Matriz hessianaEn Matemática, la matriz hessiana de una función f de n variables, es la matriz cuadrada de n × n, de las segundas derivadas parciales.

Definición

Dada una función real f de n variables reales:

Si todas las segundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana de f

como: , donde

.

tomando la siguiente forma

Además, se tiene que si : con A un abierto y f clase , entonces la matriz hessiana esta bien definida, y en virtud del teorema de Clairaut (ó teorema de Schwartz), es una matriz simétrica.

Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducido por James Joseph Sylvester.

Aplicación de la matriz hessiana

[editar] Concavidad/Convexidad

Sea un conjunto abierto y una función con derivadas segundas continuas:

1. es cóncava si y solo si, , la matriz hessiana es semidefinida negativa.

2. Si la matriz hessiana es definida negativa, entonces es estrictamente cóncava.

o Si es una función cóncava, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un máximo local.

3. es convexa si y solo si, , la matriz hessiana es semidefinida positiva.

4. Si la matriz hessiana es definida positiva, entonces f es estrictamente convexa.

o Si es una función convexa, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un mínimo local.

[editar] Método para determinar el carácter de los puntos críticos

Se verá a continuación cómo hallar los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión -o silla o de ensilladura) de una función f de múltiples variables.

1. Se igualan las derivadas parciales primeras a cero.2. Se resuelven las ecuaciones anteriores y se obtienen las coordenadas de los puntos

críticos.3. Se construye la matriz hessiana (derivadas segundas parciales).4. Dependiendo del tipo de matriz resultante de evaluar la matriz Hessiana en los diferentes

puntos críticos, estos puntos serán:

Máximo : si la matriz hessiana en el punto es definida negativa. Mínimo : si la matriz hessiana en el punto es definida positiva. Punto de silla : si la matriz hessiana en el punto es indefinida (no definida o

semidefinida positiva ni definida semidefinida negativa).

Calculo de ejercicios de la función matriz hessiana