cortantes máximos y sus es-fuerzos normales asociados, y muéstrelos en un diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.

7.3- 9 Un muro de cortante en un edificio de concreto reforzado está sometido a una carga vertical uniforme de intensidad q ya una fuerza horizontal //. como se muestra en la primera parte de la figura. (La fuerza H

representa a los efectos del viento y a las cargas por sismo.) Como consecuencia de estas cargas, los esfuerzos en el punto A sobre la superficie del muro tienen los valores mostrados en la segunda parte de la figura (esfuerzo de compresión de I 100 Ib/pulg2 y esfuerzo cortante igual a 480 Ib/pulg2).

a) Determine los esfuerzos principales y muéstrelos sobre un diagrama de un elemento orientado de manera apropiada.

b) Determine los esfuerzos cortantes máximos y los esfuerzos normales asociados y muéstrelos sobre un diagrama de un elemento orientado apropiadamente.

Problemas 111

PROB 7.3-20


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*7.3-19 Un elemento en el esfuerzo

plano está sometido a los esfuerzos a x = 6 500 lb/pulg: y rA>= -2 800 lb/pulg: (véase la figura). Se conoce que uno de los esfuerzos principales es igual a 7 300 Ib/pulg* en tensión.

a) Determine el esfuerzo <? r

b) Determine el otro esfuerzo principal y la orientación de los planos principales; luego muestre los esfuerzos principales en un diagrama de un cuerpo orientado de manera adecuada.Circulo de Mohr

Los problemas de la sección 7.4 deben resoherse usando el

círculo de Mohr. Considere sólo los esfuerzos en el plano llos esfuerzos en el plano xy).

7.4- 1 Un elemento en estado uniaxial de

esfuerzos está sometido a esfuerzos de tensión aM = 14 500 lb/pulg\ como se muestra en la figura.

Con el círculo de Mohr, determine: a) los esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado según un ángulo contrario a las manecillas del reloj 0 = 24° respecto al eje x y b) los esfuerzos cortantes máximos y los esfuerzos normales asociadas. Presente los resultados en diagramas de elementas bien orientados.

y

O

PR0B. 7.3-19

7.4- 2 Un elemento en estado uniaxial de

esfuerzos está sometido a los esfuerzos de tensión <rM m 55

MPa. como se muestra en la figura.

Utilizando el círculo de

7.3-20 Un elemento en el esfuerzo plano está sometido a los esfuerzos aM = -68.5 MPa y = 39.2 MPa (véase la figura). Se sabe que uno de los esfuerzos principales es igual a 26.3 MPa en tensión.

a) Determine el esfuerzo ar

b) Determine el otro esfuerzo principal y la orientación de los planos principales; muestre luego los esfuerzas principales en un diagrama de un elemento bien orientado.

14 500 lb/pulg : x

6 500 lb/pulg: x

2 800 Ib,'pulir

T

PR0B 7.4-1


PROB 7.3-20

Problemas 113

Mohr. determine: a) los es-fuerzos que actúan sobre un elemento orientado con un ángulo 0 = -30° con respecto al c)c x (el signo negativo indica que es en el sentido de las manecillas del reloj), y

b) los esfuerzos cortantes máximos y sus esfuerzos normales asociados. Muestre todos los resultados en diagramas de elementos orientados en forma adecuada.

y

55 MPau X

7.4- 3 Un elemento en esfuerzo uniaxial está sometido a un esfuerzo de compresión de 5 600 lb/pulg2 de magnitud. como se aprecia en la figura.

39.2 MPa

68.5 MPaM PR0B. 7.4-2

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Problemas 115


7.4- 10 al 7.4-15 Un elemento en el esfuerzo plano está sometido a los esfuerzos a x % o y y r^ (observe la figura).

Utilizando el círculo de Mohr, determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento que forma un ángulo 0 con respecto al eje x. Muestre estos esfuerzos en un diagrama de un elemento orientado con un ángulo 0. (Sota: el ángulo 0es positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el sentido opuesto.)

PROS. 7.4-7

7.4- 8 Un elemento en estado de cortante puro está sometido a esfuerzos = -16 MPa. según se ve en la figura.

Con el círculo de Mohr, determine: a) los esfuerzos que actúan sobre un elemento orientado según un ángulo contrario a las manecillas del reloj 6 = 20° respecto al eje x y b) los esfuerzos principales. Muesire todos los resultados sobre diagramas de elementos bien orientados.

PR0BS. 7.4-10 al 7.4-15

16 MPa

7.4- 10 <rK - 21 MPa. crv - 11 MPa. - 8 MPa, $ -

3 000 Ib/pulg2

í—

i_

J_

PR0B. 7.4-8

50°

7.4- 9 Un elemento en estado de cortante puro está some-tido a los esfuerzos r,y « 4 000 Ib/pulg2. como se muestra en la figura

Utilizando el circulo de Mohr. determine: a) los esfuerzos que actúan sobre un elemento colocado sobre una pendiente de 3: 4 (observe la

figura» y b) los esfuerzos principales. Muestre todos los resultados en diagramas de elementos orientados de manera adecuada.7.4- 11 <r, = 4 500 Ib/pulg*'. Oj ■ 14 100 Ib/pulg2. - -3 100 Ib/pulg2. 0

= -55°

7.4- 12 a, = -44 MPa. <r v = -194 MPa. r„ = -36 MPa. 0 = -35*

7.4- 13 <r, - -1 520 Ib/pulg2, cr y - -480 Ib/pulg2. 280 Ib/pulg2, 0 = 18°

7.4- 14 <r, - 31 MPa. <r, - -5 MPa. t„ - 33 MPa. t i ■ 45°

7.4- 15 ,r . - -5 750 Ib/pulg2. a, - 750 Ib/pulg2. r, -2 100 Ib/pulg2. 0 = 75°

4V

7.4- 16 al 7.4-23 Un elemento en esfuerzo plwut está su-jeto a los esfuerzos <7,. ay y rxy (observe la figura).

Utilizando el círculo de Mohr. determine: a) los es-fuerzos principales y b) los esfuerzos cortantes máximos y sus esfuerzos normales asociados. Muestre todos los re-sultados en diagramas de elementos orientados de manera adecuada.a, y <r y . como se muestra en la figura. Los extensómetros A y tí. orientados en las direcciones x y y. respectivamente, están adheridos a la placa. Las lecturas dan las deformaciones normales e x “ 0.0010 (alargamiento) y (,■ -0.0007 (acortamiento) .

Para £ - 30 X \ ( f Ib/pulg* y v = 0.3. determine los esfuerzos <r x

y cr y y el cambio Af en el espesor de la placa.

t f f f t t *1

-

-1-

v

, X —

“hit TTPR08S. 73-1 y 7.5-2

PflOBS. 74-16 al 74-23

7.4- 16 a x = -31.5 MPa. <r y = 31.5 MPa. = 30 MPa

7.4- 17 a, = 8 400 Itypulg2. a, = 0. r x y = I 440 Ib/pulg*

7.4- 18 a, = 0. íty = -22.4 MPa, r,y - -6.6 M P a

7.4- 19 a, = 1 850 Ib/pulgJ. a, = 6 350 lb/pulg\ = 3 000 Ib/pulg*’

7*4-20 <t x = 3 100 I t P a . <7y - 8 700 k P a , t„ - -4 500 k P a

7.4- 21 <7, = -12 300 lb/pulgJ. <rv =

-19 500 lb/pulg\ r„ - -7 700 lb/pulg-

7.4- 22 <7, = -3.1 MPa. i t , = 7.9 MPa. r„ - -13.2 MPa

7.4- 23 <r, - 700 Ib/pulg*. <r, = -2 500 lb/pulg\ 7„ = 3 000 Ib/pulg*

Ley de hooke para el esfuerzo planoAl resolver los problemas de la sección 7.5. suponga que el material es elástico lineal con un módulo de elasticidad E y razfin de Poisson v.

7.5- 1 Una placa rectangular de acero con espesor f = 0.25 pulg

está sometida a esfuerzos normales uniformes7.5- 2 Resuelva el problema anterior «i el espesor de la placa de acero es t = 10 mm. las lecturas de los extenso- metro son e x = 480 X 10"* (alargamiento) y e,= 130 X 10 6 (alargamiento), el módulo es £ = 200 GPa y la razón de Poisson es v

-0.30.

7.5- 3 Suponga que las deformaciones normales é, y e y

para un elemento en el esfueryy plano

(véase la figura) se miden con extensómetros.

a) Obtenga una fórmula para la deformación normal e. en la dirección z. en términos de e y y la razón de Poisson v.

b) Obtenga una fórmula para la dilatación e en términos de € y

y la razón de Poisson v.

T*7

T



7.5- 4 Una placa de magnesio en esfuerzo biaxial está sometida a esfuerzos de tensión cr x = 24 MPa y a v = 12 MPa (véase la figura). Las deformaciones correspondien-tes en la placa son e x = 440 X

1 0 " 6 y e y * 80 X 1 0 " 6 .

Problemas 120


Pftoes. 7.5-4 al 7.5-7

7.5- 5 Resuelva el problema anterior para una placa de acero con <r x « 10 800 Ib/pulg2 (tensión), cr, - -5 400 lb/pulg2 (compresión), € t *= 420 X I0"6 (alargamiento) y € y = -300 x 10~* (acortamiento).

7.5- 6 Una placa rectangular en rsf iurzo biaxial (véase la figura) está sometida a esfuerzos normales cr x

= 90 MPa (tensión) y <rv = -20 MPa (compresión). La placa tiene dimensiones de 400 X 800 X 20 y está hecha de aluminio con E = 200 GPa y v = 0.30.

a) Determine la deformación cortante máxima en el plano en la placa.

b) Determine el cambio A/ en el espesor de la placa.

c) Determine el cambio A Ven el volumen de la placa.

7.5- 7 Resuelva el problema anterior para una placa de aluminio con crx •* 12 000 HVpuJg2 (tensión), r/, - -3 000 llVpulg2 (compresión), dimensiones de 20 X 30 X 0.5 pulg.E = 10.5 X 10*Ib/pulg2y v= 0.33.

7.5- 8 Un cubo de latón de 50 mm por lado está comprimido en dos direcciones perpendiculares por fuerzas P = 175 kN (véase la figura).

Calcule el cambio Al' en el volumen del cubo y la energía de deformación U almacenada en el cubo, suponiendo E = 100 GPa y v = 0.34.

PflOB. 75-87.5- 9 Un cubo de concreto (E = 3.0 X 10* Ih/pulg2, v = 0.1) de 4.0 pulg por lado, está comprimido en esfuerzo biaxial por medio de un marco de pruebas cargado como se ve en la figura.

Suponga que cada carga F es de 20 klb y determine el cambio AV' en el volumen del cubo y la energía de deformación V almacenada en el cubo.

PROS. 7.5-9

7.5- 10 Una placa cuadrada de ancho b y espesor r está cargada por fuerzas normales P, y P y y por fuerzas cortantes V, como se muestra en la figura. Estas fuerzas producen esfuerzos uniformemente distribuidos que actúan sobre las caras laterales de la placa.

Calcule el cambio AV en el volumen de la placa y la energía de deformación U almacenada en la placa si sus dimensiones son 6 - 600 mm y t • 40 mm; y está

Determine la razón de Poisson vy el módulo de elasticidad F. para el material.

Prosternas 121


hecha de magnesio con F - 45 GPa y y - 0.35; las fuerzas son PM = 480 kN. P y = 180 kN y V = 120 kN.

PB0BS. 7.5-10 y 75-11

7.5- 11 Resuelva el problema anterior para una placa de aluminio con b = 12 pulg. t = 1.0 pulg. F ® 10 600 klb/pulg2. v =

0.33. P, = 90 klb. P , = 20 klb y V =

15 klb.

•7.5-12 l'n círculo de diámetro d = 200 mm está grabado al aguafuerte sobre una placa de latón (véase la figura). La placa tiene dimensiones de 400 x 400 X 20 mm. I*a.\ tuerzas aplicadas a la placa producen los esfuerzos normales uniformemente distribuidos cr, = 42 MPa y oy = 14 MPa.

Calcule las siguiente* cantidades: a) el cambio de longitud del diámetro ac: b) el cambio de longitud Abd del diámetro bd: c) el cambio Ar del espesor de la placa: d) el cambio AV del volumen de la placa, y c) la energía de deformación U almacenada en la placa (suponga £ = 100 GPa y #> =» 0.34).

PR06. 7.5-12 Estado triaxial de esfuerzos

Al resolver ios problemas de la sección 7.6. suponga que el material es elástico lineal con módulo de elasticidad E y razón de Poitum i<

7.6- 1 Un elemento de aluminio en forma de paralelepípedo rectangular (véase la figura) de dimensiones a *» 6.0 pulg. b - 4.0 pulg y <* - 3.0 pulg. está sometido a los esfuerzos triaxiales cr, = 12 000 lb/pulg2. a y = -4 000 lb/pulg2. y <t. = -1 000 lb/pulg2 que actúan sobre las caras x, y y r. respectivamente.

1 tr

id“ L_ L...(J.**

wX

Determine las siguientes cantidades: a) el esfuerzo cortante máximo en el material; b) los cambios Au. A/> y Ar de las dimensiones del elemento; c) el cambio A V del volumen, y d) la energía de deformación U almacenada en el elemento (suponga £ = 10 400 klh/pulg2 y v - 0.33.7.6- 2

Resuelva el problema anterior si el

elemento es de acero (£ = 200 GPa. v = 0.30) con dimensiones a = 300 mm. b ~ 150 mm y c = 150 mm y los esfuerzos son <r% - -60 MPa. ir , 40 MPa y a. 40 MPa

7.6- 3 Un cubo de hierro fundido con lados de longitud a • 4.0 pulg (véase la figura) se ensaya en un laboratorio sometiéndolo al estado triaxial de esfuerzos. Los exien- sómetros montados en la máquina de ensayo muestran que las deformaciones de compresión en el material son e, - -225 x I0“6y e, - e : - -37.5 x 10 h.

Determine las siguientes cantidades; a) los esfuerzos normales cr,. cr, y cr. que actúan sobre las caras x\ y y z del cubo; b) el esfuerzo cortante máximo rmA, en el material; c) el cambio IVdel volumen del cubo y d) la energía de deformación U almacenada en el cubo (suponga £

PR0BS. 7.6-5 Y 7.6-6PR06S. 7.6-1 y 7.6-2

Prosternas 123


= 14 000 klb/pulg2 y *=0.25).

PR0BS. 7.6-3 y 75-4

7.6- 4 Resuelva el problema anterior si el cubo es de gra-nito (£ = 60 GPa. v = 0.25) con dimensiones a = 75 mm y deformaciones de compresión r, = -720 x 10 y * T - e z

m -270 X 10 *.

7.6- 5 Un elemento de aluminio en el estado triaxial de esfuerzos (véase la figura) está sometido a los esfuerzos cr, - 5 200 lb/pulg2 (tensión). tr y - 4750

lb/pulg2

(compresión) y ar. = -3 090 lb/pulg2 (compresión). Se sabe también que las deformaciones en las direcciones x y y son e t = 713.8 x I0'6 (alargamiento) é* = -502.3 X 10 * (acortamiento).

¿Cuál es el módulo volumétrico A' para el aluminio?

7.6- 6 Resuelva el problema anterior, si el material es nailon sometido a esfuerzos de compresión a, a -4.5 MPa. oy = -3.6 MPa. y <r : = -2.1 MPa. las deformaciones normales son e, = -740 x 10 ft y €> = -320 X 10 6 (acortamientos),

7.6- 7 Un cilindro de hule R de longitud L y área transversal A se

comprime dentro de un cilindro S

de acero con una fuerza /’que aplica una presión uniformemente distribuida al hule (véase la figura).

a) Obtenga una fórmula para la presión lateral /»entre el hule y el acero (desprecie la fricción entre el hule y el uccro y suponga que el cilindro de acero es rígido en comparación con el hule).

b) Dedu/ca una fórmula para el acortamiento S del cilindro de hule.

7.6- 9 Una bola esférica sólida de latón (£ = 15 X 10^ lb/pulg\ =

0.34) se sumerge en el océano a una profundidad de 10 (XX) pies. El diámetro de la bola es de 11.0 pulg.

Determine el decrcmento AJ de diámetro, el decrcmento Al' de volumen y la energía de deformación U de la bola.

7.6- 10 Una esfera sólida de acero (£ = 210 GPa. = 0.3) está sometida a una presión hidrostática p tal que su volumen se reduce en 0.4%.

a) Calcule la presión p.

b) Calcule el módulo volumétrico de elasticidad K para el acero.

c) Calcule la energía de deformación V almacenada en la esfera si su diámetro es d = 150 mm.

7.6- 11 Una esfera sólida de bronce (módulo volumétrico de elasticidad K « 14.5 X 106 lb/pulg2) es calentada alrededor de su superficie exterior. 1.a tendencia a expan- derse de la parte calentada produce tensión uniforme en todas direcciones en el centro de la esfera.

Si el esfuerzo en el centro es de 12 OCX) lb/pulg‘, ¿cuál es la deformación? Calcule también el cambio de volumen unitario e y la densidad w de la energía de deformación en el centro.

7.6- 6 Un bloque R de hule se confina entre las paredes planas paralelas de un bloque S de acero (véase la figura). Una fuerza F aplica una presión po uniformemente distribuida en la parte superior del bloque de

hule.a) Obtenga una fórmula para

la presión lateral p entre el hule y el acero (desprecie la fricción entre el hule y el acero y suponga que el bloque de acero es rígido en comparación

PflOB. 76-7

Prosternas 125


con el hule).b) Dedu/ca una fórmula para

la dilatación c del hule.c) Dedu/ca una fórmula para

la densidad n de la energía de deformación del hule.Deformación planaAl resolver las problemas de la

sección 7.7, considere sólo las deformaciones en el plano (las deformaciones en el plano xy), excepto que se indique otra cosa. Use las ecuaciofies de transformación de la deformación plana, a menos que se especifique el círculo de Mohr (problemas7.7- 23 al 7.7-2R).

7.7- 1 Una placa rectangular delgada en esfuenx> biaxial está sometida a los esfuerzos a, y como se muestra en la parte (a) de la figura. El ancho y altura de la placa son b m 8.0 pulg y h - 4.0 pulg respectivamente. Las mediciones muestran que las deformaciones normales en las direcciones x y y son - 195 x 10 6 y c% = -125 X 10~*. respectivamente.

Consultando la parte (b) de la figura, que ofrece una vista bidimenuonal de la placa, determine las siguientes cantidades: a) el incremento Ad de la longitud de la diagonal Od: b) el cambio A*p del ángulo s? entre la diagonal

PflQB. 76-8

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Problemas 127

Pfloe. 7.7-17


Si el esfuerzo aM de 18 (XX)

lb/pulg- y la deformación medida por el extensómetro es * ■ 407 x 10“6. ¿cuál es el esfuerzo cortante máximo en el plano {rm k x ) J y

y la deformación cortante (y™!*)»*? ¿Cuál es la deformación corlante máxima (y^)^ en el plano xr? ¿Cuál es la deformación cortante máxima (ym4x)y. en el plano yz?

7,7- 15 Durante una prueba del ala de un avión, las lecturas de los extensómetros de una roseta a 45° (véase la figura) son las siguientes: extensómetro A% 520 X 10 *; extensómetro £. 360 X 10'6; y extensómetro C,-80 x 10“*.

Determine las deformaciones principales y las deformaciones cortantes máximas y muéstrelas en diagramas de elementos orientados apropiadamente.

7.7- 12 Resuelva el problema anterior, suponiendo ahora que la placa es de aluminio con £ “ 72 GPa y r = 1/3. el esfuerzo aM es de 86.4 MPa. el ángulo ç es de 21° y la deformación € es de 946 X 10”6.

7.7- 13 Un elemento en el esfuerzo

plano está sometido a esfuerzos a t

* -8 400 Ib/pulg“, <r y » I 100 Itypulg2. y rA y = -1 700 lb/pulg2 (véase la figura). El material es aluminio con módulo de elasticidad E = 10 000 klb/pulg2

y razón de Poisson v = 0.33.Determine las siguientes

cantidades: a) las deformaciones para un elemento orientado a un

ángulo $ “ 30°;

b) las deformaciones principales y c) las deformaciones cortantes máximas. Muestre los resultados en diagramas de elementos orientados de manera apropiada.

PflOBS. 7.7-13 y 7.7-14

7.7- 14 Resuelva el problema anterior con los siguientes datos: <r x “ -150 MPa, rry - -210 MPa, r„ = - 16 MPa y 0 = 50°. El material es latón con £ = 100 GPa y v =0.34.PP0BS. 7.7-13 y 7.7-1$

7.7- 16 Una roseta de deformaciones a 45* (véase la figura) montada en la superficie del chasis de un automóvil da

PflOBS. 7.7-11 y 7.7-12

128 CAPITULO 7 Análisis de esfuerzos y deformación

Copyrighted materialPflOB. 7.7-20

las siguientes lecturas: extensómetro ,4. 310 x 10”*; extensómetm f í , 180 X 10 "6; y extensómetro C. - 160 X10“6.

Determine las deformaciones principales y las deformaciones cortantes máximas y muéstrelas en diagramas de elementos bien orientados.

7.7- 17 Una barra circular sólida de diámetro d = 1.5 pulg está sometida a una fuerza axial P y a un par T (véase la figura). Los extensómetros A y B montados en la superficie de la barra dan las lecturas *u - 100 X 1(T* y t h

- -55 X 10“*. La barra es de acero con £ = 30 X 106 Ib/ pulg-y y» 0.29.

a) Determine la fuerza axial P y el par de torsión T.

b) Determine la deformación cortante máxima ym k x y el esfuerzo corlante máximo ym k x en la barra.

Problemas 129

Pfloe. 7.7-17


7.7- 18 Una viga en voladizo de sección transversal rectangular (ancho b = 25 mm. altura h = 100 mm) está cargada por una fuerza P que actúa a la mitad del peralte de la viga y está inclinada un ángulo a respecto a la vertical (véase la figura). Se colocan dos extensómetros en el punto C. que también está a la mitad del peralte de la viga. El extensómetro A mide la deformación en la dirección horizontal y

Determine la fuerza P y el ángulo a. suponiendo que el

GPa y v - 1/3.7.7- 21 En la superficie de una componente estructural de un vehículo espacial, las deformaciones se controlan por medio de tres extensómetros dispuestos como se ve en la figura. Durante cierta maniobra, se registran las siguientes deformaciones: e a = I 100 X 10" , ** ■ 200 X I0“6 y e, = 200 x 10 *.

Determine las deformaciones principales y los esfuerzos principales en el material que es una aleación de magnesio para la cual E = 6 000 klb/pulg2 y v = 0.35. (Muestre las deformaciones principales y los esfuerzos principales en diagramas de elementos bien orientados.)

1}

PflOBS. 7.7-18 y 7.7-19

7.7- 19 Resuelva el problema anterior, pero ahora las di-mensiones de la sección transversal son b m 1.0 pulg y h • 3.0 pulg. el ángulo del extensómetro es (3 = 75°, las deformaciones medidas son ^ = 171 X 10“° y €* = -266 X 10 6 y el material es una aleación de magnesio con módulo £ ■ 6.0 X 106 lh/pulg2 y razón de Poisson v

— 0.35.

7.7- 20 Una roseta de deformaciones a 60°, o rost ía del ta. consiste en tres extensómetros

de resistencia eléctrica dispuestos como se aprecia en la figura. El extensómetro A mide la deformación normal e a en la dirección del eje x. Los extensómetros B y C miden las deformaciones yen las direcciones inclinada^ mostradas.Obtenga las ecuaciones para

las deformaciones e y y yy, asociadas con los ejes xy.

i

Copyrighted materialPflOB. 7.7-20

130 CAPITULO 7 Análisis de esfuerzos y deformación

PROS. 7.7-217.7- 22 Las deformaciones sobre la superficie de un dispositivo experimental de aluminio puro (£ *

70 GPa. v * 0.33) y probado en un transbordador espacial se midieron por medio de extensómetros. Éstos se orientaron como indica la figura y las deformaciones medidas fueron • I 100 x |0“6.= 1 496 x 10“6y= -39.44 x 10 *.

¿Cuál es el esfuerzo <r% en la dirección t?

PR06. 7.7-22

7.7- 23 Resuelva el problema 7.7-5 con el círculo de Mohr para la deformación plana.7.7- 24 Resuelva el problema 7.7-6 con el círculo de Mohr para la deformación plana.7.7- 25 Resuelva el problema 7.7-7 con el circulo de Mohr para la deformación plana.7.7- 26 Resuelva el problema 7.7-8 cotí el círculo de Mohr para la deformación plana.7.7- 27 Resuelva el problema 7.7-9 con el circulo de Mohr para la deformación piami.7.7- 28 Resuelva el problema 7.7-10 con el círculo de Mohr

para la deformación plana.


Aplicaciones del esfuerzo plano (recipientes a presión, vigas y cargas combinadas)

8.1 INTRODUCCIÓN

En el capitulo anterior analizamos los esfuerzos y deformaciones en un punto de una estructura sometida al esfuerzo plano (véase las secciones 7.2 a la 7.5). El esfuerzo plano es una condición común de esfuerzo que existe en todas las estructuras, incluidos edificios, máquinas, vehículos y aeronaves. En este capitulo examinaremos algunas aplicaciones prácticas del esfuerzo plano, por lo que hay que entender con claridad el material presentado en las secciones 7.2 a 7.5 antes de seguir adelante.

I-as primeras estructuras que analizaremos son los recipientes a presión, como los tanques de aire comprimido y los tubos de agua (secciones 8.2 y 8.3). Determinaremos los esfuerzos y las deformaciones en las paredes de estas estructuras debidos a las presiones internas generadas por los gases comprimidos o los líquidos. Después volveremos al tema de los esfuerzos en vigas y explicaremos cómo determinar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en varios puntos (secciones 8.4). Finalmente, en la sección 8.5 analizaremos estructuras sometidas a cargas combinadas; es de-cir. a combinaciones de cargas axiales, cargas de torsión, cargas de flexión y presión interna. Nuestro objetivo es determinar los esfuerzos normales y cortantes máximos en diferentes puntos de dichas estructuras.

8.2 RECIPIENTES ESFÉRICOS A PRESIÓN

Los recipientes a presión son estructuras cerradas


que contienen líquidos o gases a presión. Algunos ejemplos conocidos son tanques. tubos y cabinas a presión en aeronaves y vehículos espaciales. Cuando los recipientes a presión tienen paredes delgadas en comparación con sus dimensiones generales, se les incluye dentro de la categoría más general de cascarones; por ejemplo, domos de techos. alas de aeronaves y cascos de submarinos.

541

542 CAPITULO 8 Aplicaciones del esfuerzo plano (recipientes a presión, vigas y cargas combinadas)


En esta sección consideraremos los recipientes a presión de pared delgada de forma esférica, como el tanque de aire comprimido de la figura 8-1. El término pared delgada no es preciso, pero como regla general los recipientes a presión se consideran de pared delgada cuando la razón del radio r al espesor de la pared i (figura 8-2) es mayor que 10. Cuando esta condición se satisface, podemos determinar los esfuerzos en las paredes con exactitud razonable usando sólo la estática.

En los siguientes análisis supondremos que la presión interna p (figura 8-2) excede a la presión que actúa sobre el exterior del cascarón; de otra manera, el recipiente puede abollarse hacia adentro debido al pandeo.

Una esfera es la forma teórica ideal para un recipiente que resiste una presión interna. Basta contemplar la familiar burbuja de jabón para reconocer que una esfera es la forma ‘‘naiural" para este propósito. A fin de hallar los esfuerzos en un recipiente esférico, cortamos a través de la esfera según un plano diametral vertical (figura8- 3a) y aislamos la mitad del cascarón junto con su contenido de f lu ido como un solo cuerpo libre (figura 8-3b). Sobre este cuerpo libre actúan los esfuerzos de tensión s en la pared del recipiente y la presión p del fluido. La presión actúa en sentido horizontal contra el área circular plana de fluido que permanece dentro del hemisferio. Puesto que la presión es uniforme, la fuerza resultante de la presión es

R6.8-2 Sección transversal del reci-piente esférico a presión donde se muestra el radio interior r. el espesor t

de la pared y la presión interna p.

Cordón

RC. 8-1 Recipiente esférico a presión.

P - p< jrr*> (a)

donde r es el radio interno de la esfera.

Observe que la presión p no es la presión absoluta dentro del recipiente, sino la

presión interna neta o presión manomètrica. La presión

presión interna que supera la presión que actúa sobre el exterior del recipiente. Si

las presiones interna y externa son iguales, ningún esfuerzo se desarrolla en la pared

del recipiente:

SECCIÓN Recipientes esféricos a presión 543

sólo el exceso de la presión interna sobre la presión extema tiene efecto sobre estos esfuerzos.

Debido a la simetría del recipiente y su carga (figura 8-3b). el esfuerzo de tensión <rcs uniforme alrededor de la circunferencia. Además. como la pared es delgada, podemos suponer con buena precisión que el esfuerzo está distribuido uniformemente a través del espesor /. La exactitud de esta aproximación aumenta conforme el cascarón se vuelve más delgado > decrece conforme se engruesa.

La resultante de los esfuerzos de tensión <r en la pared es una fuerza horizontal igual al esfuerzo <r multiplicado por el área sobre la que actúa, o

<r(2rrrmt)

donde i es el espesor de la pared y r„ es

el radio medio:

rm - r + ^ (b)

Asi. el equilibro de fuerzas en dirección

horizontal (figura 8-3b) nos da:I^hom “ 0 <r(2nrmt) - p(irr:) - 0

(c)

de donde obtenemos los esfuerzos de tendón en la pared del recipiente:

- 2W ®

En virtud de que nuestro análisis es válido sólo para cascarones delgados, podemos despreciar la pequeña diferencia entre los dos radios ecuación (d) y reemplazar r con r„ o viceversa. Si bien cualquier radio que escojamos es satisfactorio para este análisis aproxi-mado. resulta que los esfuerzos se aproximan más a los esfuerzos teóricamente exactos si usamos el radio interior r en vez del radio medio r„; por tanto, adoptaremos la siguiente fórmula para calcular los esfuerzos de tensión en la pared de un cascarón esférico:

(8-1)

Como es evidente de la simetría de un cascarón esférico, obtenemos la misma ecuación para los esfuerzos de tensión

cuando cortamos por el centro de la esfera en cualquier dirección. Llegamos así a la siguiente conclusión: La pared de un recipiente

esférico a presión está sometida a esfuerzos uniformes de tensión a

en todas direcciones. Esta condición de esfuerzo se presenta en la figura 8-3c mediante el pequeño elemento de esfuerzo con esfuerzos a que actúan en direcciones mutuamente perpendiculares.

Los esfuerzos que actúan en sentido tangencial a la superficie curva de un cascarón —por ejemplo, los esfuerzos <r mostrados en la figura 8-3c— se conocen como esfuerzos de membrana. Eil nombre se deriva del hecho de que son los únicos esfuerzos que existen en membranas verdaderas, como películas de jabón.

FK¡. 8-4 Esfuerzos en un recipiente esférico a presión en (a) la superficie externa y (b) la

superficie interna.Esfuerzos en la superficie exterior

Por lo general, la superficie exterior de un recipiente esférico a presión está libre de cargas: por tanto, el elemento ilustrado en la figura8- 3c se encuentra en esfuerzo biaxial. A manera de ayuda para analizar los esfuerzos que actúan sobre este elemento, lo presentamos de nuevo en la figura 8-4a, donde un

conjunto de ejes coordenados está orientado paralelamente a los lados del elemento. Lc»s ejes x y y son tangenciales a la superficie de la esfera y el eje - es perpendicular a la superficie; entonces, los esfuerzos normales <r, y cz, son los mismos que los esfuerzos a de membrana y el esfuerzo normal a. es cero. Ningún esfuerzo cortante actúa sobre los lados de este elemento.

Si analizamos el elemento de la figura 8-4a con las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano (véanse la figura 7-1 y las ecuaciones 7-4a y 7-4b de la sección 7.2). encontramos

= y r i m = 0

como era de esperance; en otras palabras, cuando consideramos los elementos obtenidos por rotación de los ejes respecto al eje c. los esfuerzos normales permanecen constantes y no se tienen esfuerzos cortantes. Cada plano es un plano principal y cada dirección es una dirección principal. Los esfuerzos principales para el elemento son entonces

<T\ = a z - <r, = 0 <8-2a. b)

¿i

Los esfuerzos <rt y <r2 se encuentran en el plano xy y el esfuerzo <z» actúa en la dirección ;.

Para obtener los esfuerzos cortantes máximos, debemos considerar rotaciones fuera del plano; es decir, rotaciones respecto u los ejes x y y (porque todos los esfuerzos cortantes en el plano son cero). Los elementos orientados al efectuar rotaciones de 45° respecto a los ejes x y y

tienen esfuerzos cortantes máximos iguales a cri l y esfuerzos normales iguales a <zf2; por tanto.

<r prTmíl' (8*3)

Estos esfuerzos son los esfuerzos

cortantes máximos en el elemento. Esfuerzos en la

(a)

superficie interior

En la superficie interior de la pared de un recipiente esférico, un ele-mento de esfuerzo (figura 8-4b) tiene los mismos esfuerzos cr, y <rv de membrana que un elemento en la superficie exterior (figura 8-4a). Además, un esfuerzo de compresión a. igual a la presión /> actúa en dirección ’ (figura 8-4b). Este esfuerzo de compresión disminuye de p en la superficie interior a cero en la superficie exterior.



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Hidden pagejgfr, = 2(0.25

pulgK29 x 1Q6

lb/pu^XO.0003,) = ,P < H\-v) .9.0pulRKI-0.28) 3

^

Así, la presión permisible con

base en la deformación normal en la

SECCIÓN 8.2 Recipientes esféricos a presión 549


pared es p, = 671 lb/pulg*.

d) Presión permisible con base en la tensión en el cordón de sol -dadura. 1.a carga de leusiúc» permisible sobre el cordón de



soldadura es igual a la carga de falla dividida entre el factor de seguridad:

7Vvn„ = = 81

M^pu*S = 3 klb/polg « 3



240 lb/pulg

El csfucr/o de tensión permisible correspondiente os igual a la carga per-misible sobre una longitud de una



pulgada de cordón divididu entre el área de la sección transversal de una pulgada de longitud de soldadura:

_ y,(l.opuly) „ (3 240

1.0 pulg) . |2 ^ *

(1.0 ptilgK t ) (1.0 pu1gj<0.25 pulg)

Por último, despejamos la presión mtcma



utilizando lu ecuación (8-1):

= Üüto . W 2 5 I tW ) ,M 1^^

Este resultado da la presión



permisible con base en la tensión en el cordón de soldadura.

c) Presión permisible. Al comparar los resultados anteriores paja />«,, Pb*



Pt y Pj- vcmos que rige el esfuerzo cortante en U pared y la presión per-misible en el tanque ex

Pfmm “



b66 lh/pulg2

#i

Este ejemplo ilustra cómo



diferentes esfuerzos y deformaciones entran en el disefto de un recipiente esférico a presión.

Nota: cuando la presión interna

alcanza el valor máximo permisible (666 lb/pulg2). los esfuerzos de tensión en el cascarón son

= EL = <666 lWpulg2 H



9.0 pul¿) :2f

2(0.25

pulg)

De esta manera, en la superficie interna del cascarón (figura 8-



4h), la razón del esfuerzo principal en la dirección z

(666 lb/pulg*) al esfuerzo principal en el plano (12 000 lb/pulg*), es

sólo de 0.056; por tanto, se justifica nuestra suposición de que piulemos despreciar el esfuerzo principal <r, en la



dirección ; y considerar el cascarón entero en esf uerzo biaxial.

8.3 RECIPIENTES CILINDRICOS A PRESIÓN

Los recipientes cilindricos a presión con sección transversal circular (figura 8-6) se encuentran en instalaciones industriales (tanques de aire comprimido y motores de cohetes), en casas habitación (extin- guidores de incendio y latas de rociadores) y en granjas (tanques de

propano y silos para granos). Los tubos a presión, como los utilizados para el abastecimiento de agua y las tuberías de carga, también se clasifican como recipientes cilindricos a presión.

Comenzaremos el análisis de los recipientes cilindricos determinando los esfuerzos normales en un tanque AB circular de

pared delgada sometido a presión interna (figura 8-7a). Sobre la pared del tanque se presenta un elementa de esfuerzo con sus caras paralelas y perpendiculares al eje del mismo. Los esfuerzas normales tr, y cr 2 que actúan sobre las caras laterales de este elemento son los esfuerzos de membrana en la pared. Ningún esfuerzo cortante actúa sobre dichas caras debido a la simetría

del recipiente y sus cargas: por tanto, los esfuerzos <Z| y <r2 son esfuerzos principales.

Debido a sus direcciones, el esfuerzo <z, se llama esfuerzo circunferencial o esfuerzo de aro y el esfuerzo os se llama esfuerzo longitudinal o esfuerzo axial; cada uno se

puede calcular a partir del equilibrio usando los diagramas de cuerpo libre apropiados.

Esfuerzo circunferencial

Para determinar el esfuerzo circunferencial <r,, practicamos dos cortes (/n/i y pq) perpendiculares al eje longitudinal y separados una distancia b (figura 8-7a). Luego efectuamos un tercer corte en un plano vertical a través del eje longitudinal del tanque, con lo cual resulta el diagrama de cuerpo libre expuesto en la figura 8-7b. Este cuerpo libre consiste no sólo en la pieza semicircular del tanque, sino también en el fluido contenido dentro de los cortes. Los esfuerzos circunferenciales tz, y la presión interna p actúan sobre el corte longitudinal (plano mftqn).

Si bien los esfuerzos y las presiones también actúan sobre las caras izquierda y derecha del cuerpo libre, no los

FIG. 8-6 Recipientes cilindricos a presión con secciones transversales circulares.

ilustramos porque no entran en la ecuación de equilibrio que usaremos. Al igual que en el análisis de un recipiente esférico, despreciaremos el peso del tanque y su contenido.

Los esfuerzos circunferenciales rz, que actúan en la pared del recipiente tienen una resultante igual a tz,(2bt) . donde t es el espesor de la pared. Además, la fuerza resultante P, de la presión interna es igual a 2pbr, donde r es el radio interior del cilindro. Tenemos entonces la siguiente ecuación de equilibrio:

<rt{2bt) ~ 2pbr - 0

SECCIÓN 8.3 Recipientes cilindricos a presión 566


R6. 8-7 Esfuerzos en un recipiente cilin-drico a presión circular.

De esta ecuación obtenemos la siguiente fórmula para el esfuerzo circunferencial en un ci l indro a

presión:

(8-5)

Este esfuerzo se distribuye de manera uniforme sobre el espesor de la pared, siempre que el espesor sea pequeño respecto al radio.

Esfuerzo longitudinal

El esfuerzo longitudinal a 2 se obtiene del equilibrio de un cuerpo libre de la parte del recipiente a la izquierda de la sección transversal mn (figura 8-7c). De nuevo, el cuerpo libre incluye no sólo parte del tanque, sino también su contenido, los esfuerzos a 2 actúan en sentido longitudinal y tienen una fuerza resultante igual a 0^(2tjt/). Observe que estamos usando el radio interior del cascarón en vez del radio medio, como se explicó en la sección 8.2.

La fuerza resultante P 2 de la presión

SECCIÓN a3 Recipientes cWIndrlcos a presión 567


interna es una fuerza igual a prrr. Así. la ecuación de equilibrio para el cuerpo libre es

<72(2*777) - prrr 1 = 0

Despejamos cr 2 de esta ecuación y obtenemos la siguiente fórmula para el esfuerzo longitudinal

en un recipiente a presión cilindrico:

(8-6)

Esie esfuerzo es igual al esfuerzo de membrana en un recipiente esférico (ecuación 8-1).

Al comparar las ecuaciones (8-5) y (8-6). vemos que el esfuerzo circunferencial en un recipiente cilindrico es igual al doble del esfuerzo longitudinal:

(Tf * 2<7; (8-7)

En este resultado notamos que un cordón de soldadura longitudinal en un tanque a presión debe ser dos veces tan fuerte como un cordón circunferencial.

Esfuerzos en la superficie exterior

En la figura 8.8a, los esfuerzos principales <r, y tz2 en la superficie exterior de un recipiente cilindrico se muestran sobre el elemento de esfuerzo. Puesto que el tercer esfuerzo principal (que actúa en la dirección ;) es cero, el elemento está en esfuerzo biaxial .

Los máximos esfuerzos cortantes en el plano ocurren sobre planos que están girados 45° respecto al eje r. estos esfuerzos son

Los máximos esfuerzos cortantes fuera del plano se obcicncn por rotaciones a 45° respecto a los ejes x y y, respectivamente: entonces,

(r«áJ* “ 27 (8-9a.b)

Al comparar los resultada* anteriores vemos que el esfuerzo cor tante máximo absoluto es

Este esfuerzo se presenta en un plano girado 45° respecto al eje x.

Rfc. 8-8 Es fuer/o* en un recipiente cilindrico a presión circular en: (a) la superficie exterior y (b) la superficie interior.

Esfuerzos en la superficie interior

Las condiciones de esfuerzo en la superficie interior de la pared del recipiente se ilustran en la figura 8-8b. Los esfuerzos principales son

pr pr<J\ = — <r 2 = — <*\ = ~P (a.b.

c)

Los tres esfuerzos cortantes máximos, obtenidos mediante giros de 45v con respecto a los ejes x, y y z , son

(d, e)

(r-*)« “ " 2 ^ = 47 (f)

El pnmero de estos esfuerzos es el mayor; sin embargo, según se explicó en el análisis de los esfuerzos cortantes en un cascarón esférico. podemos despreciar el término adicional pf2 en las ecuaciones (d) y (c) cuando el cascarón es de pared delgada. Entonces, las expresiones (d). (e) y (0 resultan ser las mismas que las ecuaciones (8-9) y (8-8). respectivamente.

Por tanto, en todos nuestros ejemplos y problemas relativos a recipientes cilindricos a presión, despreciaremos la presencia de

los esfuerzos de compresión en la dirección z (este esfuerzo de compresión varía de p en la superficie interior a cero en la superficie exterior). Con esta aproximación, los esfuerzos en la superficie interior resultan los mismos que los esfuerzos en la superficie exterior (estado biaxial de esfuerzos). Como se explicó en el análisis de los recipientes esféricos a presión, este procedimiento es satisfactorio cuando consideramos las otras numerosas aproximaciones en nuestra teoría.

Comentarios generales

I. as fórmulas anteriores para esfuerzos en un cilindro circular son válidas en regiones del cilindro alejadas de cualquier discontinuidad que ocasione concentraciones de esfuerzos, como se vio antes para cascarones esféricos. Hay una discontinuidad obvia en los extremos del



cilindro donde se unen las cabezas, debido a que la geometría de la estructura cambia en forma abrupta. Se presentan otras concentraciones de esfuerzos en aberturas, puntos de apoyo y dondequiera que se unen accesorios u objetos al cilindro. Los esfuerzos en tales puntos no se pueden establecer nada más con ecuaciones de equilibrio: se precisan métodos más avanzados de análisis (como la teoría de los cascarones y el método del elemento finito).

En la sección 8.2 se indican algunas de las limitantes de la teoría elemental para los cascarones de pared delgada.

Solucióna) Esfuerzas dnuit ferencial y longitudinal . En la

figura 8.10a. los esfuerzos circunferencial y longitudinal <r 2 50

ilustran actuando sobre un elemento de esfuerzo en el punto /\ sobre la pared del

recipiente. Las magnitudes de los esfuerzos se calculan con las ecuaciones (8-5) y (8-6):

Ejemplo 8-2

Un recipiente cilindrico a presión se construye enrollando sobre un mandril una placa de acero larga y estrecha y soldándola luego a lo largo de los bordes para formar una junta helicoidal (figura 8-9). El cordón helicoidal de soldadura forma un ángulo a = 55° con el eje longitudinal. El recipiente tiene radio interior r = 1.8 m y espesor de pared / = 20 mm. El material es acero con módulo E ~ 200 GPa y razón de Poissun v 0.30. La presión interna p es de 800 kPa.

Calcular las siguientes cantidades para la pane cilindrica del recipiente: a) los esfuerzos circunferencial rr, y longitudinal <r2\ bi los esfuerzos corlantes máximos en el plano y fuera del plano: c) las deformaciones circunferencial é, y longitudinal ^ y d) el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante que actúan en sentidos perpendicular y paralelo, respectivamente. al cordón de \oldadura.

Soldadura helicoidal

RG. 8-9 Ejemplo 8-2. Recipiente cilin-drico a presión con soldadura helicoidal.

<rM s os = 36 MPa

x

í.9 MPa

y

</v = <r, = 72 MPa

BG. 8-10 Solución al ejemplo 8-2.fl>) (C)

r 20 mm 2/ 2El elemento de esfuerzo en el punto A se

presenta de nuevo en la figura 8- 10bt en la que el eje x está en la dirección longitudinal del cilindro y el eje y en la dirección circunferencial. Como no hay esfuerzo en la dirección c (rr* - 0). el elemento está en estado biaxial de esfuerzos.

Observe que la razón de la presión interna (800 kPa) al esfuerzo principal menor en el plano (36 MPa) es de 0.022; por lo tanto, se justifica nuestra hipótesis de que podemos despreciar cualquier esfuerzo en la dirección z y

considerar todos los elementos en el cascarón cilindrico —incluso aquellos en la superficie interior—. como en estado biaxial de esfuerzos.

b) Esfuerzos cortantes máximos. FJ esfuerzo cortante máximo en el plano se obtiene con la ecuación (8-8):

(W. = £LY£L “ T = 47 = 18 N,pa

Puesto que estamos despreciando el esfuerzo normal en la dirección z* el estuer/o cortante máximo fuera del plano se obtiene con la ecuación (8-9u):

rllxkx MPa2 2t

Este esfuerzo es el esfuerzo cortante máximo absoluto en la pared del recipiente.

c) Deformaciones circunferencial y longitudinal . Dado que los esfuerzos máximos son bastante menores que el esfuerzo de fluencia del acero (véase la tabla H-3. apéndice H). podemos suponer que la ley de Houkc es aplicable a la pared del recipiente. Entonces podemos obtener las deformaciones en las direcciones x y >* (figura 8-10b) con las ecuaciones (7-3¥a) y (7-39b) para el estado biaxial <fte esfuerzos:

«t • -w,) €y- |-(*> - %*r¿ (g.h)

Ohscrv anuís que la deformación e t es la misma que la dcformución principal e 2 en la dirección longitudinal y que la deformación * y es la misma que la dcformución principal en la dirección circunferencial. Ademán, el esfuerzo <r x es el mismo que el esfuerzo <z2 y el esfuerzo <r y es el mismo que el esfuerzo </,; por tanto, las dos ecuaciones anlenorcs pueden escribirse de las siguientes maneras:

« * - ^ ( l - 2 » í - ^ “ ( l - 2 i í (8-1la)

í. = ^(2 - v) - ~~(2 - 2^ (8-1

lb>

Sustituimos las cifras y encontramos

continúü

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RG.8-11 Círculo de \1ohr para el ele-mento en esfuerzo biaxial de la figura8- IOb. (Nota: todos los esfuerzos sobre el círculo están en unidades de MPa.)

Circulo de Mohr. En la figura 8-11 se ilustra la

construcción del círculo de Mohr para el elemento

en estado biaxial de esfuerzos de la figura

8-10b. El punto A representa el esfuerzo ■ 36 MPa sobre la cara x (0

» 0) del elemento y el punto B. el esfuerzo er, = 72 MPa sobre la cara y (0 * 90*). El centro C del círculo está a un esfuerzo de 54 MPa y el radio del círculo es

72 MPa - 36 MPa

Un ángulo antihorario 20

= 70° (medido sobre el círculo desde el punto A) localiza al punto l ) t que corresponde a los esfuerzos sobre la cara x x (0 = 35*) del elemento.

18 MPa

556 CAPÍTULO 8 Aplicaciones del esfuerzo plano (recipientes a presión, vigas y cargas combinadas)


Las coordenadas del punto D (de la geometría del círculo) son

aM í = 54 MPa - fleos 70° - 54 MPa - (18 MPaXco*

70°) - 47.8 MPafl sen 70° = (18 MPaXscn 70°) = 16.9 MPa

JL

Estos resultados concucrdan con los encontrados a partir de las ecuaciones para la transformación del esfuerzo.

Nota: cuando se observa de manera lateral, una hélice sigue la forma de una cun a senoidal (figura 8-12). El paso de la hélice es

p • ir d tan 0

donde d es el diámetro del cilindro circular y 0cs el ángulo entre una normal a la hélice y una línea longitudinal. El ancho de la placa plana que se enrolla en una forma cilindrica es

irdscn 0

FIG. 8-12 Vista lateral de una hélice.

(8-15)

(8-16)



Entonces, si se tienen el diámetro del cilindro y el ángulo 0, tanto el paso como el ancho de la placa quedan establecidos. Por razones prácticas, el ángulo 0 suele encontrarse entre 20° y 35°.



Por lo general, el análisis de los esfuerzos en una viga comienza con la determinación de los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre secciones transversales: por ejemplo, cuando es válida la ley de Hooke. podemos obtener los esfuerzos normal y cortante a partir de las fórmulas de la flexión y del cortante (ecuaciones 5-13 y 5-38. respectivamente, del capítulo 5):

t lo

En la fórmula de la flexión, a es el esfuerzo normal que actúa sobre la sección transversal. A/ es el momento flexionante, y es la distancia desde el eje neutro e / es el momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje neutro (las convenciones de signos para \ i y y en la fórmula de la flexión se muestran en las figuras 5-9 y 5-10 de) capítulo 5).

En el caso de la fórmula del cortante, res el esfuerzo cortante en cualquier pumo ai la sección transversal, V es la fuerza cortante. Q es el momento estático del área de la sección transversal hacia afuera del punto en la sección transversal donde se busca el esfuerzo y b es el ancho de la sección transversal (la fórmula del cortante suele escribirse sin consideración de signos, ya que las direcciones de los esfuerzos cortantes son obvias de las direcciones de las cargas).

Los esfuerzos normales que se obtienen con la fórmula de la flexión tienen sus valores máximos a las distancias más alejadas desde el eje neutro, mientras que los esfuerzos cortantes que se obtienen con la fórmula del cortante suelen tenerlos en dicho eje. Los esfuerzos normales se calculan en la sección transversal de momento flc- xionante máximo y los esfuerzos cortantes. en la sección transversal de fuerza cortante máxima. En la mayoría de los casos, éstos son los únicos esfuerzos necesarios para fines de diseño.

Ahora bien, para tener una representación más completa de los esfuerzos en una viga, necesitamos

8.4 ESFUERZOS MÁXIMOS EN VIGAS



determinar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en diferentes puntos de la misma. Comenzaremos analizando los esfuerzos en una viga rectangular.

Vigas de sección transversal rectangular

Podemos llegar a entender cómo varían los esfuerzos en una viga considerando la viga simple de sección transversal rectangular mostrada en la figura 8-13a. Para los fines de este análisis, eseoganos una sección transversal a la izquierda de la carga y luego seleccionamos cinco puntos (A. B% C\ D y E) sobre un lado de la viga. El punto A está en la parte superior y el E en la parte inferior de la viga, el punto C está a la mitad del peralte de la viga y los puntos B y P se encuentran en posiciones intermedias.



Si la ley de Hookc

es

aplicable, los esfuerzos normal y cortante en cada uno de estos cinco puntos se pueden calcular con facilidad

BG. 8-13 Esfuerzos en una viga de sección transversal rectangular; (al viga simple con los puntos A, B.C, I) y E sobre el lado de la viga: (b) esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre elementos de esfuerzo en los puntos A% H% C, I) y E;(c) esfuerzos principales y (d) esfuerzos cortantes máximos.

SECCIÓN 8.4 Esfuerzos máximos en vigas 561


mediante las fórmulas de la flexión y de cortante. Puesto que estos esfuerzos actúan sobre la sección transversal, podernos dibujarlos sobre elementos de esfuerzo que tengan caras verticales y horizontales, como se muestra en la figura 8-13b. Observe que todos los elementos están en el esfuerzo plano porque no hay esfuerzos que estén actuando en sentido perpendicular al plano de la figura.

En el punto A. el esfuerzo normal es do compresión y no hay esfuerzos cortantes. De manera similar, en el punto E el esfuerzo normal es de tensión y tampoco hay esfuerzos cortantes. Así. los ele-mentos en esas posiciones se encuentran en esfuerzo uniaxial. En el eje neutro (punto C), el elemento está en cortante puro. En las otras dos posiciones (puntos B y D). actúan esfuerzos normales y cortantes sobre los elementos de esfuerzo.

562 CAPÍTULO 8 Aplicaciones del esfuerzo piano (recipientes a presión, vigas y cargas combinadas)


Para encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximas en cada punto, podemos usar las ecuaciones de transformación del esfuerzo plano o el círculo de Mohr. Las direcciones de los esfuerzos principales se muestran en la figura 8-13c y las di-recciones de los esfuerzos cortantes máximos, en la figura 8-l3d (observe que estamos considerando sólo esfuerzos en el plano).

Examinemos ahora los esfuerzos principales con más detalle.En los dibujos de la figura 8-13c podemos observar cómo cambian los esfuerzos principales de arriba hacia ahajo de la viga. Comencemos con el esfuerzo principal de compresión. En el punto A, el esfuerzo de compresión actúa en dirección horizontal y el otro esfuerzo principal es cero. Conforme nos movemos hacia el eje neutro. el esfuerzo principal de compresión se inclina y en el eje neutro (punto O actúa a 45° respecto a la horizontal. En el punto D. el esfuerzo principal de compresión está aún más inclinado respecto a la horizontal y en la parte inferior de la viga su dirección se ha vuelto vertical (con la excepción de que ahora su magnitud es igual a cero).

Así entonces, la dirección y magnitud del esfuerzo principal de compresión varía continuamente desde la parte superior hasta la parte inferior de la viga. Si la sección transversal escogida se localiza en una región de momento flexionante grande, el esfuerzo principal de compresión máximo se presenta en la parte superior de la viga (punto A) y el esfuerzo principal de compresión mínimo (cero) se manifiesta en la parte inferior de la viga (punto E). Si la sección transversal se halla en una región de momento flexionante pequeño y de fuerza cortante grande, entonces el esfuerzo principal de compresión máximo está en el eje neutro.

Comentarios análogos son aplicables al esfuerzo principal de tensión, que también varía en magnitud y dirección conforme nos movemos del punto A al punto E. En el punto A, el esfuerzo de tensión es cero y en el punto F. tiene su valor máximo (en la figura 8-19 del ejemplo 8-3 se ilustran

algunas gráficas que muestran cómo varían los esfuerzos principales en magnitud para una viga específica y en una sección transversal específica).

Los esfuerzos curiantes máximos (figura 8- 13d) arriba y en la parte inferior de la viga se presentan sobre planos a 45° (debido a que los elementos están en

esfuerzo uniaxial). En el eje neutro, los esfuerzos cortantes máximos se dan sobre planos horizontales y verticales (porque el elemento está en el estado de cortante puro). En todos los puntos, los esfuerzos cortantes máximos se manifiestan sobre planos orientados a 45° respecto a los planos principales, En regiones de fuerte momento flexionante. los esfuerzos cortantes má- ximos se presentan en la parte superior c inferior de la viga; en regiones de momento flexionante pequeño y fuerza cortante elevada, los esfuerzos cortantes máximos se clan en el eje neutro.

Si investigamos los esfuerzos en muchas secciones transversales de la viga, podremos determinar cómo varían los esfuerzos principales a través de la viga; luego podremos construir dos sistemas de curvas ortogonales, llamadas trayectorias de esfuerzos, que dan las direcciones de los esfuerzos principales. Algunos ejemplos de trayectorias de esfuerzos para vigas rectangulares se ilustran en la figura 8-14. La parte (a) de la figura muestra una viga en voladizo con una carga que actúa en el extremo libre y la parte (b) muestra

<a)

Ht 8-14 Trayectorias de esfuerzos prin-cipales para vigas de sección transversal rectangular: (a) viga en voladizo y (b) viga simple (las líneas sólidas representan esfuerzos principales de tensión y las líneas punteadas, esfuerzos principales de compresión).



una viga simple con carga uniforme. Las líneas sólidas denotan los esfuerzos principales de tensión y las líneas punteadas, los esfuerzos principales de compresión. Las curvas para los esfuerzos principales de tensión y de compresión se cortan siempre en ángulo recto y cada trayectoria cruza el eje longitudinal a 45°. En las superficies superior c inferior de la viga, donde los esfuerzos cortantes son cero, las trayectorias son horizontales o bien verticales.*

Otro tipo de curva que puede trazarse a partir de los esfuerzos principales es una curva de equiesfuerzos (contorno de esfuerzos), que es una curva que conecta puntos de igual esfuerzo principal. En la figura 8-15 se ilustran algunas curvas de equiesfuerzos para una viga en voladizo de sección transversal rectangular (sólo para esfuerzos principales de tensión). La curva del esfuerzo máximo está en la parte superior izquierda de la ilustración. Conforme nos movemos hacia abajo en la figura, los esfuerzos de tensión representados por las curvas son cada vez más pequeños. La curva de equiesfuerzos de tensión cero está en el borde inferior de la viga. Así entonces, el esfuerzo máximo de tensión se presenta en el soporte, donde el momento flexionantc tiene su valor máximo.

Observe que las trayectorias de esfuerzos (figura 8-14) dan las direcciones de los esfuerzos principales pero no ofrecen información sobre las magnitudes de los esfuerzos. En general, las magnitudes de los esfuerzos principales varían según nos movemos a lo largo de una trayectoria. En contraste, las magnitudes de los esfuerzos principales son constantes según nos movemos a lo largo de una curva de equies-fuerzos (figura 8-15) pero las curvas no dan información sobre las direcciones de los esfuerzos. En particular, los esfuerzos principales no son paralelos ni perpendiculares a una curva de equiesfuerzos.

•F.l ingeniero alemán Kart Cutmann (1821-1881) ideó las trayectorias de esfuerzo: víase la referencia 8-1.

Las trayectorias de esfuerzo y las curvas de equiesfuerzos de las figuras 8-14 y 8-15 se trazaron con las fórmulas de la flexión y del cortante (ecuaciones 8- 17a y b). AI trazar estas figuras, se despreciaron tanto las concentraciones de esfuerzo cerca de los apoyos y cerca de las cargas concentradas como los esfuerzos de compresión directos causados por la carga uniforme apoyada sobre la parte superior de la viga (figura 8- 14b).

FK». 8*15 Curvas de equiesfuerzo para una viga en voladizo (se muestran sólo los esfuerzos principales de tensión).

Vigas de patín ancho

lx>s esfuerzos principales para otros perfiles de vigas, como las de patín ancho, se pueden analizar de manera similar a la descrita para vigas rectangulares; por ejemplo, considérese la viga de patín ancho simplemente apoyada de 13 figura 8- 16a. Procedemos igual que en el caso de la viga rectangular c identificamos los puntos .4, 8, C,D y £, desde arriba hasta la pane inferior fondo de la viga (figura 8-16b). Los puntos B y D están en el alma, donde ésta encuentra al patín y el punto C se halla en el eje neutro. Podemos pensar que estos puntos se localizan a un lado de la viga (figura 8-16b y c) o dentro de la viga a lo largo de un eje vertical de simetría (figura 8-16d). Los esfuerzos determinados con las fórmulas de la flexión o del cortante son los mismos para ambos conjuntos de puntos.

Los elementos de esfuerzo en los puntos A tB,C.D y E (como se ven en una vista latera] de la viga) se muestran en las partes (c) a la (i) de la figura 8-16. Estos elementos tienen la misma apariencia general que los de la viga rectangular (figura 8- 13b).

Por lo general los esfuerzos principales máximos se dan en las partes superior c inferior de la viga (puntos .4 y £). donde los es-



fuerzos obtenidos con la fórmula de la flexión alcanzan sus valores máximos. Sin embargo, dependiendo de las magnitudes relativas del momento flexionantc y la fuerza cortante, los esfuerzos máximos se presentan a veces en la unión del alma con el patín (puntos H y I)) . Esto se debe a que los esfuerzos normales en los puntos B y D

son sólo ligeramente menores que aquellos en los puntos A y £. mientras que los esfuerzos cortantes (que son cero en los puntos A y £) pueden ser considerables en los puntos B y D debido a la delgada 3lma. {Nota: la figura 5-38, capítulo 5. muestra cómo varían los esfuerzos cortantes en el alma de una viga de patín ancho.)

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Ejemplo 8-3Vi-

Una viga simple AH con claro L - 6 píes soporta una carga concentrada P = 10 800



ib que actúa a una di.\fancia c “ 2 pie% del apoyo derecho (figura 8-17). La viga es de acero con sección transversal rectangular

de ancho b = 2 pulg y peralte h = 6 pulg.

Investigar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en



la sección transveTNül m/i. situada a la distancia x ■ 9 pulg del extremo A de la viga (considerar sólo los esfuerzos en el plano).

SoluciónComenzamos

10 800 Ib

^ s y B 3 6U0 IbR6.8-17 Ejemplo 8-3. Viga de sección transversal rectangular.



usando las fórmulas de la flexión y del cortante para calcular los esfuerzos que actúan sobre la sección mn, Una vez conocidos estos esfuerzos

podemos determinar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos a partir de las ecuaciones del esfuerzo plano. Por último,



podemos graficarlos a fin de mostrar cómo vanan sobre el peralte de la viga.

Como asunto preliminar, primero observamos que la reacción de

la viga en el apoyo AtsR Á = P¡3 = 3 600 Ib, y por tanto el momento flexionantc y la fuerza cortante en la sección mn son

M = R ax = (3 600 lb)(9 pulg) = 32



400 Ib-pulg V - RÁ = 3 600 Ib

Esfuerzos normales sobre la sección transversal mn. Evto* esfuerzos se encuentran coo la fórmula de la flexión (ecuación 8-17a), como

sigue:

My 12My12(32 400 lb-pu)g)>

cr v —---=- - -r- *- -:— = — 900v- (a)

/ Mr(2pulgj<pulg)

donde y está en pulgadas

(pulg) y a, en libras por pulgada cuadrada (lb/pulg?). Los esfuerzos calculados con la ecuación <a) son positivos cuando están en tensión y

negativos cuando se hallan en compresión; por ejemplo, observe que un valor positivo de y (mitad superior de la vigai da un esfuerzo negativo, como



es de esperarse.

En la figura 8-18 se presenta un elemento de esfuerzo curiado del lado de la viga en la sección transversal mn

(figura 8-17). Para fines de referencia. un conjunto de ejes xy se muestra asociado con el elemento. El esfuerzo normal cr, y el esfuerzo cúrtante t k % se

ilustran actuando sobre el elemento en sus sentidos positivos (observe que en este ejemplo no hay esfuerzo nor-mal <r y que actúe sobre el elemento).

R6.8-18 Elemento en esfuerzo plano en la sección transversal mn

de la viga en la figura 8-17 (ejemplo 8-3).

Esfuerzos cortantes sobre la sección transversal nin. Los esfuerzos cortantes están dados por la

fórmula del cortante (ecuación 8- 17b) donde el momento estático Q para una sección transversal rectangular es

<->

Así, la fórmula del cortante esVQ _ \2V {b\(tf 6 V { h 2 a\

T Ib (Mr'X&mJw }) Wr’\4' )

Los esfuerzos cortantes que actúan sobre la cara x del elemento de esfuerzo (figura 8-18) son positivos hacia arriba, mientras que los esfuerzos cortantes reales r (ecuación 8-19) actúan hacia abajo; por tanto, los esfuerzo» cortantes T t y están dados por la fórmula:

-Sí*-')

Al sustituir los valores numéricos en esta ecuación, obtenemos

(b)

donde y está en unidades de pulgadas (pulg) y r„ en unidade* de libras por pulgadas cuadradas (psi).

Cálculo Je ¡os esfuerzos. Con el fin de calcular los esfuerzos en la sec-ción transversal mn. dividimos la altura de la viga en seis intervalos iguales y designamos lo* puntos correspondientes con las letras A a C, como se ve en la vista lateral de la viga (figura 8- 19a). Las coordenadas y de esos puntos están indicadas en la columna 2 de la tabla 8-1 y los esfuerzos correspondientes <r t y 7ry (calculados con las ecuaciones a y b, respectivamente), en las columnas 3 y 4. Estos esfuerzos están graficados en las figuras 8- 19b y 8-19c. Los esfuerzos normales varían lincalmcntc desde un esfuerzo de compresión de -2 700 Ib/pulg2 en la parte superior de la viga (punto A) hasta un esfuerzo de tensión de 2 700 lb/pulg~ en la parte inferior de la viga (punto C). Los esfuerzos cortantes tienen una distribución parabólica con el esfuerzo máximo en el eje neutro (punto l>).

Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes mdtinuts. Los esfuerzos principales en cada uno de los siete puntos, del A al G. pueden determinarse con la ecuación (7-17):

Puesto que no hay esfuerzos normales en la dirección y (figura 8-18). esta ecuación se simplifica y toma la forma

*y



r'2 = f± J(fJ+ (8'22)

Además, los esfuerzos cortantes máximos (de la ecuación 7-25) son

fmu - (8-23)

consmua

3pulg

-í-* 3

pul*

(b)

TABLA 8-1 ESFUERZOS EN LA SECCIÓN TRANSVERSAL nwr DE LA VIGA EN LA FiG. 8-17(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Pumo y(pulg)

< lb/pulg*)

Tn ,(lb/

pulg )a* , (lb/pulg-)

(lb/pulg2)

7mÁ\(lb/

pulg*)A 3 -2 700 0 0 -2 700 1 350

B 2 -1 800 -250 34 -1 834 934C

1-900 -400 152 -1 052 602

D 0 0 450 450 450 450

E “1 900 400 1052 -152 602F -2 1 800 250 1

83434 934

G -3 2 700 0 2 700 0 1 350

-2 700

J*y

♦ £

(c)(a>

RC. 8-19 Esfuerzos en la viga de la figura H-17 (Ejemplo 8-3). (a) Puntos A. fí, C ,D,E,FyGen la sección transversal mu; <b) esfuerzos normales <r, que actúan sobre la sección transversal mn: (c) esfuerzos cortantes r*y que actúan sobre la sección transversal mn: (d) esfuerzos principales de tensión a¡: (c) esfuerzos principales de compresión <r2, y <0 esfuerzos cortantes máximos rméx. (Afoto: todos los esfuerzos están en ltypulg:.)



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8.5 CARGAS COMBINADAS

RG. 8-20 Ejemplos de estructuras sometidas a cargas combinadas: (a) viga de patín ancho

soportada por un caWe (flexión y caiga axial combinadas):(b) recipiente cilindrico a presión soportado como viga y (c) eje en torsión y flexión combinadas.En capítulos previos analizamos miembros estructurales sometidos a un solo tipo de carga: por ejemplo, estudiamos barras cargadas axialmente en los capítulos 1 y 2. ejes en torsión en el capítulo 3 y vigas en flexión en los capítulos 4. 5 y 6. También ya analizamos recipientes a presión en este capitulo.

Recipiente a presión

(c)



Para cada tipo de carga, desarro-llamos métodos a fin de encontrar esfuerzos y deformaciones.

Sin embargo, en muchas estructuras se requiere que los miembn* resistan más de un tipo de carga: por ejemplo, una viga puede estar somet

ida a la acción simultánea de momentos flcxionantes y fuerzas axiales (figura 8-20a), un recipiente a presión puede estar apoyado de manera que funcione también como viga (figura 8-20b) o un eje en torsión puede sostener una carga de flexión (figura 8-20c). En una gran variedad de máquinas, edificios, vehículos, herramientas, equipo y muchos otros tipos de estructuras se presentan situaciones similares a las mostradas en la figura 8-20. llamadas cargas combinadas

A menudo es posible analizar un

miembro estructural sometido a cargas combinadas superponiendo los esfuerzos y deformaciones cau-sados por cada carga que actúa por separado. Ahora bien, la super-posición de los esfuerzos y las deformaciones es permisible sólo en cieñas

condiciones, como se explicó en capítulos anteriores. Un re-quisito es que los esfuerzos y las deformaciones deben ser funciones lineales de las cargas aplicadas. Esto requiere a su vez que el material obedezca la ley de Hooke y que los desplazamientos sean pequeños.

Otro requisito es que no debe existir interacción entre las diversas cargas; es decir, los esfuerzos y deformaciones causados por una de las cargas no deben verse afectados por la presencia de otras cargas. 1.a mayor pane de las estructuras



comunes satisfacen estas dos condiciones, por lo que el uso de la supciposición es muy común en el trabajo ingenieril.

Método de análisis

Si bien hay muchas maneras de analizar una estructura sometida a más de un tipo de

carga, por lo general el procedimiento incluye los siguientes pasos:1. Se

elige un punto en la estructura para determinar los esfuerzos y las deformaciones (por lo general se escoge un punto en una sección transversal, donde los esfuerzos son grandes; por ejemplo. en una sección transversal, donde el momento llcxionante tiene su valor máximo).

2. Para cada carga sobre 13 estructura se

determinan las resultantes de esfuerzos en la sección transversal que contenga el punto seleccionado (las posibles

resultantes de los esfuerzos son una fuerza axial, un momento de torsión, un momento fle.xionantc y una fuerza cortante).

3. Se calculan los esfuerzos normal y cortante en el punto seleccionado debidos a cada una de las resultantes de esfuerzos. Además, si la estructura es un recipiente a presión, determinar los esfuer-zos debidos a la presión



interna (los esfuerzos se encuentran con las fórmulas para esfuerzos ya obtenidas; por ejemplo, ir ■ P/A.

t =

Tp/l

p. ir =

A/y/

/, r = VQjlb y a

= pr/t) .

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4V 4Vr 2 = T7 = ^—: <«)X4 3rrr

donde A ■ jjt2 es el área de la sección transversal.

Los esfuerzos <rA y t , que actúan en el punto A (figura 8-2 le) se muestran actuando sobre un elemento de esfuerzo en la figura 8-22a. Este elemento está recortado de la parte superior de la barra en el punto A. En la figura 8-22b se ofrece una vista aérea bidimensional del elemento. Con el fin de determinar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos, asociamos ejes x y y al elemento. El eje x es paralelo al eje longitudinal de la barra circular (figura 8-2la) y el eje y es horizontal. Observe que el elemento está en el esfuerzo plano con <r, = <rA , oy = 0 y tiv = -t,.

Un elemento de esfuerzo en el punto B (también en esfuerzo plano) se presenta en la figura 8-23a. Los únicos esfuerzos que actúan sobre este elemento son los esfuerzos cortantes, iguales a rt + t 2 (véase la figura 8-2le). En la figura 8-23b se muestra una vista bidimensional del elemento de esfuerzo, con el eje x paralelo al eje longitudinal de la barra y el eje y en dirección vertical. Los esfuerzos que actúan sobre el elemento son tr, * trv ■ 0 y r, y ■ — (ri + r2).

Ahora que hemos determinado los esfuerzos que actúan en los puntos Ay B y hemos construido los elementos de esfuerzo correspondientes. podemos usar las ecuaciones de transformación del esfuerzo plano (secciones 7.2 y 7.3) o el círculo de Mohr (sección 7.4) para determinar los esfuerzos principales, los esfuerzos cortantes máximos y los esfuerzos que actúan en direcciones inclinadas. También podemos usar la ley de Hooke (sección 7.5) para determinar las deformaciones en los puntos A y B.

El procedimiento anteriormente descrito para analizar los esfuerzos en los puntos A y B (figura 8-2la), puede usarse en otros puntos en la barra. Los puntos donde los esfuerzos calculados con la fórmula de la flexión y las fórmulas de los cortantes tienen valores máximos y mínimos, llamados puntos críticos, resultan de especial interés; por ejemplo, los esfuerzos normales debidos a

(c)

FIG.8-21 (Repetición).

la flexión son máximos en la sección transversal de momento flexionante máximo que se presenta en el soporte; por tanto, los puntos C y D en las partes superior c inferior de la viga en el extremo empotrado (figura 8-2la) son puntos críticos para el cálculo de los esfuerzos. Otro punto crítico es B. porque ahí los esfuerzos cortantes son máximos

- .— í I I—?o J

FIG. 8-22 Elemento de esfuerzo en el punto A.

ib)(a)

y

O

r, + T5

HG. 8-23 Elemento de esfuerzo en el punto B.

(ob

<b)

(a)

SECCIÓN 8.5 Cargas combinadas 597


serv e que. en este ejemplo, los esfuerzos cortantes no cambian si el punto B se mueve a lo largo de la barra en dirección longitudinal).

Como

paso final, los esfuerzos principales y los esfuerzos cor-tantes máximos en los puntos críticos pueden compararse entre sf para determinar los esf



uerzos normales y cortantes máximos absolu-tos en la barra.

Este ejemplo ilustra el procedimiento general para hallar los esfuerzos producido

s por cargas combinadas y no comprende teoría nueva alguna, sólo la aplicación de las fórmulas y conceptos ya obtenidos. Como la variedad de sit



uaciones prácticas no parece tener límite, no vale la pena obtener fórmulas específicas para calcular los esfuerzos máximos. Cada estructura

suele tratarse como caso es-pecial.

Selección de los puntos críticos

Si el objetivo del análisis es determinar los esfuerzos máximos en cualq

uier

pane

de



la estructura, entonces hay que escoger los puntos críticos en secciones transversales donde las resultantes de esfuer-zos alcancen los valores máx

imos. Ya en dichas secciones se ele-girán los puntos en que los esfuerzos normales o los esfuerzos cortantes tengan sus valores máximos. Si la selección



de los puntos se hace con buen juicio, podremos estar razonablemente seguros de haber obtenido los esfuerzos máximos en la estructura.

Sin emb

argo, a veces es difícil reconocer de antemano dónde se localizan los esfuerzos máximos en el miembro. Entonces quizá sea necesario investigar los



esfuerzos en un gran número de puntos —quizá incluso utilizando el ensayo y error para seleccionar los puntos—. Otras estrategias también pue

den resultar útiles, como ob-tener ecuaciones específicas para el problema en consideración o elaborar hipótesis simplificadoras a fin de facili



tar un análisis que podría resultar sumamente difícil sin ellas.

Los siguientes ejemplos ilustran los métodos usados para calcu-lar esfuerzos en est

ructuras sometidas a cargas combinadas.



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El esfuerzo de tensión <7¡> es igual a la fuerza axial dividida entre el área de la sección transversal:

P 4 P 4<l25kN)Oq - -r - —tt - ——-------------------------------5- • 63.66 MPa

A 7T(i ' 77(50 mm>

El esfuerzo córtame r,> se obtiene con la fórmula de torsión (véase las ecuaciones 3-11 y 3-12 de la sección 3.3):

I r nd 7r(50mm)

1 j tys esfuerzos rrM y r4, actúan directamente sobre las secciones transversales del eje.

Conocidos los esfuerzos <TÍ> y r0. podemos obtener los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos con los métodos descritos en la sección 7.3. Loe esfuerzos principales se obtienen con la ecuación (7-17):

MI)

Al sustituir a, = 0. <r y = <r t > = 63.66 MPiu v rK y = -r,, = -97.78 MPa. obtenemos

<ru = 32 MPa ± 103 MPa

rr, - 135 MPa r/s - -71 MPa

Éstos son los esfuerzos máximos de tensión y compresión en el eje del rotor.

Los esfuerzos cortantes máximos en el plano (ecuación 7-25) son

-l"íYu evaluamos este término,

W = I + T*y (e)

por lo que observamos

r«** - 103 MPa

Puesto que los esfuerzos principales rr, y <r 2 tienen signos opuestos, los esfuerzos cortantes máximos en el plano son más grandes que los esfuerzos cortantes máximos fuera del plano (véanse las ecuaciones 7-2Ra. b y c y el análisis adjunto); por tanto, el esfuerzo cortante máximo en la flecha «de 103 MPa’

Hidden pageHidden pageHidden page

b = 1.5 m



<d)

a y ma \

r„ - Tl * *5

O

R6.8-27 Solución aJ ejemplo 8-6.

(WÉNll

h = 6.6 m III T* 7.2 kN m

1

VV = 4.8 kN



fe í

"T

w/i = 6.6m

—

(a)

’’«■’■i

O

(0(e)



El par de turbión T produce esfuerzos cortantes en los puntos A y t í (figura 8-27d). Podemos calcular dichos esfuerzos con la fórmula de la torsión:

7Wjfl>r, ------------

*y

donde ! p es el momento polar de inercia:

3 2 ( ^ 2 “ * * ) “ 2 7 ■ , 2 6 - 9 2 x , o

Entonces,

Td> (7.2 kNm)(220 mm)T * * 2/j ~ 2(126.92 X 10"* m 4 ) = 6 ' 24 MPli

Por último, calculamos los esfuerzos cortantes en los puntos A y t í debidos a La fuerza cortante V. El esfuerzo córtame en el punto A c* cero y el esfuerzo cortante en el punto B (denotado con en la figura 8-27d) se obtiene con la fórmula del cortante para un tubo circular (ecuación 5-44 de la sección 5.9):

donde r 2 y r t son los radios exterior e interior, respectivamente, y A es el área de la sección transversal:

di dt f lm — m 110mm r*| • — • 90mm

A " ir{rl - j-j) - 12570

mm2 Al sustituir los valores

numéricos en la ecuación (j).

obtenemos

ts = 0.76 MPaAhora hemos calculado todos los esfuerzos que actúan sobre los puntos A y B de la sección transversal.

Elementos de esfuerzo. El siguiente paso es mostrar estos esfuerzos sobre elementos de esfuerzo (figuras 8-27c y 0. Para ambos elementos, el eje y es paralelo al eje longitudinal del poste y el eje x es horizontal. En el punto A, los esfuerzos que actúan sobre el elemento son

a x - 0 cr y ■ <rA - 54.91 MPa T«y “ Ti * 6.24 MPa

En el punto 8, los esfuerzos son

<TX = a y = 0 r j y = Ti + r2 = 6.24 MPa + 0.76 MPa = 7.00 MPa

Puesto que no existen esfuerzo* normales que estén actuando sobre el elemento, el pumo B se encuentra en estado de corlante puro.

Ahora que conocemos todos los esfuerzos que actúan sobre los elementos de esfuerzo (figuras 8-27e y f). podemos usar las ecuaciones dadas en la sección 13 para deteiminar los esfuerzo* principales y los esfuerzos cortantes máximos.

Esfuerzo* principalt$ y esfuerzos cortantes máximos en el punto A. Los esfuerzos principóles se obtienen con la ecuación (7-17). que se repite aquí:

Sustituimos a% = 0. <r% = 54.91 MPa, y rJr = 6.24 MPu, con lo cual resulta

<r%¿ - 27 5 MPa 1 28.2 MPa

tr{ - 55.7 MPa <r2 « -0.7 MPa +m

Los esfuerzos cortantes máximos en el plano pueden obtenerse con la ecuución (7-25):

w. ■ *■' «»

Este término se evaluó antes, por lo que vemos de inmediato que

W - 28 2 MPa 4-

Pucsto que los esfuerzos principales o*, y a 2 tienen signos opuestos, los esfuerzos cortantes máximos en el plano son mayores que los esfuerzos cortantes máximos fuera del plano (consulte las ecuaciones 7-28j. b y c y el análisis que las ¿comporta): por tanto, el esfuerzo córtame máximo en el punto ^ es de 282 MPa.

Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos en el punto H. Ix*v esfuerzos en este punto son <rM 0, a y

«- 0 y r x y • 7.0 MPa. Dado que el elemento está en estado de cortante puro, los esfuerzos principales son

<r x = 7.0 MPa í t 2 = -7.0 MPa

y el esfuerzo cortante máximo en el plano

es

"mi* = 7.0 MPa «■Los esfuerzos cortantes máximos fuera del plano tienen la mitad de este valor.

Nota: .si se requieren los esfuerzos máximos en cualquier parte del poste, hay que determinar también los esfuerzos en el punto crítico diamc- tralmcntc opuesto al punto A. porque en dicho punto el esfuerzo de compresión debido a la flexión alcanza el valor máximo. Los esfuerzos principales en ese punto son

Oi = 0.7 MPa or 2 ~ -55.7 MPa

y el esfuerzo cortante máximo es de 28.2 MPa; por tanto, el esfuerzo de tensión máximo en el poste es de 55.7 MPa, el esfuerzo máximo de compresión es de -55.7 MPa y el esfuerzo cortante máximo es de 28.2 MPa. (Recuerde que sólo se han considerado los efectos de la presión del viento en este análisis. Otras cargas, como el peso de la estructura, también producen esfuerzos en la base del poMe.)Hidden pageHidden pageHidden pageHidden page

Al sustituir los valores de cr t % a v y

obtenemos

Í7it2 = -930 RVpulg3 ± 944 lb/pulg:

o

0*1 = 14 lb/pulg2 oí • -1 870 lb/pulg2

Los esfuerzos cortantes máximos en el plano pueden obtenerse con lu ecuación (7-25):

(n)

Ya se evaluó este término, por lo que vemos de inmediato que

r«bi = Ib/pulg’ «■»

Como los esfuerzos principales cr, y a 2 tienen signos opuestos, los esfuerzos cortantes máximos en el plano son mayores que los esfuerzos corlantes máximos fuera del plano (consulte la* ecuaciones 7-28a, b y c y el análisis que las acompaña): por tanto, el esfuerzo cortante máximo en el punto ñ es 944 lb/pulg2.

Nata; si se requieren los esfuerzos máximos en cualquier parte de la base del poste, también debemos determinar los esfuerzos en el punto crítico opuesto diagonalmente al punto A (figura 8-29c) porque en dicho punto cada momento flcxionantc produce el esfuerzo de tensión máximo. Asi entonces, el esfuerzo de tensión que actúa en esc punto es

= -295 lb/pulg2 + I 564

lb^*ptilg2 + 2 232 lb/pulg2 =

3 500 lb/pulg2

I«ox esfuerzo que actúan \obre un elemento de esfuer/o en ese punto (véase la figura 8-30) son

a, = 0 <ry = 3 500 lb/pulg2 r x y = 0

y, por tanto, los esfuerzos principales y

el esfuerzo cortante máximo son

a } = 3 500 lb/pulg2 a 7 = 0r«* « 1



750 IWpuIg2

Asi. el esfuerzo de tensión máximo en cualquier parte de la base del poste es 3 500 lb/pulg2. el esfuerzo de compresión máximo es 4 090 Ih/pulg2 y el esfuerzo cortante máximo es 2 050 lb/pulg2. (Tenga en mente que sólo se consideraron los efectos de las cargas /*, y P¿ en este análisis. Otras cargas, como el peco de la estructura, también producen esfuerzos en la base del poste.)

Problemas 621

PR0B. 82-3 Copyrighted material

PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 8

Recipientes esféricos a presiónAl resolver los problemas de la sección 8.2. suponga que el radio o el diámetro dado es una dimensión interior y que todas las presumes intentas son presiones marwmétri cas.

8.2- 1 Un tanque esférico grande (véase la figura) contiene gas a una presión <te 41%) lh/pulg2. El tanque tiene 45 pies de diámetro y está construido de acero de alta resistencia con un esfuerzo de fluencia en tensión de 80 klb/puig2.

Determine el espesor mínimo (al 1/4 pulg más cercano) de la pared del tanque si se requiere un factor de seguridad de 3.5 con respecto a la fluencia.

PROS. 82-1 y 8.2-2

82-2 Resuelva el problema anterior, pero ahora la presión interna e% de 3.5 MPa. el diámetro es de 18 m. el esfuerzo de fluencia es de 550 MPa y el factor de seguridad es de 3.0. Determine el espesor requerido al milímetro más cercano.

8.2- 3 Una

claraboya scmicsfénca (o ventanil la

de obser- vación) en una cámara de descompresión (véase la figura) está sometida a una presión de aire interna de 80 lb/pulg7. La ventana está unida a la pared de la cámara por 18 pernos.

Encuentre la fuerza de tensión F en cada perno y el esfuerzo de tensión <rcn la ventana si el radio de la semi- esfera es de 7.0 pulg y su espesor es de 1.0 pulg.82-4 Una pelota de hule (véase la figura) se infla a una presión de 60 kPa. A dicha presión, el diámetro de la pelota es de 230 mm y el espesor

de la pared es de 1.2 mm. El hule tiene módulo de elasticidad E = 3.5 MPa y razón de Poisson v = 0.45.

Determine el esfuerzo y la deformación máximos en la pelota.

PR08S. 82-4 y 82-5

82-5 Resuelva el problema anterior pero ahora la presión es de 9.0 Ib/pulg2, el diámetro

es de 9.0 pulg. el espesor de la paredes de 0.05 pulg. el módulo de elasticidad es de 500 lb/pulg2 y la razón de Poisson es

PR0B.82-8

82-7 Un tanque esférico de 50 pulg de diámetro y espesor de pared de 2.0 pulg contiene aire comprimido a una presión de 2 400 Ib^Hilg2. El tanque está constando con dos hemisferios unidos por un cordón de soldadura (véase la figura).

a) ¿Cuál es la carga de tensión /(Ih/pulg de longitud de soldadura) soportada por la soldadura?;



de 0.45.

82-6 Un recipiente esférico de acero a presión (diámetro de 480 mm y espesor de 8.0 mm) está recubicrto con laca frágil que se agrieta cuando la deformación excede de 150 X 10 6 (observe la figura).

¿Qué presión interna p ocasionará que la laca se agri-ete? (Suponga E m 205 GPa y v ■ 0.30.)

Gnetas en el

Problemas 623




b) ¿Cuál es el esfuerzo córtame máximo r**, en la pared del tanque?:

c) ¿Cuál es la deformación normal máxima * en la pared? (Para el acero, suponga E = 31 = 10* lb/pulg2 y *•=0.29.)

PR08S 8¿-7 y 8.2-8

8.2- 8 Resuelva el problema anterior con los siguientes datos: diámetro 1.0 m. espesor 50 nuil, presión 24 Mpa, módulo 210 GPa y razón de Poisson 0.29.

8.2- 0 Un tanque esférico de aceto inoxidable con diámetro de 20 pulg se usa para almacenar gas propano a una presión de 2 400 lb/pulg2. Las propiedades del acero son: esfuerzo de fluencia en tensión 140 000 lb/pulg2, es-fuerzo de fluencia en cortante 65 000 lb/pulg2. módulo de elasticidad 30 X I06 lb/pulg2 y razón de Poisson 0.28. El factor de seguridad deseado con respecto a la fluencia es de 2.75. Además, la deformación normal no debe exceder de 1 (XX) X 10"6.

Determine el espesor mínimo permisible *„*. del tanque.

8.2- 10 Resuelva el problema anterior pero ahora el diámetro

ex de 500 mm, la presión es de 16 MPa. el esfuerzo de fluencia en tensión es de 950 MPa. el cxíuer/o de fluencia en cortante es de 450 MPa. cl factor de seguridad es de 2.4, el módulo de elasticidad es de 200 GPa. la razón de Poisson es de 0.28 y la deformación normal no debe exceder de 1 200 X 10"6.

8.2- 11 Una esfera hueca a presión con radio r = 4.8 pulg y espesor de paied / - 0.4 pulg se sumerge en un lago (véase la figura). El aire comprimido en el tanque está a una presión de 24 lb/pulg2 (presión manomètrica cuando el tanque está fuera del agua).

¿A qué profundidad estará la pared del tanque sometida a un esfuerzo de compresión de 90 lb/pulg2?

f>u(

• o

PROS. 8.2-11

Recipientes cilindricos a presión

Ai resolver los pnAAemo.% de lo sección 8.3, suponga que el radio o el diámetro dado es una dimensifa interior y que todas las presiones internas son presiones manomé- tricas.

8.3- 1 Se está diseñando un tanque de buceo (véase la

Problemas 625


figura) con una presión interna de l 600 lb/pulg2 con un factor de seguridad de 2.0 con respecto a la fluencia. El esfuerzo de fluencia del acero es de 35 000 lb/pulg2 en tensión y de 16 000 lb/pulg2 en cortante.

Si el diámetro del tanque es de 7.0 pulg. ¿cuál es el espesor mínimo de pared requerido?

PR0B. 8.3-1

8.3- 2 Un tubo vertical alto con su parte superior ahieria (véase la figura) tiene diámetro d = 2.0 m y espesor de pared t = 18 mm.

a) ¿Qué altura h del agua producirá un esfuerzo cir-cunferencial de 10.9 MPa en la pared del tubo?

b) ¿Cuál es el esfuerzo axial en la pared del lanque debido a la presión del agua?

(,vuai ia imbuía ¡

E = 10 X l06lh/pulgJy *--0.33

P808. 8.3-2

8.3- 3 Una carpa inflablc que usa un circo ambulante tiene forma de scmkilindro circular con extremos cercados (véase la figura). Un pequeño fuelle sirve para inflar la tclu y la estructura de plástico, que tiene un radio de 40 pies cuando está totalmen

te inflada. Una costura longitu-dinal se encuentra a todo lo largo de la “cumbrera“ de la estructura.

Si la costura longitudinal a lo largo de la cumbrera se desgarra al estar sometida a una carga de tensión de 540 libras por pulgada de costura, ¿cuál es el factor de

PflOB. 8.3-6

M i.)

Problemas 627


seguri-dad ;i contra desgarramiento cuando la presión interna es de 0.5 lb/pulg2

y la estructura está totalmente inflada?

PROS. 8.3-3

8.3- 4 Un recipiente a presión cilindrico de pared delegada con un radio r. está sometido simultáneamente a una presión p interna

de gas y a una fuerza F

de compresión que actúa en los extremos (véase la figura).

¿Cuál debe ser la magnitud de la fuerza F

para producir un conantc puro en la pared del cilindro?

PflOB 0-5

8.3- 6 Un tanque de acero cilindrico circular (véase la figura) contiene un combustible volátil a presión. Un extensóme

Cottura longitudinal

tro en el punto A registra la deformación longi-tudinal en el tanque y transmite esta información a un cuarto de control. El esfuerzo cortante último en la pared del tanque es de 82 MPa y se requiere un factor de seguridad de 2.

¿Para que valor de la deformación deben tomar medidas

los operadores a fin de reducir la presión en el tanque? (Los datos para el acero son: módulo de

elastici-dad E = 205 GPa y razón de Poisson v

= 0.30.)

Válvula de alivio de la perdón

HÉP808.8.3-4

8.3- 5 Un extensómetro se instala en dirección longitud

i- nal sobre la superficie de una lata de aluminio para refresco

Tanque c tlíndrko

$

M i.)

Problemas 629


(véase la figura). La razón del radio al espesor de la lata es de 200. Cuando la lata se abre, la deformación cambia en € n = 170 x 10~*.8.3- 7 Un cilindro lleno de aceite está a presión por la acción de un pistón, como se muestra en la figura. El diámetro d del pistón es de 1.80 pulg y la fuerza de compresión Fes de 3 500 Ib. El

esfuerzo cortante permisible máximo Jptam en la pared del cilindro es de 5 500 lb/pulg2.

¿Cuál es el espesor mínimo permisible /mln de la pared del cilindro? (Véase la figura.)

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8.4- 8 Una viga W 12 X 14 de patín ancho (véase la tabla E-l. apéndice E) está simplemente apoyada con un claro de 8 pies (véase la figura). La viga soporta una carga concentrada de 20 kips en el centro del claro.

En una sección transversal localizada a 2 pies del apoyo izquierdo, determine los esfuerzo principales <r l t <r 2 y el esfuerzo cortante máximo en cada una de las siguientes posiciones: a) la parte superior de la viga: b) la parte superior del alma y c) el eje neutro.

PROB. 8.4-8

8.4- 9 Una viga W 8 X 28 de patín ancho (véase la tabla E-l. apéndice E) está simplemente apoyada con un claro de 120 pulg (véase la figura). La viga soporta dos cargas concentradas colocadas simétricamente de 6.0 klb cada una.

En una sección transversal a 20 pulg del apoyo derecho. determine los esfuerzos

principales o*,. a 2 y el esfuerzo cortante máximo r« en cada una de las siguientes posiciones: a) la pane superior de la viga; b) la parte superior del alma y c) el eje neutro.*8.4-11 Una viga simple de sección transversal rectangular tiene un claro /. • 60 pulg y soporta una carga concentrada P = 18 klb en el centro de su

claro (véav: la figura). El peralte de la viga es h = 6 pulg y el ancho es b = 2 pulg.

Trace gráficas de lo* esfuerzos principales rr,. <r : y del esfuerzo cortante máximo que muestren cómo varían sobre el peralte de la viga en la sección transversal m/i, localizada a 20 pulg del apoyo izquierdo.

8.4-10 Una viga en voladizo de sección T está cargada por una fuerza inclinada de 7.5 kN de magnitud (véase la figura). La línea de acción de la fuerza forma un ángulo de 60° con la horizontal c interseca la parte superior de la viga en la sección transversal extrema. Mide 2.0 m de longitud y su sección transversal tiene las dimensiones mostradas.

Determine los esfuerzos principales cz,. a2 y el esfuerzo corlante máximo r**, en los puntos A y B cti el alma de la viga.

PR08.8.4-10

PR0BS. 8.4-11 y 8.4-12

W I2x U

Problemas 633


□>

PR0B 8.4-9*8-4-12 Resuelva el problema anterior para una sección transversal mn situada a 0.15 m del apoyo si L • 0.7 m. P = 144 kN. h = 120 mm y 6 = 20 mm.

Carpas combinadasLos problemas de la sección S.5 deben resolverse supo - niendo que la estructura tiene un comportamiento elástico lineal y que los esfuerzos causados por dos o más cargas pueden superponerse para obtener los esfuerzos resul tantes que actúan en un punto. Considere los esfuerzos cortantes en el plano y fuera del plano, a menos que se indique otra cosa.

8-5-1 Un poste poligonal ABCD que tiene sección transversal circular hueca consiste en un brazo vertical AB. un brazo horizontal BC paralelo al eje ¿o y un brazo horizontal CD pándelo al eje Zo (véase la figura». Los brazos BC y CD tienen longitudes />, = 3.2 pies y b : = 2.4 pies, respectivamente. Los diámetros exterior e interior del poste son d 2 = 8.0 pulg y J, = 7.0 pulg. Una carga vertical P m I 500 Ib actúa en el punto £>.

6.0 klb I 6.0 klb

- 40 pulg - 40 pulg T'2() T*3)-|.----120pulg

Determine los esfuerzos máximos <Jc tensión y compresión y los esfuerzos cortantes en el poste.

Determine los esfuerzos máximos de tensión y compresión y los esfuerzos cortantes en el tubo perf orador.

¿o

PflOB. 8.5-1

PR08.85-3

PflOB. 8.5-2

8.5- 3 El tubo perforador hueco de un pozo petrolero (véase la figura) tiene diámetro exterior de 6.0 pulg y 0.75 pulg de espesor. Justo arriha de la broca, la fuerza de compresión en el tubo (debido al peso del tubo) es de 60 klb y el par de torsión (debido a la perforación) es de 170 klb-pulg.8.5- 5 Un segmento del eje de un generador de sección transversal circular hueca está sometido a un par de torsión T » 220 klb-pulg (véase la figura). Los diámetros exterior c interior del eje son 8.0 pulg y 6.0 pulg. respectivamente.

¿Cuál es la carga P de compresión permisible máxima que

puede aplicarse al eje si el esfuerzo cortante permisible en el plano es = 6 500 Ib/pulg2?

tlw

8.5-2 Una góndola de un teleférico está soportada por dos brazos doblados, como se muestra en la figura. Cada brazo tiene una excentricidad b - 180 mm respecto a la línea de acción del peso IV. Los esfuerzos permisibles en los brazos son 100 MPa en tensión y 50 MPa en cortante.

Si la góndola con pa-ajero* pesa 12 kN. ¿cuál es el diámetro d mínimo requerido para los brazos?

r

8.5-4 Un segmento del eje de un generador está sometido a un par de torsión T y a una fuerza axial P. como se muestra en la figura. El eje es hueco (diámetro exterior d2 = 280 mm y diámetro interior dx = 250 mm) y entrega I 800 kW a 4.0 Hz.

Si la fuerza de compresión P - 525 kN. ¿cuáles son los esfuerzos máximos de tensión y de compresión y los esfuerzos cortantes en el eje?

PR08S. 85-4 y 85-5

8-5-6 Un tanque cilindrico sometido a una presión interna p

está comprimido al mismo tiempo por una fuerza axial F = 72 kN (véase la figura). El cilindro

tiene diámetro d = 100 mm y

espesor de pared t = 4 mm.Calcule la presión interna

máxima permisible pm A x con base en un esfuerzo cortante permisible en la pared del tanque de 60 MPa.

PROB. 8.5-6

8.5- 7 Un tanque cilindrico con diámetro d = 2.5 pulg está sometido a una presión interna de gas p - 600 lh/pulg2 y a una carga de tensión externa T = I 000 Ib (véase la figura).

Determine el espesor t mínimo requerido para la pared del tonque con base en un esfuerzo corlante permisible de 3000 Ib/pulg2.

i—

PR0B. 8.5-7

8.5- 8 El péndulo de torsión mostrado en la figura consiste en un disco circular horizontal de masa \ f - 60 kg suspendido de un alambre de acero vertical

(G = 80 GPa) y longitud¿ = 2my diámetrod = 4 mm.

Cakule el ángulo de rotación •p n x á % máximo permisible del disco (es decir, la amplitud máxima de las vibraciones por torsión) de manera que los esfuerzos en el alambre no excedan de 100 MPa en tensión o de 50 MPa en cortante.8- 5-9 Determine los esfuerzos máximos de tensión y compresión y los esfuerzos cortantes en el punto A sobre la manivela del pedal de la figura.

El pedal y la manivela están en un plano horizontal y el punto A se hallu sobre lo parte superior de la manivela. La carga P - 160 Ib actúa en dirección vertical y las dis-tancias (en el plano horizontal) entre la línea de acción de la carga y el punto A son ó, = 5.0 pulg y b 2 = 2-5 pulg. Suponga que la manivela tiene sección transversal circular sólida con diámetro d = 0.6 pulg.

8.5- 10 IJn recipiente cilindrico a presión con radio r

~ 300 mm y espesor de pared / = 15 mm está sometido a una presión interna p - 2.5 MPa. Además, un par de torsión T = 120 kN-m actúa en cada extremo

P m 1601bManivela

PROB. 8.5-9= 2.5 pulg


PR0B. 8^-8


del cilindro (véase la figura).a) Determine el esfuerzo

máximo de tensión tr n x k x y el esfuerzo cortante máximo en el plano Tm i x en la pared del

cilindro.b) S» el esfuerzo cortante

permisible en el plano es de 30 MPa. ¿cuál es el par de torsión T máximo permisible?

-d = 4mm

8.5- 11 Una ménsula horizontal en forma de escuadra situada en un plano honzontal soporta una carga P » 150 Ib (véase la figura). La ménsula tiene una sección transversal rectangular hueca con espesor t

= 0.125 pulg y dimensiones exteriores b - 2.0 pulg y h = 3.5 pulg. Las longitudes de las líneas centrales de los brazos son b y - 20 pulg y b 2 = 30 pulg.

¿ = 2 m

M = 60 kg

Hidden page



8.5- 16 Un cubo de IOO mm de diámetro exterior y 80 mm de diámetro interior sostiene un letrero (véase la figura) que mide 2.0 m x 0.75 m y cuyo borde inferior está a 3.0 m arriba de la base. Observe que el centro de gravedad del letrero está a l .05 m del eje del tubo. La presión del viento contra el letrero es de 1.5 kPa.

Deiermine los esfuerzos cortantes máximos en el plano debido a la presión del viento sobre el letrero en los puntos A.

B y C. localizados sobre la superficie exterior en la base del tubo.8.5- 17 Un poste de sección transversal circular hueca sostiene un letrero, como se muestra en la figura. Los

diámetros exterior e interior del poste son 10.0 pulg y 8.0 pulg. respectivamente. El poste tiene 40 pies de altura y pesa 3.8 klb. El letrero tiene dimensiones de 6 pies X 3 pies y pesa 400 Ib; observe que su centro de gravedad está a 41 pulg del eje del poste. La presión del viento contra el letrero es de 30 lb/pic2.

a) Determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento de esfuerzo en el punto A que está sobre la superficie exterior del poste al •'frente" de éste es decir, en la parte del poste más cercana al observador, y

b) los esfuerzos máximos de tensión y compresión y los esfuerzos cortantes en el punto A.

2.0 m

Sección -

Problemas 639


PflOB. 8*5-17

8.5-18 Una ménsula ABC horizontal en forma de escuadra (véase la figura) consiste en dos brazos perpendiculares AB y BC. este último con longitud de 0.4 m. El brazo AB tiene una sección transversal circular sólida con diámetro de 60 mm. En el punto C, una carga Px - 2.02 kN actúa vcrticalmente y una carga P> = 3.07 kN actúa horizontal y paralelamente al brazo AB.

Considere sólo las fuerzas Px y P2 y calcule el esfuerzo de tensión máximo r/#. el esfuerzo de compresión máximo <re y el esfuerzo cortante máximo en el plano TmAx «n el punto p que está en el empotramiento A sobre un lado de la ménsula a la mitad de su altura.

Tubo

100 mm

3.0 m

A

Sección XX

b

PflOB. &5-16

640


PR06. 8.5-18

8.5- 19 Un recipiente cilindrico a presión con extremos planos, se ve sometido a un par de torsión T y a un momento flextonante M (véase la figura). El radio exterior es de12.0 pulg y el espesor de la pared es de 1.0 pulg. ías cargas son: T

= 800 klb-pulg. Ai = 1 (XX) klb-pulg y la presión interna es p = 900 Itypulg2.

Determine el esfuerzo de tensión máximo sn el esfuerzo de compresión máximo v y el esfuer/o cortante máximo r*** en la pared del cilindro.

yo

8.5- 20 Para fines de análisis, un segmento del cigüeñal de un vehículo se representa como se ve en la figura. La carga P es igual n 1.0 kN y las dimensiones son b x ~ 80 mm. b2 - 120 mm y by * 40 mm. El diámetro del eje superior es d = 20 mm.

a) Determine los esfuerzos de tensión y compresión máximos y el esfuerzo cortante en el punto A, que está sobre la superficie del árbol en el eje y

b) los esfuerzos de tensión y compresión máximos y el esfuerzo corlante en .el punto B que se halla sobre la superficie del árbol en el eje %.

>o

PROe. 8.5-20

Sección transversal en A

Problemas 641


PflOB. 8-5-19

Deflexiones de vigas

9.1 INTRODUCCIÓN

Cuando una viga con eje longitudinal recto está cargada con luer/as laterales, el eje se deforma y toma una forma curva, llamada curva de deflexión de la viga. En el capítulo 5 usamos la curvatura resultante de la flexión para determinar las deformaciones unitarias y los esfuerzos normales en una viga; sin embargo, no desarrollamos un método para encontrar la curva de deflexión propiamente dicha. En este capítulo determinaremos la ecuación de la curva de deflexión y hallaremos las deflexiones en puntos específicos a lo largo del eje de la viga.

El cálculo de las deflexiones es una parte importante del análisis y diseño estructurales; por ejemplo, la determinación de deflexiones es un ingrediente esencial en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas (capítulo 10). Las deflexiones también son importantes en el análisis dinámico, como cuando se investigan las vibraciones de aeronaves o las respuestas de edificios a sismos.

642


A veces, se calculan las deflexiones para comprobar que estén dentro de límites tolerables; por ejemplo, las especificaciones para el diserto de edificios suelen fijar límites superiores a las deflexiones. Las deflexiones grandes en edificios dan mal aspecto (c incluso ponen nerviosos a los ocupantes) y pueden causar agrietamientos en techos y paredes. En el diserto de máquinas y aeronaves, las especificaciones pueden limitar las deflexiones para evitar vibraciones indeseables.

9.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA CURVA DE DEFLEXIÓN

La mayor parte de los procedimientos para encontrar deflexiones en vigas se basan en las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión y sus relaciones asociadas; por ello, comenzaremos por obtener la ecuación básica para la curva de deflexión de una viga.

SECCIÓN 9.2 Ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión 596


H6.9-1 Curva de deflexión de una viga en voladizo.

Para fines de análisis, consideremos una viga en voladizo con una carga concentrada que actúa hacia arriba en el extremo libre (figura 9-la). Debido a la acción de esta carga, el eje de la viga se deforma y adopta una forma curva como se muestra en la figura 9-Ib. Los ejes de referencia tienen su origen en el empotramiento de la viga, con el eje x dirigido hacia la derecha y el eje y orientado hacia

arriba. El eje z apunta hacia afuera de la figura (hacia el observador).

Igual que en nuestros análisis anteriores de la flexión de vigas en el capítulo 5. suponemos que el plano xy es un plano de simetría de la viga y que todas las cargas actúan en este plano (el plano de flexión).

La deflexión v es el desplazamiento en la dirección v de cualquier punto sobre el eje de la viga, (figura 9-Ib). Como el eje y es positivo hacia arriba, las deflexiones también son positivas hacia arriba.*

Para obtener la ecuación de la curva de deflexión, debemos expresar a la deflexión v en función de la coordenada x. Por tanto, consideremos ahora la curva de deflexión con más detalle. La deflexión ren cualquier punto m¡ sobre la curva de deflexión se muestra en la figura 9-2a. El punto m, está a una distancia x del origen (medida a lo largo del eje .r). También se muestra un segundo punto m 2 . localizado a una distancia x + dr desde el origen. La deflexión en este segundo punto es v - dv, donde dv es el incremento en deflexión conforme nos movemos a lo largo de la curva de mi a

Cuando la viga se flexiona. no sólo hay una deflexión en cada punto a lo largo de la viga sino también una rotación. El ángulo de rotación 0del eje de la viga es el ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión, según se aprecia para el punto mi en la amplia-

FK*. 9-2 Curva de deflexión de una viga. <•)

•Como ya se mencionó en la sección 5.1. los símbolos tradicionales para lo» dcspU- ¿amiento* en U* direcciones y y z *on u, v y w, respectivamente l-a ventaja de esta notación es que subraya la distinción catre coordenada y desplazamiento.

596 CAPITULO 9 Deflexiones de vigas


ción de la figura 9-2b. Para nuestra selección de ejes (x positiva hacia la derecha y y positiva hacia arriba), el ángulo de rotación es positivo cuando es en sentido contrario a las manecillas del reloj. (Otros nombres para el ángulo de rotación son ángulo de inclinación y ángulo de

pendiente.)El ángulo de rotación en el punto es 0 +

dO. donde dO es el incremento angular conforme nos movemos del punto ni, al punto m 2 . Se infiere que si trazarnos líneas normales a las tangentes (figuras 9-2a y b). el ángulo entre estas normales es dti . Además, como se estudia en la sección 5.3, el punto de intersección de estas normales es el centro de curvatura O', (figura 9-2a). y la distancia de O’ a la curva es el radio de curvatura p. Con base en la figura 9-2a vemos que

pdO = ds (a)

en donde dfl está en radianes y ds es la distancia a lo largo de la curva de deflexión entre los puntos ni, y /n 2; por tanto, la curvatura k (igual al recíproco del radio de curvatura) está dada por la ecuación

(9-1)



RG. 9-3 Convención de signos para ia curvatura.La convención de signos para la curvatura se ilustra en la figura 9-3. que es igual a la figura 5-6 de la sección 5.3. Observe que la curvatura es positiva cuando el

ángulo de rotación aumenta conforme nos movemos a lo largo de lu viga en la dirección r positiva.

La pendiente de lu curva de deflexión es la primera derivada drfdx de la expresión para la deflexión v. En términos geométricos, la pendiente es el incremento dv en la deflexión (al pasar del punto m, al punto m 2 en la figura 9-2) dividido entre el incremento dx de la distancia a lo largo del eje -t. Como dv y dx son infinitesimalmentc

V®y

Curvaturapositiva

(ai

v

('urvalumnegativa

pequeños, la pendiente dvfdx

es igual a la

tangente del ángulo de rotación 0(figura 9-2b). Así,

* - ardan ~ <9-2*,b)

De manera similar obtenemos las siguientes relaciones:

eos 0 = ^ sentf ■ (9-3a.b)

ds ds

Observe que cuando los ejes x y y tienen las direcciones mostradas en la figura 9-2a, la pendiente dvfdx es positiva cuando la tangente a la curva se inclina hacia arriba y a la derecha.

Las ecuaciones (9-1) a la (9-3) se basan sólo en consideraciones geométricas, por lo que son válidas para vigas de cualquier material. Además, no hay restricciones sobre las magnitudes de las pendientes y deflexiones.

d\

dx

• tan*

Vigas con ángulos de rotación pequeños

La forma de las estructuras que forman pane de la vida diaria, como son edificios, automóviles, aeronaves y barcos, sufre cambios relativamente pequeños mientras se les utiliza, tan pequeños que difícilmente puede observarlos un espectador casual. En consecuencia, las curvas de deflexión de la mayor pane de las vigas y columnas tie-nen ángulos de rotación, deflexiones y curvaturas muy pequeñas. En estos casos, es posible hacer ciertas aproximaciones matemáticas que simplifican el análisis en gran medida

Tomando como ejemplo la curva de deflexión que se muestra en la figura 9-2. si el ángulo de rotación ( fes muy pequeño (y por tanto la curva de deflexión es casi horizontal), se observa de inmediato que la distancia ds a lo largo de la curva de deflexión es prácticamente igual al incremento dx a lo largo del eje x. También es posible obtener directamente esta conclusión a partir de la ecuación <9-3a). Puesto que eos 0 I cuando el ángulo 0 es muy pequeño, la ecuación (9-3a) da:

ds** dx (b)

Con esta aproximación, la curvatura

resulta (véase la ecuación 9-1)

«M»p dx

Además, como tan O *» 0cuando Oes pequeño, podemos establecer la siguiente aproximación para la ecuación (9-2a):

0 * = U n O = ^- (c) dx

Entonces, silas rotaciones de una viga sonpequeñas, podemos suponer que elángulo de rotación 0 y la pendiente dUdx soniguales(observe que el ángulo de rotación debe medirse en radianes).

Al calcular la derivada de 0con respecto a x en la ecuación (c), se obtiene:

dd = drv dx

dx1 <d)

Combinamos esta ecuación con la (9-4) y obtenemos una relación entre la curvatura de una viga y su deflexión:

(9-5)p dx m

Esta ecuación es válida para una viga de cualquier material, siempre que las rotaciones sean pequeflas.

Si el material de una viga es elástico lineal y obedece la ley de Hooke, la curvatura (de la ecuación 5-12, capitulo 5) es:

600 CAPÍTULO 9 Deflexiones de vigas


en donde M es el momento flexionante y El es la rigidez por flexión de la viga. La ecuación (9-6) muestra que un momento flexionante positivo produce curvatura positiva y un momento flexionante negativo produce curvatura negativa, como se mostró antes en la figura 5-10.

Al combinar las ecuaciones (9-5) y (9-6). resulta la ecuación diferencial de la curva de deflexión básica de una viga:

dh-dx* El

CS) C8)

íSi iSí

IB6.9-4 Convención de signos para el momento flexionante M.

la fuer/a cortante V y la intensidad </ de la carga distribuida.Esta ecuación puede integrarse en cada caso particular para encontrar la deflexión v.

siempre que el momento flexionante M y la rigi-dez por flexión El sean conocidas como funciones de x.

Como recordatorio, se repiten las convenciones de signos que deben usarse con las ecuaciones anteriores: I) los ejes ,v y y son positivos hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente: 2) la deflexión v es positiva hacia arriba; 3) la pendiente dvfdx y el ángulo de rotación 0 son positivos en sentido contrario a las manecillas de! reloj con respecto al eje x positivo: 4) la curvatura k cs positiva cuando la viga se flexiona con concavidad hacia arriba y 5) el momento flexionante M es positivo cuando produce compresión en la parte superior de la viga.

Pueden obtenerse ecuaciones adicionales de las relaciones entre el momento flexionante M, la fuerza cortante V y la intensidad q de la carga distribuida. En el capítulo 4 obtuvimos las siguientes ecuaciones

(9-7)

dx

entre M.Vyq (véanse las ecuaciones 4-4 y 4-6):

d V ~ - q ™ = V 8a.b)

d x

Las convenciones de signos para estas cantidades se presentan en la figura 9-4. Calculando la diferencial de la ecuación

(9-7) con respecto a x, y sustituyendo luego las ecuaciones anteriores para la fuerza cortante y la carga, obtendremos las ecuaciones adicionales. Para esto, consideremos dos casos: vigas no prismáticas y vigas pris-máticas.

Vigas no prismáticas

En el caso de una viga no prismática, la rigidez por flexión El es variable, por lo que escribimos la ecuación (9-7) en la forma

donde el subíndice x se inserta como recordatorio de que la rigidez por flexión puede variar con .r. Calculando la diferencia] para ambos lados de esta ecuación y utilizando las ecuaciones (9-8a) y (9-8b). obtenemos

(9-9b)

A2

d x

d 'x

dx 2El , M <9-9a)



Hidden page

SECCIÓN 9.3 Deflexiones por integración de la ecuación del momento flexionante 604


A ________________ ñ

-----------------

*■0 V g m o

B6. 9-5 Condiciones de frontera en apoyos simples.

na 9-0 Condiciones de frontera en un empotramiento.

Un el punto C .

M a c s * r ) C B

(y')ACm^)cB

R€. 9-7 Condiciones de continuidad en el punto C

ferenciales es el siguiente. Para cada región de la viga, sustituin>os la expresión para A# en la

ecuación diferencial y la integramos a fui de obtener la pendiente v\ Cada una de tales integraciones produce una constante de integración. A continuación, integramos cada ecuación de pendiente para obtener la deflexión correspondiente v. De nuevo, cada integración produce una nueva constante. Habrá entonces dos constantes de integración para cada región de la viga. Estas constantes se evalúan a partir de condiciones conocidas propias de las pendientes y de las deflexiones. Las condiciones son de tres tipos: 1) condiciones de frontera, 2) condiciones de continuidad y 3) condiciones de simetría.

Las condiciones de frontera se refieren a las deflexiones y pendientes en los apoyos de una viga; por ejemplo, en un apoyo simple <ya sea de pasador o de rodillo), la deflexión es cero (figura 9-5) y en un empotramiento, tanto la deflexión como la pendiente son cero (fi-gura 9-6). Cada una de tales condiciones de frontera da una ecuación que puede usarse para evaluar las constantes de integración.

Las condiciones de continuidad se presentan en puntos donde las regiones de integración confluyen, como en el punto C de la viga en la figura 9-7. La curva de deflexión de esta viga es físicamente con-tinua en el punto C de suerte que la deflexión en el punto C determinada para la parte izquierda de la viga debe ser igual a la deflexión en el punto C determinada para la parte derecha. De manera similar, las pendientes encontradas para cada pane de la viga deben ser iguales en el punto C. Cada una de estas condiciones de continuidad proporciona una ecuación para evaluar las constantes de integración.

Las condiciones de simetría también pueden estar presentes; por ejemplo, si una viga simple sopona una carga uniforme en toda su longitud, sabemos de antemano que la pendiente de la curva de deflexión en el centro del claro debe ser cero. Esta condición da una ecuación adicional, según se ilustra en el ejemplo 9-1.

Cada condición de frontera, continuidad y simetría conduce a una ecuación que contiene una o más de las constantes de integración. Como el número de condiciones

SECCIÓN 9.3 Deflexiones por integración de la ecuación del momento flexionante 605


independientes siempre con-cuerda con el número de constantes de integración, podemos hallar las constantes a partir de esas ecuaciones. (Las condiciones de frontera y continuidad solas siempre bastan para determinar las constan-tes. Cualesquiera condiciones de simetría proporcionan ecuaciones adicionales, pero no son independientes de las otras ecuaciones. La elección de las condiciones depende de la conveniencia.)

Una vez evaluadas las constantes, pueden sustituirse en las ex-presiones para las pendientes y deflexiones, obteniéndose las ecua-ciones finales de la curva de deflexión, las cuales sirven para obtener las deflexiones y ángulos de rotación en puntos panicularcs a lo largo del eje de la viga.

El método precedente para encontrar deflexiones se llama a veces método de integraciones sucesivas. Los ejemplos siguientes lo ilustran en detalle.

Nota: las curvas de deflexión que se muestran tanto en las figuras 9-5. 9-6 y 9-7 como en los ejemplos siguientes, se han dibujado con la deflexión sumamente exagerada a efecto de hacerlas más claras. Sin embargo, siempre

debe recordarse que las deflexiones reales son cantidades muy pequeñas.

SECCIÓN 9.3 Deflexiones por integración de la ecuación del momento flexionante &05

v'(O) * 0


Ejemplo 9-2

Determinar la ecuación de la curva de deflexión puní una viga en voladizo Afí sometida a una carga uniforme de intensidad q (figura 9- 10o).

Determinar también el ángulo de rotación ^ y la deflexión SB en el extremo libre (figura 9-lOb). (Sota: la viga tiene longitud L y rigidez cons-tante a


v'(O) * 0


la flexión EL)

FIG. 9-10 Ejemplo 9-2. Deflexiones de u


v'(O) * 0


na viga en voladizo con carga uniforme.

SoluciónMomento

f lexionante en la viga. El momento flexionante a la


v'(O) * 0


distan-cia .r del empotramiento se obtiene con el diagrama de cuerpo libre de la figura 9-11. Observe que la reacción vertical en el empotramiento es igual a qL y la reacción de momento es igual a qL 2 /2. En consecuencia, la expre-sión para el momento flexionante M es

M~ +(9-21)


v'(O) * 0


Ecuación diferencial de la cuna de deflexión. Al sustituir la expre-sión anterior para el momento flexionante en la ecuación diferencial (ecua-ción 9-12a). obtenemos

qL 2 qx 2 Eh?' = +qLx -V

FIC. 9-11 Diagrama

de cuerpo libre usado para determinar e) momento flexio

(9-22)


v'(O) * 0


nante M (ejemplo 9-21.Ahora integramos ambos lad

os de esta ecuación para obtener las pendien-tes y las deflexiones.Pendi

ente de la viga.

La primera

integración de la ecuación (9-22) dala

siguiente

ecuaci


v'(O) * 0


ón p

ora la pendiente:

o,,„-2!¿I +

2í±:_Síi + c,2 2o

1.a constante de integración Cj puede hallarse a partir de la condición de frontera de que la pendiente de la viga sea cero en el empotramiento: tenemos entonces la siguiente condición:

(c)

Cimürráa

Cuando se aplica esta condición a la ecuación te) obtenemos C y =* 0: por tanto, dicha ecuación turna la forma

B„.. lA+&d.£Í < n

y la pendiente es

v' = —rrr.OL2 - 3Lx + X2) (9-23)6 El

Según se esperaba, la pendiente obtenida a partir de esta ecuación es cero en el empotramiento (x = 0) y negativa (es decir, horaria» en toda la longitud de la viga.

Deflexión de la viga. La integración de la ecuación de la pendiente (ecuación f). da

4 + 6 JT + C»(S)

La constante C 2 se encuentra de la condición de frontera de que la deflexión de la viga es cero en el empotramiento:

W0) = 0

Al aplicar esta condición a la ecuación (g). vemos de inmediato que Cj = 0; por tanto, la ecuación para la deflexión v es

v ~ 4 L x + <9‘24>24 E l

Como se esperaba, la deflexión obtenida a partir de esta ecuación es cero en el empotramiento {x * 0) y negativa (es decir, hacia ahajo) en el resto de la viga.

Ángulo de rotación en el extremo l ibre de la viga. El ángulo de rotación en el sentido de las manecillas del reloj 0m en el extremo B de lo viga (figura 9-10b) es igual al negativo de la pendiente en esc punto. Entonces, usando la ecuación (9-23). obtenemos

e„ » -v'<¿) - (9.25)oh/

Este ángulo ex el máximo ángulo de rotación en la viga.

Deflexión en el extremo l ibre de la viga. Puesto que la deflexión &B es hacia ahajo (figura 9-IOb), es igual al negativo de la deflexión obtenida con la ecuación (9-24):

- -v(L) - ^ (9-26) 4B

Esta deflexión es la deflexión máxima en

la viga.

Ejemplo 9-3 TV- .•

Una viga simple AB sopona una carga concentrada P que actúa a las distancias a y b

de los apoyos izquierdo y derecho, respectivamente (figura

9-12a).Determinar

las ecuaciones de la curva de deflexión, los ángulos de rotación $A y $„

en los apoyos, la deflexión máxima 5^,, y la deflexión Se en el centro del claro C de la viga (figura 9-12b; nota: la

viga tiene longitud L y rigidez constante por flexión El\ .

SoluciónMamemos f lexionanies en la viga. En este

ejemplo, los momentos fle- xionantcs son expresados por dos ecuaciones, una para cada parte de la viga. Con los diagramas de cucipo libre de la figura 9-13, obtenemos las siguientes ecuaciones:

\1

(b)

F1G. 9-13 Diagrama*, de cuerpo libre usados para

determinar los momentos flexionan- tcs (ejemplo 9-3).

Ecuaciones di ferenciales de la cuna de deflexión. Las ecuaciones diferenciales para las dos partes de la viga se obtienen sustituyendo las expresiones de! momento flexionante (ecuaciones 9-27a y b) en la ecuación (9-12a). Los resultados son

Elv * = ^ - P(x - a) t*

\1

x<a

(a)

( a X x x L )

M — ~~ ( 0 S x < a )1 *

M = ^- -Pi .x -a)

(9-28a)

(9-28b)( # S r £ l )



Pendiente* y deflexiones de ¡a viga. I.as primeras integraciones

de las dos ecuaciones diferenciales dan las siguientes expresiones para las pendientes:

continúa

Pbx2 2L

Pbx2 2LElv' =

Elv' -

+ C, ( O S i S a ) PÍA-

a) 2+ C 2

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SECCIÓN 9 3 Dellexiones por integración de la ecuación del momento nexionante 611

ít.nrifuáü


v ■ - ( ¿ * - b 2 - x*’) ( O S x S f l ) 19-29a>t L L I

v S ~6LEÍ ( L 2 ~ 1 , 2 ~ * 2 ) ~ ioSxüL) <9-29b) 4«

1.a primera de estas ecuaciones da la cana ele deflexión para la parle de la viga a la izquierda de la carga P y la segunda da la curva de deflexión para la parte de la viga a la derecha de la carga.

Las pendientes para las dos pones de la viga pueden encontrarse sustituyendo los valores de C¡ y Cj en las ecuaciones (h) e (i) o con las primeras derivadas de las ecuaciones de deflexión (ecuaciones 9*29a y b). Las ecuaciones resultantes son

»•' - -<L ¡ -b 2 - ix 2) ( 0 £ ; í j ) (9-30u)4h¡

6 Ltl

V ' m ~bLFl { L ' ~ b ' ~ y x ' ) ~ P l l u ) ( a - x - L )

(9-30b)La deflexión y la pendiente en cualquier punto a lo largo del eje de la viga pueden calcularse con las ecuaciones (9-29) y (9-30).

Ángulos de rotación en ios apoyos. A fin de obtener los ángulos de rotación $A y en los extremos de la viga (figura 9- 12b), sustituimos jr - 0 en la ecuación <9-30a) y x m L en la ecuación t9-30b):

Observe que el ángulo $A va en el sentido de las manecillas del reloj ) que el ángulo 9& va en sentido contrario a las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 9-12b.

Los ángulos de rotación son funciones de la posición de la carga y alcanzan sus valores máximos cuando la carga está cerca del punto medio de lu viga. En el caso del ángulo de rotación 0A . el valor máximo del ángulo es

(9-32)

y ocurre cuando b = Lí\ 3 = 0.577L (o a = 0.423L). Este valor de b se obtiene derivando 0A con respecto a b (utilizando la primera de las dos expresiones para dA en la ecuación 9-3la) c igualando el resultado a cero.

Deflexión máxima de la viga. La deflexión máxima 6^ se da en el punto D (figura 9-12b). donde la curva de deflexión tiene una tangente horizontal. Si la cargo está a la derecha del punto medio; es decir, si a > b %

el punto D está en la parte de la viga a la izquierda de la carga. Podemos localizar este punto igualando la pendiente V' dada por la ecuación (9-30a) a cero y despeado la distancia x, que ahora denotamos con X|. De esta manera obtenemos la siguiente fórmula para x%:

L 2 - b 2

— ( o s * ) <9-33)

í


SECCIÓN 9.4 Deflexiones por

integración de las ecuaciones de la fuerza

cortante y de la carga 613

Al

apl

ica

r

ota

con

dic

ión

a la

ecu

aci

ón

(d).

obt

ene

mo

s

C\

=

0.

por

lo

cua

l el

mo

me

nto

fkx

ioti

ant

e

es

S I = E l v ' = - 77 <L - x>’(9-42)tsL

P e n d i e n t e y d e f l e x i ó n d e l a

v i g a . Las integraciones tercera y cuarta

dan

E h > “ 24L i L ~ X ) 4 +

Cy<e)

Elv =*-*>’+

Cyx+C.(f)

Las condiciones de fronte

ra en el empotramiento, donde la pen

diente y la deflexión son cero, son

v'(0> «0v<0)=0

Aplicamos esas condicion

es a las ecuaciones (c) y (0, respectiv

amente, y encontramos

c,=_m: c,=^*244

120

Sustituimos estas expresiones para

los constantes en las ecuaciones (e) y (ft. con

lo que obtenemos las siguientes ecuaciones

para la pendiente y la deflexión de la viga:

v' - -r~7(4/.’ - 6 1

. 2

x

+

4 l

x 2

-

x3)

43)24 LrJ

- .£*1,(10// - lOL-x +- S L x 2

- x3)19-44)120 LrJ

A

n g

u l

o

d e

r o

t a

c i

ó n

y

d e

f l

e x

i ó

n

e n

e l

e x

t r

e m

o

l i

b r

e

d e

l a

v i

g a

.

El ángulo de rotaci

ón 0* y la deflexión S ñ

en el extremo libr

e de la viga (figura 9-14b) se obtienen

de las ecuaciones (9-43) y (9-44). respec

tiva-mente. sustituyendo x

m

/,. (xst

resuludm son

»

„ = -v'(L) =

^ j

8 „

=

-»</.) =

(9-4

5a.b)

Así, hemos det

erminado las pendientes y deflexiones requer

idas de la viga resolviendo la ecuación dif

erencial de cuarto orden de la curva de defle-

xión.

Ejemplo 9*5



Una viga simple AB con un voladizo BC soporta una carga concentrada P en el extremo del voladizo (figura 9- 15a). EJ claro principal de la viga tiene longitud L y el voladizo tiene longitud L/2.

Determinar las ecuaciones de la cuna de deflexión y la deflexión 6 c en el extremo del voladizo (figura 9- 15b). Use la ecuación diferencial de tercer orden de la curva de deflexión (la ecuación de la fuerza cortante). Nota: la viga tiene rigidez constante por flexión El.)

RG. 9-15 Ejemplo 9-5. Deflexiones de una viga con un voladizo.

SoluciónEcuaciones diferenciales de la curva de deflexión. Como en los apoyos A y

B actúan fuerzas reactivas, debemos escribir ecuaciones diferenciales separadas para las partes AB y BC de la viga; por tanto, comenzamos por encontrar las fuerzas cortantes en cada parte de la viga.

La reacción hacia abajo en el apoyo A es igual a Pfl y la reacción hacia arriba en el apoyo B es igual a 3P/2 (véase la figura 9-15a). Las fuerzas cortantes en las partes AB y BC son entonces

V- -y (0 < * < Z.) (9-46a>

V = P (^L<x< -yj (9-46b)

en donde x se mide desde el extremo A de la viga (figura 9-12b).

Las ecuaciones diferenciales de tercer orden para la viga son ahora (véase la ecuación 9-12b):

EIv" = -y (0 <x<L) (g)

EIv" -P (L<X<Y) (h)

Momentos flexionantes en la vi^a. 1.a integración de las dos ecuaciones anteriores da las ecuaciones del momento flexionante:

M = Elv’= “Y + C, M -

EIv’ -Px + C2

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RG.9-15 (Repetición).

Al aplicar estas condiciones a la ecuación (I), obtenemos

PL?

C? = 0 C,12

Sustituimos la expresión anterior para C> en la ecuación (k) y obtenemos

5 PL2

Ci-

Para la parte B C de la viga, la deflexióo es cero en el punto t í , por tanto, la condición de frontera es

*£) - 0

Aplicamos esta condición a la ecuación (m), sustituimos la ecuación (p) para C4 y obtenemos

PL

C*« -

De esta manera hemos evaluado todas las constantes de integración.Las ecuaciones de deflexión se obtienen sustituyendo las constantes de

integración (ecuaciones n. o. p y q) en las ecuaciones (I) y (m). Los resultados son

P x /f ^- 7 2 E,{L A

- - l(\L*x + 9Lx2 ~ 2 x y ) (L s x s - y)<v*48b>

Observe que la deflexión es siempre positiva (hacia arriba) en la parte A B de la viga, (ecuación 9-48a) y siempre negativa <hacia abajo) en el voladizo B C

(ecuación 9-48b).D e f l e x i ó n e n e l e x t r e m o d e l v o l a d i z o . Podemos

encontrar la deflexión 6 C en el extremo del voladizo (figura 9-15b) sustituyendo x

= 3L/2 en la ecuación (9-48b):

(f) - ^7 (W9’De esta manera, hemos determinado las deflexiones de la viga con voladizo (ecuaciones 9*48 y 9-49) resolviendo la ecuación diferencial de tercer orden de la curva de deflexión.

(a)

(n. o)

CP)

(9-4 8a)

SECCIÓN 9.5 Método de superposición 617


9.5 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

El método de superposición es un práctico procedimiento utilizado comúnmente para obtener deflexiones y ángulos de rotación de vigas. El concepto subyacente es bastante sencillo y puede enunciarse de la siguiente manera:

F.n condiciones adecuadas, la deflexión de una viga, producida por varias cargas diferentes que actúan simultáneamente, puede en contrarse superponiendo las deflexiones producidas por las mismas cargas al actuar por sepunido.

Por ejemplo, si r, representa la deflexión en un punto particular sobre el eje de una viga debido a una carga q x y si representa la deflexión en el mismo punto debido a una carga diferente q 2 . entonces la deflexión en ese punto debido a las cargas q x y q 2 en acción simultánea es v x + (Las caigas q x y q 2 son cargas independientes y cada una puede actuar en cualquier parte a lo largo del eje de la viga.)

La justificación para superponer deflexiones se basa en la naturaleza de las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión (ecuaciones 9-12a. b y c). que son ecuaciones diferenciales l ineales porque todos los términos contienen la deflexión v y sus derivadas están elevadas a la primera potencia: por tanto, las soluciones de estas ecuaciones para varias condiciones de carga pueden sumarse algebraicamente o superponerse. (Las condiciones para que la superposición sea válida se describen posteriormente en la subseceión “Principio de superposición".)

Como ilustracióu del método de superposición, consideremos la viga simple ACfí de la figura 9-I6a. Esta viga sopona dos cargas:1) una carga uniforme de intensidad q que actúa sobre todo el claro y2) una carga concentrada P que actúa

en el centro del claro. Supon-gamos que queremos encontrar la deflexión ác-en el centro del claro y los ángulos de



rotación $A y $B en los extremos (figura 9-16b). Usamos la superposición y obtenemos los efectos de cada carga en acción independiente y luego combinamos los resultados.

Para la carga uniforme que actúa sola, la deflexión en el centro y los ángulos de rotación en los extremos se obtienen con las fórmulas del ejemplo 9-1 (véanse las ecuaciones 9-18,9-19 y 9-20):

5 qL* ql y (&)i = (ftr).384£/

/. v + ís¡ v _ PL 3

«efe + («efe - m E I + Jgg

24 Elen donde El es la rigidez por flexión de la viga y L es su longitud.

Para la carga P que actúa sola, las cantidades correspondientes se obtienen

con las fórmulas del ejemplo 9.3 (véanse las ecuaciones 9-38 y 9-39):

(«rh =

La deflexión y los ángulos de rotación debidos a la carga combinada (figura 9-16a)

se obtienen mediante una suma:

í—L—í—J PL2

1667

PLr

4SFJ

HE. 9-16 Viga simple con dos cargas.

Se (a)

Hidden pageHidden pageHidden pageHidden pageHidden pageHidden pageHidden pageDe'f lexión ¿>. La flexión del voladizo f íC produce una deflexión adicional hacia ahajo «S> en el punió C. que es igual a la

deflexión de una viga en voladizo de longitud a sometida a una carga uniforme de intensidad q (véase el caso 1. tabla G-1):

*!

~m<f)

Deflexión La

deflexión total del punto C hacia abajo es igual a la suma algebraica de «5/ y 6y.

* - * + X

gaUrf-L*) ga*6 c - S , + 6 2 -------------------------------—

+ g £ /

« 24¡7 [UAa' ' ¿Í)

+ ^

o

8<; - (a + /-H.W + aL - l.1) (9-

59) 4-24/;/

De esta ecuación vemos que la deflexión <V puede ser hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de las magnitudes relativas de las longitudes L y a. Si a es relativamente grande, el último término en la ecuación tía expresión de

tres términos entre paréntesis) es positiva y la deflexión Se es hacia abajo. Si a es relativamente pequeña, el último término es negativo y la deflexión es hacia arriba. La deflexión es cero cuando el último término es igual u cero:

3a: + aL - Ü = 0

o

a =» ^VJLrJl = 0.4343L

(g)6

De acuerdo con este resultado, vemos que si a es mayor que 0.4343L. la deflexión del punto C es hacia abajo; m a es menor

que 0.4343L, la deflexión es hacia aniba.

Cuna de deflexión. La forma de la curva de deflexión para la viga de este ejemplo se muestra en la figura 9-2le para el caso en que a es lo bastante grande (a > 0.4343/.) para producir una deflexión hacia abajo en C y suficientemente pequeña (tí < /.) para garantizar que la reacción en A es hacia

arriba. En estas condiciones, la viga tiene un momento flcxionanlc positivo entre el apoyo A y un punto como el Z>. La curva de deflexión en la región AD es cóncava hacia arriba (curvatura positiva). De D a C. el momento flexionante ex negativo, de modo que la curva de deflexión es cóncava hrcia abajo (curvatura negativa).

Punto de inf lexión. En el punto D. la curvatura de la curva de deflexión ex cero porque el momento flexionante es cero. Un punto como el D, donde la curvatura y el momento flexionante cambian de signo . se llama punto de inflexión (o punto de contraflexión). El momento flexionante M y la segunda derivada <? i ldx 1 siempre son cero en

un punto de inflexión.Sin embargo, un punto

donde M y t^Udc son iguales a cero no nece-sariamente es un punto de inflexión porque es posible que estas cantidades sean cero sin cambiar de signo en dicho punto; por ejemplo, podrían tener valores máximos o mínimov

630 CAPÍTULO 9 Deflexiones de visas


En esta sección describiremos otro método para encontrar deflexiones y ángulos de rotación de vigas.

Dado que el método se basa en dos teoremas relacionados con el área del diagrama de momentos / les ionantes . se le llama método úrea-momento.

Las hipótesis usadas en la deducción de k*s dos teoremas son las mismas que las empleadas para deducir las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión. Así pues, el método de área-momento es válido sólo para vigas clástico lineales con pendientes pequeñas.

Primer teorema área-momento

Para obtener el primer teorema, consideremos un segmento AB de la curva de deflexión de una viga en una región donde la curvatura sea positiva (figura 9-22). Por supuesto, las deflexiones y pendientes de la figura se han exagerado por claridad. En el punto A. la tangente AA' a la curva de deflexión forma un ángulo 0 A con el eje x y en el punto t í . la tangente Btí ' forma un ángulo 0 B . Estas dos tangentes se encuentran en el punto C.

El ángulo entre ambas tangentes, denotado con 0g/ A . es igual a la diferencia entre $ H y $ A:

&8/A - ~ 0*

El ángulo t ín/A puede describirse entonces como el ángulo a la tangente en t í , medido respecto a la tangente en A. Observe que los ángulos 0 A y H B . que son los ángulos de rotación del eje de la viga en los puntos Ay t í , respectivamente, también son iguales a las pendientes en esos puntos porque las pendientes y los ángulos son cantidades muy pequeñas.

O

9.6 MÉTODO ÁREA-MOMENTO

(9-60)

X

WF‘

RG- 9-22 Obtención del primer teorema de área-momento.

SECCIÓN 9.6 Método área-momento 631


A continuación, consideramos dos puntos m, y m2 sobre el eje flcxionado de la viga (figura 9-22). Estos pumos están separados por una pequeña distancia ds. Las tangentes a la curva de deflexión en dichos puntos se muestran en la figura como las lincas m x px y m2/>2. Las normales a estas tangentes se cortan en el centro de curvatura (no se ven en la figura).

F.1 ángulo dQ entre las normales (figura 9-22) está dado por la siguiente ecuación:

d f f = — (a)

en donde pes el radio de curvatura y dO se mide en radianes (véase la ecuación 9-1). En virtud de que las normales y las tangentes (m{p\ y *0° perpendiculares, se infiere que el ángulo entre las tangentes también es igual a dO.

Para una viga con pequeñas ángulos de rotación, podemos reemplazar ds con dx . según se explicó en la sección 9.2. Entonces,

d e = > — (b)p

Asimismo, a partir de la ecuación (9-6) sabemos que

1 M_. (c)

p El

y por tanto.

d e = (9.61)

en donde M es el momento fiexionante y El es la rigidez por flexión de la viga.

La cantidad M dx/EI tiene una interpretación geométrica simple. Para ver esto, nos referimos a la figura 9-22 donde hemos dibujado el diagrama SU El debajo de la viga. En cualquier punto a lo largo del eje .r. la altura de este diagrama es igual al momento fiexionante M en el pumo dividido entre la rigidez por flexión El en dicho pumo. Así. el diagrama M I E l tiene la misma forma que el diagrama de momento fiexionante. siempre que El sea constante. El término M dx/EI es el área de la franja sombreada de ancho dx dentro del diagrama MIEL (Observe que. como la curvatura de la curva de deflexión en la figura 9-22 es positiva, el momento fiexionante M y el área del diagrama MI El también son positivos.)

Integremos ahora (ecuación 9-61) entre los puntos A y i? de la curva de deflexión:

r-r»Hidden page

632 CAPÍTULO 9 Deflexiones de visas


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Ejemplo 9-10

RG. 9-24 Ejemplo 9-10. Viga en voladizo con una carga conc

entrada.Determinar el ángulo de rotación SB y la deflexión SB en el extremo libre B de una viga en voladizo AB que soporta una carga concentrada P (figura 9-24; nota: la viga tiene longitud L y rigidez constante por flexión El).

Solución

Por inspección de la viga y su carga,

P

B



sabemos que el ángulo de rota-ción 0B

va en el sentido de las manecillas del reloj y que la deflexión SH

es hacia abajo (figura 9-24);

por tanto, podemos asar valores absolutos al aplicar los teoremas de área-momento.

Diagrama Ai/E!. El diagrama de momento flexionantc es de forma triangular con el momento en el empotramiento igual a — PL. Dado que la rigidez por flexión El es constante, el diagrama M/EI tiene la misma forma del diagrama de momento flexionantc como

se muestra en el último dibujo de la figura 9-24.

Ángulo de rotación. Por el primer teorema área-momento sabemos que el

ángulo $B / A entre las tangentes en los puntos B y A es igual al área del diagrama MI El entre tales puntos. Esta área, que denotaremos con A¡. se determina como sigue:

LnJ Ek) =

2 l El) 2El

Observe que estamos usando sólo el valor absoluto del área

El ángulo de rotación relativo entre los puntos Ay B (del primer teo-rema) es



Pl¿ 2EI

Como la tangente a la cun a de deflexión en el apoyo A es horizontal (0A

0), obtenemos

(9-64)

Este resultado concuerda con la fórmula para SB dada en el caso 4. tabla G-1. apéndice G.

Deflexión. La deflexión en el extremo libre puede obtenerse con el segundo teorema área-momento. En este caso, la desviación tangencial tK A del punto B respecto a la tangente en A es igual a la propia deflexión SB (véase la figura 9-24). El momento estático del área del diagrama MIEL evaluado con respecto al punto B% es

(?« m *lX

Observe de nuevo que no estamos considerando los signos, sino usando sólo valores absolutos.

Con base en el segundo teorema área-momento, sabemos que la deflexión 6/i es igual al momento estático Qü por

P

L~ 2 El

ftt •

PL'

3 El

tanto.

(9-65)

Este resultado también aparece en el caso 4 de la tabla G-1.

PL'

3 £/

6»



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Sustituimos en la ecuación (g) y encontramos

8 48E/V 8 / \ (yF.I\A) l6£/\6 I 384EJ

Este ejemplo ilustra cómo determinar el área y el momento estático de un diagrama complejo MIE! dividiendo el área en partes con propiedades conocidas. Los resultados de este análisis (ecuaciones 9-66 y 9-67) se com-prueban usando las fórmulas del caso 3, tabla G*1 del apéndice G. y sustituyendo a = b = L/2.

| Ejemplo 9-12 /]

L'na viga simple ADB soporta una carga concentrada P que actúa en b posición mostrada en la figura 9-26. Determinar el ángulo de rotación 0A en el apoyo A y la deflexión £*> bajo la carga P (Sota; b viga tiene longitud L y rigidez constante por flexión El.)

SoluciónLa cursa de deflexión, que presenta el ángulo de rotación 0Á y b deflexión

6 n % está dibujada en la segunda pane de la figura 9-26. Como podemos determinar los sentidos de 9A y S 0 por inspección, escribimos las expresiones de área-momento usando sólo valora» absolutos.

Diagrama M/EI. El diagrama de momento flcxionantc es triangular, con el momento máximo (igual a Pab/L) debajo de la caiga. Como EJ es constante. el diagrama M/EI tiene la misma forma que el diagrama de momento fkxionantc (véase la tercera parte de la figura 9-26).

Ángulo de rotación en el apoyo A. Para encontrar este ángulo, cons-truimos la tangente AHX en el apoyo A. Notamos entonces que la distancia BBX

es la desviación tangencial tm A del punto B respecto a la tangente en A. Podemos calcular esta distancia evaluando el momento estático del área del diagrama M/EI con respecto al punto H y luego aplicando el segundo teo-rema área-momento.

El área de! diagrama MIE! es

El centroide C, de esta área está a una distancia I, del punto B (figura 9-26). Esta distancia, obtenida del caso 3 del apéndice D. es

(MM




Hidden pagePor tanto, la desviación tangencial es

F.l ángulo $A e% igual a la desviación tangencial dividida entre la longitud de la viga:

$A " ~L

“ «£f(t

* h)

(

9‘68

)

Hemos encontrado así el ángulo de rotación en el apoyo A.

Deflexión bajo la carga. Según se aprecia en la segunda parte de la figura 9-26. la deflexión S n



bajo la carga P es igual a la distancia DD\ menos la distancia lhD : La distancia DDX es igual al ángulo de rotación 0A multiplicado por la distancia a\ así.

DDy - O0A

- +

b)

( h >

ÜLtJ

1.a distancia D>Di es la desviación tangencial íqía en el punto />, es decir, es la desviación del punto D respecto a la tangente en A. Esta distan-cia puede encontrarse con el segundo teorema área-momento tomando el momento estático del área del diagrama MfEI entre los punios A y D con respecto a D (véase la última pane de la figura 9-26). El área de esta parte



del diagrama MfEI es

I , JPab\ Pa 2 b

* ' m i '“Atal'ñay su distancia ccntrotdal desde el punto D es

a

Así. el momento estático de

esta área con respecto at

punto l )

es

.



-

(

P

a

z

b

\

l



a

\

P

a

y

b

■ feÁ3 J ' 6¡H">

La deflexión en el punto I) es



6

„ -

DD

¡ -

D>

D { =

DD\

- t¡yA

Al

sustit

uir de

las



ecuac

iones

(h) e

(i),

enco

ntra

mosPa 2 b .. .. Pa'b Pa 2 b 2 _____

ñ

"



-

*b

)

-

«

i

r

i

ü

í

(

,



-w

>

—

Las fórmulas anteriorespara SA y SD (ecuaciones 9-

68 y9-69)

puedencomprobarse usando las fórmulas del caso 5. tabla G-2. apéndice G.Hidden page

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Aplicamos la condición de simetría (2) a la ecuación (e) y obtenemos la consume C2:

r - PL 1 2 ~ 32El

Por tamo, la pendiente de la viga entre los puntos 0 y C (de la ccuacióo c) es

'■ * ( t*1*?) (,-70)

A partir de esta ecuación podemos encontrar la pendiente de la curva de deflexión en el punto B donde el momento de inercia cambia de / a 21.

W.-iCSi✓ (f,U) I28£Z

Dado que la cun a de deflexión es continua en el punto B. podemos usar la condición de continuidad 3 e igualar la pendiente en el punto B obtenida con la ecuación (d) con la pendiente en el mismo punto dada por la ecuación (0- De esta manera encontramos la constante C%:

_ P _ ( L \ 2 . r r 5PL2

4£/\4/ ‘ «28 El ' I28E/

Por tanto, la pendiente entre los puntos Ay B (véase la ecuación d) es

(o s 's t ) (’-7‘»

En el apoyo A. donde x = 0. el ángulo de rotación (figura 9-28c) es

#. - -V’(°) » I9-72Í —

Deflexiones de la viga. Integramos las ecuaciones para las pendientes (ecuaciones 9-71 y 9-70) y obtenemos

(0 S l S«) <*>

($**•$) Aplicamos la condición de frontera en el apoyo (condición 1) a la ecuación (g) y obtenemos C3 = 0; por tanto, la deflexión entre los puntos A y B (de la ecuación g) es

<15Z.* - 32xJ) (ü s * s(9-73)Fxv ---------------

384£7

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Ejemplo 9-15

Una viga simple AH de longitud /. soporta una carga uniforme de intensidad q (figura 9-33). Evaluar a) la energía de deformación de la viga a panir del momento flcxkmante en la viga y b) la energía de deformación de la viga a partir de la ecuación de la cuna de deflexión {.Nota: la viga tiene una rigidez constante de flexión El.)

Solucióna) Energía de deformación a partir del momento flexionante. 1-a reacción de

la viga en el apoyo A es qL/2. por lo que la expresión para ci momento flexionante en la viga es

R6. 9-33 Ejemplo 9-15. Energía de defor-mación de una viga.

(d)

La energía de deformación de la viga (de la ecuación 9-8üa) es

u'líw-mwL[í i'u-*')h- f (L7x2 - 2Lxy + x*)dx *0

(c)8 Ei

de donde obtenemos

(9-83)U-240El

Observe que la carga q aparece elevada al cuadrado, lo que concuerda con el hecho de que te energía de deformación siempre es positiva. Además, la ecuación (9-83) mucura que la energía de deformación ru> es una función lineal de las cargas, aun cuando 1a viga se comporte de manera clástica lineal

b) Energía de deformación a partir de ¡a curva de deflexión. Lu ecuación de lu curva de deflexión para una viga simple con carga uniforme figura en el caso 1 de la tabla G-2. apéndice G. como sigue:

( f )

Derivamos do® veces esta ecuación y obtenemos

<tvdx

— (¿' - 6Lx2 + Ax-) =dx¿24£7 2 El

Al sustituir la última expresión en la ecuación para la energía de deformación (ecuación 9-80b). resulta

Puesto que la integral final en esta ecuación es la misma que la integral final en la ecuación (e). obtenemos el mismo resultado que antes (ecuación 9-83).



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c) Viga con ambas cargas en acción simultánea ( f igura 9-34cf Cuando ambas cargas actúan sobre la viga, el momento flexionante en ésta es

M - -Px - MQ

Por tanto, la energía de deformación es

M 2 dx 1 [ L , ^ s , = I. ~2ÍT = 2Ü7J,, ( " o)

El primer término en este resultado da la energía de deformación debida a P que actúa solo (ecuación 9*84) y el último término, la energía de deformación debida a M 0 que actúa solo (ecuación 9-85); sin embargo, cuando ambas cargas actúan simultáneamente, aparece un término adicional en la expresión para la energía de deformación.

Por lamo, concluimos que /a energía de deformación en una estruc tura debida a dos o más cargas que actúan simaltánetnatuc no puede obtenerse sumando la energía de deformación debido a las cargas que actúan por separado. Esto se debe a que la energía de deformación es una función cuadrática de las cargas, no es una función lineal; por tanto, el principio de superposición no es aplicable a la energía de deformarión.

Podemos observar también que no se puede calcular una deflexión en una viga con dos o más cargas igualando el trabajo realizado por las cargas con la energía de deformación; por ejemplo, si igualamos el trabajo con la energía de la viga de la figura 9-34c. obtenemos

en donde SA 2 y $A 2 representan la deflexión y el ángulo de rotación en el extremo A de la viga con dos cargas que actúan simultáneamente (figura 9-34c). Aunque el trabajo hecho por las cargos es igual a la energía de deformación y la ecuación (h) es conréela, no podemos de^jar ni dA 2 ni $A 2 porque se tienen dos incógnitas y sólo una ecuación.

P'L' PMJ} 6 El2

El

Mil.

2 El

™:5Í + 'A 2W-U oP2L3 .

6El

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SECCIÓN 9.9 Teorema de Castifjliano 667


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FIG. 9-38 Viga que soporta las cargas PyMo.figura 9-38a. Dado que la deflexión <Vcs hacia ahajo (figura 9-38b). la carga correspondiente a esa deflexión es una fuerza vertical

hacia abajo que actúa en el mismo punto; por tanto, debemos proporcionar una carga ficticia Q que actúe hacia abajo en el punto C (figura 9-39a). Entonces podemos usar el teorema de Castigliano para determinar la deflexión (ác)o en el centro de esta viga (figura 9-39b). A partir de esa deflexión, podemos obtener la deflexión Se en la viga de la figura 9-38 igualando () a cero.

Encontramos primero los momentos flexionantes en la viga de la figura 9-39a:

(n)

(o)

Luego determinamos la energía de deformación de la viga aplicando la ecuación (9-80a) a cada mitad de la viga. Para la mitad izquierda (del punto A al punto O, la energía de deformación es

Para la mitad derecha, la energía de deformación es

■ L*w=is L h i)r*

7^ , 3 PM 0L 2 5PQÚ | MlL | M 0QL 2 | Q Z L*

48 El 8 F.I * 48 F.t 4 El 8 El 48 El (q)

que requiere un proceso muy largo de integración. Sumamos las energías de deformación para las dos partes de la viga y obtenemos la energía de deformación para toda la viga (figura 9-39a):

La deflexión en el centro de la viga mostrada en la figura 9-39a puede obtenerse ahora con el teorema de Castigliano:

... dü 5 PL* M 0L 2 QL 3 C dQ 48 £/ 8 El 24 £/

Esta ecuación da la deflexión en el punto C producida por las tres cargas que actúan sobre la viga. A fin de obtener la deflexión produ-

(a)

P2L*48¿7 (P>

4 El

PMoi} , MlL

8 El

u = uAC + u¿ JCB

P'Ü x PMoL2 6El2

El

2 , Q2L' 48

El

(r)

SPQL' + M¿L + MQQL 48 El

2 El 8 El

ís)



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5 PL* MitL2



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48£/ 8 El

que concuerda con el resultado anterior (ecuación t). De nuevo, las integraciones son considerablemente más simples al diferenciar bajo el signo de integral y usar el teorema modificado.

La derivada parcial que aparece abajo del signo de integración en la ecuación (9-88) tiene una interpretación física sencilla: representa la razón de cambio del momento flcxionantc M con respecto a la carga Pes decir, es igual al momento flexionante ,Vf producido por una carga P, de valor unitario. Esta observación conduce a un método para encontrar deflexiones conocido como método de la carga unitaria. El teorema de Castigliano también lleva a un método de análisis estructural conocido como el método de las

f lexibi l idades. El uso de ambos se encuentra muy difundido en el análisis estructural y se describe en textos sobre dicho tema.

Los siguientes ejemplos proporcionan ilustraciones adicionales sobre el uso del teorema de Castigliano para encontrar deflexiones en vigas; sin embargo, debe recordarse que el teorema no se limita a la determinación de deflexiones en vigas, sino que se aplica a cualquier clase de estructura elástico lineal para la cual sea válido el principio de superposición.

í

FIG. 9-40 Ejemplo 9-17. Viga simple con dos cargas.Una viga simple AB soporta una carga uniforme de intensidad q — 1.5 klb/pie y una carga concentrada P * 5 klb (figura 9-40). 1.a carga P actúa en el centro del claro C de la viga, que tiene longitud

L = 8.0 pies, módulo de elasticidad E = 30 X 10ft lb/pulg: y momento de inercia / = 75.0 pulg4.

Determinar la deflexión hacia ahajo <V en el centro del claro de la viga con los siguientes métodos: 1) obtener la energía de deformación de la viga y use el teorema de Castigliano y 2) usar la forma modificada del teorema de Castigliano (diferenciación bajo el símbolo de integral).

SoluciónMétodo /. Como la viga y su carga son

simétricas respecto al centro del claro, la energía de deformación para toda la viga es igual a dos veces la energía de deformación para la mitad izquierda de la viga; por tanto, necesitamos analizar solamente la mitad izquierda de la viga.

La reacción en el apoyo izquierdo A (figuras 9-40 y 9-41) es

fP ql

*A= 2 + 2

RG. 9-41 Diagrama de cuerpo libre para determinar el momento de

flexión M en la parte izquierda de la viga.

RÁ 2 + 2

y por tanto, el momento flexionante M es

_2

_ _ Sil(X)

5 PL* MitL2



M - R Áx

en donde .i se mide desde el apoyo A.

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656 CAPÍTULO 9 Deflexiones de

vigas Ejemplo 9-18

Una viga simple con un voladizo soporta una carga uniforme de intensidad q sobre el claro AB y una carga concentrada P en el extremo C del voladizo (figura 9-42).

Determinar la deflexión ¿c y el ángulo de rotación éfc en el punto C (usar la forma modificada del teorema de Castigliano).

(a)

F1G. 9-42 Ejemplo 9-18. Viga con un voladizo.

SoluciónDeflexión St en el extremo del \

oladizo (figura 9-42b). Puesto que la carga P corresponde a esta deflexión, no tenemos que usar una carga ficticia; podemos proceder a hallar de inmediato los momentos fkxionantcs a lo largo de la viga. La reacción en el apoyo A es

como se muestra en la figura 9-43; por tanto, el momento flexionante en el claro AB es

RG. 9-43 Reacción en el soporte A y coor-denadas r, y x> para la

viga del ejemplo 9-18.donde x¡ se mide hacia la derecha desde el apoyo .4 (figura 9-43). El momento flexionante en el voladizo es

MBC — ~?X2


donde x2 se mide desde el punto C(figura 9-43).Luego determinamos las derivadas parciales

con respecto a la carga P:

Ahora estamos listos para usar la forma modificada del teorema de Caxtigliano (ecuación 9-88) para obtener la deflexión en el punto C:

m~)‘

Sustituimos las expresiones para los momentos flexionantes y las derivadas parciales con lo cual obtenemos

Al efectuar las integraciones y combinar términos, obtenemos la deflexión:

Dado que la carga P actúa hacia abajo, la deflexión también es positiva hacia abajo: en otras palabras, si la ecuación anterior da un resultado positivo. la deflexión es hacia abajo y si el resultado es negativo, la deflexión es hacia arriba.

Al comparar los dos términos en la ecuación (9-89). vemos que la deflexión en el extremo del voladizo es hacia abajo cuando P > qUb y hacia arriba cuando P < qUt.

Ángulo df roiociin en t i txirrmo drl wlodizv (figura 9-42b). Como no hay carga sobre la viga original (figura 9-42a) correspondiente a este ángulo de rotación, debemos aplicar una carga ficticia; por tanto, colocamos un par de momento M c en el punto C (figura 9-44). Observe que el par actúa en el punto sobre la viga donde debe determinarse el ángulo de rotación. Además, tiene el mismo sentido de las manecillas del reloj que el ángulo de rotación (tigum 9-42).

Seguimos ahora los mismos pasos que usamos para determinar la de-flexión en C. Primero, observamos que la reacción en el apoyo A (figura 9-44) es

A 2 2 L

En consecuencia, el momento flexionanfe en el claro Atí es

M*, - R*x, - ^ - •

FIG. 9-44 Momento ficticio M c que actúa sobre la viga del ejemplo 9-18.

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SECCIÓN 9.10 Deflexión« producidas por impacto 659


*9.10 DEFLEXIONES PRODUCIDAS POR IMPACTO

FIG. 9-45 Deflexión de una viga producida por la caída de un cuerpoEn esta sección analizaremos el impacto de un cuerpo que cae sobre una viga (figura 9-45a). Determinaremos !a deflexión dinámica de la viga igualando la energía potencial perdida por la masa al caer con la energía de deformación adquirida por la s iga. Este método aproximado se describió en detalle en la sección 2.8

para una masa que golpea una barra cargada axialmcntc; en consecuencia, hay que entender dicha sección con claridad antes de seguir adelante.

La mayoría de las hipótesis planteadas en la sección 2.8 son aplicables a vigas y a barras cargadas axialmente. Algunas de tales hipótesis son: 1) el peso que cae se queda pegado a la viga y se mueve con ella; 2) no ocurren pérdidas de energía: 3) la viga se comporta de manera elástico lineal: 4) la forma deflexionada de la viga es la misma bajo carga dinámica que bajo carga estática y 5) la energía potencial de la viga debida a su cambio de posición es relativamente pequeña y puede despreciarse. En general, estas hipótesis son razonables si la masa del objeto que cae es muy grande en comparación con la masa de la viga: de otra manera, el análisis aproximado dado aquí no es válido y se requiere un análisis más avanzado.

A manera de ejemplo consideraremos la viga simple AB ilustrada en la figura 9-45.1.a viga es golpeada en su punto medio por un cuerpo en caída de masa M y peso W. Con base en las idealizaciones anteriores, podemos suponer que toda la energía potencial perdida por el cuerpo al caer se transforma en energía de deformación clástica que queda almacenada en la viga. Como la distancia que el cuerpo cae es h + donde h es la altura inicial sobre la viga (figura 9-45a) y es la deflexión dinámica máxima de la viga (figura 9-45b). la pérdida de energía potencial es

Energía potencial = W(h +

La energía de deformación adquirida por la viga puede determinarse con la curva de deflexión usando la ecuación (9-80b), que se repite aquí:

<a)

(a)

" - ÍT©

La curva de deflexión para una viga simple sometida a una carga concentrada actuando en el centro del claro (véase el caso 4 de la tabla G-2. apéndice G) es

Al eliminar la carga P entre Las ecuaciones (c) y (d) obtenemos la ecuación de la cun a de deflexión en términos de la deflexión máxima:

d.x (b)

Px . . .V = —r—(3L (c)

PL*

48

El

(d>

48 El

La deflexión máxima de la viga es

4nix ■

2 - 4x2) (o £ x £ y)

661 CAPITULO 9 Deflexiones de vi as


V = ~ ~ 4 x 2 ) (° ~ x ~ f) (c>

Derivamos dos veces y encontramos

d 7v _ 24$,dx 2 L 3

Por último, sustituimos la segunda derivada en la ecuación (b) y obtenemos la siguiente expresión para la energía de deformación de la viga en términos de la deflexión máxima:

<g)

Igualamos la energía potencial perdida por la masa que cae (ecua-ción a) con la energía de deformación adquirida por la viga (ecuación g) y obtenemos

(9-91)

Esta ecuación es cuadrática en y su raíz positiva es:

Vemos que la deflexión dinámica máxima aumenta si el peso del objeto que cae o la altura de la caída se incrementa y que disminuye

si se incrementa la rigidez F.HI: de la viga.Para simplificar la ecuación anterior, denotaremos la deflexión

esuít icu de la viga debido al peso W con

(9-93)

La ecuación (9-92) para la deflexión dinámica máxima puede escribirse entonces de la siguiente manera:

(9-94)

Esta ecuación muestra que la deflexión dinámica siempre es mayor que la deflexión estática.

Si la altura h es igual a cero, lo que significa que la caiga se aplica súbitamente pero sin ninguna caída libre, la deflexión dinámica es dos veces mayor que la deflexión estática. Si h es muy grande comparada con la deflexión, entonces el término que contiene h en la ecuación (9-94) predomina y la ecuación puede simplificarse a

(f)

SECCIÓN 9.11 Funciones discontinuas 662


(9-95)



Estas observaciones son análogas a las señaladas en la sección 2.8 para el impacto de una barra en tensión o en compresión.

Por lo general, la deflexión calculada con la ecuación (9-94) representa un límite superior porque hemos supuesto que no hay pérdidas de energía durante el impacto. Otros factores también tienden a reducir la deflexión, incluidos la deformación localizada de las superficies en contacto, la tendencia de la masa descendente a rebotar hacia arriba y los efectos de inercia de la masa de la viga. Así, se observa que el fenómeno del impacto es muy complejo, y si se requiere un análisis más preciso, deben consultarse las publicaciones dedicadas específicamente al tema.

Las funciones discontinuas se utilizan en diferentes aplicaciones ingeníenles, incluyendo el análisis de vigas, los circuitos eléctricos y la transferencia de calor. Probablemente estas funciones sean las de uso más sencillo y las más fáciles de entender cuando se aplican a las vigas, y por lo tanto el estudio de la mecánica de los materiales ofrece una oportunidad excelente para familiarizarse con ellas. En esta sección se describe la matemática de estas funciones y también se estudiará cómo usar estas funciones para representar las cargas en las vigas. Entonces las usaremos en la siguiente sección para en-contrar las pendientes y las deflexiones en vigas prismáticas.

La característica distintiva de las funciones discontinuas es que permiten plantear una función discontinua con una sola expresión, mientras que el enfoque más convencional requiere la descripción de una función discontinua mediante una serie de expresiones, una para cada región en la cual la función sea diferente.

Por ejemplo, si la carga de una viga consiste en una mezcla de cargas concentradas y distribuidas, puede plantearse una sola ecuación mediante las funciones discontinuas que sea aplicable para toda la longitud, mientras que de ordinario dcfwmos plantear ecuaciones individuales para cada segmento de la viga entre los cambios de carga. De manera similar, podemos expresar las fuerzas cortantes, los momentos flexionantes. las pendientes y las deflexiones de una vigu a razón de una ecuación, aunque puede haber varios cambios en las cargas que actúan a lo laigo del eje de la viga.

Se pueden alcanzar estos resultados porque las funciones mismas son discontinuas; es decir, tienen valores diferentes para diferentes regiones de la variable independiente. En efecto, estas funciones pueden salvar una discontinuidad de una manera que no es posible con las funciones continuas ordinarias. Sin embargo, debido a que difieren significativamente de las funciones a las que estamos acostumbrados, las funciones discontinuas deben usarse con cuidado y precaución.

En esta sección se estudiarán dos tipos de fundones, llamadas las funciones de Macaulay y las fundones singulares. Aunque

*9.11 FUNCIONES DISCONTINUAS

Nombre Definición Gráfica Ik'rívada e integralFunción doblete unitaria . |0 x * a

* - i ± . . . .F-2

A

1 ' F. 2<ix * F. t

o V |

Función impulso unitaria l +*> x = a

F-,

1

0 a *

Función escalón unitaria [ 1 x^a Fo

1

| F,><ix - F t

ii10 a x

Función rampa unitaria , vi ( 0 x ^ a F¡ m(x- a) ■ |[ x — a x i a

F ,

/ ÍF ' = F° {./'* - f

0 a x

Función de segundo grado unitaria :::

Fl

y

ÍF‘- 2 F-

L«* ■ f0 a x

Función deneral de Macaulay

'■-"-«-[l-*:::

» = 0,1.2.3....

F , j r r

*- 1.2.3....

f

0 a x

Funciones singulares

El segundo tipo de funciones discontinuas consiste en las funciones

singulares, que se definen mediante las siguientes expresiones:

sí;:: »«»n = -1. -2,-3....

Observe que las funciones singulares se definen para valores enteros negativos de n. mientras que las funciones de Macaulay se definen para enteros positivos y para cero. Los

paréntesis triangulares identifican a ambos tipos de funciones, pero los paréntesis tienen di-ferentes significados en ambos casos (compare las ecuaciones 9-97 y 9-100).

Las funciones singulares tienen valor cero en todos lados excep-to en el punto singular x = a. Las singularidades

surgen porque, cuando n es un entero negativo, la función (x - a) ñ puede escribirse con una fracción con la expresión x - a en el denominador; entonces. cuando x = a. la función se hace infinita.

Las dos funciones singulares más importantes se ilustran en la parte superior de la

tabla 9-1. donde vemos que el tipo de singulari-dad depende del valor de n. La función doblete

unitaria (n = -2) tiene una singularidad que puede ilustrarse con dos flechas de extensión infinita, una dirigida hacia arriba y otra hacia abajo, con las flechas estando

infinitesimalmente cercanas entre sí. Por comodidad, estas flechas pueden visualizarse como fuerzas, y entonces el doblete puede representarse mediante una flecha cursa que es el momento de las dos fuerzas. Este momento es igual al producto de una fuerza infinita y de una

distancia cada vez más pequeña: el momento resulta ser finito e igual a la unidad. Por esta razón, el doblete también se conoce como el momento

unitario (otro nombre de uso común es dipolo).

La función impulso unitaria (n = -1) también es infinita para x = a pero de diferente manera.

Puede ilustrarse mediante una flecha única, como se muestra en la tabla 9-1. Si la flecha se visualiza como una fuerza, entonces la fuerza tiene intensidad infinita y actúa sobre una distancia infinitesimalmente pequeña a lo largo del eje x. La fuerza es igual a la intensidad multiplicada

por la distancia sobre la cual actúa; este producto también resulta ser finito e igual a la unidad. Entonces, también se usa el nombre fuerza unitaria para esta función.*

I.as funciones singulares algunas veces se clasifican como fun-ciones patológicas o funciones impropias,

porque no son continuas ni diferenciables para x « a. Sin embargo, las funciones singulares

icrmmologú función unpubo unitaria proricoc del uso óc csra funckta co diná- mica, donde el eje jr c* el eje t ic tiempo. En filie* y matemáticas, esta función se denota como ó(x

- a) y se dcoomina función de l ia de Diroc. en honor del (falco teórico inglés Paul A. M. Dirac (1902 - 1984) quien la dcurroHó.pueden integrarse a través de las singularidades: la fórmula de inte*

¿•ración es como sigue:

| F ñ dx = J _ <x - a)" dx = Cr -

a )n+' = F„+, (9-101)

n= -1,-2, -3....

Observe que esta fórmula no es la misma que la fórmula general de integración para las funciones de Macaulay. que está dada en el último renglón y la última columna de la tabla 9-1.

La ecuación (9-101)

muestra que la integral de la función doblete unitaria es la función impulso unitaria, y la integral de la función impulso unitaria es la función escalón unitaria (véase la tabla 9-1).

Las unidades de las funciones singulares, como las de las funciones de Macaulay, son las

mismas que las unidades de a". Entonces, la función doblete tiene unidades de I/aT y la función impulso tiene unidades de l/x.

Representación de cargas en vigas mediante las funciones discontinuas

Las funciones discontinuas listadas en la tabla 9-1 son muy apropiadas para representar cargas en vigas, tales como pares, fuer/as. cargas uniformes y cargas variables. La forma de los diferentes diagramas de carga se amolda perfectamente a la forma de las funciones

correspondientes F-2, F-i, F n . F |, etc. Solamente hace falta multiplicar las funciones dadas en la tabla (que son funciones uniturias) por la intensidad de carga apropiada para obtener representaciones mate-máticas de las cargas.

En la tabla 9-2 se listan diferentes casos de

cargas en

sigas parauna referencia cómoda. Cada caso se explica en detalle en los siguientes párrafos. Los casos más complicados de carga pueden manejarse mediante la superposición de estos casos elementales.

Para explicar cómo se obtienen estas

expresiones en la tabla 9-2, considérese una carga uniforme (caso 3). Esta carga puede expresarse en términos de la función escalón unitaria Fo. que está dada por la siguiente fórmula (véase la tabla 9-1):

FoU

) * (x - a)° (a)

Esta función tiene valor 0

para x ^ a y valor +1 para x s «. Si la función se multiplica por la constante que representa la intensidad de la carga uniforme, se convierte en una expresión para la carga distribuida uniformemente sobre la viga:

í(

x) = q<¿x - a)° (

b)

La carga q(x) definida por esta expresión tiene valor 0 para .v ¿ay valor q 0 para x2d. Entonces, para x = a. la función es igual a cero si nos aproximamos por la izquierda, y es igual a q 0

si nos aproximamos por la derecha. Observe que la

ecuación (b) está listada en la última columna de la tabla 9-2. caso 3.

La dirección de la carga representada por la ecuación ib) podría ser hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de la convención de sig-

TABLA »-2 INTENSIDADES DE CARGA REPRESENTADAS POR LAS FUNCIONES DISCONTINUAS

nos para cargas distribuidas. Como suponemos que las cargas uniformes hacia abajo son positivas (véase la figura 9-4), la expresión para q(xj representa a la carga ilustrada en el caso 3. Observe que la carga uniforme q 0 continúa indefinidamente a la derecha a lo laígo del eje

.x .Los casos 4 y 5 de la

tabla 9-2 pueden explicarse de una manera similar a la del caso 3, usando las funciones de rampa y de segundo grado. Ambas funciones de carga continúan indefinidamente a la derecha. Para definir a las funciones, necesitamos

conocer las coordenadas de un punto específico en cada gráfica. Un método conveniente es dar la ordenada q» para la distancia b a partir del punto .r = a, como se muestra en la tabla.

La carga del caso 6

es un segmento de una carga uniforme que comienza en x - a, y

termina en x = a 2 . Esta carga puede expresarse como la superposición de dos cargas. La primera carga es una carga uniforme de intensidad </0

que comienza en x =■ a, y continúa indefinidamente a la derecha (véase el caso 3): la segunda carga tiene intensidad -q<> comienza

en x = a¡ y también cootiniia indefinidamente a la derecha. Entonces, la segunda carga cancela a la primera en la región a la derecha del punto x = a 2 .

Las cargas en los casos 7 y 8 también constan de segmentos de cargas distribuidas y se obtienen combinando

patrones de carga más elementales. El lector deberá verificar las expresiones dadas en la última columna de la tabla para estos dos casos. Se obtienen patrooes de carga más complicados en los que intervengan cargas distribuidas mediante técnicas similares de

superoposición usando las funciones de Macaulay.

Las caigas con forma de pares o fuerzas

(casos 1 y 2) se tratan con las funciones singulares, con la función doblete unitaria represen-tando a un par unitario y con la función impulso unitaria representando a una fuerza unitaria.

Cuando la función doblete unitaria se multiplica por A/o» representa a un par como una carga distribuida equivalente de intensidad q(xI as unidades de M0 son de fuerza por longitud, y las unidades de la función doblete unitaria son longitud elevada a la potencia -2. Entonces, su

producto tiene unidades de fuerza dividida entre una longitud, que son las unidades correctas para la intensidad de una carga distribuida.

La situación es similar para una carga concentrada, porque el producto de la fuerza P y

de la función impulso unitaria tiene unidades de

intensidad de carga. Entonces, las ecuaciones para qfx) dadas en los casos 1 y 2 son expresiooes matemáticas que definen las intensidades de carga equivalentes para un par y una fuerza, respectivamente.

Las convenciones

de signo para los casos 1

y 2 se muestran en la tabla 9-2. es decir, las cargas con forma de par son positivas en sentido contrario a las manecillas del reloj y las cargas con forma de fuerza son positivas hacia abajo. Como se mencionó anteriormente, las cargas equivalentes q{x) son positivas hacia abajo.

El proceso de escribir una expresión para la carga distribuida equivalente qix) que actúa sobre una viga se ilustra en los tres ejem-plos siguientes (ejemplos 9-19.9-20 y 9-21). Entonces, en la próxima sección (sección 9-12). mostramos cómo se integran estas mismas

expresiones para q(x) para obtener fuerzas cortantes, momentos fle- xionantcs, pendientes y deflexionesHidden page

Ejemplo 9-20_

(0<xS¿) (9-106)

Observe que los dos términos retirados tienen valor cero para cada uno de los puntos a lo largo de la longitud de la viga, suministrando así mayor evidencia de que su remoción no tendrá ningún efecto en ninguno de nuestros cálculos.

Además, ahora reconocemos que pudimos haber obtenido nuestro resultado final

9o

RJ

9o

B

9o2L/3

qix) 2L/3 \ 3/

RG. £-49 Ejemplo 9-20. Representación de cargas mediante funciones discontinuas.

Una viga en voladizo ADR sustenta una carga triangular de intensidad máxima q0corno se muestra en la figura 9-49 a.

a) Escribir la expresión para la intensidad qix) de la carga distribuida que actúa sobre la viga en la región a la derecha del empotramiento (0 < x*L).

b) Escribir la expresión pura la intensidad qix) de la carga distribuida equivalente para toda la viga, incluyendo las reacciones en el empotramiento (Osis L).

Solucióna) Intensidad de la carga distribuida en la región a la derecha del

empotramiento. La única carga en la viga es la carga triangular que tiene intensidad cero en x m Z/3 c intensidad «fren x m L. Esta carga se ajusta al caso 7 de la tabla 9-2, de donde obtenemos la siguiente expresión para qix) en términos de funciones discontinuas:

Esta ecuación describe la carga ilustrada en la figura 9-49 a. con la carga que tiene intensidad cero para el primer tercio de la longitud de la viga, aumentando luego hasta q0 en el extremo de la viga, y finalmente cayendo hasta cero en el mismo punto. La razón de que la carga caiga hasta cero en el extremo de la viga es porque usamos el caso 7 de la tabla 9-2. Los últimos dos términos del caso 7 cancelan la parte de la carga triangular que de otra manera continuaría indefinidamente a la derecha de la viga real.

En la práctica, es posible permitir que la carga triangular se prolongue mis allá del extremo de la viga, porque cualesquiera cargas para las cuales x es mayor que L no tienen significado físico. Por lo tanto, podemos retirar a los dos términos que contienen ür — L ) en la ecuación (9-105) y simplificar la expresión para qix):

(0 < x * L ) (9-105)

- L)' - q¿x - L)°

iK)'

qix)

(ecuación 9-106) de una manera más sencilla y más directa usando el caso 4 de la tabla 9-2, en lugar de usar el caso 7.

Como una observación adicional, observamos que la carga sobre la viga (ecuación 9-106) puede escribirse de una manera más convencional refiriéndose a la definición de la función rampa unitaria en la tabla 9-1. A panir de la definición dada ahí. obtenemos las siguientes expresiones para la carga en la viga:

para 0 < x ^ ¿/3: <?(.*) = 0

paraLt3 qix)



Estas expresiones son el equivalente de la ecuación (9-106) y sirven como verificación de su exactitud.



b) intensidad de la carga distribuida equñalente para la viga completa . incluyendo las reacciones en el empotramiento. Comenzamos encontrando las reacciones RA y M A en el extremo A de la viga (figura 9-4%). De las ecuaciones de equilibrio se obtiene

*Am S f - (9-107a. b)

Usando los casos 2 y 1, respectivamente, de la tabla 9-2, obtenemos ahora (por inspección) la siguiente ecuación para qix):

qU) = -R a(x)~' + M a(x)~ 2 + ^(x (OSiS L) (9-108)

Esta ecuación considera a todas las fuerzas que actúan sobre la viga y en el c)cmplo 9-22 de la siguiente sección integraremos esta ecuación para obtener las fuerzas cortantes, los momentos flexionantes, las pendientes y las deflexiones en la viga.

Ejemplo 9-21 ' ' d/'/MHMH

La viga ACBD mostrada en las figura 9-50 a tiene apoyos simples en Ay B y un voladizo de B a D. Las cargas en la viga constan de una carga uniforme (q “ 800 lh/pie) que se prolonga de C a B y una carga concentrada (P = 1 500 Ib) en el extremo D. El punto C está en el punto medio del claro AB. el cual tiene una longitud de 12 pies. La longitud del voladizo es 4 pies.

Escribir las expresiones para la intensidad q(x) de la carga distribuida equivalente para la viga, incluyendo las reacciones.

HG. 9-50 Ejemplo 9-21. Representación de cargas mediante funciones discontinuas.

1 5001b

FIG. 9*50 (Repetición). fl»

SoluciónComenzamos calculando las reacciones de la viga a partir del equilibrio

estático usando el diagrama de cuerpo libre de la figura 9-50t>. Los resultados son

R a = 700 Ib R b = 56001b

Ahora podemos escribir la expresión para <?U) por inspección, usando los casos 2 y 6 de la tabla 9-2:

q(x) = -(700 Ib)<x>"‘ + <800 lb/picK* - 6 pies)0

- (800 Ib/pieK* - 12 pie*)0 - (5 600 lk»Kx — 12 pies)+ (1 500 IbK-r ” lípics)-1

(Osis 16 pies) (9-109)

En esta ecuación, x tiene unidades de pies y q(x) tiene unidades de libras por pie (Ib/pic).

Como es un poco tedioso incluir las unidades en cada término de la ecuación (9-109), podemos omitir las unidades y rescribir a q(x) de una manera más simple:

q(x) = —7OO0r>_l + 800<í - 6)° - 800<x - 12)"- 5 600<x - 12)-' + 1 MXXi - 16)'1 (0s . t sI6)

(9-110) ^

Las unidades que se usan en esta ecuación son las mismas que en la ecuación (9-109), es decir, x tiene unidades de pies y q(x) tiene unidades de libras por pie.

La ecuación (9-110) puede integrarse ahora para obtener las fuerzas corlantes, los momentos flexión antes, las pendientes y las deflexiones (véase el ejemplo 9-23).

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710 CAPtTUlO 9 Deflexiones de vigas


nes 9-12 a. b y c). Como una observación general, no es práctico usar funciones discontinuas en vigas no prismáticas.

Procedimiento para el uso de las funciones discontinuas

Para ilustrar con detalle el procedimiento para la determinación de las fuerzas cortantes, los momentos flexionantes. las pendientes y las deflexiones de una viga, considérese nuevamente una viga simple (figura 9-51) que sustenta a una carga concentrada P y a un par jV/0. (Esta viga se estudió anteriormente en el ejemplo 9-19 de la sección anterior.) Los siguientes siete pasos sirven como guía de análisis.

1. Cargas distribuidas equivalentes . En el ejemplo 9-19 se ob-tuvieron dos ecuaciones que describen a las cargas en esta viga en términos de funciones discontinuas. La primera de las dos ecuaciones (ecuación 9-102) da la intensidad q(x) de la carga distribuida equivalente que actúa sobre la viga en la región entre los apoyos, lo que significa que la ecuación incluye solamente a las cargas aplicadas P y M(y A esta ecuación se le denomina ecuación de cargas aplicadas y se repite aquí:

q(x) = P(X - -jj + Mn(x - y)

La segunda ecuación (ecuación 9-104) da la intensidad q(x) para toda la viga, incluyendo a las reacciones. A esta ecuación se le denomina ecuación de cargas y reacciones y también se repite aquí:

qU) = -/?*<*>“' + - T/ ' + MÁX " -TÍ * " R*ix ~ Ly>

(Osist) (9-112)

Las reacciones que aparecen en esta ecuación son (de las ecuaciones9- 103 a y b)

= y + -y = y ~ -y <9-ll3a.b)

Observe que los términos en la ecuación de cargas y reacciones (ecuación 9-112) constan del conjunto completo de fuer/as y pares que mantienen a la viga en equilibrio (figura 9-5Ib).

2. Fuerzas cortantes. Las fuerzas cortantes en la viga se determinan mediante la integración de alguna de las dos ecuaciones de carga dadas en el paso 1. Las ecuaciones diferenciales básicas son (véanse las ecuaciones 9-12c y b. respectivamente):

£/v~ = -q

El procedimiento consiste en sustituir la expresión de la carga distribuida equivalente q(x) en la ecuación (9-114 a) y luego integrar una vez para obtener las fuerzas cortantes (ecuación 9-114b).

Si la ecuación de cargas aplicadas se usa como punto inicial, se requiere una constante de integración con la integración. La cons-

FIGL9-51 Uso de las funciones discontinuas en el análisis de vigas.

E/v" = V (9-114a. b)

Hidden pageSi lo

deseamos, podemos expresar a las fuerzas cortantes en términos más convencionales aplicando las definiciones do las funciones escalón c impulso (tabla 9-1) a la ecuación

anterior:

Para 0 < x < /./3: V = RA

- /»(O) - M¿0) = RA <d)

Para U3 < x < 2¿/3

V=R Á- P{ 1) - AfrfO)

= R A~ P (c)

Para 2¿/3 <x< L V = RÁ

- P(\) - Afri<0) = RA - P

(f)

Estas expresiones para las fuerzas cortantes se verifican rápidamente mediante la estática.

4. Fuerzas

cortantes

obtenidas a

partir de la

ecuación de

cargas y

reacciones. En este caso, sustituimos q(x) de la ecuación (9-112) en la ecuación (9-114 a) y obtenemos

Eiy" = - q = *„<*>-' - p ( x -

-

M0(x -

+ R¿c-L)-'(0Srfii) (9-117)

El último término en esta ecuación, que representa a la reacción en el apoyo R, es cero para cada punto a lo largo del eje de la viga hasta el apoyo mismo. En


consecuencia, este término no tendrá efecto sobre el cálculo de las fuerzas cortantes, los momentos flexionantes. las pendientes y las deflexiones y podemos omitirlo de la ecuación.

Al integrar el resto de la ecuación (9-117).

obtenemos

EIv m =V= RA{X)° ~ p(x - - MJX - y} ‘ (9-118)

Observe que no se incluye ninguna constante de integración. Tam-bién observe que la reacción RA se multiplica por (r)°.

el cual es igual a la unidad en cada punto a lo largo del eje de la viga. Por tamo, sustituyendo 1 en lugar de <x)° obtenemos

Elv m =V = R Á - p ( x -^ j > - X f j x - ' (9-119)

expresión que es idéntica a

la ecuación (9-116).

5. Momentos

f lexionantes. Los momentos flexionantes en la viga se determinan mediante la integración de la ecuación de fuerza cortante obtenida en el paso 4 (ecuación


9-119). usando las siguientes ecuaciones diferenciales básicas (véanse las ecuaciones 9-12b y a, respectivamente):

EIvm - V EIv* - M

(9-

120a. b)

No se requiere ninguna constante de integración para la integración del momento flexionante porque la ecuación de fuerzas cortantes ya incluye a los efectos de los apoyos y las


reacciones. Entonces, la


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RG.9-52 Cun a de deflexión para la viga de la figura 9-51.

Ya que no leñemos una condición de fronlera conocida para la pendiente. no podemos encomiar C } en este paso. Por lamo, continuamos con la siguiente integración, lo que suministra la siguiente ecuación para la deflexión:

E,v=Mí) - f (* -1)‘ - - f)‘+c'*+c> '»•i23>La curva de deflexión para esta viga se ilustra en la figura 9-52.

Ahora podemos utilizar a las dos condiciones de frontera que tienen que ver con la deflexión; es decir, la deflexión es cero para x *

0 y x = L:

v«» = 0 y vtt) = 0 (j.k)

La primera condición, cuando se aplica a la ecuación (9-123), produce esta ecuación:

0 = ““(0) — “(0) - “—(O) + C\(0) + Ci con esto C2 = 0 6 6 2

(i)

La segunda condición conduce a esla ecuación: de donde obtenemos

RAL2 4 PI? M„L C‘" 6 81 18 ím)


(1»

Ahora, sustituyendo en RA a partir de la ecuación (9-113 a) y luego

combinando términos, obtenemos

r 5PL 1 Mol .

Con ambas constante* determinadas, ahora podemos plantear las ecuaciones finales para las pendientes y las deflexiones sustituyendo C|t C> y Ra cn ecuaciones (9-122) y (9-123). Los resultados son

7. Pendientes y deflexiones en puntos específicos de la viga. De las dos ecuaciones anteriores podemos obtener las pendientes y las deflexiones en cualesquiera posiciones deseadas a lo largo del eje de la viga. Por ejemplo, en el apoyo izquierdo encontramos la siguiente fórmula para el ángulo de rotación (véase la figura 9-52b) sustituyendo x = 0 cn la ecuación (9-124):

En donde t t¿ es positivo en sentido de las manecillas del reloj.En el punto medio de la viga. la deflexión (positiva hacia abajo) se

obtiene de la ecuación (9-125) al sustituir* - L/2: el resultado es

De manera similar, podemos encontrar otras deflexiones y ángulos de giro deseados para las vigas ilustradas en la figura (9-52).

Los siguientes dos ejemplos suministran ilustraciones adicionales del uso de las funciones discontinuas para la determinación de deflexiones en vigas.

6 C = . J L ) ^ 2 ^ + 5 M O I ¿ C \ 2 1

296E/ I44£/

SECCIÓN 9.12 Uso de funciones discontinuas para la determinación de la deflexión en una viga 725


Hidden page

Hidden pageLa viga de acero ACBD mostrada en la figura 9-55 consta de un claro simple

Ejemplo 9-23



AB con un voladizo BD. Con el uso de funciones discontinuas, determinar las deflexiones verticales d c y dD en los puntos C y D. respectivamente (figura9- 55c). El módulo de elasticidad del acero es E = 30 X | ( f lttfpulg; y el momento de inercia de la sección transversal de la viga es / • 25.92 pulg4.

Nota: las reacciones y las cargas distribuidas

Ejemplo 9-23



equivalentes para esta viga se determinaron en el ejemplo 9-21 dc la sección anterior.

Ejemplo 9-23



I 500 Ib

Ejemplo 9-23



x

Ejemplo 9-23



F16.9-55 Ejem

Ejemplo 9-23



plo 9-23. Aná

Ejemplo 9-23



lisis de una

Ejemplo 9-23



viga simple c

Ejemplo 9-23



on voladizo.

Ejemplo 9-23



SoluciónCargas distribuidas

rqunaltnt ts . La carga equivalente c/tr) para esta viga, incluyendo cargas aplicadas y reacciones (figura 9-55b). está dada por la ecuación (9-110). que se repite aquí:

q(x) - -700W1 + 800(* - 6>° - 800<* - 12)°

Ejemplo 9-23



-5 600U- 12>-*+ I500(*- 16>"' (OSiS 16) (9-137)

En esta ecuación, x tiene unidades dc pies y qix) tiene unidades dc libras por pie (ItVpie). El último término en la ecuación es igual a cero para todos los puntos a lo largo del eje dc la viga, excepto en el extremo derecho (donde x = 16 pies). Por tanto, puede omitirse el último término.

Ejemplo 9-23




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PR08.9.3-4

9*3-5 Una

viga en voladizo con una carga uniforme (véase la figura) tiene un peralte h igual a 1/8 dc la longitud L. La viga

q ■ 2.0 kN'/m

h ¿ « 2.0 ------------------------------------------



es un perfil de acero de patín ancho con E = 28 X 1(^ lb/pulg‘ y tiene un esfuerzo permisible de flexión de 17 500 Ib/pulg2

tanto en tensión como en compresión.

Calcule la razón S/L dc la deflexión en el extremo libre a la longitud,

suponiendo que la viga está soportando la carga permisible máxima. (Use las fórmulas del ejem-plo 9-2.)

T

H ¿ J

PROB. 9.3-5

9J-6 Una microviga de aleación de oro unida a



una oblea dc silicio se comporta como una viga en voladizo sometida a una carga uniforme (véase la figura). La viga

tiene longitud L = 27.5 pm y sección transversal rectangular de ancho b ■ 4.0 pm y espesor t = 0.88 pm. La carga total

sobre la viga es de 17.2 pN.

Si la deflexión en el extremo dc la viga es dc 2.46 pm. ¿cuál es el módulo dc elasticidad E g dc la

aleación dc oro? (Use las fórmulas del ejemplo 9-2.)



il.UU.

ULI

=

4■

PROB. 9¿-6

9*3-7 Obtenga una fórmula

para la razón dela deflexión en el centro del claro a la deflexión máxima para una viga simple que soporta

una carga concentrada P (véa-se la figura).

Con base en la fórmula, trace una gráfica de bc/b^a versus la razón aJL que define

la posición dc la carga (0.5 < aJL < 1). ¿Qué conclusión extrae de la gráfica? (Use las fórmulas del ejemplo

9-3.)

PROB. 9.3-7

Defle

xiones por



Integración

de la ecua

ción del mo

mento flexi



onante

Los problemas 9.3-8 al 9.3-16 deben

resolverse por inte - gración de la ecuación diferencial de segundo orden de la cuna de deflexión (la ecuación

del momento flexionante). El origen de ¡as coordenadas se encuentra a la izquierda de cada viga . y

todas ellas tienen una rigidez constante de flexión EJ.

9*3-8 Obtenga la ecuación dc la curva dc



deflexión para una viga en voladizo AB que soporta una carga P en el extremo libre (véase la figura). Determine también la

deflexión bB y el ángulo dc rotación 0B en el extremo libre. (A¡ota: Use la ecuación diferencial de segundo orden dc

la curva de deflexión.)

PROB. 9.3-8

9.3- 9 Obtenga la ecuación de la curva de deflexión para una viga



simple AB cargada con un por A/0 en el apoyo izquierdo (véase la figura). Determine también la deflexión máxima ¿Lu-Hidden page

9.3- 16 Obtenga las ecuaciones de la cun a de deflexión para una viga simple AB sometida a una carga uniforme

de intensidad q que acida sobre la mitad izquierda del claro (véase la figura). Determine también la deflexión &c en el

centro del claro de laviga. (Nota: uve la ecuación diferencial de segundo orden de la cuna de deflexión.)

y

D

<7

eflexiones po

r Integración



de las ecuac

iones de la f

uerza cortant

e y de Ka car



ga

Las vigas descritas en los problemas de la sección 9.4 tie nen rigidez constante por

flexión EL Además, el origen de las coordenadas se encuentra en el extremo izquierdo de cada viga.

9.4- 1 Obtenga la ecuación de la cuna de deflexión para una viga en voladizo AB sometida a un par .V/0

que actúa en sentido contrario a las manecillas del reloj en el ex-tremo libre (véase la figura). Determine también la deflexión



SB y la pendiente 0B en el extremo libre. Use la ecuación diferencial de tercer orden de la cuna de deflexión (la ecuación

de la fuerza cortante).

PROB. 9.4-1

9.4- 2 Una viga simple AB está sometida a una carga dis-tribuida de intensidad q • qo sen irx/L. donde q^ es la



intensidad máxima de la carga (véase la figura).

Obtenga la

ecuación de la

curva de deflexión y después determine

la deflexión Sm á x en el

punto medio de

laviga. Use la ecuación diferencial de cuarto orden de la curva de

deflexión (la ecuación de la carga).

PR08.9.4-2

9.4- 3 Los momentos 2A/0 y A#o actúan en los extremos de la viga simple AB



de la figura.

Obtenga la ecuación de la curva de deflexión y luego determine la deflexión máxima &m á i X .

Use la ecuación di-ferencial de tercer orden de la curva de deflexión (la ecua-ción de la fuerza cortante).

9^-4 Una

viga simple con una carga uniforme está so-portada con un seguro en un extremo y por un resorte en el otro



(véase la figura). El resorte tiene rigidez k * 48El/L*.

Obtenga la ecuación de la curva de deflexión usando la

ecuación diferencial de tercer orden (la ecuación de la fuerza cortante). Determine también el ángulo de rotación 0A en el apoyo A.

\

—

—

L

P

Bi x

4«£/*■ O



R

O

B

.

9

.

4

-

4

Problemas 771


9.4- 5 La carga distribuida que actúa sobre una viga en voladizo AB tiene una intensidad q dada por la expresión eos TTxtlU donde 40 es la intensidad máxima dc la carga (véase la figura).

Obtenga la ecuación dc la curva de deflexión y luego determine la deflexión 9§ en el extremo libre. Use la ecuación diferencial dc cuarto orden dc la cun a dc deflexión (la ecuación dc la carga).

PROB 9.4-5

9.4- 6 Una viga en voladizo AB está sometida a una carga parabólicamente variable de intensidad 4 - q¿L 2 - donde 4o es la intensidad máxima de la carga (véase la figura).

Obtenga la ecuación dc la cuna dc deflexión y luego determine la deflexión SB y el ángulo de rotación 0B en el extremo libre. Use la ecuación diferencial dc cuarto orden de la curva dc deflexión (la ecuación dc caiga).

PROB. 9.4-6

9.4- 7 Una viga simplemente apoyada está sometida a una carga distribuida parabólicamente de intensidad 4 * 4q l }x (L - x)/L 2, donde 40 es la intensidad máxima de la carga (véase la figura).

Obtenga la ecuación dc la cuna dc deflexión y luego determine la deflexión máxima <5^. Use la ecuación diferencial dc cuarto orden dc la cuna dc deflexión (la ecuación de carga).

9.4- 8 Obtenga la ecuación dc la curva dc deflexión para una viga simple AB que soporta una carga distribuida triangularmenie de intensidad máxima qo (véase la figura). Determine también la deflexión máxima b v r ú x de la viga Use la ecuación diferencial dc cuarto orden dc la curva de deflexión (la ecuación de carga).

*9.4-9 Obtenga las ecuaciones de la cuna dc deflexión para una viga ABC con voladizo sometida a una carga uniforme de intensidad 4 actuando sobre el voladizo (véase la figura). Obtenga también fórmulas para la deflexión Se y el ángulo dc rotación 6C en el extremo del voladizo. Use la ecuación diferencial de cuarto orden de la cuna de deflexión (la ecuación de carga).

* 9.4-10 Obtenga las ecuaciones de la cuna de deflexión para una viga simple AB que soporta una carga triangular-mente distribuida de intensidad máxima q 0 que actúa sobre

4 * (L - x)

<1o

la mitad derecha de la viga (véase la figura). Dcter-Hidden page

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9.5- 12 Una viga simple AB sopona una carga uniforme de intensidad q que actúa sobre la región media del claro (véase la figura).

Determine el ángulo de rotación $A en el apoyo iz-quierdo y la deflexión en el centro del claro.

PROS. 9.5-12

9.5- 13 La viga ABCD con voladizo soporta dos cargas concentradas P y Q (véase la figura).

a) ¿Para qué razón PIQ la deflexión en el punto R es igual a cero?

b) ¿Para qué razón la deflexión en el punto D es igual a cero?

¿Para qué valor de la rigidez k del resorte la carga uniforme no producirá deflexión en el extremo libre C?

PR08.9.5-15

9.5- 16 Una viga ABCD descansa sobre apoyos simples en B y C (véase la figura). La viga tiene una ligera curvatura inicial de manera que el extremo A está 15 mm sobre la elevación de los apoyos y el extremo D está a 10 mm.

¿Qué cargas P y Q que actúen en los puntos A y /), respectivamente, moverán los puntos A y D hacia abajo hasta el nivel de los apoyos? (La rigidez por flexión El de la viga es de 2.5 X \ ( f N*m\)

<7

PROB. 9.5-13

9.5- 14 Una tira metálica delgada con peso total W y longitud L se coloca sobre la parte superior de una mesa plana de ancho Z/3 como se muestra en la figura.

¿Cuál es la altura libre S entre la tira y el centro de la mesa? (La tira metálica tiene rigidez por flexión El.)

PROB. 9.5-14

9.5- 15 Una viga ABC con

voladizo, con rigidez por flexión El « 15 klb-pulg*. está apoyada sobre un soporte de pasador en A y sobre un rex>rte de rigidez k en el punto B (véase la figura). El claro AB tiene longitud L = 30 pulg y sopona una carga uniformemente distribuida. El voladizo BC tiene longitud h = 15 pulg.9.5- 17 La viga compuesta ABCD mostrada en la figura tiene empotramientos en los extremos Ay Dy consiste en tres miembros unidos por articulaciones en B y C. Encuentre la deflexión ó bajo la carga P.

PR08.9.5-17

9.5- 18 Una viga compueMa ABCDE (véase la figura) consiste en dos partes (ABC y CDE) conectadas por una articulación en C.

Determine la deflexión ó/, en el extremo libre £ debida a la carga P que actúa en ese punto.



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Problemas 777


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9.6- 6 Una viga en voladizo ACB sopona dos cargas con-centradas P x y P2 como se muestra en la figura.

Calcule las deflexiones SH y 6c en los puntos B y C. respectivamente. Suponga P x = 10 kN, P2 ■ 5 k.N, L ■ 2.6 m. E = 200 GPa c / = 20.1 X

PROB. 9.6-6

9.6- 7 Obtenga fórmulas para el ángulo dc rotación dA en el apoyo A y la deflexión &m X x en el centro del claro dc una viga simple AB que soporta una carga uniforme de in- tcasidad q (véase la figura).*9.6-10 La viga simple

AB mostrada en la figura soporta dos cargas concentradas iguales P% una actúa hacia abajo y la otra hacia arriba.

Determine el ángulo dc rotación $A en el extremo izquierdo, la deflexión Ó, debida a la carga que actúa hacia abajo y la deflexión 62 cn el centro del claro de la viga.

PROB. 9.6-7

PROS. 9.6-10

9.6- 8 Una viga simple AB soporta dos cargas concentradas P en las posiciones mostradas en la figura. Un soporte C en el centro de la viga está a una distancia d debajo dc la viga antes dc que se apliquen las cargas.

Suponga que d = 10 mm. L = 6 m. £ = 200 GPa e / « 198 X 10* mm4 y calcule la magnitud dc las cargas P dc manera que la viga apenas toque el soporte en C.

PROB. 9.6-8

9.6- 9 Una viga simple AB está sometida a una carga en forma dc un par Af> que actúa en el extremo B (véase la figura).

Determine los ángulos dc rotación $A y $B en los apoyos y la deflexión Ó en el centro del claro.*9.6-11 Una viga simple AB está sometida a los pares A/« y 2Af„ que actúan según se ve en la figura. Determine los

PROB. 9.6-9

1^2

Problemas 779


ángulos dc rotación $A y dB en los extremos dc la viga y la deflexión 6 en el punto en que está aplicado A/().

PROB. 9.6-11

Vigas no prismáticas

9.7- 1 l-a viga en voladizo ACB en la figura tiene momentos de inercia /> e /, en las partes AC y CB . respectiva-mente.

a) Con el método dc superposición, determine la deflexión 8# en el extremo libre debido a la carga P.

b) Determine la razón r dc la deflexión SB a la deflexión 6X en el extremo libre dc una viga prismática en voladizo con momento de inercia /, que tenga la misma carga.

Problemas 781


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PROB. 94M

9.8- 2 Una viga simple AB de

longitud L soporta una carga concentrada P en el centro del claro (véase la figura).

a) Evalúe la energía de deformación de la viga a partir del momento flexionante en ella.

b) Evalúe la energía de deformación de la viga a partir de la ecuación de la curva de deflexión.

c) Con la energía de deformación, determine la defle-xión <5 debida a la carga P.

PROB.9.8-2

9.8- 5 Una viga ABC con apoyos simples en A y B y un voladizo BC soporta una carga concentrada P en el extremo libre C (véase la figura).

a) Determine la energía de deformación U almace-nada en la viga debido a la carga P.

b) A partir de la energía de deformación, encuentre la deflexión V bajo la carga P.

c) Calcule los valores numéricos de U y si la longitud /. es de 8 pies, la longitud a del voladizo es de 3 pies, la viga es un perfil W 10 X 12 de acero de patín ancho y la carga P produce un esfuerzo máximo de 12 000 Ib/pulg2 en la viga. (Use £' = 29 x |(f Ih/pulg*.)

9.8- 3 Una viga AB en voladizo de longitud L soporta una carga uniforme de intensidad q (véase la figura).

a) Evalúe la energía de deformación de la viga en función del momento flexionante en ella.

b) Evalúe la energía de deformación de la viga a partir de la ecuación de la curva de deflexión.PROB. 9.8-5

9.8- 6 En la figura se ilustra una viga simple ABC que soporta una carga concentrada P en el centro del claro y un par de momento A/0 en un extremo.

Determine la energía de deformación U almacenada en

la viga debido a la fuer/a P y al par .!/,> que actúan al mismo tiempo.

¿ i IJJ_I i ij

PROB. 9.8-3

8.8- 4 Una viga simple AB de longitud L está sometida a cargas que producen una curs a de deflexión simétrica con deflexión máxima 6 en el centro del claro (véase la figura).

¿Cuánta energía de deformación U hay almacenada en la viga si la curva de deflexión es: a) una parábola y b) una media onda senoidal?9.8- 7 La estructura mostrada en la figura consiste en una viga ACB soportada por un puntal CD. La viga tiene lon-gitud 2L y es continua a través del nudo C. Una carga concentrada P actúa en el extremo libre B.Determine la deflexión vertical S„ en el punto B debida a la carga P.

Sota: sea El la rigidez por flexión de la viga y £4 la rigidez axial del puntal. Desprecie los efectos axiales y de

cortante en la viga y cualquier efecto de flexión en el

puntal.

01*

o



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PflOB. 9.9-8 PRO®. 9.911


9.9- 8 Una viga en voladizo ACB soporta dos cargas con-centradas P x y P 2* como se muestra en la figura. Determine las deflexiones <5^ y SB en los puntos C y B. respectivamente. (Obtenga la solución usando la forma modificada del teorema de Castigliano.)

PflOtL 9-9-6

9- 9-7 La viga en voladizo ACB mostrada en la figura está sometida a una carga uniforme de intensidad q que actúa entre los puntos A y C.

Determine el ángulo de rotación 0Á en el extremo libre A. (Obtenga la solución usando la forma modificada del teorema de Castigliano.)

PflOB.9.97

9.9- 8 El marco ABC soporta una carga concentrada P en el punto C (véase la figura). Los miembros AB y BC tienen longitudes h y b. respectivamente.

Determine la deflexión vertical Se y el ángulo de rotación 6C en el extremo C del marco. (Obtenga la solución usando la forma modificada del teorema de Castigliano.)

9.9- 9 Una viga simple ABCDE soporta una carga uni-forme de intensidad q (véase la figura). El momento de inercia en la parte central de la viga <BCD) es el doble del momento de inercia en los extremos (AB y DE).

Encuentre la deflexión &c en el punto medio C de la viga. (Obtenga la solución usando la forma modificada del teorema de Castigliano.)

mmínrmJ P

£4

PftOS. 9.9-9

9.9- 10 Una viga ABC con voladi/o está sometida a un par M a en el extremo libre (véase la figura). Las longitudes del voladizo y del claro principal son a y respectivamente.

Determine el ángulo de rotación 0A y la deflexión ÓÁ en el extremo A. (Obtenga la solución usando la forma modificada del toerema de Castigliano.)

9.9- 11 Una viga ABC con voladizo descansa sobre un apoyo simple en A y en un soporte con resorte en B (véase la figura). Una carga concentrada P actúa en el extremo del voladizo. El claro AB tiene longitud U el voladizo tiene longitud a y el resorte tiene rigidez k.

Determine el desplazamiento hacia aba)o Se del ex-tremo del voladizo. (Obtenga la solución usando la forma modificada del teorema de Castigliano.)

j :

------------L y------a-------■

A B C D E

<y



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Suponga que el esfuerzo permisible por flexión en la viga es rrp,™ - 18 000 Ib/pulg2 y E = 30 X 10* lb/pulg: y seleccione la viga de patín ancho satisfactoria más ligera entre las dadas en la tabla E-1 del apéndice E.

Representación de cargas en vigas mediante funciones

discontinuas

9.11-1 a 9.11-12 Una viga y su carga se muestran en la figura. Con el uso de funciones discontinuas, escriba la ex-presión de la intensidad q{x) de la carga distribuida equi-valente que actúa sobre la viga (incluya las reacciones en la expresión de la carga equivalente).

PflOB. 9.10-5

W = 4000 Ib

9.10- 6 Una viga ABC con voladizo de sección transversal rectangular tiene las dimensiones mostradas en la figura. Un peso W = 750 N cae sobre el extremo C de la viga.

Si el esfuerzo normal permisible por flexión es de 45 MPa, ¿cuál es la altura h máxima desde la que puede caer el peso? (Suponga E ** 12 GPa.)

*9.10-7 Un pesado volante gira con velocidad angular 0 (radianes por segundo)

alrededor de un eje (véase la figura). El eje está unido rígidamente a través de cojinetes al extremo de una viga simplemente apoyada de rigidez por flexión El y longitud L (véase la figura). El volante tiene momento de inercia de masa lm respecto a su eje de rotación.

Si los cojinetes en el eje se traban de repente, ¿cuál será la reacción B en el soporte A de la viga?

PR0BS. 9.11-4 y 9.12-4

y</

PKOe. 9.10-7

Vigas estáticamente indeterminadas

En este capítulo analizaremos vigas en que la cantidad de reacciones excede al número de ecuaciones independientes de equilibrio. Como las reacciones de tales vigas no pueden determinarse sólo por estática, se dice que las vigas son estáticamente indeterminadas

El análisis de las vigas estáticamente indeterminadas es muy diferente al de las vigas estáticamente determinadas. Cuando una viga es estáticamente determinada, podemos obtener todas las reacciones. fuerzas cortantes y momentos flexionantes a partir de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio. Luego, conocidos los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes, podemos obtener los esfuerzos y las deflexiones.

Sin embargo, cuando una viga es estáticamente indeterminada, las ecuaciones de equilibrio no son suficientes y se requieren ecuaciones adicionales. El método fundamental para analizar una viga estáticamente indeterminada es resolver las ecuaciones diferenciales de la curs a de deflexión, como se describirá luego en la sección 10.3. Si bien este método sirve como un buen punto de inicio en nuestro análisis, es práctico sólo para los tipos más simples de vigas estáticamente indeterminadas.

Por lo tanto, veremos también el método de superposición (sección 10.4). método que es aplicable a una amplia variedad de estructuras. En el método de superposición, complementamos las ecuaciones de equilibrio con ecuaciones de compatibilidad y ecuaciones de fuerza-desplazamiento (describimos este mismo método en la sección 2.4. cuando analizamos barras estáticamente indeterminadas sometidas a tensión y a compresión).

En la última pane de este capítulo analizaremos dos temas especializados relativos a vigas estáticamente indeterminadas; es decir, vigas sometidas a cambios de temperatura (sección 10.5) y desplazamientos longitudinales en los extremos de las vigas (sección 10.6). En todo el capítulo supondremos que las vigas están hechas de materiales elástico lineales.

No obstante que en este capítulo se analizan sólo vigas estáticamente indeterminadas, las ideas fundamentales tienen una aplicación mucho más amplia. La mayoría de las estructuras que encontramos

707


10.1 INTRODUCCIÓN

791 CAPÍTULO 10 Vigas estáticamente indeterminadas


en la vida diaria, como el chasis de los automóviles, edificios y aeronaves, son estáticamente indeterminadas: Sin cmhargo. son mucho más complejas que las vigas y deben diseñarse mediante técnicas analíticas sumamente sofisticadas. Muchos de estos procedimientos se basan en conceptos descritos en este capítulo, por lo que puede considerarse como una introducción al análisis de estructuras estáticamente indeterminadas de todo tipo.

10.2 TIPOS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Las vigas estáticamente indeterminadas normalmente se identifican por la forma en que están dispuestos sus apoyos; por ejemplo, una viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro (figura 10-la) se llama viga en voladizo apuntalada o soportada Las reacciones de la viga mostradas en la figura consisten en fuerzas horizontales y verticales en el apoyo A , un momento en el apoyo A y una fuerza vertical en el apoyo B. Como sólo hay tres ecuaciones independientes de equilibrio para esta viga, no es posible calcular las cuatro reacciones sólo por equilibrio. Kl número de reacciones que rebosan el número de ecuaciones de equilibrio se llama grado de indeterminación estática. Entonces, una viga en voladizo soportada es estáticamente indeterminada de primer grado.

Las reacciones sobrantes se llaman redundantes estáticas y deben seleccionarse en cada caso particular; por ejemplo, la reacción Kff de la viga en voladizo apuntalada mostrada en la figura 10-la puede tomarse como la reacción redundante. Dado que esta reacción está de más respecto a las necesarias para mantener el equilibrio, puede liberarse de la estructura quitando el apoyo en B. Al suprimir el apoyo en fl, queda una viga en voladizo (figura 10-Ib). l>a cstruc-

FIG. 10-1 Viga en voladizo con soporte: (a) viga con carga > reacciones; (b) estructura liberada cuando la reacción en el extremo B se selecciona como redundante y (c) estructura liberada cuando la reacción de momento en el extremo A se selecciona como redundante.

(b)

//A

&

i

Z(C)

SECCIÓN 10.2 Tipos do »¡»as esláttcamonto iodetomñnadas 792


tura que queda cuando las redundantes se liberan se llama estructura liberada o estructura primaria. La estructura liberada debe ser estable (para que sea capaz de soportar cargas) y debe ser estáticamente determinada (para que todas las fuerzas puedan determinarse sólo por equilibrio).

Otra posibilidad para el análisis de la viga en voladizo apuntalada de la figura 10-1 a es escoger el momento reactivo MA como la redundante. Entonces, cuando se elimina la restricción de momento en el apoyo A. la estructura liberada es una viga simple con un soporte de pasador en un extremo y un soporte de rodillo en el otro (figura10- le).

Un caso especial se presenta si todas las cargas que actúan sobre la viga son verticales (figura 10-2). Entonces, la reacción horizontal en el apoyo A es cero y quedan sólo tres reacciones; sin embargo, sólo se dispone de dos ecuaciones independientes de equilibrio, por lo que la viga es aún estáticamente indeterminada de primer grado. Si la reacción R u se escoge como redundante, la estructura liberada es una viga en voladizo; si se escoge el momento MA , la estructura liberada es una viga simple.

RG. 10-3 Viga doblemente empotrada, (a) viga con carga y reacciones; <b) estructura liberada cuando las tres reac-cione* en el extremo H \e aleccionan como redundantes y (c) estructura liberada cuando la* do* reacciones de momento y la reacción horizontal en el extremo B se

seleccionan como redundantesOtro tipo de viga estáticamente

indeterminada, conocida como viga doblemente empotrada, se muestra en la figura 10-3a. Esta viga tiene soportes empotrados en ambos extremos, con lo cual resultan un total de seis reacciones desconocidas (dos fuerzas y un momento en cada soporte). Puesto que sólo hay tres ecuaciones de equilibrio, la viga es estáticamente indeterminada de tercer grado (esta viga también recibe los nombres de viga

empotrada o viga apuntalada).

r rí f

R€. 10-2 Viga en voladizo con soporte y sólo cargas verticales.

(c)

FIG. 10-4 Viga doblemente empotrada con sólo cargas vertidles.

Sí seleccionamos las tres reacciones en el extremo f í de la viga como redundantes y eliminamos las restricciones correspondientes, queda una viga en voladizo como estructura liberada (figura 10-3b). Si liberamos los dos momentos de empotramiento y una reacción horizontal la estructura liberada es una viga simple (figura IO-3c).

Sí consideramos de nuevo el caso especial de sólo cargas verticales (figura 10-4), encontramos que la viga empotrada tiene ahora sólo cuatro reacciones diferentes de cero (una fuerza y un momento en cada soporte). El número de ecuaciones de equilibrio disponibles es dos, por lo que la viga es estáticamente indeterminada de segundo grado. Si las dos reacciones en el extremo H se consideran redundantes, la estructura liberada es una viga en voladizo; si se toman las dos reacciones de momento, la estructura liberada es una viga simple.

La viga de la figura IO-5a es un ejemplo de una viga continua, llamada así porque tiene más de un claro y es continua sobre un soporte interior. Esta viga es estáticamente indeterminada de primer grado porque tiene cuatro fuerzas reactivas y se dispone de sólo tres ecuaciones de equilibrio.

794 CAPITUL010 Vigas estáticamente indeterminadas


Si la reacción R# en el apoyo interior se considera redundante y quitamos el apoyo correspondiente de la viga, queda una estructura liberada en la forma de una viga simple estáticamente determinada (figura 10-5b). Si la reacción R c se escoge como la redundante, la estructura liberada es una viga simple con un voladizo (figura 1(15c).

En las secciones siguientes, estudiaremos dos métodos para el análisis de vigas estáticamente indeterminadas. El objetivo en cada caso es determinar las reacciones redundantes. Una vez conocidas óstas, todas las reacciones restantes (más las fuerzas cortantes y los momentos fiexionantes) pueden hallarse a partir de ecuaciones de equilibrio. En efecto, la estructura se ha convertido eti una estructura estáticamente determinada. Por tanto, como paso final del análisis, los esfuerzos y deflexiones pueden encontrarse por los mótodos descritos en los capítulos anteriores.

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SECCIÓN 10.3 Análisis de la curva de deflexión con las ecuaciones diferenciales 797


Condiciones de frontera. Tres condiciones de frontera pertenecientes a las deflexiones y pendientes de la viga son obvias a partir de la observación de la figura 10-6. Estas condiciones son las siguientes: 1) la deflexión en el empotramiento es cero; 2) la pendiente en el empotramiento es cero, y 3) la deflexión en el soporte simple es cero. Entonces.

v(0) = 0 v'(0) - 0 %iL) - 0

Aplicamos esas condiciones a las ecuaciones para las pendientes y las de-flexiones (ecuaciones f y g). con lo cual C x = 0, C 2 = 0 y

R -M R b~ 8

De esta manera, ahora se conoce la reacción redundante RB .Reacciones . Con el valor de la redundante determinado,

podemos encontrar las reacciones restantes con las ecuaciones (a) y (b). l-os resultados son

Ma = V- (10-2a. b)

Conocidas estas reacciones, podemos hallar las fuerzas cortantes y los mo-mentos flexionantes en la viga.

Fuerzas cortantes y momentos f lexionantes. Estas cantidades pueden obtenerse por los procedimientos usuales que comprenden el aso de diagramas de cuerpos libres y ecuaciones de equilibrio. Los resultados son

SqLR* - V = - j--------<7*

i/Miinúd

(10-1)

5qL 8

(10-3)

5qLx ql? qxM = RAX - MA

Los diagramas de fuer/a cortante y momento flexionante para la viga puedibujarse con ayuda de estas ecuaciones (observe la figura 10-7).

De los diagramas vemos que la fuerza cortante máxima se presenta en el empotramiento y es igual a

^ S q Lmi»

Además, los momentos flexionantes máximos positivo y negativo son

M ,po.128

Por último, notamos que el momento flexionante es igual a cero a una disU4 desde el empotramiento.

Pendientes y deflexiones de la viga. Volviendo a las ecuaciones (f) y (g) para las pendientes y deflexiones, ahora sustituimos los valores de las constantes de integración (C( = 0 y C2 = 0) así como la expresión para la redundante /?* (ecuación 10-1) y obtenemos:

RG. 10-7 Diagramas de fuer/a cortante y momento flcxionantc para la viga en vo-ladizo con soporte de la figura 10-6.

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SECCIÓN 10.3 Análisis de la cirva de deflexión con tas ecuaciones diferenciales 717

v’“ _&E/a_2r> <0s*s¿/2> <l0-|7>

p 2v= -7577<3¿ -4x) (OsiSL/2) (10-18) 48/:/

1.a curv a de deflexión de la viga se muestra en la figura 10-11.Para encontrar la deflexión máxima 6^ igualamos x a U2 en la ecuación

(10-18) y cambiamos c! signo, así:

(1M9)

El punto de inflexión en la mitad izquierda de la viga se presenta donde el momento flexionante M es igual a cero: es decir, donde x - ¿/4 (víase la ecuación 10-16). La deflexión correspondiente (d* la ecuación 10-18) es

¿o “L (10.20)

que es numéricamente igual a Ku mitad de la deflexión máxima. Un segundo punto de inflexión se da en la mitad derecha de la viga a la distancia IJ4 del extremo B.

Notas: según observamos en este ejemplo, la cantidad de condiciones de (romera y de otros tipos siempre basta pora evaluar no sólo las constantes de integración sino también las reacciones redundantes.

En algunas ocasiones es necesario establecer ecuaciones diferenciales para más de una región de la viga y usar condiciones de continuidad entre las regiones, como se ilustró en los ejemplos 9-3 y 9-5 del capítulo 9 para vigas estáticamente determinadas. Tales análisis suelen ser largos y tediosos debido a! gnm número de condiciones que deben satisfacerse. Sin embargo, si las deflexiones y los ángulos de rotación sólo se requieren en uno o dos puntos específicos, puede ser útil el método de superposición (véase U siguiente sección).

06.10- 11 Curva de deflexión pura la viga doblemente empotrada de la figura 10-9.

Hidden pageRA = q L -R B = RbL (a.b)

Estas ecuaciones se obtienen de ecuaciones de equilibrio aplicables a toda la viga considerada como cuerpo libre (figura


10.12a).El siguiente

paso es eliminar la restricción correspondiente a la redundante (en este caso, se retira el apoyo del extremo B). La estructura l iberada que resulta es una viga en voladizo

(figura 10-12b).La carga uniforme q y la fuerza redundante R a se aplican ahora co-mo cargas sobre la estructura liberada (figuras 10-12c y d).

La deflexión en el extremo B de la estructura


liberada debida sólo a la carga uniforme se denota con (áfl)| y la deflexión en el mismo punto originada sólo por la redundante se denota con (S B)¡. La deflexión S B

en el punto B en la estructura

original se obtiene por su-perposición de esas dos deflexiones. Como la deflexión en la viga original es igual a cero, obtenemos la siguiente ecuación de compa-


t ibi l idad:

¿í = (¿*)i-($r>2

= 0

(c)

El signo menos aparece en esta ecuación porque (ów), es positiva hacia abajo mientras que (¿A); es positiva hacia arriba.


Los relaciones fuerza-desplazamiento que nos dan las deflcxio- nes (¿„), y (6 By¡ en términos de la carga uniforme q y de la redun-dante R f í , respectivamente, se encuentran

con ayuda de la tabla G-l en el apéndice G (véanse los casos I y 4). Cuando asamos las fórmulas dadas ahí. encontramos

<«*>»“ =

<d*C>


Sustituimos estas relaciones fuerza-desplazamiento en la ecuación tic compatibilidad y resulta

( f )

*

8

F.l

3

El

9

tic donde puede despejarse la reacción redundante:

RB « -f1

(10-21)


Observe que esta ecuación da la redundante en términos de las cargas que actúan sobre la viga original.

Las reacciones restantes (R A y \I A) pueden encontrarse con las ecuaciones de equilibrio

(ecuaciones a y b); los resultados son

5aLaL2

(10-22a. b)

Conocidas todas las reacciones, es posible obtener las fuerzas cortantes y los momentos


flcxionantes en toda la viga y trazar los diagra-mas correspondientes (observe estos diagramas en la figura 10-7).

También es posible determinar las deflexiones y pendientes de

la viga original por medio del principio de la superposición. Este procedimiento consiste en superponer las deflexiones de la estructura liberada cuando se encontraba bajo la acción de


las cargas queCopyrighted

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SECCIÓN 10.4 Método efe superposición 237


Relaciones fue ría - desplazxwueruo. Lo deflexión (4»)a causada por la carga uniforme actuando sobre la estructura liberada (figura 10-14c) se ob-tiene de la labia G-2. caso 1. como sigue:

_ Sy(2L)* _' 1 384fc7 " 24£/

donde 1L es la longitud de la estructura liberada. La deflexión producida por la redundante (figura I0-I4d) es

*.(2¿r _ R.L* { 8 r h~ 48 £/ 6El

obtenida de la tabla G-2, caso 4.Reui 'ciones. 1.a ecuación de compatibilidad relacionada con la defle-

xión vertical en el punto B (ecuación I) es ahora

. 5gt* R kL>O n =011 2AEI 6 El

de donde encontramos la reacción en el soporte intermedio:

= (10-23)4

Las otras reacciones se obtienen de la ecuación (k):

(,0’24>

Conocidas las reacciones, podemos encontrar las fuerzas cortantes, los mo-mentos flexionantes, los esfuerzos y I» deflexiones sin mayor dificultad.

Sota: el objetivo de este ejemplo es ilustrar el método de superposición, por ello hemos descrito todos los posos del análisis. Sin embargo, esta viga en particular (figura 10-14a) puede analizarse mediante observación debido a su carga y simetría.

De la simetría conocemos que la pendiente de la viga en su punto medio debe ser igual a cero, y por tanto, cada una de sus mitades se encuentra en las mismas condiciones que una viga en voladizo apuntalada con carga uniforme (véase, por ejemplo, la figura 10-6). En consecuencia, es posible adaptar de inmediato todos los rebultados previamente calculados para una viga en voladizo con soporte, con caiga uniforme (ecuaciones 10-1 a 10-12) para la viga continua de la figura 10-14a.

(m)

Ejemplo 10-4

RC. 10-15 Ejemplo 10-4. Viga doblemente empotrada con carga concentrada.

en donde los signos de los diversos términos se determinan por inspección de las figuras.

Relaciones fuerza desplazamiento. 1.0o ángulos en lo* extremos de la viga debido a la carga P (figura 10-15b) se obtienen del caso

Una viga AU doblemente empotrada (figura 10-15a) está cargada con una fucr/a P que actúa en un punto intermedio />. F.nconirar las fuerzas y imv mentos reactivos en los extremos de la viga usando el método de superposición. Determinar también la deflexión en el punto D donde está aplicada la caiga.

— a

i MR- 4—* ~4*#

- L -

(a)Solución

Esta viga tiene cuatro reacciones desconocidas (una fuerza y un momento en cada soporte), pero sólo se dispone de dos ecuaciones independientes de equilibrio; por tanto, la viga es estáticamente indeterminada de segundo grado. En este ejemplo, seleccionaremos los momentos reactivos MA y Mb como las redundantes.

Ecuaciones de equilibrio. Las* dos fuerzas reactivas desconocidas <RA y Ri*) pueden expresarte en términos de las redundantes (MÁ y MB) con ayuda de dos ecuaciones de equilibrio. La primera ecuación es para momentos respecto al punto i? y la segunda, para momentos respecto al punto A. Las expresiones resultantes son

Pa MA MnPb . MA M,(n.o)

Ecuaciones de compatibilidad. Cuando ambas redundantes son liberadas ai eliminar las restricciones rotacionales en los extremos de la viga, queda una viga simple como estructura liberada (figuras 10-15b, c y d>. Ia>% ángulos de rotación en los extremos de la estructura liberada por la carga concentrada P se denotan con ( Ú A ) } y (6^)i. como se muestra en la figura 10-15b. De manera similar, los ángulos en los extremos debidos a la redundante U A se denotan con (0*)* y (0#)¡* y lo*

ángulos debidos a la redundante A/*coa(éU)jy(^>3-Como los ángulos de rotación en los soportes de 2a viga original son iguales a

cero, las dos ecuaciones de compatibilidad son

cp>

(q>



5 de la tabla G-2:

en donde a y b son las distancias desde los soportes al punto D donde se aplica la carga.

Además, los ángulos en los extremos debidos al momento redundante son (viía« el caso 7 de la tabla G-2):

(«ah -

PahjL + b)

6LF.I

Pab{L + a> 6

LE/

(*A)I (*>i

MAL30

Sirailarmente. los ángulos debidos al momento MH son

(6A)Í 6El (6ah ~ 3FJ

Reacciones. Cuando los expresiones anteriores para los ángulos se sustituyen en las ecuaciones de compatibilidad (ecuaciones p y q), obtenemos dos ecuaciones simultáneas que contienen UA y MB como incógnitas:

MÁL | M„L PabjL + b)

3EI 6EI 6 LE!

MBE PabiL + a) 6EI 3E1 “ 6LEI

Al despejar las redundantes, resulta

MA « (10-25«, b) é-

Sustituimos estas expresiones para Af, y A/* en las ecuaciones de equilibrio (ecuaciones n y u) y obtenemos las reacciones verticales:

RA - + 2ti) R b * + 2b) (10-26a. b) <■

Hemos determinado así todas las reacciones para la viga doblemente em-potrada.

Las reacciones en los soportes de una viga con extremos empotrados suelen llamarse momentos de empotramiento y fuerzas de empotramiento Tienen un amplio uso en el análisis estructural y las fórmulas para estas cantidades se encuentran ocasionalmente en los manuales de ingeniería.

Deflexión en el punto D Para obtener la deflexión en el punto De n la viga doblemente empotrada original (figura 10- 15a), usamos de nuevo el principio de superposición. La deflexión en el punto D es igual a la suma de tres deflexiones: 1) la deflexión hacia abajo (á/>)i en el punto D en la estructura liberada debido a la carga H (figura 10-15b); 2) la deflexión hacia arriba (6oi2 en el mismo punto en la estructura liberada debido a la redundante MA (figura 10-15c) y 3) la deflexión hacia arriba en el mismo punto en la estructura liberada debido a la redundante MH (figura l(M5d). Esta superposición de deflexiones se expresa con la siguiente ecuación:

* ($p)| — “ (At>)j (0

en donde &¡ } es la deflexión hacia ahajo en la viga original.Las deflexiones que aparecen en la ecuación (t) se obtienen con las

fórmulas dadas en la tabla G-2 del apéndice G (véanse los casos 5 y 7) ha-ciendo las substituciones y simplificaciones algebraicas apropiadas, lo que tiene como resultado:

{ ^ m n a ( 6 p h~lÉ¡ ( L + b ) i S p h B^ i L + a )

Sustituimos las expresiones para MÁ > MB deHidden page

SECCIÓN 104 Método de superposición 241


R6.10-17 Ejemplo 10-5. (a) Viga doblemente empotrada con una carga uniforme sobre parte del claro y (b) reacciones producidas por un elemento q dx de la carga uniforme.

SoluciónProcedimiento. Podemos bailar las reacciones de esta viga usando el principio de superposición y los resultados obtenidos en el ejemplo anterior (ejemplo 10-4). En dicho ejemplo encontramos las reacciones de una viga doblemente empotrada sometida a una carga concentrada P que actúa a una distancia a del extremo izquierdo (véanse la figura 10-15a y las ecuaciones 10-25 y 10-26).

Para aplicar estos resultados a la carga uniforme de la figura 10-17a. consideraremos un elemento de la carga uniforme como una carga concentrada de magnitud q dx que actúa a una distancia x del extremo izquierdo (figura 10-17b). Entonces, usando las fórmulas deducidas en el ejemplo10- 4. podemos obtener las reacciones generadas por este elemento de carga. Por último, integrando sobre la longitud a de la carga uniforme, podemos obtener las reacciones debidas a la carga uniforme total.

Momentos de empotramiento. Comencemos con las reacciones de momento. para lo cual emplearemos las ecuaciones (10-25 a y b)

Una viga AB doblemente empotrada soporta una carga uniforme de inten-sidad q que actúa sobre parte del claro (figura 10-17a). Determinar las reacciones de esta viga (es decir, encontrar los momentos y fuerzas de empotramiento).

242 CAPITULO 10 Vigas estáticamente indeterminadas


del ejemplo10- 4. Para obtener los momentos producidos por el elemento q dx de la carga uniforme (compare la figura 10-17b con la 10-15a), sustituimos P con q dx. a con x.y b con L-x. Así. los momentos de empotramiento causados por el elemento de carga (figura 10-I7b) son

... qx{L-x) 2 dx qx\L-x)dx A P P- -

Integramos sobre la parte cargada de la viga y obtenemos los momentos de empotramiento debidos a la carga uniforme total:

MÁ = jd.UA = - xfdx = - XaL + ya 2 ) (IO-30a) 4—

M, - jdM„ - j ‘x\L - x)dx - -*£v<4/. - 3a)

(10-30b)ctmtoúa

FIG. 10-18 Viga doblemente empotrada con una carga uniforme.

Fumat de empotramiento.

Al procciler <te manera similar al caso de los

momentos de empotramiento, pero usando las ecuaciones (10- 26a y b). obtenemos las siguientes expresiones para las fueras de empotramiento debidas al elemento de carga q dx:

Cfil - xñL + Zxkix - Ixkix

düA - 2 p ------------------------------- - ^ p -----------------------------------------

1.a integración da

RA = jdR A = - xftL + Zxidx = - 2a : L + a') <10-3la» «■

R„ = ¡dR„ = j-f'x : OL - IxRLx - gj(2 L -a) (10-31 b) «-■

Así, hemos encontrado todas las reacciones (momentos de empotramiento y fuerzas de empotramiento).

Carga uniforme que actúa sobre toda la longitud de la viga. Cuando la carga actúa sobre todo el claro (figura 10* IX). podemos

obtener las reacciones sustituyendo a - /. en las ecuaciones anteriores, lo que da

UA - R a- R b~^(10-32a. b)

La deflexión en el centro del claro de una viga con carga uniforme también es de interés. El procedimiento más simple para obtener esta deflexión es usar el método de superposición. El primer paso es suprimir las restricciones de momento en los soportes y obtener una estructura liberada en forma de una viga simple. 1.a deflexión hacia abajo en el centro del claro de una viga simple debido a una carga uniforme (del caso 1 de la tabla C-2)es

<7

^ (u)' 138447

y la deflexión hacia arriba en el centro del claro debido a los momentos extremos (del caso 10. tabla G-2) es

M = (v>1 KEi &EI9<EI

I-a deflexión final hacia abajo de la viga doblemente empotrada original (figura I iF 18) es entonces

ác* = (fic )i ” (6¿h

Sustituimos las deflexiones dadas por las ecuaciones (u) y (v), con lo que obtenemos

Sc-^¡

(.«3»

Esta deflexión es la quinta parte de lu deflexión en el centro del claro de una viga simple con carga uniforme (ecuación u), lo que ilustra de nuevo el efecto rigidizador de los empotramientos en los extremos de la viga.



Ejemplo 10-«

Una viga ABC (figura l(M9a) descansa sobre apoyos simples en los puntos A y B y está sostenida por un cable en el punto C. 1.a viga tiene longitud total 2L y soporta una carga uniforme de intensidad q. Antes de la aplicación de la carga uniforme, no hay fuerza en el cable y éste no tiene holgura.

Cuando se aplica la carga uniforme, la viga se dcflexiona hacia abajo en el punto C y se desarrolla una fuerza de tensión Ten el cable. Encontrar la magnitud de esta fuerza.

F1G. 10-19 Ejemplo IQ-6. Viga ABC con un extremo soportado por un cable.

SoluciónFuerza redundante. La estructura ABCD. que

consiste en la viga y el cable, tiene tres reacciones verticales (en los puntos A. B y D). Sin embargo, sólo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio en un diagrama de cuerpo libre de toda la estructura. Por tanto, la estructura es estáticamente indeterminada de primer grado y debemos seleccionar una cantidad redundante para analizarla.

La fuerza de tensión 7* en el cable es una buena elección para la redundante. Podemos liberarla eliminando la conexión

Cable -

(b)

en el punto C, cortando así la estructura en dos partes (figura 10-19b). La estructura liberada consiste en la viga ABC y el cable CD como elementas separados, con la fuerza redundante T en acción hacia arriba sobre la viga y hacia abajo sobre el cable.

Ecuación de compatibi l idad. La deflexión en el punto C de la viga ABC (figura 10-19b) consiste en dos parles, una deflexión hacia abajo (&c)\ debida a la carga uniforme y en una deflexión hacia arriba (ó^h causada por la fuerza T. Al mismo tiempo, el extremo inferior C del cable CD

se desplaza hacia abajo una cantidad {&c) y igual al alargamiento del cable debido a la fuerza 7; por tanto, la ecuación de

compatibi l idad que expresa el hecho de que la deflexión hacia abajo del extremo C de la viga es igual al alargamiento del cable es

(Se)i - (Sch - (Sch <w)

Ya con esta ecuación formulada, determinamos los tres desplazamientos.

Relaciones fuerza‘desplazamiento. La deflexión (^)i en el extremo del voladizo (punto C en la viga ABO debida a la carga uniforme puede encontrarse de los resultados dados en el ejemplo 9-9 de la sección 9.5

conmuta

247 CAPITUL010 Vigas estíticamente indeterminadas


(véase la figura 9-21). Con la ecuación (9-59) de esc ejemplo y sustituyendo a m L, obtenemos

ql Á (4c), = ^ 00

donde EtJt> <* I» rigidez por flexión de la viga.

La deflexión de la viga en el punto C debida a la fuer/a T puede tomarse de

larespuesta

alos

problemas 9.8-5 y9.9-3,mismasque

dan ladeflexión (ár>2 en el cxtrcmo del voladizo cuando la longitud de éste es a:

TO\L*O)" 3 £*/»

Ahora sustituimos a = L. para obtener la deflexión deseada:

(tchmlÉZ ,y>

Por último, el alargamiento del cable es

<Seh = -pr (z)

donde h es la longitud del cable y EcA c es su rigidez axial.

Fuerza en el cable. Sustituimos los tres desplazamientos (ecuaciones x, y y z) en la ecuación de compatibilidad (ecuación w). con lo cual obtenemos

qL* _ 2 TL' Th

4 EJ b 3 EtJt, F.,A< Despejamos ahora la fuerza T y resulta

_ 3qL*E eAc f= ZL'EtA, +

12 hE bl„(10-34)

Con la fuerza T conocida, podemos encontrar todas las reacciones, fuerzas cortantes y momentos flexionanies por medio de diagramas de cuerpo libre y

ecuaciones de equilibrio.Este ejemplo ilustra cómo una tuerza

interna (en vez de una reacción extema) puede usarse como redundante.

D “r

<r

— b

.—¿—4-—¿—*

C

(a)

SECCIÓN 105 Efectos de la temperatura 249


*10.5 EFECTOS DE LA TEMPERATURA

Como ya se analizó en las secciones 2.5 y 9.13, los cambios de temperatura pueden originar variaciones en la longitud de las barras y deflexiones laterales en las vigas. Si estas variaciones y deflexiones laterales se restringen, se producirán esfuerzos térmicos en el material. En la sección 2.5 vimos cómo encontrar esos esfuerzos en las barras estáticamente indeterminadas, y ahora consideraremos algunos de los efectos de los cambios de temperatura en las vigas estáticamente indeterminadas.

Los

esfuerzos y deflexiones producidos por cambios de temperatura en una viga estáticamente indeterminada pueden analizarse por métodos similares a los descritos para los efectos de las cargas.Para empezar con el análisis, consideremos la viga AB en voladizo que se muestra en la figura 10-20. Suponemos que al principio la viga estaba a una temperatura uniforme To. la cual se incrementó a 7, en la superficie superior y a 72 en la superficie inferior. La variación de la temperatura sobre el

FUL 10*20 Viga en voladizo con un dife- rcnciuJ de temperatura.

peralte h de la viga se supone lineal.

Dado que la temperatura varía lincalmcntc, la temperatura promedio de la viga es

7^ = ^^-(10-35)

y se presenta a la mitad del peralte de la viga. La diferencia entre esta temperatura promedio y la temperatura inicial 70 tiene como resultado una tendencia a que la viga cambie de longitud. Si la viga puede dilatarse libremente en dirección longitudinal, su longitud se incrementará una cantidad Sr dada por la ecuación (9-145). que se repite aquí:

¿r * - To)L = - 7o)¿ (10-36)

En esta ecuación, a es el coeficiente de dilatación térmica del material y L es la longitud de la viga. Si la dilatación longitudinal puede ocurrir con libertad, ningún esfuerzo axial se generará por los cambios de temperatura; pero si está restringida, se desarrollarán esfuerzos axiales, como se describió en la sección 2.5.

Consideremos ahora los efectos del diferencial de temperatura T 2 — 7,. que tiende a producir una curwiuru de la viga pero ningún cambio en longitud. La curvatura debida a cambios de temperatura se describió en la sección 9.13, donde se obtuvo la



siguiente ecuación diferencial de la curva de deflexión (véase la ecuación 9-147):

dx' h

Esta ecuación es aplicable a una viga no restringida por soportes, de suerte que tiene libertad para deílexionarse y girar. Observe que cuando T¡ es mayor que 7,. la curvatura es positiva y la viga tiende a fiexionarse con la concavidad hacia arriba. Las deflexiones y rotacio-

Hidden pageEstas ecuaciones pueden resolverse simultáneamente para las dos redundantes:

El hecho de



que R a es cero podría haberse anticipado en un inicio a partir de la simetría de la viga doblemente empotrada. Si hubiésemos utilizado este hecho desde el principio, la

solución anterior se habría simplificado porque sólo se habría requerido una ecuación de compatibilidad.

Sabemos también por simetría (o



por las ecuaciones de equilibrio) que la reacción R g es igual a la reacción R Á y que el momento M A es igual al momento \1 B: por tanto. las reacciones para la viga

doblemente empotrada mostrada en la figura 10-2la son:

aEHT? - T,)Ra = Rb = 0 Ma =* MB

« H (10-38«, b)ti

A partir de estos resultados vemos que la



viga está sometida a un nk>menio llexionante constante debido a los cambios de temperatura.

Ecuación diferencial de la curva de deflexión

Podemos analizar

también la viga doblemente

empotrada de la figura

10- 2la resolviendo la ecuación diferencial de la curva de deflexión. Cuando una



viga está sometida a un momento flexionante M y a un diferencial de temperatura T ¿ - T x % la ecuación diferencial es (véanse las ecuaciones 9-7 y 10-37):

o Elv“- M + a£I{1'2~ Ti)

(10.39b)n

En la viga doblemente empotrada de la figura 10-21a, la expre-sión para el momento llexionante en la viga es



M = RAX - MA

íe)

donde .r se mide desde el apoyo A. Al sustituir en la ecuación diferencial e integrar, obtenemos la

siguiente ecuación para la pendiente de la viga:

RAx 2

„ . aEI(T 2

- r,)x _

Elv • —



M a x +--------------------+-----------------C,-----(f)

Las dos condiciones de frontera para la pendiente (/ = 0 cuando x = 0 y x = L) dan Cj = 0 y

Una segunda integración da la deflexión

de la viga:

622h

Las condiciones de frontera para la deflexión (V = 0 cuando x =



0 x - L) dan C 2 - 0 y

RaLt, a£/(T2 - T¡)~3 A(,)

Resolvemos simultáneamente las ecuaciones (g) c (i),

con lo cual encontramos

*,-0

Del equilibrio de la viga, obtenemos /?# = 0 y A/* = A/*. Estos re-



sultados concuerdan con los que encontramos por el método de su* perposición (véanse las ecuaciones 10-38a y b).

Observe

que obtuvimos la solución anterior sin aprovechar la simetría para mostrar el procedimiento general del método de inte-



gración.Conocida

s las reacciones de la viga, podemos encontrar las fuerzas cortantes, los momentos flcxionantcs, las

pendientes y las defle-xiones. La simplicidad de los resultados podría sorprenderlo.



*10.6 DESPLAZAMIENTOS LONGITUDINALES EN LOS EXTREMOS DE UNA VIGA

Cuando una viga es flexionada por cargas laterales, sus extremos se acercan. Es

práctica común despreciar estos desplazamientos longi-tudinales porque no tienen efectos notables en el comportamie



nto de la viga. En esta sección mostraremos cómo evaluarlos y determinar si son importantes o no.

Consider

emos una viga simple Afí soportada en un extremo por un apoyo de pasador y con libertad de desplazarse en sentido longi-



tudinal en el otro (figura 10-22a). Cuando esta viga es flexionada por cargas laterales, la curv a de deflexión adopta la

forma mostrada en la parte b) de la figura. Además de las deflexiones laterales, existe un desplazamiento longitudina



l en el extremo B de la viga. El extremo B se mueve horizontalmcntc del punto B al punto B' una pequeña distancia A.

llamada acortamiento por

curvatura de la viga.

Como el nombre lo indica, el acortamiento por curvatura se debe a la flexión del eje de la viga y no a



deformaciones axiales producidas por fuerzas de tensión o de compresión. Como se ve en la figuraIO-22b. el acortamiento por

curvatura es igual a la diferencia entre la longitud inicial L de la viga recta y la longitud de la cuerda AB’ de la viga



flexionada. Desde luego, las deflexiones laterales y el acorta-miento por curvatura están muy exageradas en la figura.

282 CAPITUL010 Vigas estíticamente indeterminadas


HC. 10-22 (a) Viga simple con cargas laterales, (b) desplazamiento horizontal A en un extremo de la viga y (c) reacciones horizontales H para una viga con soportes fijos.

Acortamiento por curvatura

Para determinar el acortamiento por curvatura, consideraremos un elemento de longitud ds medida a lo largo del eje curvo de la viga (figura IO-22b). La proyección de este elemento sobre el eje horizontal tiene longitud dx. La relación entre la longitud del elemento y la longitud de su proyección horizontal se obtiene con el teorema de Pilágoras:

ids)2 = (dx)2

+ (dv?

donde dv es el incremento en la deflexión v de la viga al movemos sobre la distancia dx. Entonces.

ds « V(dx? + (dv)2 ■ dxjI +

(a)

SECCIÓN 10.6 Desplazamientos longitudinales en los extremos de una viga 283


La diferencia entre la longitud del elemento y la longitud de su pro-yección horizontal es

(b)

Introduzcamos ahora la siguiente serie binomial (véase el apéndice C):

VTT7“I+Í-7+W—• "°-40)

que converge cuando t es numéricamente menor que I. Si / es muy pequeña comparada con 1. podemos despreciar los términos que con-tienen r2, r3, etc., en comparación con los dos primeros términos. Obtenemos entonces

VI + f-= 1 + j

(10-41)

El término (dvldx? en la ecuación (b) suele ser muy pequeño com-parado con 1; por tanto, podemos usar la ecuación (10-41) con t =(<Mdxf y reescribir la ecuación (b) como

Problemas 285

PR06.103-9 Copyrighted material

10.3- 5 Una viga Afí en voladizo con soporte de longitud L sopona una carga distribuida triangular de intensidad máxima q 0 (véase la figura).

A panir de la ecuación diferencial de cuarto orden de la curva de deflexión (la ecuación de carga), obtenga las reacciones de la viga y ta ecuación de la cun a de de-flexión.

PR0B. 10.3-7

10.3- 8 Una viga AB

doblemente empotrada de longitud L

soporta una carga triangular distribuida de

intensidad máxima q 0 (véase la figura).

A partir de la ecuación diferencial de cuarto orden de la cun a de deflexión (la ecuación de carga), obtenga las reacciones de la viga y la ecuación de la curva de de-flexión.

PR08.10.3-5

10.3*4 La carga sobre una viga AB en voladizo apuntalada de lungitud L está parabólicamente distribuida de acuerdo con la ecuación q ■= qrf\ — x 2!! . 2) , como se muestra en la figura.

A partir de la ecuación diferencial de cuarto orden de la curva de deflexión (la ecuación de carga), obtenga las reacciones de la viga y la ecuación de la curva de de-

ITT

y

PR0B. 10.3-8

flexión.

10.3- 9 Un momento contrario a las manecillas del reloj Mq actúa en el centro del claro de una viga doblemente empotrada ACB de longitud L (véase

la figura).A partir de la ecuación

diferencial de segundo orden de la curva de deflexión (la ccuacióo del momento fiexionante), determine todas las reacciones de la viga y obtenga la ecuación de la curva de deflexión pura la mitad izquier-da de la viga.

Luego trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexión ante para toda la viga, marcando todas las ordenadas de importancia. Grafiquc también la curva de deflexión para toda la viga.

10.3- 7 La carga sobre una viga AB

doblemente empotrada de longitud /. está distribuida según una curva senoidal (véase la figura). La intensidad de la carga dsitribuida está dada por la ecuación q - q(> sen t txíL,

A partir de la ecuación diferencial de cuarto orden de la curva de deflexión (la ecuación de carga), obtenga las reacciones de la viga y ta ecuación de la curva de defle-xión.

PROB. 10.3-0

Problemas 287


Hidden page

10.4- 5 Determine los momentos de empotramiento (MÁ y Mg) y las luer/AN de empotramiento {RA y /?*) para una viga de longitud L que soporta una carga triangular de intensidad máxima q 0 (véase la figura). Luego dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. señalando todas las ordenadas de importancia.

10.4- 6 Una viga continua ABC con dos claros desiguales, uno de longitud L y el otro de longitud 2U soporta una carga uniforme de intensidad q (véase la figura).

Determine las reacciones RA . RB

y R c para esta viga. Dibuje también los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. marcando todas las ordenadas importantes.

PflOB. 10.4-7

10.4- 8 La

PROB. 10.4-6

Problemas 289


viga ABC mostrada en la figura tiene rigidez por flexión El

= 4.0 MNm*. Cuando se le aplican las cargas, el apoyo B se asienta vcrticalmcntc una dis

tancia de 6.0 mm.

Calcule la reacción RN

en el soporte B.

1CL4-7 La viga ARC está empotrada en el soporte A y descansa (en el punto B) sobre el punto medio de la viga DE (véase la primera parte de la figura); es decir, la viga ABC puede entonces representarse como una viga en voladizo apuntalada con un voladizo BC y un apoyo clástico lineal de rigidez k en el punto B

(véase la segunda parte de la figura).

La distancia de A a B es /. *

Problemas 291


10 pies, la distancia de B a C es IJl - 5 pies y la longitud de la viga DE es L = 10 pies. Ambas vigas tienen la misma rigidez por flexión El. Una carga concentrada P - 1 700 Ib actúa en el extremo libre de la viga ABC.

Determine las reacciones RA . RH y MA para la viga ABC. Dibuje también los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga ABC. mostrando todas las ordenadas de consideración.

PR0B. 10.4-8

Hidden page

Hidden page*10.4-17 La viga AB en voladizo mostrada en la figur

a está hecha con un perfil S 6 X 12.5 de


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


sección I de acero con E

= 30 X 106 Ib/pulg2. La viga

simple DE es de ma-dera con dimensiones transversa


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


les nominales de 4 pulg x 12 pulg y módulo de elast

icidad E - 1.5 x 106 Ib/ pulg2. Una baña de acero AC de


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


0.25 pulg de diámetro. 10 pies de longitud y E m 30

X 106 Ih/pulg2, sirve como colgante para unirlas. El


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


colgante se ajusta exactamente entre las vigas

antes de que la carga uniforme se aplique a la


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


viga DE.

Determine la fuerza F de tensión en el

colgante y los momentos flexionantes máximos y M n E en


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


las dos vigas debido a la carga uniforme, que tiene

intensidad q = 400 Ib/pie. (Sugerencia: como ayuda para


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


obtener el mo-mento ílcxionantc máximo en la viga

DE, dibuje los dia-gramas de fuerza cortante y momen


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


to ílcxionantc.)


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


*10.4-18 La viga AB mostrada en la figura está simpl

S6X 12.5


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


e-mente apoyada en A y B

y soportada por un resor

te de ri-gidez k en el centro del claro C. 1.a viga


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


tiene rigidez por flexión El y longitud 2L.

¿C

uál debe ser la rigidez k del resorte para que


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


el máximo momento flexionante en la viga (debi

do a la carga uniforme) tenga el valor mínimo posib


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


le? *10.4-19 La estructura continua ABC tiene un empotra-


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


miento en A, un soporte de rodillos en C y un nudo rígid

o en B (véase la figura). Los miembros AB y BC


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


tienen ca-da uno longitud L

y rigidez por flexi

ón El.

Una fuerza ho-rizontal P

actúa a la mitad de la altur


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


a del miembro AB.

a) Encuentre todas las reacciones en la

estructura, b) ¿Cuál es el momento flexionante máxim


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


o M**, en la es-tructura? (Nata: desprecie las defor

maciones axiales en el miembro AB

y considere sólo


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


los efectos de flexión.)

—-—

4 sJ*

PflOB. 10.4-19

*10.4-20 La estructura conti


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


nua ABC e*tá articulada en A y en C y el nudo en B

es rígido (véase la figura). Los miembros AB y


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


BC tiene cada uno longitud L

y rigidez por flexi

ón El.

Una fuerza horizontal P actúa a la mitad de la


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


altura del miembro AB.

a) Encuentre todas las reacciones

en la estructura,

b) ¿Cuál es el momento flexionant


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


e máximo en la estructura? (Nota: desprecie las

deformaciones axiales en los miembros AB y BC y consi


PR06.10.4-18 PflOB. 10.4-20


dere sólo los efect

os de flexión.)


7 ¡

317


/

Columnas

11.1INTRODUCCIÓN

Las estructuras

SECCIÓN 11.2 Pandeo y estabilidad 318


sometidas a cargas pueden fallar de diversas mane-ras. dependiendo del tipo de estructura, las condicio



nes de los sopor-tes. los tipos de cargas y los materiales usados; por ejemplo, el eje de un vehículo pued



e fracturarse de repente debido a ciclos repetidos de carga o una viga puede deflexionarse de forma ex



cesiva, de for-ma que ya no pueda efectuar las funciones para las que luc diseñada. Estos tipos de fall



a pueden prevenirse diseñando las estructuras de modo que los esfuerzos máximos y los desplazamiento



s máximos permanezcan dentro de límites tolerables; por tanto, la resistencia y la rigidez son factor

es importantes en el diseño, como se estudió en los capítulos anteriores.

Otro tipo de falla

(a) <b)

FIO. 11-1 Pandeo de una columna esbelta debido a una carga P óc compresión axial.



es el pandeo, tema de este capítulo. Conside-raremos de manera específica el pandeo de columnas, que son mi



embros estructurales esbeltos y alargados, cargados axialmcntc en compresión, (figura 11-la). Si un miem



bro a compresión es más bien esbelto, puede fallar por flexión o deflexionarse en forma lateral (fi-gu



ra 11 -1 b) en vez de fallar por compresión directa del material. Este comportamiento se puede evidenciar co



mprimiendo una regla de plástico o algún otro objeto esbelto. Cuando hay flexión lateral, deci-mos que



la columna se ha pu

nde

iui

o.

Bajo una carga axial creciente, las deflexiones laterales también aumentan y



la columna termina por fallar completamente.

El fenómeno del pandeo no se limita a columnas; puede pres



en-tarse en muchos tipos de estructuras y adoptar muchas formas. Cuan-do alguien se para sobre una la



ta vacía de aluminio, las paredes cilindricas delgadas se pandean bajo su peso y la lata se colapsa. Cuando



un gran puente se desplomó hace unos cuantos artos, los in-vestigadores encontraron que la falla fue caus



ada por el pandeo de una placa delgada de acero que se aplastó bajo esfuerzos de compre-sión. El pandeo



es una de las principales causas de falla en estructu-ras. por lo que siempre debe considerarse en el dise



ño la posibilidad de que ocurra.



11.2 PANDEO Y ESTABILIDAD

Para ilustrar los conceptos fundamentales de pandeo y estabilidad, analizaremos la estructura idealizada o modelo de pandeo, mostrado en la figura II-2a. Esta estructura hipotética consta de dos barras rígidas AB

y BC, cada una de longitud LI2, unidas en B por un pasador y mantenidas en posición vertical por un resorte rotatorio con rigidez

Esta estructura idealizada es análoga a la columna de la figura 11-la porque ambas tienen apoyos simples en los extremos y están comprimidas por una carga axial P: sin embargo, la elasticidad de la estructura idealizada está "concentrada" en el resorte rotatorio, mientras que una columna real puede flexionarse en toda su longitud (figura 11 - Ib).

En la estructura idealizada, las dos barras están perfectamente alineadas y la carga axial P tiene su línea de acción a lo largo del eje longitudinal (figura 11 -2a). En consecuencia, inicialmente el re-sorte no está sometido a esfuerzos y las barras están en compresión directa.

Supongamos ahora que la estructura está perturbada por alguna fuerza externa que desplaza lateralmente al punto B una pequeña distancia (figura 11 -2b). Las barras rígidas giran ángulos pequeños 0 y en el resorte se desarrolla un momento. La dirección de este momento es tal que tiende a regresar la estructura a su posición original recta, por lo cual se llama momento restitulivo. Sin embargo, al mismo tiempo la tendencia de la

fuerza axial de

compresión aumenta el(b)

Barrarígida

B

Baña rígnUj



RG. 11-2 Pandeo de una estructura idealizada que consta de dos barras rígidas y un resorte rotatorio.

•La relación gcncr.il para un resorte rotatorio c* M m faO. donde M es el momento que actúa sobre el resorte. Ar es la rigidez rotatoria del resoné y les el ángulo que gira el retarte. A vi. la rigidez rotatoria tiene unidades de momento disidida* entre un ángulo. como ll>*pulg/rad o N-m/rad. La relación análoga pora un resorte traslación*] es F ® 0A donde F cv la fuerza que actúa sobre el resorte, es la rigidez tmladoaal del resorte (o constante del resorte) y ó es el cambio de longitud del resorte A si, la rigidez tratlacíonal tiene unidades de fuerza divididas entre una longitud. tales como INpulg o N/m.

(a)

340 CAPITULO ti Columnas desplazamiento lateral. Entonces, estas

dos acciones tienen efectos opuestos: el momento restitulivo que tiende a diminuir el desplazamiento y la fuerza axial, que tiende a aumentarlo.

Consideremos ahora qué pasa cuando se elimina la fuerza perturbadora. Si la fuerza axial P es más bien pequeña. la acción del momento restitulivo prevalecerá sobre la acción de la fuerza axial y la estructura retomará a su posición inicial recta. En estas condiciones. se dice que la estructura es estable: pero, si la fuerza axial P es grande, el desplazamiento lateral del punto B aumentará y las barras girarán ángulos cada vez mayores hasta que la estructura se colapse. En estas condiciones, la estructura es inestable y falla por pandeo lateral.

Carga crítica

La transición entre las condiciones estable e inestable ocurre para un valor especial de la fuerza axial conocido como carga crítica (denotada por el símbolo P a) . Podemos determinar la carga crítica de nuestro modelo de pandeo considerando la estructura en la posición alterada (figura 11 -2b) e investigando su equilibrio.

Primero consideramos toda la estructura como cuerpo libre y sumaremos momentos respecto al apoyo A. Este paso conduce a la conclusión de que no hay reacción horizontal en el apoyo C. Luego consideramos la barra BC como cuerpo libre (figura 1 l-2c) y observamos que está sometida a la acción de las fuerzas axiales P y al momento MB en el resorte. El momento \ IB es igual a la rigidez ro-tatoria p k multiplicada por el ángulo de rotación 20 del resorte; tenemos entonces.

Mb - 2 jM

Puesto que el ángulo 0 es una cantidad pequeña, el desplazamiento lateral del punto B es OLI2; por tanto, obtenemos la siguiente ecuación de equilibrio sumando momentos respecto al punto B para la barra BC (figura I l-2c):

(b>

o. sustituyendo de la ecuación (a).

(a)

SECCIÓN 112 Pandeo y estabilidad 341


Una solución de esta ecuación es 0 = 0. que es una solución trivial y significa que la estructura está en equilibrio si es perfectamente recta, cualquiera que sea la magnitud de la fuerza P.

Una segunda solución se obtiene igualando a cero el término entre paréntesis y despejando el valor de ia carga P. que es la carga crí t ica:

(11-2)


Para el valor crítico de la carga, la estructura está en equilibrio, sin importar la magnitud del ángulo $ (siempre que el ángulo permanezca pequeño, porque establecimos esa hipótesis al deducir la ecuación b).

Por el análisis anterior, vemos que la carga crítica es la única carga para la que la estructura estará en equilibrio en la posición perturbada- Con este valor de la carga, el efecto restitulivo del momento en el resorte coincide con el efecto de pandeo de la carga axial; por tanto, la carga crítica representa la frontera entre las condiciones estable e inestable.

Si la carga axial es menor que Ppredomina el efecto del momento en el resorte y la estructura vuelve a su posición vertical después de una pequeña perturbación; si la carga axial es mayor que PCT, predomina el efecto de la fuerza axial y la estructura se pandea;

Si P P ( t . la estructura es inestable.

Con la ecuación (11-2) vemos que la estabilidad de la estructura se incrementa al aumentar su rigidez o al disminuir su longitud. Más adelante, en este capítulo, determinaremos cargas críticas para varios tipos de columnas y veremos que estas mismas observaciones también son aplicables.

Resumen

RG. 11-3 Diagrama de equilibrio para el pandeo de una estructura

idealizada.Sinteticemos el comportamiento de la estructura idealizada (figura I l-2a) conforme la carga axial P pasa de cero a un valor mayor.

Cuando la carga axial es menor que la carga

crítica (0 < P <

PK t) , la estructura está en equilibrio cuando está

^Equilibrio inestable

Equilibrio neutral

Equilibrio estable0



perfectamente recta. Como el equilibrio es estable, la estructura retorna a su posición inicial después de ser alterada. Así. la estructura está en equilibrio sólo cuando está perfectamente recta (0 = 0).

Cuando la carga axial es mayor que la carga crítica (P > Pcf), la estructura está todavía en equilibrio cuando 0 - 0 (porque está en compresión directa y no hay momento en el resorte), pero el equilibrio es inestable y no puede mantenerse. La perturbación más pequeña ocasionará que la estructura se pandee.

Con la

carga crítica (P — P a) , la estructura está en equilibrio aun cuando el punto B se desplace en sentido lateral una pequeña cantidad; en otras palabras, la estructura está en equilibrio para cualquier ángulo pequeño 0, incluido 0 = 0. Sin embargo, la estiuctura no es estable ni inestable; está en la frontera entre la estabilidad y la inestabilidad. Esta condición se llama equilibrio neutro.

Las tres condiciones de equilibrio para la estructura idealizada se muestran en la gráfica de carga axial P versus ángulo de rotación 0 (figura 11-3). Las dos líneas grises, una vertical y una horizontal, representan las condiciones de equilibrio. El punto B. donde el diagrama de equilibrio se bifurca, se llama punto de bi furcación.

344 CAPÍTUL011 Columnas


La linca horizontal para equilibrio neutro se prolonga hacia la izquierda y hacia la derecha del eje vertical porque el ángulo 0 puede ser horario o antihorario; sin embargo, la línea se prolonga solamente una corta distancia poique nuestro análisis se basa en la hipótesis de que 0es un ángulo pequeño. (Esta hipótesis es válida porque Oes realmente pequeño cuando la estructura se separa por primera vez de su posición vertical. Si el pandeo continúa y Öse vuelve grande, la línea marcada “equilibrio neutro" se curva hacia arriba, como se verá luego en la figura 11-11.)

Las tres condiciones de equilibrio representadas por el diagrama de la figura 11 -3 son análogas a las de una bola colocada sobre una superficie lisa (figura 11-4). Si la superficie es cóncava hacia arriba, como el interior de un plato, el equilibrio es estable y la bola siempre retoma al punto bajo cuando es perturbada. Si la superficie es convexa hacia arriba, como un domo, teóricamente la bola puede estar en equilibrio sobre la parte superior de la superficie, pero el equilibrio es inestable y en realidad la bola se desplaza. Si la superficie es per-fectamente plana, la bola estará en equilibrio neutro y permanecerá en el lugar que se coloque.

Como veremos en la siguiente sección, el comportamiento de una columna ideal elástica es análogo al del modelo de pandeo mostrado en la figura 11 -2. Muchos otros tipos de sistemas estructurales y mecánicos también se ajustan a este modelo.

11.3 COLUMNAS CON EXTREMOS ARTICULADOS

Comenzamos nuestra investigación de la estabilidad de columnas analizando una columna esbelta con extremos articulados (figura 1 l-5a). La columna está sometida a una carga vertical P aplicada a través del centroide de la sección transversal extrema. La columna es perfectamente recta y está hecha de un material elástico

lineal que obedece a la ley de Hookc; como se supone que no tiene imperfecciones. se llama columna ideal.

Para fines de análisis, construimos un sistema coordenado con su origen en el apoyo A y con el eje x a lo largo del eje longitudinal de la columna. El eje y está dirigido hacia la izquierda en la figura y el eje : (no mostrado) sale de la figura hacia el observador. Suponemos que el plano xy es un plano de simetría de la columna y que cualquier flexión tiene lugar en ese plano (figura 11 -5b). El sistema coordenado es idéntico al usado en nuestro análisis previo de vigas, como puede verse al girar 90° la columna en sentido horario.

RS.H-4 Bola en cquilibrio cstablc. i nestable y ncutro.


Hidden page

Si P P c t . la columna está en equilibrio inestable en posición recta y se pandeará ante la más pequeña perturbación.

Por supuesto, una columna real no se comporta de esta manera idealizada porque siempre hay imperfecciones; por ejemplo, la columna no es perfectamente recta y la carga no está justo en el centroide. A pesar de ello, comenzaremos estudiando columnas ideales porque nos permiten entender el comportamiento de las columnas reales.

Ecuación diferencial para el pandeo de columnasPara determinar las cargas críticas y las correspondientes formas dc- flexionadas de una columna ideal articulada en sus extremos (figura 11 -5a). usamos una de las ecuaciones diferenciales de la curs a de deflexión de una viga (víanse las ecuaciones 9-12a, b y c. en la sección 9.2). Estas ecuaciones son aplicables a una columna pandeada porque la columna se flexiona como si fuera una viga (figura 11 -5b).

Aunque la ecuación diferencial de cuarto orden (la ecuación de carga) y la ecuación diferencial de tercer orden (la ecuación de la fuerza cortante) son adecuadas para analizar columnas, usaremos la ecuación de segundo orden (la ecuación del momento flexionantc) porque su solución general suele ser la más simple. La ecuación del momen-to flexionante (ecuación 9-12a) es

EIvr « M

en donde M es el momento flexionantc en cualquier sección transversal. v es la deflexión lateral en la dirección y y El es la rigidez por flexión en el plano xy.

(11-3)

348 CAPÍTUL011 Columnas /h

(■> (b) (C)Copyrighted material

BG-11-5 ( Repetición).

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Solución de la ecuación diferencial

Por conveniencia al escribir la solución de la ecuación diferencial (ecuación 11-5). introducimos la notación

,- -

El

o , !P V £/

en donde k se toma siempre como una cantidad positiva. Observe que k tiene unidades del recíproco de la longitud, por lo que las cantidades como kxykL son adimensionalcs.

Con esta notación, podemos reescribir la ecuación (11-5) en la forma

v' + k ¡ v = O

De las matemáticas, sabemos que la solución general de esta ecuación es

v » C, sen kx + C¿ eos kx(II -8)

en donde Ci y C2 son constantes de integración (por evaluarse a partir de las condiciones de frontera o de extremo de la columna). Observe que el número de constantes arbitrarias en la solución (dos en este caso) concuerda con el orden de la ecuación diferencial. Observe también que podemos comprobar la solución sustituyendo la expresión para v (ecuación 11 -8) en la ecuación diferencial (ecuación 11-7) y reduciéndola a una identidad.

Para evaluar las constantes de integración que aparecen en la solución, (ecuación 11-8). usamos las condiciones de frontera en los extremos de la columna; es decir, la deflexión es cero cuando x = O yx = ¿(véase la figura 1 l-5b):

^-Equilibrio inestable

Equilibrio neutral

*

Equilibrio estable

06.11-7 Diagrama carga-deflexión para una columna ideal clástica lineal.

v<0) = 0 y v(¿)

(H-6a, b)

(11-7)

i

(a. b)

(c)

(d)

SECCIÓN 113 Columnas con entremos articulada* 351


= 0

La

pri

mer

a

con

dic

ión

da

C2

=

O,

por

lo

que

v ■ Ci sen k.x

La segunda

condición daC i sen kL ■ O

A partir de esta ecuación, concluimos que Cj = 0 o sen kL Consideremos ambas posibilidades.

Caso 1. Si la constante C\ es igual a cero, la deflexión »• también es cero (véase la ecuación c). por lo cual, la columna

permanece recta. Además, vemos que cuando C¡ es igual a cero, la ecuación (d) se cumple para cualquier valor de la cantidad kL En consecuencia, la carga axial P puede tener también cualquier valor (véase la ecuación 1 l~6b). Esta solución de la ecuación diferencial (conocida en matemáticas como solución tr iv ial) está representada por el eje vertical del diagrama carga-deflexión (figura 11-7). y da el comportamiento de una columna ideal que está en equilibrio (estable o inestable) en posición recta (deflexión nula) debido a la acción de la carga de compresión P.

Caso 2. 1.a segunda posibilidad de que se cumpla la ecuación (d) está dada por la siguiente ecuación, conocida como ecuación de pandeo:

sen W. = 0

Esta ecuación se satisface cuando kl . « 0. ir , 2ir , Sin embargo,como kL- 0 significa que P - 0. esta solución no es de interés; por tanto, las soluciones que consideraremos son:

kL = nn o (véase la ecuación

11 -6a):

(11-10)

Esta fórmula da los valores de P que satisfacen la ecuación de pandeo y da soluciones (aparte de la solución trivial) de la ecuación diferencial.

La ecuación de la curva de deflexión (de las ecuaciones c y e) es

n= 1.2.3.... (11-11)

Sólo cuando P tiene uno de los valores dados por la ecuación (11-10). es teóricamente posible que la columna tenga una forma flexionada (dada por la ecuación 11-11). Para todos los demás valores de P. la columna está en equilibrio sólo si permanece recta: por tanto, los valores de P dados por la ecuación (11-10) son las cargas críticas para esta columna.

Cargas críticas

La menor carga crítica para una columna con extremos articulados (figura 1 !-8a) se obtiene cuando n — 1:

(11-9)

1,2. 3,...

(c)

/v ft 7TX

' ~r

v = Ci sen kx



P

tí

(a)

HGl. 11-8 Formas pandeadas para una co-lumna ideal con extremos articulados: fa) columna inicialmente recta: (b) forma pandeada para n = 1 y (c) forma pandeada para n = 2.

01-12)

354 CAPITUL011 Columnas


La correspondiente forma pandeada (llamada a veces forma

modal) esirxv - Ci sen -

como se muestra en la figura 1 l-8b. La constante C, representa la deflexión en el punto medio de la columna y puede tener cualquier valor pequeño, positivo o negativo; por tanto, la parte del diagrama de carga-deflexión correspondiente a P c , es una línea recta

horizontal (figura 11-7). Entonces, la deflexión debida a la carga crítica es indefinida, aunque debe permanecer pequeña para que nuestras ecuaciones sean válidas. Arriba del punto t í de bifurcación, el equilibrio es inestable y abajo del punto R es estable.

El pandeo de una columna articulada en sus extremos en el primer modo se llama caso fundamental del pandeo de la columna.

El tipo de pandeo descrito en esta sección se llama pandeo de Euler y la carga crítica para una columna clástica ideal suele denominarse carga de Euler. El famoso matemático Lconhard Euler (1707-1783). reconocido generalmente como el más grande matemático de todos los tiempos, fue la primera persona que investigó el pandeo de una columna esbelta y determinó su carga critica (Euler publicó sus resultados en 1744); véase la referencia 11-1.

Al lomar valores mayores del índice n en las ecuaciones (11-10) y (11-11). obtenemos un número infinito de cargas criticas y formas modales correspondientes. La forma modal para n = 2 tiene dos sc- miondas. como se muestra en la figura 11 -8c. La carga crítica correspondiente es cuatro veces mayor que

n El

01-13)

ib)

(c)

RG 11-85 ye (Repetición).

SECCIÓN 11.3 Columnas con extremos articulado« 355


la carga critica para el caso fundamental. Las magnitudes de las cargas criticas son proporcionales al cuadrado de n y el número de semiondas en la forma pandeada es igual a n.

A menudo, las formas pandeadas para los modos superiores no tienen interés práctico, ya que la columna se pandea cuando la carga axial P alcanza el valor critico mínimo. 1.a única manera de obtener modos de pandeo mayores que el primero es colocando un soporte lateral a la columna en puntos intermedios, como en el punto medio de la columna mostrada en la figura 11-8 (véase el ejemplo 11-1. al final de esta sección).

Comentarios generales

En la ecuación (11-12) vemos que la carga crítica de una columna es proporcional a la rigidez por flexión El e inversamente proporcional al cuadrado de la longitud. De interés particular es que la resistencia del material mismo, representada por una cantidad tal como el límite proporcional o el esfuerzo de fluencia, no aparece en la ecuación para la carga crítica; por tanto, al incrementarse una propiedad de resistencia no se eleva la carga crítica de una columna esbelta. Ésta sólo puede elevarse incrementando la rigidez por flexión, reduciendo la longitud o proporcionando soporte lateral adicional.



H6.11-9 Secciones transversales de co-lumnas que muestran los ejes ccntnxdu- les principales con /| > /*.

La rigidez por f lexión puede incrementarse usando un material “más rígido” (es decir, un material con mayor módulo de elasticidad E) o distribuyendo el material de tal manera que se incremente el momento de inercia / de la sección transversal, de la misma forma que una viga puede hacerse mis rígida incrementando su momento de inercia. El momento de inercia se incrementa alejando el material del centroide de la sección transversal; por consiguiente, un miembro circular hueco suele ser mis económico para usarse como columna que un miembro sólido con la misma área de sección transversal.

La reducción del espesor de la pared de un miembro tubular y el incremento de sus

dimensiones laterales (mientras se mantiene constante el área de su sección transversal), también aumentan la carga crítica porque el momento de inercia se incrementa. Ahora bien, este proceso tiene un límite práctico, porque la pared misma termina por perder su estabilidad. Cuando esto sucede, se presenta el pandeo lo-calizado en forma de pequeñas corrugaciones o arrugas en las paredes de la columna. Así. debemos distinguir entre el pandeo conjunto de una columna, el cual se estudia en este capítulo y el pandeo locaI de sus partes. Este último requiere de investigaciones más detalladas y está fuera del alcance de este libro.

En el análisis precedente (véase la figura 11 -8). supusimos que el plano xy era un plano de simetría de la columna y que el pandeo tenía lugar en esc plano. La última suposición se cumple si la columna tiene soportes laterales perpendiculares al plano de la figura, de manera que la columna se ve obligada a pandearse en el plano .rv. Si la columna está apoyada sólo en sus extremos y puede pandearse en cualquier dirección, la flexión se presentará respecto al eje ccntroi- dal principal que tenga el menor momento de inercia.

Por ejemplo, considere las secciones transversales rectangular y de patín ancho mostradas en la figura 11-9. En cada caso, el momento de inercia /, es mayor que el momento de inercia l¡ , por tanto, la columna se pandeará en el plano 1-1 y deberá usarse el momento de inercia menor l 2 en la fórmula para la carga crítica. Si la sección transversal es cuadrada o circular, todos los ejes centroidales tienen el mismo momento de inercia y el pandeo puede darse en cualquier plano longitudinal.

Esfuerzo critico

Después de encontrar la carga crítica para una columna, podemos calcular el correspondiente esfuerzo crítico dividiendo la carga entre el área de la sección transversa). Para el caso fundamental de pandeo (figura 11 -8b). el esfuerzo crítico es

2 2



(11-14)

en donde / es el momento de inercia pora el eje principal respecto al cual se presenta el pandeo. Esta ecuación puede escribirse en una forma mis útil introduciendo la notación

r = ¡1V A (11-15)

en donde r es el radío de giro de la sección transversal en el plano de flexión.4 Entonces, la ecuación para el esfuerzo crítico es

7T"£ <r"“ iürr

R6.11-10 Gráfica de la curva de Euler (de la ecuación I l-lói para acero estructural con £ = 30 x 10* klb/pulg2

y <r^ = 36 kJb/pulg3.

FI6.11-11 Diagrama carga-deflexión para columnas: línea A. columna ideal elástica con deflexiones pequeñas. curva B. columna ideal clástica con grandes deflexiones; cursa C\ columna elástica con imperfecciones, y cursa />. columna ¿nelástica con imperfecciones.en donde /./res una razón adimensionaJ llamada relación de esbeltez:

(N-17)L

Relación de esbe Hez. = —r

Observe que la relación de esbeltez depende sólo de las dimensiones de la columna. Una columna larga y esbelta tendrá una gran relación de esbeltez, y por tanto, un esfuerzo crítico bajo. Una columna corta y achatada tendrá una relación de esbeltez pequeña y se pandeará bajo un esfuerzo grande. Los valores característicos de las relaciones de esbeltez para columnas reales están entre 30 y 150.

El esfuerzo crítico es el esfuerzo promedio de compresión sobre la sección transversal en el instante en que la carga alcanza su valor critico. Podemos trazar una gráfica

(11-16)«Tpi w 36 kfWpulg-'\ Cuna de Euler

10' kltvpulg:

0 50 lOO 15« 21» 250L r



de este esfuerzo como función de la relación de esbeltez y obtener una cursa conocida como cuna de Euler (figura 11-10). La curva mostrada en la figura está trazada para un acero estructural con £ = 30 X 10' klb/pulg2. La curva es válida sólo cuando el esfuerzo crítico es menor que el límite propor-cional del acero porque las ecuaciones se dedujeron usando la ley de Hooke; por tanto, dibujamos una línea Itorízonlul sobre la gráfica en el límite

proporcional del acero (supuesto igual a 36 klb/pulg') y terminamos la curva de Euler en ese nivel del esfuerzo.44

Efectos de deflexiones grandes, imperfecciones y comportamiento inelástico

Las ecuaciones para las cargas críticas se obtuvieron para columnas ideales; es decir, para columnas en las que las cargas están aplicadas con precisión, la construcción es perfecta y en las que el material obedece la ley de Hooke. En consecuencia, encontramos que las magnitudes de las deflexiones pequeñas durante el pandeo permanecen indefinidas.*44 Entonces, cuando p - p*. la columna puede tener cualquier deflexión pequeña, una condición representada por la línea horizontal marcada A en el diagrama de carga-dc- flexión de la figura 11-11 (en esta figura mostramos sólo la mitad derecha del diagrama, pero ambas mitades son simétricas respecto al eje vertical).

•EJ radio de giro se describe en la sección 12.4.••La curva de Euler no es una forma geométrica comtta A veces, equivocadamente se le llama hipérbola, pero las hiperboUt *00 gráficas de ecuaciones polinomules de segundo grado en dos variables, nuenuas que la curva de Euler es Ja gráfica de una ecuación de tercer grado en dos variables.

•••En terminología matemática, se trata de un problema lineal de valores propios. I41 carga critica es un vabr propio y In fnmva modal pandeada correspondiente es una función propia.

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Ejemplo 11-1

SECCIÓN 11.3 Columnas con extremos articulados 361


Perfiles óptimos de columnas

Por lo general, los miembros en compresión tienen las mismas sec-ciones transversales en toda su longitud, por lo que en este capítulo sólo se analizan columnas prismáticas. Ahora bien, las columnas prismáticas no son la forma óptima si se desea obtener un

peso mínimo. La carga crítica de una columna que consiste en una cantidad dada de material, puede incrementarse variando su forma de manera que la columna tenga secciones transversales mayores en las regiones donde los momentos (lesionantes son mayores: por ejemplo, considere una columna de sección transversal circular sólida con los extremos articulados. Una columna con la forma mostrada en la fi-gura 11-12a tendrá una carga crítica mayor que una columna prismática hecha con el mismo volumen de material. Como un medio para aproximar esta forma óptima, las columnas prismáticas son reforzadas a veces sobre parte de sus longitudes (figura 11 - 12b).

Consideremos ahora una columna prismática con extremos articulados libre de pandearse en cualquier dirección lateral (figura Il-13a). Supongamos también que la columna tiene una sección transversal sólida como un círculo, cuadrado, triángulo, rectángulo o hexágono (figura II-13b). Surge una pregunta interesante: para un área transversal dada, ¿cuál de estas formas hace a la columna más eficiente? O. en términos más precisos, ¿que sección transversal da la mayor carga crítica? Por supuesto, estamos suponiendo que la carga crítica se calcula con la fórmula de Eulcr P c , = ttEUV usando el momento de inercia más pequeño para la sección dada

Aunque una respuesta común a esta pregunta es "la forma circular": es fácil demostrar que una sección transversal en forma de un triángulo equilátero da una carga crítica 21% mayor que una sección circular transversal de la misma área

(a) (b)

HG. 11-12 Columnas no prismáticas.



(véase el problema 11.3-10). La carga crítica para un triángulo equilátero también es mayor que las cargas que se obtienen para las otras formas: por consiguiente, un triángulo equilátero es la sección transversal óptima (con base sók> en consideraciones teóricas). Para un análisis matemático de los perfiles óptimos para columnas, incluyendo co-lumnas con secciones transversales variables, véase la referencia11-4.

FKL 11-13 ¿Qué forma de sección transversal es la óptima para una columna prismática?

Ejemplo 11-1

SECCIÓN 11.3 Columnas con extremos articulados 363


Una columna alargada y esbelta ABC está articulada en sus extremos y es comprimida por una carga axial P (figura 11-14). La columna tiene soporte lateral en el punto medio B en el plano de la figura; sin embargo, sólo cuenta con soporte lateral perpendicular al plano de la figura en los extremos.

La columna está construida con un perfil de acero de patín ancho (W 8 X 28) con módulo de elasticidad E m 29 X 10' klb/pulg2 y límite proporcional <7p| = 42 klb/pulg:. La longitud total de la columna es L = 25 pies.

Determinar la carga permisible />F«vin

usando un factor de seguridad n • 2.5 con respecto al pandeo de Euler de la columna.

SoluciónDebido a la manera en que está

soportada, esta columna puede pandearse en cualquiera de los dos planos principales de flexión. Como primera posibilidad, puede pandearse en el plano de la figura,



en cuyo caso la distancia entre soportes laterales es L/2 = 12.5 pics y la flexión ocurre respecto al eje 2-2 (véase la forma modal de pandeo en la figura 11 -8c).

Como segunda posibilidad, la columna puede pandearse perpendicu- larmente al plano de la figura con flexión respecto al eje 1-1. Puesto que el único soporte lateral en esta dirección está en los extremos, la distancia entre soportes laterales es L = 25 pies (véase la forma modal de pandeo en la figura 1 l-8b).

Propiedades de la columna. De la tabla E-l. apéndice E, obtenemos los siguientes momentos de inercia y área transversal de una columna W 8 X 28:

/, = 98.0 pulg4 l2 = 21.7 pulg4 A = 8.25 pulg2

uvtímúaHidden pageHidden pageHidden pageHidden page

(11-28)



RLaV - ^j(11-29)

yS

LLLOL, = 2L(11-30)

i

r

'

E

I

P

"

l

\

Si conocemos la longitud efectiva de una columna (sin importar cuan complejas puedan ser las condiciones de los extrem

(11-31)

SECCIÓN 11.4 Columnas con otras condiciones de soporte 367


os), pode-mos sustituirla en esta ecuación y determinar la carga crítica; por ejemplo, en el caso de una columna empotrada y libre, podemos sustituir L

r=2L

y obtener la ecuación (11 -28).

La longitud efectiva se expresa a menudo en términos de un factor de longitud efectiva K:

L. = KL (11-32)

donde L es la longitud real de la columna. La carga crítica es entonces

p *>EI <"- 3 3 )

c r" (KL)2

El factor K es igual a 2 para una columna empotrada en la base y libre en su parte superior c igual a I para una columna articulada en sus extremos. El factor de longitud efectiva suele incluirse en las fórmulas de diseño para columnas, como se ilustrará luego en la sección 11.9.

Columna con ambos extremos empotrados en contra de la rotación

Consideremos a continuación una columna con ambos extremos empotrados en contra de la rotación (figura 1 l-17a). Observe que en esta figura usamos el símbolo estándar para el soporte empotrado en la base de la columna; sin embargo, como la columna tiene libertad de acortarse bajo una carga axial, debemos introducir un nuevo símbolo en la parte superior de la columna. Este nuevo símbolo muestra un bloque rígido que está restringido de tal manera que no es posible la rotación ni el desplazamiento horizontal, pero no así el movimiento vertical (por conveniencia, al dibujar reemplazamos a menudo este símbolo más exacto con el símbolo estándar para un empotramiento, véase la figura 11-17b. sobreentendiéndose que la columna puede acortarse).

En la figura 11-17c se muestra la forma pandeada de la columna en el primer modo. Observe que la curva de deflexión es simétrica (con pendiente cero en el punto medio) y que tiene pendiente cero en

B

0»00RG. 11-17 Pandeo de una columna con ambos extremos empotrados contra rotación.



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SECCIÓN 11.4 Columnas con otras condiciones da soporte 372

La solución general de esta ecuación es

v = C| sen kx + C2cos kx + ^(L - x) (11-39)

donde los primeros dos términos del lado derecho constituyen la so-lución homogénea y el último término es la solución particular. Es posible comprobar esta solución mediante la sustitución en la ecua-ción diferencial (ecuación 11-37).

Dado que la solución contiene tres cantidades desconocidas (C|, C2

y R). necesitamos tres condiciones de frontera, que son:

v(0) - 0v’(0) ■ 0 víL) = 0

Aplicamos estas condiciones a la ecuación (11 -39) y resultaRí R

C¡ + = 0 C,* - ^ = o C, tan kL + C2 - 0(f.g.h)

Las tres ecuaciones se satisfacen si C t ■ C2 = R = 0; en cuyo caso tenemos la solución trivial y la deflexión es cero.

Para obtener la solución por pandeo, debemos resolver las ecua-ciones (0. (?) y (h) de manera más general. Un método de solución es eliminar R de las primeras dos ecuaciones, lo que da

C,kL + C2 = 0 o C2 = -C¡kl (i)

Luego sustituimos esta expresión para C2 en la ecuación (h) y obte-nemos la ecuación de pandeo:

kL - tan kL (11-40)

La solución de esta ecuación da la carga crítica.Copyrighted material

(c)<»)

R6.11-18 Columna empotrada en la base y articulada en b parte superior.



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FUL11-19 Cargas críticas, longitudes efectivas y factores de longitud efectiva para columnas ideales.Resumen de resultados

I- as cargas críticas mínimas y las correspondientes longitudes efectivas para las cuatro columnas analizadas se resumen en la figuraII- 19.

SECCIÓN 11.5 Columnas con cargas axiales excéntricas 376


Para una columna con una carga P y excentricidad e conocidas, podemos usar esta ecuación a fin de calcular la deflexión en cualquier punto a lo largo del eje x.

El comportamiento de una columna con una carga excéntrica es bastante diferente del de una columna cargada centralmente, como puede verse comparando la ecuación (II-49) con las ecuaciones (11-13). í 11 -27) y (11 -44). La ecuacióo (11 -49) muestra que cada valor de la carga excéntrica P produce un valor definido de la deflexión, así como cada valor de la carga sobre una viga produce una deflexión definida. Por el contrario, las ecuaciones de deflexión para columnas cargadas centralmente dan la forma modal de pandeo (cuando P = P„) pero con la amplitud indefinida.

Como la columna mostrada en la figura 11-21 tiene extremos articulados. la carga crítica «cuando está cargada centralmente) es

Pe, “ (11-50)

Usaremos esta fórmula como una cantidad de referencia en algunas de las ecuaciones que v ienen.

Deflexión máxima

La deflexión máxima 8 producida por las cargas excéntricas ocurre en el punto medio de la columna (figura 11-22) y se obtiene igualando x con Lfl en la ecuación (11 -49):

o. después de simplificar.

8 = e|sec y “ l) (11-51)

Esta ecuación puede escribirse de manera ligeramente diferente reemplazando la cantidad k con su valor equivalente en términos de la carga crítica (véase la ecuación 11-50):

RG. 11-22 Deflexión máxima ¿de una columna con cargas axiales excéntricas.

SECCIÓN 11.3 Coturno® con cara» axial« «cénlrtc» 377


- ¡JL- 'hL-* LE .„o,\ El V PJ? L V P a

Rl término »dimensional kí . e* entonce*

U=irj-£- (H-53)' ' cr

y la ecuación (l l-5l) para la deflexión máxima es

'] (ii-54)

Como casos especiales, notamos los siguientes: I) La deflexión S es cero cuando la excentricidad e es cero y P no es igual a Pcl; 2)

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SECCIÓN 11.3 Coturno® con cara» axial« «cénlrtc» 379En general, un miembro estructural recto sometido a cargas de flexión y a

cargas axiales de compresión se llama viga-columna. En el caso de una columna

con cargas excéntricas (figura 11-21). las cargas de flexión son los momentos M0 —

Pe y las cargas axiales son las fuerzas P.

Momento flexionante máximo

El momento flexionante máximo en una columna cargada en forma excéntrica se

presenta en el punto medio, donde la deflexión es máxima (figura 11-22):

La manera en que varía como función de la carga axial P se muestra en la figura 11-

24.

Cuando P es pequeña, el momento máximo es igual a Pe, lo que significa que

el efecto de las deflexiones es despreciable. Conforme P se incrementa, el momento

flexionante aumenta en forma no lineal y en teoría se vuelve infinitamente grande

cuando P tiende al valor de la carga crítica. Sin embargo, como vimos, nuestras

ecuaciones son válidas sólo cuando las deflexiones son pequeñas y no pueden

usarse cuando la carga axial tiende al valor de la carga crítica. Ahora bien, las

ecuaciones anteriores y sus gráficas muestran el comportamiento general de las

vigas-columna.

V/mé, = Pe scc ^ = Pe scc

Al sustituir S de las ecuaciones (II -51) y (11-54), obtenemos

(11-55)

Otras condiciones de extremo

Las ecuaciones dadas en esta sección se obtuvieron para una columna articulada en

sus extremos, como se muestra en las figuras 11-21 y 11-22. Si una columna está

empotrada en la base y libre en la parte superior (figura 1 l-19b), podemos usar las

ecuaciones 11-51 y 11-56 reemplazando la longitud real L con la longitud

equivalente 2L (véase el problema 11.5-9). Pero las ecuaciones no son aplicables a

una columna empotrada en la base y articulada en su pane superior (figura 1 l-19d).

El uso de una longitud equivalente igual a 0.699L conduce a resultados erróneos;

más bien debemos volver a la ecuación diferencial y obtener un nuevo conjunto de

ecuaciones.

En el caso de una columna con ambos extremos empotrados sin posibilidad

de rotación (figura 11- 19c), el concepto de carga axial excéntrica que actúa en el

extremo de la columna no tiene sentido.

Los sopones resisten directamente cualquier momento aplicado en el extremo de la

columna y no se produce flexión en la columna.

RG. 11-24 Momento flexionante máximo en una columna con cargas axiales excéntricas (véanse la figura II-22 y la ecuación II -56),

(- i—)\ 2 V Per I

(11-56)

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SECCIÓN 11.6 Fórmula tte la secante para columnas 381


11.6 FÓRMULA DE LA SECANTE PARA COLUMNAS

En la sección anterior determinamos la deflexión máxima y el momento tlcxionantc máximo en una columna articulada en los extremos sometida a cargas axiales excéntricas. En esta sección investigaremos los esfuerzos máximos en la columna y obtendremos una fórmula especial para calcularlos.

Los esfuerzos máximos en una columna con cargas axiales excén-tricas se presentan en la sección transversal en que la dcflcxióo y el momento flexionanlc tienen los valores máximos; es decir, en el punto medio (figura I l-26a). En esta sección transversal actúan la fuerza de compresión P y el momento ílexionante (figura II-26b). Los esfuerzos debidos a la fuerza P son iguales a P/A, donde A es el área de la sección transversal de la columna y los esfuerzos por el momento flcxionantc M t n i A se obtienen con la fórmula de la flexión.

El esfuerzo de compresión máximo, que se presenta en el lado cóncavo de la columna, es entonces

«■—- J + ^ (11-57)

en donde / es el momento de inercia en el plano de flexión y c es la distancia del eje centroidal al punto extremo sobre el lado cóncavo de la columna. Observe que en esta ecuación consideramos que los esfuerzos de compresión son positivos, puesto que se trata de los esfuerzos importantes en una columna.

El momento ílexionante Af^, se obtiene con la ecuación (11-56). que se repite aquí:

= Pe seetmAx

(f /£)

RG. 11-26 Columna con cargas axiales excéntrica*.

(a) (b)

SECCIÓN 11 Jb Fórmula de la secante para columnas 383


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<rmlx=36kR>/pulgJ E-30X 10* klb/pulg'

30

t (klh/pulr) A20

FK.11-27 Gráfica de la fórmula de la secante (ecuación 11-59) para = 36 klh/pulg’ y £ = 30 X 10* klb/pulg*

Un caso especial se presenta cuan

do la excentricidad de la carga desaparece (e = 0), porque entonces tenemos una columna ideal con una carga aplicada centralmente. En estas condiciones, la carga má-xima es la carga crítica (P a - t tEUL j) y el esfuerzo máximo corres-pondiente es el esfuerzo critico (véanse las ecuaciones 11 -14 y 11 -16):

P„ ir 2 El n 2 E ......

” T TF"<Z/¡F

Curva de Eulcr

<I,-Puesto que ecuación da el esfuerzo en términos de rela-ción de esbeltez podemos trazarla sobre la gráfica la fórmulade la secante como la curv

a de

Eule

r

(figura 11-

27).

Supongamos

ahora que el límite proporcional del material es el mismo que el esfuerzo máximo seleccionado; o sea. 36 klb/pulg'. Trazamos entonces una línea horizontal sobre la gráfica para el valor de 36 klltfpulg2

y terminamos la curva de Eulcr en esc esfuerzo. La linca horizontal y la curva de Eulcr representan los límites de las curvas de la fórmula de la secante cuando la excentricidad e tiende a cero.

Análisis de la fórmula de la secante

La gráfica de la fórmula de la secante muestra que la capacidad de carga de

una columna decrece de manera considerable cuando la relación de esbeltez Llr aumenta, en especial en la región media de los valores Ur. Entonces, las columnas largas y esbeltas son mu-cho menos estables que

las columnas cortas y achatadas. La gráfica también muestra que la capacidad de carga decrece con una excen-tricidad t creciente; además, este efecto es un tanto mayor para las columnas cortas que para las largas.

La fórmula de la secante se obtuvo para una columna con extremos articulados, pero también puede usarse para una columna empotrada en la base y libre en su parte superior. Todo lo que se requiere es reemplazar la longitud L en la fórmula con la longitud equivalente 2L Sin embargo, como se basa en la ecuación (11-56), la fórmula de la secante no es válida para las otras condicioocs de extremo que hemos analizado.

Consideremos ahora una columna real, que inevitablemente difiere de una columna ideal debido a las imperfecciones, como la curvatura inicial del eje longitudinal, las condiciones imperfectas de los soportes y la no homogeneidad del material. Además, aun cuando se supone que la carga está centralmente aplicada, habrá excentricidades inevitables en su dirección y punto de aplicación. La extensión de esas imperfecciones varía de una columna a otra, por lo que se tiene una dispersión considerable en los resultados de las pruebas de laboratorio efectuadas con columnas reales.

Todas las imperfecciones tienen el efecto de producir flexión además de compresión directa; por tanto, es razonable suponer que el comportamiento de una columna imperfecta y centralmente cargada es similar al de una columna ideal cargada en forma excéntrica. En tales casos, la fórmula de la secante puede usarse escogiendo un valor aproximado de la relación de excentricidad ec/r2 que tome en cuenta los efectos combinados de las diversas imperfecciones; por ejemplo, un valor de la relación de excentricidad para columnas articuladas en sus extremos que se usa a menudo en el diseño de acero estructural es edr 2 = 0.25. El uso de la fórmula de la secante de esta manera para columnas con cargas centralmente aplicadas proporciona un medio racional para tomar en cuenta los efectos de las imperfecciones. en vez de considerarlos incrementando el factor de seguridad (véase la Ref. 11-5 y textos sobre pandeo y estabilidad, para un análisis más profundo de la fórmula de la secante y de los efectos de las imperfecciones).

El procedimiento de analizar una columna cargada centralmente por medio de la fórmula de la secante depende de las condiciones particulares; por ejemplo, si el objetivo es determinar la carga permisible. el procedimiento es como sigue. Suponga un valor de la relación de excentricidad edr 2 basado en resultados de pruebas, valores de códigos o experiencia práctica. Sustituya este valor en la fórmula de la secante junto con los valores de L/r . A y E para la columna real. Asigne un valor a cr^. como el esfuerzo de fluencia <r Y o el límite proporcional del material. Despeje de la fórmula de la secante la carga P m k x que produce el esfuerzo máximo (esta carga será siempre menor que la carga crítica P„ para la columna). La carga permisible sobre la columna es igual a la carga P, l l ¡ Í K

dividida entre el factor de seguridad n.El siguiente ejemplo ilustra cómo puede usarse la fórmula de la

secante pora determinar el esfuerzo máximo en una columna cuando se conoce la carga y también cómo determinar la carga cuando se da el esfuerzo máximo.

Ejemplo 11-4 ________________________________________________________________________

Una columna hecha con un perfil de acero W 14 X 82 de patín ancho (fi* guraII-28a) está articulada en sus extremos y tiene una longitud de 25 pies. La columna soporta una carga P, = 320 klb aplicada centralmente y una carga P; = 40 klb aplicada en forma excéntrica (figura 1 l-28b). La flexión tiene lugar respecto al eje 1-1 de la sección transversal y la carga excéntrica actúa sobre el eje 2-2 a una distancia de 13.5 pulg del centroide C.

a) Usar la fórmula de la secante y suponer E = 30 (XX) kib/pulg7 para calcular el esfuerzo de compresión máximo en la columna.

(a) b) Si el esfuerzo de fluencia del acero es üy = 42 klb/pulg2. ¿cuál es elfactor de seguridad con respecto a la fluencia?

(b)

(c)

RG. 11-28 Ejemplo 11-4. Columna con una carga axial aplicada excéntricamente.

A = 24.1 pulg: r = 6.05 pulg c = = 7.155 pulg

Los términos requeridos en la fórmula de la secante (ecuación 11-59) se calculan como sigue:

P 360 klb .24 "ww- “ , 4 94k,b/pu,g

££ = i1 -S =029-0r* (6.05 pulg»2 0 29 2

L = (25 pies M 12 jxilg/ptc) = 4959 r 6.05 pulg

360 klbT - 497.9 X 10

EA (30 000 kÍh/puíg-H24.1 puígí)

Sustituimos estos valores en la fórmula de la secante y obtenemos

= (14.94 klb/pu)g:K I + 0.345) = 20.1 klb/pulg: ««

Este esfuerzo de compresión se presenta a la mitad de la altura de la columna sobre su lado cóncavo (el lado derecho en la figura 1 l-28b).

nuumúu

P,« 320 klblbl . I^'1-13.5 pulg. I

40 klb

Ménsula

Columna

Soluciónal Esfuerzo máximo de compresión. Las dos cargas P, y P? que actúan como se

muestra en la figura 11-28b equivalen estáticamente a una sola carga P - 360 klb que actúan con una excentricidad e “ 1.3 pulg (figura 1 l-28c). Puesto que la columna ahora está cargada por una sola fuerza P con excentricidad e. podemos usar la fórmula de la secante para encontrar el esfuerzo máximo.

Las propiedades requeridas del perfil W 14 X 82 de patín ancho se obtienen en la tabla E-l del apéndice E:

P = 360 klb



Hidden page

Límitede resitencia

, _ Límite de estabilidad v\

mclástica

R

G

.

1

1

-

2

9

Diagrama del esfuerzo de compresión

promedio P/A versus rclación de esbeltez L/r.

Columnas largas

caso de la curva de la fórmula de la secante, el esfuerzo promedio P/A disminuye conforme nos movemos de izquierda a derecha a lo



largo de la curva (y por tanto, la carga axial P tam

bién decrece) pe-ro el esfuerzo máximo (igual al límite proporcional) permanece constante.

Por la curva de Euler vemos que las columnas largas con rela-ciones de esbeltez grandes se pandean con valores bajos del esfuerzo promedio de compresión P/A. Esta condición no

puede evitarse con un material de mayor resistencia

porque el colapso es resultado de la inestabilidad de la columna en su conjunto y no por falla del mate-rial. El esfuerzo sólo puede elevarse reduciendo la relación de esbel-tez L/r o usando un material con mayor módulo de elasticidad E.

Cuando un miembro a compresión es



muy c

o

r

t

o

,

este falla por fluencia y aplastamiento d

el material sin que intervengan considera-ciones de pandeo o estabilidad. En tal caso, podemos definir un es-fuerzo de compresión último rz^ como el esfuerzo de falla del material. Este esfuerzo establece un límite

de

resist

encia

para la co-lumna. representado por la línea AB

horizontal en la figura 11-29. El límite de resisten

cia es mucho mayor que el límite proporcional, ya que representa el esfuerzo último en compresión.

Entre las regiones de columnas cortas y largas, hay un intervalo de relaci

ones

de

esbel

tez

inter

medi

as

muy pequeño, para que domine la estabilidad clástica y muy grande para



que rijan sólo consideraciones de resistencia. Una c

olumna de longitud mediana falla por pandeo inelástico. lo cual significa que los esfuerzos má-ximos están arriba del límite proporcional cuando se presenta el pandeo. Como se rebasa el límite proporcional, la pendiente de la curva esfuerzo-deformación para el materi

al es menor que el mó-dulo de elasticidad; por consi

guiente, la carga crítica para pandeo inelástico es siempre menor que la carga de Euler (véase la sec-ción 11.8).



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Esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación para el pandeo clástico (ecuación 11 -5), excepto que en ella aparece E, en vez de £; por tanto, podemos resolverla igual que antes y obtener la siguiente expresión para la carga del módulo tangente:

ir2E,l(11-67)

Esta carga representa la carga crítica para la columna de acuerdo con la teoría del módulo tangente. El esfuerzo crítico correspondiente es

que es similar en forma a la ecuación (11-61) para el esfuerzo crítico de Euler.Como el módulo tangente £, varía con el esfuerzo de compresión <r = PIA (figura 11-31), por lo general obtenemos la carga

del módulo tangente mediante un proceso iterativo. Comenzamos csti-

Observe que el módulo tangente disminuye cuando el esfuerzo aumenta más

allá del límite proporcional. Cuando el esfuerzo es menor que el límite

proporcional, el módulo tangente es el mismo que el módulo de elasticidad E

ordinario.

De acuerdo con la teoría del módulo tangente de pandeo ine-

lástico. la columna mostrada en la figura 1 l-30a permanece recta en tanto no

se alcanza la carga crítica inelástica. En tal valor de la carga, la columna

puede experimentar una pequeña deflexión lateral (figura 1 l-30b). Los

esfuerzos de flexión resultantes se sobreponen a los esfuerzos axiales de

compresión <rA. Como la columna empieza a flexionarse desde una posición

recta, los esfuerzos de flexión iniciales representan sólo un pequeño

incremento del esfuerzo; por tanto, la relación entre los esfuerzos de flexión y

las deformaciones resultantes está dada por el módulo tangente. Como las

deformaciones varían li- ncalmentc a través de la sección transversal de la

columna, los esfuerzos de flexión iniciales también v arían Imealmcnte. por lo

cual las expresiones para la curvatura son las mismas que en el caso de flexión

lineal elástica, excepto que E, reemplaza a E:

i d2v dx‘

ocurra un pequeño aumento en el esfuerzo, la relación entre el incremento de

esfuerzo y el correspondiente incremento de deformación, está dada por la

pendiente del diagrama esfuerzo-deformación en el punto A. Esta pendiente,

igual a la pendiente de la linea tangente en A se llama módulo tangente y

se denota con E¿ entonces

(11-65)

(11-64)

E.l

(compárela con las ecuaciones 9-5 y 9-7).

Dado que el momento flexionante M - —Pv (véase la figura 1 l-30b). la

ecuación diferencial de la curv a de deflexión es

E.lv" + Pv = 0

HG. 11 *31 Diagrama de compresión esfuerzo-deformación para el material de la columna mostrada en la figura11-30.

dtrdeE,

K ■= —

(11-66)

P, - L2

7T2E,PA 2<Ur)

(11-68)

sección 11.8 Panttoo Mástico 400


RG. 11-32 Diagrama del esfuerzo crítico versus relación de esbeltez.mando el valor de Pr Esie valor de prueba, que llamaremos /»,. debe ser un poco mayor que <r p i A, que es la carga axial cuando el esfuerzo alcanza el límite proporcional. Conocida Pu

podemos calcular el esfuerzo axial correspondiente tr, = P¡/A y determinar el módulo tangente £,del diagrama esfuerzo-deformación. A continuación, asamos la ecuación (11-67) para obtener una segunda estimación de P,. Llamemos a este valor P-¿. Si P¡ es muy cercano a P¡.

podemos aceptar la carga P2 como la carga del módulo tangente; no obstante, es más probable que se requieran ciclos adicionales de iteración hasta alcanzar una carga que concucrdc con la carga del procedimiento de prueba. Este valor es la carga del módulo tangente.

En la figura 11-32 se presenta un diagrama que muestra cómo varía el esfuerzo crítico a, con la relación de esbeltez Llr. para una columna metálica característica con extremos articulados. Observe que la curva está arriba del límite proporcional y abajo de la curva de Euler.

Las fórmulas del módulo tangente pueden emplearse para columnas con diversas condiciones de soporte usando la longitud efectiva Lr en vez de la longitud real L.

Teoría del módulo reducido

La teoría del módulo tangente se distingue por su simplicidad y facilidad de aso: pero tiene problemas conceptuales porque no toma en cuenta todo el comportamiento de la columna. Para explicar la dificultad, consideraremos de nuevo la columna de la figura 1 l-30a. Cuando esta columna se separa por primera vez de la posición recta (figura 11 -30b). los esfuerzos de flexión se suman a los esfuerzos de compresión existentes PIA. Estos esfuerzos adicionales son de compresión en el lado cóncavo de la columna y de tensión en el lado convexo; por tanto, los esfuerzos de compresión en la columna resultan mayores sobre el lado cóncavo y menores sobre el otro lado.

Imaginemos ahora que el punto A sobre la curva esfuerzo-de-formación (figura 11-31) representa el esfuerzo axial PIA. Sobre el lado cóncavo de la columna (donde el esfuerzo de compresión se incrementa), el material sigue el módulo tangente £,; sin embargo, sobre el lado convexo (donde el esfuerzo de compresión disminuye). el material sigue la línea AB de descarga del diagrama esfuerzo-deformación. Esta línea es paralela a la parte inicial lineal del diagrama, de modo que su pendiente es igual al módulo clástico £. Entonces, al principio de la flexión, la columna se comporta como si estuviera hecha de dos materiales diferentes, un material de módulo £, en el lado cóncavo y un material de módulo £ en el lado convexo.

El análisis de flexión de una columna de este tipo requiere las teorías de flexión para una viga de dos materiales (secciones 6.2 y 6.3). Los resultados de tales estudios muestran que la columna se ílexiona como si el material tuviese un módulo de elasticidad entre los valores de £ y £,. Este “módulo efectivo*’ se conoce como módulo reducido £, y su valor depende no sólo de la magnitud del esfuerzo (porque E, depende de la magnitud del esfuerzo) sino también de la forma de la sección transversal de la columna. Así. el mó-


SECCIÓN 11-8 Pandeo ineiástico 401

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necesario entender ambas para desarrollar una teoría más completa y lógicamente consistente. Tal teoría fue postulada por F. R. Shan- ley en 1046 (véase la nota histórica que sigue) y se llama teoría de Shanley del pandeo ineiást ico.

La teoría de Shanley supera las dificultades de las teorías del módulo tangente y del módulo reducido, reconociendo que no es posible que una columna se pandee en forma inclástica de manera análoga al pandeo de Eulcr. En el pandeo de Eulcr se alcanza una carga crítica en que la columna está en

equilibrio neutro, representado por una línea horizontal sobre el diagrama de carga-deflexión (figura 11-33). Como ya se explicó antes, ni la carga P, del módulo tangente ni la carga P, del módulo reducido pueden representar este tipo de comportamiento. En ambos casos llegamos a una contradicción si tratamos de asociar la carga con una condición de equilibrio neutro.

En vez de equilibrio neutro, donde es posible la súbita presencia de una forma deflexionada sin cambio en la carga, debemos pensar que una columna siempre tiene una carga axial creciente. Cuando la carga alcanza la carga del módulo tangente (que es menor que la carga del módulo reducido), la flexión puede comenzar sólo si la carga continúa aumentando. En estas condiciones, la flexión puede presentarse al mismo tiempo que un aumento de la carga, con lo que disminuye la deformación en el lado convexo de la columna. Así. el módulo efectivo del material en toda la sección transversal resulta mayor que £,. de modo que es posible un incremento de la carga; sin embargo, el módulo efectivo no es tan grande como E, porque E, se basa en la inversión total de la deformación en el lado convexo de la columna. En otras palabras. E, se basa en la cantidad de inversión de deformación que existe si la columna se flexiona sin un cambio en la fuerza axial, mientras que la presencia de una fuerza axial creciente significa que la reducción en la deformación no es tan grande.

Entonces, en vez de equilibrio neutro; donde la relación entre carga y deflexión no está definida, tenemos una relación definida entre cada valor de la carga y la deflexión correspondiente. Este comportamiento se muestra por la curva marcada “teoría de Shanley" en la figura 11 -33. Observe que el pandeo comienza en la carga del módulo tangente; la carga aumenta a continuación, pero sin alcanzar la carga del módulo reducido, hasta que la deflexión se vuelve infinitamente grande (en teoría), Ahora bien, otros efectos se vuelven importantes al aumentar la deflexión y en realidad la curva termina por descender, como muestra la linca segmentada.

Numerosos investigadores y muchas pruebas han confirmado el concepto de Shanley del pandeo ineiástico; sin embargo, la carga máxima alcanzada por columnas reales (véase la curva segmentada descendiente en la figura 11-33) es sólo un poco mayor que la carga P, del módulo tangente. Además, la carga del módulo tangente se calcula con facilidad; por tanto, para fines prácticos, es razonable adoptar la carga del módulo tangente como la carga crítica para el pandeo ineiástico de columnas.

Los análisis anteriores sobre el pandeo elástico e ineiástico se basan

H6.11-33 Diagrama carga-dcflcxión para pande« elástico c ineiástico,



en condiciones idealizadas. Si bien los conceptos teóricos son importantes para entender el comportamiento de las columnas, el di-

Hidden pageuna sola página (Reí. 11-15). Shanley no sólo explicó qué estaba equivocado en las teorías aceptadas, sino también propuso una teoría que resolvió las paradojas. En un segundo artículo, cinco meses después, presentó análisis adicionales para apoyar su teoría y dio



resultados de pruebas en columnas (Rcf. 11-16). Desde esc entonces, muchos otros investigadores ban confirmado y ampliado el concepto de Stanley.

Para leer un excelente análisis del problema del pandeo de columnas, consulte los artículos de Hoff (Reís. 11-17 y 11-18) y para un

relato histórico del problema, véase el artículo de Johnston (Rcf. 11-19).

11.9 FÓRMULAS DE DISEÑO PARA COLUMNAS

En las secciones anteriores de este capítulo analizamos



la capacidad teórica de carga de columnas para pandeo elástico e inelástico. Con estos datos en mente, estamos listos para examinar algunas fórmulas prácticas que se usan en el diseño de columnas. Estas fórmulas de diseño se basan no

sólo en el análisis teórico, sino también en el comportamiento de las columnas reales, tal como se observa en las pruebas de laboratorio.

Los resultados teóricos están representados por las curvas de co-lumnas mostradas



en las figuras 11-29 y 11-32. Un procedimiento común de diseño es aproximar estas curvas en el intervalo inelástico de pandeo (valores bajos de la relación de esbeltez) por medio de fórmulas empíricas y usar la fórmula de Eulcr en

el intervalo clástico (valores altos de la relación de esbeltez). Por supuesto, hay que aplicar un factor de seguridad para obtener las cargas permisibles a partir de las cargas máximas (u obtener los esfuerzos permisibles a partir



de los esfuerzos máximos).

Los siguientes ejemplos de fórmulas de diseño de columnas son aplicables a columnas cargadas centralmente, de acero estructural, aluminio y madera. Las fórmulas dan los esfuerzos

permisibles en términos de las propiedades de la columna, como longitud, dimensio-nes de la sección transversal y condiciones de soporte. Así pues, para una columna dada, el esfuerzo permisible puede entonces obtenerse



con facilidad.*Una vez

conocido el esfuerzo permisible, podemos determinar la carga permisible multiplicándolo por el área de la sección transversal:

(11-73)

I a carga permisible

debe ser mayor que la carga real para no rebasar el esfuerzo permisible.

A menudo, la selección de una columna requiere un procedimiento iterativo o de prueba y error. Tal procedimiento es necesano siempre que no conozcamos



de antemano qué fórmula de diserto

"La* fórmula* de diserto dada* en can sección *00 muestra* de las numero*** fórmulas que se usan en lodo el mundo. Está contemplado que se usen pora la *olu- oóa de lo* problemas al final del capiculo y no deben

usarse para el di sebo práctico, el cual requiere muchas consideraciones adicionales. Véase la subsccció» intitulada "Linuüoooci" al final de esta sección.

Hidden page

SECCIÓN 11.9 Fórmulas fe diserto para columnas 417


donde la longitud efectiva KL se usa para que la fórmula sea aplicable a diversas condiciones de apoyo.

La ecuación (11 -74) es válida sólo cuando los esfuerzos en la columna son menores que el límite proporcional a#. En condiciones habituales, suponemos que el límite proporcional del acero es igual al esfuerzo de fluencia <r r : sin embargo, las secciones laminadas de acero (como las secciones de patín ancho) contienen esfuerzos residuales considerables, los cuales pueden ser tan grandes como la mitad del esfuerzo de fluencia. Para una columna con estas características. el límite proporcional se alcanza cuando el esfuerzo axial a m i % debido a la carga de compresión es igual a la mitad del esfuerzo de fluencia:

0RI4I M O.Scfj- (11-75)

Para determinar la relación de esbeltez mínima para la cual es aplicable la ecuación (11-74). igualamos <7^ a 0.5 oy y despejamos el valor correspondiente de KLIr, que se conoce como la relación de esbel tez crí t ica (compárela con la ecuación 11-63):

l j t E (11-76)"V

Si la relación de esbeltez real es igual o mayor que (KLIr^ puede usarse la fórmula de Euler para el esfuerzo máximo (ecuación 11-74). I .a relación de esbeltez crítica dada por la ecuación (11-76) determina la frontera entre el pandeo elástico y el inelástico para columnas laminadas de acero.

La ecuación (11-74) puede expresarse en forma »dimensional dividiendo entre el esfuerzo de fluencia oy y luego sustituyendo de la ecuación (11-76):

L (li.77,r V r fe

aY aytKLIrf 2(KL/r)

Esta ecuación está gradeada en la dgura l l - 3 4 y marcada como cursa de Euler .

Para la región de pandeo inelástico. donde KLIr s {KL/r) c , el esfuerzo máximo está dado por una fórmula parabólica:

- - ' - 7 ^ 3 — *(—) 01-78)oy 2(kLlr\ . r \ r /<-

Esta fórmula empírica también está dibujada en la figura 11-34. Observe que la curva es una parábola con tangente horizontal en KLIr =* 0. donde el esfuerzo máximo es igual a a Y . En la relación de esbeltez crítica (KUr) c , la curva se une suavemente con la cursa de Euler (ambas curvas tienen la misma pendiente en el punto en que se juntan). Así. la fórmula empírica proporciona una curva de diseño que se ajusta a la forma general de las curvas teóricas (figuras 11-29 y 1 1 - 3 2 ) y además es simple en su uso. La validez de la fórmula que se va a usar en el diseño se ha comprobado en numerosas pruebas.

<»■■* 1TE (KL/ri

SECCIÓN 11.9 Fórmulas de diseño para columnas 419


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Ri 11-36 Curvas características del facior de estabilidad de columna C r (columnas rectangulares de madera).

En la figura 11 -36 se muestra una gráfica del factor de estabilidad Las curs as de C r se grafican para dos valores de la relación E/F c . Observe que ambas curvas tienen pendiente cero para LJd

igual a cero y ambas curvas terminan en LJd = 50, que es el límite superior permitido por tas especificaciones. Aunque estas curvas se grafican para valores específicos de los diferentes parámetros, en general muestran como varia el facior de estabilidad con la relación de esbeltez LJd.

Limitantes

Las fórmulas para el diserto de columnas de acero, aluminio y madera que hemos mencionado, sólo deben usarse para la solución de los problemas propuestos en este texto; no se deben aplicar al diserto de columnas reales porque representan sólo una pequeña parte del proceso completo de diserto. Además de los analizados aquí, muchos factores intervienen en el diserto de columnas, por

d


SECCIÓN 11.9 Fórmulas de diseño para columnas 421

lo que se deben consultar textos sobre diserto estructural antes de diseñar una columna para una aplicación específica.

Además, todas las fórmulas de diserto presentadas en especificaciones y códigos, como las fórmulas dadas en esta sección, requieren cierta experiencia para su uso. Hay muchos casos de estructuras que "cumplían con el código" y se desplomaron o fallaron al no funcionar de manera adecuada. Satisfacer los requisitos del código no es suficiente para un diserto seguro; es esencial también la experiencia práctica en el diseño.

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Ejemplo 11-6

RG. 11-38 Ejemplo 11-6. Columna tubular de acero.Encuentre el espesor mínimo requerido /mln para una columna tubular de acero de longitud L - 3.6 m y diámetro exterior d = 160 mm que debe so-portar una carga axial P = 240 kN (figura 11-38). La columna está empotrada en su base y libre en su parte superior (use E m 200 GPa y ay * 250 MPH).

SoluciónUsaremos las

fórmulas AISC (ecuaciones 11-79 a la 11-82) al analizar esta columna. Como tiene condiciones de extremo empotrado y libre, la longitud efectiva es

U

m

K

L

~

2

(

3

.

6

m

)

-

7

.

2

m

L

--------------------

a

r

e

l

a

c

i

ó

n

d

e

e

s

b

e

l

t

e

z

c

r

í

t

i

c

a

(

e

c

u

a

c

i

ó

n

1

1

-

7

6

)

e

s(a). S5 - _125.7 (b)

V r )c v <Tt V 250 MP»

Primera prueba. Para determinar el espesor requerido de la columna, usaremos un método de prueba y error. Comencemos suponiendo un valor de prueba / = 7.0 mm. FJ momento de inercia del área de la sección transversal es entonces

/ = 77Id* -{d- 2/)4] = TjIdóOmm)4 - (146 mm)4] = 9.866 X 10'' mm4 641 J

641

Además, el área


de la

secció

n

transv

ersal y

el

radio

de giro

son A

- j[d*

- (d -

2/)J] -

j((l60

mm)*

- (146

mm)J|

- 3

365

mm:

i1 /'9.866 106 mmr

= VT =

V~le?' "S4-I5m"

Hidden pagei. ' .¿s . ; ■ 1 ------------------------- ----------j

Ejemplo 11-7 — ■—____bÜL—________

Un tubo de aluminio (aleación 2014-T6) con longitud efectiva /. - 16.0 polg está comprimido por una fuerza axial P = 5.0 klb (figura 11-39).

Determinar el diámetro exterior mínimo requerido d si el espesor t es igual a


un décimo del diámetro exterior.

Solución

Ñ - -,= ¡o

FIG. 11-39


tjcmplo 11-7. T

ubo de alumi-ni


o en compresión

.

Usaremos las fórmulus de la Aluminum Association para la aleación 20I4-T6 (ecuaciones I l-84a y b) al analizar esta columna; sin embargo, precisamos un tanteo inicial respecto a qué

fórmula es aplicable, porque cada fórmula se aplica a un intervalo diferente de relaciones de esbeltez. Supongamos que la relación de esbeltez del tubo es menor que 55. en cuyo caso usamos la ecuación (11 -84b) con K ■ 1:

= 30.7 - 0.23^) kJb/pulg:

<c)

En esta ecuación podemos reemplazar el csfucr/o permisible con el esfuerzo real P/A\ es decir, con la carga axial dividida entre el área de la sección transversal. El área de la sección transversal es

A - -7 d 2 - «/ - 2/)2] = -f[d 2

~ (0.8J)2| * 0.2827d2 id)4 '2


4 L1

Por tanto, el esfuerzo PIA es

P m 5.0 klb = 17.69 A0.2827d1

d:

en donde PÍA tiene unidades de kips por

pulgada cuadrada (klb/pulg2i y d tiene unidades de pulgadas (putg). Sustituimos en la ecuación (c) y obtenemos

= 30.7 - 0.23^) klh-'pulg2

(c)

SECCIÓN 11.9 Fórmulas de diseño para columnas


La relación de esbeltez Ur también puede expresarse en términos del diá-metro d. Encontramos primero el momento de inercia de la sección transserval y radio de giro de la sección transversal:

/ * j ^ [ d * - ( d - 2t) 4 = - ^ \ d * - (0.8d)4] = 0.0289fe/4

,;0.02898</4

0.2827«/2 = 0 3 2 0 2 d

Por tanto, la relación de esbeltez es

L m J6.0jgul£ _ 49.97 pulg f)

r 0.3202d d

donde (igual que antes) el diámeiro d tiene unidades de pulgadas.Sustituimos en la ecuación (c) y obtenemos la siguiente ecuación, en

donde d es la única incógnita:

— o-(T)

Con un pequeño rcordcnamienio de los términos, esta ecuación

resulta en 30.7d 2 - 11.4%/- 17.69 = 0de donde encontramos

d = 0.97 pulg

Este resultado es satisfactorio, siempre que la relación de esbeltez sea menor que 55. como se requiere para que la ecuación (c) sea válida. Para confirmar que CMe es el caso, calculamos la relación de esbeltez de la ecuación (f):

A «, 4997 pulg ^ 49.97 jpufc r d

0.97pulg

Por tanto, la solución es válida y el diámetro mínimo requerido es

dm= 0.97 pulg

iLm

\ A V 0.

17.69

capítulo 11 Gokflms


hr :ir»

Un paste de madera de sección transversal rectangular (figura 11*40). está construido de madera de pino Don g las que tiene un esfuerzo de diseño a la compresión de F< = 11 MPa y un módulo de elasticidad £ = 13 GPa). La longitud del poste es L y los dimensiones de la sección lian*- venal son b y h. Los apoyo* en lo* extremos del poMe suministran condiciones de articulaciones en los extremos, de modo que la longitud L se transforma en la longitud efectiva L*. El pandeo puede presentarse libremente con respecto a cualquiera de k» do* eje* principales de la sección transversal. (Sola: ya que el poste está hecho de madera aserrada, la constante c es igual a 0.8 y el coeficiente K< E es igual a 0.3.)

a) Determinar la carga axial permisible Pp,™ si L = 1.8 m J * 120 mm y h = 160 mm.

b) Determinar la longitud permisible máxima Lsi la carga axial P = 100 kN. b - 120 mm y h * 160 mm.

c) Determinar el ancho mínimo b^ de la sección transversal xi la co-lumna es cuadrada. P = 125 kN y L = 2.6 m.

F16.11-40 Ejemplo 11 *8. Poste de madera en compresión.

Solucióna) Carga axial prnrúsibU. La carga permisible (de la ecuación 11-92) es

Pp* n. = FÍA = F cCtA

en donde F c = II MPa y

A m bh m (l20mmXI60 mm) • 19.2 X 10* mm:

Para encontrar el factor de estabilidad C>. calculamos primero la relación de esbeltez como sigue:

L, _ 1.8m _ .. d 120 mm

Hidden pageHidden pageHidden pageHidden page11.3- 11 Una columna ABC larga esbelta está articulada en sus extremos A y C y está

comprimida por una fuerza axial P (véase la figura). En el punto medio B cuenta con

soporte lateral para prevenir deflexión en el plano de la fi-gura. La columna está hecha con un perfil de acero de patín ancho (W

10 x 45) con E = 30 X I06 Ib/pulg2. La distancia entre soportes laterales es L ® 18 pies.

Calcule la carga permisible

P usando un factor de se-guridad n = 2.4 y tomando en cuenta la posibilidad de que el pandeo de Eulcr ocurra respecto a

cualquiera de los ejes ccntroidales principales (es decir, el eje 1-1 o el eje 2-2).

PROB. 113-11

11 -3-12 El techo de vidrio sobre el recibidor de un mu-sco está soportado por medio de cables pretensado

v En un nudo característico de la estructura del techo, un puntal AB está comprimido por la acción de fuerzas de tensión F en un cable

que forma un ángulo a = 75° con el puntal (véase la figura). El puntal es un tubo circular de aluminio (£ = 72 GPa) con diámetro

exterior d 2 58 50 mm y diámetro interior d\ m 40 mm. El puntal tiene 1.0 m de largo y se supone articulado en sus dos extremos.

Determine la

fuerza permisible F en el cable usando un factor de seguridad n • 2.5 con respecto a la carga crítica.

11.3- 1

3 En la figura se muestra el dispositivo izador para un gran tubo. El separador es una sección tubular de acero con diámetro

exterior de 2.75 pulg y diámetro interior de 2.25 pulg. Su longitud es de 8.5 pies y su módulo de elasticidad es de 29

X 10* lh/pulg2.

Con base en un factor de seguridad de 2.25 con res-pecto al pandeo de Euler del separador, ¿cuál es el

peso máximo de tubo que puede levantarse? (Suponga condi-ciones articuladas en los extremos del separador.

)

\ F

Cable

113-14 Un puntal de

aluminio (E ■ 72 GPa) articulado en sus extremos

F —Separador B

i-----------------BT- Z3

PROS. 113-13

con longitud L = 1.8 m está construido con un tubo circular de diámetro exterior d = 50 mm (véase la figura). El

puntal debe resistir una carga axial P = 18 kN con un factor de seguridad n - 2.0 con respecto a la carga crítica.

Determine el espesor / requerido para el tubo.

Qf

d = 50 mm

PR0B. 11.3-14

113-15 La sección transversal de una columna construida con dos vigas I de acero (secciones S 6 X 17.25) se muestra en la

figura. Las vigas están unidas mediante barras espadadoras, o de enlace . para garantizar que actúen conjunta

mente como una sola columna (en la figura, el enlace está representado con líneas segmentadas).

Se

supone que la columna tiene extremos articulados y que se puede pandear en cualquier dirccdón. Suponga E = 30 x

106 lb/pulg2 y L = 27.5 pies y calcule la carga crítica P<r para la columna.

S 6 X 17.25

Columnas con otras condiciones de soporte


PR0B. 11.3-17

>•-4 puljHpftoe. 113-15

11.3- 16 La armadura ABC mostrada en la figura soporta una carga vertical W en el nudo B. Cada miembro es un tubo de acero circular esbelto <£ - 200 GPa) con diáme-tro exterior de 100 mm y espesor de pared de 6.0 mm. La distancia entre soportes es 7.0 m. El nudo B está restringido contra desplazamiento en sentido perpendicular al plano de la armadura.

Determine el valor critico Wcr de la carga.

PR08.11.3-16

11.3- 17 Una armadura ABC soporta una carga Wrcn el nudo B. como se muestra en la figura. La longitud L x del miembro AB es fija pero la longitud del puntal BC varía al cambiar el ángulo A El puntal BC tiene una sección transversal circular sólida. El nudo B está restringido contra desplazamiento en sentido perpendicular al plano de la armadura.

Suponga que la falla se presenta por pandeo de Euler en el puntal y determine el ángulo 0 para tener peso mínimo en el puntal.

Los problemas de la sección 11.4 deben resolverte usan • do las hipótesis de columnas ideales, esbeltas . prismáti cas y linealmente elásticas (pandeo de Euler). El pandeo se manifiesta en el plano de la

figura, a menos que se in dique otra cosa.

11.4- 1 Una columna tubular de aluminio (E m 10 400 klb/pulg2) con longitud L = 10.0 pies tiene diámetros interior y exterior d¡ ■ 5.0 pulg y d 2 = 6.0 pulg, respectivamente (véase la figura). I-a columna está soportada sólo en los extremos y puede pandearse en cualquier dirección.

Calcule la carga critica P„ para las siguientes condi-ciones de extremo: 1) articulada-articulada: 2) empocrada- libre; 3) cmpotrada-articulada y 4) empotrada-empotrada.

11.4- 2 Resuelva el problema anterior para una columna tubular de acero <£ = 210 GPa) con longitud L = 1.2 m. diámetro interior d x • 36 mm y diámetro extenor d 2 = 40 mm.

11.4- 3 Una columna de acero (£ = 30 x 10* lb/pulg2) hecha con un perfil

W 12 X 87 de patín ancho (véase la

figura) tiene longitud L m 28 pies. Está soportada sólo en los extremos y puede pandearse en cualquier dirección.

Calcule b carga permisible con base en la carga critica y usando un factor de seguridad n = 2.5.

Considere las siguientes condiciones de extremo: I) articubda-articulada; 2) empotrada-libre: 3) empotrada-ankulada y 4) cmpotrada-empotrada

PR06S. 11.4-3 y 11.4-4

11.4- 4 Rcsuclva cl problcma anterior para un pcrfil W 10 X 60 con longitud L • 24 pies.


PR0BS. 114-1 y 11.4-2

Hidden page

Problemas 343

PR0BS. 115-3 al 11.5-5


60 kN que actúa en el punto medio de un lado de la sección transversal (véase la figura).

Suponga que el módulo de elasticidad E es igual a 210 GPa. que la barra tiene ambos extremos articulados y calcule la deflexión máxima S y el momento flexionante máximo

Columnas con cargas axiales excéntricas

Al resolver los problemas de la sección 11.5 . suponga que la flexión se presenta en el plano principal que contiene la carga axial excéntrica.

11.5- 1 Una barra de aluminio con sección transversal rectangular (2.0 pulg X 1.0 pulg) y longitud L « 30 pulg está comprimida por cargas axiales que tienen una resultante P - 2 800 Ib que actúa en el punto medio del lado largo de la sección transversal (véase la figura).

Suponca que el módulo de elasticidad E es igual a 10 X l(f llVpulg- y calcule la

deflexión máxima ¿de la barra y el momento flexionante máximoPR0B.11-5-2

113-3 Determine el momento flexionante M en la columna con extremos articulados y con cargas axiales excéntricas mostrada en Ka figura. Trace luego el diagrama de momento flexionante para una carga axial P = 0.3/^

Nota: expreso el momento en función de la distancia x desde el extremo de la columna y grafique el diagrama en forma adimensional con MI Pe como ordenada y x/L como abscisa.

A(a)

(b)PR08.11.4-11

PR0B. 11.5-1

11.5- 2 Una barra de acero con sección transversal cua-drada (50 mm X 50 mm) y longitud L - 2.0 m está com-primida por cargas axiales que tienen una resultante P =

fe

&

Problemas 345

PR0BS. 115-3 al 11.5-5


Hidden page115-11 Resuelva el problema anterior para una columna de aluminio con b ~ 6.0 nulg, / - 0.5 pulg. P - 30 klb y £ = 10.6

X 10* klh/pulg*. La deflexión en la paite superior está limitada a 2.0 pulg.

115-12 Un poste AH de acero de

sección transversal circular hueca está empotrado en la base y libre en la pane superior (véase lu figura). Los diámetros interior y

exterior son d x -96 mm y d> - 110 mm. respectivamente, y la longitud L » 4.0 m.

Un cable CBD pasa por un dispositivo soldado

Problemas 347

PR0BS. 115-3 al 11.5-5


a un lado del poste. La distancia entre el plano del caWc (plano CBD) y el eje del poste es e = 100 mm y los ángulos entre el

cable y el suelo son a - 53.13°. El cable está pretcnsa- do por rotación de los templadores.

Si la deflexión en la pane superior

del poste está limitada a 6 = 20 mm. ¿cuál es la fuerza de tensión T permisible máxima en el cable? (Suponga E - 205 GPa.)

Problemas 349

PR0BS. 115-3 al 11.5-5


115-13 La estructura ABCI) está hecha con perfiles de acero de patín ancho (W 8 x 21: £ = 30 x 10° lb/pulg2) y está sometida

e m 100 mm

PR08.11.5-12

a cargas triangulares distribuidas de intensidad máxima q 0 que actúan a lo largo de los miembros verticales (véase la figura).

La distancia entre soportes es L = 20 pies y la altura del marco es h -* 4 pies. Los miembros están rígidamente conectado

Problemas 351

PR0BS. 115-3 al 11.5-5


s en B y C.

a) Calcule la intensidad de la.carga q i t requerida para producir un momento flexionante máximo

de 80 klb-pulg en el miembro horizontal BC.

b) Si la carga q 0 se reduce a la mitad del valor calculado en el inciso a. ¿cuál es el

momento flexionante máximo en el miembro BC! ¿Cuál es la razón de este momento al momento de 80 klb-pulg en el inciso a?

I—iSección £-

£

PROS. 115-13

Fórmula de la secante

Al resolver los problemas

A

Problemas 353

PR0BS. 115-3 al 11.5-5


de la sección 11.6. suponga que la flexión se presenta en el phno principal que contiene la carga axial excéntrica

.

115-1 Una barra de acero tiene sección transversal cuadrada de ancho b = 2.0 pulg (véase la figura). 1.a barra

tiene sopones articulados en sus extremos y 3.0 pies de longitud. Las fuerzas axiales que actúan en el extremo

de la barra tienen una resultante P - 20 klb localizada a una distancia e = 0.75 pulg del centro de la sección trans-versal. El módulo de

Problemas 355

PR0BS. 115-3 al 11.5-5


elasticidad del acero es de 29 000 klhípulg*.

a) Determine el esfuerzo de compresión máximo

en la barra.

b)

Si el esfuerzo permisible en el acero es de 18 000 IWpulg2. ¿cuál es la longitud máxima permisible de la barra?

PR08S. 11.6-1 al 11.8-3

11.6- 2 Una barra de latón (£ = 100 GPa) con sección transversal cuadrada está sometida a fuerzas axiales cuya resultante P actúa a

Problemas 357

PR0BS. 115-3 al 11.5-5


una distancia r del centro (véase la figura). La barra está soportada con seguros en sus extremos y tiene 0.6 m de longitud.

La dimensión lateral b de la barra es de 30 mm y la excentricidad c de la carga es de 10 mm.

Si el esfuerzo permisible en el latón

es de 150 MPa.¿cuál es la

fuerza axial permisible P v c i m ' !

Hidden page

Problem«359

PR0BS. 11.6-13 y 116-14


11.6- 9 Una columna de acero (E = 30 X 10' klb/pulg2) empotrada en la base y libre en la parte superior, está construida con un perfil W 8 X 35 de patín ancho (véase la figura). 1.a columna tiene 9.0 pies de longitud. La fuerza P que actúa en la pane superior de la columna tiene una ex-centricidad e • 1.25 pulg.

a) Si P = 40 klb. ¿cuál es el esfuerzo de compresión máximo en la columna?

b) Si el esfuerzo de fluencia es de 36 kllVpulg2 y el factor requerido de seguridad con respecto a la fluencia es de 2.1. ¿cuál es la carga permisible Pp«™?

P908S. 11.6-9 y 11.6-10

11.6- 10 Una columna de acero hecha con un perfil W I2 X 50 de patín ancho de longitud L - 12.5 pie* está empotrada en su hasc y libre en su parte superior (véase la figura). La carga P que actúa sobre la columna tiene que aplicarse centralmente pero debido a las imperfecciones inevitables durante la construcción, se especifica una relación de excentricidad de 0.25. Se proporcionan los siguientes datos: E - 30 X 101 klh/pulg*. oy - 42 klb/pulg2 y P - 70 klb

a) ¿Cuál es el esfuerzo de compresión máximo en la columna?

b) ¿Cuál es el factor de seguridad n con respecto a la fluencia del acero?

11.6- 11 Una columna con extremos articulados con longitud L - 18 pies está construida con un perfil W 12 X 87 de patín ancho (véase la figura). La columna está sometida a una carga centralmente aplicada P, = 180 klb y a una carga excéntricamente aplicada P : « 75 klb. La carga Pj actúa a una distancia .v - 5.0 pulg del centroide de la sección transversal. Las propiedades del acero son E = 29 000 kltVpulg2 y ay = 36 klh/pulg*.

a) Calcule el esfuerzo máximo de compresión en la columna-

b) Determine el factor de segundad con respecto a la fluencia.PflOBS. 116-11 y 11.6-12

11.6- 12 La columna de patín ancho mostrada en la figura con extremos articulados soporta dos cargas, una fuerza Pi * 100 klb que actúa en el centroide y una fuerza P3 = 60 klb que actúa a una distancia s = 4.0 pulg del centroide. La columna está hecha con un perfil W 10 x 45 con L « 13.5 pies. £ - 29 X 10* klb/pulg‘ y <r r ~ 42 klb/pulg2.

a) ¿Cuál es el esfuerzo de compresión máximo en la columna?

b) Si la carga P t permanece con el valor de 100 klb. ¿cuál es el valor

Columna de

patín ancho

Sección A-A

permisible máximo de la carga P : para tener un factor de seguridad de 2.0 con respecto a la fluencia?

11.6- 13 Una columna hecha con un perfil W 14 X 53 de patín ancho de longitud £ = 15 pies está empotrada en la base y libre en la parte superior (véase la figura). La co-lumna soporta una carga centralmente aplicada P, - 120 klb y una carga P 2 = 40 klb soportada sobre una ménsula. La distancia del centroide de la columna a la carga P2 es 5 - 1 2 pulg. El módulo de elasticidad es E = 29 (XX) klb/ pulg' y el esfuerzo de fluencia es tr r - 36 klb/pulg2.

a) Calcule el esfuerzo máximo de compresión en la columna.

b) Determine el factor de segundad con respecto a la fluencia.

HSección A-A

Hidden pageHidden pageHidden page11 .#-30 Un poste de madera de sección transversal rec-tangular (véase la figura) está

construido con madera de pino del sur de grado estructural (F c = 14 MPa, E = 12 GPa).

1.a* dimensiones transversales del poste (dimensiones reales) son b = 100 mm y h = 150 mm.

Dete

rmine la carga axial permisible P^ t„ para cada una de las siguientes longitudes: L * 1.5 m. 2.0 m y 2.5 ra.

11.9- 31 Una columna de madera de sección transversal rectangular de 4 pulg X 8 pulg (véase la figura), está

construido con madera de pinabete de grado estructural (F c = 1000 Ib/pclg3. F. = I 300 000 lh/pulg*). Las dimeo-

siones transversales netas de la columna son b = 3.5 pulg y h = 7.25 pulg (véase el apéndice F).

Determine la

carga axial permisible P^^ para cada una de las siguientes longitudes: /. * 6 pies, 8 pies y 10 pies.

11.9- 3

2 Una columna de madera de sección transversal rectangular (véase la figura), está construida con madera de pino

Douglas de grado estructural (FK = 12 MPa, £ = 10 GPa). Las dimensiones transversales de la columna (di-mensione

s reales) son b = 140 mm y h ~ 210 mm.

Determine la carga axial permisible Pp^ para cada una de la» ¡siguiente

s longitudes: L ** 2.5 m. 3-5 m y 4.5 m.

11.9- 33 Una columna cuadrada de madera con dimensio-nes

laterales b ( véase la figura), está construidu con pino Douglax de grado estructural para el cual F c m l 700 lh/pulg: y

£ = 1 400 000 Itvpulg2. Una fuerza axial P = 40 klb actúa sobre la columna.

a) Si lo dimensión b = 5.5

pulg, ¿cuál es la longitud permisible máxima /-«*» de la columna?

b) Si la longitud L = 11 pies, ¿cuál es la

dimensión b mínima requerida?11.9- 34 Una columna cuadrada de madera con dimensio-nes laterales b (véase la

figura), está construida con pino del sur grado estructural para el cual F c « 10.5 MPa y £ = 12 GPa. Una fuerza axial P =

200 kN actúa sobre la columna.

a) Si la dimensión b = 150 mm. ¿cuál es la longitud permisible máxima de la

columna?b)

Si la longitud L = 4.0 m, ¿cuál es la dimensión b mínima requerida'7

11.9- 35 Una columna

cuadrada de madera con dimensio-nes laterales b (véase la figura), está construida con abeto de grado estructural para el

cual F c - 900 lb/pulg* y £ - l 500 000 Ib/pulg2. Una fuerza axial P * 8.0 klb actúa so-bre la columna.

a)

Si la dimensión b = 3.5 pulg. ¿cuál es la longitud permisible máxima Lm*x de la columna?

b) Sí la longitud L

a 10 pies, ¿cuál es la dimensión b mínima requerida?

11.9- 38 Una columna cuadrada de madera con dimensio-

nes laterales b (véase la figura), está construida con pino blanco del este de grado estructural para el cual F t = 8.0 MPa y

£ - 8.5 GPa. Una fuerza axial P ** 100 kN actúa sobre la columna.

a) Si la dimensión b = 120 mm. ¿cuál es la

longitud permisible máxima de la columna?

b) Si la longitud L = 4.0 m. ¿.cuál es la dimensión bm ( n mínima

requerida ?

mi

reoes. 11.9-33 al 11S-38

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SECCIÓN 12.3 Centroides de áreas compuestas 375

«mtmúa


Por último, podemos obtener las coordenadas x y y del centroide C del área compuesta (figura 12-6b) de las ecuaciones <!2-7a) y (12-7b):

Ejemplo 12-2

La sección transversal de una viga de acero está hecha con una sección W 18 X 71 de patín ancho, con una cubreplaca de 6 pulg X 1/2 pulg soldada al patín superior y una sección en canal C 10 X 30 soldada al patín inferior (figura 12-8).

Localizar el centroide C del área de la sección transversal.

FIG. 12-8 Ejemplo 12-2. Centroide de un área compuesta.

- _ Q x _ b <LA •V = T

FIO. 12-7 Áreas compuestas con un recorte y un orificio.

(b)

Un procedimiento similar puede usarse para áreas más complejas, como se ilustra

abajo en el ejemplo 12-2.

Nota 1: cuando un área compuesta se divide en sólo dos partes, el centroide

del área total se encuentra sobre la línea que une los centroides

partes (según se muestra en la figura 12-6b para el área en forma de L).

Nota 2: al usar las fórmulas para áreas compuestas (ecuaciones 12-6 y 12-7)

podemos considerar la ausencia de un área por medio de una resta. Este

procedimiento es útil cuando se tienen recortes o orifi

consideremos el área mostrada en la figura l2-7a. Podemos analizarla como un área

compuesta restando las propiedades del rectángulo interno

correspondientes del rectángulo externo abed (desde otro punto de vista, podemos

pensar que el rectángulo extemo es un “área positiva” y el rectángulo interno un

"área negativa”).

De manera similar, si un área tiene un orificio (figura l2-7b), podemos restar las

propiedades del área del orificio de las del rectángulo externo (de nuevo, se obtiene

el mismo efecto si tratamos el rectángulo extemo como un "área positiva” y el

orificio como un "área negativa”).

bt + c2 - i2 2(b

+ c - I)

376 CAPITULO 12 Repaso de centroides y momentos de inercia


Placa ,6 pulg X y pulg-^C|

W IX x 71

F I C . 1 2 -8 «Repetición).Solución

Denotemos las áreas de la cubrcplaca, la sección de patín ancho > la sección en canal como las áreas A,. A 2 y Ay respectivamente. En la figura 12-8. los

centroides de estas tres áreas se designan C,, Cj y Cy Observe que el área compuesta tiene un eje de simetría, de suerte que todos los centroides se encuentran sobre ese eje. Las tres áreas parciales son

Ai (6 pulgJlO.5 pulg) - 3.0 pulg: A 2 » 20.8 pulg* áj - 8.82 pulg2

en donde las áreas A2>'A* se obtienen de las tablas E-l y E-3 del apóixücc E.Coloquemos el origen de los ejes x y y en el centroide C 2 de la sección de

patín ancho. Entonces las distancias del eje x a los centroides de las tres área son:

18.47 pulg 0.5 pulg A «o«Xi" m 9.485 pulg

y2 = 0 Jj * —4- 0.649 pulg = 9.884 pulg

en donde las dimensiones pertinentes de las secciones de patín ancho y en canal se obtienen de las tablas E-1 y E-3.El área A y el momento estático QÁ de Unía la sección transversal se obtienen de las ecuaciones <l2-6a) y <!2-6h>:

A - +4t + 4jr— I

= 3.0 pulg2 + 20.8 pulg? 4- 8.82 pulg* 32 62 pulg'

nQ, - - y. 4.+ yí a i + f iAi

= (9.485 pulgjO.O pulg*) + 0 - (9.884 polgK8.82 pulg2)

= -58.72 pulg’

Ahora podemos obtener la coordenada y para el centroide C del área compuesta con la ecuación (12-7b>:

- 58.72 pulg? = 32.62 pulg-

Como v es positiva en la dirección positiva del eje y, el signo menos significa que el centroide C del área compuesta está debajo del eje x% como se muestra en la figura 12-8. La distancia r entre el eje .x y el centroide C es entonces

c = 1.80 pulg

Observe que la posición del eje de referencia (el eje J:) es arbitraria: sin embargo, en este ejemplo lo situamos pasando por el centroide de la sección de patín ancho porque de esta manera se simplifican algo los cálculos.

LT

C2

c

C 10X30

1.80 pulg

SECCIÓN 12.4 Momentos de inercia de ¿reas planas 377


12.4 MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS PLANAS

Los momentos de inercia de un área plana (figura 12-9) con respecto a los ejes x y y, respectivamente, están definidos por las inte-grales

/, - jx 2dA (12-9a. b)

en donde x y y son las coordenadas del elemento diferencial de área dA. Como el elemento dA se multiplica por el cuadrado de la distancia al eje de referencia, los momentos de inercia también se llaman segundos

momentos de

área. Asimismo, vemos que los momentos de inercia de las áreas (a diferencia de los

momentos estáticos) siempre son cantidades positivas.

Para ilustrar cómo se obtienen los momentos de inercia por inte-gración. consideraremos un rectángulo de ancho b y altura h (figura 12-10). Los ejes x y y tienen su origen en el centroide C. Por conveniencia, usamos un elemento diferencial de área dA en forma de una franja horizontal delgada de ancho h y altura dy (por lo que, dA = b dy) . Puesto que todas las partes de la franja elemental están a la misma distancia del eje x. podemos expresar el momento de inercia l x con respecto al eje x como:

(a)De manera similar, podemos usar un elemento de área en forma de una franja vertical con área dA m hdx y obtener el momento de inercia con respecto al eje y:

(b)

Si se selecciona un conjunto diferente de ejes, los momentos de inercia tendrán valores diferentes; por ejemplo, considere el eje BB en la base del rectángulo (figura 12-10). Si se toma este eje como referencia, debemos definir y como la distancia coordenada de esc eje al elemento de área dA. Entonces, los cálculos para el momento de inercia son

(c)

Observe que el momento de inercia con respecto al eje BB es mayor que el momento de inercia con respecto al eje x centroidal. En general. el momento de inercia aumenta conforme el eje de referencia se mueve paralelamente a sí mismo alejándose del centroide.

¡BB

378 CAPITULO 12 Repaso de centroides y momentos de inercia


El momento de inercia de un área compuesta con respecto a cualquier eje particular es la suma de los momentos de inercia de sus partes con respecto al mismo eje. Un ejemplo es la sección en caja

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SECCIÓN 12.9 Ejes principales y momentos de inercia principales 381

par de ejes ortogonales para los cuales los momentos de inercia son un máximo y un mínimo; 2) la orientación de los ejes principales está dada por el ángulo 0P obtenido con la ecuación (12-30); 3) el producto de inercia es cero para los ejes principales y 4) un eje de simetría siempre es un eje principal.

y

\ /o

b - • — b

R6. 12-25 Rectángulo pura el cual cada eje (en el plano del área) que pasa por el punto O es un eje principal.

RG. 12-26 Ejemplos de áreas para lus cuales cada eje centroidal es un eje principal y el centroide C es un punto principal.Puntos principales

Consideremos ahora un par de ejes principales con origen en un punto dado O. Si existe un par diferente de ejes principales a través de esc mismo punto, entonces cada par de ejes por esc punto es un conjunto de ejes

principales. Además, el momento de inercia debe ser constante al cambiar el ángulo 0.

Estas conclusiones se derivan de la naturaleza de la ecuación de transformación para /,, (ecuación 12-25). Como esta ecuación contiene funciones trigonométricas del ángulo 20. hay un valor máximo y un valor mínimo de /,, al variar 20a través de un intervalo de 360°(o conforme 0 varía a través de un intervalo de 180°). Si hay un segundo máximo, entonces la única posibilidad es que /,, permanezca constante, lo que significa que cada par de ejes es un conjunto de ejes principales y todos los momentos de inercia son los mismos.

Un punto localizado de tal manera que cada eje a través del punto sea un eje principal —y por consiguiente, los momentos de inercia sean los mismos para lodos los ejes a través del punto—. se llama punto principal.

Un ejemplo de esta situación es el rectángulo de ancho 2b y altura h de la figura 12-25. Los ejes xy, con origen en el punto O. son ejes principales del rectángulo porque el eje y es un eje de simetría.Los ejes x'y ' con el mismo origen, también son ejes principales porque el producto de inercia /, • y ■ es igual a cero (ya que los triángulos están situados simétricamente con respecto a los ejes x’ y >•'). Se infiere que cada par de ejes que pasa por O es un conjunto de ejes principales y que cada momento de inercia es el mismo (igual a 2b*fi); por lo tanto, el punto O es un punto principal para el rectángulo. (Un segundo pumo principal se encuentra donde el eje y interseca el lado superior del rectángulo.)

Un corolario útil de los conceptos descritos en los cuatro párrafos anteriores se aplica a ejes que pasan por el centroide de un área. Considere un área con dos pares

di ferentes de ejes centroidales tales que por lo menos un eje de cada par sea un eje de simetría; en otras palabras, existen dos ejes

I

Y

diferentes de simetría que no son perpendiculares entre *í. Entonces, se infiere que el centroide es un punto principal.

En la figura 12-26 se muestran dos ejemplos, un cuadrado y un triángulo equilátero. En cada caso los ejes xy son ejes centroidales principales porque su origen está en el centroide C y por lo menos uno de los dos ejes es un eje de simetría. Además, un segundo par de ejes centroidales (los ejes x’y ') tiene por lo menos un eje de simetría.Se infiere que tanto los ejes xy como los x'y ' son ejes principales; por tamo, cada eje por el centroide C es un eje principal y cada uno de tales ejes tiene el mismo momento de inercia.

Si un área tiene tres

ejes di ferentes de

simetría, aun si dos de ellos son perpendiculares, las condiciones descritas en el párrafo



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El momento principal de inercia menor, denotado con /2. puede obtenerse con la ecuación

/| + hm Ar + /y

(véase la ecuación 12-29). Sustituimos la expresión para /j en esta ecuación, despejamos l2 y resulta

(12-33b)

Las ecuaciones (12-33a) y (12-33b) suministran una manera conveniente de calcular los momentos principales de inercia. El siguiente ejemplo ilustra el método para localizar los principales ejes y determinar los momentos principales de inercia.

——il

06.12-28. Ejemplo 12-7. Ejes principales y momentos principales de inercia para una sección Z.Determinar las orientaciones de los ejes ccntroidales principales y las magnitudes de los momentos de inercia ccntroidales principales para el área transversal de la sección Z mostrada en la figura 12-28. Usar lo* siguientes datos numéricos: peralte h = 200 mm, ancho b = 90 mm y espesor / = 15 mm.

SoluciónUsemos los ejes xy (figura 12-28) como

los ejes de referencia a través del centroide C. Los momentos y producto de inercia con respecto a estos ejes pueden obtenerse dividiendo el área en tres rectángulos y usando los teoremas de los ejes paralelos. Los resultados de tales cálculos son los siguientes:

t x = 29.29 X 106

m

m4

/,

=

5.

66

7

X

1

06

m

m4

= -

9.

36

6



x

1

0

6

m

m

4

Sustituimos estos valores en la ecuación para el ángulo $ p (ecuación 12-30) y obtenemos

tan 2$ p - -T—2^ - 0.7930-218.4°

I* “ h

Entonces, los dos valores de 0 p son

6P - 19.2° y 109.2*

Al usar estos valores de 6p en la ecuación de transformación para í x % %

ecuación (12-25). encontramos /t| = 32.6 X 106 mm4 y 2.4 X 106 mm4, respectivamente. Estos mismos valores se obtienen si sustituimos en las ecuaciones (12-33a) y (12-336). Entonces, los momentos principales de inercia y los ángulos a los ejes principales correspondientes son:

/, = 32.6 X 106 mm4

0P l = 19.2°

I 2 = 2.4 X 106 mm4

109.2°

Lo* eje* principales *e muestran en la figura 12-28 como los ejes xLV|.

Hidden pageHidden pageHidden page12-6-1 Determine el momento polar de inercia de un triángulo isósceles de base b y altura h

con respecto a su vértice (véase el caso 5, apéndice D).

12-6-2 Determine el

momento polar de inercia ( lF) c con respecto al centroide C de un sector circular (véase el caso 13. apéndice D).

12.6- 3 Determine el momento polar de inercia lF para una sección W 8 X 21 de patín ancho con respecto a una de sus esquinas exteriores.

12.6- 4 Obtenga una fórmula para el momento polar de inercia lF con respecto al punto medio de la hipotenusa de un

triángulo rectángulo de base b y altura h (véase el caso 6. apéndice D).

12.6- 5

Determine el momento polar de inercia

(lF)c con respecto al centroide C para el tímpano de un cuadrante circular (véase el caso 12, apéndice D).

Productos de inercia

12.7- 1 Con integración determine el producto de inercia lM y para el semisegmento parabólico mostrado

en la figura 12-5 (véase también el caso 17, apéndice D.)

12-7-2 Con integración, determine el producto

de inercia /rv para el tímpano del cuadrante circular mostrado en el caso 12. apéndice D.

12.7- 3 Encuentre

la relación entre el radio r y la distan-cia b para el área compuesta mostrada en la figura para que el producto de inercia

l t y sea cero.

PRO®.12.

7-3

12.7- 4 Obtenga una fórmula para el producto de inercia /x, del área simétrica en forma

de L mostrada en la figura.

PftOB. 12.7-4

12.7- 5 Calcule el producto de

inercia /|* con respecto a los ejes centroidales l-l y 2-2 de un ángulo L 6 X 6 x 1 pulg (véase la tabla E-4, apéndice E; desprecie

las áreas transversales de los filetes y esquinas redondeadas).

12.7- 6 Calcule el producto de inercia para el área

compuesta mostrada en el problema 12.3-6.

12.7- 7 Determine el producto de inercia /Ví con

respecto a los ejes centroidales x e y y e paralelos a los ejes x y y% respectivamente, pora el área en forma de L mostrada en el

problema 12.3-7.

Rotación de ejes

Los problemas de la sección ¡2.8 deben resolverse usando

las ecuaciones de transformación para momentos y pro - ductos de inercia.

12JM Determine los momentos

de inercia lK l c l y i y el producto de inercia lM y y para un cuadrado con lados b. como se muestra en la figura (observe que los

ejes jr,y, son ejes centroidales girados un ángulo 0 respecto a losejes xy).

398 CAPÍTULO 12 Repaso de centroides y momentos de inercia


12.8- 2 Determine los momentos y producto de inercia con respecto a los ejes *,y, para el rectángulo mostrado en la figura (observe que el eje x¡ es una diagonal del rectángulo).

V 1 " "7\\y

c X

.--------b----------i

PR06.12.8-2

12.8- 3 Calcule el momento de inercia l¿ de un perfil W 12 X SO de patín ancho con respecto a una diagonal que pasa por el centroide y por dos esquinas exteriores de los patines (use las dimensiones y propiedades dadas en la tabla E-l).

•12.8-4 Calcule los momentos de inercia lM l e /r, y el producto de inercia lM } l con respecto a los ejes para el perfil L mostrado en la figura si a = 150 mm. b = 100 mm. / “ 15 mm y 0 - 30°.

PROBS. 12.8-4 y 12.9-4

*12.8-5 Calcule los momentos de inercia /f| c /V| y el producto de inercia /ílYl con respecto a los ejes X\j\ de la sección Z mostrada en la figura, si b • 3 pulg, h - 4 pulg. / = 0.5 pulg y 8 = 60°.*12.8-6 Resuelva el

problema anterior si h • 80 mm, h = 120 mm. i = 12 mm y 0 = 30°.

Ejes principales, puntos principales y momentos de inercia principales

12.9- 1 En la figura se muestra una elipse con eje mayor de longitud la y eje menor de longitud Ib.

a) Determine la distancia c del centroide C de la elipse a los puntos principales P sobre el eje menor (eje y).

b) ¿Para qué razón ajb los puntos principales se encuentran sobre la

h2

i—»—i

PROBS. 12.8-5,12.8-6,12.9-5 y 12.9-6

399 CAPÍTULO 12 Repaso de centroides y momentos de inercia


circunferencia de la elipse? c) ¿Para qué ra/ones se encuentran dentro de la elipse?

PROB. 12.9-1

Hidden pageCopyrighted materialHidden pageHidden pagecés; enseñó ingeniería en la École des Ponts et Chaussées en París. Al parecer,

el teorema de Clapcyron. que esta-blece que el trabajo de las cargas externas

que actúan sobre un cuerpo elástico lineal es igual a la energía de deformación, se publicó por primera vez en 1833 (véanse las

referencias 1-1. pp. 118 y 288: la 1-2. vol. I. p. 578 y la 1-2. vol. II, p. 418).

2-8 Poncclct investigó las vibraciones longitudin

ales de una barra debidas a cargas de impacto (véase la referencia1- 1. p. 88). En la referencia 1 -4 se encuentra más

informa-ción sobre la vida y trabajos de Poncetei.

2- 9 Budynas. R, y Young, W. C. Roark's f ormulas for Stress

and Strain . McGraw-Hill Book Co.. Inc., Nueva York. 2002.

2-10 Barré de Saint-Vcnant (1797-

1886) suele recono-cerse como el estudioso de la elasticidad más sobresa-liente de todos los tiempos. Nació cerca de

París, estudió brevemente en la École Polytcchniquc y después se graduó en la École des Pont* el Chaussées. Su posterior

carrera profesional fue obstaculizada en gran medida debido a su rechazo, por principios morales y políticos, a unirse a sus condiscípu

los en los preparativos para la defensa de París en marzo de 1814. justo antes de la abdicación de Napoleón. Como consecuencia, sus méritos

recibieron gran reconocimiento en otros lugares, no así en Francia.

Algunas de sus contribuciones más conocidas son la formulació

n de las ecuaciones fundamentales de la elasticidad y el desarrollo de las teorías exactas de la flexión y la torsión. También elaboró

teorías para deformaciones plásticas y vibraciones. Su nombre completo fue Adéhmar Jcan Claudc Barré. Conde de

Saint-Vcnant (véanse las referencias 1-1. pp. 229-242: 1-2. vol. I. pp. 833-872. vol. II. pane I. pp. 1-286. vol. II. pane II. pp. 1-51: y referencia

2-1. pp. 39-40).

2-11 Zaslavsky. A.. "A note on Saint-Vcnant's principie", en Israel Journal of Technolo

gy, vol. 20. 1982, pp. 143-144.

2- 12 Ramberg. W. A. y Qvgood. W. R.. “Description of stress-strain

curves by thrcc parameters”, en National Adi ' isory Cotnmitiee for Aeronautas, nota técnica núm. 902. julio de 1943.

3- 1 La relación entre par y ángulo de torsión en el caso de una barra circular fue establecida correctamente en 1784 por Charles Augustin

de Coulomb (1736-1806). un célebre científico francés (véanse las referencias I-!. pp. 51-53, 82 y 92; y 1-2, vol. I. p. 69). Coulomb

hizo con-tribuciones en electricidad y magnetismo, viscosidad de fluidos, fricción, flexión en vigas, muros de retención y arcos,

torsión y vibraciones torsionalcs y otros temas (véase la referencia 1-1. pp. 47-54). Thomas Young (referencia 1-7) observó

que el por aplicado está equili-brado por los esfuerzos cortantes sobre la sección transversal y que los esfuerzos cortantes son proporcion

ales a la distancia desde el eje. El ingeniero francés Alphonsc J.C. B. Dulcau (1789-1832) realizó pruebas

sobre barras en torsión y desarrolló también una teoría para barras circulares (véase la referencia 1-1. p. 82).

C. A. de Coulomb M736-I806)

3- 2 Bredi, R.. “Kntische Bcmcrkungen /ur Drchungselas- tizitfir, en Zeitschri ft des Vereines Deutscher Ingenieure . vol. 40.

1896. pp. 785-790 y 813-817. Nota: Rudoíph Brcdt (1842-1900) fue un ingeniero alemán que estudió en Karhruhc y Zürich.

después trabajó algún tiempo en Crewe, Inglaterra, en una fábrica de trenes, ikxnde aprendió acerca del diseño y fabricación de grúas.

Esta experiencia formó la base para su trabajo posterior como fabricante de gvúav en Alemania. Su teoría de la torsión fue desarrolla

da en relación con el diseño de vigas en caja para grúas.

5-1 Una prueba del teorema de que las secciones transver-sales de

una viga en flexión puní permanecen planas, %e encuentra en la publicación de G.A.. Fa/ckas. *‘A note on thc bending of Euler

hcams". en Journal of Engineering Educarían, vol. 57. núm. 5. enero de 1967. La validez del teorema ha sido aceptada desde hace

mucho tiempo y fue usada por los primeros investigadores como Jacob Ber- noulli (referencia 1-4) y L. M. II. Navier (referencia 2-4). El

trabajo de Bernoulli y Navier en relación con la flexión de vigas puede consultarse en la referencia 1-1, pp. 25-27 y 70-75.

5-2 Galilei. Gal i Ico. Dialogues Conceming Two New Sciences, traducido del italiano y latín al inglés por Hcnry

Crcw y Alfonso De Silvio. The Macmillan Company. Nueva York. 1933 (pnmera publicación de la traducción en 1914). Nota: este

libro fue publicado en 1638 por Louis Elzevir en lucida, ahora Ixidcn. Holanda. Two NewSciences representa la culminaci

ón del trabajo de Gal íleo sobre dinámica y mecánica de materiales. Puede decirse que estos dos temas,

como los conocemos ahora, se iniciaron con Gaiileo y la publicación de este famoso libro.

Galik

o Galilei nació en Pisa en 1564. Reali/ó muchos experimentos y descubrimientos célebres, incluyen-do los

referentes a la cakla de cuerpos y el péndulo, que iniciaron la ciencia de la dinámica. Gal i Ico fue un

orador elocuente y atrajo estudiantes de muchos países. Fue pio-nero en la astronomía y perfeccionó un

telescopio con el que efectuó muchos descubrimientos astronómicos, in-cluyendo las características montaños

as de la Luna, los satélites de Júpiter, las fases de Venus y las manchas solares. Como su interpretación científica

del sistema solar era contraria a la teología, fue condenado a prisión por la Iglesia de Roma y pasó los

últimos años de su vida recluido en Florencia: durante este periodo escribió Two New

Sciences.

Gaiileo

murió en 1642 y fue sepultado en Florencia.

5-3 1.a historia de la teoría

Galileo Galilei (1564-1642)

de vigas está descrita en las referencias 1-1. pp. 11-47 y 135-141 y 1-2. Edmc Mariottc (1620-1684) fue un físico francés

que hizo descubrimientos en dinámica, hidrostática. óptica y mecánica. Realizó pruebas sobre vigas y desarrolló una teoría para

calcular capacidades de carga: su teoría fue un perfeccionamiento del trabajo de Gaiileo. aunque todavía incorrecta

. Jacob Bcmoulli (1654-1705). a quien se describe en la referencia 1-4, determinó por primera vez que la curvatura

es pro-porcional al momento flexionante: sin embargo, su constante de proporcionalidad era incorrecta

.Lcon

hard Euler (1707-1783) obtuvo la ecuación diferencial de la curva de dcfkxión de una viga y la aplicó

para resolver muchos probkmas de deflexiones pequeñas y grandes (la vida y obra de Euler se describen en la refe-

rencia 11-1). La primera persona que obtuvo la distribu-ción de esfuerzos en una viga y relacionó correctamente los

esfuerzos con el momento flexionante fue Antoinc Parcnt (1666-1716). un físico y matemático francés. Después. Saint-

Venant (1797-1886) reali/ó una rigurosa investigación de las deformaciones y esfuerzos en vigas (véase la referencia

2-10). Coulomb (referencia 3-1) y Navicr (referencia 2-4). también hicieron contribuciones importantes.

5-4 Manual of Steel Construction (AIIohxMe Stress l>esign). publicado por la American Institute of Steel Construction. Inc..

One East Wackcr Drivc, (Suite 3100), Chicago. Illinois 60601. (Para otras publicaciones c información adicional, visite el

sitio en internet: www. aisc.org.)

5-5 Aiuminum Design Manual, publicado por la Alumi- num Associatio

n. Inc., 900 19a* Street NW, Washington.D. C. 20036. (Para otras publicaciones c información adi-cional. visite el

sitio en internet: www.aluminium.org.)

5-6 National Design Speáficaium for Wood Constructum,

http://www.aluminium.org/



publicado por la American Wood Council. una división de la American Forest and Paper Avsociation. l i l i 19 Street,NW (Suite

800), Washington, D.C. 20036. (Para otras publicaciones c información adicional, visite los sitios en internet: www.a

http://www.awc.org/

wc.org. y www .afanda.org.)

5-7 D. J. Jourawski (1821-1891) un ingeniero ferroviario y de puentes ruso, desarrolló

la ahora tan difundida teoría aproximada para esfuerzo* cortante* en viga* (véase la* referencias 1-1. pp. 141-144 y 1-2. vd. II. parte 1. pp.

http://www.awc.org/

http://www.awc.org/

641-642). En 1844. sólo dos aik>* después de graduarse en el Institute of Enginccrs of Ways of Communication en San Petcrsburgo. 1c fue

asignada la tarca de diseñar y construir un gran puente en la línea ferroviaria de Moscú a San Pctcrsburgo. Observó que algunas de las grandes

vigas de madera se fnicturahan en sentido longitudinal en los centros de las secciones transversales, donde él sabía que los esfuerzos

de flexión eran nulos. Jourawski dibujó diagramas de cuerpo libre y descubrió la existencia de esfuerzos cortantes horizontales en las

vigas. Obtuvo la fórmula del cortante y aplicó su teoría a diferentes formas de vigas. La publicación de Jourawski sobre cortante en

vigas se cita en la referencia 5-8. Su nombre se trun*litcra también como Dimitrii Ivanovich Zhuravskii.

5-8 Jourawski.

D. J.. “Sur la résistance d’un corps pris- matique . . e n Annales des Ponts et Chaussées. Mémoi- res et Documcntx. 3a.

serie, vol. 12. parte 2, 1856. pp. 328-351.

5-9 Zaslavsky. A.. “On the limitations of the shearing stress formula", en

International Journal of Mechanical Engineering Education . vol. 8. núm. 1. 1980. pp. 13-19 (véase también

las referencias 2-1, pp. 358-359).

5-10 Maki. A. C. y Kuen/i. E. W.. “Deflcction and stres- ses of tapered wood teams”, en

Research Paper FPL

34,


REFERENCIAS Y NOTAS HISTÓRICAS 441

11-1 Euler. L.. "Mcthodus ínvcnicmii lineas curvas ma.ximi minimi ve proprictate pudentes . . . en apéndice I. ‘"De curvis elasticis", en Bousquet. Lausana y Ginebra. 1744 (traducción al inglés: Oldfathcr. W. A.. Ellis, C. A. y Brown. D. M.. Isis , vol. 20. 1933. pp. 72-160. También reproducido en Iconhardi Euler i Ojyera Omnia, serie 1. vol. 24. 1952). Nota : leonhard Euler 11707-1783) reali/ó muchas contribuciones notables a las matemáticas y a la mecánica y la mayoría de los matemáticos lo consideran como el matemático más fecundo de todos los tiempos. Su nombre, que se pronuncia "oiler", aparece repetidamente en los libros de texto actuales; por ejemplo, en mecánica aparecen las ecuaciones de F.uler para el movimiento de un cuerpo rígido, los ángulos de Euler. las ecuaciones de Euler para el flujo de fluidos, la carga de Euler en pandeo de columnas y mucho más; en matemáticas ene» mi ramos la conocida constante de Euler. asi como los números de Euler. lu identidad de Euler («■** = coi 0 + i sen 0 i, la fórmula Ue Euler <e‘T + I - 0). la ecuación diferencial de Euler. la ecuación de Euler para un problema variacional. la fórmula de Euler para cuadraturas. la fórmula de la sumatoria de Euler. el teorema de Euler sobre funciones homogéneas, las integrales de Euler y los cuadrados de Euler (arreglos de cuadrados de números que poseen ciertas propiedades).

En mecánica aplicada. Euler fue el primero en obtener la fórmula para la carga crítica de pandeo de una columna ideal y esbelta y el pnmeru en resolver el problema de la elástica. 5vegún se citó, su trabajo fue publicado en 1744. Estudió una columna empotrada en la base y libre en el extremo superior. Después amplió su trabajo sobre columnas (referencia 11-2). Los numerosos libros de Euler incluyen tratados sobre mecánica celeste, dinámica e hidromecánica; su* trabajos también incluyen temas corno vibraciones de vigas y placas y estructuras estáticamente indeterminadas.

En el campo de las matemáticas. Euler hizo destacadas contribuciones a la trigonometría, álgebra, teoría de núme-

Lconhard Euler(1707-1783)

ros. cálculo diferencial c integral, series infinitas, geometría analítica, ecuaciones diferenciales, cálculo de variaciones y muchos otros temas. Fue el primero en concebir los valores trigonométricos como razones de números y el primero en prevcnlar la famosa ecuación r** ■ eos í + i sen 0. En sus libros sobre matemáticas, todos lo* cuales fueron referencias clásicas para muchas generaciones, hallamos el pnmer desarrollo del cálculo variacional. además de aspectos interesantes como la demostración del "último teorema" de Fermat puni n = 3 y i» “ 4. Asimismo, resolvió el célebre

problema de los siete puentes de Königsberg, un problema de topología, otro campo en que fue pionero.

Euler nació cerca de Basilca. Suiza y asistió a la Uni-versidad de Basilca. donde tuvo por maestro a John Bcr- noulli (1667-1748). De 1727 a 1741 vivió y trabajó en San Pétersburgo, donde adquinó gran notoriedad como mate-mático. En 1741 se trasladó a Berlín por invitación de Federico el Grande. Rey de Prusia. Continuó su investigación matemática en Berlín hasta el año de 1766. cuando regresó a San Pttcrsburgo a solicitud de Catalina II. Emperatriz de Rusia.

Euler continuó en actividad hasta su muerte en San Petersburgo a la edad de 76 años; durante este penodo final de su vida escribió más de 400 trabajos. El número de libros y publicaciones escritos durante toda su vida fue de 886; dejó muchos manuscritos al morir. los que continuó publicando la Ruvdan Academy of Sciences en San Petersburgo 47 años después. Todo esto a pesar de haber perdido un ojo en 1735 y el otro en 1766. La historia de su vidu se relata en las referencias 1-1. pp. 28-30 y algunas de sus contribuciones a la mecánica se describen en la referencia l - l , pp. 30-36 (véanse también las referenciasI- 2. 1-3.2-2 y 5-3).

II- 2 Euler. L.. "Sur lu forcé des eolonnes". en Histoire de L'Aíxidémie Royale des Sciences et Relies Lettres, 1757, publicado en Memoires of the Acadcimc, vol. 13. Berlín. 1759, pp. 252-282 (véase la referencia. 11-3 para encontrar unu traducción y análisis de este artículo).

11-3 Van den Broek. J. A.. “Euler** classic paper *On the strength of columas,’" American Journal of Physics , vol. 15, mím 4. julio-agosto de 1947, pp. 309-318.

11-4 Keller, J. B.. *Thc shapc of the strongest column". en Archive for Rational Mechante% and Analysis , vol. 5. núm 4. I960, pp. 275-285.

11-5 Young. D. H.. “Rational design of steel columns". en Transactions of the American Sodety ' of Civi l Engineers, vol. 101. 1936, pp. 422-451. Nota: Donovan Harold Young (1904-1980) fue un destacado educador de ingeniería. Fue profesor en la Universidad de Michigan y luego de Stanford. Sus cinco libros de texto en el campo de la mecánica aplicada, cscriuxs con S. P. Timoshcnko, fueron traducidos a muchos idiomas y usados en todo el mundo.

11-6 limarle. A. H. E., “Mémoire sur la flexión du bois \ en Armales des Travaux Publiques de Belgique. parte I,

442 REFERENCIAS Y NOTAS HISTÓRICAS


vol. 3, 1845. pp. 1-64 y parte 2, voi. 4. 1846. pp 1-36. Noia: Aliatole Henri Emest La mark {1806-1875) fue ingeniero y profesor. Nació en Calais, estudió en París y trabajó como profesor en la Universidad de Gante. Bélgica. Para conocer sus trabajos sobre columnas, consulte la referenciaI- 1. p 208.

II- 7 Considere, A.. “Résivtance des pitees comprimécs“. en Congrés IntematUmal des Procèdi’s de Construcrion. París, septiembre 9*14. 1889, memorias publicada* por la Librairie Polytechnkjue. París, voi 3. 1891, p. 371. Nota: Armand Gabriel CoBÚdire (1841 1914) fue un ingeniero francés.

11-8 Engesser. F.. “Ueber die Knickfestigkeit gerader Stäbe“, en Zeitschri f t f l lr Architektur und Ingenie uniesen. vol. 35. núm. 4. 1889. pp. 455-462. Nota: Friedrich Enges- scr (1848-1931) fue un ingeniero ferroviario y de puentes alemán. Después fue profesor en el Karlsruhe Polytcchni- cal Institute, donde realizó importantes avances en la teoría de las estructuras. especialmente en pandeo y métodos energéticos. Para conocer su trabajo sobre columnas, véase la referencia 1-1. pp. 292 y 297-299.

11-9 Engcxser. F.. “Kmckírugcn“. en Schueizerische Bauzeitung, voi. 25, núm. 13. 3U de marzo de 1895. pp.88-90.

11-10 Jasinski. F.. “Noch ein Won zu den ‘Knickfragen/" Schweizerische Bauzeitung, vol. 25, núm. 25, 22 de junio de 1895. pp. 172-175. Nota: Felix S. Jasinski (1856-1899)nació en Varsavia y estudió en Rusia. Fue profesor en el Instituto de Ingenieros de Caminos de Comunicación en San Petersburgo.

11-11 Engessser. F.. “Ueber Knkkfragcn“. en Schweizeris -che Bauzeitung, vol. 26, núm. 4. Julio 27. 1895. pp. 24-26.

11-12 von Kámián, T., “Die Knickfestigkeit gerader Stabe“, en Physikalische Zeitschri f t . vol. 9, núm. 4, I908.

pp. 136-I40 (exte artículo también aparece en cl vol. I de la Reí. 11-14). Nota: Theodore vun Kármán (1881-1963) nació en Hungría y trabajó en la Universidad de Gottingen en el campo de la aerodinámica Después de su arribo en 1929 a los F.stadox Unidos, fundó el Jet Propulsion Laboratory y fue pionero en problemas de aeronáutica y cohetes espaciales. Su investigación incluyó también el pandeo inclástico de columnas y la estabilidad de cascarones.

11-13 son Kármán. T.. “Untersuchungcn übcr Knickfcs- tigkeit“. en Mittei lungen uher forschungsarbatcn auf dem Gebiete des Ingenieurwesens. Vrrein Deutsche r In ge- nieure. Berlin. Heft 81. 1910 leste artículo también aparece en la referencia 11-14).

11-14 Collected Works of Theodore v on Kármán. veis.

I— IV. Buttcrworths Scientific Publications. Londres. 1956.

II- 15 Shanley. F. R.. The column paradox“, en Journal af the Aeronautical Sciences, vol. 13. núm. 12. diciembre 1946. p. 678. Nota: Francis Reynolds Shanley (1904-1968) fue profesor de ingeniería aeronáutica en la Universidad de California, en I .os Angeles.

11-10 Shanley. F. R . “Inelastic column theory“, en ibid. . vol. 14. núm. 5, mayo de 1947, pp. 261-267.

11- 17 Hoff. N. J.. “Buckling and Stability“, en The Forty-Fimt Wilbuj Wnght Memorial lecture. Journal of the Royal Aeronautical Society, vol. 58, enero de 1954. pp. 3-52.

11- 18 Hoff. N. J., ‘The idealized column“, en Ingenieur- Archiv. vol. 28, 1959 (Festschrift Richard Gran unci), pp.89-98.

11- 19 Johnston, B. G., “Column buckling theory : Historical highlights”, en Journal of Structural Engineering, Structural Division. American Society of Civil Engineers, vol. 109, núm. 9. septiembre de 1983, pp. 2086-2096.

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SECCIÓN A.2 Unidades SI 443


tud. tiempo y masa, como se muestra en lu siguiente sección. El SI se clasifica como un sistema absoluto de unidades porque las mediciones de las tres cantidades fundamentales son independientes de las posiciones en que se hacen estas mediciones; es decir, las mediciones no dependen de los efectos de la gravedad. Por tanto, las unidades SI para loagitud. tiempo y masa pueden usarse en cualquier parte de la Tierra, en el espacio, sobre la Luna o en otro planeta. Ésta es una de las razones de que el sistema métrico siempre haya sido el preferido para trabajo* científico*.

El sistema inglés se basa en la longitud, el tiempo y la fuerza como las cantidades fundamentales; la masa se deriva de la segunda ley. Por tanto, en este sistema la unidad de masa se expresa en términos de las unidades de longitud, tiempo y fuerza. La unidad de fuerza se define como la fuerza requerida para imprimir a cierta masa estándar una aceleración igual a la de la gravedad, lo que implica que la unidad de fuerza varia con la posición y la altitud. Por esta razón, esos sistemas se llaman sistemas gnavitatorios de unidades Tale* sistemas fuemn los primero* en aparecer, probablemente porque el peso es una propiedad disccmiblc fácilmente y no se sabía detectar las variaciones en la atracción gravitatoria. Sin embargo, queda claro que en el mundo tecnológico moderno es preferible un sistema absoluto de unidades.

El sistema internacional de unidades tiene siete unidades básicas a partir de las cuales se derivan las demás. Las unidades básicas de importancia en mecánica son el metro (m) para la longitud, el segundo ís> para el tiempo y el kilogramo (kg) para la masa. Otras unidades SI básicas tienen que ver con la temperatura, la comente eléctrica, la cantidad de sustancia y la intensidad luminosa.

El metro se definió originalmente como lu diczmi)loné*imu parte de la distancia del polo norte al ecuador. Después, esta distancia M; convirtió en un patrón físico y por muchos años éste fue la distancia entre dos marcas sobre una barra de platino-iridio guardada en la Oficina Internacional de Pesos y Medida* en Sèvres, vuburhio occidental de Paris, Francia. Debido a las inexactitudes inherentes en el uso de una barra física como patrón, la definición del metro se cambió en 1983 por la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío durante 1/299792458 de segundo.* La* ventajas de este patrón "natural" son que no está sometido a daños físicos y que puede reproducirse en laboratorios en cualquier parte del mundo.

El segundo se definió originalmente como 1/86400 de un día solar medio (24 horas son iguales a 86400 segundos). Sin embargo, desde 1967 un reloj atómico sumamente exacto ha fijado el patrón y un segundo se define ahora como la duración de 9 192 631 770 periodo* de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hipcrfmos del estado fundamental del átomo de ccsio-133 (La mayoría de los ingenieros preferirían la definición original antes que la nueva, que no ha cambiado en forma notable al segundo pero que es necesaria ya que la rotación de la Tierra disminuye gradualmente).

De las riele unidades básicas en el SI, el kilogramo es la única que aún se define por medio de un objeto físico. Como la masa de un objeto sólo puede determinarse comparándola expen mentalmente con la musa de algún otro objeto, se requiere un patrón físico. Con este fm, un cilindro de un

•Tomando el recíproco de este número se obtiene la velocidad de la luz en el vado ( 2 9 9 7 9 2 4 5 8 m e t r o * p o r s e g u n d o ! .

A.2 UNIDADES SI

444 APÉNDICE A Sistema de unidades y factores de conversión


kilogmmo de platino-iridio. llamado el Kilogramo Prototipo Internacional (KPI). es conservado por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas deSévrvs.

Otras unidades asadas en mecánica, llamadas unidades devisadas, se expresan en términos de las unidades básicas de metro, segundo y kilo- grumo. Por ejemplo, la unidad de fuerza es el ncwton. que se define como la fuerza requerida para impartir una aceleración de un metro por segundo al cuadrado a un kilogramo/ De la segunda ley de Ncwton (F = ma) derivamos la unidad de fuerza en términos de unidades básicas:

I newton = (1 kilogramoK 1 metro por segundo cuadrado.»

Así, el ncwton (N) está dado en términos de las unidades básicas por la fórmula

I N = l kg-mfr* (A-2)

Como punto de referencia, hacemos notar que una manzana pequeña pesa aproximadamente un ncwton.

1.a unidad de trabajo y energía es el joule, definido como el trabajo l>echo cuando el punto de aplicación de una fuer/a de un newton se desplaza una distancia de un metro en la dirección de la fuerza. •• Por tanto.

1 joule m < I ncwton)(I metro) I ncwton metro

o I J - 1 N m (A-3)

Cuando levanta este libro del escritorio al nivel de sus ojos, efectúa aproxi-madamente un joule de trabajo y cuando sube un piso, realiza alrededor de 200 joules de trabajo.

Los nombres, símbolos y fórmulas para las unidades SI de importancia en la mecánica están dados en la tabla A-l. Algunas de las unidades derivadas tienen nombres especiales, como ncwton. joule, hertz. watt y pase al Esas unidades se llaman así en honor de personaje* de la ciencia y la ingeniería y se representan por medio de letras mayúsculas (N, J. Hz, W y Pa) aunque los nombres de las unidades mismas se escriben con letras minúsculas. Otras unidades derivadas no tienen nombres especiales (por ejemplo, las unidades de aceleración, área y densidad) y deben expresarse en términos de unidades básicas y otras unidades derivadas.

Las relaciones entre las unidades SI y algunas unidades métricas usuales están dadas en la paite superior de la tabla A-2. Las unidades métricas como la dina, el erg. el gal y el micrón ya no son recomendables para el uso ingenienl o científico.

El peso de un objeto es la fuerza de gravedad que actúa sobre esc objeto, de modo que el peso se mide en ncwtoas. Como la fuerza de la gravedad depende de la altura y posición sobre la Tierra, el peso no es una propiedad invariable de un cuerpo. Además, el peso de un cuerpo al ser medido por una balanza de resorte es afectado no sólo por la atracción gravitatoria de la Tierra sino también por los efectos centrífugos

♦Sir Ikuc Newton < 16*2-1727) fue un matemático. (trico y astrónomo inglés Inventó el cálculo y descubrió Us leyes del movimiento y de U gravitación.•Mames Prcscoci Joule < 1818-1889) fue uo fìsico inglés que desarrolló un método para determinar el equivalente mecánico del calor.


Oirás dos unidades demuda* que tienen nombres especíale* en el SI son el watt (W) y el pascal (Pa). El watt es la unidad de potencia, que es trabajo por

SECCIÓN A.2 Unidades SI 445


unidad de tiempo y un watt e* igual a un joule por segundo (J/s) o un newton metro por segundo (N X ra/s). El pase al es la unidad de presión y esfuerzo, o fuerza por unidad de área, y es igual a un ncwion por metro cuadrado (N/m2)/

El litro no es una unidad aceptada en el SI pero es tan usada que no puede descartarse Por tanto, el Si permite su uso en ciertas condiciones limitadas para capucidad volumétrica, medición seca y medición líquida. En el SI se permiten la L y la I como símbolos para el litro pero en Estados Unidos sólo se utiliza la L (para evitar confusión con el númeroI). Los únicos prefijos usados con el litro son mili y micro.

Los cargas sobre estructuras, debidas a la gravedad u otras acciones, se expresan en unidades de fuerza como ncwtons, ncwtoas por metro o paséales (ncwtons por metro cuadrado). Ejemplos de tales cargas son una carga concentrada de 25 kN actuando sobre un eje, una caiga uniformemente distribuida de intensidad 800 N/m actuando sobre una viga pequeña y presión del aire de intensidad 2.1 kPa actuando sobre el ala de un aeroplano. Sin embargo, hay una circunstancia en el SI en U que es permisible expresar una carga en unidades de masa. Si la carga que actúa sobre una estructura e* producida por gravedad actuando sobre una masa, entonces esa carga puede expresarse en unidades de masa (kilogramos, kilogramos por metro o kilogramos por metro cuadrado). El procedí miento acostumbrado en tales casos es convertir la carga en unidades de fuerza multiplicándola por la aceleración de la gravedad (¿ = 9.81 m/s2).

Prefijos SI

Lo* múltiplos y submúltiplos de las unidades SI (tanto unidades básicas como unidades derivadas) son creados añadiendo prefijos a las unidades (véase una lista de prefijos en la tabla A-3). El uso de un prefijo evita el uso de números demasiado grandes o pequeños. La regla general es que los prefijos deben usarse para mantener los números en el intervalo de 0.1 a 1000.

Todos los prefijos recomendados cambian el tamaño de la cantidad por un múltiplo o submúltiplo de tres. Similarmente, cuando se usan potencias de 10 como multiplicadores, los exponentes de 10 deben ser múltiplos de tres (por ejemplo 40 X 10' N es satisfactorio, pero 400 X 102 N no lo es). Además, el cxpoocnte sobre una unidad con un pccfiio *c refiere a la unidad entera: por ejemplo, el símbolo mm: significa (mm> y no m(m)2.

Manera de escribir las unidades SI

Las reglas para escribir las unidades en SI han sido establecidas por acucnlo internacional y *e describirán aquí la* más importantes. Entre paréntesis se dan ejemplo* de las reglas.

1) Las unidades se escriben siempre como símbolos (kg) en ecuaciones y cálculos numérico*. En el texto, lo* unidades se escriben como palabras (kilogramos) a menos que se estén reportando valores numéricos, en cuyo caso pueden usarse palabras o símbolos (12 kg o 12 kilogramos).

•James Watt (1736-1819) fue un inventor e ingeniero escocés que desarrolló un motor de vapor práctico y descubrió la composición del agua Watt propuso d término caballo de potencia. Biabe Pascal (1623-1662) fue un filósofo y matemático francés Inventó la teoría de la probabilidad, construyó U primera máquina calculadora y demostró experimenulmcMe que la presión atmosférica varia ex» la altitud



2) La multiplicación se muestra en una unidad compuesta por medio de un punto elevado (kN x m). Cuando la unidad se escribe en palabras, no se requiere del punto (kilonewton metro).

3) La división se muestra en una unidad compuesta por una diagonal o por multiplicación usando un exponente negativo (m/s o m-s"1). Cuando la unidad se escribe en palabras, la diagonal se reemplaza siempre con “por*' (metro por segundo).

4) Siempre se usa un espacio entre un número y sus unidades (200 Pa o 200 pascaies) con la excepción del símbolo grado (ya sea angular o de temperatura), en donde no se usa espacio entre el número y el símbolo (45°. 20°C).

5) Las unidades y sus prefijo* se escriben siempre en tipo redondo o romano (es decir, tipo vertical) y nunca en cursivas (tipo inclinado), aún cuando el texto aledaño esté en cursivas.

6) Cuando se escriben como palabras, las unidades no llevan mayúsculas (ncwton) excepto al principio de una oración o en un título con sólo mayúsculas. Cuando se escriben como símbolo, la\ unidades se escriben con mayúsculas cuando se derivan del nombre de una persona (N). Una excepción es el símbolo para litro, que puede ser L o I. pero se prefiere el uso de la L para evitar confusión con el número I. Además, algunos prefijos se escriben con letras mayúsculas cuando se usan en símbolos (MPa) pero no cuando se usan en palabras (megapa*cal).

7) Cuando se escriben como palabras, las unidades se usarán en singular o plural según el contexto (I kilómetro. 20 kilómetros. 6 segundos». Cuando se escriben como símbolos, las unidades se usan siempre en singular (1 km. 20 km. 6 s). El plural de hertü es hertü; los plurales de otras unidades se forman de la manera acostumbrada (ncwtons, watts).

8) No se usan prefijos en el denominador de una unidad compuesta.Una excepción es el kilogramo (kg) que es una unidad básica y por tanto la letra “k** no se considera como prefijo. Por ejemplo, podemos escribir kN/m pero no N/mm, y podemos escribir J/kg pero no tnJ/g.

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TABLA A-3 PREFIJOS SI

Prefijo Símbolo Factor de multiplicación

lera T 10'2 =. 1 000 000 000 000G IO* - 1000000000

mega M IO6 = 1 000 000kilo k IO3 = 1 (XX)

hccto h IO2 = 100deca da 10' ■

■10

deci d 10"' = 0.1centi c IO-2 = 0.01mili m 10 1 - 0.001micro P IO“6 ss 0.000 001nano n IO”6 = 0.000 000 001pico P

10 12 =0000 000 000 001

Nota: en el SI no se recomienda uüli/jir los prefijos hecio. deca, deci y cerili.

SECCIÓN A.5 Conversiones entre unidades 447


Otra unidad inglesa de masa es la libra-masa (lbm). que es la masa de un objeto que pesa I libra, es decir. 1 lbm = 1/32.2 slug.

Como dijimos, la presión atmosférica varía considerablemente con las condicione* locales; sin embargo, para muchos fines puede asarse el valor estándar internacional:

1 atmósfera estándar = 14.6059 libras por pulgada cuadrada (A-15)

o, pora trabajos ordinarios de ingeniería:

1 atmósfera estándar » 14.7 Ib/puJg* < A-

16)Estos valores son para usarse en cálculos y obviamente no representan la presión atmosférica real.

I .a unidad inglesa de trabajo y energía es el pie-libra t pie-Ib). definida

*Ijord Kelvin (1824-1907), William Thomson, fue un (ó ico inglés que hiro muchos descubrimientos científicos, formuló una teoría dd calor y propuso la escala de temperatura absoluta. Anden Celsius (I70M 744I fue un científico y astrónomo sueco. En 1742 desarrolló la escala de temperatura en la que el 0 > cí 100 correv- pooden respectivamente a lo* punto* de congelamiento y ebullición del agua.

Las cantidades dadas en unidades inglesas o SI pueden convertirse rápida-mente de un sistema al otro usando los factores de conversión dados en la tabla A-5.

Si la cantidad dada está expresada en unidades inglesas, puede convertirse a unidades SI multiplicando por el factor de conversión. Para ilustrar este proceso, supongamos que el esfuerzo en una viga es de 10 600 Ib/pulg2 y que desearnos convertir esta cantidad a unidades SI. De la tabla A-5 vemos que un esfuerzo de 1 lh/pulg2 se convierte en 6 894.76 Pa. Por tanto, la conversión del valor dado se lleva a cabo de la siguiente manera:

(10 600 Ih/pulg2 X6 894.76) = 73 100 000 Pa = 73.1 MPu

Como el valor original es ti dado con tres cifras significativas, hemos redon-deado el resultado final también a tres cifras significativas (véase lo relativo a afras significativas en el apéndice B). Observe que d factor de conversión de 6 894.76 tiene unidades de paséales divididos entre

como el trabajo hecho cuando el punto de aplicación de una fuerza de una libra se desplaza una distancia de un pie en lu dirección de la fuerza. La unidad de momento o par es la libra-pie (Ib-pie), que se deriva del hecho de que el momento se expresa en unidades de fuerza por longitud. Aunque en realidad las mismas unidades se uplican al trabajo, energía y momento, es práctica común usar la libra-pie para momento y el pie-libra para trabajo y energía.

Los símbolos y fórmulas para las unidades inglesas más importantes asadas en mecánica están dadas en la tabla A-L

Muchas unidades inglesas adicionales aparecen en los tratados sobre mecánica; algunas de esas unidades están dadas en lu parte inferior de la tabla A-2.

La temperatura se mide en el SI con una unidad llamada grado kdvin <K)1. a escala correspondiente es la escala de temperatura Kelvin I-a escala

libras por pulgada cuadrada y por consiguiente la ecuación es dimensionalmcntc correcta.

Para invertir el proceso de conversión (es decir, para convenir de unidades SI a inglesas). La cantidad en unidades SI se divide entre el factor de conversión. Por ejemplo, supongamos que el momento de inercia del área de la sección transversal de una viga sea de 94.73 x 106 mm4. El momento de inercia en unidades inglesas es entonces

en donde el término 416 231 es el factor de conversión apropiado para momentos de inercia.

•William John Maeqoom Rankine (1820-1872) fue un ingeniero y físico escocés.Hizo importantes contri huevones en diversos campas como la termodinámica. teoría de la hj/, acóuico. análisis de esfuerzos c ingeniería de puente*. Gabriel Daniel Fahftnheic i 1686-1736) fue un físico alemán que experimentó con los termómetros y los hizo mis exactos usando mercurio en el tubo Fijó el origen ((7*1 de mi escala de temperatura en el punto de congelarmento de una mezcla de hielo, sal y agua.

A.4 UNIDADES DE TEMPERATURA

Kclvin es una escala absoluta, lo que significa que su origen (cero grados kclvin* o 0 K) está en el cero absoluto de temperatura, que es una temperatura teórica caracterizada por la ausencia completa de calor. Sobre la escala Kclvin, el agua se congela aproximadamente a 273 K y hierve aproximadamente a 373 K.

Para propósitos no científicos se usa normalmente la escala de tempe-ratura Celsius. La unidad correspondiente de temperatura es el grado Celsius (°Ch que es igual a un grado kclvin. En esta escala, el agua se congela aproximadamente a cero grados <0°C) y hierve aproximadamente a 100 grado* (100 C) bajo ciertas condiciones estándar. La escala Celsius se conoce también como la acula de tempe raiura íeniiyrada.

La rel^ión entre la temperatura Kclvin y la temperatura Celsius está dada por las «guíente* ecuaciones:

Temperatura en grados Celsius * temperatura en grados kclvin -273.15

o ITO- 71K)- 273-15 ÍA-17)

donde T denota la temperatura. Al trabajar con cambios de temperatura o mímalo% de temperatura, cotno es generalmente el cuso en mecánica, puede usarse cualquiera de las dos unidades porque los intervalos son iguales.*

La unidad inglesa para la temperatura c* el grado Fahrcnhcit (ftF). En la escala de temperatura FahrenhelL el agua se congela aproximadamente a 32 grado* (32°F) y hierve aproximadamente a 212 grados (212°F). Cada grado Fahrcnhcit es exactamente igual a 5/9 de un grado Kclvtn o Celsius. La escala absoluta correspondiente es lo escullí de temperatura Rankine. relacionada con la excala Fahrenheit por la ecuación

7TF)- T\ 9R) — 459.67 <A-18)

El cero absoluto corresponde entonces a -459.67CF/Las fórmulas de conversión entre las escalas Fahrcnhcit y Celsius son las

siguientes:

71*0 - ||7VF) - 32J TCP) - y710 + 32 (A-19a. b)

Igual que ante*. T denoca la temperatura sobre la escala indicada.

A. 5 CONVERSIONES ENTRE UNIDADES



•Un asterisco denota un factor de conversión exactoSota : para convertir las unidades SI en inglesas, divida entre el factor de conversiónHidden pageCopyrighted materialHidden page

cantidades dentro de limites prescritos. Por ejemplo, supongamos que el esfuerzo en un punto específico de una viga no debe exceder un cierto valor permisible. Si este esfuerzo se calcula como un paso Intermedio en la solución numérica, puede verificarse inmediatamente si excede o no el límite impuesto.

Los problemas simbólicos tienen también ventajas. Como los resultados son fórmulas o expresiones algebraicas, puede vente inmediatamente cómo las variables afectan a las respuestas. Por ejemplo, si una carga aparece elevada a la primera potencia en el numerador del resultado final, sabrá que al duplicar la

TABLA A-5 CONVERSIÓN ENTRE UNIDADES INGLESAS Y UNIDADES SI

ITHIÍIAÍI i——I_Factor de convenid n multiplicativo

i maaa inglesa Exacto Práctico Igual a unidad SI

Aceleración (lineal)pie por segundo cuadrado pic/s2 0.3048* 0.305 metro por seg cuadrado mto2

pulgada por seg cuadrado pulg/s2 0.0254* 0.0254 metro por seg cuadrado m/s2

Area

pie cuadrado Pie1 0.09290304* 0.0929 metro cuadrado m2

pulgada cuadrada pulg: 645.16* 645 milímetro cuadrado mnT

Densidad (peso)slug por pie cúbico slug/pie’ 515.379 515 kilog por metro cuadrado kg/m3

Densidad (peso)libra por pie cúbico lb/fHc’ 157.087 157 newton por metro cúbico NVm3

libra por pulgada cúbica Ib/pulg' 271.447 271 kiloncwton por metro cúbico kN/nv

Energía: trabajopie-libra pic-lb 1.35582 1.36 joule ( N m ) Jpulgada-libra pulg-lb 0.112985 0.113 joule Jkilowatt-hora kWh 3.6* 3.6 megajoule MJunidad térmica británica Btu 1 055.06 1055 joule J

Fuerzalibra Ib 4.44822 4.45 newton (kg m/s2) Nkip(I 000 libras) kib 4.44822 4.45 kiloncwton kN

Fuer/a por unidad de longitudlibra por pie lb/pic 14.5939 14.6 newton por metro N/mlibra por pulgada Ib/pulg 175.127 175 newton por metro N/mkip por pie k/pte 14.5939 14.6 kilo newton por metro kN/mkip por pulgada k/pulg 175.127 175 kiloncwton por metro kN/m

Longitudpie pie 0.3048* 0.305 metro mpulgada pulg 25.4* 25.4 milímetro mmmilla mi 1.609344* 1.61 kilómetro km

Masa

slug lb-sJ/pic 14.5939 14.6 kilogramo kg

(Continúa)



carga, se duplicará el resultado. Igualmente importante es el hecho que una solución simbólica muestro qué variables no afectan el resultado. Por ejemplo, cierta cantidad puede cancelarse en la solución, lo cual podría no notarse en una solución numérica. Además, en una solución simbólica es conveniente revisar la homogeneidad dimensional de todos los términos de la solución. Lo más importante es que una solución simbólica proporciona una fórmula general aplicable a muchos problema* diferentes, cada uno con un conjunto diferente de dato* numéricos. Por el contrario, una solución numérica es buena para un solo conjunto de circunstancias y se requiere una solución completamente nueva si los datos se cambian. Por supuesto, las soluciones simbólica* no son factible* cuando los fórmulas se vuelven muy difíciles de manejar, cuando esto ocurre, una solución numérica es la mejor alternativa.

En temas más avanzados de mecánica, la solución de los problemas requiere el uso de métodos numéricos. Este término se refiere a una amplia variedad de métodos computacionalcs, incluidos procedimientos matemáticos estándar (como la integración numérica y la solución numérica de ecuaciones diferenciales) y métodos avanzados de análisis (corno el método del elemento finito). Se dispone fácilmente de programas de computadora paro estos métodos. Se tienen también programas de computadora más especializados para llevar a cabo toreas rutinaria.* como la determinación de deflexiones en vigas y la obtención de esfuerzos principales. Sin embargo. al estudiar la mecánica de materiales, generalmente nos concentramos en los conceptos más que en el uso de k* programas de cómputo cuticulares.

B.2 PASOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Lo* procedimientos usados en Ja resolución de problemas vanan de persona a persona > también de acuerdo con el tipo de problema Sin embargo, las siguientes sugerencias ayudarán a reducir los errores.

1. Enuncie claramente el problema y dibuje una figura que represente el sistema mecánico o estructural que va a investigar. Una parte imponante de este paso es identificar qué se conoce y qué debe encontrante

2. Simplifique el sistema mecánico o estructural haciendo hipótesis respecto a su naturaleza física. Este paso se llama modelado porque implica crear (en el papel) un modelo idealizado del sistema real El objetivo es crear un modelo que represente el sistema real con un grado de exactitud suficiente taJ que los resultados obtenidos del modelo puedan aplicarse al sistema real.

Damos a continuación unos cuantos ejemplos de idealizaciones usadas en el modelado de sistemas mecánicos, a) Los objetos finitos se modelan a veces como panícula*, como cuando se determinan las fuerza* que actúan sobre un nudo de una armadura, b) Los cuerpos defonnablex se representan a veces como cuerpos rígidos, como cuando se buscan las reacciones de una viga estáticamente determinada o las fuerzas en las barras de una armadura estáticamente determinada, c) l^a geometría y formas de objeto* pueden simplificare como cuando consideramos que la Tierra es una esfera o que una viga es perfectamente recta, d) Las fuerzas distribuidas que actúan sobre máquinas y estructuras pueden representarse como fuerzas concentradas equivalentes e) Las fuerzas que son pequeñas respecto a otras fuerzas o fuerzas de las que se sabe que tienen sólo un efecto pequeño en los resultados, pueden despreciarse en el análisis (las fuerzas de fricción se encuentran a veces en esta categoría), f) Los soportes de estructuras suelen considerarse como inmóviles.

3. Al resolver los problemas, dibuje croquis grandes y claros. Éstos siempre ayudan a entender la situación física y a menudo resaltan aspectos del



problema que de otra manera pasarían desapercibido*.4. Aplique los principios de la mecánica al modelo idealizado paira

obtener las ecuaciones que rigen. En estática, las ecuaciones generalmente son ecuaciones de equilibrio que se obtienen de la primera ley de Ncwton; en dinámica, generalmente son ecuaciones de movimiento obtenidas de la segunda ley de Ncwton. En mecánica de materiales, las ecuaciones están asociadas con esfuerzo*, deformaciones unitarias, deformaciones y desplazamientos.

5. Use procedimiento* matemáticos y computocionale* para resolver la* ecuaciones y obtener resultados, ya sea en forma de fórmulas matemáticas o de valores numéricos.

6. Interprete los resultados en términos del comportamiento tísico del sistema mecánico o estructural, es decir, déle semido o significado a los resultados y obtenga conclusiones sobre el comportamiento del sistema

7. Verifique los resultados de tantas maneras como pueda. Corno los errores pueden ser desastrosos y euros, los ingeniero* nunca deben confiarse en una sola solución.

8. Finalmente, presente su solución de manera clara de modo que pueda ser fácilmente revisada por otros.

B. 3 HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Lo* conceptos básico* de la mecánica son: longitud, tiempo, masa y fuerza.Cada una de esas cantidades físicas tiene una dimensión, es decir, una unidad generalizada de medición. Por ejemplo, consideremos el concepto de longitud. Hay muchas unidades de longitud, como metro, kilómetro, yarda, pie. pulgada; sin embargo, toda* e*ax unidades tienen algo en común: cada una representa una longitud específica y no alguna otra cantidad como el volumen o la fuerza. Por tanto, no* pódeme» referir a la dimensión de frvtgr- tud sin ser específicos respecto a la unidad particular de medición. Pueden hacerse comentarios similares pora las dimensiones de tiempo, masa y fuerza. Esta* cuatro dimensiones se denotan comúnmente por los símbolos L. T.M y F, respectivamente.

Cada ecuación, ya esté escrita en forma numérica o simbólica, debe ser dimcnsionalmcntc homogénea, es decir, las dimensiones de lodos los términos en la ecuación deben ser las mismas. Para verificar la corrección dimensional de una ecuación, despreciamos las magnitudes numéricas y escribimos sólo las dimensiones de cada cantidad en la ecuación. La ccuu- ción resultante debe tener dimensiones idénticas en todo* los término*.

454 APENDICE B Resolución de problemas


Por ejemplo. consideremos la siguiente ecuación para la deflexión 8 en el centro del claro de una viga simple con carga uniformemente distribuida:

3 MEl

La ecuación dimensional correspondiente se obtiene reemplazando cada cantidad por sus dimensiones: asi, la deflexión 8 se reemplaza por la dimensión L. la intensidad de la carga uniforme q se reemplaza por F/L (fuerza por unidad de longitud), la longitud L de la viga se reemplaza por la dimensión L. el módulo de elasticidad £ se reemplaza por F/L2 (fuerza por unidad de área) y el momento de inercia / se reemplaza por L4. Por tanto, la ecuación dimensional es

(F/L:)L*

Al simplificar, esta ecuación se reduce a la ecuación dimensional L ■ L. como se esperaba.

Las ecuaciones dimensionales pueden escribirse ya sea en términos generalizados usando la notación LTMF o en términos de las unidades reales usadas en el problema. Por ejemplo, si estamos haciendo cálculos en unidades inglesas para la deflexión de una viga, podemos escribir la ecuación dimensional como sigue.

ObfrUjW<lb/polg‘)pulg

lo que se reduce a pulg = pulg y es dimcnsionalmcntc conecta. Las revisiones frecuentes de la homogeneidad dimensional ío consistencia Je unidades) ayudan a eliminar errores al llevar a cabo deducciones y cálculos.

Los cálculos ingeníenles son efectuados por calculadoras y computadoras que operan con gran precisión. Por ejemplo, algunas computadoras efectúan rutinariamente cálculos con más de 25 dígitos en cada valor numérico y se obtienen valores de salida con 10 o más dígitos, aún en las más baratas de las calculadoras de bolsillo. En tales condiciones, es importante observar que la exactitud de los resultados obtenidos en un análisis ingenienI está determinada no sólo por los cálculos sino también por factores como la exactitud de los datos dados, las aproximaciones inherentes en los modelos analíticos y la validez de las hipótesis usadas en las teorías. En muchas situaciones ingeníe-nles. estas consideraciones significan que los resultados son válidos con sólo dos o tres cifras significativas.

Como ejemplo, suponga que un cálculo produce el resultado K ■6 287.46 Ib para la reacción de una viga estáticamente determinada. Presentar el resultado en esta forma es engafaso. ponqué implica que la reacción se conoce con aproximación de 1/100 de libra, aunque la magnitud es mayor que 6 000 Ib. Esto implies una exactitud de aproximadamente 1/600 000 y una precisión de 0.01 Ib, ninguna de las cuales se justifica. La exactitud de la reacción calculada depende de aspectos como los siguientes: 1) La precisión con que se conocen las cargas, dimensiones y demás datos utilizados en el análisis, y 2) las aproximaciones inherentes a las teorías del comportamiento de vigas. Lo más probable es que la reacción R en este ejemplo se

B.4 CIFRAS SIGNIFICATIVAS

APÉNDICE C Fórmulas matemáticas


Funciones trigonométricas

sen x . eos x I ltan x «---------------- cot x * scc x ------------------------------- ese x «

eos x sen xeos x senx

sen2 x + eos2 .r = I tan2 x + 1 = scc2 x coi2 x + 1 * ese2 x

sen(-x) -senx eos í-x) - eos x tan (-x) • -tan x

scn(x ± y) » sen x cot y ± eos x sen y eos (x ± y) * cot x eos y ^ senxsen y

sen 2x = 2 sen x eos x eos Ix * eos2 x - sen2 x tan 2x = ~~ - 2 •I — fnn*

I - tan' X I

- eos 2x <«n 2xtan x

sen 1» 1 + eos2xI.. 2 1

scn7x = y(l - eos 2r) cos2x * ~(l + eos 2xi

Para cualquier triángulo con lados a. h.c y ángulos opuestos A. R.C:

Ley de los senos —-— » —-— m —-— sen A sen ¡i sen C

Ley de los cosenos c 2 — o2 + b 2 - 2ab eos C

Ecuación cuadrática y fórmula cuadrática

? . , , „ -b± Vi* - 4acar + bx + c = 0 x =----------------------------------

2a

Series infinitas

t—|—= 1 -x + x2 -r + ... C— 1 < j r < 1 )

f£

f 2 8 +

X ix 2

~ 2 8

X 2

2! 3!

x* . X»1 + x

V I + x 2 8 16

... (-» < x< ®)

x7

scnv = x- — -r —■ — ( - * < x < a e )

APÉNDICE C Fórmulas matemáticas


C O S t = 2Í+4\~6Í + - "

Nota: vi x es muy pequeño comparado con 1. sólo los primeros términos de la serie serán necesarios.

APÉNDICE C Fórmulas matemáticas 889

Derivadas

= «"

_d4- V

— ¿JC

tí»

du*1 =

dx dx

du±{

dx dx

2 du d_“de dx

y-(ar) = a = nx ñ ~' ^(du) = a~ dx di di dx

d . dv du d I u \ _ v

dx dx di du dx di dxJdu

d . v du d . du— (scnii) * eosii— —(eos«) = -senil —dx dx dx dx

■—(tan u) • scc2 u ^ -j-(co< u) - -ese2

dx dx dx dx

Q du d du—(sec u) • *ec ii un k — —(esc n) ■ - ese u cot u —cu dx dx dx

d , . * 1 </u </ „ v k)g r Jai d „ v 1 i/ii

OX dX di di

integrales indefinidas

/Vota: debe sumarse una constante al resultado de cada integración ja ¿¿i

= ar J w d v ~ u v - j v ¿ u (integración por partes)

íx*dx = iHi- í—= lnlxl (* # 0)J n + I J J

«« + i) iWa + ¿u)

f ¿r IJ<a + farr " "f"- IX*X« + ta>* M ( n , k | )

f <ít I -i fe ,-j—J-J - —-tan — ucn

radian«)( a > 0 . í » > 0 ) Ja + bx ab a

<*enrad,ane“ (a > 0, A > 0)

sjduJdx) - ujdvtdx) v2

Í~"V~ * 77[** “ «ln (ú + fcx)]J a + DX bm

.3= Til—TT- + ,n <fl + bxr fr*[a + fa;

í x dx a + 7bx f xdx ^ a + 3 bx J (a + fe»)*' 2l? {a+~bxr i (tí + ¿>x)46¿>2(ú -4*

fcr)3

faVtot = 2A7 ^<0 + ¿,xM-3a + + ^ ,n(a + ^*>1

Copyrighted materialVdx 1

/>x(2tí 4- ¿>x)

{a + ¿wf V a + bx

x 2dx 1a(3a 4* 4¿>.x)

(ití + frx)3 ¿>* 2(a + bx) 2

f xrdx _ q 2 3o¿>x 4- 3¿> 2 x ¿ J (¿i + ¿>x) 4

f . cosai í .J sen ax ax » --------- - — J eos ax ax

fian ax dx = — In (scc ax) Jcoc ax ¿x = ~ ln (sen ax)

fsec or dx ® — In (sec at 4 lan ax) fcsc ax ¿x = — in (ese ax - cot ax) J a J a

f 2 . x sen 2ax[ 2 m x , sen2ax .I sen* ax dx - t- [cos*ax<íx = ~z +—~ (x----------------en-------radianes)J 2 4a J 2 4«

( . senax xcosax . „.I x sen ax dx » —? (xenradianes jJ a* ¿if . eos ax , x senax ..J .t eos ai ai = —-p— 4 —-— (x en radianes)

je*Ádx = ^- jxtf* dx = “F(a* ~ D Jlnoxdx = x<ln ax -1)

/V„’ + *V * - f W + *V + £ 1« ♦ J, +

f *** — I, í^. I, , ¿2x2 \J Va1 + bV ~ n \ a V a7 /

ÍVú7 — ¿>2.*2 dx = Va1 - 6V + -^r sen 1 —

J 2 2 b a

r jc/j J (tí + ¿>X

■ - 2 a In ( a 4 b x )

4 In (tí 4 ¿>x)

sen a x

vi

Integrales definidas

J /(jr) ¿te = -J /Wát J /(x)d* = | /<x)dt + | f(x)dx

891


Propiedades de áreas planasNotación: A = área

x. y = distancias ai centroide C/„ /, - momentos de inercia con respecto a los ejes x y y, respectivamente l„ = producto de inercia con respecto a los ejes x y y¡r = /, 4 /y = momento polar de inercia con respecto al origen de los ejes x y y Un = momento de inercia con respecto al eje t í -H

Rectángulo (origen de los ejes en el centroide)

- ¿

i

>

'

"

2

' ' -IT '"-0

, - M i ' * 1 2

892


894 APéNOICE D Propiedades de áreas planas


Anillo circular delgado (origen de los ejes en el centro) Fórmulas aproximadas para el caso en que / es pequeño

1 =/ _ *d 3 tA = 2nrt = ndt

8

nd l/„ = 0 l p = 2 wrh

r

P-

C^P

Arco circular delgado (origen de los ejes en el centro del círculo) Fórmulas aproximadas para el caso en que t es pequeño

B P = ángulo en radianes (Nota: para un arco semicircular,

p - 77/2.) X 1, = r y t (0 + sen 0COS p) l y = r 3 t ( f i - sen p

cosp)

Rectángulo delgado (origen de los ejes en el centroide) Fórmulas aproximadas para el caso en que f es pequeño

A «* bt

I, = P I, m J£CO*-0 t HH - ¡y sen* p

irryi ■

i—/„ = 0 I, i

sen2/3 I - cos2fi\

P

895


Polígono regular con n lados (origen de los ejes en el centroide)

C • centroide (en el centro del polígono)

n m número de lados (n & 3) b ■ longitud de un lado

P • ángulo central para un lado a - ángulo interior (o ángulo en

el vértice)

P = ^~ a = (£V^),80° « + / 3 “ 1 8 0 °

/?, “ radio del círculo circunscrito (línea CA) R 2 = radio del círculo inscrito (línea CB)

nb2 P A-— c«T

l c » momento de inercia respecto a cualquier eje por C (el centroide C es un punto principal y todo eje por C es un eje principal)

896


Propiedades de los perfiles estructurales de acero

En las siguientes tablas se presentan las propiedades de varios perfiles estructurales de acero, como una ayuda para el lector en la solución de los problemas del texto. Estas tablas son un resumen de las extensas tablas que ve hallan en el Manual of Steel Construction . publicado por el American Institute of Steel Construction. Inc. (referencia 5-4).

Notación:/ = momento de inercia S - módulo de sección r = V/M = radio de giro

2


2

TABLA £-1 PROPIEDADES D€ LOS PERFKES W_____(SECCIONES DE PATIN ANCHO)

D c d g n a c k* )

P t S Dp o rp f c

I h

Á r w i A h u r a

E h * * * d d « l i n a

P a l m

A n c h o E * p c * o r

1* 1* p u l *

-/t

• i

K j c I I

S

p u l * ’

r

p u l *

/

p u t t 4

E j e 2 « 2

5

P O l * ’r

m

W 3 0 X 2 1 1 211 62.0 3 0 . 9 4 0 . 7 7 51 5 . 1 05 1 . 3 1 5 1 0 3 0 0 6 6 3 1 2 . 9 7 5 7 100 3 . 4 9

W 3 0 x 1 3 2 1 3 2 3 8 . 9 3 0 . 3 1 0 . 6 1 5 1 0 5 4 5 1.000 5 7 7 0 3 8 0 12.2 1 9 6 3 7 . 2 2 . 2 5

W 2 4 X 1 6 2 1 6 2 4 7 . 7 2 5 . 0 0 0 . 7 0 5

1 2 . 95 5 1.220 5 1 7 0 4 1 4 1 0 . 4 4 4 3 6 8 . 4 3 . 0 5

W 2 4 X 9 4

2 7 . 7 2 4 . 3 1 0 5 1 5 9 . 0 65

0 . 8 7 5 2 7 0 0 222 9 . 8 7 1 0 9 2 4 . 0 1 . 9 S

W 1 8 X 1 1 9 1 1 9 3 5 . 1 1 8 . 9 7 0 . 6 5 5 1 1 2 6 5 1 . 0 6 0 2 1 9 0 2 3 1 7 . 9 0 2 5 3 4 4 . 9 2 . 6 9W 1 8 X 7 1 7 1 20.8 t 8 . 4 7 0 . 4 9 5 7 5 3 5 0 . 8 1 0 1 1 7 0 1 2 7 7 . 5 0 6 0 . 3 1 5 . 8 1 . 7 0

W 16X 1 0 0 100 2 9 . 4 1 6 . 9 7 0 . 5 8 5

1 0 . 4 25 0 . 9 * 5 1 4 9 0 1 7 5 7 . 1 0 1 8 6 3 5 . 7 2 . 5 1

W 1 6 X 7 7

7 7 22.6 1 6 . 5 2 0 . 4 5 5 1 0 . 2 95

0 . 7 6 0 1 1 1 0 1 3 4 7 . 0 0 1 3 8 2 6 . 9 2 . 4 7W 1 6 x 5 7

5 7 1 6 . 8 1 6 . 4 3 0 . 4 3 0 7 . 1 20

0 . 7 1 5 7 5 8 9 2 . 2 6 . 7 2 4 3 . 1 12.1 1 . 6 0W 1 6 X 3 1

3 1 9 . 1 2 1 5 . 8 8 0 . 2 7 5 5 5 2 5 0 . 4 4 0 3 7 5 4 7 2 6 . 4 1 1 2 . 4 4 . 4 9 1 . 1 7

W 1 4 X 1 2 0 120 3 5 . 3 1 4 . 4 8 0 . 5 9 0 1 4 5 7 0 0 . 9 4 0 1 3 8 0 1 9 0 6 . 2 4 4 9 5 6 7 . 5 3 . 7 4W 1 4 X H 2

8 2 2 4 1 1 4 . 3 1 0 . 5 1 0 1 0 . 1 30

0 . 8 5 5 8 8 2 1 2 3 6 . 0 5 1 4 8 2 9 . 3 2 . 4 8W 1 4 x 5 3

5 3 1 5 . 6 1 3 . 9 2 0 3 7 0 8 . 0 60

0 . 6 6 0 5 4 1 7 7 . 8 5 . 8 9 5 7 . 7 1 4 . 3 1 . 9 2W 1 4 X 2 6

2 6 7 . 6 9 1 3 . 9 1 0 . 2 5 5 5 . 0 25

0 . 4 2 0 2 4 5 3 5 . 3 5 . 6 5 8 . 9 1 3 . 5 4 1. 0 *

W 1 2 x 8 7 8 7 2 5 . 6 1 2 . 5 3 0 5 1 5

1 2 . 12 5 0 . 8 1 0 7 4 0 1 1 8 5 . 3 8 2 4 1 3 9 . 7 3 . 0 7

W 1 2 X 5 0 5 0 1 4 . 7 1 2 . 1 9 0 3 7 0 8 . 0 80

0 . 6 4 0 3 9 4 6 4 . 7 3 . 1 8 5 6 . 3 1 3 9 1 . 9 6W 1 2 x 3 5

3 5 1 0 . 3 1 2 . 5 0 0 3 0 0 6 . 5 60

0 . 5 2 0 2 8 5 4 5 . 6 5 . 2 5 2 4 . 5 7 . 4 7 1 . 5 4W 1 2 X 1 4

1 4 4 1 6 1 1 . 9 1 0200 3 . 9 70

0 . 2 2 5 886 1 4 . 9 4 . 6 2 2 . 3 6 1 * 1 9 0 . 7 5 3

W 1 0 X 6 0 6 0 1 7 6 10.22 0 . 4 2 0

1 0 0 80 0 . 6 8 0 3 4 1 6 6 . 7 4 . 3 9 1 1 6 2 3 . 0 2 . 5 7

W 1 0 X 4 5

4 5 1 3 . 3 10.10 0 3 5 0 8.020 0 . 6 2 0 2 4 8 4 9 . 1 4 . 3 2 5 3 . 4 1 3 . 3 2 0 1W 1 0 X 3 0

3 0 8 . 8 4 1 0 . 4 7 0 3 0 0 5 . 8 10

0 5 1 0 1 7 0 3 2 . 4 4 . 3 8 1 6 . 7 5 . 7 5 1 . 3 7W 1 0 X 1 2 12 3 . 5 4 9 . 8 7 0 1 9 0 3 . 9 6

0 0.210 5 3 . 8 1 0 9 3 . 9 0 2 . 1 8 1.10 0 . 7 8 5

W 8 X 3 5 3 5 1 0 . 3 8.12 0 3 1 0 8.020 0 . 4 9 5 1 2 7 3 1 2 3 . 5 1 4 2 . 6 10.6 2 . 0 3W * X 2 * 2 8 8 . 2 5 8 0 6 0 2 8 5 6 . 5 3

50 . 4 6 5 9 8 . 0 2 4 . 3 3 . 4 5 2 1 . 7 6 . 6 3 1 . 6 2

W 8 X 2 I 21 6 . 1 6 8 . 2 8 0 2 5 0 5 . 2 70

0 . 4 0 0 7 5 . 3 1 8 . 2 3 . 4 9 9 . 7 7 3 . 7 1 1 . 2 6W S X 1 5

11 5 4 . 4 4 8.11

L

0 2 4 5 4 0 1 5 0 . 3 1 5 4 8 X 111.8

3 . 2 9 3 . 4 1 1 . 7 0 0 . 8 7 6

Nota: los c)cs l-l y 2-2 son ejes caitroidales principales,

898 APÉNDICE E Propiedades de los perfiles estructurales de acero

2


*72-17 Una placa en el esfuerzo plano está sometida a esfuerzos normales ox y oy y a un esfuerzo cortante como se muestra en la figura. A los ángulos en sentido contrario a las manecillas del reloj 0 - 40° y 0 * 80° desde el eje x. el esfuerzo normal es de 5 000 lb/pulg2 en tensión.

Si el esfuerzo es igual a 2 000 lb/pulg2. ¿qué valores tienen los esfuerzos <ry y r^?

• ' * T*/

mecánica de materiales

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