matfin capítulo 2

$$$$ MatemáticasFinancieras

MatemáticasFinancieras

Ricardo Calderón M.Interés

CAPITULO II

Interés y Equivalencia de

Valores en el Tiempo






Condiciones de una Condiciones de una Condiciones de una Condiciones de una OperaciónOperaciónOperaciónOperación

0

$100

1 Año

20%$120

Valor Presente (P)Valor Presente (P)Valor Presente (P)Valor Presente (P)Es el capital inicial, o

cantidad de dinero que se entrega o se toma en

préstamo.

Plazo(n)Plazo(n)Plazo(n)Plazo(n)Número de

períodos que dura la

operación

Tasa de Interés (i)*Tasa de Interés (i)*Tasa de Interés (i)*Tasa de Interés (i)*Cuánto se gana o se paga por el uso del dinero en cada período (se expresa en términos porcentuales).

* La tasa de interés debe coincidir con los períodos* La tasa de interés debe coincidir con los períodos* La tasa de interés debe coincidir con los períodos* La tasa de interés debe coincidir con los períodos(p.e. Tasa de interés mensual (p.e. Tasa de interés mensual (p.e. Tasa de interés mensual (p.e. Tasa de interés mensual ---- n en meses)n en meses)n en meses)n en meses)

Valor Futuro (F)Valor Futuro (F)Valor Futuro (F)Valor Futuro (F)Es el capital acumulado

en un momento del tiempo, resultado de

sumar capital de períodos anteriores e

intereses ganados.

Importante!Importante!Importante!Importante!

13




Esta modalidad de interés se caracteriza porque los intereses

generados en un período no ganan intereses en los períodos

siguientes.

Lo anterior implica que sólo el capital produce intereses, y que

los intereses generados en cada período van perdiendo poder

adquisitivo, lo cual se convierte en una gran desventaja.

Es por esto que la aplicación dada al interés simple es mínima en

el campo financiero.

Las condiciones que operan sobre este tipo de interés son:

!Capital constante

!Liquidación de intereses para cada período sobre el

capital original

! Intereses para cada período de igual magnitud.

Interés SimpleInterés SimpleInterés SimpleInterés Simple

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Las relaciones de equivalencia para el Interés simple son ...

F=P+P x i x n = P(1+in)

Interés de un período

Tasa de Interés

Valor Presente

FFFF???? Si se desconoce el valor futuro

F=P(1+in)

PPPP???? Si se desconoce el valor presente

P = F/(1+i x n)

iiii%%%%???? Si se desconoce la tasa de interés

nnnn???? Si se desconoce el número de períodos

n = (F/P) - 1i

i = (F/P) - 1n


Número de Períodos

15




Enero 10 de 1996

Enero 10 de 1997

12 Meses

$ 10 Millones

Cheque

Banco

EjemploEjemploEjemploEjemplo

Suponga que usted tiene en este momento 10 millones de pesos que desea ahorrar. Luego de pensar en algunas alternativas, decide prestarlos a un amigo durante 1 año cobrándole el 3% mensual, pero negocian un único pago al final de capital más intereses. Su amigo le entrega un cheque para ser cobrado al cumplir el año; por cuanto lo debe girar?

$ 13’600.000

CONDICIONESValor Préstamo(P). $ 10’000.000Plazo (n) ............... 12 MesesTasa de Interés(i).. 3% Mensual

F=10’000000 x (1+ (0.03 x 12) )F=13’600.000

F=P(1+in)


$10’000.000

$ 3’600.000

0 1 Año

$10’000.000

16




EjemploEjemploEjemploEjemplo

Raúl entrega $100.000 a un amigo que le pagará el 30% anual de interés simple, durante 3 años. Cuánto obtendrá al final del plazo establecido?

Planteamiento Gráfico

Solución Numérica

P=$100.000i=30% anualn=3 añosF=100.000(1+3*0.3)F=190.000

Al final de los tres años Raúl recibiría $190.000


Años0 1 2 3

100.000

?

17

$...




Interés CompuestoInterés CompuestoInterés CompuestoInterés Compuesto

Suponga una inversión de $100 que obtiene un 10% de intereses

cada semestre.

$100

$100

0 1 Semestre

ip=10% semestral

Se invierten $100 y se recuperan

los mismos $100 más intereses

de $10.

$110

$110

1 2 Semestre

ip=10% semestral

$ 10

F1=P(1+i)

F2= F1 (1+i)

F2= P(1+i)(1+i)

F2= P(1+i)2

Se reinvierten $110 (se han

«capitalizado» los $10 que se

obtuvieron como intereses en el

período anterior. Se recuperan

entonces los mismos $110 más

intereses de $11.

$ 11

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii i i i

18




$121

$121

0 1 Semestre

ip=10% semestral

Se reinvierten $121 (se han capitalizado

nuevamente los intereses, en este caso

$11) y se recupera al final del tercer

semestre la suma de $133.1 (121 de

capital más $12.1 de intereses)

$133.1

$133.1

1 2 Semestre

ip=10% semestral

$ 12.1

F3= F2 (1+i)

F3= P(1+i)3

F4= F3 (1+i)

F4= P(1+i)4

Se reinvierten $133.1 y se

recupera al final de cuarto

semestre los mismos $133.1 más

intereses de $13.31...

$ 13.31

Podríamos seguir haciendo el mismo ejercicio para cualquier

cantidad de semestres (n), y tenemos de forma general que ...

Fn=P(1+i)n


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$100

$146.41

Capitalización o Reinversión de

Intereses

0 1

ip=10% semestral

2 3 4

F4=P(1+i)4

F4=100(1+0.1)4 =146.41

La inversión de $100 al 10% de intereses cada semestre,

presenta la siguiente situación al cabo de 4 semestres:

Este resultado pudo haber sido hallado directamente así:


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Esta modalidad contempla la reinversión de los intereses generados en un período, lo que quiere decir que los intereses de un período producen intereses en los períodos siguientes. -Los intereses se capitalizan-.

Capitalizar es convertir los intereses en capital o bien, sumar los intereses generados en un período al capital del período anterior, obteniendo un nuevo capital sobre el cual se calcularán los intereses del período siguiente.

Por lo anterior, los intereses que se generan en cada período mantienen el poder adquisitivo del dinero.

Las condiciones que operan sobre este tipo de interés son:

!Se define un período de capitalización (el lapso de tiempo al cabo del cual se reinvertirán los intereses).

!El capital se actualiza cada período sumando los intereses causados.

!Los intereses se liquidan sobre el capital actualizado.

----Consideraciones AdicionalesConsideraciones AdicionalesConsideraciones AdicionalesConsideraciones Adicionales----


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Importante: Recuerde que n es el número de períodos (meses, semestres, años) y que la tasa de interés (i)

debe estar expresada para el mismo período.

De acuerdo con la necesidad, se pueden utilizar las siguientes fórmulas:

FFFF???? Si se desconoce el valor futuro

F=P(1+i)n

PPPP???? Si se desconoce el valor presente

P = F/(1+i)n = F(1+i)-n

iiiipppp%%%%???? Si se desconoce la tasa de interés

ip = (F/P)1/n - 1

nnnn???? Si se desconoce el número de períodos

n = Ln(F/P)Ln(1+i)

Relaciones de EquivalenciaRelaciones de EquivalenciaRelaciones de EquivalenciaRelaciones de Equivalencia


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?

FFFF???? F = P(1+ip)n

A partir de un Valor Presente (P), una tasa de interés periódica (ip) y un número de períodos (n), podemos

hallar un Valor Futuro (F) así:

EjemploEjemploEjemploEjemploUsted deposita hoy $5’000.000 en un fondo de inversión que le

pagará el 7% trimestral. Cuánto dinero recibirá al cabo de 1

año?

F = 5’000.000*(1+0.07)4

F=6’553.980


0

$5’000.000

0 1 2 3 4 Trimestres

7% Trimestral

n

ip%

P

F

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PPPP???? P = F / (1+ip)n

A partir de un Valor Futuro (F), una tasa de interés periódica (ip) y un número de períodos (n), podemos

hallar un Valor Presente (P) así:

EjemploEjemploEjemploEjemploUsted estima que dentro de 6 años recibirá $200 millones. Cuál

es el valor equivalente de esa cantidad hoy, si le aplica una tasa

de interés del 20% anual.


$200’000.000

0 1 2 3 4 5 6 Años

n

Fip%

P = 200’000.000 / (1+0.2)6

P = 66’979.595

P

20% anual

24

?




iiiipppp%%%%???? ip% = (F/P)1/n -1

A partir de un Valor Presente (P), un Valor Futuro (F) y un número de períodos (n), podemos hallar una tasa de

interés periódica (ip) así:

EjemploEjemploEjemploEjemploHace seis meses se compró una acción por $5.320 y se acaba de

vender por $6.165. Qué rentabilidad se obtuvo en la inversión?


$6.165

0 1 2 3 4 5 6 meses

$5.320 Pn

Fip%

ip= (6.165/5.320)1/6 - 1

ip = 2.49% mensual

25

?




nnnn???? n =

EjemploEjemploEjemploEjemploEn cuánto tiempo será posible duplicar una inversión si cada

mes se gana el 2% y se reinvierten los intereses.


A partir de un Valor Presente (P), un Valor Futuro (F) y una tasa de interés periódica (ip) , podemos hallar el

número de períodos (n) así:

LN (F/P)LN (1+i)

$200

0 ? meses

$100 Pn

F2% Mensual

n= Ln(200/100)/Ln(1+0.02)

n=35 meses

26

?

ip%




Cuál es el equivalente futuro dentro de 5 años de una suma actual de $1´000.000, considerando una tasa de interés del 1% mensual?

Ahora considerando una tasa de interés del 6% semestral, cuánto se obtiene al cabo de los 5 años?

Un fondo de inversión reconoce una tasa de interés del 13% anual. Si se desea tener acumulados $50´000.000 al final de 10 años, cuánto debe depositar hoy?

1

2

3

Problemas de InversiónProblemas de InversiónProblemas de InversiónProblemas de Inversióny Financiacióny Financiacióny Financiacióny Financiación

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Si se realiza una inversión de $500.000 hoy y se mantiene durante 1 año recibiendo finalmente $600.000, que rentabilidad anual se obtiene?

Obtenga la rentabilidad ...

Semestral

Trimestral

Mensual

A partir de la Tasa Representativa de Mercado (TRM) actual, en cuanto estaría la cotización del dólar en 1 año si se estima unadevaluación del 20% Anual ...

4

5


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Un título en el mercado de valores se compra por $5’250.000, al cabo de 1 mes se vende por $5’310.000, qué tasa de interés mensual se está obteniendo?

Si se mantiene el título se mantiene por 1 semestre, a cómo debería venderlo para obtener la misma rentabilidad (tasa) mensual?

Qué rentabilidad se obtuvo para el semestre?

Qué rentabilidad obtendría para un año?

6


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Un proveedor de espumas ha facturado HOY a un cliente la suma de $18’750.000 y le ha otorgado un plazo para su cancelación de 90 dias (comerciales). Si el proveedor necesita dinero y es posible descontar sus facturas, pero le cobran el 2%, cuánto recibe?

Si mejor decide otorgar ese 2% mensual de descuento a su cliente para que le pague de contado, cuánto recibe?

En el mes de enero, las ventas de un negocio durante los últimos3 años han sido:

1998 ........... $ 98’000.0001999 ........... $114’500.0002000 ........... $122’725.000

Como podríamos compararlas?

Ha existido un crecimiento real en las ventas?

7

8


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Qué cantidad de dinero se debe depositar hoy, en una cuenta que paga el 1% mensual, si se desea retirar $200.000 el próximo mes, $300.000 el mes siguiente y $500.000 cuatro meses después?

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Una persona planea depositar en un fondo de inversión que promete pagarle el 1.5% mensual las siguientes sumas de dinero:

$1’000.000 dentro de 3 meses$1’500.000 dentro de 5 meses$2’000.000 dentro de un año

Qué cantidad se tendrá acumulada al cabo de un año?

Qué depósito único hoy es equivalente a los 3 depósitos que se planea realizar?

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