1

Ramiro Mge ThierryIngeniero Civil Mecnico

Profesor Titular

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA

DE VALPARASOESCUELA DE INGENIERA

MECNICA

MECANICA DE LOS FLUIDOS

22 2017

3

OBSERVE

4

Una barra de cobre

5

Se estira y adelgaza

6

7

Se fractura

8

La barra de cobre se someti a una fuerza que la tiraba desde sus extremos:generando un esfuerzo de traccin

HASTA QUE SE FRACTUR

9 ***TMF1001*** RMTH

F

F

A

FUERZA Y ESFUERZO TRACCIN

= FA

10

11

Similarmente se puede someter a una fuerza que la aplaste desde sus extremos:generando un esfuerzo de compresin

HASTA QUE SE APLASTE O FRACTURE

12 ***TMF1002B*** RMTH

FUERZA Y ESFUERZO DE COMPRESIN

= FA

F

A

F F

F

13

Adems del esfuerzo de traccin y compresin existe el esfuerzo deCorte.

***TMF1003*** RMTH

FF

F

FUERZA Y ESFUERZO CORTANTE

= FA

A

14

DEFINICIN DE FLUIDO

FLUIDO IDEAL.

Un fluido ideal no soporta esfuerzos cortantes por pequeos que estos sean.

15 ***TMF1003** RMTH

p p

p p

p

AL NO SOPORTAR ESFUERZOS CORTANTES ADOPTA LA FORMA DEL RECIPIENTEQUE LO CONTIENE Y SE GENERAN ESFUERZOS DE COMPRESIN

16 ***TMF1005*** RMTH

y

V

dV=0

dyv

FLUIDO IDEAL

17

UN FLUIDO REAL SOPORTA PEQUEAS FUERZAS CORTANTES

***TMF1006*** RMTH

y

V

dV

dyv

FLUIDO REAL

LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON

y

V

dV

dyv

=Vy

18

= La viscosidad absoluta o dinmica

Cohesin molecular

Transferencia de la cantidad de movimiento

19

20

dV/dy

t

LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON21

22 ***TMF1007*** RMTH

= dVdy

dim = =

FLL

TL

F TL

2

2

Unidades de

DIMENSIONES Y UNIDADES

SI N sm

Pa s2 =

MKS kp sm2

CGS dina scm

Poise Po2 = =1

1001Po centiPoise cPo= =

23 ***TMF1008*** RMTH

Unidades de

DIMENSIONES Y UNIDADES

SI MKS ms

,2

CGS cms

Stoke St2

= = 1100

1St centiStoke cSt= =

Es frecuente la expresin:

= Donde es la densidad

dim = = =

F TLML

M LT LT M L

LT

2

3

3

2 2

2

24

Otras unidades de viscosidad

Segundos Saybolt Universales SSU (100 y 210 F)Segundos Saybolt Furol SSF

Segundos Redwood N1 y N2 (70, 100 y 200F)

Grados Engler

25

Otras definiciones:

El continuo

Compresibilidad e incompresibilidad7 [%]

26 ***TMF1009*** RMTH

DIMENSIONES Y UNIDADES DENSIDAD,PESO ESPECFICO Y GRAVEDAD ESPECFICA

SI kgm3

Densidad:dim = M

L3 = m

V

MKS UTMm3

SI Nm3

dim = FL3

= mgV

MKS kpm3

Peso Especfico:

27 ***TMF1010*** RMTH

DIMENSIONES Y UNIDADES DENSIDAD,PESO ESPECFICO Y GRAVEDAD ESPECFICA

Gravedad especficao peso especfico relativo S (SG):

[ ]S xagua

x

agua

= =

Como:

= g

28

TENSIN EN UN PUNTO

DIBUJOS 01 ***TMF10004*** RMTH

yx

z

F

C

A

F

Fn

Fs

nn tn nF

AdFdA= =

lim

0

ss ts sF

AdFdA= =

lim

0

29

TENSIN EN UN PUNTO

njn xx yy zz= = =

Si los esfuerzos cortantes son nulos a causa de:

Fluido en reposo o en movimiento uniforme. Fluido no viscoso

Fluidos1 ***TMF10009B*** RMTH

yx

zPz

dxdydz

dxdydz

+ =

dxdydz Pz

dxdydz 0

Px

= 0Py

= 0

Pz

=

De donde se desprende que:

la presin vara unicamente con la direccin z, siendo independiente de x e y

dPdz

=

. Presin y profundidad

31 DIBUJOS 01 ***TMF10009*** RMTH

Si a la superficie libre se le asigna el subndice 0

dPdz

=

dP dzP

Patm

z

z

= 0

Si el peso especfico es tecnicamente constante

( )P P z z hAtm = = 0yx

z

h

PAtm

z

z0

Presin y profundidad

h

PAtm

p

LA PRESIN AUMENTA LINEALMENTE CON LA PROFUNDIDAD

32

Presin y profundidad

33Fluidos1 ***TMF10012*** RMTH

PAtm

hC h yyC

dy

dA

Centroide

xC, yC

y

x

FUERZA HIDROSTTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA

34

Fluidos1 ***TMF10012B*** RMTH

PAtm

hC h yyC

dy

dA

CentroidexC, yC

y

x

q

F h da y sen dAR

A A

= =

F sen y dAR

A

=

y dA y Ac =

Corresponde al momento de inercia de lasuperficie, momento de 1er orden

yydA

Ac=

En consecuencia

F sen y A h A p AR c c c= = =

FUERZA HIDROSTTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA

35

Fluidos1 ***TMF10012C*** RMTH

PAtm

h hC h yyC

dA

CentroidexC, yC

y

x

F y h y dA sen y dARA A

'= = 2

F sen ydARA

=

y dA IA

xx2 =

y Iy A

xx

c

'=

FUERZA HIDROSTTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA - PUNTO DE APLICACIN DE LA FUERZA

y

Centro depresiones

Haciendo momento con respecto al eje x:

Corresponde al momento de inercia de la superficie respecto al eje x

Como:

36Fluidos1 ***TMF10012D*** RMTH

CentroidexC, yC

y

x

Centro depresiones

F y h y dA sen y dARA A

'= = 2

F sen ydARA

=

y dA IA

xx2 =

FUERZA HIDROSTTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA - PUNTO DE APLICACIN DE LA FUERZA

Haciendo momento con respecto al eje x:

Corresponde al momento de inercia de la superficie respecto al eje x

Como:

y son los ejes que tienen su origen en el centroide

Utilizando el teorema de Steiner se reemplaza: I I Ayxx c= +2

Entonces:

y yIy Ac c

'= +

y Iy A

xx

c

'=

o: y yIy Ac c

' =

37Fluidos1 ***TMF10012E*** RMTH

CentroidexC, yC

y

x

Centro depresiones

F x xhdA sen xydARA A

'= =

F sen ydARA

=

xydA IA

xy =

FUERZA HIDROSTTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA - PUNTO DE APLICACIN DE LA FUERZA

Similarmente haciendo momento con respecto al eje y:

Corresponde al producto de inercia de la superficie respecto a los ejes x e y

Como:

Similarmente: I I Ax yxy c c= +

Entonces:

x xIy Ac c

'= +

xIy A

xy

c

'=

o: x xIy Ac c

' =

Fluido1***TMF10013AA*** RMTH

dA

dAxdA i dAx

=

El elemento de rea se proyecta sobre los planosverticales x-z e y-z generandose una superficie planavertical:

dA j dAy

=

Entonces:

dF pdAx x= dF pdAy y=

dAy

FUERZAS HIDROSTTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS

X

Y

Z

Fluido1***TMF10013AB*** RMTH

dA

dAxObserve que es similar a una superficie plana enposicin vertical

dF pdAy y=

dAy

Las superficies que se proyectan en un plano vertical se calculan como superficies planas verticales y sus resultantes son fuerzas horizontales

F sen y A h AH c c= =

Esta fuerza acta sobre el centro de presin de la superficie proyectada

dF pdAx x=

Y

X

Z

Fluido1***TMF10013BB*** RMTH

dA

dAz

La proyeccin en el plano x-y, perpendicular aleje z, se refleja en la superficie

dF pdAz z=

dF dz dAz zz

z= ( )10

x

z

y

La presin debida a la accin de la gravedad:

p dz=

Tomando lmites z1 una profundidad cualquiera y z0 en lasuperficie

F dz dAz zzz

A

= 10

.

41

Fluido1***TMF10013C*** RMTH

dA

dAz

Esta expresin corresponde al peso de fluido que acta verticalmentesobre la superficie, y su accin pasa por el centro de gravedad delvolumen de fluido.

x

z

y

F dz dAz zzz

A

= 10

F V mgz sobre erficie= = sup

42

p1dAz

p2dAz

z1

z2

dF p p dAB z= ( )2 1

x

z

y

dF z z dAB z= ( )2 1

Si el fluido se puede considerarincompresible:

Integrando

F z z dA VBA

z= = ( )2 1

V Es el volumen del cuerpo sumergido

La fuerza de boyantez (FB) esta aplicada en elcentroide del volumen desplazado por el cuerpo

TMF 1014A***RMTH

FLOTACIN (ARQUMIDES)

43

dF1

dF2

x

z

y

F V VB A A B B= +

Haciendo momentos el centrode empuje es:

TMF 1014B***RMTH

UN CUERPO EN CONTACTO CON DOS FLUIDOS

A

B

x V x V xV V

A A A B B b

A A B B

=++

44

F VB =

TMF 1014C***RMTH

UN CUERPO FLOTANTE

V

45

TMF 1015A***RMTH

EQUILIBRIO RELATIVO

ax

LA A

h

46

TMF 1015B***RMTH

EQUILIBRIO RELATIVO

ax

W

pA

pA W = 0

pA h A = 0

p h=

47TMF 1015C***RMTH

EQUILIBRIO RELATIVO

ax

p1A

F max x = p A p A L Ag1 2 =

p2A

p pL

h hL

ag

tgx1 2 1 2 = = =

h1h2

48

DINMICA DE LOS FLUIDOS

LINEAS DE CORRIENTE

V

V

V

Las lneas de corriente son:* Una representacin grfica* Lneas imaginarias* Tangentes a los vectores velocidad* Son impermeables* Flujo volumtrico constante entre dos

lneas de corriente.

A medida que las lneas de corriente se aproximan lavelocidad aumenta y la presin disminuye

49

FLUIDO 1 ***TMF10014AA*** RMTH

PRINCIPIOS BSICOS

- Conservacin de masa Ec. De Continuidad

- Conservacin de energa Primer principio de la termodinmica

- Conservacin de la cantidad de movimieto Ec. De Euler Ec. De impulsin

- Segundo principio de la termodinmica Perdida de carga

.

.

51FLUIDO 1 ***TMF10014 A*** RMTH

CONSERVACIN DE MASA ECUACIN DE CONTINUIDAD

m1

m2

m3

m4

m m m m1 2 3 4= + +

52FLUIDO 1 ***TMF10014C*** RMTH

ECUACIN DE CONTINUIDAD

m m m m1 2 3 4= + +Como: m V A=

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4V A V A V A V A= + +

Si la densidad es contante, fluido considerado incompresible:

V A V A V A V A1 1 2 2 3 3 4 4= + +

V V V V1 2 3 4= + +El caudal volumtrico

53FLUIDOS 1 ***MF10015*** RMTH

1 1 1 2 2 2 0

V A V A V An n n + + =....Si el flujo es unidimencional y lassuperficies de transferencia demasa son limitadas

V A V A V An n1 1 2 2 0 + + =....

Si la densidad es constante:

Si las superficies son dos:

V A V A1 1 2 2 =

GENERALIZANDO:

DIBUJOS 01 ***MF10016A*** RMTH

ECUACIN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Ley de Newton F m a=

F m Vt

=

F m Vt

Pt

= =

.

.

DIBUJOS 01 ***MF10017A*** RMTH

Anlisis del sistema

F F F PtS m

= + =

Anlisis del VC

Pt

F m V V Vtsc

VC= = +

Igualando el sistema con el VC

F F m V V VtS m sc

VC+ = +

.

.

DIBUJOS 01 ***MF10018A*** RMTH

Considerando flujo permanente:

F F m Vs m+ =

Considerando flujo unidimencional ydos superficies de transferencia:

F F V A V As m+ = 2 2

22 1 1

21

Por continuidad:

( ) F F V A V Vs m+ = 1 1 1 2 1

m V A V A= = 1 1 1 2 2 2

.

.

57

58

59

PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINMICA

CinticaEc

Funcin de punto

Potencial gravitatoriaEp

Funcin de punto

InternaU

Funcin de punto

Almacenadaasociada a la masa

CaloricaQ

Funcin de lnea(trayectoria)

TrabajoW

Funcin de lnea(trayectoria)

En trnsito

ENERGA

60

( ) ( )Q W E E E U E E UC P C P = = + + + + 2 1DEDt

dQdt

dWdt

=

dQdW

dE

SISTEMA

Analisis del sistema

61

DEDt

dQdt

dWdt

dWdt

dQdt

dWdt

PV dAm f msc

= =

Wf

Trabajo de Flujo

Wm

TrabajoMecnico

WTrabajo

62

N E E UC P= + +

Anlisis del volumen de control

= + +Em

Em

Um

C P

= + +V gZ u

2

2

63

N E E UC P= + +

Anlisis del volumen de control

= + +Em

Em

Um

C P

dQdt

dWdt PV dA

VgZ u V dA t

VgZ u Vm

SC SC VC = + + + + +

( )( ) ( )

2 2

2 2

dQdt

dWdt

VgZ u

PV dA t

VgZ u Vm

SC VC = + + + + + + ( )( ) ( )

2 2

2 2

Reagrupando:

64

Para un flujo permanente:

dQdt

dWdt

VgZ u

PV dAm

SC = + + + ( )( )

2

2

Para un flujo unidimencional y con slo dos superficies de transferencia

=

V dA dmComo:

dQdm

dWdm

VgZ u

P VgZ u

Pm = + + + + + + +( ) ( )2 2 22

2

11 1

1

12 2 65

Observacin:

a gasTurbinas

a vaporTurbinas

hidrulicasTurbinas

-Negativo

Hlices

Compresores

Bomba

+Positivo

dWmTRABAJO

66

Para un flujo real:

dQdm

uP

uP

= + 22

21

1

1

Considerando un tubo recto y horizontal

1 2

0,0

( )dQdm u uP P

+ = 1 22

2

1

1

( )dQdm u uP P

hperd+ =

=1 22 1

2

P1 P2

67

dQdm

dWdm

VgZ u

P VgZ u

Phm per = + + + + + + + ( ) ( )

22

2 22

2

12

1 11

11 22 2

La ecuacin considerandolas prdidas:

Tmf 10031

68

Considerando una condicin general:

1 2

Z1

P1

P4

3

4Z4

gZV P

u gZV P

u hper112

11 4

42

44 1 42 2

+ + + = + + + +

P PgZ

Vu gZ

Vu hper

1 44

42

4 112

1 1 42 2

= + + + +

+

69

Prdida de carga

Accesorioshps

Secundarias

Tubera rectahpp

Primarias

hperPrdida de carga

70

Prdidas de carga primarias

h f LD

Vpp =

2

2

f = factor de friccin [-]

Si el ducto no es circular D = 4 Rh

L = longitud de la tubera [m]

V = velocidad del fluido [m/s]

D = dimetro interno [m]

71

Radio hidrulico:

Rh=Area mojada/Permetro mojado

RhD

DD=

=

14 1

4

2

Para un area circular llena

72

Factor de friccin:

e/DRugosidad relativa

RxNmero de Reynolds

fFactor de friccin

73

Factor de friccin:

f=f(e/D)

Rx>>4000flujo totalmente turbulento

f=f(Rx,e/D)

Rx>4000flujo turbulento

indefinido

20004000flujo en transicin

f=64/Rx

Rx

75

TUBERIAS COMERCIALES DE ACERO *** ANSI B36.10:1970 Y BS 1600: PARTE 2 1970

Cdula Medida Dimetro Espesor Dimetro Cdula Medida Dimetro Espesor Dimetro

nominal exterior interior nominal exterior interior

in mm mm mm in mm mm mm

14 355,6 6,35 342,9 3/4 26,7 3,91 18,9

16 406,4 6,35 393,7 1 33,4 4,55 24,3

10 18 457,2 6,35 444,5 1 1/4 42,2 4,85 32,5

20 508,0 6,35 495,3 1 1/2 48,3 5,08 38,1

24 609,6 6,35 596,9 2 60,3 5,54 49,2

30 762,0 7,92 746,2 2 1/2 73,0 7,01 59,0

8 219,1 6,35 206,4 3 88,9 7,62 73,7

10 273,0 6,35 260,3 80 3 1/2 101,6 8,08 85,4

12 323,9 6,35 311,2 ( XS ) 4 114,3 8,56 97,2

14 355,6 7,92 339,8 5 141,3 9,52 122,3

20 16 406,4 7,92 390,6 6 168,3 10,97 146,4

18 457,2 7,92 441,4 8 219,1 12,70 193,7

20 508,0 9,52 489,0 10 273,0 15,09 242,8

24 609,6 9,52 590,6 12 323,9 17,47 289,0

30 762,0 12,70 736,6 14 355,6 19,05 317,5

8 219,1 7,04 205,0 16 406,4 21,44 363,5

10 273,0 7,80 257,4 18 457,2 23,82 409,6

12 323,9 8,38 307,1 20 508,0 26,19 455,6

14 355,6 9,52 336,6 24 609,6 30,96 547,7

30 16 406,4 9,52 387,4 8 219,1 15,09 188,9

18 457,2 11,13 434,9 10 273,0 18,26 236,5

20 508,0 12,70 482,6 12 323,9 21,44 281,0

24 609,6 14,27 581,1 100 14 355,6 23,82 308,0

30 762,0 15,88 730,2 16 406,4 26,19 354,0

1/8 10,3 1,73 6,8 18 457,2 29,36 398,5

1/4 13,7 2,24 9,2 20 508,0 32,54 442,9

3/8 17,1 2,31 12,5 24 609,6 38,89 531,8

76

1/8 10,3 1,73 6,8 18 457,2 29,36 398,5

1/4 13,7 2,24 9,2 20 508,0 32,54 442,9

3/8 17,1 2,31 12,5 24 609,6 38,89 531,8

1/2 21,3 2,77 15,8 4 114,3 11,13 92,0

3/4 26,7 2,87 21,0 5 141,3 12,70 115,9

1 33,4 3,38 26,6 6 168,3 14,27 139,8

1 1/4 42,2 3,56 35,1 8 219,1 18,26 182,6

1 1/2 48,3 3,68 40,9 10 273,0 21,44 230,1

2 60,3 3,91 52,5 120 12 323,9 25,40 273,1

2 1/2 73,0 5,16 62,7 14 355,6 27,79 300,0

3 88,9 5,49 77,9 16 406,4 30,96 344,5

40 3 1/2 101,6 5,74 90,1 18 457,2 34,92 387,4

( STD ) 4 114,3 6,02 102,3 20 508,0 38,10 431,8

5 141,3 6,55 128,2 24 609,6 46,00 517,6

6 168,3 7,11 154,1 1/2 21,3 4,78 11,7

8 219,1 8,18 202,7 3/4 26,7 5,56 15,6

10 273,0 9,27 254,5 1 33,4 6,35 20,7

12 323,9 10,31 303,3 1 1/4 42,2 6,35 29,5

14 355,6 11,13 333,3 1 1/2 48,3 7,14 34,0

16 406,4 12,70 381,0 2 60,3 8,74 42,8

18 457,2 14,27 428,7 2 1/2 73,0 9,52 54,0

20 508,0 15,09 477,8 3 88,9 11,13 66,6

24 609,6 17,48 574,6 4 114,3 13,49 87,3

8 219,1 10,31 198,5 160 5 141,3 15,88 109,5

10 273,0 12,70 247,6 6 168,3 18,26 131,8

12 323,9 14,27 295,4 8 219,1 23,01 173,1

60 14 355,6 15,09 325,4 10 273,0 28,58 215,8

16 406,4 16,64 373,1 12 323,9 33,34 257,2

18 457,2 19,05 419,1 14 355,6 35,71 284,2

20 508,0 20,62 466,8 16 406,4 40,49 325,4

24 609,6 24,61 560,4 18 457,2 45,24 366,7

1/8 10,3 2,41 5,5 20 508,0 50,01 408,0

1/4 13,7 3,02 7,7 24 609,6 59,54 490,5

80 3/8 17,1 3,20 10,7

1/2 21,3 3,73 13,8

FLUIDOS 1 ***TMF10036*** RMTH

Prdidas de carga secundarias

h KV

fL

DV

psEquivalente= =

2 2

2 2

f = factor de friccin [-]Si el ducto no es circular D = 4 Rh

LEquivalente = longitud de tubera recta que produce una prdida de carga equivalente del accesorio en [m]V = velocidad del fluido [m/s]

D = dimetro interno [m]

K = Constante de prdida [-]

77

FLUIDOS 1 ***TMF10038*** RMTH

Despejando se tiene la equivalencia :

K fL

DEquivalente=

78

79

80

81

82

83

84

85

VC

FLUIDOS 1***TMF10033*** RMTH

PRDIDADA DE CARGA EN SERIE

Prdidas primarias

Perdidas secundarias

h KV

fL

DV

per ij

.1 2

2 2

2 2= +

86

FLUIDOOS 1 ***TMF10034*** RMTH

PRDIDADA DE CARGA EN PARALELO

Prdidas primarias

Perdidas secundarias

A

B

1 2

P esion comun ambas ramas2 = PrP esion comun ambas ramas1 = Pr

h hperd porA perd porB1 2 1 2 =

QA

QB

Q Q Q Q Igual o dist o QTotal A B A B= + int87

FLUIDOS 1***TMF10035*** RMTH

PRDIDADA DE CARGA

FORMULA DE HANZEN-WILLIAMS

JQD

= 9 95 10 21 852

4 869,,

,

J prdida de carga en [m por cada 100 m] de tubera recta

Q caudal en [m3/s]

D dimetro interior en [m]

hJ L

perd . =

100

88

Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Nmero de diapositiva 31Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Nmero de diapositiva 39Nmero de diapositiva 40Nmero de diapositiva 41Nmero de diapositiva 42Nmero de diapositiva 43Nmero de diapositiva 44Nmero de diapositiva 45Nmero de diapositiva 46Nmero de diapositiva 47Nmero de diapositiva 48Nmero de diapositiva 49Nmero de diapositiva 50Nmero de diapositiva 51Nmero de diapositiva 52Nmero de diapositiva 53Nmero de diapositiva 54Nmero de diapositiva 55Nmero de diapositiva 56Nmero de diapositiva 57Nmero de diapositiva 58Nmero de diapositiva 59PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINMICANmero de diapositiva 61Nmero de diapositiva 62Nmero de diapositiva 63Nmero de diapositiva 64Nmero de diapositiva 65Nmero de diapositiva 66Nmero de diapositiva 67Nmero de diapositiva 68Nmero de diapositiva 69Nmero de diapositiva 70Nmero de diapositiva 71Nmero de diapositiva 72Nmero de diapositiva 73Nmero de diapositiva 74Nmero de diapositiva 75Nmero de diapositiva 76Nmero de diapositiva 77Nmero de diapositiva 78Nmero de diapositiva 79Nmero de diapositiva 80Nmero de diapositiva 81Nmero de diapositiva 82Nmero de diapositiva 83Nmero de diapositiva 84Nmero de diapositiva 85Nmero de diapositiva 86Nmero de diapositiva 87Nmero de diapositiva 88