Capítulo 5

Hidrostática

5.1. Fluidos

El término hidrostática se refiere al estudio de los fluidos en reposo. Losfluidos son substancias, idealizadamente un continuo de masa, donde su formapuede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzaspequeñas. Son fluidos tanto los líquidos como los gases. Si se analizan lasfuerzas que pueden actuar sobre una porción de fluido, ellas son de dos tipos:causada por agentes exteriores, típicamente el peso de él, y las causadas por elfluido que está en su exterior mediante contacto. Es conveniente distinguir laparte de esa última fuerza que actúa normal a la superficie, llamadas fuerzasdebidas a la presión, de las fuerzas tangenciales o de viscosidad. Estas fuerzastangenciales actuando sobre la superficie del elemento de fluido, no pueden serequilibradas por fuerzas interiores, de modo que ellas causan escurrimientodel fluido. Si nos limitamos a fluidos en reposo, las fuerzas tangenciales nopueden existir. Ellas son relevantes en los casos donde los fluidos no estánen equilibrio, tema que no será tratado aquí. Aquí es necesario utilizar unsistema inercial de referencia y no debe existir movimiento del fluido respectoa las superficies en contacto con el. Cuando hay movimiento de fluidos sinexistir aceleraciones, se habla de situaciones estacionarias que tampoco serántratadas aquí.

126 Hidrostática

5.2. Concepto de Presión

Si una superficie se coloca en contacto con un fluido en equilibrio (enreposo) el fluido, gas o líquido, ejerce fuerzas normales sobre la superficie.Las fuerzas tangenciales que un fluidopuede ejercer sobre una superficie seoriginan cuando hay movimiento del fluido respecto a la superficie. Si sobreuna superficie actúan fuerzas normales distribuidas en forma continua, comose indica en la figura (5.1), se define la presión actuando sobre algún puntode ella como la fuerza por unidad de área que actúa sobre la superficie. Estapuede ser variable o constante de punto en punto de la superficie. Por esarazón su definición involucra un elemento infinitésimo de área dA.

dF

d A

Figura 5.1: Fuerzas de presión

O sea la presión en el punto donde se ubica el elemento de área (infinité-simo) dA se define por

P =dF

dA. (5.1)

Como se verá más adelante, la presión en un fluido en equilibrio aumenta conla profundidad, de modo que las presiones serán uniformes sólo en superficiesplanas horizontales en el fluido. Si la fuerza total F está distribuida en formauniforme sobre el total de un área horizontal A como se indica en la figura(5.2), la presión en cualquier punto de esa área será

P =F

A. (5.2)

5.2 Concepto de Presión 127

F

A

Figura 5.2: fuerza distribuida uniforme

5.2.1. Unidades de Presión

La unidad SI de presión es el Pascal, simbolizado Pa

1Pa = 1Nm−2

pero existen varias otras de uso corriente. La tabla siguiente las define y sedan algunas equivalencias.

Unidad Símbolo equivalenciabar 1 bar 1,0× 105 Paatmósfera 1 atm 101 325Pa 1,01325 bar 1013,25mbarmilímetros de mercurio 1 mmHg 133. 322PaTorr 1 torr 133. 322Palbf in−2 1 psi 0,068 0 atmkgf cm−2 1 0,9678 atm

1 atm 760. 0mmHg1 psi 6894. 75Pa

5.2.2. Propiedades de la presión

La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones,esto es que la fuerza que experimenta un elemento de área dentro de un fluido,no depende de la orientación de ese elemento de área. Además la presión

128 Hidrostática

en un mismo plano horizontal en el interior de un fluido en reposo, es lamisma. Estas propiedades fueron enunciadas como “principios” por Pascal,pero ahora pueden ser demostradas de modo muy simple usando las leyes dela estática, demostración que omitiremos aquí.

5.3. Densidad o masa específica

En un fluido, es importante la densidad o masa específica ella permitecalcular el peso del elemento de volumen que se considere, que es una posiblefuerza exterior actuando sobre cada elemento de fluido. Para un elemento devolumen dV ubicado en algún punto del fluido y que contenga una masa dM ,la densidad ρ en ese punto se define mediante

ρ =dM

dV, (5.3)

en consecuencia la unidad SI de densidad será kgm−3 pero es usual especi-ficar densidades en g cm−3, existiendo la equivalencia

1 g cm−3 = 1000 kgm−3.

5.3.1. Densidad relativa

Es posible utilizar una escala de densidades relativas a la de alguna subs-tancia específica, por ejemplo existen las densidades de los fluidos respectoal agua, es decir

ρr =ρ

ρH2O

, (5.4)

que es en consecuencia adimensional, es decir sin unidades.

5.4. Peso específico

El peso específico denotado por γ se define como el peso por unidad devolumen del fluido, es decir

γ = ρg, (5.5)

donde la unidad SI será Nm−3.

5.5 Presión atmosférica 129

5.5. Presión atmosférica

La atmósfera está constituida por aire, una mezcla en ciertas proporcionesde Nitrógeno y Oxígeno principalmente, que como toda substancia es atraídapor el campo gravitacional terrestre, es decir la atmósfera tiene peso. Laatmósfera es un fluido de varios kilómetros de altura, que producto de supeso, ejerce presión sobre todos los objetos sumergidos en ella. Esta presión sedenomina presión atmosférica y como veremos, ella disminuye con la altura.El famoso experimento de Torricelli, determinó por primera vez su valor.Considere un tubo de vidrio de alrededor de 1m de longitud, cerrado en unextremo, lleno de mercurio, un fluido el cual tiene una densidad de alrededor13,6 g cm−3. Tapando con un dedo el extremo abierto del tubo se invierte eltubo y se sumerge el extremo abierto en un recipiente que también contienemercurio. Si este experimento es realizado al nivel del mar, se logra unasituación de equilibrio como se indica en la figura, donde una altura de h =76 cm de mercurio (760mm) permanece equilibrada con vacío en su partesuperior.

h pa

vacío

Un pequeño análisis de las fuerzas involucradas en el equilibrio de la columnasuspendida de mercurio, nos da el valor de la presión atmosférica Pa. Si Adenota el área basal de esa columna, la fuerza que actúa por abajo es

PaA

la cual equilibra el peso de la columna de mercurio el cual es

ρHgghA

130 Hidrostática

de modo quePa = ρHg

gh = 760mmHg,

puesto que la altura suspendida es precisamente 760mmHg. Este experi-mento da origen al aparato llamado barómetro de mercurio y también a launidad de presión llamada mmHg. Si la presión atmosférica varía por cual-quier razón, también lo hará la altura de la columna de mercurio, constituyen-do entonces este dispositivo, un aparato para medir la presión atmosférica,directamente en mmHg.

5.6. Variación de la presión con la profundi-dad

Así como la presión atmosférica disminuye con la altura, es de esperarque la presión en el interior de un líquido, aumente con la profundidad.Recordando que la presión es la misma en todos los puntos al mismo nivelde un fluido en reposo, considere la primera figura, el elemento de fluidomarcado, está en equilibrio sometido a fuerzas externas verticales, debidasa la presión en las secciones (1) y (2), y a su peso W , de manera que lacondición de equilibrio es

Pa

F1

F2

h

W1

2h

Pa

P(h)

Figura 5.3:

5.7 Medidores de presión 131

F2 − F1 −W = 0,

y si A denota la sección transversal, la ecuación anterior se puede escribir

p2A− p1A = ρghA,

o bien

p2 = p1 + ρgh.

Entonces, considerando la segunda figura, la presión a una profundidad h,desde la superficie del fluido que está a la presión atmosférica, será

p = pa + ρgh. (5.6)

5.7. Medidores de presión

Existen diversos aparatos para medir la presión pero nos limitaremos adescribir aquellos que están basados en propiedades muy simples del equili-brio de columnas de fluidos. Los aparatos para medir la presión atmosféricase llaman barómetros, y los que miden presión en general, se llaman manó-metros.

5.7.1. Barómetro de mercurio en U

Considere la figura donde se muestra un tubo cerrado en un extremo,doblado en forma de U, abierto por el otro extremo donde actúa la presiónatmosférica que se desea medir. El mercurio alcanza una cierta posición deequilibrio, donde por el extremo cerrado por existir vacío, la presión es nula.Al nivel indicado, la presión debe ser la misma, de modo que podemos igualar

132 Hidrostática

vacío

h

pa

Pa = hmmHg = h torr.

5.7.2. Manómetro en U de líquido, para presiones re-lativas de gases

La columna en U contiene un líquido (líquido manométrico), por ejemploagua, de modo que en la situación de equilibrio, cuando la presión p en elrecipiente que contiene un gas es mayor que la atmosférica, la condición deequilibrio indicada en la figura da

5.7 Medidores de presión 133

presión p

h

p = pa + ρLgh,

de modo que si se mide la altura h, la presión relativa (a la atmosférica) será

p− pa = ρLgh.

La presión absoluta p puede también calcularse de allí si se conoce o se midela presión atmosférica mediante un barómetro.Si la presión en el recipiente que contiene el gas es menor que la atmos-

férica, la situación de equilibrio será como se indica en la figura siguiente

presión p

h

134 Hidrostática

de modo que la condición de equilibrio será

p+ ρLgh = pa,

dando para la presión relativa

p− pa = −ρLgh,

un valor negativo que refleja que la presión en el interior del recipiente esmenor que la atmosférica. Igualmente se puede calcular la presión (absoluta)si la presión atmosférica es conocida

p = pa − ρLgh.

Otras situaciones simples como estas se dejan como ejercicios planteados alfinal.

5.8. Principio de Arquímedes

Cuando un cuerpo sólido está en equilibrio en el interior de un fluido,él estará sometido a fuerzas exteriores de dos tipos: su peso u otras fuerzasaplicadas, y además las fuerzas distribuidas sobre su superficie causadas porla presión dentro del fluido. Esas últimas actúan normalmente a la superficiedel cuerpo y su resultante vertical puede ser fácilmente calculada. En efecto,si se considera la segunda de las figuras donde el cuerpo no está presente,pero se ha marcado la región donde el cuerpo estaba, las fuerzas sobre esasuperficie imaginaria son naturalmente las mismas que actuaban sobre elcuerpo. Pero ahora, ellas equilibran verticalmente al fluido encerrado por esasuperficie, de modo que la resultante vertical hacia arriba, debe igualar alpeso del fluido encerrado por dicha superficie. Se tiene entonces el llamadoprincipio de Arquímides.

5.9 Fuerza de Flotación 135

W

Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido, él experimenta una

fuerza ascendente, llamada fuerza de empuje, que es igual al peso

del fluido desplazado por el cuerpo.

En términos matemáticos, si V denota el volumen sumergido, ρL la den-sidad del líquido y E la magnitud del empuje, entonces

E = ρLV g. (5.7)

5.9. Fuerza de Flotación

La fuerza de empuje, que es igual al peso del fluido desplazado, tiene co-mo punto de aplicación el centro de gravedad del volumen de fluido que esdesplazado por el cuerpo. Si suponemos que el fluido es homogéneo, entoncesese punto coincide con el centroide de la región del cuerpo que ha desplazadoal fluido. Ese punto se denomina centro de flotación y en las figuras lo deno-taremos por B. Por otro lado, el peso del cuerpo actúa equivalentemente enel centro de masa del cuerpo G el cual puede o no coincidir con el centro deflotación, dando origen a la necesidad de analizar las estabilidad de cuerpossumergidos en equilibrio.

5.9.1. Cuerpo totalmente sumergido

Cuando un cuerpo está totalmente sumergido, pueden ocurrir tres casossegún el centroide del líquido desplazado, punto B, esté sobre, coincida o esté

136 Hidrostática

más abajo que el centro de masa del cuerpo, punto G. La figura siguienteilustra esos tres casos.

B G

w

E

BG

w

E

BG

w

E

En el primero, la fuerza de empuje actúa más arriba del peso, luego parauna rotación del cuerpo, aparece un par que tiende a restaurar la posiciónoriginal, en consecuencia este equilibrio es estable. En el segundo caso, noaparece par al girar el cuerpo, luego el equilibrio es indiferente y en el último,el par que se origina tiende a alejar el cuerpo de la posición de equilibrio, lacual es en consecuencia, inestable.

5.9.2. Cuerpo parcialmente sumergido

La figura siguiente ilustra dos casos para cuerpos parcialmente sumergi-dos.

w

E E

w

GBB

G

En el primer caso, se trata de un cuerpo homogéneo parcialmente sumer-gido. El centro de masa G está en el centro del cuerpo, sin embargo el centrode flotación B, correspondiente al centroide de la parte sumergida, está másabajo. Entonces en la situación de equilibrio E =W pero hay aparentementeproblemas con la estabilidad. La cuestión de qué ocurre si el cuerpo se inclinalevemente la analizaremos en la sección siguiente. A primera vista pareceríaque si el cuerpo se inclina algo hacia la derecha, el torque del par de lasdos fuerzas paralelas pero no colineales, tendería a inclinarlo aún más. Ya seexplicará que ocurre.En segundo caso se trata de un cuerpo inhomogéneo que flota, y para el

caso de la figura G está más abajo que B y el equilibrio es evidentemente

5.9 Fuerza de Flotación 137

estable, porque al inclinar el cuerpo, el par de fuerzas tiende a restaurar laposición original.

5.9.3. Estabilidad de un cuerpo prismático inhomogé-neo

Considere un cuerpo prismático inhomogéneo, de modo que su centrode masa está más arriba del centroide, como se ilustra en la figura. Si elcuerpo está parcialmente sumergido, de modo que el centro de flotación Bestá más abajo que G, hay problemas con la estabilidad. Analizaremos lo queocurre con el par de las fuerzas para variaciones pequeñas de la inclinacióndel cuerpo.

M

G

B

G

B

θ

θ

Altura metacéntrica.La figura de la izquierda representa la situación de equilibrio, aparentementeinestable por estar G arriba del centro de flotación B. Sin embargo, si lafigura se inclina un ángulo pequeño θ como se muestra en la figura derecha,el centro de gravedad cambia relativamente poco, pero el centro de flotación,el centroide de la zona marcada gris, puede cambiar bastante como se ilustraen la figura. La vertical que pasa por B, la línea de acción del empuje, cortaa la línea central donde está G en un punto M que se denomina metacentro.Si ese punto queda más arriba de G el par de las fuerzas es restaurador y elequilibrio es estable, que es el caso de la figura. La distanciaMG se denominaaltura metacéntrica y el par restaurador está dado por

MG ·W sin θ,

dondeW es el peso del cuerpo. SiM está abajo de G el equilibrio es inestabley si coinciden indiferente.

138 Hidrostática

5.10. Fuerzas sobre las paredes o compuertas

Las fuerzas horizontales causadas por la presión sobre superficies que en-cierran al fluido, aumentan linealmente con la profundidad, de modo quese tienen fuerzas distribuidas no uniformes actuando sobre ellas. Como seexplicó en el capítulo de Estática, la resultante de ese sistema de fuerzasparalelas es en general una fuerza paralela aplicada en un punto arbitrario,más el torque de todas esas fuerzas distribuidas respecto a ese mismo punto.Es sin embargo conveniente calcular la resultante de esas fuerzas en un ciertopunto, llamado centro de presión, respecto al cual el torque de las fuerzas dis-tribuidas es nulo. Explicaremos entonces la forma de hacerlo. Esto requieresin embargo de elementos de cálculo integral que trataremos de omitir. Parael caso de compuertas y situaciones similares, la fuerza debido a la presiónatmosférica actúa por ambos lados, y entonces la omitiremos del análisis porno contribuir en forma neta a la fuerza horizontal actuando sobre la superfi-cie. La figura siguiente ilustra una situación típica, donde por el interior deuna superficie hay un fluido y por el exterior está la atmósfera.

Y

w dy

superficie fluído

perfil de presión

X

g

O

En términos de la profundidad y la fuerza neta que actúa a esa profundi-

5.10 Fuerzas sobre las paredes o compuertas 139

dad sobre el elemento de área de ancho w y altura dy es

dF = pwdy,

= ρgywdy.

Entonces se tiene una fuerza distribuida cuya magnitud por unidad de lon-gitud varía linealmente de la forma

dF

dy= ρwgy Nm−1.

El cálculo de la fuerza resultante dependerá de la forma de la superficie quese considere.

5.10.1. Superficie rectangular

El caso más simple es si la superficie es rectangular como se indica en lafigura que sigue

Y

w

y1

superficie fluído

perfil de presión

X

g

O

y2

donde se desea evaluar la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas entrey1 e y2. Como vimos en el capítulo de fuerzas, la resultante y el punto deaplicación corresponden al área y al centroide de la figura correspondiente ala fuerza distribuida entre y1 e y2.

140 Hidrostática

y1

y2

O

y1

y2

O

yP F

a

b

Como sabemos el área es1

2(a+ b) (y2 − y1)

y el centroide está (medido desde y1 hacia abajo)

1

3

(a+ 2b)

a+ b(y2 − y1)

donde a y b son las fuerzas por unidad de longitud en y1 e y2

a = ρwgy1,

b = ρwgy2,

así entonces la fuerza resultante es

F =1

2(ρwgy1 + ρwgy2) (y2 − y1)

=1

2ρwg

¡y22 − y21

¢y su punto de aplicación será

yP = y1 +1

3

(a+ 2b)

a+ b(y2 − y1)

=2

3

y21 + y2y1 + y22y1 + y2

.

En particular si la superficie está entre y1 = 0 e y2 = h resultará

yP =2

3h. (5.8)

5.10 Fuerzas sobre las paredes o compuertas 141

5.10.2. Superficie de forma arbitraria

Si la superficie no es rectangular, como se ilustra en la figura que sigue

Y

w

superficie fluído

perfil de presión

X

g

O

dx

dy

dF

x

y

A

es necesario recurrir al cálculo integral. La fuerza actuando sobre el elementode área dA = dxdy indicado en la figura será

dF = ρgydA = ρgydxdy

de modo que la fuerza resultante será

F = ρg

ZA

ydxdy

y la posición del centro de fuerza estará dada por sus coordenadas

xP =

RAxdF

F, yP =

RAydF

F, (5.9)

que pueden escribirse

xP =

RAxydxdyR

Aydxdy

, yP =

RAy2dxdyR

Aydxdy

,

integrales que podrían hacerse si se conoce la forma del área. Como ustedno domina aún el tema de las integrales, no se preocupe demasiado por estasección.

142 Hidrostática

5.11. Fuerza sobre una superficie de formarectangular inclinada

En una sección anterior se calculó la fuerza resultante y centro de la fuerzapara un área vertical de sección rectangular. Para una sección rectangularinclinada un ángulo θ con la vertical, el cálculo es muy parecido.

y1

O

y2

O

yP

F

a

b

Y

θ

pero ahora, el eje OY está inclinado luego debemos tomar

a = ρwgy1 cos θ,

b = ρwgy2 cos θ,

y luego resultarán

F =1

2ρwg

¡y22 − y21

¢cos θ, (5.10)

y su punto de aplicación será

yP =2

3

y21 + y2y1 + y22y1 + y2

. (5.11)

Note que la expresión para el centro de fuerza es la misma.

5.12 Ejemplos 143

5.11.1. Torque

Es a veces necesario calcular el torque ejercido por las fuerzas de presiónsobre una compuerta, ya sea sobre el extremo inferior Γy2 o sobre el extremosuperior Γy1 . Usando las dos últimas ecuaciones se obtienen sus magnitudes

Γy2 =1

2ρwg

¡y22 − y21

¢(y2 − yP ) cos θ,

=1

2ρwg

¡y22 − y21

¢(y2 −

2

3

y21 + y2y1 + y22y1 + y2

) cos θ,

=ρgw

6

¡y2y1 + y22 − 2y21

¢(y2 − y1) cos θ,

y similarmente

Γy1 =1

2ρwg

¡y22 − y21

¢(yP − y1) cos θ,

=1

2ρwg

¡y22 − y21

¢(2

3

y21 + y2y1 + y22y1 + y2

− y1) cos θ,

=1

6

¡2y22 − y21 − y2y1

¢(y2 − y1) gwρ cos θ.

5.12. Ejemplos

Los siguientes valores numéricos de densidades pueden ser necesarios paraalgunos problemas y ejemplos (pa = 1atm, t = 0 ◦C)

Substancia ρ kgm−3 Substancia ρ kgm−3

Hielo 0,917× 103 Agua 1,000× 103Aluminio 2,70× 103 Agua de mar 1,03× 103Hierro 7,86× 103 Alcohol etílico 0,806× 103Cobre 8,92× 103 Benceno 0,879× 103Plata 10,5× 103 Mercurio 13,6× 103Plomo 11,3× 103 Aire 1,29Oro 19,3× 103 Oxígeno 1,43Platino 21,4× 103 Hidrógeno 8,99× 10−2Glicerina 1,26× 103 Helio 1,79× 10−1

Ejemplo 5.12.1 Un pedazo de aluminio se suspende de una cuerda y sesumerge completamente en un recipiente con agua. La masa del trozo de alu-minio es de 1 kg. Calcule la tensión de la cuerda antes y después de sumergirel trozo de aluminio.

144 Hidrostática

Solución. La tensión antes es simplemente el peso del trozo de aluminioes decir

W = mg = 1× 9,8 = 9,8N.Cuando se sumerge la fuerza de empuje es

E = ρH2OVAlg,

pero el volumen del aluminio es

VAl =m

ρAl

de modo que la fuerza de empuje será

E = ρH2O

m

ρAlg

= 1031

2,70× 1039,8 = 3. 6N

y finalmente la tensión en la cuerda será la diferencia

T = 9,8− 3. 6 = 6. 2N

N

Ejemplo 5.12.2 Un cubo de Hielo flota en agua. Determine la fracción delhielo que queda sobre la superficie del agua.

Solución. Sea m la masa de hielo. Su peso será

W = mg.

Su volumen total seráV =

m

ρHielo

,

de modo que podemos escribir el peso en términos del volumen como

W = ρHieloV g

Cuando una fracción VS del volumen queda sumergido, la fuerza de em-puje es

E = ρH2OgVS.

5.13 Ejercicios 145

En la situación de equilibrio el peso iguala al empuje de modo que

ρHieloV g = ρH2OgVS,

de dondeVSV=

ρHielo

ρH2O

= 0,917

o sea hay un 91,7% sumergido y por lo tanto 8,3% sobre el nivel del agua.

N

5.13. Ejercicios

Ejercicio 5.1 La compuerta de la figura tiene 2m de ancho y contieneagua. Si el eje que soporta la compuerta que pasa por A soporta un par má-ximo de 150 kNm, determine la máxima altura h que puede tener el agua.

2.8 m

Ah

2.1 m

Ejercicio 5.2 Determínese el par que se requiere hacer en A para sostenerla compuerta indicada cuyo ancho, perpendicular al papel es w = 2m.

2 m

A6 m

146 Hidrostática

Ejercicio 5.3 Determine la ubicación “y ”del pivote fijo A de manera quejusto se abra cuando el agua está como se indica en la figura.

2 m

A1 m

y

Ejercicio 5.4 Un bloque con una sección transversal de área A, altura H ydensidad ρ , está en equilibrio entre dos fluidos de densidades ρ1 y ρ2 , conρ1 < ρ < ρ2 . Suponga que los fluidos no se mezclan. Determine la fuerzade empuje sobre el bloque y encuentre la densidad del bloque en función deρ1 , ρ2 , H y h.

hρ1

ρ2

Ejercicio 5.5 Un cuerpo de material desconocido pesa 4N en el aire y2,52N sumergido en agua. Encuentre la densidad específica del material.

Ejercicio 5.6 Una balsa de área A, espesor h y masa 400 kg flota en aguastranquilas con una inmersión de 5 cm. Cuando se le coloca una carga sobreella, la inmersión es de 7,2 cm. Encuentre la masa de la carga.

Ejercicio 5.7 Un cuerpo homogéneo prismático de 20 cm de espesor 20 cmde ancho y 40 cm de longitud se mantiene en reposo sumergido en agua a

5.13 Ejercicios 147

50 cm de profundidad al aplicar sobre él una tensión de 50N . ¿Cuánto pesaen aire y cuál es su densidad relativa?

Ejercicio 5.8 ¿Qué fracción del volumen de una pieza sólida de metal dedensidad relativa al agua 7,25 flotará sobre un mercurio de densidad relativa13,57?

Ejercicio 5.9 Un tarro cilíndrico de 20 cm de diámetro flota en agua con10 cm de su altura por encima del nivel del agua cuando se suspende un bloquede hierro de 100N de peso de su fondo. Si el bloque se coloca ahora dentrodel cilindro ¿qué parte de la altura del cilindro se encontrará por encima dela superficie del agua? Considere la densidad del hierro 7,8 g cm−3.

Ejercicio 5.10 Considere el sistema de la figura donde el tubo está llenode aceite de densidad ρ = 0,85 g cm−3. Uno de los recipientes está abierto ala atmósfera y el otro está cerrado y contiene aire. Determine la presión enlos puntos A y B si la presión atmosférica es 1 atm.

0.5 m

Aceite

Aceite

AireB

2 m

A

Ejercicio 5.11 Con respecto a la figura, determine la presión en los puntosA, B, y C de la figura donde el aceite tiene densidad 0,90 g cm−3 y el agua1,00 g cm−3.

148 Hidrostática

Aire A Aire

C

Aceite

Agua

0.3 m0.3 m

0.6 mB

D

Ejercicio 5.12 En una piscina se encuentra flotando una balsa que tieneforma de un paralelepípedo de densidad relativa (al agua) de 0,3 y cuyasdimensiones son 120 cm de largo, 100 cm de ancho y 25 cm de alto. Determine

a) La fuerza de empuje.

b) La altura medida desde el fondo de la balsa a la que se encuentra lalínea de flotación.

c) El peso que debería colocarse sobre la balsa para que esta se hundiera6 cm más.

Ejercicio 5.13 Determine la fuerza resultante y su punto de aplicacióndebida a la acción del agua sobre la superficie plana rectangular de alturaAB = 2m y de ancho 1m (hacia adentro del papel), donde el punto A estáa profundidad de 1,2m.

2 m

1.2 mA

B

Ejercicio 5.14 Repita el problema anterior si la línea OAB forma un án-gulo de 30o respecto a la vertical.

5.13 Ejercicios 149

O

2 m

A

B

1.2 m30º

Ejercicio 5.15 Un tubo en U que está abierto en ambos extremos se llenaparcialmente con agua. Después se vierte keroseno de densidad 0,82 g cm−3

en uno de los lados que forma una columna de 6 cm de altura. Determine ladiferencia de altura h entre las superficies de los dos líquidos.

h

pa pa

6 cm

Ejercicio 5.16 Un tubo en U que está abierto en ambos extremos se llenaparcialmente con mercurio. Después se vierte agua en ambos lados obteniendouna situación de equilibrio ilustrada en la figura, donde h2 = 1cm. Determi-ne la diferencia de altura h1entre las superficies de los dos niveles de agua.

150 Hidrostática

h2

h1

pa pa

Solución. Sea ρa la densidad del agua y ρm la densidad del mercurio. Lapresión al nivel inferior del mercurio puede es la misma y puede calcularsepor las dos ramas obteniendo

ρmgh2 = ρagh2 + ρagh1,

de donde

h1 = (ρmρa− 1)h2.

N

Ejercicio 5.17 La compuerta de la figura tiene una altura de 2m un anchode 2m, está articulada en A y apoyada en B como se indica en la figura. Siel fluido es agua de densidad ρ = 1000 kgm−3 y su nivel llega hasta la mitadde la compuerta, determine las reacciones horizontales en los puntos A y B.

5.13 Ejercicios 151

2 m

A

1 m

B

Ejercicio 5.18 El tubo en U de la figura está abierto a la presión atmosfé-rica en ambos extremos y contiene dos líquidos (1) y (2) que no se mezclancomo se indica en la figura. Determine la razón de las densidades ρ1

ρ2.

h2

h1

pa pa