representa gráficamente las siguientes...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

9. Representa gráficamente las siguientes parábolas:

a) 32)( 2 ++= xxxf

1) ∪⇒>= cóncava01a

2) Eje de simetría: 12

2

2−=⇒

−=⇒−= xx

a

bx

3) Vértice )2,1( 23213)1(2)1()1(

12

−⇒

=+−=+−⋅+−=−=

−=V

fy

x

v

v

4) Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

=++=

0

322

y

xxy

realsolución tieneno2

12420322 ⇒

−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX

Eje OY: 30

322

=⇒

=++=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )3,0(

5) Tabla de valores

x 4− 3− 2− 1− 0 1 2

y 11 6 3 2 3 6 11

b) 34)( 2 +−= xxxf




4

2=⇒=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

22

−⇒

−=+−=+⋅−==

=V

fy

x

v

v


Eje OX:

=+−=

0

342

y

xxy

==

=−±=⇒=+−1

3

2

121640342

x

xxxx ⇒PC con eje OX: )0,3( y )0,1(

Eje OY: 30

342

=⇒

=+−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8 3 0 1− 0 3 8

c) xxxf 5)( 2 −−=

1) ∩⇒<−= convexa01a

2) Eje de simetría 2

5

2

5

2−=⇒

−=⇒

−= xxa

bx


3) Vértice

−⇒

==+−=

−⋅−

−−=

−=

−=−=

4

25,

2

5

25,64

25

2

25

4

25

2

55

2

5

2

5

5,22

5

2 V

fy

x

v

v


Eje OX:

=−−=

0

52

y

xxy

−==

⇔=−−⋅⇔=−−5

00)5(052

x

xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,5(−

Eje OY: 00

52

=⇒

=−−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 6− 5− 4− 3− 2

5− 2− 1− 0 1

y 6− 0 4 6 4

25 6 4 0 6−

d) 5)( 2 += xxf

� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba.


2xy =



0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4 1 0 1 4

e) 6)( 2 +−= xxf

� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.

2xy −=




0

2=⇒=

−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4− 1− 0 1− 4−

f) 2)1(3)( −= xxf

� )(xf es la función 23xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.

23xy =



0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx


3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 12 3 0 3 12

g) 96)( 2 −+−= xxxf



6

2=⇒

−−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,3( 091899)3(6)3()3(

32

Vfy

x

v

v⇒

=−+−=−⋅+−==

=


Eje OX:

=−+−=

0

962

y

xxy


3

3

2

06

2

363660962

=

==

−±−=

−−±−=⇒=−+−

x

x

xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,3(

Eje OY: 90

962

−=⇒

=−+−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )9,0(−

5) Tabla de valores

x 0 1 2 3 4 5 6

y 9− 4 1 0 1− 4− 9−

h) 2)3()( 2 +−= xxf

� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba y horizontalmente 3

unidades a la derecha

2xy =



0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx


3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4 1 0 1 4

i) 2)1()( 2 −+−= xxf

� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.

2xy −=



0

2=⇒=

−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4− 1− 0 1− 4−


1. Representa gráficamente las siguientes funciones racionales:

a) x

xf3

)( =

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0


b) x

xf3

)( −=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



−∞=−

+∞=−

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0


=−

=−

−

+∞→

+

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0 1 5,1 3 6 6− 3− 5,1− 1− 5,0−


c) 23

)( −=x

xf )(xf→ es la función x

y3= trasladada verticalmente 2 unidad abajo.

� x

y3=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores


x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

d) 1

3)(

−=

xxf )(xf→ es la función

xy

3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.

� x

y3=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6


y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

e) 42

3)( +

−=


xy

3= trasladada horizontalmente 2 unidades a la derecha y 4

unidades hacia arriba

� x

y3=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0


1+x

f) 5

3)(

+=


xy

3= trasladada horizontalmente 5 unidades a la izquierda.

El estudio de la función x

y3= lo hemos hecho en el apartado a)

g) ⇒++

−=⇒+−= 2

1

3)(

1

12)(

xxf

x

xxf )(xf es la función

xy

3 −=

izquierda la a unidad 1 T.H.

arriba unidades 2 T.V.


2 −x

2

1

3

22

12

−−−−

x

x

La función x

y3

−= la hemos representado en el apartado b)

h) ⇒+−

=⇒−+= 1

2

6)(

2

4)(

xxf

x

xxf )(xf es la función

xy

6 =

derecha la a unidades 2 T.H.

arriba unidad 1 T.V.

6

2

4

+−+

x

x

� x

y6=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc


• 0=x es asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

6lim

6lim

0

0 0=y es asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−

−∞→

06

lim

06

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6


y 1− 2− 3− 6− 12− 12 6 3 2 1

2. Representa gráficamente las siguientes funciones radicales:

a) 21)(12)( −−=⇒−+−= xxfxxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1

unidad a la derecha y verticalmente 2 unidades hacia abajo

� xy =

• ),0[)( +∞=fDom

• Tabla de valores x 0 1 4 9

y 0 1 2 3


b) 42)( ++−= xxf )(xf→ es la función xy −= trasladada horizontalmente 2 unidades a la izquierda

y verticalmente 4 unidades hacia arriba

� xy −=

• ),0[)( +∞=fDom


y 0 1− 2− 3−

c) 71)( +−= xxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y

verticalmente 7 unidades hacia arriba


� xy =

• ),0[)( +∞=fDom


y 0 1 2 3

3. Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales:

a) x

xf

=3

1)(

• ℜ=)(xDomf

• ),0()((Re +∞== xfyc

• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +

+∞→= 0)(lim xf

x)

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1


b) x

xf−

=3

1)( )(xf→ es la simétrica de

x

y

=3

1 respecto al eje OY

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )31

(x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc


+∞→= 0)(lim xf

x)


x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1


c) 1

3

1)(

+

=x


y

=3

1 trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda.

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )3

1(

x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc


+∞→= 0)(lim xf

x)


x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1


d) 23

1)( −

=x


y

=3

1 trasladada verticalmente 2 unidades hacia abajo.

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )3

1(

x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc


+∞→= 0)(lim xf

x)


x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1


e) xxf 2)( −= )(xf→ es la simétrica de xy 2= respecto al eje OX

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc


• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +

−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


f) 12)( −= xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


g) 32)( 1 −= +xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda y

verticalmente 3 unidades abajo.

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


h) 22)( 1 += −xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y

verticalmente 2 unidades arriba.

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

4. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas:


a) )3(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 3 unidad a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

• No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

b) xxf 2log)( −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OX

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom





)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


c) )(log)( 2 xxf −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OY

� xy 2log=

),0()log( 2 +∞== xyDom

ℜ== )log(Re 2 xyc

Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


d) 1)2(log)( 2 −−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada verticalmente 1 unidades hacia abajo

y horizontalmente 2 unidades a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom





)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

e) 1log)(

3

1 −= xxf )(xf→ es la función xy3

1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo

� xy3

1log=

• ),0()log(3

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re3

1 xyc


No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→

)(lim0

xfx

x 9

1

3

1 1 3 9


y 2 1 0 1− 2−

f) )1(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom





)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


g) 1)1(log)(3

1 −+= xxf )(xf→ es la función xy3

1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y

horizontalmente 1 unidad a la izquierda

� xy3

1log=

• ),0()log(3

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re3

1 xyc




)(lim0

xfx

x 9

1

3

1 1 3 9

y 2 1 0 1− 2−


h) 2)3(log)(2

1 −+= xxf )(xf→ es la función xy2

1log= trasladada verticalmente 2 unidad hacia abajo y

3 unidades a la izquierda

� xy2

1log=

• ),0()log(2

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re2

1 xyc




)(lim0

xfx

• Tabla de valores

x 8 4 2 1 2

1

4

1

8

1

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


i) 3)1(log)( 2 +−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

y verticalmente 3 unidades hacia arriba

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1( No corta el eje OY


)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

5. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:


a) ]2,0()0,()(

20 1

02 1

2 13

)(2

∪−∞=⇒

≤≤+<<−−

−≤−= fDom

xsix

xsix

xsix

xf

• linealfunción 13 →−= xy

x •− 2 3− 4− y 7− 10− 11−


x Ο− 2 1− Ο0 y 3 2 1

• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy

cóncava01 →>=a (0,0)Vértice→

x •0 1 •2 y 0 1 4

b) ),3()0,()(

3 1

04 32

4 5

)( 2 +∞∪−∞=⇒

><≤−+−−

−<−

= fDom

xsi

xsixx

xsi

xf

• constantefunción 4 si 5 →−<−= xy

• (parábola) cuadráticafunción 322 →+−−= xxy

convexa01 →<−=a

)4,1(

43213)1(2)1(

12

2

2Vértice2

−⇒

=++−=+−⋅−−−=

−=−

=−=→ V

y

a

bx


x •− 4 3− 2− 1− Ο0 y 5− 0 3 4 3

• constantefunción 3 si 1 →>= xy

c) )(

4 1

42

20 1

0

)(2

ℜ=⇒

≥<≤−<≤−

<

= fDom

xsi

xsix

xsix

xsix

xf

• linealfunción →= xy

x Ο0 1− 2− y 0 1− 2−

• (parábola) cuadráticafunción 12 →−= xy

cóncava01 →>=a

)1,0( 1

02

0

2Vértice −⇒

−=

==−=→

ya

bx

• linealfunción →−= xy

x •2 3 Ο4 y 2− 3− 4−

• constantefunción 4 si 1 →≥= xy

x •0 1 Ο2 y 1− 0 3


d) ℜ=⇒

>

≤= )(

0 1

0 1)( fDom

xsix

xsixf

• constantefunción 0 si 1 →≤= xy

• hipérbola 1 →=x

y

}0{)( −ℜ=fDom

No corta a los ejes coordenados

0=x asíntota vertical

0=y asíntota horizontal

x 5,0 1 2 4

y 2 1 5,0 25,0


e) }2{)(

1 42

12

2 2

)( 2 −−ℜ=⇒

≥+−<<−

−<

= fDom

xsix

xsix

xsi

xf

• constantefunción 2 si 2 →−<= xy

• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy

cóncava01 →>=a

)0,0( 1

02

0

2Vértice ⇒

−=

==−=→

ya

bx

• linealfunción 42 →+−= xy

x •1 2 3

y 2 0 2−

f) }0{)( 0

1

0 1)( −ℜ=⇒

<

>−= fDom

xsix

xsixxf

• linealfunción 1→−= xy

x Ο0 1 2

y 1− 0 1

• hipérbola 1 →=x

y

}0{)( −ℜ=fDom

x Ο− 2 0 Ο1 y 4− 0 1



+∞==

−∞==

+→

−→

+

−

0

1)(lim

0

1)(lim

0

0

xf

xf

x

x 0=y asíntota horizontal

=∞+

=

=∞−

=

+

+∞→

−

−∞→

01

)(lim

01

)(lim

xf

xf

x

x

g) }2{)(

5 1

51 2

1

1 1

)(

2

−ℜ=⇒

≥+

<<−

≤+−

= fDom

xsix

xsix

xsix

xf

• (parábola) cuadráticafunción 12 →+−= xy

convexa01 →<−=a

)1,0( 1

02

0

2Vértice ⇒

=

=−

=−=→

ya

bx

x •1 0 1− 2−

x

5,0−

1− 2− 4−

y 2− 1−

5,0−

25,0−


y 0 1 0 3−

• hipérbola 2

1 →−

=x

y

}2{)( −ℜ=fDom


+∞==

−∞==

+→

−→

+

−

0

1)(lim

0

1)(lim

2

2

xf

xf

x

x


=∞+

=

=∞−

=

+

+∞→

−

−∞→

01

)(lim

01

)(lim

xf

xf

x

x

• linealfunción 1→+= xy

x •5 6 7

y 6 7 8

x Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5

y 1− 2− 2 1 5,0 3

1


h) }2{)( 0

2

1

0 1)( −−ℜ=⇒

<+

>−= fDom

xsix

xsixxf

• linealfunción 1→−= xy

x Ο0 1 2 y 1− 0 1

• hipérbola 2

1 →+

=x

y

}2{)( −−ℜ=fDom

2−=x asíntota vertical

+∞==

−∞==

+−→

−−→

+

−

01

)(lim

01

)(lim

2

2

xf

xf

x

x


=∞+

=

=∞−

=

+

+∞→

−

−∞→

01

)(lim

01

)(lim

xf

xf

x

x

x Ο0 1− 5,1− 5,2− 3− 4−

y 5,0 1 2 2− 1− 5,0


i) ),5(]4,()(

5 o 4 2

40 3

0 2

)( +∞∪−∞=

>=−<<−

≤=

−

fDom

xxsix

xsix

xsi

xf

x

• lexponenciafunción 2 →= − xy

x •0 1− 2− 3−

y 1 2 4 8


x Ο0 1 Ο4 y 3 2 1−


x 4 Ο5 6 7

y 2 3 4 5

j) 34)( 2 −+−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy


2) Eje de simetría 222

4

2=⇒=

−−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

22

Vfy

x

v

v⇒

=−+−=−⋅+−==

=


Eje OX:

=−+−=

0

342

y

xxy

==

⇔−

±−=−

−±−=⇔=−+−3

1

2

24

2

121640342

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son

)0,1( y )0,3(


Eje OY: 30

342

−=⇒

=−+−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )3,0( −

5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8− 3− 0 1 0 3− 8−

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


k)

≥−−

<−+=−−=

0 si 2

0 si 22)(

2

22

xxx

xxxxxxf

• 22 −+= xxy

1) ∪⇒>= cóncva01a

2) Eje de simetría 5,05,02

1

2−=⇒−=−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice

−−⇒

−=−=−

−+

−=

−=

−=

4

9,

2

1

25,24

92

2

1

2

1

2

1

2

1

2 V

fy

x

v

v


Eje OX:

=−+=

0

22

y

xxy

−==

⇔±−=+±−=⇔=−+2

1

2

31

2

811022

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1( y

)0,2(−

Eje OY: 20

22

−=⇒

=−+=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 3− 2− 1− 2

1− 0 1 2

y 4 0 2− 4

9− 2− 0 4

• 22 −−= xxy

1) ∪⇒>= cóncva01a

2) Eje de simetría 5,02

1

2==⇒

−= xa

bx

3) Vértice

−⇒

−=−=−

−

=

=

=

4

9,

2

1

25,24

92

2

1

2

1

2

1

2

1

2 V

fy

x

v

v



Eje OX:

=−−=

0

22

y

xxy

−==

⇔±=+±=⇔=−−1

2

2

31

2

811022

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− y

)0,2(

Eje OY: 20

22

−=⇒

=−−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 2− 1− 0 2

1 1 2 3

y 4 0 2− 4

9− 2− 0 4

l) 45)( 2 −−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 452 −−= xxy


2) Eje de simetría 5,22

5

2==⇒

−= xa

bx

3) Vértice

−⇒

−=−=−

⋅−

=

=

=

4

41,

2

5

25,104

414

2

55

2

5

2

5

5,22 V

fy

x

v

v



Eje OX:

=−−=

0

452

y

xxy

−≅−=

≅+=⇔±=

−+±=⇔=−−

7,02

415

7,52

415

2

415

2

162550452

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje

OX son

+0,

2

415 y

−0,

2

415

Eje OY: 40

452

−=⇒

=−−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )4,0( −

5) Tabla de valores

x 0 1 2 2

5 3 4 5

y 4− 8− 10− 4

41− 10− 8− 4−


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


m) xxf ln)( =

1º) Representamos la función logarítmica: xy ln=

• ),0()ln( +∞== xyDom

• Corta al eje OX en el punto )0,1(

• No corta al eje OY

• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0

−∞=+→

xfx


x +0 1 e 2e

y ∞− 0 1 2


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


n) 42)( −= xxf

1º) Representamos la función exponencial: 42 −= xy (que, a su vez, es la función xy 2= trasladada

verticalmente 4 unidades hacia abajo)

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc

• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(


−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8



≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

o) )2ln()( −= xxf

1º) Representamos la función logarítmica: )2ln( −= xy (que, a su vez, es la función xy ln= trasladada

horizontalmente 2 unidades a la derecha) � xy ln=


• ),0()ln( +∞== xyDom

• Corta al eje OX en el punto )0,1(

• No corta al eje OY

• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0

−∞=+→

xfx


x +0 1 e 2e

y ∞− 0 1 2


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

p) 1

2)(

−=

xxf


1º) Representamos la función 1

2

−=

xy , que a su vez, es la función

xy

2= trasladada horizontalmente 1

unidad a la derecha

� x

y2=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

2lim

2lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

02

lim

02

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


1 −

1+x

q) 1

1)(

+−=

x

xxf


1

1

1

++−=

−−=

x

x

x

xy

⇒−+

=⇒++−= 1

1

2

1

1

xy

x

xy Es la función

xy

2 =

izquierda la a unidad 1 T.H.

abajo unidad 1 T.V.

2

1

1

+++−

x

x

� x

y2=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

2lim

2lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

02

lim

02

lim

x

x

x

x

• Tabla valores


x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

r) x

xf−

=3

2)(


2

3

2

−−=

−=

xxy , que es la función

xy

2−= trasladada horizontalmente 3

unidades a la derecha

� x

y2−=


• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



−∞=−

+∞=−

+

−

→

→

x

x

x

x

2lim

2lim

0

0


=−

=−

−

+∞→

+

−∞→

02

lim

02

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0 1 2 4− 4− 2− 1− 5,0−


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


6. Representa gráficamente las siguientes funciones:

Todas las funciones de este ejercicio se obtienen efectuando transformaciones a las funciones senxy = ,

xy cos= ò tgxy = .


� senxy =

• ℜ== )( senxyDom

• ]1,1[)(Re −== senxyc

• Periódica de periodo π2=T

x 0 2

π π

2

3π π2

y 0 1 0 1− 0

� xy cos=

• ℜ== )cos( xyDom

• ]1,1[)cos(Re −== xyc

• Periódica de periodo π2=T

x 0 2

π π

2

3π π2

y 1 0 1− 0 1

� tgxy =

•

Ζ∈+−ℜ== kktgxyDom ;

2)12()(π

• ℜ== )(Re tgxyc


• Periódica de periodo π=T

• 2

π−=x es asíntota vertical

−∞=

+∞=

+

−

−→

−→

tgx

tgx

x

x

2

2

lim

lim

π

π

2

π=x es asíntota vertical

−∞=

+∞=

+

−

→

→

tgx

tgx

x

x

2

2

lim

lim

π

π

x +

−2

π

4

π− 0 4

π

−

2

π

y ∞− 1− 0 1 ∞+

a) )()( π+= xsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda.

c) 4)()( −+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda y verticalmente

4 unidades hacia abajo.


g) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OX

b)

−−=2

)(π

xsenxf senxy −=→ trasladada horizontalmente 2

π a la derecha.

senxy −= es la simétrica de senxy = respecto al eje OX

h) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OY. Pero, recuerda que αα sensen −=− )( ,

por tanto, en este caso también es la simétrica de senxy = respecto al eje OX.

k) 1)( −= senxxf senxy =→ trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo.


t) 12

)( −

+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente

2

π unidades a la izquierda y 1 unidad hacia

abajo.

d)

+=2

cos)(π

xxf xy cos=→ trasladada horizontalmente 2

π unidades a la izquierda

e)

+−=2

cos)(π

xxf es la simétrica de la función del apartado d) respecto al eje OX


f) →+

+−=

+−= 32

cos2

cos3)(ππ

xxxf es la función del apartado e) trasladada verticalmente 3

unidades hacia arriba.

l) 2cos)( += xxf xy cos=→ trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba

u)

−−=2

cos)(π

xxf es la simétrica de la función

−=2

cosπ

xy respecto al eje OX.

−=2

cosπ

xy xy cos=→ trasladada horizontalmente 2

π unidades a derecha.


i) →

−=2

)(π

xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 2

π a la derecha

j) →

+=4

)(π

xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 4

π a la izquierda


m) →⋅= xsenxf 2)( Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica su

recorrido ]2,2[)(Re −=fc )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==

→⋅=]2,2[ Recorrido

2 2)(

πTxsenxf

o) →= )2( )( xsenxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una contracción horizontal (se

modifica su periodo ππ ==2

2T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==


2)(πT

xsenxf


r) →

⋅=2

3)(x

senxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica

su recorrido ]3,3[)(Re −=fc ) y una dilatación horizontal (se modifica su periodo ππ4

21

2 ==T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==


4 2)(

πTxsenxf

s) 1 2)( −⋅= xsenxf

� xseny 2⋅= se obtiene a partir de xseny = por una dilatación vertical (se modifica su recorrido

( ]2,2[)2(Re −== senxyc )

� 1 2)( −⋅= xsenxf se obtiene a partir de xseny 2⋅= por una traslación vertical de 1 unidad hacia abajo

( ]1,3[)(Re −=fc )


−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==

→−⋅=]1,3[ Recorrido

21 2)(

πTxsenxf

n) →⋅= xxf cos2

1)( se obtiene a partir de la función xy cos= por una contracción vertical (se modifica

su )2

1,

2

1)(Re

−=fc

−==

→=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅=

2

1,

2

1 Recorrido

2

cos2

1)(

πT

xxf


p) →⋅= )3( cos2)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos= por una dilatación vertical (se modifica

su recorrido ]2,2[)(Re −=fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo 3

2 π=T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅=

]2,2[ Recorrido3

2) 3cos(2)(

πT

xxf

q) →⋅−= )2( cos2

1)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos−= por una contracción vertical (se

modifica su recorrido

−=2

1,

2

1)(Re fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo

ππ ==2

2 T )

−==

→−=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅−=

2

1,

2

1 Recorrido

) 2cos(2

1)(

πT

xxf

A su vez, xy cos−= es la simétrica de xy cos= respecto al eje OX.

FUNCIONES ELEMENTALES

representa gráficamente las siguientes...

Documents