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Matemáticas Ciclo 3 Módulo 2 Capacitación 2000

1

MATEMÁTICAS 14 RADICALES

Se llama Radical a toda Raíz indicada de un número: EJEMPLO:

25 = Radical

17 = Radical

CLASES DE RADICALES

Los Radicales presentan dos clases:

Radicales Racionales y Radicales Irracionales

RADICALES RACIONALES Toman este nombre los radicales que presentan Raíz Exacta. EJEMPLO:

9 = 3

64 = 4

RADICALES IRRACIONALES Toma este nombre cuando la raíz del número no es exacta. EJEMPLO:

13 21


2

¡Importante! A los radicales irracionales son a los que generalmente se les llama radicales. De los cuales hablaremos a continuación.

ELEMENTOS DE UN RADICAL

Índice del Radical Signo Radical ó Grado

8 ² 5 Cantidad Subradical Coeficiente del radical

COEFICIENTE Toma este nombre el número que se encuentra multiplicando un radical o multiplicando una letra. EJEMPLO: Coeficiente de “a”.

5a

Coeficiente de la Raíz 53 Cuadrada de 5 SEMEJANZA DE RADICALES Un radical es semejante a otro cuando concuerdan en grado radical y en cantidad subradical. EJEMPLO:

2 3 8 es semejante a 2 3 5 Observe que aunque los coeficientes sean diferentes son semejantes si concuerdan en grado radical y cantidad subradical. UN RADICAL SIMPLIFICADO


3

Un Radical está Simplificado cuando los factores primos que conforman la cantidad Subradical están elevados a exponentes inferiores al grado de la Raíz. EJEMPLO:

2 45 = 2 5x3x3 = ²3 x 5

En este caso el Radical no está simplificado porque el exponente de 3 iguala al índice de

la Raíz, es decir, es dos.

2 21 = 2 7x3

En este caso el Radical está simplificado porque ninguno de los factores primos que conforman el Radical está elevado a exponente igual o mayor que el índice de la Raíz.

SISTEMA PARA SIMPLIFICAR RADICALES

REGLA: 1) La cantidad subradical se descompone en sus factores primos. 2) Los factores elevados a exponente igual o mayor que el grado de la raíz se sacan el radical. EJEMPLO:

Simplificar 90 1) 90 se descompone en sus factores primos. Hagámoslo:

1

2

90 245 315 3 5 5

1


4

De donde: 2 90 = 2 5 x 3² x 2

Como el exponente de 3 es igual al Grado de la Raíz, sale del signo

radical para convertirse en coeficiente y nos queda:

2 5 x 3² x 2 = 3 5 x 2 De donde:

2 5 x 3² x 2 = 3 10 NOTA: ¿Por qué sacamos tres (3) fuera del Radical? Porque la raíz cuadrada de 3² es 3. Cuando un factor tiene exponente igual al índice de la Raíz se saca del radical. En otras palabras:

2 90 = En forma simplificada es 3 2 10

Veamos otro ejemplo:

Simplificar 2 120

2 120 = 2 5 x 3 x ³2 De donde:

2 120 = 2 5 x 3 x 2² x 2 De donde:

2 120 = 2 2 5 x 3 x 2 2 120 = 2 2 30


5

2 120 en forma simplificada es 2 2 30

NOTA: Recuerde que ² = , es decir, cuando el índice del radical es dos no es necesario escribirlo

OPERACIÓN CON RADICALES

SUMA DE RADICALES SEMEJANTES REGLA: 1) Se simplifican los radicales si es posible. 2) Se suman los coeficientes de los radicales. 3) Se escribe a continuación de la suma de los coeficientes, el radical. EJEMPLO:

Sumar 56 + 52

1) Se simplifican los radicales si es posible. En este caso los radicales se encuentran simplificados. 2) Se suman los coeficientes de los radicales y nos queda:

2 + 6 = 8 3) Se escribe a continuación de la suma de los coeficientes, el radical y nos queda:

58

En otras palabras: 58 = 56 + 52 EJEMPLO:


6

Sumar 5 2 + 18

1) Se simplifican los radicales si es posible. 5 2 = 5 2 y 18 = 3² x 2 = 3 2 De donde:

5 2 + 18 = 5 2 + 3 2

2) Se suman los coeficientes: 5 + 3 = 8

De donde:

5 2 + 18 = 5 2 + 3 2 = 8 2 NOTA: Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada. EJEMPLO:

Sumar 7 3 + 8 2 Como los radicales no son semejantes, simplemente se dejan como están, de donde:

7 3 + 8 2 = 7 3 + 8 2

18 2 9 3 3 3

1


7

SUSTRACCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES

REGLA: 1) Se simplifican los radicales 2) Se restan los coeficientes 3) A la diferencia de los coeficientes se les escribe a continuación el Radical. EJEMPLO:

De 12 5 Restar 3 5 1) Se restan los coeficientes:

12 – 3 = 9 2) A continuación de la diferencia se escribe el Radical:

9 5 En otras palabras:

12 5 - 3 5 = 9 5

EJEMPLO: De 7 3 restar 12 1) Se simplifica el segundo radical: 12 2 6 2 3 3 1

12 = 3· ²2 = 2 3 De donde:

7 3 - 12 = 7 3 - 2 3

Se restan los coeficientes: 7 – 2 = 5

O sea:


8

7 3 - 12 = 7 3 - 2 3 = 5 3 NOTA: Si los radicales no son semejantes, la resta se deja indicada. EJEMPLO:

10 2 - 4 6

Como no son semejantes los radicales, la resta se deja indicada, de donde:

10 2 - 4 6 = 10 2 - 4 6

SUMA Y RESTA SIMULTÁNEAS DE RADICALES

REGLA 1) Se simplifican los radicales si es posible. 2) Se elaboran las operaciones de suma y resta posibles con radicales semejantes. 3) Se deja planteada la operación de los radicales no semejantes. EJEMPLO: Realizar la siguiente operación de radicales:

30 - 15 + 8 + 18

18 2 9 3 3 3 1

8 2 4 2 2 2 1

15 3 5 5 1

30 2 15 3 5 5 1


9

²3x2 + ²2x2 + 5x3 - 5x3x2

3 2 + 2 2 + 5x3 - 5x3x2 De donde:

18 + 8 + 15 - 30 = 3 2 + 2 2 + 15 - 30

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

¡Importante! Para multiplicar radicales es importante indicar que no se necesita que sean semejantes, pero es indispensable que posean el mismo grado o índice. EJEMPLO: Multiplicar:

2 2 6 x 3 2 10

REGLA: 1) Se multiplican los coeficientes entre sí y la parte subradical entre sí, teniendo en cuenta que las cantidades subradicales se meten bajo un solo radical. 2) El resultado se simplifica si es posible. EJEMPLO: Multiplicar: 2 6 x 3 10 = 2 x 3 10 x 6 = 6 60 Simplificando el radical final tenemos:

De donde: 6 60 = 6 5x3x²2 = 6 x 2 5x3 = 12 15 En conclusión:

2 6 x 3 10 = 12 15

60 2 30 2 15 3 5 5 1

Se pueden multiplicar porque los radicales poseen el mismo grado.


10

EJEMPLO: 7 5 x 4 3 x 2 6

7 x 4 x 2 6x3x5 = 56 90

Simplificando el radical final tenemos: 56 90 = 56 5 x 3³ x 2 De donde:

56 5 x 3³ x 2 = 56 x 3 5 x 2 De donde: 56 x 3 5 x 2 = 168 10 CONCLUSIÓN:

7 5 x 4 3 x 2 6 = 68 10

DIVISIÓN DE RADICALES

REGLA: 1) Se dividen los coeficientes entre sí. 2) Se dividen las cantidades subradicales y se dejan bajo un solo radical. 3) Se simplifica el radical si es posible. EJEMPLO: Dividir: 6 80 ÷ 3 2

90 2 45 3 15 3 5 5 1


11

1) Se dividen los coeficientes entre sí.

6 ÷ 3 = 2

2) Se dividen las cantidades subradicales y se meten bajo un radical.

2 2÷80 = 2 40

3) Se simplifica el radical final. De donde: 2 40 = 2 5 x 2 x ²2

2 40 = 2 x 2 10

2 x 2 10 = 4 10 CONCLUSIÓN: 6 80 ÷ 3 2 = 4 10 EJEMPLO: Dividir 15 20 entre 3 10

15 20 ÷ 3 10 = 15 ÷ 3 10 ÷ 20 = 5 2

De donde:

15 20 ÷ 3 10 = 5 2

RACIONALIZACIÓN DE FRACCIONES

FRACCIÓN IRRACIONAL Toma este nombre la fracción en la cuál sus términos o por lo menos uno de ellos es radical. RACIONALIZACIÓN


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Racionalizar una fracción es suprimir el radical en uno de sus términos, especialmente en el denominador. REGLA: Para suprimir el radical en uno de los términos de una fracción, numerador y denominador se multiplican por el radical que se quiere suprimir. La fracción resultante se simplifica si es posible. EJEMPLO:

Racionalizar 2

2

Siguiendo la regla:

22

x 2

2 =

²222

= 2

22

Simplificando la fracción tenemos:

222

= 2

2 2 = 2

O sea que: 2

22 = 2

EJEMPLO:

Racionalizar: 3 45


13

33

3

4² x 44² x 5

= 3

3

³4²45

= 4

²453

EJEMPLO: Racionalizar Efectuando operaciones:

33

3

2² x 22² x 2

= 3

3

2³2² 2

= 22² 2 3

= 3 ²2 NOTA: Observe que: 1) El radical por el cuál se multiplica el denominador debe ser del mismo grado que el existente. 2) La cantidad subradical debe llevar un exponente tal que al multiplicarlo por el radical del denominador, el exponente arroje un valor igual al índice de la raíz. Observe el ejemplo visto. Generalmente se racionaliza una fracción cuando el denominador es un radical.

*** Ver potencias de una raíz y raíz de una raíz.

2

³ 2


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ARITMÉTICA 15 RAZONES Y

PROPORCIONES DEFINICIÓN La palabra razón, matemáticamente hablando, es comparación. Al hecho de comparar dos cantidades se le llama razón. CLASES DE RAZÓN Las razones matemáticas se dividen en dos: Razones aritméticas y Razones Geométricas

RAZÓN ARITMÉTICA Es establecer qué diferencia hay entre dos cantidades al compararlas. En otras palabras, una razón aritmética, es una resta planteada. EJEMPLO: 5 – 4 es una razón aritmética porque busca establecer qué diferencia hay entre 5 y 4. 6 – 3 es una razón aritmética porque busca establecer qué diferencia hay entre 6 y 3. NOTACIÓN DE LA RAZÓN ARITMÉTICA Una razón aritmética se puede presentar en dos formas: EJEMPLO:

5 – 4 ó 5 4

Anotando el signo Anotando un punto entre negativo, entre las las cantidades comparadas.

cantidades comparadas. FORMA DE LECTURA El signo entre las dos cantidades se lee: “es a”.


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EJEMPLO: 5 – 4 ó 5 4 se lee: cinco “es a” cuatro 6 – 3 ó 6 3 se lee: seis “es a” tres ELEMENTOS DE UNA RAZÓN ARITMÉTICA En toda razón aritmética se presentan tres elementos:

Antecedente, signo razonal y consecuente.

EJEMPLO:

Antecedente 5 – 4 ó 5 4 Consecuente

Signo Consecuente Antecedente Signo Razonal Razonal

PROPIEDADES DE LA RAZÓN ARITMÉTICA Tomando el antecedente como minuendo y el consecuente como sustraendo, las propiedades de la razón aritmética no son otras que las vistas en la resta o sustracción.

RAZÓN GEOMÉTRICA

Es establecer cuantas veces una cantidad contiene a otra. En otras palabras, es una división planteada, o lo que se llama un cociente indicado. EJEMPLO: 8 ÷ 5 es una razón geométrica 10 ÷ 2 es una razón geométrica


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NOTACIÓN DE LA RAZÓN GEOMÉTRICA Teniendo en cuenta que la razón geométrica es una división planteada, se puede escribir en la forma siguiente:

8 ÷ 5 ó 58

ó 8 : 5

10 ÷ 2 ó 2

10 ó 10 : 2

FORMA DE LECTURA El signo entre las dos cantidades se lee: “es a”. EJEMPLO:

8 ÷ 5 se lee: 8 es a 5 10 ÷ 2 se lee: 10 es a 2

58

se lee 8 es a 5

8 : 5 se lee 8 es a 5

ELEMENTOS DE LA RAZÓN GEOMÉTRICA Toda razón geométrica contiene tres elementos:

Antecedente, signo razonal y consecuente. EJEMPLO: Antecedente 8 ÷ 5 10 : 2 Consecuente

Signo Razonal Consecuente Antecedente Signo Razonal


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PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS Teniendo en cuenta que el antecedente se puede tener como dividendo o como numerador y al consecuente como divisor o denominador, las propiedades son las mismas de los fraccionarios o cocientes indicados.

PROPORCIONES

DEFINICIÓN Toma este nombre la igualdad de dos razones.

CLASES DE PROPORCIONES Las proporciones al igual que las razones son de dos clases:

Proporciones aritméticas Proporciones geométricas.

PROPORCIÓN ARITMÉTICA Toma este nombre la formada por dos razones aritméticas. En otras palabras, la formada por dos restas planteadas. EJEMPLO: 5 – 4 y 41 – 40 Al compararlas es una proporción aritmética. 8 – 2 y 10 – 4 Al compararlas es una proporción aritmética.


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NOTACIÓN DE LA PROPORCIÓN ARITMÉTICA Puesto que una Proporción Aritmética, no es otra cosa que la igualdad de dos razones aritméticas, debe agregarse el signo:

= igual a ó como : : que indica igual a ó como

Además un punto ( . ) que se lee es a.

EJEMPLO 5 4 : : 8 7

se lee cinco es a cuatro como 8 es a 7

ELEMENTOS DE LA PROPORCIÓN ARITMÉTICA

1) TÉRMINOS Toma este nombre cada cantidad que interviene en la proporción. 2) MEDIOS Toma este nombre el segundo y tercer término, en otras palabras, las cantidades que se encuentran en el centro de la proporción. 3) SIGNOS Los utilizados en la proporción. 4) EXTREMOS Toma este nombre los términos que se encuentran en las partes extremas de la proporción, es decir, el primero y el cuarto término. EJEMPLO:

Términos

5 – 4 = 8 – 7

Medios

Extremos


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CLASES DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA

Las proporciones pueden ser de dos clases:

Discreta o continua

PROPORCIÓN DISCRETA Toma este nombre la proporción cuyo términos medios no son iguales. EJEMPLO:

No son iguales

5 – 4 = 8 – 7

Esta proporción es discreta

PROPORCIÓN CONTINUA Toma este nombre la proporción cuyos términos medios son iguales. EJEMPLO:

Los medios son iguales

8 – 6 = 6 – 4

Esta proporción es continua

PROPIEDAD BÁSICA En toda proporción sin importar la clase, la suma de los medios es igual a la suma de los extremos.


20

EJEMPLO: D I S C R E T A

8 – 1 = 10 – 3

Medios 1 + 10 = 11 Extremos 8 + 3 = 11

EJEMPLO:

C O N T I N U A

8 – 6 = 6 – 4

Medios 6 + 6 = 12 Extremos 8 + 4 = 12

CONSECUCIÓN DE TÉRMINOS EN LA PROPORCIÓN

ARITMÉTICA

EXTREMO Para hallar un extremo se suman los medios y se les resta el extremo conocido. EJEMPLO:

x – 1 = 10 – 3

Hallar “x”

Suma de medios igual a suma de extremos

Suma de medios igual a suma de extremos


21

Solución: Medio Medio Extremo Extremo conocido buscado

1 + 10 – 3 = 8

x = 8 y tenemos la proporción

8 – 1 = 10 – 3

MEDIOS Para hallar un medio se suman los extremos y se les resta el medio conocido. EJEMPLO:

8 – 1 = x – 3

Hallar “x”

Solución: Extremo conocido Extremo 8 + 3 – 1 = 10 Medio buscado conocido Medio conocido x = 10 y tenemos: 8 – 1 = 10 – 3


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CONSECUCIÓN DE LOS TÉRMINOS MEDIOS CUANDO LA PROPORCIÓN ES CONTINUADA

REGLA Se suman los extremos y el total se divide por dos. EJEMPLO: Hallar los términos medios de la proporción siguiente:

10 – x = x – 4 Solución: Aplicando la regla.

7 = 2

14 =

24+10

y tenemos que: 10 – 7 = 7 – 4 ¡Importante! El valor de los medios de una proporción continua se llama media aritmética. La media aritmética de la proporción anterior es 7.

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

DEFINICIÓN Es la igualdad de dos razones geométricas. En otras palabras, es la igualdad de dos cocientes indicados. EJEMPLO

48

y 5

10

520

y 28

al compararlas es una al compararlas es una proporción proporción Geométrica. Geométrica.

NOTACIÓN DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA


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Puesto que una proporción geométrica no es otra cosa que la igualdad de dos razones geométricas, únicamente debe agregarse uno de los signos.

= igual a ó como : : igual a ó como

De lo anterior tenemos: EJEMPLO

510

= 48

Se lee:

También puede escribirse: 8 : 4 : : 10 : 5 Se lee: ocho es a 4 como 10 es a 5.

ELEMENTOS DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

1) TÉRMINOS Toma este nombre cada cantidad que interviene en la proporción. 2) SIGNOS Los utilizados en la proporción. 3) ANTECEDENTES Toma este nombre los términos que prestan el oficio de dividendos. 4) CONSECUENTES Toma este nombre los términos que prestan el oficio de divisor. 5) MEDIOS Toma este nombre los términos que prestan el oficio de dividendos.

Ocho sobre cuatro es igual a 10 sobre 5 u 8 es a 4 como 10 es a 5.


24

6) EXTREMOS Toman este nombre el primer antecedente y el segundo consecuente. EJEMPLO:

510

= 48

Términos

Antecedentes

510

= 48

Consecuentes

510

= 48

Extremos

Medios

Otra forma de presentación:

8 : 4 : : 10 : 5

Medios

Extremos


25

CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

Pueden ser de dos clases:

Discretas o continuas

PROPORCIÓN DISCRETA Toma este nombre la proporción cuyos términos medios no son iguales. EJEMPLO: Los medios no son iguales

510

= 48

Proporción discreta

PROPORCIÓN CONTINUA Toma este nombre la proporción cuyos medios son iguales. EJEMPLO:

Medios iguales

20 ÷ 10 = 10 ÷ 5

Esta proporción es continua

PROPIEDAD BÁSICA En toda proporción geométrica, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.


26

EJEMPLO PROPORCIÓN DISCRETA

Valores iguales

4 x 10 = 40 5

10 =

48

Productos de Medios 8 x 5 = 40 Producto de extremos

EJEMPLO

PROPORCIÓN CONTINUA

Valores iguales

10 x 10 = 100 Productos de Medios

5

10 = 10

20

20 x 5 = 100 Producto de extremos

CONSECUCIÓN DE TÉRMINOS MEDIOS MEDIOS Para hallar un medio se multiplican los extremos y el producto, se divide por el medio conocido. EJEMPLO:


27

510

= X8

Hallar “X”

Solución: Producto de extremos

4 = 10

5x 8

Medio Buscado

Medio conocido De donde:

510

= 48

EXTREMOS Para hallar un extremo se multiplican los medios y se dividen por el extremo conocido. EJEMPLO:

510

= 4x

Hallar “x” Producto de medios

8 = 510x 4

Extremo

buscado Extremo Conocido.

x = 8 De donde:


28

510

= 48

CONSECUCIÓN DE LOS TÉRMINOS MEDIOS CUANDO LA PROPORCIÓN ES CONTINUA

REGLA: 1) Se multiplican los extremos. 2) Se extrae la raíz cuadrada al producto de los extremos. 3) El resultado de la raíz es el valor buscado, llamado medios, media proporcional o media geométrica. EJEMPLO:

5x

= x

20

Hallar “x”

Aplicando la regla tenemos: 1) Producto de extremos: 20 x 5 = 100 2) Raíz cuadrada del producto de los extremos:

10 = 100

3) 10 = medios o media proporcional buscada. Tenemos que x = 10

De donde:

510

= 1020

NOMENCLATURA IMPORTANTE

MEDIA PROPORCIONAL O MEDIA GEOMÉTRICA Toman este nombre los términos de una proporción continua.


29

EJEMPLO:

20 : 10 : : 10 : 5

La media proporcional de 20 y 5 es 10

TERCERA PROPORCIONAL Toman este nombre cada extremo de una proporción continua. EJEMPLO:

20 : 10 : : 10 : 5

La tercera proporcional de 10 son 10 y 5

CUARTA PROPORCIONAL Toma este nombre cada uno de los términos de una proporción discreta. EJEMPLO:

8 : 4 : : 10 : 5

8 es cuarta proporcional con respecto a 4, 10 y 5 4 es cuarta proporcional con respecto a 8, 10 y 5 10 es cuarta proporcional con respecto a 8, 4 y 5 5 es cuarta proporcional con respecto a 8, 4 y 10


30

CAMBIOS QUE PUEDEN HACERSE EN UNA PROPORCIÓN SIN QUE SE ALTERE

Proporción Producto de dada medios igual

a producto de extremos

PRIMER CAMBIO POSIBLE Cambio del primer consecuente con el segundo antecedente y del segundo antecedente con el primer consecuente. EJEMPLO:

54

: : 108

= 5

10 : :

48

SEGUNDO CAMBIO Cambiamos el primer antecedente con el segundo consecuente y el segundo consecuente con el primer antecedente. EJEMPLO:

810

: : 45

= 5

10 : :

48

TERCER CAMBIO POSIBLE Se pueden hacer los dos cambios vistos en forma simultánea.

84

: : 105

= 5

10 : :

48

CUARTO CAMBIO POSIBLE

510

: : 48


31

Se pueden cambiar en forma simultánea antecedentes y consecuentes.

48

: : 5

10 =

510

: : 48

QUINTO CAMBIO POSIBLE Se puede formar la proporción con antecedentes y consecuentes.

54

: : 108

= 5

10 : :

48

SEXTO CAMBIO POSIBLE Se puede formar la proporción invirtiendo el paso anterior.

45

: : 8

10 =

510

: : 48

SÉPTIMO CAMBIO POSIBLE Se pueden invertir los términos de las razones:

105

: : 84

= 5

10 : :

48


32

PROPIEDADES DE LAS

PROPORCIONES

Entre las propiedades tenemos las siguientes: 1) Una proporción no se altera si multiplicamos cada término por un mismo número. EJEMPLO:

48

=5

10 Es una proporción porque:

10 x 4 = 8 x 5

Si multiplicamos cada término por 3 nos queda:

3x43x8

=3 x 53 x 10

Porque 1224

=1530

2) Una proporción no se altera si dividimos cada términos de la proporción por un mismo número. EJEMPLO:

1020

=6

12 Es una proporción porque 12 x 10 = 20 x 6

Si dividimos cada término entre dos, la proporción se mantiene. ¡Hagámoslo!

2÷102÷20

=2÷62÷12

Nos queda 5

10=

36


33

3) Una proporción no se altera si a cada término de la proporción lo elevamos a una misma potencia. EJEMPLO:

36

=48

Es proporción porque 8 x 3 = 6 x 4

Si elevamos cada término a potencia dos tenemos que:

²3²6

=²4²8

Nos queda: 9

36=

1664

4) Una proporción no se altera si a cada término de la proporción se le extrae una misma raíz. EJEMPLO:

416

=25

100es proporción porque: 100 x 4 = 25 x 16

Si extraemos raíz cuadrada tenemos que:

416

=25

100

Nos queda:

24

=5

10

La proporción no se altera porque 10 x 2 = 4 x 5 5) Una proporción no se altera si a cada antecedente le sumamos su consecuente. EJEMPLO:

315

=2

10

Es una proporción porque 10 x 3 = 15 x 2


34

Si a cada antecedente le sumamos su consecuente, tenemos:

33+15

=2

2+10

Y nos queda:

318

=2

12

6) Una proporción no se altera si a cada antecedente le restamos su consecuente:

315

=2

10

Si le restamos el consecuente nos queda:

33 - 15

=2

2 - 10 Nos queda:

312

=28

7) Una proporción no se altera si formamos una razón con la suma de los antecedente y la suma de los consecuentes. EJEMPLO:

5

10=

48


Sumando los antecedentes y consecuentes nos queda:

510

=5+4

10+8 y queda

510

=9

18

Se mantiene la proporción porque 12 x 3 = 18 x 2



35

8) Una proporción no se altera si formamos una razón con la diferencia de los antecedente y la diferencia de los consecuentes. EJEMPLO:

48

=5

10 Es proporción porque 10 x 4 = 5 x 8

Restando los antecedentes y los consecuentes y nos queda:

48

=4 - 58 - 10

y nos queda que: 48

=12

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