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MatematicasAvanzadas

paraIngenierıa:

Funciones deVariable

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Ejercicios 3

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Ejercicios 5

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Ejercicios 7

Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Funciones de Variable Compleja

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MA3002


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Funcion de variable complejaCuando el dominio de una funcion f es un conjunto de numeroscomplejos y cuando el codominio mismo es tambien el conjuntode numeros complejos diremos que f es una funcion de variablecompleja o simplemente que f es una funcion compleja. Comola imagen de un elemento en el dominio z = x + y i es unnumero complejo w = f (z), entonces w debe ser de la forma:

w = f (z) = u(x , y) + v(x , y) i

donde u(x , y) es la parte real de w y v(x , y) es la parteimaginaria.

x

y

u

vz

w

w = f (z)

dominio imagen


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EjerciciosEscriba las siguientes funciones en la forma f (z) = u + v i :

• f (z) = 6 z − 5 + 9 i

• f (z) = 7 z − 9 i z − 3 + 2 i

• f (z) = z2 − 3 z + 4 i

• f (z) = 3 z2 + 2 z

• f (z) = z3 − 4 z

• f (z) = z + 1/z

• f (z) = z4

• f (z) = zz+1


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Graficas def (z) = 6 z − 5 + 9 i

Parte real Parte imaginaria

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1


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Graficas def (z) = z2 − 3 z + 4 i


Argumento Modulo

1

1


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Ejemplo 3 anterior realizado en la calculadora TI.


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EjerciciosEvalue la funcion f (z) en los valores dados.

• f (z) = 2 x − y2 + (x y3 − 2 x2 + 1) i en:z1 = 2 i , z2 = 2− i y z3 = 5 + 3 i

• f (z) = (x + 1 + 1/x) + (4 x2 − 2 y2 − 4) i en:z1 = 1 + i , z2 = 2− i y z3 = 1 + 4 i

• f (z) = 4 z + i z + Re(z) en:z1 = 4− 6 i , z2 = −5 + 12 i y z3 = 2− 7 i

• f (z) = ex cos(y) + ex sen(y) i en:z1 = π i/4, z2 = −1− π i y z3 = 3 + π i/3


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En las siguientes figuras se ilustran las soluciones de losproblemas 1 y 3 anteriores en la TI. Observe la diferencia entrelas definiciones de la funcion f y la forma de evaluarla.


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Transformaciones del plano complejoNote que ante la imposibilidad de graficar en R4 no es posiblegraficar una funcion de variable compleja. Una representacionalternativa consiste en graficar las imagenes de rectas en elplano complejo. Por ejemplo, para la funcion

w = f (z) = z2 = (x + y i)2 = (x2 − y2) + 2 x y i

Aquı u(x , y) = x2 − y2 y v(x , y) = 2 x y . Ilustremos como semapea el segmento que va de (2, 0) a (2, 1), en rojo en lafigura.

z = x + y i f (z) = u + v i

x y u v2.000 0.000 4.000 0.0002.000 0.100 3.990 0.4002.000 0.200 3.960 0.8002.000 0.300 3.910 1.2002.000 0.400 3.840 1.6002.000 0.500 3.750 2.0002.000 0.600 3.640 2.4002.000 0.700 3.510 2.8002.000 0.800 3.360 3.2002.000 0.900 3.190 3.6002.000 1.000 3.000 4.000

x

y

u

v


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EjerciciosPara la funcion f (z) = z2 encuentre la imagen de la lıneaindicada:

• y = 2

• x = −3

• x = 0

• y = 0

• x = y

• y = −x


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Funcion complejas como fluidosUna funcion compleja w = f (z) se puede interpretar como unflujo de un fluıdo bidimensional considerando el numerocomplejo f (z) como un vector basado en el punto z . A veces,sera conveniente ilustrar el flujo con vectores normalizados.Por ejemplo, para la funcion w = f (z) = z2 generaremos elflujo graficando en cada punto z = (x , y) el vector(uesc , vesc) = 1

2 |w |(u, v).

x y u v |w| uesc vesc-1.0 -1.0 0.0 2.0 2.0 .000 .500-1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 .500 .000-1.0 1.0 0.0 -2.0 2.0 .000 -.500-1.0 2.0 -3.0 -4.0 5.0 -.300 -.400

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.4.0 1.0 15.0 8.0 17.0 .441 .2354.0 2.0 12.0 16.0 20.0 .300 .4004.0 3.0 7.0 24.0 25.0 .140 .4804.0 4.0 0.0 32.0 32.0 .000 .500

x

y


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Lımite de una funcionSuponga que f (z) esta definida en una vecindad de zo , exceptoposiblemente en el mismo zo . Entonces se dice que f (z) poseecomo lımite L en zo , escrito como

limz→zo

f (z) = L

si para cada aproximacion ε a L existe distancia δ de cercanıa azo de manera que todo valor de z1 que este a una distancia dezo menor que δ tendra una evaluacion f (z1) que cuyaaproximacion a L es menor que ε. En terminos matematicos:

0 < |z1 − zo | < δ garantiza que |L− f (z1)| < ε


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Propiedades del lımite de una funcionSuponga que las funciones f (z) y g(z) estan definidas en unavecindad de zo y ambas poseen lımite en zo y que

limz→zo

f (z) = L1 y limz→zo

g(z) = L2

entonces:

• limz→zo

(f (z) + g(z)) = L1 + L2

• limz→zo

(f (z) · g(z)) = L1 · L2

• Si L2 6= 0, limz→zo

f (z)

g(z)=

L1

L2


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EjerciciosDetermine cada uno de los lımites siguientes o argumente en sucaso porque no existe.

• limz→i (4 z3 − 5 z2 + 4 z + 1− 5 i)

• limz→1−i5 z2−2 z+2

z+1

• limz→iz4−1z−i

• limz→1+iz2−2 z+2z2−2 i

• limz→0zz

• limz→1x+y−1z−1


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En las siguientes figuras se ilustran las soluciones de los problemas 2

y 3 anteriores en la TI. Recuerde que para expresiones fraccionarias el

problema potencial es el valor del denominador: si es diferente de

cero, podemos calcular el lımite evaluando, pero si el denominador se

evalua en cero entonces debemos hacer un tratamiento adicional.

Conviene almacenar por separado el numerador y denominador.

Cuando ambos se evaluan en cero, se debe cancelar factores tanto

arriba como abajo; para ello hay que dividir cada uno entre el factor

(z − zo) y trabajar la expresion restante. En el segundo problema el

lımite es L2 = 8/5− 16/5 i y en el tercero es L3 = −4 i .


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Continuidad en un puntoSe dice que la funcion f (z) es continua en el punto zo si:

limz→zo

f (z) = f (zo)

¿Ejemplos de funciones continuas? Toda funcion polinomial escontinua en la totalidad de los puntos del plano complejo: lasfunciones racionales, que son cociente entre dos polinomios,son continuas en todos los puntos del plano complejo, exceptoen aquellos puntos donde el denominador se hace cero.


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Derivada de una funcion en un puntoSupongase que f (z) es una funcion de variable complejadefinida en la vecindad de un punto zo . La derivada de f (z) enel punto z = zo es

f ′(zo) = lim∆z→0

f (zo + ∆z)− f (zo)

∆z

siempre y cuando tal lımite exista.


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EjerciciosObtenga la formula de la derivada de cada una de lassiguientes funciones por medio de lımites.

• f (z) = z2

• f (z) = 1/z


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En las siguientes figuras se ilustran el calculo de la derivada por medio

de su definicion de lımite. Note que a veces es importante obligar a

una simplificacion extra a la expresion antes de evaluar en ∆z = 0.


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Propiedades de la derivadaLas reglas de derivacion de funciones complejas son las mismasque las usadas en el calculo en variables reales:

• ddz c = 0 y d

dz c · f (z) = c · f ′(z)

• ddz (f (z) + g(z)) = f ′(z) + g ′(z)

• ddz (f (z) · g(z)) = f ′(z) · g(z) + g ′(z) · f (z)

• ddz

(f (z)g(z)

)= g(z)·f ′(z)−f (z)·g ′(z)

(g(z))2

• ddz f (g(z)) = f ′(g(z)) · g ′(z)

• Para n entero: ddz z

n = n zn−1


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EjerciciosPor formulas, obtenga la derivada de las siguientes funciones.

• f (z) = 4 z3 − (3 + i) z2 − 5 z + 4

• f (z) = 5 z3 − i z3 + (8− i) z2 − 6 i

• f (z) = (2 z + 1)(z2 − 4 z + 8 i)

• f (z) = (z5 + 3 i z3)(z4 + i z3 + 2 z2 − 6 i z)

• f (z) = (z2 − 4 i)3

• f (z) = (2 z − 1/z)6

• f (z) = 3 z−4+8 i2 z+i

• f (z) = 5 z2−zz3+1


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En la siguientes figura se ilustra el calculo de la derivada por formula.

De hecho, por calculadora.


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EjerciciosDetermine en que puntos no son derivables las siguientesfunciones.

• f (z) = zz−3 i

• f (z) = 2 iz2−2 z+5 i z

• f (z) = z3+zz2+4

• f (z) = z−4+3 iz2−6 z+25


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Graficas def (z) =

z

z − 3 i


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Diagrama simplificado de polos y ceros (Posicion y orden)

1

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Graficas de

f (z) =2 i

z2 − 2 z + 5 i z


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Diagrama simplificado de polos y ceros (Posicion y orden)

1

1


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Graficas de

f (z) =z3 + z

z2 + 4


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1

1

1

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Graficas de

f (z) =z − 4 + 3 i

z2 − 6 z + 25


Argumento Modulo

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1

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En vista que las funciones son racionales (es decir,el cociente de dos

polinomios en z , donde no aparece el conjugado de z , ni su parte real

suelta ni la parte imaginaria) la clave esta en ver donde el

denominador se hace cero. Esas raıces son los puntos donde la

expresion completa no tiene derivada.


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Analiticidad en un puntoSupongase que f (z) es una funcion de variable complejadefinida en la vecindad de un punto zo . La funcion f (z) se diceanalıtica en el punto zo si f (z) es derivable en z = zo y ademaslo es en todo punto de una vecindad de zo .Una funcion f (z) se dice una funcion entera, si es analıtica entodo punto del plano complejo. Los polinomios son funcionesenteras.


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Ejercicios

• Argumente porque la funcion f (z) = z no es derivable enningun punto.

• Argumente porque la funcion f (z) = |z |2 no es analıticaen ningun punto.

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