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Universidad Nacional de Luján
Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años
Universidad Nacional de Luján
Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años
sin título secundariosin título secundariosin título secundariosin título secundario
Ingreso 2013Ingreso 2013Ingreso 2013Ingreso 2013
Matemática
Universidad Nacional de Luján
Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años Material de Apoyo para Aspirantes mayores de 25 años
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PresentaPresentaPresentaPresentaciónciónciónción
En numerosas carreras que ofrece la Universidad Nacional de Luján (UNLu) está presente la matemática, ya sea como uno de los ejes fundamentales de la carrera o bien como un mero instrumento para alcanzar objetivos específicos, y su estudio depende en gran medida de los contenidos abordados en la secundaria.
La enseñanza y el aprendizaje de la matemática en la Escuela Secundaria implica el alcance de objetivos entre los que se destacan: • Desarrollar habilidades: calcular, inferir, comunicar, medir, estimar, generalizar y deducir. • Promover actitudes positivas: colaboración, respeto, investigación, perseverancia y autonomía.
• Adquirir conocimientos matemáticos: aritmética, álgebra, geometría, estadística y probabilidad.
Esta área del conocimiento requiere además que su estudio se realice en forma reflexiva y no memorística. Por este motivo, si bien el presente material de apoyo aporta nociones matemáticas como herramientas para la resolución de problemas, es además necesaria la reflexión sobre lo realizado, la comparación de distintos procedimientos, los argumentos utilizados y las repuestas obtenidas. La resolución de problemas requiere que el alumno elabore conjeturas, pruebe, se
equivoque, recomience a partir del error, proponga soluciones, las discuta y extraiga conclusiones. Además de las capacidades mencionadas anteriormente, se espera que los alumnos comprendan textos matemáticos, construyan conjeturas y opiniones ante una situación problemática, utilicen un lenguaje preciso, dispongan de distintas estrategias para la resolución, justifiquen la validez de sus
razonamientos, generalicen conclusiones y analicen críticamente una resolución planteada. Cabe destacar que aunque el material está diseñado para que el alumno trabaje con autonomía, también es conveniente el trabajo grupal y la intervención oportuna del docente, preferentemente en modalidad taller, para lo cual UNLu ofrece un espacio de tres clases de tres horas reloj cada una para el tratamiento del mismo. Se propone trabajar sobre los siguientes contenidos:
• Números racionales: concepto, operaciones básicas; • Porcentaje: relación con los números racionales, cálculos; • Perímetro y Área: cálculo de perímetros y áreas de distintas figuras, fórmulas; • Lenguaje algebraico: traducción de situaciones problema, relacionadas con los contenidos
previos, al lenguaje algebraico y resolución de ecuaciones con una incógnita.
Este material tiene como propósito acompañar a los aspirantes en su preparación al ingreso en el
dominio no sólo de los contenidos mencionados sino también en la adquisición de competencias, y
está organizado de la siguiente forma:
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Eje 1: Algunas nociones sobre Números Racionales
El módulo contiene definiciones, explicaciones, ejemplos relativos a las operaciones básicas entre
números racionales, ejercicios a resolver y problemas de aplicación.
Eje 2: Cálculo de Porcentajes
El módulo contiene definiciones, ejemplos relativos al cálculo de porcentajes y su relación con los
números racionales y problemas en los que es necesaria la aplicación de porcentajes.
Eje 3: Perímetro y área de algunas figuras planas
El módulo contiene definiciones, fórmulas relativas al perímetro y área de algunas figuras planas y
problemas donde se deben aplicar diferentes estrategias de resolución.
Acerca del lenguaje algebraico, el material ha sido diagramado de tal forma que esos contenidos se
entrelazan con la resolución de las actividades presentadas en los módulos. Además, se presenta
un anexo al final de este material con los pasos a seguir en la resolución de problemas que, será de
gran utilidad en el transcurso de cualquier carrera de esta universidad.
Se espera que el material sea amigable en la lectura y sirva como herramienta disparadora para la
aprehensión de las capacidades relacionadas con el quehacer matemático, sea cual fuere la
carrera de elección del estudiante.
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Eje 1
Algunas nociones sobre Números Racionales
¿Qué es una fracción?¿Qué es una fracción?¿Qué es una fracción?¿Qué es una fracción? La idea de fracción se corresponde con la idea de dividir la totalidad ejemplo media hora, un cuarto de torta, las dos terceras partes de una botella de aceite. Si tenemos una pizza cortada en ocho partes iguales y queremos representar una porción de la
misma, podemos escribir:
�
�
Un octavo es igual a 0,125. Es decir que una porciónpizza Una fracción es una expresión que denota una división entre números enteros.enteros cualquiera, siempre se pueden dividir? Respuesta NO, no se puede dividir por 0 ¿Por qué?
Una fracción está compuesta por dos números que se llaman numerador y denominador
Una fracción es un cociente entre dos números enteros, en la que el segundo númecero.
La fracción �
� tiene como numerador al 3 y como denominador al 4. El 3 significa que se han
considerado 3 partes de un total de 4 partes en que se dividió el entero o el todo.
Volviendo al ejemplo de la pizza, para obtenertamaño y forma, pero la pizza está dividida en ocho partes iguales, está claro que necesitaremos dos pizzas iguales.
Veamos otros ejemplos gráficos sobre algunas fracciones:
La idea de fracción se corresponde con la idea de dividir la totalidad de “algo” ejemplo media hora, un cuarto de torta, las dos terceras partes de una botella de aceite.
i tenemos una pizza cortada en ocho partes iguales y queremos representar una porción de la
Un octavo es igual a 0,125. Es decir que una porción de pizza representa el 0,125 del total de la
na fracción es una expresión que denota una división entre números enteros.enteros cualquiera, siempre se pueden dividir? Respuesta NO, no se puede dividir por 0 ¿Por qué?
está compuesta por dos números que se llaman numerador y denominador
a numerador b denominador b ≠ 0
Una fracción es un cociente entre dos números enteros, en la que el segundo núme
tiene como numerador al 3 y como denominador al 4. El 3 significa que se han
considerado 3 partes de un total de 4 partes en que se dividió el entero o el todo.
ejemplo de la pizza, para obtener 9 porciones iguales a la anterior, es decir del mismo tamaño y forma, pero la pizza está dividida en ocho partes iguales, está claro que necesitaremos
�
��
�
��
�
�
Veamos otros ejemplos gráficos sobre algunas fracciones:
Partes que tengo Cantidad de partes en que está dividido el entero
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de “algo” en partes iguales, por ejemplo media hora, un cuarto de torta, las dos terceras partes de una botella de aceite.
i tenemos una pizza cortada en ocho partes iguales y queremos representar una porción de la
de pizza representa el 0,125 del total de la
na fracción es una expresión que denota una división entre números enteros. ¿Dos números enteros cualquiera, siempre se pueden dividir? Respuesta NO, no se puede dividir por 0 ¿Por qué?
está compuesta por dos números que se llaman numerador y denominador
Una fracción es un cociente entre dos números enteros, en la que el segundo número es distinto de
tiene como numerador al 3 y como denominador al 4. El 3 significa que se han
considerado 3 partes de un total de 4 partes en que se dividió el entero o el todo.
9 porciones iguales a la anterior, es decir del mismo tamaño y forma, pero la pizza está dividida en ocho partes iguales, está claro que necesitaremos
Cantidad de partes en que está dividido el entero
Este gráfico representa la fracción
Este gráfico representa la fracción
Debes tener presente que existen distintas posibilidades para representar gráficamente una fracción, es decir, se puede representar con distintos dibujos; lo importante es tener siempre presente el concepto de fracción.
Los números racionalesnúmeros racionalesnúmeros racionalesnúmeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente entre dos números
enteros. Actividades
1- Escribir la fracción que representa a cada gráfico:
2- Decir en cada caso la fracción que falta para llegar al entero:
3- Escribir la fracción que corresponde a cada oración:a. Tres de las doce computadoras de un b. En un cine estaban ocupadas 67 de las 120 localidadesc. Durante las vacaciones, llovió 3 de los 7 días que estuve en Mar del Plata
4- Si un curso está compuesto por 18 varones y 14 mujeres, entonces ¿cuál es la fracción que representa el número de varones del curso?
5- ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde?6- ¿Cuántos octavos hay en dos unidades?7- ¿Qué fracción de un siglo son 40 años?8- ¿Qué fracción representa la cantidad de consonantes en la palabra “ser9- En una bolsa tenemos 24 caramelos de frutilla, 36 caramelos de naranja y 18 caramelos de
limón. a. ¿Qué fracción representan los caramelos de frutilla del total de caramelos?b. ¿Qué fracción representan los caramelos de limón?c. Si saco 6 caramelos de limón ¿q
limón?
Este gráfico representa la fracción �
�
Este gráfico representa la fracción �
�
Debes tener presente que existen distintas posibilidades para representar gráficamente una fracción, es decir, se puede representar con distintos dibujos; lo importante es tener siempre
ente el concepto de fracción.
son aquellos que pueden expresarse como el cociente entre dos números
Escribir la fracción que representa a cada gráfico:
Decir en cada caso la fracción que falta para llegar al entero:
2/7 2/13
Escribir la fracción que corresponde a cada oración: Tres de las doce computadoras de un cibercafé estaban desocupadasEn un cine estaban ocupadas 67 de las 120 localidades Durante las vacaciones, llovió 3 de los 7 días que estuve en Mar del Plata
Si un curso está compuesto por 18 varones y 14 mujeres, entonces ¿cuál es la fracción que enta el número de varones del curso?
¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde?¿Cuántos octavos hay en dos unidades? ¿Qué fracción de un siglo son 40 años? ¿Qué fracción representa la cantidad de consonantes en la palabra “serEn una bolsa tenemos 24 caramelos de frutilla, 36 caramelos de naranja y 18 caramelos de
¿Qué fracción representan los caramelos de frutilla del total de caramelos?¿Qué fracción representan los caramelos de limón? Si saco 6 caramelos de limón ¿qué fracción representan ahora los caramelos de
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Debes tener presente que existen distintas posibilidades para representar gráficamente una fracción, es decir, se puede representar con distintos dibujos; lo importante es tener siempre
son aquellos que pueden expresarse como el cociente entre dos números
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cibercafé estaban desocupadas
Durante las vacaciones, llovió 3 de los 7 días que estuve en Mar del Plata Si un curso está compuesto por 18 varones y 14 mujeres, entonces ¿cuál es la fracción que
¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde?
¿Qué fracción representa la cantidad de consonantes en la palabra “ser”? En una bolsa tenemos 24 caramelos de frutilla, 36 caramelos de naranja y 18 caramelos de
¿Qué fracción representan los caramelos de frutilla del total de caramelos?
ué fracción representan ahora los caramelos de
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Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando representan al mismo número. Ejemplo: Renzo y María tienen dos jardines de igual superficie. El jardín de Renzo tiene árboles frutales en las 2/5 partes de su extensión. El de María tiene árboles frutales en las 4/10 partes de su
extensión.
Los dos jardines tienen la misma superficie ocupada con árboles frutales. Entonces 2/5 es equivalente a 4/10. Las fracciones son distintas pero representan al mismo número: 0,4.
¿Cómo se opera con fracciones?¿Cómo se opera con fracciones?¿Cómo se opera con fracciones?¿Cómo se opera con fracciones? Veremos las cuatro operaciones básicas entre fracciones: suma, resta, multiplicación y división.
Suma y restaSuma y restaSuma y restaSuma y resta
Supongamos que tenemos que sumar �
��
�
�. Gráficamente:
+ =
Entonces �
��
�
��
�
�. Aquí vemos que al tener el mismo denominador, la suma se realiza
sumando los numeradores y dejando inalterado el denominador.
Supongamos que ahora tenemos que sumar �
�
�
. Gráficamente:
+
Aquí el problema radica en que no se pueden sumar medios con tercios de forma inmediata, pero
podemos pensar en fracciones equivalentes a �
y
�
cuyo denominador sea el mismo. Por ejemplo
�
es equivalente a �
y
�
es equivalente a
�
:
+
Sumar �
�
�
es equivalente a sumar �
�
�
.
7
El resultado de la suma es �
.
Está claro que es incómodo hacer gráficos cada vez que se nos presente una suma de fracciones,
es por esto que es más conveniente buscar fracciones equivalentes a ellas, del mismo
denominador, y luego sumamos los numeradores.
Definición de suma: �
�±
�
��
�. � ± �. �
�. � � ≠ 0, � ≠ 0
Ejemplos: �
��
��
�.���.
�.��
����
���
��
��
�
�−
��
�.���.
�.��
����
���
��
��
ProductoProductoProductoProducto
Para efectuar el producto entre dos fracciones ponemos por definición: Definición de producto:
�
�.�
��
�. �
�. � � ≠ 0, � ≠ 0
Ejemplo: �
�.
��
�.
�.��
��
�� o su equivalente
�
CocienteCocienteCocienteCociente Para efectuar el cociente entre dos fracciones ponemos por definición: Definición de cociente:
�
�:
�
��
�
�.�
� � ≠ 0, � ≠ 0, � ≠ 0
Actividades
1- Efectuar las siguientes operaciones:
a. �
�
�
�
8
b. �
−
�
�
c. �
��
�
�
d. �
�−
�
��
�
−
�
�
e.
�− 2 �
�
��
f. �
�.
�
��
g. �
�.
�
��
h. �
��.
�
�. 5 �
i. ��
��:
�
���
j. ��
:
�
��
k. �
��:
�
���
l. 20: 100 �
2- Dado el siguiente gráfico donde A, B,C, D, E y F son fracciones de la figura, contestar:
a. ¿Qué fracción del cuadrado representan las partes A, B,C, D, E y F?
b. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones? i. A + B + C + D + E + F ii. A + B iii. A + B – C iv. C + D – F
v. A – (E – D) vi. A . E + D vii. A : B viii. 6 A – B
A
C
B
E
D F
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Eje 2
Cálculo de Porcentajes
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¿A qué se llama porcentaje¿A qué se llama porcentaje¿A qué se llama porcentaje¿A qué se llama porcentaje???? Es una forma de expresar una fracción o parte de un entero, tomando como entero al 100%. Es decir que para indicar las x/100 partes de un número se escribe x% de ese número, o sea:
x% de A = �
��� . A
En un negocio hacen una rebaja del 10% sobre todos sus productos por liquidación total, a mí me interesa un televisor cuyo precio de lista es $5000. ¿Cuál es el precio que debo pagar con la rebaja?
Mentalmente podemos calcular que el 10% de $5000 son $500, por lo tanto voy a pagar $4500 por el televisor, pero ¿cómo expreso la operación?
10% de 5000 = ��
��� .5000 = 500 5000 – 500 = 4500
Si el descuento hubiese sido del 15% haríamos
15% de 5000 = ��
��� . 5000 = 750 5000 – 750 = 4250
Otros ejemplos de cálculos de porcentajes:
20% de 54 = �
��� . 54 =
����
��� = 10,80
32% de 850 = �
��� . 850 =
���
��� = 272
Laura contestó correctamente 26 de las 40 preguntas de su examen de inglés, es decir que acertó
26/40 del examen. ¿Qué porcentaje de preguntas contestó correctamente?
�� = 0,65 =
�
��� = 65%
Para saber qué porcentaje representa una fracción, escribimos su expresión decimal y observamos
cuántos centésimos hay en ella.
Otros ejemplos del porcentaje que representa una fracción:
1/8 = 0,125 o sea el 12,5 %
2/5 = 0,4 o sea el 40%
1/3 = 0,3333…… o sea el 33,3 %
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Actividades
1- Indicar qué porcentaje representa cada fracción:
a. 3/50 b. 9/20 c. 3/20
d. 12/25 2- Indicar qué porcentaje representa cada expresión decimal:
a. 0,03 b. 0,005
c. 1,07 d. 0,018 e. 0,8 f. 2,04
3- Expresar la fracción que corresponde a cada porcentaje:
a. 15% b. 22,5% c. 130%
4- En un curso de 35 alumnos, 7 alumnos no aprobaron la evaluación. La misma evaluación se
tomó en un curso de 48 alumnos y no aprobaron 9 de ellos. Calcular el porcentaje de aprobados de cada curso
5- Calcular: a. El 58% de 4800 b. El 73% de 4400 c. El 12% de 1700
d. El 81% de 2315 e. El 75% de 2200 f. El 68% de 210
6- Si en una compra de $120, me hacen un descuento del 5% ¿Cuál es el monto final de la compra?
7- Voy a una disquería a comprar cds y me dicen que el precio de cada uno es de $22, a su vez, si
compro 10 o más de 10 me hacen un 8% de descuento, y si compro más de 15, me hacen un 12% de descuento a. Si compro 11 cds ¿Cuánto me costarían? b. ¿Cuál sería el precio de cada cd si compro 20?
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Ahora veamos cómo calcular los valores porcentuales, es decir qué porcentaje es un número de una
cierta cantidad: En el curso hay 50 estudiantes, de ellos 15 son de simpatizantes de River Plate. ¿Qué porcentaje de alumnos del curso son de River Plate?
El planteo de la situación es el siguiente: x% de 50 = 15 Para resolver el interrogante podemos plantear la ecuación:
�
��� . 50 = 16 y luego despejar x.
x. ��
��� = 16
� =16. ���
��
� =32
Respuesta: el 32% de los alumnos del curso son simpatizantes de River Plate.
Actividades
1- Completar: a. 460 es el ………% de 9200 b. 516 es el ……….% de 600 c. 17 es el …………% de 100 d. 2400 es el ………..% de 8000 e. 1080 es el ……….% de 6000
2- ¿Qué descuento me tendrían que hacer en una compra de $160, para que el monto final sea
$120? 3- Observar el siguiente gráfico, que representa el número de hijos menores de 21 años en familias
de una ciudad:
a. ¿Cuántas familias fueron encuestadas? b. ¿Cuántas familias tienen más de 4 hijos? ¿Qué porcentaje del total de familias representa
esta cantidad?
05
1015202530354045
0 1 2 3 4 5
Cantidad de familias
Número de hijos
13
4- ¿Qué descuento me tendrían que hacer en una compra de $160 para que el monto final sea
$120? 5- Tengo que comprar repasadores, cuyo precio de lista es $8. Tengo en total $490. ¿Qué
descuento me tendrían que hacer para que me alcance para 70 repasadores?
Para realizar aumentos de una cierta cantidad S en un x% podemos plantear:
S + S + S + S + x% de S = S +% de S = S +% de S = S +% de S = S +100
xS = S (1+S = S (1+S = S (1+S = S (1+
100
x))))
¿A cuánto hay que vender un artículo que ha costado $60 para ganarle un 40%?
60 + 40% de 60 = 60. (1 + ��
���) = 60.
���
��� = 84
Respuesta: Hay que venderlo a $84. Para realizar descuentos o disminuciones de una cierta cantidad S en un x% podemos plantear:
S S S S ---- x% de S = S % de S = S % de S = S % de S = S ----100
xS = S (1S = S (1S = S (1S = S (1----
100
x))))
Si en una compra de $120, me hacen un 5% de descuento ¿Cuál es el monto final de la compra?
120 - 5% de 120 = 120. (1 - �
���) = 120.
��
��� = 114
Respuesta: El monto final es de $114. Supongamos que se nos presenta un problema en el que a una cierta cantidad se la incrementa en
un x% y luego se la incrementa en un y%. ¿Cómo se obtiene el monto final? ¿Se obtiene el mismo monto si a la misma cantidad se la incrementa en un (x + y)%? Veamos un ejemplo: El número de turistas que visitaron cierta ciudad durante el mes de junio fue de 2.500. En el mes de julio hubo un 45% más de visitantes, y en agosto, un 20% más que en julio. ¿Cuántos turistas
visitaron la ciudad en agosto?
2500 + 45% de 2500 = 2500. (1 + ��
���) = 2500.
���
��� = 3625
3625 + 20% de 3625 = 3625. (1 + �
���) = 3625.
��
��� = 4350
Respuesta: En agosto hubo 4350 turistas.
14
Si en el problema anterior incrementamos un 65% a los 2500 turistas ¿el resultado será el mismo?
2500 + 65% de 2500 = 2500. (1 + �
���) = 2500.
��
��� = 4125
Evidentemente, el resultado no es el mismo. ¿A qué se debe esto? En el ejemplo 2500 + 45% de 2500 + 20% de 2500 lo podemos expresar como
2500. (1 + ��
���). (1 +
�
���) = 2500.1,45.1,20 = 2500.1,74 = 3625. Es decir que el porcentaje total
incrementado es 74% y no 65%. Actividades
1- Una tablet cuesta $1850. Por pagarla en 6 cuotas se hace un recargo del 12% sobre el precio
original. ¿Cuál es el valor de cada cuota? 2- ¿Cuál es el precio de un artículo si sabemos que con un descuento del 8%, cuesta $40,48? 3- a. De los 60 paquetes de pastillas que tiene el quiosquero, dos docenas son de menta, una
docena y media es de limón, media docena es de cereza y el resto de miel. ¿Qué porcentaje del
total representan los de cada gusto?
b- El lunes vendió el 75% de los de menta, el 25% de los de miel y el 50% de los de cereza
¿Cuántos vendió de cada uno de esos gustos?
4- Completar:
80 +15% -15%
1000 + 15% - 8%
250 - 10% - 20%
35 + 40% - 20%
15
5- De los alumnos que rindieron un examen la sexta parte no resolvió el problema, la cuarta parte
con algunos errores y los 42 alumnos restantes lo hicieron correctamente. ¿Cuántos alumnos
rindieron el examen?
6- Se tiene un capital de $3 000, se lo aumenta en un 20% y luego a ese resultado se lo disminuye en un 15%.
a) ¿Cuánto se obtendrá?
b) ¿la suma aumentó, quedó igual o disminuyó?
c) ¿En qué porcentaje?
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Eje 3
Perímetro y Área de algunas figuras planas
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¿Qué es ¿Qué es ¿Qué es ¿Qué es el perímetroel perímetroel perímetroel perímetro???? El perímetro (P) de una figura es la longitud del contorno de la figura. Como las figuras que vamos a estudiar tienen ciertas particularidades, veamos las fórmulas a utilizar para cada una de ellas:
FiguraFiguraFiguraFigura ObservacionesObservacionesObservacionesObservaciones GráficoGráficoGráficoGráfico FórmulaFórmulaFórmulaFórmula
TriánguloTriánguloTriánguloTriángulo
Equilátero: tres lados iguales P = 3.L
Isósceles: Dos lados iguales (el tercero puede ser igual o no)
P = L1 + 2.L2
Escaleno: Tres lados distintos
P = L1 + L2 + L3
CuadradoCuadradoCuadradoCuadrado
Tiene sus cuatro lados iguales
P = 4.L
RectánguloRectánguloRectánguloRectángulo
Tiene dos pares de lados iguales entre sí
P = 2.B + 2.H
ParalelogramoParalelogramoParalelogramoParalelogramo
Tiene dos pares de lados
iguales entre sí
P = 2.B + 2.H
RomboRomboRomboRombo
Tiene sus cuatro lados
iguales
P = 4.L
Trapecio Trapecio Trapecio Trapecio
isóscelesisóscelesisóscelesisósceles
Tienen un par de lados iguales entre sí
P = B + b + 2.L
CircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferencia
El radio es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia
P = 2.π.r
L L
L
H
B
H
B
L L
L L
L
B
L
b
L
L L
L1
L2 L2
L2 L1
L3
L
r
18
Actividades
1- Calcular el perímetro de un triángulo equilátero cuyos lados mides 5 cm. 2- Calcular el perímetro de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 4 cm y el otro lado
mide 3 cm. 3- Calcular el perímetro de un cuadrado de lado 9 cm.
4- Calcular el perímetro de un rombo de lado 4 cm. 5- Calcular el perímetro de un paralelogramo cuyos lados miden 7 cm y 3 cm. 6- Calcular el perímetro de un rectángulo de base 8 cm y altura 5 cm. 7- Si el perímetro de un rectángulo es de 39 cm y la base mide 15 cm ¿Cuál es la medida de la
altura?
8- Si el perímetro de un rombo es de 60 cm ¿Cuánto miden sus lados? 9- Calcular el perímetro de un trapecio isósceles cuya base mayor mide 8cm, la base menor 5
cm y los otros lados miden 3 cm. 10- Calcular el perímetro de una circunferencia de radio 3 cm. 11- Calcular el perímetro de las figuras sombreadas (las medidas están en cm):
12- Maxi entrena con su bicicleta en un campo de deportes con las medidas del siguiente gráfico. Su entrenador le dice que tiene que andar 12 km sin parar ¿Cuántas vueltas tiene que dar al campo de entrenamiento?
12
25
10
30
23
21
12
12
20
10
10 10
10
100 m
140 m
19
¿Qué es el área?¿Qué es el área?¿Qué es el área?¿Qué es el área? El área de una figura es la cantidad de superficie que encierran sus límites. Es decir que es la porción del plano que cubre. Veamos las fórmulas a utilizar para calcular el área en algunas figuras:
Área del paralelogramoÁrea del paralelogramoÁrea del paralelogramoÁrea del paralelogramo: : : : La altura del paralelogramo es la distancia entre la base y su lado opuesto. Para hallar el área de un paralelogramo se calcula el producto entre su base y su altura. h Área del paralelogramo = b . hÁrea del paralelogramo = b . hÁrea del paralelogramo = b . hÁrea del paralelogramo = b . h
b Área del triánguloÁrea del triánguloÁrea del triánguloÁrea del triángulo: : : : Se deduce a partir del área del paralelogramo. Se construye un paralelogramo en una hora de papel y se recorta. Se traza una de sus diagonales, el paralelogramo queda dividido en dos triángulos. Al recortar por esa diagonal se nota que los triángulos son idénticos. Por lo tanto el
área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo.
Área del triángulo = Área del triángulo = Área del triángulo = Área del triángulo = 2
b.h
Área el rectánguloÁrea el rectánguloÁrea el rectánguloÁrea el rectángulo: : : : Como el rectángulo es un paralelogramo, para calcular su área aplicamos la misma fórmula que para el paralelogramo.
h Área del rectángulo = b . hÁrea del rectángulo = b . hÁrea del rectángulo = b . hÁrea del rectángulo = b . h b Área del cuadradoÁrea del cuadradoÁrea del cuadradoÁrea del cuadrado: : : : Como el cuadrado es un rectángulo que tiene los cuatro lados de la misma medida, su base y su altura son iguales.
L Área del cuadrado = Área del cuadrado = Área del cuadrado = Área del cuadrado = LLLL2222
L
20
Área del romboÁrea del romboÁrea del romboÁrea del rombo: : : : Al trazar una diagonal del rombo se obtienen dos triángulos iguales. El área del
rombo es el doble del área de uno de esos triángulos, cuya base es una de las diagonales y cuya altura es la mitad de la otra diagonal.
Área del rombo = 2. !"#$.
$
%. !"#%
�
!"#$. !"#%
d1
d2 Área del rombo = Área del rombo = Área del rombo = Área del rombo = 2diag.diag 21
Área del trapecioÁrea del trapecioÁrea del trapecioÁrea del trapecio: : : : Cualquier trapecio puede descomponerse en dos triángulos cuyas bases son las bases b1 y b2 del trapecio, y cuya altura es la altura del trapecio. Por lo tanto el área del trapecio es
la suma de las áreas de los dos triángulos. b1
h Área del trapecio =Área del trapecio =Área del trapecio =Área del trapecio = 2
h.bh.b 21 +
b2
Área del círculo:Área del círculo:Área del círculo:Área del círculo: El círculo es un polígono regular de infinitos lados, en donde el radio representa a
la apotema. Por lo tanto el área el círculo es igual al área del polígono regular:
Área del círculo = &'(í*'+(,."-,+'*"
�
&."
Como el perímetro del círculo es igual a 2./, reemplazando y realizando las operaciones
respectivas se tiene: Area del círculo = 0(.(
Área del círculo = Área del círculo = Área del círculo = Área del círculo = ππππ....23
r
21
Actividades:
1- Calcular el área de las siguientes figuras:
a) b) c)
4 cm 5 cm 3 cm 5 cm
d) e) f)
g) h) i)
2- Hallar el área sombreada de cada figura: a) b) c)
e)
8 cm
4 cm 7 cm
d) f)
4 cm
2 cm
4 cm 2 cm
6 cm 3 cm
2 cm
2 cm
12 cm
8 cm
10 cm
6 cm
5 cm
3 cm
6 cm
6 cm
12 cm
5 cm
10 cm
4 cm
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Problemas variados
1- Se necesita embaldosar un patio rectangular de 15 m de largo y 6 m de ancho con baldosas
cuadradas de 30 cm por lado. ¿Cuántas baldosas se necesitarán aproximadamente?
2- Se necesita cercar con 4 vueltas de alambre un patio rectangular de 15 m de largo y 3,5 m de ancho. ¿Cuántos metros de alambre se necesitará comprar?
3- Don Juan necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los animales. Si el
terreno tiene forma rectangular y mide 30 m. de largo y 20 m. de ancho: ¿cuántos metros de alambre necesita?
4- En una escuela han organizado una campaña de invierno de confección de frazadas a partir de cuadrados de lana de 20 cm por 20 cm. Si desean hacer frazadas que midan 2 metros de largo y 1 metro 60 cm de ancho: ¿cuántos cuadrados de lana se necesitan para una
frazada? 5- Determina el perímetro del rectángulo cuya superficie es 15 cm2 y uno de sus lados mide 3
cm. 6- Calcula la medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 32 cm. 7- El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. ¿Cuál es la medida de la base si los lados
congruentes miden 9 m. cada uno?
8- Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita 4 m2 para desarrollarse.
9- ¿Qué porcentaje del área del cuadrado es el área del círculo que hay dentro?
10- Si a un rectángulo cuya base es 10 cm y su altura es 8 cm le aumentamos en un 10% su base ¿Cuál es el nuevo perímetro? ¿Y el área?
11- Si al mismo rectángulo del ejercicio anterior le disminuimos su altura en un 10% ¿En qué porcentaje disminuye su área?
8 cm
3 cm
8 cm
4 cm
2 cm g) h) i)
20 cm
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AnexoAnexoAnexoAnexo
Resolución de problemasResolución de problemasResolución de problemasResolución de problemas La importancia de la resolución de problemas reside básicamente en sus aportes a la construcción del conocimiento. Según investigaciones realizadas por numerosos especialistas, la resolución de
problemas debe atravesar las siguientes cuatro etapas:
1- Comprender el problema: es la etapa más difícil de llevar a cabo, en la que hay que cumplimentar las siguientes cuestiones
- Se debe leer el enunciado despacio. - ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos) - ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos) - Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas. - Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.
2- Trazado de un plan: se debe discutir y formalizar los siguientes puntos
- ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? - ¿Se puede plantear el problema de otra forma? - Imaginar un problema parecido pero más sencillo.
- Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida?
- ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?
3- Llevar a cabo el plan: siempre teniendo en cuenta que el plan debe ser flexible, ya que hay continuas idas y vueltas en su puesta en práctica
- Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. - ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?
- Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto? - Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo
que se hace y para qué se hace.
4- Análisis de la solución obtenida: se deben comprobar tanto los resultados como el
procedimiento empleado
- Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado.
- Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible? - ¿Se puede comprobar la solución?
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- ¿Hay algún otro modo de resolver el problema?
- ¿Se puede hallar alguna otra solución? - Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que
se ha hallado. - Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear
nuevos problemas.
- Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.
Bibliografía utilizada para la redacción del materialBibliografía utilizada para la redacción del materialBibliografía utilizada para la redacción del materialBibliografía utilizada para la redacción del material
CHORNY, F., KRIMKER, G. y otros. (2003).Pitágoras 8 Matemática. Buenos Aires. Editorial SM. PIÑEIRO, G., RIGHETTI, G. y otros. (2009). Matemática II. Buenos Aires. Editorial Santillana. PISANO, J. (2009) Logikamente I. Buenos Aires. Editorial Logikamente. PISANO, J. (2009). Logikamente II. Buenos Aires. Editorial Logikamente. NOVELLI, A. Elementos de Matemática. (2006). Buenos Aires. Editorial NLibros. STEWART, J. y otros. (2007). Introducción al cálculo. Buenos Aires. Editorial Thomson Learning.
POLYA, G. (1982). Cómo plantear y resolver problemas. 10ma reimpresión. México. Trillas, S. A. POGGIOLI, L. (2001). Estrategias de resolución de problemas. Caracas. Ed. Polar.