Matriz inversa

Proyecto e-Math 7 Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

02612410210

052231

A ≠−=−−−=−−

−=

Al ser el determinante diferente de cero sabemos, pues, que la matriz tendrá inversa.

2. Cálculo de la matriz de adjuntos (Ad)

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

115231

A40221

A100523

A

11031

A220

21A8

2123

A

210

52A4

2002

A1021

05A

333231

232221

131211

=−

+==−=−=−

+=

=−−

−=−=−

+=−=−−

−−=

−=−

+==−

−=−=−−

+=

Por tanto, la matriz de adjuntos es:

−−−

−−=

114101282410

A d

3. Cálculo de la matriz traspuesta de la matriz de adjuntos.

−−

−−−=

111242410810

)A( Td

4. Entonces, aplicando la definición anterior obtenemos la matriz inversa de A:

−−

−−−

−==−

111242410810

·261

A)A(A

Td1

5. Y, simplificando:

−−−−=−

2611

261

131

132

131

132

135

134

135

1A

Ejemplo 2: Sea la matriz:

=

101264132

A

Al calcular el determinante se comprueba que éste es igual a cero, por lo que se puede afirmar que dicha matriz no posee inversa.

Matriz inversa

Proyecto e-Math 8 Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

0126612101264132

A =−−+==

Propiedades de la matriz inversa [6] 1. Si B y C son, ambas, inversas de la matriz A, entonces B=C.

Como consecuencia de este importante resultado, podemos afirmar que la inversa de una matriz, si existe, es única. Toda matriz inversible tiene exactamente una única matriz inversa.

2. Si A y B son matrices inversibles del mismo tamaño, entonces: a) A·B es inversible b) (A·B)-1 = B-1·A-1 Ejemplo: Sean las matrices:

=

=

2223

B3121

A Entonces,

=⋅

8967

BA

Si se aplica el resultado anterior:

−

−=

−

−= −−

23

11

111

B1123

A y

−

−=⋅ −

27

29

1 34)BA(

También,

−

−=

−

−⋅

−

−=⋅ −−

27

29

23

11 341123

111

AB

Por consiguiente, se cumple que (A·B)-1 = B-1·A-1, como se afirma en la propiedad enunciada.

3. Si A es una matriz inversible, entonces:

a) A-1 es inversible y (A-1)-1 = A b) An es inverible y (An)-1 = (A-1)n para n = 0, 1, 2, ....

c) Para cualquier escalar k diferente de cero, la matriz k·A es inversible y (k·A)-1=k1 ·A-1

Ejemplo: a) Sean A y A-1 como las matrices del ejemplo anterior; es decir,

−

−=

= −

1123

A3121

A 1

Entonces,