matfin 1

Mg. J. Efrain Tejada V.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

PRESENTACIÓN

Se hace conveniente y aconsejable realizar un breve repaso de conocimientos de matemáticas básicas, en especial de aquellos que se utilizarán con frecuencia a lo largo del curso

Este breve repaso conceptual y práctico facilitara la comprensión de la materia.

Contenidos1.1. Introducción : Matemáticas financieras, El dinero, Los

Bancos, el Crédito, Toma de decisiones, Análisis de inversiones, Valor del dinero en el tiempo, La Equivalencia, Operación Financiera, Costo de oportunidad y costo de capital.

1.2 Los números1.3 Exponentes, radicales y leyes de los exponentes 1.4 Expresiones algebraicas y ecuaciones 1.5 Razones y variación proporcional1.6 Tanto por ciento1.7 Teorema del binomio1.8 Logaritmos1.9 Series y sucesiones

OBJETIVOS

Al finalizar la presente asignatura el alumno contará con las bases matemáticas suficientes y necesarias que le permitan abordar los capítulos posteriores con éxito.

Efectuará cálculos matemáticos empleando: aproximaciones, proporciones, porcentajes, logaritmos, progresiones, etc.

Aplicará los conceptos básicos de depreciación

1.1. Introducción Punto de vista matemático,

relación resultante de recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período.

La diferencia: “valor” asignado por las personas al sacrificio de consumo actual y al riesgo que perciben y asumen al posponer el ingreso .

VA VFI

pPERIODO DE TIEMPO

1.1. IntroductionMichael Parkin: Macroeconomía:

Matemática financiera,

Según la teoría del valor: el valor solo existe de forma objetiva en forma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como mercancía, en cualquier sistema social.

Proceso de transformació

n

SISTEMA FINANCIER

O

1.1. IntroducciónOrigen: años 1,368 - 1,399 D.C. Aparece el papel moneda convertible, China, Europa medieval, otros.Extendido por los orfebres y sus clientes.Aparecen los depósitos de oro en las cajas de los orfebres.Se giraban recibos que daban derecho al depositante para reclamarlo a la

vista. Estos recibos comenzaron a circular como medio de pago para la compra de

bienes cuyo respaldo era el oro depositado en la caja fuerte del orfebre. El orfebre se dio cuenta que su caja de caudales estaba llena de oro en

custodia; así nace la idea, de prestar a las personas “recibos de depósitos de oro”, cobrando por sus servicios un interés

El oro seguiría en custodia y solo entregaba un papel en que anotaba la cantidad prestada; tomando como previsión el no girar recibos que excedieran su capacidad de respaldo.

Se dio cuenta de que intermediando entre los artesanos que tenían capacidad de ahorro en oro y los que lo necesitaban, podía ganar mucho dinero. Así es la forma en que nació el actual mercado de capitales, sobre la base de un sistema financiero muy simple, de carácter intermediario.

X X

1.1.2. Matemáticas financierasDerivación de la matemática aplicadaEstudia el valor del dinero en el tiempo,

Permite tomar decisiones de inversión. Se relaciona con todas las disciplinas y en general con las

finanzas.Es de aplicación eminentemente práctica, Su estudio esta íntimamente ligado a la resolución de

problemas y ejercicios semejantes a los de la vida cotidiana.Dinero y finanzas son indesligables.

CapitalTasa de

Interés tiempo Interés=

1.1. Introducción

1.1.3. El dineroCualquier cosa que los miembros de una

comunidad estén dispuestos a aceptar como medio de pago.

Su función: ser equivalente general. Surgió espontáneamente en la antigüedad, Posee la propiedad de ser directa y

universalmente cambiable por cualquier otra mercancía.

1.1.3.1. Funciones del dineroEquivalente general.Cumple las cinco funciones siguientes

1) medida del valor

2) medio de circulación,

3) medio de acumulación o de atesoramiento,

4) medio de pago y

5) dinero mundial.

Su función elemental es la de intermediación en el proceso de cambio.

El hecho de que los bienes tengan un precio proviene de los valores relativos de unos bienes con respecto a otros.

1.1.3.2. Tipos de dinero

Dinero – mercancía:

Dinero – signo:

Dinero – giral:

“El dinero se transforma en capital cuando con él compramos

los factores objetivos(medios de producción) y los factores

subjetivos (fuerza de trabajo) para producir riqueza.

1.1.3.3. Sistemas monetariosSe puede definir como el conjunto de elementos representados

por el patrón, por las formas de dinero, por las normas monetarias y por las instituciones. Estos elementos están ordenados de manera coherente y dirigidos a una finalidad común: contribuir, como medio de financiamiento de la economía, dotándola de los recursos monetarios (dinero) en cantidad acorde con las necesidades de la actividad económica.

Tiene vigencia en un tiempo y espacio determinado.La característica es que tiene una unidad monetaria, un patrón

monetario que representa la base monetaria, es decir, la mercancía (dinero) que hace las funciones de equivalente general.

Elementos del Sistema Monetario

Sistema Monetario

El patrón

Las instituciones

Normas monetarias

Formas de dinero

1.1.3.4. Los bancos y el dinero bancarioLos bancos reciben depósitos de sus clientesConceden préstamos a las familias y a las empresas. El volumen de los préstamos concedidos es superior al de los

depósitos que mantienen sus clientes.El dinero bancario está constituido por los depósitos en los

bancos, cajas de ahorro, compañías financieras o cajas de crédito.

1.1.4. Los BancosAl parecer, la palabra "banco" procede de los que utilizaban los

cambistas para trabajar en las plazas públicas en las ciudades italianas medievales.

Nacen en la Europa medieval, en las Repúblicas aristocráticas italianas, Venecia, Génova, Florencia, a mediados del siglo XII con la finalidad de prestar servicios de depósito.

Al multiplicarse los bancos, amplían sus operaciones, agregan la emisión de certificados, antecedentes de nuestros actuales billetes.

Juan Fugger fue el iniciador en Alemania.Desde Italia la prominencia comercial y bancaria pasó a

Holanda y al norte de Europa.En 1605 nace el Banco de Amsterdam, primer banco moderno.El Banco de Inglaterra fundado en 1694, el gobierno le autorizó

a emitir billetes como consecuencia de los prestamos que otorgaba.

1.1.4.1. Clases de bancos

1.1. 4.1.1. Según el origen del capitalBancos públicosBancos privados Bancos mixtos o Banca Asociada

1.1.4.1.2. Según el tipo de operaciónBancos corrientes Bancos especializados Bancos de emisiónBancos Centrales

1.1.4.2. Sistema Bancario

1.1.4.2.1. Banco CentralEs la autoridad monetaria. Es una institución estatal que tiene la función y la obligación de dirigir la política monetaria del gobierno.Funciones.

Emisión de moneda de curso legal con carácter exclusivo.Es el «banco de los bancos». Los bancos comerciales tienen una cuenta

corriente en el Banco Central de igual forma que los individuos tienen las suyas en los comerciales.

Es el asesor financiero del gobierno y mantiene sus principales cuentas.Es el encargado de custodiar las reservas de divisas y oro del país.Es el prestamista en última instancia de los bancos comerciales.Determina la relación de cambio entre la moneda del país y las monedas

extranjeras.Maneja la deuda pública.Ejecuta y controla la política financiera y bancaria del país.

1.1.4.2. Sistema Bancario

1.1.4.2.2. Bancos ComercialesDedicados al negocio de recibir dinero en depósito, el cual lo presta, sea en forma de mutuo, de descuento de documentos o de cualquier otra forma. Se considera además todas las operaciones que natural y legalmente constituyen el giro bancario.Funciones.

- Aceptar depósitos. - Otorgar adelantos y préstamos.

Los depósitos (pasivos) son deudas del banco hacia el público, por las cuales el banco paga un interés. Los préstamos (activos) son deudas del público al banco, por ellos el banco recibe un interés, la diferencia entre ambos constituye la ganancia (spread) que les otorga la actividad de intermediación financiera.

1.1.4.3. Componentes del dinero y creación monetaria

Dinero son los billetes y monedas de circulación legal en un país, en poder del público, más los depósitos bancarios en cuenta corriente movilizados mediante el cheque.

El primer componente es el dinero en efectivo, el segundo es el denominado «dinero bancario» originado en la práctica de los negocios.

Los depósitos en cuenta corriente son denominados «depósitos a la vista» y son los que guardan mayor relación con el dinero en efectivo.

Los depósitos «a plazo» (cajas de ahorro, cuentas especiales, plazo fijo) poseen distintos grados de convertibilidad líquida.

1.1.4.3. Componentes del dinero y creación monetariaDesde el punto de vista de la creación monetaria, existen dos tipos de

dinero: Base monetaria o dinero primario (emitido por la autoridad financiera, BCR). Dinero secundario (inyectado por los bancos a través del poder adquisitivo generado

por los préstamos).

Las entidades financieras tienen facultad de dar créditos hasta un determinado porcentaje de los depósitos captados. La autoridad monetaria establece una reserva obligatoria (efectivo mínimo o encaje), el resto puede ser afectado a operaciones de crédito.

Un cheque no es dinero, sino simplemente una orden a un banco para transferir una determinada cantidad de dinero, que estaba depositada en él.

Los depósitos no son una forma visible o tangible de dinero, sino que consisten en un asiento contable en las cuentas de los bancos.

En los países con un sistema financiero desarrollado, los billetes y las monedas representan una pequeña parte del total de la oferta monetaria.

1.1.4.4. La creación del dinero bancarioEl dinero otorga a su poseedor capacidad de compra.puede ser creado de dos maneras:

Por emisión, dispuesta por la entidad autorizada en cada país (BCR).Por los préstamos que otorgan las entidades financieras

Los banqueros han comprobado que pueden crear depósitos bancarios por encima de sus reservas líquidas.

Las reservas líquidas legalmente requeridas o encaje bancario es la fracción de depósitos que los bancos deben mantener como reservas

1.1.4.4. La creación del dinero bancarioActivos financierosLos activos pueden ser:

Reales: tienen valor por sí mismos (mercaderías, muebles).Financieros: tienen valor por lo que representan (billetes,

depósitos bancarios).a. Efectivo: activo financiero líquido por excelencia.b. Depósitos bancarios: tienen mayor o menor liquidez según sean a la vista o a término.c. Títulos valores:

Acciones: títulos emitidos por las sociedades de capital a favor de sus socios, para acreditar su condición de tales.

Pagarés: promesas de pago emitidas por una persona (librador) a favor de otra (beneficiario).

Letras de cambio: órdenes de pago emitidas por un librador a favor de un beneficiario y a cargo de otra persona.

Títulos de deuda, públicos y privados: sus titulares pasan a ser acreedores del ente emisor de aquellos. Reciben una renta fija.

1.1.5. CréditoTérmino utilizado en el comercio y finanzas para referirse a las

transacciones que implican una transferencia de dinero que debe devolverse transcurrido cierto tiempo. El crédito implica el cambio de riqueza presente por riqueza futura.

1.1.5.1. Clases de crédito1.5.1.1. Según el origen:

a. Créditos comerciales,b. Créditos bancarios,c. Créditos hipotecarios,d. Créditos contra emisión de deuda pública.e. Créditos internacionales

1.5.1.2. Según el destino:a. De producción.b. De consumo.c. Hipotecarios.1.5.1.3. Según el plazo:a. A corto y mediano plazob. A largo plazo1.5.1.4. Según la garantía: Personal. Real (hipotecas).

1.1.5.2. ¿Cómo está dividido y cuál es la finalidad de una cartera de créditos?

La cartera de créditos está dividida en: a) Créditos comerciales: aquellos que tienen por finalidad financiar la producción y comercialización de bienes y servicios en sus diferentes fases.b) Créditos a las Micro Empresas: aquellos destinados al financiamiento de actividades de producción, comercio o prestación de servicios siempre que reúnan éstas dos características:c) Créditos de consumo: créditos que tienen como propósito atender el pago de bienes, servicios o gastos no relacionados con una actividad empresarial.d) Créditos hipotecarios para vivienda: aquellos destinados a la adquisición, construcción, refacción, remodelación, ampliación, mejoramiento y subdivisión de vivienda propia, siempre que tales créditos sean otorgados amparados con hipotecas debidamente inscritas, pudiendo otorgarse los mismos por el sistema convencional de préstamo hipotecario, de letras hipotecarias o por cualquier otro sistema de similares características.

1.1.5.3. ¿Cómo es clasificado un deudor?La clasificación del deudor está determinada principalmente por

su capacidad de pago, definida por el flujo de fondos y el grado de cumplimiento de sus obligaciones.

Si un deudor es responsable de varios tipos de créditos con una misma empresa, la clasificación estará basada en la categoría de mayor riesgo.

En caso que la responsabilidad del deudor en dos o más empresas financieras incluyen obligaciones que consideradas individualmente resulten con distintas clasificaciones, el deudor será clasificado a la categoría de mayor riesgo que le haya sido asignada por cualquiera de las empresas cuyas deudas representen mas del 20% en el sistema, considerándose para dicho efecto la última información disponible en la central de riesgo.

1.1.5.4. ¿En que categorías es clasificado un deudor de la cartera de créditos?Cada deudor que es responsable de uno o varios tipos de

créditos será clasificado de acuerdo a las siguientes categorías:Categoría Normal ( 0 )Categoría con problemas Potenciales (1)Categoría Deficiente ( 2 )Categoría Dudoso ( 3 )Categoría Pérdida ( 4 )

1.1.6. Toma de decisionesLa unidad para la toma de decisiones es una persona o una

organización pública o privada a través de sus autoridades y gerentes respectivamente.

En el mundo real, las situaciones por resolver son múltiples y variadas y para solucionarlos los recursos son escasos. Entre varias alternativas de solución obviamente optaremos por la mejor de ellas.

Por lo general todo problema tiene los siguientes elementos: el problema, la unidad que toma la decisión, las variables controlables (internas o endógenas), y no controlables (del entorno o exógenos), las alternativas y las consecuencias condicionales; debe considerarse también, la carencia de recursos y la decisión en sí misma que llevan a escoger alternativas más eficientes y óptimas o que produzcan resultados beneficiosos.

1.1.7. Análisis de inversionesEn un sentido amplio inversión, es el flujo de dinero orientada a

la creación o mantenimiento de bienes de capital y a la realización de proyectos supuestamente rentables.

El análisis de inversiones emplea como concepto fundamental la tasa de rendimiento (tasa de interés), con el que obtenemos elementos para efectuar infinidad de análisis de tipo económico-financiero, principalmente para:1. Establecer el exacto costo de la alternativa de financiación o verdadera

rentabilidad de la inversión.

2. Organizar planes de financiamiento en negocios de venta a crédito o a plazos.

3. Elegir planes más adecuados para la liquidación de obligaciones, según los criterios de liquidez y rentabilidad.

4. Determinar el costo de capital

5. Elegir las alternativas de inversión más apropiadas a corto y largo plazo.

6. Elegir entre alternativas de costos.

1.1.7.1. Estudio de la rentabilidad de inversionesPara entender este tema es necesario aceptar tres niveles de

comprensión:El conceptual: conceptos básicos de interés, tasa de interés,

equivalencia y los métodos para la toma de decisiones.El operativo instrumental: referido al empleo de fórmulas y

funciones financieras de hojas de cálculo como Excel.El situacional: descripción de la realidad. Puede ser: las

cláusulas de un contrato o pagaré; es decir, un escenario a cambiar y para el cual contamos con varias alternativas de solución.

1.1.8. Valor del dinero en el tiempoUno de los principios más importantes en todas las finanzas.El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el

tiempo, permite comprar o pagar a tasas de interés periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.). En el proceso del interés compuesto, los intereses pagados periódicamente son transformados automáticamente en capital. El interés compuesto es fundamental para la comprensión de las matemáticas financieras.

Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo agrupados en dos áreas: valor futuro y valor actual. El valor futuro (VF) describe el proceso de crecimiento de la inversión a futuro a un interés y períodos dados. El valor actual (VA) describe el proceso de flujos de dinero futuro que a un descuento y períodos dados representa valores actuales

1.1.8. Valor del dinero en el tiempo

Ejemplo 1: De las siguientes opciones ¿Cuál elegiría?1) Tener $ 100 hoy u

2) Obtener $ 100 dentro de un año

Ambas 100% seguras

Cualquier persona sensata elegirá la primera, $ 100 valen más hoy que dentro de un año.

1) Tener $ 100 hoy u

2) Obtener $ 150 dentro de un año

Ambas 100% seguras.

Elección más difícil, la mayoría elegiría la segunda. Contiene un «premio por esperar» llamada tasa de interés, del 50%.Generalmente en el mercado, esta tasa de interés lo determina el libre juego de la oferta y demanda.

1.1.8. Valor del dinero en el tiempo

Ejemplo 2: Un préstamo de $ 20,000 con 18% de interés anual para su uso durante los próximos cuatro años.

vemos que $ 20,000 actuales tienen un valor en el tiempo de $ 23,600 pasado un año, $ 27,848 dos años después y, $ 38,776 pasado cuatro años. Inversamente el valor de $ 38,776 a cuatro años vista es $ 20,000 en la actualidad.

1º Año del préstamo18 % del capital;

$ 20,0003,600 23,600


$ 23,6004,248 27,848


$ 27,8485,013 32,861


$ 32,8615,915 38.776

1.1.9. La EquivalenciaEs un concepto de mucha importancia en el ámbito financiero;

utilizado como modelo para simplificar aspectos de la realidadDos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta

indiferente recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período; expresamos este concepto con la fórmula general del interés compuesto: VF = VA(1 + i)n

En el análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de todo lo conocido como Matemáticas Financieras.

Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez, sustentadas en el sacrificio de consumo:

1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos, preferiremos aquel más cercano.

2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero de diferente valor, preferiremos aquel de importe más elevado.

1.1.9. La EquivalenciaLa preferencia de liquidez es subjetiva, el mercado de capitales le da un

valor objetivo a través del precio que fija a la transacción financiera con la tasa de interés.

Equivalencia no quiere decir ausencia de utilidad o costos; justamente ésta permite cuantificar el beneficio o pérdida que significa el sacrificio de llevar a cabo una operación financiera.

VF = VA + compensación por aplazar consumo$ 100 hoy es equivalente a $ 100 / 1.09 = $ 91.74, es decir:$ 91.74 hace un año (anterior), $ 100 hoy y $ 109 dentro de un año

(posterior) son equivalentes entre sí al 9% de capitalización o descuento. Con esto establecemos que:

09.1100 $109 $ 09.1

91.74 $100 $

1.1.10. Operación FinancieraReemplazo de uno o más capitales por otro u otros

equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación del interés simple y compuesto.

Conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que ocurren en el tiempo.

La realización de una operación financiera implica:1º. Sustitución de capitales.

2º. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes.

3º. Aplicación del interés simple o compuesto

1.1.10.1. ComponentesPersonalesEn una operación financiera básica intervienen un sujeto (acreedor) que pone a disposición de otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente lo recupera incrementado, es decir, el principal más los intereses.TemporalesEl momento de tiempo donde comienza la prestación es el origen, donde concluye la contraprestación es el final y el intervalo de tiempo que transcurre entre ambas fechas es la duración de la operación financiera, durante el cual se generan los intereses.ObjetivosLa realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: el capital, la ley financiera (simple o compuesto) a utilizar y la tasa de interés (costo/ganancia) acordado.

1.1.10.2. Clases

A. Según la duración: corto y largo plazo.

B. Según la ley financiera que opera:

Según la generación de intereses:

En régimen de simple:

En régimen de compuesta.

Según el sentido en el que se aplica la ley financiera:

De capitalización

De actualización o descuento

A. Según el número de capitales de que consta:Simples

Complejas (o compuestas):

1.1.11. Costo de oportunidad y costo de capital

Cuando la inversión proviene de recursos propios la denominamos costo de oportunidad.

Costo de capital, representado por el interés de los préstamos corregido por su efecto tributario, deducido los impuestos.

1.2 LOS NÚMEROS

Al hablar de matemáticas aplicadas es referirse a números.Punto de partida: estudio de las propiedades y las reglas.Diariamente manejamos cantidades .Se representan mediante diferentes tipos de números:

Enteros, fraccionarios, positivos, negativos, pares, etc. Todos ellos forman parte del conjunto de los números realesExiste oros números llamados imaginarios , pero poco tienen que

ver con la matemática de los negocios y las finanzas, ejm.

X2 + 1 = 0 , X2 = -1, X = ±√1

1.2.1 Solucion de problemasEl proceso en la solución de problemas tiene cuatro etapas:

leer y comprender, plantear, resolver e interpretar.Leer y comprender: un articulo cuesta $ 9,50 la unidad, Cuánto

puede comprarse con $ 75,00?Plantear: Si x es el número de piezas, entonces debe cumplirse

que $ 9,50 x = $75,00Resolver: dividimos ambos lados por $9,50 o despejamos x,

x = $75,00 / $9,50 = 7,8947Interpretar: Puesto que x debe ser un numero entero, no se

venden fracciones de pieza y por tanto debe comprarse siete piezas.

1.2.2 Aproximaciones

Conocido como redondeo Cualquier decimal que desee aproximarse debe:

Incrementarse en una Unidad el ultimo dígito fijado, si los que le siguen exceden del valor 500....

El redondeo de 42,53621 a dos decimales es 42,54 No cambiar el último dígito, si los que le siguen son menores que el

valor 500....El redondeo de 2,328543 a cuatro decimales es 2,3285

Si los dígitos que siguen al último fijado son exactamente el valor 5 y el último fijado es impar, debe incrementarse en una unidad, si es par este no cambia.

El redondeo de 5,085013 a dos decimales es 5,09El redondeo de 425,32500 a dos decimales es 425,32El redondeo de 0,8375 a tres decimales es 0,838

1.2.2 Aproximaciones

Aplicación 1

Redondear el número X = 17.42379035 a siete decimales X = cinco decimales X = tres decimales y X = una cifra decimal, X =

1.2.3 Operaciones con decimales

Recordando potencias sabemos que: 1/10 = 10-1 = 0,1 1/100 = 10-2 = 0,01 1/1000 = 10-3 =0,001 ........ 1/1000....000 = 10-n = 0,00....001 Productos con decimales: 0,326 · 6,37 = 326 · 10-3 · 637 · 10-2 = 326 · 637 · 10-5 = 207 662 · 10-5 = 2,07662 División entre decimales: 30,3257÷2,61 =(303257·10-4)÷(261 · 10-2 )= (303257÷261) ·10-4 -(-2)

(303257÷261) ·10-4 + 2 = 1161,94 · 10-2 = 11,6194

1.3 EXPONENTES , RADICALES y LEYES DE LOS EXPONENTES

Enésima potencia: Si a es un numero real y n es entero positivo, la enésima potencia de a se define como:

Donde a es la base y n es el Nº de factores exponente.

Al multiplicar o dividir dos números con el mismo signo, el resultado es positivo, mientras que será negativo cuando tengan signo contrario.

aaaaan .....

1.3.1 Exponentes , radicales Si a es diferente de cero, entonces:

a0 = 1

Esto es que todo numero diferente de 0, es igual a 1.Si el exponente es negativo , entonces:

a-n = 1/an

La raíz enésima de b es:

siempre que an =b,/1 abb nn

1.3.1 Exponentes y radicalesAplicación 1La segunda potencia de 3 es 9 porque La cuarta potencia de (-5) es 625 ya que La vigésima potencia de 1.0215 es

Aplicación 2a) (32.5)0 =b) (1+i) -1 =c) (-382.45)0 =d) (3-x)-5 =

e)

f) 0-3 =

4)053,1(A

1.3.1 Exponentes y radicalesAplicación 3a) La raíz cúbica de 125 es 5 porque

b) La raíz cuarta de 81 es 3 o -3 porque

c) La raíz doceava de 35.82135 es

1.3.2 Leyes de exponentesEn la multiplicación de dos números con la misma base, se suman

los exponentes y en la división se restan;am an = am+n y am / an = am-n

La enésima potencia del producto de dos números es igual al producto de las potencias, y la potencia enésima del cociente de dos números es igual al cociente de las potencias, esto es:

(ab)n = an bn y (a/b)n = an /bn , siempre que b ≠ 0La enésima potencia de la potencia emésima de un número, se

obtiene multiplicando las potencias :(am )n = amn

Si el exponente de a es de la forma m/n, entoncesam/n = am(1/n) = n ma

1.3.2 Leyes de exponentesAplicación 4a) 32(35) = b) 52 (5)-3=c) 85/83 =d) (7xy)3 = e)

f) nan =

Aplicación 5

82/3 =

6 6)1( x

1.4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Expresión algebraica: es el resultado de combinar

números y letras relacionándolos mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación.

1.4.1 Variables y constantes

Variable: atributo de una cantidad que recibe un valor, el cual puede estar sujeto a cambio. Ej. Precio del bien

Constante: valor de una variable cuando esta no se modifica.Dominio de una variable: conjunto de todos los valores que dicha

variable puede tomar.Variable continua: cuando una variable puede adoptar todos los

valores de un intervalo dado.Variable discreta: Cuando una variable no puede adoptar todos los

valores en un intervalo dado.

1.4.2 Expresiones algebraicas

Aplicación 1Las siguientes son expresiones algebraicas:a) 3x2- 2n d) g)

b) (5 -x)(10 + 3x) e) (1 + i/12)3

c) 10x + 4.2 f) C + Cin

6/1 i2)/(

)/1)(1(1pi

pini np

1.4.3 Ecuaciones

Ecuación: es el resultado de igualar dos expresiones algebraicas que se llaman lados o miembros de la ecuación.

1.4.3 Ecuaciones

Aplicación 2Las siguientes son ecuaciones:

a) x2 - 1 = (x – 1)(x + 1) d) I= Cin g) b) 3x + 2/3 = x e) x3 - 2x =0 h) A = b h/2

c) x + 3 = x2 – 2 f) M = C (1 + in)

52.313 i

1.4.3 Ecuaciones

Solución de ecuacionesResolver una ecuación es encontrar el valor o los valores de las incógnitas que las hacen verdaderas. Tales valores forman la solución de la ecuación.Para resolver una ecuación: Dependiendo del tipo de ecuación , se debe de considerar las tres propiedades básicas que se emplean en la mayoría de las ecuaciones, estas son:

Se suma, o se resta, cualquier número a los dos miembros de la ecuación (propiedad aditiva).

Se multiplican los dos lados por cualquier número que no sea cero (propiedad multiplicativa).

Cualquier parte de la ecuación se reemplaza por otra igual (principio de sustitución).

1.4.3 EcuacionesEcuaciones lineales

De acuerdo con su forma y las incógnitas que presentan, las ecuaciones son lineales, cuadráticas, cúbicas, exponenciales, logarítmicas, etc. y de una o más variables o incógnitas.Las ecuaciones lineales con una variable x tienen la forma:

ax + b = 0 donde a ≠ 0

1.4.3 EcuacionesEcuaciones lineales

Aplicación 3Las siguientes son ecuaciones lineales. Tal como están, o en su forma reducida, resuélvalas.a) 3x + 5 = 8 - x b) x + 2/3 = 5 - x/2c) (1+ i/4)12 = 1.25d) 3,750 = 4,175(1 - 3d)e) 2832.134 x

1.4.3 Ecuaciones

A: Transposición de términosConsiste en trasladar términos de una ecuación de un miembro a otro.Al transponer los términos puede despejarse una variable en función de otra.Si a los miembros de una misma ecuación se le:

a. Multiplica, suma o resta una misma cantidad,b. Divide por una misma cantidad distinta de cero,

Los valores de cada miembro de la ecuación pueden modificarse, pero siguen siendo iguales entre si.

Si los miembros de la ecuación son cantidades no negativas, se mantiene una igualdad si a cada miembro se le potencia, logarítma, antilogarítma o radica.

1.4.3 EcuacionesB: Reglas:

a + b = c entonces: a = c – ba – b = c entonces: a = c + ba · b = c entonces: a = c ÷ b b≠0a ÷ b = c entonces: a = c · ban = b entonces: si a es positivo = b entonces: a = bn

Logba = c entonces: a = antilogbc = bc

Antilogba = c entonces: a = logbc

n a

n ba

1.4.3 Ecuaciones

C: Expresión reciproca :Cualquier numero real multiplicado por 1 da como resultado el mismo numero, por ello el numero 1 se considera como el elemento neutro multiplicativo.En general el inverso multiplicativo o reciproco de una cantidad c diferente de cero, es aquel que multiplicado por C es igual que el elemento neutro de la multiplicación.

Si a ≠ 0, su reciproco es igual que 1/a, ya que a(1/a) = 1Si a ≠ 0, su reciproco es igual que a-1 , ya que a a∙ -1 = 1Si a/b ≠ 0, su reciproco es b/a o b a∙ -1 por que, (a/b)(b/a) = 1Si 1/a ≠ 0, su reciproco es a, por que (1/a)a = 1Si an ≠ 0 su reciproco es igual que a-n , por que an a∙ -n = 1

1.4.3 Ecuaciones

Ecuación cuadrática: o de segundo grado, de una incógnita x es aquella que puede ser llevada a la forma:

ax2 + bx + c = 0pueden tener hasta dos soluciones x1 y x2, la solución está dada por:

a

acbbx

2

42

1.5 RAZONES Y VARIACION PROPORCIONAL

El cociente entre dos cantidades es la razón o proporcionalidad entre ellas.

q es la razón entre X y Yq es directamente proporcional al valor de x ( aumenta en la misma

proporción) e inversamente proporcional al valor de Y (disminuye en la misma proporción)

k = constante de proporcionalidadEl valor de q es directamente proporcional al valor de X, inversamente proporcional al valor de Y y depende del valor de la constante de proporcionalidad k ; conocido el valor de q , queda determinado el valor de k

qY

X

kY

Xq

1.5.1 RazonesEjemplo 1La producción en toneladas de caña de azúcar por hectárea aumenta con los kilogramos de fertilizante que se emplean, es decir, P = kf, donde P es la producción, y f los kilos de ferti lizante. ¿Cuántas toneladas por hectárea se producen en una parcela que se abonó con 550 kg de fertilizante, si otra con condiciones semejantes produjo 130 toneladas por hectárea con 650 kg de fertilizante?

1.5.1 RazonesEjemplo 2

El volumen de ventas de un complemento dietético aumenta si se incrementa el número de veces en que se anuncia en televisión, lo cual significa que

V=ktDonde V son las ventas, t es la frecuencia o número de veces

en que el complemento se anun cia, y k es la constante de proporcionalidad.

Un artículo que se anuncia 5 veces por hora, vende 4,500 piezas, ¿cuántas se venderán si se anuncia 6 veces por hora?


El bono mensual B que un empleado recibe por su puntualidad es inversamente proporcio nal al número de minutos m que llega tarde a su trabajo, lo cual significa que

B = k/mSi, por ejemplo, un empleado que llegó 3 minutos tarde recibió

un bono de $350, ¿cuándo recibirá otro que llegó 5 minutos tarde?


Si se supone que la calificación C que se obtiene en un examen está en proporción directa al número de aciertos n y es inversamente proporcional al número de minutos t en que se re suelve, entonces,

C = k n/tPor ejemplo, si Alejandra obtuvo 90 en un examen con 18

aciertos y 45 minutos, ¿qué cali ficación obtiene Carlos con 21 aciertos y si tardó 56 minutos para resolver su examen?

1.5.1 Razones

Ejemplo 5

Un buen padre de familia acostumbra a dar a sus hijos, al final de cada semestre, un premio P, en pesos, que es inversamente proporcional a la expresión

Donde n es el número de inasistencias que la escuela le reporta y c es el promedio semestral.

Entonces la ecuación de proporcionalidad es

Si el hijo mayor recibió $3,250 con un promedio de 80 y 2 inasistencias, ¿cuánto recibirá el más chico si registró 4 inasistencias y logró 95 de promedio semestral? ¿Y cuánto recibirá su hermana que tuvo sólo una inasistencia y 90 de promedio?

Cn 1001

Cn

kP

1001


Si 20 obreros construyen 50 metros de una carretera en 10 días, cuántos obreros se requieren para construir 1200 metros en 120 días.


Si ocho obreros tejen 12 metros de telas de 0,5 mts. de ancho en una semana, ¿ cuantos metros de la misma tela de 0,7 mts. de ancho producen 35 obreros?

1.5.2 Proporciones

Es una igualdad de dos razones

Si y entonces

que puede leerse: a es a b como c es a d.a y c son los antecedentes y b y d los consecuentes.Se llama extremos al antecedente de la primera razón y al consecuente

de la segunda razón. Y medios al consecuente de la primera razón y al antecedente de la segunda razón.

Teorema: En toda Proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

qb

a q

d

c

d

c

b

a

1.6 TANTO POR CIENTO

Proporcionalidad que se establece con relación a cada 100 unidades.Se expresa con el símbolo %El X% de A es = (X/100)A o (XA)/100

Ejemplo 1: 5 % significa tomar 5 unidades de cada 10050 % significa tomar 50 unidades de cada 1000,5 % significa tomar 0,5 unidades de cada 100

5/100 = 0,05 = 5 % ; 50/100 = 0,5 = 50 %; 0,5/100 = 0,005 = 0,5 %

1.6 TANTO POR CIENTO

Ejemplo 2Juan Gómez pago $427,50 por un par de zapatos. ¿Cuál era el

precio si los compro con el 25 % de descuento?

1.6 TANTO POR CIENTO Ejemplo 3

Los intereses que durante un año devenga un capital que se invierte al 8,5 % de interés anual están dados por I=Ci, ¿Cuál será el interés de $ 15000?


¿Qué le conviene más a un empleado que recibe un aumento salarial?, ¿Primero un 20 % y poco tiempo después un 7 % adicional, o recibir un 28 % en total?


El precio de un refrigerador es de $ 7 650. ¿Cuánto costaba hace un año si aumento un 12.5 %?


¿En qué porcentaje se redujo la cartera vencida si actualmente es de $ 138 millones y antes era de $ 150 millones?

1.7 Teorema del binomio

El desarrollo de la potencia de n de un binomio tiene por expresión:

an es el primer término, an-1b es el segundo término y asi sucesivamente; el termino de orden r + 1 tiene la expresión

Ej.. Encontrar el valor de (1 + 0,02)-4 , aproximado con 4 cifras decimales

= 1 - 0,08 + 0.04 - 0,00016 + 0.0000056

.....3·2·1

)2)(1(

2·1

)1( 33221

bannn

bann

bnaaba nnnnn

rrn bar

rnnnn !

)1)......(2)(1(

3726544 )02,0)(1(!3

)6)(5)(4()02,0)(1(

!2

)5)(4()02,0)(1)(4(1)02,01(

1.8 LOGARITMOSAparecen en 1616 y fueron credos por el matemático escoses John

Napier, están muy relacionados con los exponentes y las leyes de los exponentes.

Han sido sustituidas por las computadoras, Permiten efectuar: multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y radicaciones con gran rapidez.

Definición: el logaritmo en base b de un número positivo N (logbN), es el exponente L tal que bL = N, o dicho de otra forma: el exponente L al que debe elevarse un numero b para obtener un numero N, se llama logaritmo de N en base b

L = logb N donde N > 0, b es un # + , y > 0Las dos expresiones: L = logaN y N = bL son equivalentes A N se le conoce como el antilogaritmo de L Y el cologaritmo de N (colg N) = log 1/N = 0 – log N -log N = (10,000000 – 10) – log N

1.8 LOGARITMOS

EjemplosLa tercera potencia e 2 es 8, esto es 23 = 8 por lo tanto, el logaritmo base 2 de 8 es igual a 3, es decir:

log2 (8) = 3 por que 23 = 8 La quinta potencia de 10 es 100000, es decir 105 = 100000; por tanto, el logaritmo base 10 de 100000 es 5

log10 100000 = 5 por que 105 = 100000¿Cuál es el numero N cuyo logaritmo de base 3 es 2,45?

log3 (N) = 2,45 , esto en forma de exponente es 32,45 =N

es decir que N = 14,75526705

1.8 LOGARITMOS PropiedadesLa función logarítmica de 0 para x = 1, o sea:

Logb1 = 0El logaritmo de una cantidad igual a la base es 1, o sea:

Logbb= 1El Logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores, o sea:

LogbABC = Logb A + LogbB + LogbC El logaritmo del cociente de dos cantidades es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor, así:

LogbA/B = LogbA - LogbBEl Logaritmo de la potencia de una cantidad es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la cantidad:

LogbAn = nLogbA

1.8 LOGARITMOS

Propiedades

Como casos particulares de esta propiedad se tiene:El logaritmo de una potencia de la base es igual al exponente

Logbbn = nEl Logaritmo de un radical es igual al cociente entre el logaritmo de la

cantidad sub radical y el índice.

Ap

A ap

a log1

log

1.8 LOGARITMOS

PropiedadesPara nuestros propósitos utilizamos la base 10 escribiendo log N en vez de logbN, así tenemos que:

log 1000 = 3 ya que 103 = 1000, log 100 = 2 ya que 102 = 100, log 10 = 1 ya que 101 = 10, log 1 = 0 ya que 100 = 1, log de 0,1 = -1 ya que 10-1 = 0,1, log 0,01 = -2 ya que 10-2 = 0,01, etc.

El logaritmo de una potencia de 10 tiene tantas unidades como ceros posea la potenciaEl logaritmo de un número positivo consiste de dos partes: una parte entera llamada característica y una parte decimal llamada mantisa.

1.8.1 logaritmos comunes , naturales y ecuacionesLos valores posibles para la base de un logaritmo son ilimitados; sin

embargo, los dos más usuales son el de base 10 y el de base e. Este último es aproximadamente igual a 2.71828.

Los primeros se conocen como logaritmos comunes o decimales; y los segundos, como logaritmos naturales o neperianos. Dichos logaritmos se expresan, respectivamente, como:

Iog10 (x) = log (x) y loge (x) = ln (x)

ya que en ambos casos se omite escribir la base.Son múltiples las aplicaciones de los logaritmos. En un curso regular de

matemáticas financieras, por ejemplo, se utilizan para encontrar el plazo en inversiones o en la amortización de créditos. Por ahora, veamos cómo despejar la incógnita en las ecuaciones que la tienen como exponente.

1.9 SERIES Y SUCESIONES¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

3, 5, 7, 9, . . 1er. Termino 3er.. Termino

2do. termino 4to. Termino

«Termino», «elemento» o «miembro» significan lo mismo

Entonces sucesión es el conjunto ordenado de números, llamados términos de la sucesión y se denotan con an, donde el subíndice n indica la posición del término.

A partir de esta definición, se dice que las sucesiones, en general, se representan como: a1 , a2 , a3 ,........, an

1.9 SERIES Y SUCESIONESEjemplo 1

Sucesión, ventas anuales de una exportadoraLas ventas anuales de la empresa EXP S. A.,en los últimos 5 años son:

6.80 , 7.25, 8.30, 8.60, 9.70, 10.25, 12.45

Cantidades que representan una sucesión, donde el primer termino es a1 = 6.80, el segundo a2 = 7.25 y el ultimo a7 = 12.45


Durante las últimas semanas de 2012, la tasa de rendimiento anual de Bonos del tesoro, a 30 días correspondió a los siguientes porcentajes:

8.21, 8.25, 8.29, 8.31, 8.32, 8.34, 8.37, y 8.36

Éstos son valores que constituyen una sucesión, cuyo primer término es a1 = 8.21, el segundo es a2 = 8.25, y el octavo es a8 = 8.36.

Es común expresar los términos de las sucesiones mediante una fórmula en función de n, la cual se reemplaza sucesivamente por los números enteros positivos 1, 2, 3,...


Términos de las sucesionesLos primeros cinco términos de la sucesión dada por an = 6n + n3 son:

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

y a5 =


Suponiendo que los términos de una sucesión están dados por la fórmula:

an = 3n + 2

¿Cuáles son los primeros cinco?

¿Qué lugar ocupa el número 2,177 en la sucesión?

¿Qué característica se observa en los términos de la sucesión?

1.9 SERIES Y SUCESIONESSeries

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Serie: suma de infinitos términos ligados por alguna ley de formación.

Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

4

1

n

4

1

)12( n

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1" Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

1.9.1 Progresión Aritmética

Una sucesión de números, llamados términos, tal que dos números consecutivos cualesquiera de la sucesión están separados por una diferencia común fija, d, es una progresión es aritmética

a1 , a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, …… ó an = a1 + (n – 1)d

5, 8, 11, 14, . . . . Prog. Aritmética con diferencia común 324, 20, 16, 12, … Prog. Aritmética con diferencia común -4

Note que para hallar la diferencia de cualquier término se resta el que le precede, es decir,

d = an – an-1

Sucesión finita : 6, 11, 16, 21. 26, 31.

1.9.1 Progresión AritméticaSi designamos por a1 el primer término, por d la diferencia

común o constante y por n el numero de términos, la progresión es:

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d,....., a1 + (n-3) d, a1 + (n-2)d, a1 + (n-1)dEl ultimo o n-esimo término se designa por an y su expresión en

función del primer termino, el numero de términos y la diferencia común es:

an = a1 + (n-1)d

La progresión puede ser escrita como:

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d,....., (an – 2d), (an – d), an

1.9.1 Progresión AritméticaEjemplo 1

Los primeros términos de la progresión an = 5n + 1 son.

a1 = 5(1) + 1 =

a2 = 5(2) + 1 =

a3 = 5(3) + 1 =

a4 = 5(4) + 1 =

a5 = 5(5) + 1 =


Ejemplo 2

¿Cuáles son los primeros tres términos de la progresión aritmética si el cuarto es a4 = 13 y el octavo es a8 = 27?


Ejemplo 3

Encuentre el vigésimo cuarto término de la progresión aritmética 10, 4,...


Obtenga el valor de x en la progresión aritmética -3, x, 15,...


La diferencia entre los términos 10º y 25º en una progresión aritmética es 45; además, el cuarto es -10. Obtener los tres primeros.

1.9.1.1 Suma de una progresión aritmética Sea la progresión aritmética:

a1, a1 +d, a1 +2d, a1 +3d,....., (an – 2d), (an – d), an

La suma de una progresión aritmética es: Sn = a1 + (a1 +d) + (a1 +2d)+ .....+(an - 2d) + (an – d) + an ó

Sn = an + (an – d) + (an - 2d) +……+ (a1 + 2d) + (a1 + d) + a1

Si se invierte el orden de los términos Al sumar las dos ecuaciones en el miembro izquierdo se tiene 2Sn y en

el derecho se obtiene n veces a1 y n veces an , puesto que se cancelan todos los términos con d

2Sn = na1 + nan o 2Sn = n(a1 + an) ó La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a n

veces la media aritmética de los términos primero y ultimo, siendo n el numero de términos.

)a(an

S nn 12 dna

nSn 12

2 1 dnaan 11

1.9.1.1 Suma de una progresión aritméticaEjemplo 1

Determinar el 15° término y la suma de los 15 primeros términos de la progresión aritmética -1, 2, 5, 8, ...


a) Una progresión aritmética tiene a1 = 7, an = 77, Sn = 420; determinar n y d.

b) Una progresión aritmética tiene a3 = 18, a6 = 42; calcular a1 y S6.

1.9.1.1 Suma de una progresión aritmética

Ejemplo 3Se desea encontrar la suma de los primeros 20

términos de la serie aritmética: (-8) + (-4)+,...


Ejemplo 4Los primeros 10 términos en una serie aritmética suman 75

y el primero es -15. ¿Cuál es el décimo?


Ejemplo 5

Hallar la suma de los términos desde el 15º hasta el 28º de la progresión aritmética 6, 10,


Una persona pide prestados $5 000, quedando de acuerdo en pagar $200 al final de cada mes y pagar 15% de interés por año, esto es, 11% mensual, sobre todo el saldo no pagado. Calcular la suma de todo el interés pagado.


Para perforar un pozo, el costo es de $5.50 por los primeros 10 cm, y por cada 10 cm adicionales el costo es de $1 más que para los 10 cm anteriores. ¿Qué profundidad tendrá un pozo que se perfore con $1 000?

1.9.2 Progresión geométrica

Una sucesión de números, llamados términos, tal que dos números consecutivos cualesquiera en la sucesión estén en una razón común fija, es una progresión geométrica.

2, 2x, 2x2, 2x3, …, es una Prog. Geométrica con razón común x

8, -4, 2, -1, …., es una Progr. Geométrica con razón común – ½

Una progresión geométrica cuyo primer termino es a1 y cuya razón es r, es;

a1, a1r, a1r2, a1r3, ….

a1 , a1 r, a1 r2 , a1 r3 ,...., a1 rn-3 , a1 rn-2 , a1 rn-1

El n - ésimo termino de la progresión es: an = a1rn-1 ó Una progresión es geométrica si cada término es igual al anterior por una constante r llamada razón común, es decir, si an = an-1(r)

Note que para hallar la razón se divide un término entre el que le precede, esto es:

r = an /an-1 ó r = ak+1 /ak (k es un numero natural que indica el orden de cualquier termino).


Ejemplo 1

Los primeros seis términos de la progresión geométrica con a1 = 4, el primer término, y r = ½, la razón común, son:


Ejemplo 2

Encontrar el cuarto y el décimo términos de la sucesión geométrica -3, 2,...


Ejemplo 3

Hallar el vigésimo término de la progresión geométrica 1.02,(1.02)3,...


Ejemplo 4

Los términos décimo y vigésimo sexto en una progresión geométrica son a10 = 1/128 y a26 = 512. ¿Cuáles son los primeros tres?

1.9.2.1 Suma de una progresión geométrica Sea la progresión Geométrica:

a1 , a1r, a1r2 , a1r3 ,...., a1rn-3 , a1rn-2 , a1rn-1

Su suma es:S = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + .... + a1rn-3 + a1rn-2 + a1rn-1

Al multiplicar por r , se tiene Sr = a1r + a1r2 + a1r3 + a1r4 .... + a1rn-2 + a1rn-1 + a1rn

Al restar ambas expresiones se obtiene:

S – Sr = a1 – a1rn ó S(1 – r) = a1 – a1rn ó

para r < 1 Prog. Geom. decreciente

para r > 1 Prog. Geom. Creciente, y

rraa

sn

1

11

111

rara

sn

1.9.2.1 Suma de una progresión geométrica Ejemplo 1

Determinar el 10° término y la suma de los primeros 10 términos de las progresiones geométricas a) 1, 3, 9, 27, ...;b) (1.05)-1, (1.05)-2, (1.05)-3, (1.05)-4, ...


a) Una progresión geométrica tiene a1 = 12, r = z, an=3/8 ; calcular n y Sn.

b) Una progresión geométrica tiene a2 =7/4 y a5 = 14; calcular a10 y S10

1.9.2.1 Suma de una progresión geométrica

Ejemplo 3

¿Cuánto suman los primeros 12 términos de la progresión geométrica 3, x, 1/3,...


Ejemplo 4

Se desea obtener la suma de los primeros 25 términos de la progresión geométrica si el decimoquinto y el decimoctavo son, respectivamente, 2 y 16.


Ejemplo 5

Se pretende obtener el decimosexto término y la suma de los primeros 16 de la progresión, donde cada término es 5% mayor que el anterior y el primero es 80.


El valor de cierta máquina, al final de cada año, es 80% de su valor al principio del año. Si la máquina originalmente costó $10 000, calcular su valor al final de 10 años.


Una bomba de vacío extrae 5% del aire que queda en un recipiente por cada embolada. ¿Qué fracción decimal del aire original queda después de 40 extracciones?

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

Ejemplo 1

Carlos, Jorge y Luis comparten en sociedad la propiedad de un negocio de artículos deporti vos. Deciden distribuir las utilidades de acuerdo con su aportación individual: $21,600, $27,000 y $32,400, respectivamente. Las utilidades del primer semestre fueron de $68,850. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?


Ejemplo 2

El testamento de un padre de familia estipula que el 20% de sus bienes valuados en 2.5 millones de pesos, se otorgue a una institución de beneficencia, y que el 80% restante se reparta entre sus tres herederos en forma inversamente proporcional a sus edades. Tales edades son 15, 18 y 24 años. ¿Cuánto corresponde a cada uno?


Ejemplo 3

En el capítulo correspondiente a interés simple, quedará claro que si se presta un capital, C, con intereses del 22.5%, al final de n años éste se saldará con M=C(1 +0.225x) ¿Cuántos días después de que se recibió, se cancela con $18,000 un préstamo de $16,500, con intereses del 22.5%?


Ejemplo 4

Un agricultor desea invertir $175,000. Puede hacerlo en una cuenta de ahorros que le producirá el 10.5% de interés anual o comprar centenarios que le darán a ganar el 9,75% anual. ¿Cómo debe distribuir su capital si pretende utilidades del 10.35% anual?


Ejemplo 5

¿Cuál es la utilidad esperada de un inversionista si se sabe que tiene 35% de probabilidades de ganar $87,500, y 65% de probabilidades de perder $20,000 en una inversión?


Ejemplo 6

¿Cuál será el valor de rescate de un activo que costó $375,000, tiene vida útil de 8 años y se deprecia $42,000 anuales?


Ejemplo 7

Los intereses que se ganan o se pagan por el uso de las tarjetas de débito, de crédito o de inversión se evalúan tomando como base el saldo promedio por día.

Considerando los pagos y disposiciones del mes actual o del anterior, y siendo estos los periodos que hay entre las fechas de corte establecidas por el banco.

Este saldo promedio se calcula de la forma siguiente, donde para ilustrar el procedimiento se consideran solamente dos movimientos en la cuenta de un usuario.

Suponga que el primer día, después del corte, el saldo en contra de un usuario de tarjeta de crédito es de $745. El décimo día abona $600 y el decimosexto compra $275 en alimentos pagando con la tarjeta. ¿Cuál es el saldo promedio diario, si el periodo de corte es de 30 días?


Ejemplo 8

Si el saldo promedio mínimo por día que un cuentahabiente debe mantener en su tarjeta es de $500, ¿cuánto debe depositar el noveno día del mes para alcanzarlo, si los primeros 8 días mantuvo su cuenta en $60? ¿Cuánto deberá depositar el vigésimo octavo día, si el noveno deposita solamente $200?


Ejemplo 9

¿En cuánto tiempo se acumulan $44,365 si se invierten $40,000 ganando intereses del 0.8% mensual capitalizable por meses?


Ejemplo 10

¿En qué año se producirán 150,000 toneladas de azúcar, si en 2004 se produjeron 84,750 toneladas y la producción aumenta a razón del 8.5% anual?

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.Ejemplo 11

El ingreso mensual del profesor Hernández es de $7,500. Determine:

a)El porcentaje que paga de impuestos si le descuentan $456.

b)El capital que gasta en alimentos si equivale al 45% de su ingreso.

c)El porcentaje del ingreso que destina a la renta de su departamento, si paga $2,250 por mes.

d)La cantidad neta que ingresa mensualmente a su hogar, si su cónyuge gana 27% menos que él, y ambos pagan el mismo porcentaje de impuestos.

e)El capital que deposita en su cuenta de ahorros, si representa el 30% de su prima vacacional y ésta es el 140% de su ingreso mensual.

f)¿Cuánto deberá ganar mensualmente el año próximo para mantener el mismo poder de compra, si se sabe que la inflación ha sido y será del 5.06% anual?


El precio de un reproductor de discos compactos es de $8,400, incluyendo el IVA, que es equivalente a 15%. La cadena de tiendas Viper tiene el departamento de electrónica rebajado en un 25%. El señor Martínez adquiere un reproductor de discos y al pagar en cajas logra un premio que consiste en un descuento adicional del 20% en el total de su compra.

¿Cuánto pagó por el aparato y con qué descuento sobre el precio original lo obtuvo?

¿Qué cantidades aparecen en la factura con el IVA desglosado?


El 3 de diciembre de 2004, la Bolsa de Valores, cerró en 12,109.45 puntos y al día siguiente cerró en 12,190.26 puntos. ¿Cuál es el incremento en el índice de precios y co tizaciones (ipc)?


El 3 de noviembre de 2004 las unidades de inversión (udis) se cotizaron en $3.4864 y el 15 de enero anterior en $3.3590. ¿En qué porcentaje aumentaron su valor?


El 3 de agosto se negociaron 75,441 millones de acciones en el Mercado de Valores, y cuatro meses después se negociaron 85,181 millones. ¿De cuántos puntos porcentuales fue el incremento?


Ejemplo 16

Suponiendo que las acciones comunes, aumentan su cotización en 475 millonésimas de dolares por día, ¿qué día estarán a $ 4.203193, si el primer día del mes valieron $ 4.191318?


Ejemplo 17

Si la moneda se devalúa 2 milésimas de nuevos soles por día, ¿cuánto se devaluará en 6 meses? Si el 10 de enero la paridad fue de S/. 11.37 por dólar, ¿cuál será para el 15 de mayo siguiente?


Ejemplo 18

¿Cuánto acumulará el señor Hernández si realiza depósitos semanales durante 12 meses, sin incluir intereses, comenzando con S/. 260 e incrementando los siguientes depósitos en S/. 20 cada 4 semanas? ¿Por qué cantidad será el último pago?


Ejemplo 19

En 2002 las utilidades de la compañía constructora VIPARSA, fueron de 18 millones de nuevos soles. En 2005 fueron de 20.25 millones. Suponiendo que el incremento se sostiene de ma nera geométrica, determine:

a) La tasa de incremento anual en las utilidades.

b) Las utilidades que se estima tendrá en el año 2014.

c) La reinversión total entre 2002 y 2014 inclusive, si la empresa reinvierte el 45% de sus ganancias.


Ejemplo 20

¿Dentro de dos años cuál será el precio en nuevos soles de una impresora digital, cuyo precio actual es de US$ 975, el mismo que se incrementa en un 1.8% cada semestre? Considere que la moneda se devalúa un 0.5% cada mes y el tipo de cambio actual es S/. 11.21 por cada dólar.


Ejemplo 21

¿Qué cantidad, sin contar intereses ni descuentos por comisiones, tendrá en su fondo de ahorro para el retiro dentro de 10 años, un trabajador que ahora gana 35 mil nuevos soles anuales. La aportación anual que hace a su fondo es del 6.5% de su salario y éste crece a razón del 4.5% por año? Considere que la primera aportación es en este año.


Ejemplo 22

Considerando que el poder adquisitivo de la moneda se pierde en un 5.2% anual, determinar:

a) ¿En qué porcentaje se reduce el poder de compra en 5 años?

b) ¿Cuál es la pérdida mensual en porcentaje?

c) ¿De qué porcentaje deberá ser el incremento salarial anual para recuperar el poder de compra original?


Ejemplo 23

Si la deuda externa de un país se reduce anualmente un 2.75%, ¿cuánto se reduce en un pe riodo presidencial de seis años?

matfin 1

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