matemáticas avanzadas para ingeniería: potencias y...
TRANSCRIPT
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Potencias y Raıces de Numeros Complejos
Departamento de Matematicas
Ma3002
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Potencias y Raıces de Numeros ComplejosLas potencias y las raıces enteras de numeros complejos sonmuy faciles de calcular cuando el numero complejo esta en laforma polar. Primeramente, veremos la forma polar de unnumero complejo y posteriormente veremos la formula de DeMoivre para obtener potencias y raıces.
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Forma polarLa forma polar de un numero complejo z = x + y i correspondeprecisamente a su representacion en coordenadas polares,donde los referentes para la ubicacion de un punto en el planoson: la distancia del punto al origen y el angulo que forma laparte positiva del eje real con el rayo que va del origen alpunto, medido en forma contraria a las manecillas del reloj.
r cos(θ)
r sen(θ)
z = x + y i
x
y
r
θ
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Si (r , θ) son las coordenadas polares del complejo z = x + y i,diremos que θ es el argumento de z o que arg(z) = θ: si seexige que −π < θ ≤ π se dice que θ es el argumento principalde z , Arg(z) = θ. Para nosotros, argumento significaargumento principal.
z = x + y i= (r cos(θ)) + (r sen(θ)) i= r (cos(θ) + i sen(θ))= r cis(θ)
= r eθ i ← Notacion de Euler= r∠θ ← Notacion de Fasor
Si usted calcula el argumento principal de un complejo usandola tangente inversa
θ = tan−1
(Im (z)
Re (z)
)debe tener en cuenta que la division pierde a quien correspondeel signo y por tanto debemos corregir esa perdida.
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Calcule los argumentos principales de los complejos:
• z1 = +1 + 1 i
• z2 = −1 + 1 i
• z3 = −1− 1 i
• z4 = +1− 1 i
z1 = 1 + 1 i: 1er cuadrante, θ = tan−1 (+1/+ 1) = π/4Si el numero complejo esta en el primer cuadrante, el
argumento principal puede calcularse directamente de laformula:
Arg(z) = θ = tan−1
(Im (z)
Re (z)
)
Re (z1)
Im (z1)
z1
θ = Arg(z1)
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
z2 = −1 + 1 i: 2do cuadrante, θ = tan−1 (+1/− 1) = −π/4
Arg(z2) = 34 π
θ = −π/4
Im (z2)
Re (z2)
z2
Si el numero complejo esta en el segundo cuadrante, elargumento principal no sale de la tangente inversa; hay quecorregir sumando π:
Arg(z) = π + θ = π + tan−1
(Im (z)
Re (z)
)
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
z3 = −1− 1 i: 3er cuadrante θ = tan−1 (−1/− 1) = +π/4
Arg(z3) = −34 π
θ = π/4
Im (z3)
Re (z3)
z3
Si el numero complejo esta en el tercer cuadrante, elargumento principal no sale de la tangente inversa; hay quecorregir restando π:
Arg(z) = −π + θ = −π + tan−1
(Im (z)
Re (z)
)
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
z4 = 1− 1 i: 4o cuadrante θ = tan−1 (1/− 1) = −π/4
θ = Arg(z4) = −14 π
Im (z4)
Re (z4)
z4
Si el numero complejo esta en el cuarto cuadrante, elargumento principal sı sale de la tangente inversa:
Arg(z) = θ = tan−1
(Im (z)
Re (z)
)
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Ventaja de la forma polarSi se tienen dos complejos en la forma polar:
z1 = r1 (cos(θ1) + i sen(θ1)) , z2 = r2 (cos(θ2) + i sen(θ2))
Por identidades trigonometricas se comprueba:
z1 · z2 = r1 · r2 (cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2))
1
z1=
1
r1· (cos(−θ1) + i sen(−θ1))
yz1
z2=
r1r2· (cos(θ1 − θ2) + i sen(θ1 − θ2))
Ası
arg (z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2) y arg
(z1
z2
)= arg(z1)− arg(z2)
pero estas formulas pueden ser incorrectas para Arg.
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Producto de numeros complejos
O
Z1B
C
Z2
Z1 × Z2 1. Graficar el rayo−−→OZ1
2. Graficar el rayo−−→OZ2
3. Graficar el cırculo unitario
4. Localizar la interseccion B del cırculo unitario con−−→OZ1
5. Trazar una paralela a BZ1 en el punto Z2
6. Localizar C : la interseccion de la paralela con−−→OZ1
7. La distancia de O a C es el modulo de Z1 × Z2
• Los modulos se multiplican: |z1 × z2| = |z1| × |z2|. Arribaviene como hacerlo con regla y compas.
• Los argumentos se suman: se dibuja el argumento de z2
con un transportador se le suma el argumento de z1.
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Inverso de un Numero complejo
O
A
B
z
1/z
z
1
1. Graficar z2. Graficar el conjugado de z , z3. Trazar el rayo del origen a z4. Graficar el cırculo unitario5. Localizar B6. Localizar A7. Trazar el segmento z − B8. Trazar por A un segmento paralelo a z − B9. Localizar la interseccion sobre el rayo 0 a z
• Observe como se calcula el inverso del modulo de z (esdecir, el modulo del inverso de z): las lıneas rosas sonparalelas y los puntos auxiliares A y B estan sobre elcırculo unitario.
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Potencias y RaıcesLas potencias y las raıces de un numero complejo son faciles decalcular cuando el complejo esta en su notacion polar:(
r · eθ i)n
= rn · en·θ i
n√r · eθ i = n
√r · e
θn
i
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Formula de MoivreSea n un numero entero no negativo y un numero complejo zoescrito convenientemente en la forma polar zo = a cis (α).Supongamos que deseamos obtener un complejo z = r cis (θ)tal que
zn = zo
Es decir,zn = rncis (n θ) = zo = a cis (α)
Ası
rn = a y n · θ = α + 2π k , para algun entero k
y por lo tanto:
r = n√a y θ =
α + 2π k
n
Si queremos que los resultados no se repitan, escogemosk = 0, 1, 2, . . . , k − 1
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Potencias y RaıcesLas potencias y las raıces de un numero complejo son faciles decalcular cuando el complejo esta en su notacion polar:(
r · eθ i)n
= rn · en·θ i
n√r · eθ i = n
√r · e
θn
i
Todas las raıces de una numero complejo z = r CIS(θ) puedenser calculadas por la formula:
zk = n√r CIS
(θ + 2 k π
n
)para k = 0, 1, . . . , n − 1
A zk=0 se le llama raız principal.
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
EjemploSi z = 1 + 2 i, calcule z4 y la raız principal de 5
√z .
Usamos que el modulo de z es r =√
5 ≈ 2.2360 y que elargumento es θ = tan−1( 2
1 ) ≈ 1.10714 radianes y aplicamos laformula anterior:
(1 + 2 i)4 ≈(2.2360e1.10714 i
)4
≈ 2.23604 e4×1.10714 i
≈ 25 e4.4285 i
≈ 25 cos(4.4285) + 25 sen(4.4285) i≈ −6.99999− 24 i
5√
1 + 2 i ≈ 5√
2.2360e1.10714 i
≈ 5√
2.2360 e1.10714
5i
≈ 1.1746 e0.22142 i
≈ 1.1746 cos(0.22142) + 1.1746 sen(0.22142) i≈ 1.14593 + 0.25797 i
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
EjercicioEncuentre todas las raıces de z3 = 2.
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
EjercicioEncuentre todas las raıces de z3 = 2. Debemos escribir z en suforma polar: como 2 queda sobre la parte positiva del eje real,su argumento principal es cero y su modulo es 2:
Si z = 2 , entonces Arg(2) = θ = 0 , |2| = 2
•••
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
EjercicioEncuentre todas las raıces de z3 = 2. Debemos escribir z en suforma polar: como 2 queda sobre la parte positiva del eje real,su argumento principal es cero y su modulo es 2:
Si z = 2 , entonces Arg(2) = θ = 0 , |2| = 2
• Para k = 0: Raız cubica principal
z0 =3√
2 · cis
(0
3
)=
3√
2 · cis (0) =3√
2
••
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
EjercicioEncuentre todas las raıces de z3 = 2. Debemos escribir z en suforma polar: como 2 queda sobre la parte positiva del eje real,su argumento principal es cero y su modulo es 2:
Si z = 2 , entonces Arg(2) = θ = 0 , |2| = 2
• Para k = 0: Raız cubica principal
z0 =3√
2 · cis
(0
3
)=
3√
2 · cis (0) =3√
2
• Para k = 1: Segunda raız cubica
z1 =3√
2 · cis
(0 + 1 · 2π
3
)= −
3√
2
2+
3√
2 ·√
3
2i
•
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
EjercicioEncuentre todas las raıces de z3 = 2. Debemos escribir z en suforma polar: como 2 queda sobre la parte positiva del eje real,su argumento principal es cero y su modulo es 2:
Si z = 2 , entonces Arg(2) = θ = 0 , |2| = 2
• Para k = 0: Raız cubica principal
z0 =3√
2 · cis
(0
3
)=
3√
2 · cis (0) =3√
2
• Para k = 1: Segunda raız cubica
z1 =3√
2 · cis
(0 + 1 · 2π
3
)= −
3√
2
2+
3√
2 ·√
3
2i
• Para k = 2: Tercera raız cubica
z2 =3√
2 · cis
(0 + 2 · 2π
3
)== −
3√
2
2−
3√
2 ·√
3
2i
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Potencias yRaıces deNumeros
Complejos
Departamentode
Matematicas
Introduccion
Forma polar
Ventajas
Potencias yraıces
Las tres raıces cubicas de z = 2:
z = 2
3√
2
2π3
2π3
2π3
r0
r1
r2