matematicas aplicadas jaider blanco

CORPORACIN UNIVERSITARIA EMPRESARIAL DE SALAMANCA

MATEMATICAS APLICADAS

Notas de Clases

PROF. M. Sc. JAIDER BLANCO G.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

2014-2

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Notas de Clase: MATEMATICAS APLICADAS CUES. M. Sc. Jaider Blanco G.

TABLA DE CONTENIDO

0.1 PROPOCISIONES ....................................................................................................................................... 4

0.2 TERMINOS DE ENLACES ............................................................................................................................. 5

0.3 LOS CONECTIVOS ORACIONALES ............................................................................................................... 6

0.4 TEORIA ORACIONAL DE LA INFERECIA ...................................................................................................... 15

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COMPETENCIAS

Capacidad para construir y desarrollar argumentaciones

lgicas con una identificacin clara de hiptesis y

conclusiones, con base en fundamentacin de la lgica de

proposiciones

Capacidad para contribuir en la construccin de modelos

matemticos a partir de situaciones reales, proponiendo

funciones y/o ecuaciones simultaneas con 2 variables

Capacidad para identificar, plantear y resolver una situacin

problema en el contexto

Capacidad de trabajo en equipo

Habilidades para buscar, procesar y analizar informacin

procedente de diversas fuentes

Capacidad de investigacin

Capacidad para tomar decisiones a corto o a largo plazo.

Capacidad para organizar y planificar a tiempo sus actividades

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Captulo 0

INTRODUCCIN A LA

LOGICA En los momentos de crisis slo la creatividad es ms importante que el conocimiento

ALBERT EINSTEIN

0.1 PROPOSICIONES

Con el estudio de la lgica se persigue llegar a ser preciso y cuidadoso La lgica tiene un lenguaje exacto para esto es necesario redactar un conjunto de reglas que sean perfectamente claras y definidas y que estn libres de las vaguedades que pueden hallarse en nuestro lenguaje corriente.

Para empezar, consideremos las proposiciones en la lengua castellana. Cada proposicin tiene forma lgica a la que se le dar un nombre. En primer lugar, se consideran y simbolizan dos clases de proposiciones en Lgica; unas se denominan proposiciones atmicas y otras proposiciones moleculares.

En lgica, atmicas son las proposiciones de forma ms simple. Si se juntan una o varias proposiciones atmicas con un trmino de enlace, se tiene una proposicin molecular. Una proposicin atmica es una proposicin completa sin trmino de enlace.

Por ejemplo, considrense dos proposiciones atmicas,

Hoy es viernes,

Hoy hay clase en La Universidad.

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Ambas proposiciones son atmicas. Mediante un trmino de enlace se pueden unir y se tendr una proposicin molecular. Por ejemplo, se puede decir

Hoy es viernes y hay clase en la Universidad.

Esta proposicin molecular se ha construido con dos proposiciones atmicas y el trmino de enlace . Cuando analizamos una proposicin molecular la descomponemos en las ms pequeas proposiciones atmicas completas.

0.2 TERMINOS DE ENLACES

Las palabras de enlace, por cortas que sean, no deben subestimarse, pues son de gran importancia. Los trminos de enlace que se utilizan en esta seccin son las palabras ,, , y . En la gramtica castellana se les da a veces otros nombres, pero en lgica los denominaremos, como ya hemos indicado, trminos de enlace de proposiciones o simplemente trminos de enlace. Cuando a una sola proposicin se le agrega se forma una proposicin molecular.

Un ejemplo de una proposicin en la que se utiliza el termino de enlace es

El Junior juega en el metropolitano o como visitante ante el nacional en el Atanasio Girardot.

El termino de enlace acta sobre dos proposiciones atmicas. Son > y

La proposicin molecular:

Si estamos en Febrero entonces llegara pronto el Carnaval

Ilustra sobre el uso del trmino de enlace , que tambin acta sobre dos proposiciones atmicas. Cules son?

Ya sea ha dado un ejemplo de proposicin que se utiliza el trmino de enlace . Otra es:

El terreno es muy rico y hay suficiente lluvia.

Cules son las dos proposiciones atmicas contenidas en esta proposicin molecular?

Ejercicios 1___________________________________

1. Sealar cada proposicin atmica con una A y cada proposicin

molecular con una M. Escribir junto a cada proposicin molecular el termino de enlace utilizado.

2. La comida ser hoy a las tres en punto. 3. El gran oso negro andaba perezosamente por el camino de abajo. 4. La msica es muy suave o la puerta est cerrada.

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5. A este perro grande le gusta cazar gato. 6. Se puede encontrar a Imelda en casa de Antonia. 7. A las focas no les crece el pelo. 8. La asignatura preferida de Mara es Matemticas.

9. Si aquellas nubes se mueven en esa direccin, entonces tendremos lluvias.

10. El sol calentaba y el agua estaba muy agradable.

11. Si = 0 entonces + = 1.

0.3 LOS CONECTIVOS ORACIONALES

0.3.1 Negacin y conjuncin

Negamos la verdad de una oracin afirmando su negacin. Por ejemplo, si pensamos que la oracin El azcar produce caries dental es falsa, afirmamos la oracin El azcar no produce caries dental. En este ejemplo se ilustra el mtodo usual de aseverar la negacin de una oracin simple: fijamos la palabra no al verbo principal de la oracin. En cambio, la asercin de la negacin de una oracin compuesta es ms complicada. Por ejemplo, la negacin de la oracin, El azcar produce caries dental y el whiskey lceras, afirmando, No es cierto que el azcar produce caries y el whiskey lceras .A pesar de la aparente divergencia entre esos dos ejemplos, es conveniente adoptar en lgica un solo signo para simbolizar la negacin de una oracin. Usaremos el prefijo , que se coloca antes de la oracin, considerada como un todo. As pues, la negacin del primer ejemplo se escribe:

(El azcar produce caries dental)

El segundo ejemplo ilustra la forma en que podemos siempre interpretar el smbolo ; podemos usar siempre la expresin no es cierto que o no es verdad que.

La negacin de una oracin verdadera es falsa, y la negacin de una oracin falsa es verdadera.

Usamos la palabra y para conjuntar dos oraciones, a fin de hacer una sola oracin que llamamos la conjuncin de las dos oraciones. Por ejemplo, la oracin Martha ama a John y John ama a Martha es la conjuncin de la oracin Martha ama a John, con la oracin John ama a Martha. Para simbolizar la conjuncin, usaremos el signo & .As pues, la conjuncin de dos sentencias cualesquiera, y , se escribe

&

La conjuncin de dos oraciones verdaderas es verdadera si y solo si ambas oraciones son verdaderas.

Hay que hacer notar que en lgica podemos combinar dos oraciones cualesquiera para formar una conjuncin. Cualquier combinacin, por absurda que sean, son permitidas. Por supuesto, habitualmente no nos interesan las oraciones atmicas. Aunque pudiera parecer deseable contar con una regla adicional enunciativa de que slo podemos conjuntar oraciones de contenido comn, lo indeseable de esa regla resulta evidentemente cuando reflexionamos sobre la vaguedad de la idea de contenido comn.

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Se usan varias palabras como sinnimos aproximados de no y de y, en el lenguaje ordinario. Por ejemplo, la palabra nunca en la oracin:

Nunca acceder a tus exigencias

tiene casi el mismo significado que no en

No acceder a tus exigencias.

No obstante, es verdad que nunca es portadora de un significado de negacin continuada de que carece no.

La palabra pero tiene ms o menos el mismo sentido de y y la simbolizamos con &, aunque en muchos casos del uso comn hay diferencias de significado. Por ejemplos, si una joven dice a un joven:

Te amo y amo casi lo mismo a tu hermano.

La joven reaccionaria en forma diferente que si le dijera:

Te amo, pero amo casi lo mismo a tu hermano.

En vista de esas diferencias de significado. Parece muy natural la idea de introducir smbolos diferentes para los conectivos oracionales pero y nunca. Existe, sin embargo, un slido argumento en contra. Las reglas convenidas sobre el uso o la aplicacin de la negacin y la conjuncin hacen que estos dos conectivos oracionales resulten funcionales con respecto de la verdad o de lo verdadero, esto es, la verdad o la falsedad de la negacin de la P, o la verdad o la falsedad de la conjuncin de dos oraciones P y Q es precisamente un funcin de verdad o falsedad de P en el caso de la negacin y de P y Q en el caso de la conjuncin.

0.3.2 Disyuncin.

Usamos la palabra o para efectuar la disyuncin de dos oraciones. En el llamado sentido no exclusivo la disyuncin de dos oraciones es verdadera si cuando al menos una de las dos es proposiciones atmicas son verdaderas. En los contratos, este sentido se expresa a menudo por medio del barbarismo y/o ilustrado en el siguiente ejemplo:

Antes de que se haga el trabajo mencionado o se suminstrenlos materiales que se indican, el arrendatario y cualquier contratista o persona comisionada para hacer ese trabajo y/o suministrar los materiales indicados, otorgar la caucin o cauciones que el arrendador estime pertinente y no lesiva..

Hacemos notar que en el ejemplo anterior no hay disyunciones de oraciones, sino de clusulas o expresiones que no son oraciones. Encontraremos sin embargo, que es ms conveniente tratar esos ejemplos como disyunciones de oraciones; este punto de vista refleja otra divergencia entre la lgica y el lenguaje usual.

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La palabra latina vel tiene aproximadamente el significado de o en el sentido no exclusivo y, consecuentemente, usaremos el signo v para la disyuncin de dos oraciones en este sentido. As pues, la disyuncin de dos oraciones cualesquiera P y Q se escribe

P v Q.

Restringimos el uso de palabra disyuncin al sentido no exclusivo y nuestra regla sobre su uso es:

La disyuncin de dos oraciones es verdadera si y solo si cuando al menos una de las oraciones es verdadera.

Cuando se usa o en el sentido exclusivo para combinar dos oraciones, se enuncia que una de las oraciones es verdadera y la otra es falsa. Esta significacin se hace a menudo ms explcita aadiendo ambos o los dos, en el caso gramatical que corresponda, y la oracin elptica y subordinada pero no ambos o pero no los dos. Por ejemplo, un padre le dice a su hijo: Puedes ir al cine o al circo este sbado, pero no a los dos .No introduciremos un signo especial para o en el sentido exclusivo, pues resulta que en las discusiones cientficas siempre es posible arreglrselas con o en el sentido no exclusivo.

0.3.3 Implicacin.

Usamos las palabras Si.entonces para obtener de dos oraciones una oracin condicional. Una oracin condicional se llama tambin implicacin. En el significado que tienen las palabras en el lenguaje cotidiano, es difcil precisar en que circunstancia s la mayor parte de las personas acepta como verdadera una oracin condicional.

Considrese un ejemplo similar a otro ya usado:

(1) Si Martha ama a John, entonces John ama a Martha.

Si la oracin Martha ama a John es verdadera y la oracin John ama a Martha es falsa, entonces todos convendran en que (1) es falsa.

Para enunciar nuestra regla sobre el significado de si.entonces es conveniente usar la terminologa especial de si el antecedente o hiptesis de la oracin condicional y consecuente o conclusin de la oracin que sigue inmediatamente despus del entonces . As pues, Martha ama a John es el antecedente de (1) y John ama a Martha su consecuente. La regla de significado es , pues:

Una oracin condicional es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en cualquier otro caso es verdadera.

De acuerdo con la regla de significado que se acaba de enunciar, la oracin:

Si la poesa es para los jvenes, entonces 3+8=11

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es verdadera, puesto que el consecuente es verdadero. Y sin embargo, muchas personas estaran dispuesta desechar esa oracin como disparatada; alegaran que la verdad del consecuente de ninguna manera depende de la verdad del antecedente y que, en consecuencia, la oracin (2) no constituye una implicacin valida. Sin embargo, la adhesin del lgico a los conectivos aleticosfuncionales no deja de tener sus razones.

Cmo va a caracterizarse una nocin tan oscura como la de dependencia?

En cuanto a la notacin, la oracin condicional formada por dos oraciones P y Q se escribe:

PQ

El signo se llama a menudo signo de implicacin. Algunas otras expresiones idiomticas espaolas tiene aproximadamente el mismo significado sistemtico de si, entonces. Representamos tambin el smbolo PQ, las expresiones

P solamente si Q

Q si P

Q siempre que P

P es condicin suficiente de Q

Q es condicin necesaria de P

De estas cuatro expresiones, es muy notorio el uso variante de solamente si. Es un error muy divulgado el uso de solamente si en sentido de si. Por ejemplo, la oracin:

(2) Juan lleva a pasear a Mara solamente si Isabel esta disgustada con l.

No tendra ordinariamente el mismo significado que

Si Juan lleva a pasear a Mara, entonces Isabel esta disgustada con l.

Y sera ms preciso (pero no del todo correcto idiomticamente), interpretar (2) en el sentido de

Si Isabel esta disgustada con l, entonces Juan lleva a pasear a Mara.

La predominancia de oraciones como (2) hace difcil para muchas personas que por primera vez estudian lgica o matemticas aceptar la estipulacin de que

P solamente si Q

significa los mismo que

Si P, entonces Q.

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Por lo que respecta a las dos ltimas expresiones idiomticas, convienen hacer notar que son ampliamente usadas en matemticas. As, la oracin si un tringulo es equiltero, entonces es issceles puede ser nuevamente formulada como sigue:

Para que un tringulo sea issceles, es suficiente que sea equiltero.

O

Es necesario que un tringulo equiltero sea issceles.

0.3.4 Equivalencia.

Usamos la expresin si y solo si para obtener de dos oraciones una oracin bicondicional. Una oracin bicondicional se llama tambin una equivalencia y las dos oraciones conectadas por medio de si y solo si se llaman, respectivamente, el primero y el segundo miembro de la equivalencia. La bicondicional

P, si y solo si Q

Tiene el mismo sentido que la oracin

Si P, entonces Q, y si Q, entonces P.

Una oracin bicondicional es verdadera, si y solo si, sus dos miembros son ambos verdaderos o ambos falsos.

Por lo que hace a la notacin, se escribe

PQ

Para la bicondicional formada por las oraciones P y Q.

0.3.5 Agrupamientos y parntesis.

En el lenguaje ordinario el agrupamiento de oraciones que se combinan en una oracin compuesta se indican por una variedad de medios y dispositivos lingsticos. Cuando se simbolizan estas oraciones en lgica, los mencionados dispositivos pueden consistir en un adecuado uso de parntesis.

Por ejemplo, la oracin:

Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey esta sobre el cuadro rojo

Para simbolizar esta proposicin molecular se pone

P=>

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Q=

R=

La proposicin simbolizada es P Q & R.

0.3.6 Tablas de Verdad y tautologas.

Nuestras reglas aleticosfuncionales sobre el uso de la negacin, la conjuncin, la disyuncin, la implicacin y la equivalencia, pueden resumirse en forma tabular. Estas tablas bsicas de verdad nos dicen a primera vista en que circunstancia s es verdadera la negacin de una oracin, si conocemos la verdad o falsedad de sta, y de modo semejante para la conjuncin o la disyuncin de dos oraciones

P -P

V F

F V

Negacin

Podemos planear del siguiente modo. El uso de las tablas de verdad.

Si N es la oracin verdadera El Barranquilla es la capital del Atlntico y G es la oracin falsa James Rodrguez es de Barranquilla. Podemos entonces calcular la verdad o falsedad de una oracin compuesta tan complicada como ((NvG) &-N) (GN).

N G -N NvG ((NvG) &-N GN ((NvG) &-N) (GN). V F F V F V V

Una oracin es una tautologa si y solo si el resultado de remplazar cualquiera de sus oraciones

atmicas componentes por otras atmicas, es siempre una oracin verdadera.

P Q P&Q

V V V

V F F

F V F

F F F

Conjuncin

P Q PvQ

V V V

V F V

F V V

F F F

Disyuncin

P Q PQ V V V

V F F

F V V

F F V

Implicacin

P Q PQ V V V

V F F

F V F

F F V

Equivalencia

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Por va de ejemplo, sea A Aristteles era zurdo y sea L Leibniz era zurdo. Entonces la oracin A&-L es tautolgicamente equivalente a la oracin -(-A v L).Para ver esto, podemos usar la tablas de verdad.

A L -A -L -AvL -(-AvL) A&-L

V V F F V F F

V F F V F V V

F V V F V F F

F F V V V F F

La prueba es clara: las columnas que corresponden a las dos oraciones deben coincidir lnea a lnea sus anotaciones, a fin de que las dos oraciones sean tautolgicamente equivalentes.

Ejercicios 2.________________________________________

1. Traduzca las siguientes oraciones compuestas o moleculares a notacin simblica y use letras en vez de oraciones atmicas.

a. O el fuego fue producido por incendio premeditado o fue producido por combustin espontnea.

b. Si el agua es clara, entonces Enrique puede ver el fondo de la alberca, o es un bobo. c. Si las pelirrojas son amables y las rubias no tienen pecas, entonces la lgica es confusa. d. Si Juan rinde testimonio y dice la verdad, ser encontrado culpable; y si no rinde testimonio,

ser encontrado culpable. e. O juan debe rendir testimonio y dice la verdad, o no tiene que rendir testimonio.

2. En los siguientes ejemplos determnese el valor de verdad de las oraciones, por medio de los valores de verdad de las oraciones componentes, por medio de los valores de verdad de los datos de las oraciones componentes (i)-(iv)

(i) Galileo naci antes que Descartes es verdadera. (ii) Descarte naci en el siglo XVII es verdadera. (iii) Newton naci antes que Shakespeare es falsa. (iv) Falcao es un compatriota de Galileo es falsa

(a) Si Galileo naci antes que descartes, entonces Newton no naci antes que Shakespeare. (b) Si Falcao es un compatriota de Galileo o Newton naci antes que Shakespeare,

entonces Descarte naci en el siglo XVII. (c) Si Falcao no es un compatriota de Galileo, entonces o Descarte no naci en el siglo

XVII o Newton no naci antes que Shakespeare.

3. Sean

N=Barranquilla es ms grande que Bogot

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W=Barranquilla esta al norte de Colombia

C=Bogot es ms grande que Barranquilla

Cules de las oraciones siguientes son verdaderas?

(a) Nv C (b) N&C (c) N&-C

(d) N-WvC (e) Wv-CN (f) (WvN)(W-C) (g) (W-N)(NC) (h) ( ) [( ) ( )].

4. Sea

P= 2+4=6

Q=2+8=10

R=1

4= 1.4

S=23 = 6

Se conocen los valores de certeza de P, Q, R y S. Hallar los valores de verdad de las proposiciones siguientes:

1. (P&Q)&(R&S)PvS 2. P&QR&-S. 3. (P-R)v(PVS)((-PR) (-SR)

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5. Traduzca el siguiente aviso clasificado a notacin simblica y use letras en vez de oraciones atmicas

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0.4 TEORIA ORACIONAL DE LA INFERECIA

0.4.1 Dos criterios principales de la inferencia e interpretaciones oracionales.

En esta seccin trataremos la teora de la inferencia lgica. Las reglas de inferencia que rigen los conectivos

oracionales resultan ser completamente sencillas. El juego tiene la siguiente forma: comenzamos con un

conjunto de frmulas llamadas premisas. El objeto del juego consiste en aplicar las reglas de manera que

se obtenga alguna otra frmula dada (conclusin deseada). El conjunto de todas las premisas corresponde

n a la posicin inicial del jugador en un juego. Por una sucesin de jugadas, en el que cada jugada esta

sancionada por una regla, llegamos a la posicin del triunfo: la conclusin deseada.

Criterio I. Dado un conjunto de premisas, las reglas de deduccin deben permitir nos inferir

SOLAMENTE las conclusiones que lgicamente se siguen de las premisas.

Criterio II. Dado un conjunto de premisas, las reglas de deduccin lgica deben permitirnos inferir

TODAS las conclusiones que lgicamente se siguen de las premisas.

La idea consiste en que Q se sigue lgicamente de P cuando Q es verdadera en cada interpretacin o

modelo para el cual P es verdadera. Para nuestros fines presentes podemos definir como sigue la nocin

restringida de una interpretacin oracional:

Una oracin P es una interpretacin oracional de una oracin Q si y solo si P puede obtenerse de Q,

reemplazando las por oraciones atmicas componentes de Q por otras (no necesariamente diferentes).

Ejemplo: Sea 1

Si el sol est brillando, Mariana es feliz.

Y sea 1

Si el batalln avanza demasiado aprisa, o el general esta equivocado, la batalla est perdida.

Entonces 1 es una interpretacin oracional de 1, pues el sol est brillando, es remplazado por el batalln avanza demasiado aprisa o el general est equivocado y Mariana es feliz es reemplazada por la batalla est perdida.

Ahora ya es posible establecer una condicin suficiente para que la oracin sea lgica de otra.

(I) Q se sigue lgicamente de P si son verdaderas todas las interpretaciones oracionales de la

implicacin PQ. (II) Una tautologa es una oracin cuyas interpretaciones oracionales atmicas son todas

verdaderas.

(III) Si es verdadera toda interpretacin atmica oracional de una oracin, entonces es verdadera toda interpretacin oracional de esa oracin.

Mediante (I)-(III) llegamos al criterio operante de que Q se sigue lgicamente de P si PQ es una tautologa, en otras palabras;

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(IV) Q se sigue lgicamente de P si Q esta tautolgicamente implicada por P.

Por ejemplo, supngase que deseamos saber si la conclusin. Pedro va a llorar se sigue lgicamente de dos premisas:

(1) O Mara da a Pedro su juguete o Pedro va a llorar. (2) Mara no da a Pedro su juguete.

Sea P Pedro va a llorar y sea M Mara da a Pedro su juguete. La argumentacin puede entonces simbolizarse como sigue:

Premisa 1: M v P

Premisa 2: M

Conclusin: P

Para decidir si la argumentacin es vlida, necesitamos determinar si la conjuncin (M v P) & -M

implica tautolgicamente a P. Para esta tarea, construimos la tabla la siguiente tabla de verdad de

cuatro lneas:

M P M v P -M (M v P)&-M

V V V F F

V F V F F

F V V V V

F F F V F

Y observamos que en el nico caso en que las premisas son verdaderas en su conjunto (tercera lnea,

ltima columna), la conclusin P es tambin verdadera (tercera lnea, segunda columna). Concluimos

que el argumento es vlido, esto es, que la conclusin es una consecuencia lgica de las premisas.

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