1. La nueva edicin de esta prestigiosa obra conserva yrefuerza la orientacin de las aplicaciones a la administracin y la econo-ma, sin descuidar aplicaciones generales a otras reas, como cienciassociales, biolgicas y fsicas, con el propsito de que la obra siga siendouna herramienta til para una amplia gama de estudiantes.Los cambios ms importantes realizados son los siguientes: Se revisaron y actualizaron las lecturas de inicio de captulo, en lascuales se presentan casos prcticos probados en el saln de clases. En todos los captulos se presenta la solucin del caso al trmino delcaptuloyseconcluyeconalgunaspreguntas,cuyafinalidadesestimularel intercambio de ideas entre profesores y alumnos, as como conducir aun anlisis ms profundo del tema. Prcticamente todos los ejercicios de la seccin Problemas de repasodel captulo se actualizaron y la solucin de los problemas con nmeroimpar se incluye al final del texto. En varios ejercicios de la seccin Problemas de repaso del captulo sepresentan conceptos nuevos, cuyo estudio ampla lo expuesto en el texto.Para los profesores est disponible material de apoyo, que incluyela solucin a todos los problemas de repaso, en el sitio Web:Matemticas aplicadasa la Administracin y a la EconomaQUINTA EDICINARYA I LARDNER I IBARRAPrenticeHallMatemticasaplicadasalaAdministracinyalaEconomaARYALARDNERIBARRAVsitenos en:www.pearsoneducacion.netPrentice Halles una marca dewww.pearsoneducacion.net/arya

2. MATEMTICASAPLICADASa la administraciny a la economaJagdish C. AryaRobin W. LardnerDepartament of Mathematics, Simon Fraser UniversityCon la colaboracin deVctor Hugo Ibarra MercadoUniversidad Anhuac-Mxico NorteTRADUCCIN Y REVISIN TCNICA:Vctor Hugo Ibarra MercadoUniversidad Anhuac-Mxico NorteQuinta edicin 3. 832Formato: 20 25.5 cmMxico, 2009ISBN: 978-607-442-302-0rea: UniversitariosARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W.Matemticas aplicadas a la administraciny a la economa. Quinta edicinAdaptation of the authorized translation from the English language edition, entitled Mathematical analysis for business, economics,and the life and social sciences, Fourth Edition, by Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner, published by Pearson Education, Inc., publis-hing as Prentice Hall, Copyright 1993. All rights reserved.ISBN 0-13-564287-6Adaptacin de la traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls titulada Mathematical analysis for business, economics, andthe life and social sciences, cuarta edicin, por Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner, publicada por Pearson Education, Inc., publi-cada como Prentice Hall, Copyright 1993. Todos los derechos reservados.Esta edicin en espaol es la nica autorizada.Edicin en espaolEditor: Rubn Fuerte Riverae-mail: ruben.fuerte@pearsoned.comEditor de desarrollo: Felipe Hernndez CarrascoSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez GarduoEdicin en ingls:Editor-in-chief: Tim Bozik Design director: Florence Dara SilvermanSenior editor: Steve Conmy Interior design: Patricia McGowanExecutive editor: Priscilla McGeehon Prepress buyer: Paula MassenaroSenior managing editor: Jeanne Hoeting Manufacturing buyer: Lori BulwinProduction editor: Nicholas RomanelliQUINTA EDICIN VERSIN IMPRESA, 2009QUINTA EDICIN E-BOOK, 2009D.R. 2009 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500-5o. pisoCol. Industrial Atoto53519 Naucalpan de Jurez, Estado de MxicoCmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031.Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por unsistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magnti-co o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de susrepresentantes.ISBN VERSIN IMPRESA 978-607-442-302-0ISBN E-BOOK 978-607-442-305-1PRIMERA IMPRESINImpreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09www.pearsoneducacion.net ISBN 978-607-442-302-0 4. ANiki y Shanti 5. PREFACIO xiPARTE UNOLGEBRA1 LGEBRA 11-1 Los nmeros reales 21-2 Fracciones 101-3 Exponentes 181-4 Exponentes fraccionarios 231-5 Operaciones algebraicas 291-6 Factorizacin 381-7 Fracciones algebraicas 46Repaso del captulo 1 55Problemas de repaso del captulo 1 56 CASO DE ESTUDIO 582 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 592-1 Ecuaciones lineales 602-2 Aplicaciones de ecuaciones lineales 682-3 Ecuaciones cuadrticas 732-4 Aplicaciones de ecuaciones cuadrticas 81Repaso del captulo 2 88Problemas de repaso del captulo 2 88 CASO DE ESTUDIO 90vContenido 6. 3 DESIGUALDADES 913-1 Conjuntos e intervalos 923-2 Desigualdades lineales de una variable 983-3 Desigualdades cuadrticas de una variable 1053-4 Valores absolutos 111Repaso del captulo 3 117Problemas de repaso del captulo 3 118 CASO DE ESTUDIO 1204 LNEAS RECTAS 1214-1 Coordenadas cartesianas 1224-2 Lneas rectas y ecuaciones lineales 1304-3 Aplicaciones de ecuaciones lineales 1404-4 Sistemas de ecuaciones 1484-5 Aplicaciones a administracin y economa 158Repaso del captulo 4 168Problemas de repaso del captulo 4 168 CASO DE ESTUDIO 1715 FUNCIONES Y SUS GRFICAS 1725-1 Funciones 1735-2 Funciones cuadrticas y parbolas 1875-3 Ms funciones elementales y sus grficas 1935-4 Operaciones de funciones 2045-5 Relaciones implcitas y funciones inversas 209Repaso del captulo 5 215Problemas de repaso del captulo 5 215 CASO DE ESTUDIO 2186 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES 2196-1 Inters compuesto y temas relacionados 2206-2 Funciones exponenciales 2316-3 Logaritmos 2376-4 Aplicaciones y propiedades adicionales de los logaritmos 248Repaso del captulo 6 260Problemas de repaso del captulo 6 260 CASO DE ESTUDIO 264vi CONTENIDO 7. PARTE DOSMATEMTICAS FINITAS7 PROGRESIONES Y MATEMTICASFINANCIERAS 2657-1 Progresiones aritmticas e inters simple 2667-2 Progresiones geomtricas e inters compuesto 2737-3 Matemticas financieras 2807-4 Ecuaciones en diferencias 2907-5 Notacin de sumatoria (seccin opcional) 305Repaso del captulo 7 312Problemas de repaso del captulo 7 313 CASO DE ESTUDIO 3158 LGEBRA DE MATRICES 3168-1 Matrices 3178-2 Multiplicacin de matrices 3238-3 Solucin de sistemas linealespor reduccin de renglones 3348-4 Sistemas singulares 343Repaso del captulo 8 348Problemas de repaso del captulo 8 349 CASO DE ESTUDIO 3529 INVERSAS Y DETERMINANTES 3549-1 La inversa de una matriz 3559-2 Anlisis insumo-producto 3629-3 Cadenas de Markov (opcional) 3699-4 Determinantes 3809-5 Inversas por determinantes 388Repaso del captulo 9 394Problemas de repaso del captulo 9 395 CASO DE ESTUDIO 39810 PROGRAMACIN LINEAL 39910-1 Desigualdades lineales 40010-2 Optimizacin lineal (enfoque geomtrico) 40710-3 Tabla smplex 41810-4 Mtodo smplex 427CONTENIDO vii 8. Problemas de repaso del captulo 10 437 CASO DE ESTUDIO 439PARTE TRESCLCULO11 LA DERIVADA 44111-1 Incrementos y tasas 44211-2 Lmites 45011-3 La derivada 46011-4 Derivadas de funciones elevadas a una potencia 46611-5 Anlisis marginal 47311-6 Continuidad y diferenciabilidad (seccin opcional) 482Repaso del captulo 11 491Problemas de repaso del captulo 11 492 CASO DE ESTUDIO 49412 CLCULO DE DERIVADAS 49612-1 Derivadas de productos y cocientes 49712-2 La regla de la cadena 50312-3 Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas 51112-4 Derivadas de orden superior 520Repaso del captulo 12 524Problemas del captulo 525 CASO DE ESTUDIO 52713 OPTIMIZACIN Y BOSQUEJO DE CURVAS 52913-1 La primera derivada y la grfica de la funcin 53013-2 Mximos y mnimos 53513-3 La segunda derivada y la concavidad 54313-4 Bosquejo de curvas polinomiales 55213-5 Aplicaciones de mximos y mnimos 55713-6 Mximos y mnimos absolutos 57113-7 Asntotas 576Repaso del captulo 13 586Problemas de repaso del captulo 13 587 CASO DE ESTUDIO 59114 MS SOBRE DERIVADAS 59314-1 Diferenciales 59414-2 Diferenciacin implcita 60014-3 Diferenciacin logartmica y elasticidad 607viii CONTENIDO 9. Repaso del captulo 14 615Problemas de repaso del captulo 14 616 CASO DE ESTUDIO 61815 INTEGRACIN 62015-1 Antiderivadas 62115-2 Mtodo de sustitucin 62915-3 Tablas de integrales 63615-4 Integracin por partes 640Repaso del captulo 15 644Problemas de repaso del captulo 15 645 CASO DE ESTUDIO 64816 LA INTEGRAL DEFINIDA 65016-1 reas bajo curvas 65116-2 Ms sobre reas 66016-3 Aplicaciones en la administracin y la economa 66916-4 Valor promedio de una funcin 68016-5 Integracin numrica (seccin opcional) 68316-6 Ecuaciones diferenciales: una introduccin 68916-7 Ecuaciones diferenciales separables 69816-8 Aplicaciones a probabilidad (seccin opcional) 704Repaso del captulo 16 713Problemas de repaso del captulo 16 714 CASO DE ESTUDIO 71717 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 71917-1 Funciones y dominios 72017-2 Derivadas parciales 73017-3 Aplicaciones para anlisis en la administracin 73717-4 Optimizacin 74517-5 Multiplicadores de Lagrange (seccin opcional) 75117-6 Mtodo de mnimos cuadrados 759Repaso del captulo 17 766Problemas de repaso del captulo 17 767 CASO DE ESTUDIO 771Apndices 773Soluciones a problemas con nmero impar 791ndice 807CONTENIDO ix 10. En esta versin se conserv y reforz la orientacin de las aplicaciones a la admi-nistracin y la economa, sin descuidar aplicaciones generales a otras reas, tales co-mo ciencias sociales, biolgicas y fsicas, a fin de que la obra pueda seguir siendotil a una amplia gama de estudiantes.Las aplicaciones referidas a estas reas se han integrado por completo en el de-sarrollo de la obra; a veces una aplicacin particular se utiliza para motivar ciertos con-ceptos matemticos; en otros casos, determinado resultado matemtico se aplica, yasea de inmediato o en una seccin subsecuente, a un problema concreto, digamos, deanlisis empresarial. Por lo general, las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercanacon el tratamiento del concepto matemtico especfico en cuestin. No obstante, cabeaclarar que las matemticas de esta obra se presentan inicialmente en un estilo lim-pio, es decir, fuera del contexto de cualquier aplicacin particular. Slo despus de es-tablecer cada resultado en un nivel puramente algebraico, se aplica ste a un problemaprctico.Aunque se conservaron las caractersticas principales del libro, que han hechode esta obra una de las preferidas por muchos profesores y alumnos, los cambiosms importantes realizados son los siguientes. Se revisaron y actualizaron las lecturas de inicio de captulo. En ellas sepresentan casos prcticos probados en el saln de clases. Para que la obra tuviera una mayor unidad, ahora en todos los captulos sepresenta un caso prctico como lectura inicial. Una vez que se estudia elmaterial del mismo, la solucin del caso se presenta al trmino del captu-lo, y se concluye con algunas preguntas que tienen la finalidad de estimu-lar el intercambio de ideas entre profesores y alumnos, as como conducira un anlisis ms profundo del tema, o bien, sirven de introduccin para elmaterial que se estudiar en los siguientes captulos.PREFACIO A LA NUEVA EDICIN xiPrefacioa la nueva edicin 11. Prcticamente todos los ejercicios de la seccin Problemas de repaso delcaptulo se actualizaron y, al igual que con los ejercicios de cada seccin, lasolucin de los problemas con nmero impar se incluye al final del texto. En varios ejercicios de la seccin Problemas de repaso del captulo se pre-sentan conceptos nuevos, cuyo estudio ampla lo expuesto en el texto. Serecomienda resolver estos problemas con la finalidad de ampliar la teoraexpuesta; sin embargo, si se omite la resolucin de stos, se puede conti-nuar con los siguientes temas sin mayor dificultad. Con base en los excelentes comentarios y observaciones de muchos usua-rios de esta obra, se hizo una revisin cuidadosa de todo el libro, con lafinalidad de enmendar las erratas de la versin anterior.Como antes, el libro est orientado a la enseanza de las aplicaciones y a lautilizacin de las matemticas ms que a las matemticas puras. No se hace hinca-pi en las demostraciones de los teoremas ni se da a stas un lugar predominante enel desarrollo del texto. Por lo regular, despus de enunciar un teorema, procedemosa ilustrarlo y a analizar su importancia con varios ejemplos, y luego se da la demos-tracin. Las demostraciones ms difciles se han omitido por completo.Este relativo desinters por los pormenores matemticos da a los estudiantesel tiempo necesario para mejorar sus habilidades en el uso de diversas tcnicas. Se-gn nuestra experiencia, los estudiantes que aprenden a dominar las tcnicas por locomn desarrollan una intuicin razonablemente clara del proceso, y la carencia deun completo rigor matemtico no constituye una grave deficiencia.Distribucin del contenidoEl libro se divide en tres partes. La Parte Uno presenta el lgebra previa al clculo;la Parte Dos, las matemticas finitas; y la Parte Tres, el clculo propiamente dicho.Las partes Dos y Tres son casi totalmente independientes entres s y pueden estu-diarse en orden distinto.El lgebra previa al clculo abarca los primeros seis captulos del libro. En losprimeros tres de ellos presentamos un repaso bastante detallado del lgebra de nivelintermedio y de la solucin de ecuaciones y desigualdades en una variable. El restode la primera parte consta de un captulo sobre funciones, y otro sobre exponencia-les y logaritmos.La parte del libro dedicada a las matemticas finitas se compone por s mis-ma en dos partes casi independientes: el captulo 7, sobre matemticas financieras;y los captulos 8, 9 y 10 sobre matrices, determinantes y programacin lineal. El ca-ptulo 10, dedicado a la programacin lineal, exige conocer un poco lo tratado en elcaptulo 8, pero no requiere lo referente al captulo 9.Los captulos 11 al 14 tratan el clculo diferencial en una variable. Los prime-ros dos temas de estos dos captulos explican las antiderivadas y se ofrece una opcinsobre cmo enfocar la integracin. Despus de exponer el mtodo de sustitucin, deinmediato se presentan las tablas de integrales, de modo que el profesor que deseepasar rpidamente a las aplicaciones pueda hacerlo.Por otro lado, si el profesor desea dedicar ms tiempo a las tcnicas de inte-gracin, puede posponer la seccin sobre las tablas y tratar primero la seccin finaldel captulo 15. El segundo de estos captulos estudia la integral definida y sus apli-caciones al clculo de reas, anlisis gerencial y ecuaciones diferenciales.El captulo final constituye una introduccin al clculo diferencial de funcio-nes de variables.xii PREFACIO A LA NUEVA EDICIN 12. Seleccionando captulos y/o secciones de captulos en forma apropiada, el li-bro puede adaptarse a una gran variedad de cursos. Por ejemplo, puede impartirseadecuadamente con cursos de lgebra superior, lgebra y matemticas finitas, lge-bra y clculo o matemticas finitas y clculo, si se seleccionan los captulos perti-nentes. El siguiente diagrama ilustra la estructura del libro en cuanto a requisitosprevios de conocimientos.PREFACIO A LA NUEVA EDICIN xiii1, 2 Y 3REPASODE LGEBRA4LNEAS RECTAS5 Y 6FUNCIONES YGRFICAS,LOGARITMOS YEXPONENCIALES8 7MATRICES PROGRESIONESY MATEMTICASFINANCIERAS9 10DETERMINANTES PROGRAMACINLINEAL11-14CLCULODIFERENCIAL15-16 17CLCULO FUNCIONES DEINTEGRAL VARIAS VARIABLESLGEBRA UNIVERSITARIAPor ltimo, queremos manifestar nuestro agradecimiento al incontable nmerode personas que nos han hecho invaluables comentarios sobre las versiones anterio-res del texto. Los cambios realizados en esta nueva edicin estn significativamenteinfluidos por esta informacin. Consideramos de gran valor las aportaciones de nues-tros usuarios, por lo cual, reiteramos la invitacin para que nos hagan llegar sus comen-tarios o sugerencias a la direccin de correo electrnico editorialmx@pearsoned.com 13. 1CAPTULO1lgebra1-1 LOS NMEROS REALES1-2 FRACCIONES1-3 EXPONENTES1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS1-6 FACTORIZACIN1-7 FRACCIONES ALGEBRAICASREPASO DEL CAPTULOEste captulo revisa las tcnicas fundamentales de lgebra. Est dirigido a los estudiantes que,por una u otra razones, lo necesiten para refrescar sus habilidades algebraicas bsicas.T E M A R I OObjetivo del captulolgebra y algunos clculos mentalesUna compaera nos sorprendi cuando, en una clase, nece-sitbamos calcular el rea de un cuadrado de 75 cm por ladoy ella de inmediato respondi que el rea era de 5625 cm2.El profesor intrigado le pregunt que cmo haba hecho laoperacin tan rpido; a lo que ella contest diciendo queal 7 le sum 1, cuyo resultado es 8, multiplic ste (el 8)por 7 obteniendo 56 y coloc el nmero 25 despus del56. As obtuvo la respuesta. Nuestra compaera agregque este mtodo lo haba aprendido de su pap, quien lecoment que slo serva para nmeros que terminaran en5. El profesor se qued pensativo probando con variosnmeros y, despus de un rato, nos explic lo siguiente:Este caso, realizar una operacin con rapidez, sepuede explicar con el apoyo del lgebra. Veamos di-jo, para representar un nmero que termine en 5, indica-mos con d el nmero de decenas y as formamos el nme-ro:10d 5Al elevar este nmero al cuadrado recuerden la forma deelevar un binomio al cuadrado, obtenemos:(10d 5)2 100d 100d 25Si factorizamos los primeros dos trminos del lado dere-cho, cuyo factor comn es 100d, tenemos:(10d 5)2 100d(d 1) 25Con esto podemos entender la reglapara elevar con rapi-dez al cuadrado un nmero que termine en 5. Para ilustrarel uso de esta regla, apliqumosla al ejemplo siguiente:Elevemos (35)2.a) Nos fijamos en el nmero de decenas, en este caso,tres.b) ste lo multiplicamos por el dgito que es unomayor a l; cuatro.c) Formamos el nmero que inicia con el resultadoanterior, 12, y termina con 25; es decir, 1225.El profesor termin comentando sobre la utilidaddel lgebra y de todo lo que nos puede ayudar en nuestravida profesional.Con ayuda de esta regla, realice las siguientes ope-raciones:1. 252 2. 652 3. 9524. 1152 5. 7.52 6. 1052 14. Empezaremos dando un breve esbozo de la estructura de los nmeros reales. Losnmeros 1, 2, 3, etc., se denominan nmeros naturales. Si sumamos o multiplica-mos dos nmeros naturales cualesquiera, el resultado siempre es un nmero natural.Por ejemplo, 8 5 13 y 8 5 40; la suma 13 y el producto 40 son nmerosnaturales. En cambio, si restamos o dividimos dos nmeros naturales, el resultadono siempre es un nmero natural. Por ejemplo, 8 5 3 y 8 2 4 son nme-ros naturales; pero 5 8 y 2 7 no son nmeros naturales. As, dentro del sistemade nmeros naturales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre pode-mos restar o dividir.Con la finalidad de superar la limitacin de la sustraccin, extendemos el sis-tema de los nmeros naturales al sistema de los nmeros enteros. Los enteros in-cluyen los nmeros naturales, los negativos de cada nmero natural y el nmero ce-ro (0). De este modo, podemos representar el sistema de los enteros mediante. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .Es claro que los nmeros naturales tambin son enteros. Si sumamos, multiplicamoso restamos dos enteros cualesquiera, el resultado tambin es un entero. Por ejemplo,3 8 5, (3)(5) 15 y 3 8 5 son enteros. Pero an no podemosdividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemosque: 8 (2) 4 es un entero, pero 8 3 no lo es. Por tanto, dentro del sis-tema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemosdividir.Para superar la limitacin de la divisin, extendemos el sistema de los enterosal sistema de los nmeros racionales. Este sistema consiste de todas las fraccionesa/b, donde a y b son enteros con b 0.Un nmero es racional si podemos expresarlo como la razn de dos enteros condenominador distinto de cero. As 83, 57, 03 y 6 61 son ejemplos de nmeros racio-nales. Podemos sumar, multiplicar, restar y dividir cualesquiera dos nmerosracionales (exceptuando la divisin entre cero)* y el resultado siempre es un nme-ro racional. De esta manera las cuatro operaciones fundamentales de la aritmtica:adicin, multiplicacin, sustraccin y divisin son posibles dentro del sistema de losnmeros racionales.Cuando un nmero racional se expresa como un decimal, los decimales termi-nan o presentan un patrn que se repite indefinidamente. Por ejemplo, 14 0.25 y9830 1.1625 corresponden a decimales que terminan, mientras que 16 0.1666. . .y 47 0.5714285714285. . . corresponden a decimales con patrones que se repiten.Tambin existen algunos nmeros de uso comn que no son racionales (es de-cir, que no pueden expresarse como la razn de dos enteros). Por ejemplo, 2, 3y no son nmeros racionales. Tales nmeros se denominan nmeros irraciona-les. La diferencia esencial entre los nmeros racionales y los irracionales se advier-te en sus expresiones decimales. Cuando un nmero irracional se presenta por me-2 CAPTULO 1 LGEBRA1-1 LOS NMEROS REALES*Vase el pargrafo final de esta seccin. 15. dio de decimales, los decimales continan indefinidamente sin presentar ningn pa-trn repetitivo. Por ejemplo, con diez cifras decimales 2 1.4142135623. . . y 3.1415926535. . . No importa con cuntos decimales expresemos estos nmeros,nunca presentarn un patrn repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren enel caso de los nmeros racionales.El trmino nmero real se utiliza para indicar un nmero que es racional oirracional. El sistema de los nmeros reales consta de todas las posibles expresionesdecimales. Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los nme-ros racionales, mientras que los restantes corresponden a los nmeros irracionales. 1Geomtricamente, los nmeros reales se pueden representar por los puntos so-bre una lnea recta denominada recta numrica. Con la finalidad de hacer esto, se-leccionemos un punto arbitrario O sobre la lnea que represente al nmero cero. Losnmeros positivos se representan entonces por los puntos a la derecha de O y los ne-gativos por los puntos a la izquierda de O. Si A1 es un punto a la derecha de O talque OA1 tiene longitud unitaria, entonces A1 representa al nmero 1. Los enteros 2,3, . . . , n, . . . estn representados por los puntos A2, A3, . . . , An, . . . , estn a la de-recha de O y son tales queOA2 2OA1, OA3 3OA1, . . . , OAn nOA1, . . .De manera similar, si B1, B2, . . . , Bn, . . . , son los puntos a la izquierda de O talesque las distancias OB1, OB2, OB3, . . . , son iguales a las distancias OA1, OA2, . . . ,OAn, . . . , respectivamente, entonces los puntos B1, B2, B3, . . . , Bn, . . . , representana los nmeros negativos 1, 2, 3, . . . , n, . . . En esta forma, todos los enterospueden representarse mediante puntos sobre la recta numrica. (Vase la figura 1).SECCIN 1-1 LOS NMEROS REALES 3Los nmeros racionales pueden representarse por puntos sobre la recta num-rica que estn situados un nmero apropiado de unidades fraccionarias a partir deO. Por ejemplo, el nmero 92 est representado por el punto situado cuatro unidadesy media a la derecha de O y 73 est representado por el punto que est situado dosunidades y un tercio a la izquierda de O. De manera similar, todo nmero racionalpuede representarse por un punto sobre la lnea.Se deduce que todo nmero irracional tambin puede representarse por unpunto sobre la recta numrica. En consecuencia, todos los nmeros reales, tantos losracionales como los irracionales, pueden representarse por tales puntos. Ms an,cada punto sobre la recta numrica corresponde a uno y slo un nmero real. Debi-do a esto, es bastante comn el uso de la palabra punto con el significado de nme-ro real.Bn B3B2A1A2A3AnB1O1 2 3On n3 2 1FIGURA 1 1. Qu tipo de nmero escada uno de los siguientes?:a) 23b) (2)2c) 2Respuesta a) racional, real;b) natural, entero, racional, real;c) irracional, real. 16. Propiedades de los nmeros realesCuando dos nmeros reales se suman, el resultado siempre es un nmero real; demanera similar, cuando dos nmeros reales se multiplican, tambin el resultado esun nmero real. Estas dos operaciones de adicin y multiplicacin son fundamenta-les en el sistema de los nmeros reales y poseen ciertas propiedades que en breveenunciaremos. Estas propiedades por s mismas parecen ser ms bien elementales,quizs aun obvias, pero son vitales para entender las diversas manipulaciones al-gebraicas que efectuaremos despus.PROPIEDADES CONMUTATIVAS Si a y b son dos nmeros reales cualesquie-ra, entonces,a b b a y ab baPor ejemplo, 3 7 7 3, 3 (7) (7) 3, 3 7 7 3 y (3)(7) (7)(3). Estas propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos nme-ros son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier or-den que sigamos). Se conocen como propiedades conmutativas de la adicin y dela multiplicacin, respectivamente.PROPIEDADES ASOCIATIVAS Si a, b y c son tres nmeros reales cualesquiera,entonces,(a b) c a (b c) y (ab)c a(bc)Por ejemplo, (2 3) 7 2 (3 7) 12 y (2 3) 7 2 (3 7) 42. Estaspropiedades se conocen como propiedades asociativas de la adicin y de la mul-tiplicacin, respectivamente. Establecen que, si tres nmeros se suman (o se multi-plican) a la vez, no importa cules dos de ellos se sumen (o se multipliquen) en pri-mer trmino. Obtenemos la misma respuesta en ambos casos.En virtud de estas propiedades, es innecesario escribir los parntesis en las ex-presiones anteriores. Podemos escribir a b c para indicar la suma de a, b y c yabc para su producto sin ninguna ambigedad.PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS Si a, b y c son nmeros reales cualesquiera,entonces,a(b c) ab ac y (b c)a ba caPor ejemplo, 2(3 7) 2(3) 2(7) 6 14 20. Esto es sin duda cierto por-que 2(3 7) 2 10 20. Por otra parte, (2)[3 (7)] (2)(3) (2)(7) 6 14 8. Podemos evaluar la expresin dada directamente, obtenien-do la misma respuesta: (2)[3 (7)] (2)(4) 8.4 CAPTULO 1 LGEBRA 17. La segunda forma de la propiedad distributiva en realidad se sigue de la primera,dado que, por la propiedad conmutativa(b c)a a(b c) y tambin ba ca ab acPuesto que los segundos miembros son iguales uno a otro en virtud de la primera pro-piedad distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales.Las propiedades distributivas son particularmente importantes en los clculos al-gebraicos. Como veremos, stas sustentan muchas operaciones incluidas en la simplifi-cacin de expresiones y, si se leen hacia atrs, esto es, de derecha a izquierda, formanla base para los mtodos de factorizacin. 2Los ejemplos siguientes ilustran algunos usos elementales de estas propiedades delos nmeros reales al simplificar las expresiones algebraicas.EJEMPLO 1a) x(y 2) xy x(2) (propiedad distributiva) xy 2x (propiedad conmutativa)b) 2x 3x (2 3)x (propiedad distributiva) 5xc) 2(3x) (2 3)x (propiedad asociativa) 6xd) (2x)(3x) [(2x) 3]x (propiedad asociativa) [3 (2x)]x (propiedad conmutativa) [(3 2)x]x (propiedad asociativa) (6x)x 6(x x) (propiedad asociativa) 6x2donde x2 denota x x.Esta respuesta final pudo obtenerse agrupando los trminos semejantes en elproducto original: los nmeros 2 y 3 multiplicados dan 6 y las dos x multiplicadasdan x2. La parte siguiente ilustra este procedimiento.e) [5(3ab)] (2a) (5 3 2)(a a)b 30a2bEsta respuesta puede justificarse mediante una sucesin de pasos que empleanlas leyes asociativa y conmutativa, como en la parte d).f ) 2x (3y x) 2x (x 3y) (propiedad conmutativa) (2x x) 3y (propiedad asociativa) (2x 1x) 3y (2 1)x 3y (propiedad distributiva) 3x 3ySECCIN 1-1 LOS NMEROS REALES 5 2. Cules propiedades de losnmeros reales son utilizadas en cadauna de las siguientes igualdades?a) 2 3 4 2 4 3b) 2 3 4 3 4 2c) 2 (3 4) (3 4) 2d) 2 (3 4) 4 (2 3)e) 3x 3x (3 3)xf) 3x xy x(3 y)Respuesta a) conmutativa;b) conmutativa;c) conmutativa;d) ambas, conmutativa y asociativa;e) distributiva;f) ambas, distributiva y conmutativa. 18. g) 2x(4y 3x) (2x)(4y) (2x)(3x) (propiedad distributi-va) (2 4)(x y) (2 3)(x x) [propiedades asocia-tiva y conmutativacomo en la parte a)] 8xy 6x2La propiedad distributiva puede usarse en el caso en que ms de dos cantida-des se sumen dentro de los parntesis. Esto es,a(b c d) ab ac adetctera.EJEMPLO 24(x 3y 4z) 4x 4(3y) 4(4z) (propiedad distributiva) 4x (4 3)y (4 4)z (propiedad asociativa) 4x 12y 16zELEMENTOS IDENTIDAD Si a es un nmero real cualquiera, entonces,a 0 a y a 1 aEs decir, si 0 se suma a a, el resultado an es a y si a se multiplica por 1, el resul-tado de nuevo es a. Por esta razn, los nmeros 0 y 1 a menudo se conocen comoelementos identidad para la adicin y la multiplicacin, respectivamente, porqueno alteran nmero alguno bajo sus respectivas operaciones.INVERSOS Si a es un nmero real arbitrario, entonces existe un nico nmeroreal denominado el negativo de a (denotado por a) tal quea (a) 0Si a no es cero, entonces tambin existe un nico nmero real denominado el rec-proco de a (denotado por a1) tal quea a1 1Observe la similitud entre las dos definiciones: cuando a se suma a a, el resulta-do es el elemento identidad para la adicin y cuando a1 se multiplica por a, el re-sultado es el elemento identidad para la multiplicacin. A menudo nos referiremosa a como el inverso aditivo de a y a a1 como el inverso multiplicativo de a.(Algunas veces a1 se denomina simplemente inverso de a).6 CAPTULO 1 LGEBRA 19. EJEMPLO 3a) El inverso aditivo de 3 es 3 dado que 3 (3) 0. El inverso aditivode 3 es 3 puesto que (3) 3 0. Como el inverso aditivo de 3 se denota por(3), se sigue que (3) 3. En realidad, un resultado correspondiente vale pa-ra cualquier nmero real a:(a) ab) El inverso multiplicativo de 3 es 31 dado que 3 31 1. El inverso mul-tiplicativo de 31 sera denotado por (31)1 y estara definido por el requerimientode que 31 (31)1 1. Pero dado que 31 3 1, se sigue que (31)1 es iguala 3.De nuevo este resultado puede generalizarse para cualquier nmero real a dis-tinto de cero:(a1)1 a(El inverso del inverso de a es igual a a).Una vez que hemos definido los inversos aditivo y multiplicativo de a, po-demos definir lo que entenderemos por las operaciones de sustraccin y divisin.Definimos a b como el nmero a (b), es decir, a ms el negativo de b. Demanera similar, definimos a b como el nmero ab1, es decir, a multiplicado porel recproco de b. La expresin a b est definida slo cuando b 0. Tambin seindica por la fraccin a/b y tenemos queDefinicin de ab: ab ab1 (1)Haciendo a 1 en la ecuacin (1), resulta que1b 1 b1 b1De aqu, la fraccin 1/b significa lo mismo que el inverso multiplicativo b1. Porejemplo, 31 13. Por tanto, se sigue de la ecuacin (1) queab a1bdado que b1 1/b. 3SECCIN 1-1 LOS NMEROS REALES 7 3. Cules propiedades de losnmeros reales se utilizan en cadauna de las igualdades siguientes?a) x 3x 1x 3x (1 3) x 4xb) (2 1) (1) 2 [1 (1)] 2 0 2c) 3 13 1Respuesta a) propiedad del ele-mento idntico multiplicativoy propiedad distributiva;b) propiedad asociativa, inversoaditivo y neutro aditivo;c) idntico multiplicativo y defini-cin de 1a 20. EJEMPLO 4a) 7131(Ecuacin (1), con a 7 y b 13) 7(31)1 7(3) 21Este resultado se extiende a cualesquiera pares de nmeros reales a y b (b 0):1a/b abb) Para cualquier nmero real, (1)b b. Esto se debe a queb (1)b 1 b (1)b [1 (1)]b (propiedad distributiva) 0 b 0Por tanto, (1)b debe ser el inverso aditivo de b, es decir b.c) a(b) a[(1)/b] [por la parte b)] (1)(ab) (usando las propiedades asociativa y conmutativa)(ab)Por ejemplo, 3(7) (3 7) 21d) 3(x 2y) 3[x (2y)] (definicin de sustraccin) 3x 3(2y) (propiedad distributiva) 3x [3(2y)] [de la parte c)] 3x [(3 2)y] (propiedad asociativa) 3x 6yEn general, la propiedad distributiva se extiende a expresiones con signos negativos.Por ejemplo,a(b c) ab acDe esa manera podemos resolver este ejemplo en forma directa.3(x 2y) 3x 3(2y) 3x 6yObserve que cuando una expresin dentro de parntesis debe multiplicarsepor una cantidad negativa, todo trmino dentro del parntesis cambia de signo.(a b) (1)(a b) (1)a (1)b a bEJEMPLO 52(x 3y) (2)x (2)(3y) 2x 6yNote que tanto x como 3y que estn dentro de los parntesis cambian de signo,quedando como 2x y 6y, respectivamente.7(13)8 CAPTULO 1 LGEBRA 21. 1. Establezca si cada una de las siguientes igualdades es vlidao no. Reemplace cada proposicin falsa por una que sea co-rrecta.a) 3x 4x 7x b) (3x)(4x) 7xc) 2(5 4y) 10 4yd) (x y) x ye) 5x (2 3x) 2x 2f) 5 2x 3xg) 3(x 2y) 3x 6yh) (a)(b)(c) (d) (abc d)i) a (b c) (ac) bj) a (b c) (a c) bk) (x)(y) xyl) ab abm) 0x 0 para todos los nmeros reales x(2-60) Simplifique las siguientes expresiones.2. 5 (3) 3. 7 (3)4. 5(3) 5. (3)(7)6. 8 (2) 7. (9) (3)8. (2 6) 9. (4 3)10. (3)(2)(4) 11. (5)(3)(2)12. 3(1 4) 13. 2(2 3)14. 2(4 2) 15. 4(3 6)16. 6 2(3 2) 17. 3(x 2y)18. 4(2x z) 19. 2(2x y)20. 3(4z 2x) 21. (x 6)22. (x 3) 23. 3(x 4)24. 2(x 3) 25. 2(x 2)26. 4(x 6) 27. x(y 6)28. x(y 6) 29. 2(x y) 4x30. 3y 4(x 2y) 31. 2z 3(x 2z)32. 4x 2(3z 2x) 33. (x y) 4(x y)34. 3(y 2x) 2(2x 2y) 35. 5(7x 2y) 4(3y 2x)36. 4(8z 2t) 3(t 4z) 37. x(y)(z)38. (x)(y)(z) 39. (2)(x)(x 3)40. (x)(y)(2 3z) 41. 2(a)(3 a)42. (37 p)(2q)(q p) 43. x(2)(x 4)44. (2x)(3)(y 4) 45. x(x 2) 2(x 1)46. 2(3x)(2y 1) (y)(4 5x)47. 2x 5 2(x 2) 48. 3x t 2(x t)49. 2(x y) x 50. 4x(x y) x251. 4[2(x 1) 3] 52. x[3(x 2) 2x 1]53. x[3(4 5) 3]54. 4[x(2 5) 2(1 2x)] 55. x1 (x 2)56. x1 (2x 1) 57. (2x)1 (3x 1)58. (3x)1 (6 2x) 59. (xy)1 (x y)60. (xy)1 (2x 3y)SECCIN 1-1 LOS NMEROS REALES 9Observacin sobre la divisin entre cero. La afirmacin a/b c es ciertasi y slo si la proposicin inversa a b c es vlida. Consideremos una fraccin enla cual el denominador b es cero, tal como 30. sta no puede ser igual a ningn n-mero real c porque la afirmacin inversa 3 0 c no puede ser vlida para ningnreal c. Por tanto 30 no est bien definido. Asimismo, 00 no es un nmero real bien de-finido porque la proposicin inversa 0 0 c es vlida para cada nmero real c.As, concluimos que cualquier fraccin con denominador cero no es un nmero realbien definido o, en forma equivalente, que la divisin entre cero es una operacinque carece de sentido. Por ejemplo, x/x 1 es cierto slo si x 0. 4 4. Estn definidas las expre-siones siguientes?a) b (3ab 4b)b) b (3ba 4b)Respuesta a) no;b) s, siempre y cuando a 0EJERCICIOS 1-1 22. En la seccin 1-1, vimos que la fraccin a/b est definida como el producto de a yel inverso de b:ab ab1 (b 0)En particular,1b b1Con base en la definicin anterior es posible deducir todas las propiedades que seusan al manejar fracciones. En esta seccin nos detendremos un poco a examinar es-te tipo de operaciones.*Multiplicacin de fraccionesEl producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer trmino los dosnumeradores y luego los dos denominadores.abdc badcEJEMPLO 1a) 2359 2359 1207b) 23x4y (32x)y4 83xyc) 3x54y 31x54y 152yx 5Divisin de fraccionesCon el propsito de dividir una fraccin entre otra, la segunda fraccin se invierte ydespus se multiplica por la primera. En otras palabras,ab dc abdc abdc(3x) 41 (5y)10 CAPTULO 1 LGEBRA1-2 FRACCIONES 5. Evale a) 23 73b) 2x 75Respuesta a) 194; b) 170x *Las demostraciones de las propiedades que aparecen en recuadros se dan como una serie de teoremas alfinal de esta seccin. 23. EJEMPLO 2a) 35 79 3597 2375b) 32x 4y 32x4y 38xyc) 5y 56x 51y56x 256xyd) 23x (2y) 23x 21y 23x 21y 43xye) ab1 1 ab 1 ba ba(Es decir, el recproco de cualquier fraccin se obtiene intercambiando el numera-dor y el denominador de la fraccin). 6En vista de este ltimo resultado, podemos reescribir la regla anterior para ladivisin: para dividir entre una fraccin, debe multiplicar por su recproco.Cancelacin de factores comunesEl numerador y el denominador de cualquier fraccin pueden multiplicarse o divi-dirse por un nmero real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la frac-cin.ab abcc (c 0)EJEMPLO 3(a) ab 22ab(b) 35 160 195 1220 (c) 56x 1102xx2 (con tal que x 0)Esta propiedad de las fracciones puede usarse con la finalidad de reducir unafraccin a su mnima expresin, lo que significa dividir el numerador y el denomi-nador entre todos los factores comunes. (Esto se llama tambin simplificacin de lafraccin).SECCIN 1-2 FRACCIONES 11 6. Evalea) 23 32; b) 2x 75Respuesta a) 49; b) 154x 24. EJEMPLO 4a) 7804 22 2 5 3 7 7 Observe que tanto el numerador como el denominador se escriben primero en tr-minos de sus factores primos y, luego, el numerador y el denominador se dividenentre aquellos factores que son comunes a ambos nmeros, como el 2 y el 7. (Esteproceso algunas veces se denomina cancelacin).b) 68xx2yy2 34xy(xy 0)En este ejemplo, el numerador y el denominador fueron divididos entre 2xy en lasimplificacin.c) 24xy((xx11)) 2xy (x 1 0)Aqu el factor comn 2(x 1) fue cancelado del numerador y del denominador. 7Adicin y sustraccin de fraccionesCuando dos fracciones tienen un comn denominador, pueden sumarse simplemen-te sumando sus numeradores.ac bc a cbUna regla similar se aplica a la sustraccin:ac bc a cbEJEMPLO 5a) 152 1112 5 1211 1162 43b) 23x 25x 32x5 2x2 1x(Note la cancelacin de factores comunes al llegar a las respuestas finales).Cuando dos fracciones con denominadores distintos deben sumarse o restar-se, las fracciones deben en primer lugar reescribirse con el mismo denominador.2 3 x x y2 2 2 x y y2 3 x x y2 2 2 x y y5652 32 5 72 2 3 712 CAPTULO 1 LGEBRA 7. Evalea) 23 145; b) 2x 38xyRespuesta a) 52; b) 43y 25. EJEMPLO 6 Simplifique:a) 56 12 b) 56 34Solucina) Podemos escribir 12 36. Entonces ambas fracciones tienen elmismo denominador, de modo que podemos sumarlas.56 12 56 36 5 63 86 43b) En la parte a), multiplicamos el numerador y el denominador de 12 por 3para obtener un denominador igual al de la otra fraccin. En esta parte, ambas frac-ciones deben modificarse para que tengan un factor comn. Escribimos56 1102 y 34 192Por tanto,56 34 1102 192 10129 112En general, cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores dife-rentes, primero reemplazamos cada fraccin por una equivalente que tenga un de-nominador comn. Con el propsito de mantener los nmeros tan pequeos comosea posible, elegimos el ms pequeo de tales denominadores comunes, denomina-do el mnimo comn denominador (m.c.d.). An obtendramos la respuestacorrecta utilizando un denominador comn ms grande, pero es preferible usar elmnimo denominador posible. Por ejemplo, en la parte b) del ejemplo 6, pudimosemplear 24 como un denominador comn:56 34 2204 1284 202418 224 112La respuesta final es la misma, pero habramos tenido que trabajar con nmeros msgrandes.Para calcular el m.c.d. de dos o ms fracciones, los denominadores deben es-cribirse en trminos de sus factores primos. El m.c.d. se forma entonces tomando to-dos los factores primos que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cadauno de tales denominadores debe incluirse tantas veces como ocurra en cualquiera delos denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de 56 y 34, se encuentra escribiendo losdenominadores en la forma 6 2 3 y 4 2 2. Los factores primos que ocurrenson 2 y 3, pero 2 aparece dos veces en un denominador. De modo que el m.c.d. es2 2 3 12.Como un segundo ejemplo, consideremos el m.c.d. de 5/12x y 7/10x2y. Es-cribimos12x 2 2 3 x y 10x2y 2 5 x x yTomando cada factor el mayor nmero de veces que aparezca, tenemos quem.c.d. 2 2 3 5 x x y 60x2y 81 32 3SECCIN 1-2 FRACCIONES 13 8. En cada caso, cul es mni-mo comn denominador?a) 23 y 56; b) 21xy y 8xyRespuesta a) 6; b) 8xy 26. EJEMPLO 7 Simplifique:a) 6x 34y b) 91x 16 c) ac bdd) e) 3x 31x2 43xySolucina) El m.c.d. es 126x 122x y 34y 3(132y) 192yPor tanto,6x 34y 122x 192y 2x129yb) El m.c.d. en este caso es 18x, de modo que91x 128x y 16 138xxEntonces,91x 16 128x 138xx 218x3xc) El m.c.d. es cdac bd acdd bcdc adcdbc 9d) Aqu tenemos una fraccin cuyo denominador a su vez incluye una frac-cin. Primero simplificamos el denominador:5b b3 15b3 b 143bEntonces la expresin dada es144ba3 4a143b1 4a134b 67abe) Primero simplificamos la expresin que se encuentra entre parntesis. Elmnimo comn denominador es 12x2y.31x2 43xy 124xy2y 129xx2y 4y12x2y9x4a5b b314 CAPTULO 1 LGEBRA 9. Evale y simplifiquea) 23 54; b) 2xy 87yxRespuesta a) 2132; b) 38xy 27. Por tanto la expresin dada es igual a3x 4y12x2y9x 31x 4y12x2y9x 4y36x3y9x(en donde x3 x x2 x x x).Demostraciones de los teoremasConcluimos esta seccin demostrando las propiedades bsicas de las fracciones quehemos utilizado en los ejemplos anteriores.TEOREMA 11b1d b1dDEMOSTRACIN Por definicin, 1b b1 y 1d d1, de modo que1b1d b1 d1Como,(b1 d1) (bd) (b1 b) (d1 d) (usando las propiedades asociativa yconmutativa) 1 1 1Por tanto, b1 d1 debe ser el inverso multiplicativo de db, es decir,b1 d1 b1dcomo se requera.Observacin Este resultado puede reescribirse en la forma (bd)1 b1 d1.TEOREMA 2abdc badcDEMOSTRACINab ab1 a1by tambindc c1dSECCIN 1-2 FRACCIONES 15 28. Por tanto, usando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribirabdc a1b c1d ac 1b 1d acb1d (por el teorema 1) badccomo se peda.TEOREMA 3ab1 baDEMOSTRACIN Por definicin, a/b ab1. Por tanto, por el teorema 1,ab1 (ab1)1 a1(b1)1.Pero (b1)1 b, de modo queab1 a1b ba1 bacomo se requera.TEOREMA 4ab dc ab dcDEMOSTRACIN Por definicin, x y xy1. Por tanto, tenemos las igualda-des:ab dc ab dc1 ab dc (por el teorema 3)TEOREMA 5ab abcc (c 0)DEMOSTRACIN Para cualquier c 0, la fraccin c/c 1, puesto que, por de-finicin c/c cc1. Por tanto, por el teorema 2,abcc ab cc ab 1 abcomo se peda.16 CAPTULO 1 LGEBRA 29. 1. Establezca si cada una de las igualdades siguientes es vlidao no. Reemplace cada proposicin falsa por una verdadera.a) 3x 4x 7xb) 3x 4x 7xc) ab dc badcd) ab dc ef abcdefe) ab dc ef bacdeff) ab dc ef bacdefg) 1a 1b a 1bh) 1 1yi) 67 89 j) 121 2 3 4 52 4 6 8 106 9 7 87 9xx y(2-58) Evale cada una de las siguientes expresiones. Escribalas respuestas en los trminos ms simples.2. 29 65 3. 831454. 34 85 49 5. 25 36 1706. 235x295x 7. 1145xy2254y8. 7x2261yx 9. 23xy(5xy)10. 1181 383 11. 134 16512. 49 23 8 13. 1225 175 27014. 170x 251x 15. (2x) 35xy16. 4 98x 17. 83x 145x18. 32x02 4y 62x5y 19. 52x 34y x122y20. 8xy 23x 25xy 21. 6x2 4yx 32y2SECCIN 1-2 FRACCIONES 17TEOREMA 6ac bc a cb (c 0)DEMOSTRACIN Por definicin,ac ac1 y bc bc1Por tanto,ac bc ac1 bc1 (a b)c1 (por la propiedad distributiva) a cbcomo se requera.EJERCICIOS 1-2 30. 22. 98t 31st 4s 23. 43xy xy 29xy24. 2x 2z 4z 25. 23xt 4xt 23t26. 2z 2z 4z 27. 23xt 4xt 23t28. 16 12 29. 110 11530. 45x 1x0 31. 1x 21x32. 2x 3x 33. 2yx 31x34. 6ab 2ab 35. 6ab 29ab36. 67x 43x2 37. 130yx2 61x38. px2 pyq 39. xy yz xz40. xy yx 41. 3xy2 4y42. 16 2x 2x 43. 16 2x 2x44. 3ab 2ab 2ba 45. 2x 2x 6x46. 9xy 61xy 31xy 47. 14 25 12 1548. 23 112 170 1449. 50.51. 52.53. 54.55. 56.57. ab 23ab 38x 9x 1458. x6y 23 6x 34x52pqp3 8pq24p 1p223ab45b a2b 1b521x 31x41y 51y7x 23x15y 3y2 343 1813 1415 1685 232 4712 1314 1518 CAPTULO 1 LGEBRASi m es un entero positivo, entonces am (lase a a la potencia m o la m-sima po-tencia de a) se define como el producto de m factores a multiplicados a la vez. Porlo queam a a a aEn este producto, el factor a aparece m veces. Por ejemplo,24 2 2 2 2 16 (cuatro factores de 2)35 3 3 3 3 3 243 (cinco factores de 3)En la expresin am, m se llama la potencia o exponente y a la base. As en 24 (lacuarta potencia de 2), 2 es la base y 4 es la potencia o exponente; en 35, 3 es la ba-se y 5 el exponente. Esta definicin de am cuando el exponente es un entero positi-vo es vlida para todos los valores reales de a.Observe el patrn en la tabla 1, en la cual se dan varias potencias de 5 en or-den decreciente. Tratemos de completar la tabla. Notemos que cada vez que el ex-ponente disminuye en 1, el nmero de la derecha se divide entre 5.1-3 EXPONENTES 31. Esto sugiere que la tabla se completara continuando la divisin entre 5 con cada re-duccin del exponente. De esta manera, llegamos a las igualdades siguientes:TABLA 151 5 50 1 51 15 51152 215 512 53 1125 513 54 6125 514Este patrn en forma natural nos conduce a la definicin siguiente de am en el casode que el exponente m sea cero o un nmero negativo.DEFINICIN Si a 0, entonces a0 1 y si m es un entero positivo cualquiera(de modo que m es un entero negativo),am a1mPor ejemplo, 40 1, 370 1, (5)0 1, etc. Asimismo,34 314 811 y (2)5 (12)5 132 312 10De estas definiciones, es posible establecer una serie de propiedades denomi-nadas las leyes de los exponentes, las cuales se enuncian a continuacin.Propiedad 1am an amnEsto es, cuando dos potencias de una base comn se multiplican, el resulta-do es igual a la base elevada a la suma de los dos exponentes. Este resultado valepara cualquier nmero real a, excepto en el caso de que m o n sea negativo, reque-rimos que a 0.EJEMPLO 1a) 52 53 523 55Podemos verificar que esto sea correcto desarrollando las dos potencias del producto.52 53 (5 5) (5 5 5) 5 5 5 5 5 55SECCIN 1-3 EXPONENTES 19 10. Evalea) (15)0; b) (12)3Respuesta a) 1; b) 23 854 62553 12552 2551 550 ?51 ?52 ?53 ?54 ? 32. b) x5 x3 x5(3) x2De nuevo, podemos verificar este resultado desarrollando las dos potencias.x5 x3 (x x x x x) x 1x x x x x2 11Propiedad 2aamn amn (a 0)Esto es, cuando una potencia se divide entre otra con la misma base, el resultadoes igual a la base elevada a un exponente que es la diferencia del exponente que es-t en el numerador y el exponente del denominador.EJEMPLO 2a) 5573 573 54b) 4432 43(2) 432 45c) 332 3312 321 33d) x2xx34 xx234 x24(3) x1 x 12Propiedad 3(am)n amn (a 0 si m o n es negativo o cero)Es decir, una potencia elevada a una potencia es igual a la base elevada al produc-to de los dos exponentes.EJEMPLO 3a) (33)2 33 2 36Podemos comprobar que esto es correcto, dado que(33)2 33 33 333 36b) (42)4 4(2)(4) 48c) x5(x2)1 x5 x(2)(1) x5 x2 x52 x7d) ((xx22))22 xx((22)()(22)) xx44 x44 x8e) x1p (xp)1 x(p)(1) xp 1320 CAPTULO 1 LGEBRA 11. Simplifiquea) 43 45; b) x4 x6 x2Respuesta a) 116; b) 1 12. Simplifiquea) 33 32; b) x4 (x6 x2)Respuesta a) 35 243; b) x8 13. Simplifiquea) 33 (32)2; b) (x4)4 (x3)3Respuesta a) 31 13; b) x7 33. En una expresin, tal como 3c5, la base es c, no 3c. Si necesitamos que la basesea 3c, debemos encerrarla entre parntesis y escribir (3c)5. Por ejemplo 3 23 3 8 24, no es lo mismo que (3 2)3 63 216. Para el caso de que la base es unproducto, tenemos la propiedad siguiente.Propiedad 4(ab)m ambm (ab 0 si m 0)Esto es, el producto de dos nmeros elevados a la m-sima potencia es igual al pro-ducto de las m-simas potencias de los dos nmeros. 14EJEMPLO 4a) 64 (2 3)4 24 34b) (x2y)4 (x2)4y4 x8y4c) (3a2b3)2 32(a2)2(b3)2 9a4b6d) xx28yy64 x2(8)y6(4) x6y2Propiedad 5abm abmm (b 0 y a 0 si m 0)Es decir, el cociente de dos nmeros elevados a la m-sima potencia es igual al co-ciente de las m-simas potencias de tales nmeros.EJEMPLO 5a) 324 3244 b) xy5 xy55 x5y5c) x3xy22 x3(xy2)22 x3yx24 x3(4)y2 x7y2 15EJEMPLO 6 Simplifique las expresiones siguientes, eliminando parntesis y ex-ponentes negativos.a) (xax)75 b) ((xx2z23))23 c) x4(2x 3x2)d) (x1 y1)1 e) x(1xy)y11Solucina) (xax)75 ax5x75 a5x5(7) a5x12y6y4x2x8x2(y3)2(x2)4y4(xy3)2(x2y)4SECCIN 1-3 EXPONENTES 21 14. Evalea) 2 23 y (2 2)3b) 3 22 y (3 2)2Respuesta a) 16 y 64; b) 34 y 316 15. Simplifiquea) 33 (3x)2b) x242 (4x2)2Respuesta a) x32; b) 4x4 34. 22 CAPTULO 1 LGEBRAb) Note que si deseamos evitar exponentes negativos, ambos factores deben dejarse enel denominador.c) x4(2x 3x2) x4(2x) x4(3x2) 2x41 3x42 2x5 3x2d) Primero debemos simplificar la expresin dentro de los parntesis. Eldenominador comn es xy.x1 y1 Ahora recordando que el recproco de una fraccin se obtiene intercambian-do el numerador y el denominador. De modo que(x1 y1)1 1e) y xSolucin alterna (x1 y1) xy x1 xy y1 xy (propiedad distributiva) 1 y 1 x y x 16x1 y1(xy)11x11y1y1x1y1x1x1y1x1 y1x1y1x1 y1(xy)1xyy xy xxyy xxyxxyyxy1y1x1x10z9x4x6z9x(2)(2)(x2)3(z3)3(x2)2(x2z3)3 16. Sera incorrecto porcompleto en el ejemplo 6d)si hubisemos escrito(x1 y1)1 (x1)1 (y1)1 x y. Puede ver porqu esto es incorrecto? Pruebedando dos valores para x y y, talescomo 2 y 4.(1-61) Simplifique las expresiones siguientes. No use parntesisni exponentes negativos en la respuesta final.1. (25)2 2. (34)33. (a3)7 4. (x4)55. (x2)5 6. (x5)27. y2 y5 8. x7 x49. a3 a5 10. b2 b611. (3x)2x7 12. (4x)2x413. (2x)2(2x1)3 14. x23 (4x1)215. (x2yz)3(xy)4 16. (3yz2)2(y3z)317. (x2y)2 18. (ab3)119. (xy2z3)1(xyz)3 20. (x2pq2)2(xp2)121. (2442)2 22. (3335)223. 132 34 24. 153 5225. xx52 26. yy3727. (xx24)3 28. (zz2)8429. ((aa4)2)63 30. ((bb37))3231. ((xx)3)23 32. ((yy21))23EJERCICIOS 1-3 35. 33. (x(x2yy))23 34. (aab2b2)1135. (x23xyy)3 36.37. (33xx)22 38. ((2x22xy2)y3)1239. (2(aa3b1b)32)2 40. ((x3x32yy4)32)241. x2(x4 2x) 42. x3(x1 x)43. 2x(x5 3x1) 44. 3x2(x4 2x3)45. x4(2x2 x 3x2) 46. 2x3(x5 3x4 x)47. (21 x1)1 48. [(2x)1 (2y)1]149. (xy)1(x1 y1)1 50. (a2 b2)151. 7x134x 23x252. x356x1 21x253. 130yx3 152xy 54. 125x3 152x255. 2x12 3x12 56. 4y14 3y1457. x43y 4x y63 58. x4x3 6xx559. y52xy 3xy2 60. 2x x1 x22 5x1261. x1 (x x1)1(ab2c)1a2bc1SECCIN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 23Hemos definido am cuando m es cualquier entero, ahora extenderemos la definicinal caso en que m es un nmero racional arbitrario. Nos gustara hacer esta extensinen tal forma que las propiedades 1 a 5 de la seccin 1-3 continen siendo vlidas,aun en el caso de que m y n no sean enteros.En primer trmino, consideraremos la definicin de a1/ n cuando n es un ente-ro distinto de cero. Para que la propiedad 3 contine vigente cuando m 1/n, de-be ser vlido que(a1/ n)n a(1/ n)n a1 aDe este modo, si hacemos b a1/n, es necesario que bn a.EJEMPLO 1a) 81/3 2 ya que 23 8b) (243)1/5 3 ya que (3)5 243En el caso de que n sea un entero par, surgen dos dificultades con esta defini-cin de a1/n. Por ejemplo, sea n 2 y a 4. Entonces, b 41/ 2 si b2 4. Pero haydos nmeros cuyo cuadrado es igual a 4, es decir, b 2 y b 2. De modo quenecesitamos decidir qu entenderemos cuando escribamos b 41/ 2. En realidad,definiremos 41/ 2 como 2.En segundo lugar, suponga que a es negativo. En tal caso, b a1/ 2 si b2 a.Sin embargo, el cuadrado de cualquier nmero negativo (positivo, negativo o cero)nunca es negativo. Por ejemplo, 42 16 y (3)2 9, y ambos son positivos. Enconsecuencia b2 nunca es negativo para cualquier nmero real b, de modo que cuan-do a 0, a1/ 2 no existe en los nmeros reales. As, (1)1/ 2 o (43)1/ 2 carecen desentido como nmeros reales. Adoptaremos la siguiente definicin.1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 36. DEFINICIN Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o 6) y si a es un nme-ro real no negativo, entonces se dice que b es la n-sima raz principal de a si bn a y b 0. As, la n-sima raz de a es el nmero no negativo el cual, al elevarse ala n-sima potencia, da el nmero a. Denotamos la n-sima raz principal por b a1/n.Si n es un entero positivo impar (tal como 1, 3 o 5) y si a es un nmero realcualquiera, entonces b es la n-sima raz de a si bn a, expresada una vez ms co-mo a1/n. Es decir,b a1/n si bn a; b 0 si n es par.Las races impares estn definidas para todos los nmeros reales a, pero las racespares slo estn definidas cuando a no es negativo.EJEMPLO 2a) 321/5 2 porque 25 32b) (216)1/3 6 ya que (6)3 216c) 161/4 2 porque 24 16 y 2 0d) (729)1/6 3 ya que 36 729 y 3 > 0e) 11/n 1 para todo entero positivo n, porque 1n 1f ) (1)1/n 1 para todo entero positivo impar n, debido a que (1)n 1cuando n es impar.g) (81)1/4 no existe, porque los nmeros negativos slo tienen races n-si-mas cuando n es impar.El smbolo na tambin se utiliza en vez de a1/n. El smbolo se denominasigno radical y na a menudo se llama radical. Cuando n 2, a1/2 se denota sim-plemente por a ms bien que por 2a: se llama la raz cuadrada de a. Tambin,3a a1/3 es la tercera raz de a, por lo regular se le llama raz cbica, 4a a1/4es la raz cuarta de a, etc. Los resultados en el ejemplo 2 pueden volverse a formu-lar utilizando esta notacin:a) 532 2; b) 3216 6; c) 416 2d) 6729 3; e) n1 1 para n un entero positivof) n1 1 para n un entero positivo imparg) 481 no existe 17Ahora estamos en posicin de definir am/n para un exponente racional m/n.24 CAPTULO 1 LGEBRA 17. Evale lo siguiente,si existen: a) (27)1/3b) (64)1/6 c) 532d) (116)1/4 e) 6729f) 1011Respuesta a) 3; b) 2; c) 2; d)y e) no existen; f ) 1 37. DEFINICIN Sea n un enero positivo, m un entero distinto de cero y a un nme-ro real. Entonces,am/n (a1/n)mEs decir, la (m/n)-sima potencia de a es la m-sima potencia de la raz n-sima de a.Observacin Si n es par, a no debe ser negativo. Si m es negativo, a no de-be ser cero.EJEMPLO 3a) 93/2 (91/2)3 33 27b) 41/2 (41/2)1 21 12c) 163/4 (161/4)3 23 18De la parte b) del ejemplo 3, podemos generalizar el resultado siguiente:a1/n Esto se sigue dado quea1/n (a1/n)1 a11/nTEOREMA Si am/n existe, entonces,am/n (am)1/nEs decir, la (m/n)-sima potencia de a es igual a la raz n-sima de la m-sima po-tencia de a.Este teorema, el cual no probaremos, ofrece un mtodo alternativo de calcu-lar cualquier potencia fraccionaria.EJEMPLO 4a) 163/4 (161/4)3 23 8, o 163/4 (163)1/4 (4096)1/4 8b) 363/2 (361/2)3 63 216, o 363/2 (363)1/2 (46,656)1/2 216Observacin Si m/n no est en su mnima expresin, entonces (am)1/n puedeexistir mientras que am/n no. Por ejemplo, sea m 2, n 4 y a 9. Entonces,(am)1/n [(9)2]1/4 811/4 3pero am/n (9)2/4 [(9)1/4]2 no existe.Segn los ejemplos 3 y 4, es claro que cuando evaluamos am/n, es ms fcil extraerla raz n-sima primero y despus elevar a la m-sima potencia; de esa manera1naSECCIN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 25 38. trabajamos con nmeros ms pequeos. En otras palabras, en la prctica calculamosam/n usando la definicin (a1/n) en vez de (am)1/n.Con estas definiciones, es posible demostrar que las leyes de los exponentes,que se establecieron en la seccin 1-3, tambin son vlidas para exponentes fraccio-narios. Las volvemos a escribir y las ilustramos con algunos ejemplos. Reenuncie-mos estas leyes, ya que son muy importantes.1. am an amn 2. aamn amn 3. (am)n amn4. (ab)m ambm 5. abm abmmAl utilizar estas leyes, debemos recordar que tienen algunas restricciones: en cual-quier potencia, si el exponente es negativo, la base no debe ser cero; y si el expo-nente contiene una raz par, la base no debe ser negativa.EJEMPLO 5a) 53 57/2 537/2 513/2b) 42 47/3 427/3 41/3c) (447)/32/2 47/23/2 42 16d) 991/22 91/2(2) 95/2 (91/2)5 35 243e) xx94/4 x9/44 x7/4f) (53)7/6 53(7/6) 57/2g) (34/3)6/5 3(4/3)(6/5) 38/5h) am (am)1 a1m para cualquier nmero racional mi) (36)1/2 (4 9)1/2 41/2 91/2 2 3 6j ) (x2y)1/2 (x2)1/2y1/2 x2(1/2)y1/2 xy1/2k) (3a2/5b4)1/2 31/2(a2/5)1/2(b4)1/2 31/2a1/5b2l) 4ab (ab)1/4 a1/4b1/4 4a 4bm) x/y xy1/2 xy11//22 14n) 2872/3 28722//33 ((28711//33))22 2322 1491 94 1819xy26 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA 18. Simplifique a) 31/3 32/3b) 31/3 (32/3)2; c) (x1/2)3 xd) (x1/3)1/2 x7/6e) (8x)2/5 4x3/5Respuesta a) 3; b) 31; c) x2d) x1; e) x 39. EJEMPLO 6 Encuentre m tal que 3m.Solucin Expresamos ambos lados como potencia de 3. 9313/3 (332)31/3 3323/3 3(2/3)3 37/3Por tanto, m 73EJEMPLO 7 Evale: a) 1 262451/2; b) 647x32/3Solucina) 1 262451/2 2282951/2 1175221/2 117521/2(por la ley 5) 11752 (1/2)(por la ley 3) 11751 1 125b) 6247x32/3 433x332/3 43x32/3(por la ley 5) 43x2 (4x1/3)2 (por la ley 3) 16x12/9 169x2EJEMPLO 8 Simplifique la siguiente expresin:Solucin En expresiones tales como sta, por lo general conviene escribir todaslas bases en trminos de sus factores primos. (por las leyes 3 y 5) (combinando trminos conbases iguales) 124p 33p 53p24p 33p 53p(22p 22p)(3p 32p) 53p(2p 23p)(33p) 53p22p 33p/3 53p 22p 32p23(p/3) 32(3p/2) 23p 53p(22)p (33)p/3 (53)p (23)2p(23)p/3 (32)3p/2 (2 5)3p4p 27p/3 125p 62p8p/3 93p/2 103p4p 27p/3 125p 62p8p/3 93p/2 103p39273927SECCIN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 27 40. (1-6) Encuentre m tal que las proposiciones siguientes sean ver-daderas.1. 832 2m 2. 382 2m3. 328 2m 4. 33 33 3m5. 2 4m 6. 432 2m(7-26) Evale las expresiones siguientes.7. 81 8. 3279. 1196 10. 3 33811. 532 12. 30.12513. (3)2 14. (25)215. (81)3/4 16. (287)4/317. (0.16)1/2 18. (0.16)3/419. 0.1252/3 20. 0.00163/421. (93 163/2)1/6 22. 93/4 31/223. 164/5 82/5 24. 251/3(15)4/325. (27)2/3 (16)1/4 26. (316)1/8 (6)5/4(27-56) Simplifique las expresiones siguientes.27. (16x4)3/4 28. 2674x32/329. (32x5y10)1/5 30. 3287ab3331. 4x3/2 16x1/2 32. (x1/3 x2/5)333. (x1/2 x1/3)2 34. (16x4)1/2 (8x6)1/328 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRAEJEMPLO 9 Simplifique (27 75)/2 12.Solucin Observemos que los tres radicales en esta expresin pueden simplificar-se factorizando un cuadrado perfecto en cada uno de los nmeros.27 9 3 9 3 3375 25 3 25 3 5312 4 3 4 3 23Por tanto, 84 2.EJEMPLO 10 Simplifique: a) x(x3 3x2); b) x3x2xSolucin Exprese los radicales en trminos de exponentes fraccionarios y luegoutilice las propiedades distributivas y las leyes de los exponentes.a) x(x3 3x2) x1/2(x3/2 x2/3) x1/2 x3/2 x1/2 x2/3 x2 x7/6b) x3x2x x1/2x1/32x (x1/2 2x)x1/3 x1/2 x1/3 2x1 x1/3 x1/6 2x2/3 19834333 532(23)27 75212 19. Simplifique a) 34 316b) 33 (39)2c) 4x3 xd) x(x3 3x)Respuesta a) 4; b) 31; c) xd) x2 3xEJERCICIOS 1-4 41. 35. xx31/7/7yy21//55 36. aa42//99bb31//4237. pp31//55qq22//551038.39. 2yx35//42 3xy22//35 40. (2x2y)1/5(41xy2)2/541. 345 20 42. 224 5443. 218 32 44.45. 63 175 411246. 112 63 47. 220 48. 2316 35449. a2/3 a3/4 (a2)1/6 (a11/12)5501252052242882 48(x2y)1/3(xy)1/4(xy2)1/1250. a2/3 b5/7 ab7/8 ab1213//254651. 52.53. xxabc a xxcab54. xxa2bbxxb2cc 55. 56.57. Establezca si las proposiciones siguientes son verdaderas ofalsas.a) 5 2 3 b) 8 2 2c) 21 7 3 d) (3)2 3e) 9 3 f) a2 a para todo real ag) a2 b2 a b si a 0 y b 0h) am an amn i) aamn am/nj) 33a a1/6 k) a2 a si a 028m 35m 103m85m/3 49m 252m(27)2n/3 (8)n/6(18)n/2xcax2axbxc(xab)2(yab)2(xy)2ab23m 32m 5m 6m8m 93m/2 10mSECCIN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 29Cantidades del tipo 2x2 3x 7, 5y3 y2 6y 2 y 2x 3/y 4 se denomi-nan expresiones algebraicas. Los bloques de construccin de una expresin alge-braica se llaman trminos. Por ejemplo, la expresin 2x2 3x 7 tiene tres trmi-nos, 2x2, 3x y 7. La expresin x2y/3 y/x tiene dos trminos, x2y/3 y y/x.En el trmino 2x2, el factor 2 se denomina el coeficiente numrico (o simple-mente el coeficiente). El factor x2 se denomina la parte literal del trmino. En eltrmino 3x, el coeficiente es 3 y la parte literal x. En el trmino x2y/3, el coefi-ciente es 13 y la parte literal es x2y. El trmino 7 no tiene parte literal y se llama tr-mino constante. El coeficiente es 7.Una expresin algebraica que contiene un solo trmino se denomina mono-mio. Una expresin que contiene exactamente dos trminos se llama binomio y laque contiene precisamente tres trminos se denomina trinomio. Los siguientes sonunos cuantos ejemplos de expresiones de estos tipos.Monomios: 2x3, 5y2, 7/t, 3, 2xy/zBinomios: 2x 3, 3x2 5/y, 6x2y 5ztTrinomios: 5x2 7x 1, 2x3 4x 3/x, 6y2 5x tEn general una expresin que contiene ms de un trmino se denomina multinomio.1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 42. Adicin y sustraccin de expresionesCuando 4 manzanas se suman a 3 manzanas obtenemos 7 manzanas. En la mismaforma, 4x 3x 7x. Esto es una simple consecuencia de la propiedad distributiva,dado que4x 3x (4 3)x 7xSi usted compara con la seccin 1-1 ver que aqu utilizamos la ley distributiva ha-cia atrs, esto es, de derecha a izquierda. De una manera similar, podemos sumarcualesquiera dos expresiones cuyas partes literales sean iguales. Simplemente su-mamos los dos coeficientes numricos.EJEMPLO 1a) 2x 9x (2 9)x 11xb) 4ab 3ab (4 3)ab 7abc) 2yx 2xy 2 xy 12 xy 2 12xy 52 xy 52xyDos o ms trminos de una expresin algebraica se dice que son semejantessi tienen las mismas partes literales. Por ejemplo, 2x2y y 5yx2 son semejantes dado quesus partes literales, x2y y yx2, son iguales. De manera similar, los tres trminos3x2yz3, 7x2z3y y z3x2y/2 son trminos semejantes. En general, dos trminos seme-jantes slo pueden diferir en sus coeficientes numricos o en el orden en que apare-cen las variables.Dos o ms trminos semejantes pueden sumarse o restarse usando la propie-dad distributiva, como se ilustr en el ejemplo 1. A continuacin ejemplos adicio-nales.EJEMPLO 2a) 2x3 7x3 (2 7)x3 5x3b) 5x2y 3x2y 2yx2 (5 3 2)x2y 4x2yLos trminos que no son semejantes no pueden combinarse de la manera que acabade verse. As, los trminos en la expresin 2x2 5xy no pueden combinarse para darun trmino individual.Cuando sumamos dos o ms expresiones algebraicas, reagrupamos los trmi-nos de tal manera que dos expresiones que sean semejantes aparezcan juntas. 20EJEMPLO 3 Sume 5x2y3 7xy2 3x 1 y 6 2x 4xy2 3y3x2Solucin La suma requerida es5x2y3 7xy2 3x 1 (6 2x 4xy2 3y3x2) 5x2y3 7xy2 3x 1 6 2x 4xy2 3x2y330 CAPTULO 1 LGEBRA 20. Simplifique las expresionessiguientes:a) 2ab2 4ab2ab) x3 2x (2x3 2x)Respuesta a) 2ab2; b) x3 4x 43. Reagrupando los trminos, de tal manera que los trminos semejantes estn agrupa-dos juntos, obtenemos la suma en la forma siguiente:5x2y3 3x2y3 7xy2 4xy2 3x 2x 1 6 (5 3)x2y3 (7 4)xy2 (3 2)x (1 6) 8x2y3 (3)xy2 1x 5 8x2y3 1 3xy2 x 5EJEMPLO 4 Reste 3x2 5xy 7y2 a 7x2 2xy 4y2 6Solucin En este caso, buscamos7x2 2xy 4y2 6 (3x2 5xy 7y2)Despus de suprimir los parntesis, cada trmino dentro de los parntesis cambia designo. En consecuencia, la expresin anterior es equivalente a la siguiente:7x2 2xy 4y2 6 3x2 5xy 7y2dddd 7x2 3x2 2xy 5xy 4y2 7y2 6 (7 3)x2 (2 5)xy (4 7)y2 6 4x2 3xy (3)y2 6 4x2 3xy 3y2 6Multiplicacin de expresionesLa expresin a(x y) denota el producto de a y x y. Para simplificar esta expre-sin suprimiendo los parntesis, multiplicamos cada trmino dentro del parntesispor el nmero que est afuera, en este caso a:a(x y) ax ayEsto es simplemente por la propiedad distributiva. De manera similar, este mtodofunciona siempre que una expresin algebraica se multiplique por cualquier mono-mio.EJEMPLO 5a) 2(x 3y 7t2) (2)x (2)(3y) (2)(7t2) 2x 6y 14t2b) x2y(x2 3x 5y3) x2y x2 x2y 3x x2y 5y3 x4y 3x3y 5x2y4 21Cuando multiplicamos dos expresiones algebraicas a la vez, la propiedad dis-tributiva puede usarse ms de una vez con la finalidad de suprimir los parntesis.Consideremos el producto (x 2)(y 3). Podemos emplear la propiedad distribu-tivas para quitar los primeros parntesis.(x 2)(y 3) x(y 3) 2(y 3)SECCIN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 31 21. Simplifique las expresio-nes siguientes eliminando los pa-rntesis:a) 3(x 2) x(x 3)b) x3 2x 2x(x2 1)Respuesta a) x2 6; b) x3 44. Para ver esto, slo haga y 3 b. Entonces,(x 2)(y 3) (x 2)b x b 2 b x(y 3) 2(y 3)En general, las propiedades distributivas de la seccin 1-1 funcionan con a, b, creemplazadas por cualesquiera expresiones (como se hace con las otras propiedadesde los nmeros reales). Ahora usamos de nuevo esta propiedad para suprimir los pa-rntesis restantes.x(y 3) xy x 3 xy 3xy asimismo2(y 3) 2y 2 3 2y 6Por tanto, (x 2)(y 3) xy 3x 2y 6En la figura 2 los cuatro trminos (productos) de la derecha pueden obtener-se multiplicando cada uno de los trminos de los primeros parntesis sucesivamen-te por cada uno de los trminos de los segundos parntesis. Cada trmino de los pri-meros parntesis est unido por un arco a cada trmino de los segundos parntesisy el producto correspondiente tambin aparece. Los cuatro productos dan entoncesel desarrollo completo de la expresin. 2232 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA 22. Utilice la propiedad distri-butiva (o mtodo de los arcos) paraeliminar los parntesis:a) (x 2)(x 3)b) (x2 2)(x2 2)Respuesta a) x2 5x 6b) x4 4Tambin pudo hacer lo que se pide con el mtodo PIES de multiplicacin dedos expresiones binomiales. (PIES se establece por Primeros, Internos, Externos,Segundos). Eso es equivalente al mtodo de los arcos descrito aqu. Sin embargo,el mtodo de arcos es mucho mejor ya que puede utilizarlo para multiplicar cuales-quiera dos multinomios.EJEMPLO 6 Desarrolle el producto (3x 4)(6x2 5x 2). (Esto significa su-primir los parntesis).Solucin Usamos la propiedad distributiva:(3x 4)(6x2 5x 2) 3x(6x2 5x 2) 4(6x2 5x 2) (3x)(6x2) (3x)(5x) (3x)(2) (4)(6x2) (4)(5x) (4)(2) 18x3 15x2 6x 24x2 20x 8 18x3 15x2 24x2 6x 20x 8(agrupando trminos semejantes) 18x3 (15 24)x2 (6 20)x 8 18x3 39x2 26x 82y 232yxy 3x23(x 2) (y 3)xy 3xFIGURA 2 45. De forma alterna, podemos obtener la respuesta dibujando arcos que conecten cadatrmino en el primer parntesis con cada trmino dentro del segundo. En este caso,existen seis de tales arcos, dando lugar a seis productos en la expansin en el ladoderecho. (Vase la figura 3).EJEMPLO 7 Simplifique 3{5x[2 3x] 7[3 2(x 4)]}Solucin Con el propsito de simplificar una expresin en la cual intervienenms de un conjunto de parntesis, siempre empezamos con los parntesis que estn msadentro.3{5x[2 3x] 7[3 2(x 4)]} 3{5x[2 3x] 7[3 2x 8]} 3{10x 15x2 21 14x 56} 3{15x2 10x 14x 21 56} 3{15x2 4x 77} 45x2 12x 231Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta frecuen-cia que pueden manejarse como frmulas estndar. Inicialmente, consideremos elproducto (x a)(a b).(x a)(x b) x(x b) a(x b) x2 bx ax ab x2 (b a)x abPor tanto,(x a)(x b) x2 (a b)x ab. (1)EJEMPLO 8a) Tomando a 2 y b 7 en la ecuacin (1), tenemos que(x 2)(x 7) x2 (2 7)x 2 7 x2 9x 14b) (x 3)(x 2) (x 3)(x (2)) x2 [3 (2)]x 3(2) x2 x 6SECCIN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 33(3x 4) (6x2 5x 2)6x24x220x 815x218x318x3 15x2 6x 24x2 20x 8FIGURA 3 46. En la ecuacin (1), si reemplazamos a b por a, obtenemos(x a)(x a) x2 (a a)x a ao bien,(x a )2 x2 2ax a2 (2)Este resultado da el desarrollo del cuadrado de un binomio.El cuadrado de la sumade dos trminos es igual a la suma de los cuadrados de los dos trminos ms el do-ble de su producto.EJEMPLO 9a) (2x 7)2 (2x)2 2(2x)(7) 72 4x2 28x 49b) 3x 4y2 (3x)2 2(3x)4y 4y2 9x2 24yx 1y62Si reemplazamos a a por a en la frmula (2), obtenemos otra frmula.(x a)2 x2 2ax a2 (3)Esto expresa el cuadrado de la diferencia de dos trminos como la suma de los cua-drados de los dos trminos menos el doble de su producto.Por ltimo, si reemplazamos a b por a en la ecuacin (1), obtenemos(x a)(x a) x2 (a a)x a( a) x2 0x a2En consecuencia, tenemos que(x a)(x a) x2 a2 (4)Este resultado establece que el producto de la suma y la diferencia de dos trminoses la diferencia de los cuadrados de los dos trminos.EJEMPLO 10a) (2x 3)(2x 3) (2x)2 32 4x2 9b) (3 2)(3 2) (3)2 (2)2 3 2 1c) (3x 4y)(3x 4y) (3x)2 (4y)2 9x2 16y2 23Divisin de expresionesEn el teorema 6 de la seccin 1-2 vimos que la ley distributiva se extiende a la divi-sin y tenemos las siguientes expresiones generales.a cb ac bc34 CAPTULO 1 LGEBRA 23. Utilice las frmulasestndar (1) a (4) para eliminar losparntesis:a) (x 2)(x 3)b) (x2 y)(x2 y)c) (x x1)2Respuesta a) x2 x 6b) x4 y2; c) x2 2 x2 47. Esta propiedad es til cuando dividimos una expresin algebraica entre un mono-mio, dado que nos permite dividir cada trmino por separado entre el monomio.EJEMPLO 11a) 2x22x4x 22xx2 42xx x 2Observe que dividimos cada trmino entre el factor comn 2x.b) 2xx23 5xx22y 7xx2 x32 2x 5y 7x x32c) 235tt3 253t2 4t 5 2tEn una fraccin, el nmero o expresin algebraica del numerador a menudose denomina el dividendo (lo cual significa que es la cantidad que est siendo divi-dida) y el nmero o expresin por la que es dividido se llama divisor. En la parte b)del ejemplo 11, 2x3 5x2y 7x 3 es el dividendo y x2 es el divisor, mientrasque en la parte c), 25t3 12t2 15t 6 es el dividendo y 3t el divisor.Cuando queremos dividir una expresin algebraica entre un divisor que con-tiene ms de un trmino, con frecuencia usamos un procedimiento denominado di-visin larga. Describiremos este procedimiento para expresiones que slo contie-nen potencias enteras no negativas de una sola variable. (Tales expresiones se cono-cen por polinomios).EJEMPLO 12 Divida 23 11x2 2x3 entre 2x 3Solucin Aqu 23 11x2 2x3 es el dividendo y 2x 3 es el divisor. Antes deque empecemos la divisin, los trminos en el dividendo y en el divisor deben arre-glarse en orden decreciente de las potencias de x y llenar con coeficientes cero laspotencias faltantes. En consecuencia, el dividendo debe escribirse como 2x3 11x2 0x 23.x2 4x 6 CocienteDivisor 2x 32x3 11x2 0x 23 Dividendo Residuo2x3 3x2 8x2 0x 23 8x2 12x 12x 23 12x 18563t15t3t12t23t25t3 12t2 15t 63t2x3 5x2y 7x 3x2SECCIN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 35 48. Los detalles de la divisin larga se acaban de mostrar y se explican de la manera si-guiente: en primer lugar, dividimos 2x3 (el primer trmino en el dividendo) entre 2x(el primer trmino en el divisor), obteniendo 2x3/2x x2. Esto da el primer trmi-no del cociente.Multiplicamos el divisor, 2x 3, por el primer trmino del cocien-te, x2, para obtener 2x3 3x2. Restamos esto al dividendo, obtenemos la diferencia8x2 0x 23. Para obtener el siguiente trmino del cociente, dividimos el pri-mer trmino de esta diferencia, 8x2, entre 2x, el primer trmino del divisor. Estoda 8x2/2x 4x, el cual se convierte en el segundo trmino del cociente. Multi-plicamos otra vez el divisor por este segundo trmino, 4x, con lo que obtenemos8x2 12x; restamos esto a 8x2 0x 23, los cuales nos dan la siguiente dife-rencia, 12x 23. Continuamos este procedimiento hasta que obtengamos unadiferencia cuya mxima potencia sea menor que la correspondiente al divisor.Llamamos a este ltima diferencia el residuo. La respuesta puede escribirse en laforma2x3 2x11x23 23 x2 4x 6 2x5 3 24En general, tenemos Cociente Observacin Esta forma de escribir el resultado de la divisin larga es lamisma que usamos en aritmtica.Por ejemplo, consideremos la fraccin 627/23, enla cual el dividendo es 627 y el divisor es 23. Por divisin larga ordinaria encontra-mos que el cociente es 27 y el residuo es 6.Divisor Divisor Cociente ResiduoPor tanto, escribimos62237 27 263Ahora, en vez de dividir 627 entre 23, intente dividir 6x2 2x 7 entre 2x 3. Cuando x 10 estas cantidades son lo mismo. Debe encontrar un cociente de 2x 7 y un residuo de 6. La divisin algebraica larga es un reflejo de la divisin arit-mtica.Si multiplicamos ambos lados de este clculo por 23, obtenemos el resultado627 (27 23) 61616461672723627ResiduoDivisorDividendoDivisor36 CAPTULO 1 LGEBRA 24. Por medio del uso de ladivisin larga, simplifique(3x2 11x 4) (x 3)Respuesta Cociente 3x 2residuo 2 49. (1-56) En los ejercicios siguientes, efecte la operacin indica-da y simplifique.1. (5a 7b 3) (3b 2a 9)2. (3x2 5x 7) ( 2 6x 7x2 x3)3. (2a 5b) (3a 2b)4. (4xy 5x2y 6x3) (3y3 6xy2 7xy x3 2x2y)5. (7t2 6t 1) (3t 5t2 4 t3)6. (x2 3xy 4y2) (2x2 xy 3y2 5)7. (2x 2y) (x 22y)8. (5xy 3) (2 4xy)9. 4(2x 3y) 2(5y 3x)10. 2(x 4y) 3(2x 3y)11. (x 7y) 2(2y 5x)12. 3(x2 2xy y2) (2xy x2 2y2)13. x(2x2 3xy y2) y(5x2 2xy y2)14. a2b(a3 5ab b3) 2ab(a4 2a2b b3a)15. (x 3)(y 2)16. (x 4)(y 5)17. (2x 1)(3y 4)18. (5x 2)(2y 5)19. (a 2)(3a 4)20. (x 3y)(2x y)21. (x 3)(2x2 5x 7)22. (a 2b)(a2 2ab b2)23. (x 4)(x 4)24. (y2 2)(y2 2)25. (2t 5x)(2t 5x)26. (a b)(a b)27. (x 3y)(x 3y)28. (5x 2y)(5x 2y)29. (x y z)(x y z)30. (x 2y z)(x 2y z)31. (x2 1)(x3 2)32. (y2 2y)(y3 2y2 1)33. x2 1x(x3 2x)34. 2xy xyxy2 2xy35. (y 6)2 36. (x 5)237. (2x 3y)2 38. (4x 5y)239. (2x 3y)2 40. (x 2y)241. (2x 3y)2 (2x 3y)242. 3[(x y)2 (x y)2]43. xy[(x y)2 (x y)2]44. (3a b)2 3(a b)2SECCIN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 37Este es un ejemplo del resultado generalDividendo (Cociente)(Divisor) ResiduoEste es un resultado til, porque nos permite verificar la respuesta de cual-quier divisin larga. Podemos utilizar este resultado para comprobar el ejemplo 12.2x3 11x2 23 (x2 4x 6)(2x 3) 5Dividendo (Cociente)(Divisor) Residuo 25 25. Verifique si es correcta lasiguiente divisin larga:3x2 x 3x2 10 3x 3 x 42Respuesta Debe verificar que3x2 3x 10 (3x 3)(x 2) 4.Esto no es correcto. (El residuo debeser 4)EJERCICIOS 1-5 50. 45. 3{x2 5[x 2(3 5x)]}46. 2{a2 2a[3a 5(a2 2)]} 7a2 3a 647. 2a{(a 2)(3a 1) [a 2(a 1)(a 3)]}48. (a 3b)(a2 3ab b2) (a b)2(a 2b)49. 4x32x3x2 50. 15x55x225x351. x3 7x2x25x 452.53. 54.t3 2t2 3t 1ttt2 2t 7ty4 6y3 7y2 9y 33y255. 6x2y2xy8xy2 x3y2x2y22x2y356. 3x43x39yx2y2 4x32x2y8xy2(57-64) Simplifique por medio de la divisin larga:57. (x2 5x 6) (x 2)58. (6x2 x 1) (3x 1)59. (t2 1) (t 1)60. (6x2 5x 1) (2x 3)61. (x3 2x2 x 5) (x 2)62. x3 (x 1)63. (2x3 3x2 4x 6) (2x 1)64. (6x3 11x2 19x 5) (3x 2)38 CAPTULO 1 LGEBRA1-6 FACTORIZACINSi el producto de dos enteros a y b es c, es decir, c a b, entonces a y b se lla-man factores de c. En otras palabras, un entero a es un factor de otro entero c si adivide exactamente c. Por ejemplo, 2 y 3 son factores de 6; 2, 3, 4 y 6 son factoresde 12; etctera.Esta terminologa tambin se emplea para expresiones algebraicas. Si dos (oms) expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas expresiones se dice queson factores de la expresin que se obtuvo como producto. Por ejemplo, la expre-sin 2xy se obtuvo multiplicando 2, x y y, de modo que 2, x y y son los factores de2xy. Ms an, por ejemplo, 2y es un factor de 2xy ya que 2xy puede obtenerse mul-tiplicando 2y por x.De manera similar, x es un factor de la expresin 2x2 3x puesto que pode-mos escribir 2x2 3x x(2x 3) y x2 es un factor de 6x2 9x3 ya que podemosescribir 6x2 9x3 x2(6 9x).El proceso de escribir una expresin dada como el producto de sus factores sellama factorizacin de la expresin. En esta seccin, examinaremos ciertos mto-dos mediante los cuales podemos factorizar expresiones algebraicas.La primera etapa en la factorizacin de una expresin algebraica es extraer to-dos los monomios que sean comunes a todos los trminos.El ejemplo siguiente ilus-tra esto.EJEMPLO 1 Factorice todos los monomios comunes de las expresiones siguien-tes.a) x2 2xy2b) 2x2y 6xy2c) 6ab2c3 6a2b2c2 18a3bc2 51. Solucina) Escribamos cada trmino en la expresin dada en trminos de sus factoresbsicos.x2 x x 2xy2 2 x y yObservando las dos listas de factores bsicos, advertimos que x es el nico factor co-mn a ambos trminos. De modo que escribimosx2 2xy2 x x x 2y2 x(x 2y2)Note cmo la propiedad distributiva se utiliza para extraer el factor comn, x.b) Expresando cada trmino en trminos de sus factores bsicos, tenemos2x2y 2 x x y y 6xy2 2 3 x y yLos factores 2, x y y, aparecen en ambas listas, por lo que el factor comn es 2xy.Esto da2x2y 6xy2 2xy x 2xy 3y 2xy(x 3y)de nuevo, usando la propiedad distributiva.c) Primero factorizamos los trminos:6ab2c3 2 3 a b b c c c6a2b2c2 2 3 a a b b c c18a3bc2 2 3 3 a a a b c cEl factor comn de estos tres trminos es 2 3 a b c c 6abc26ab2c3 6a2b2c2 18a3bc2 6abc2 bc 6abc2 ab 6abc2 3a2 6abc2(bc ab 3a2) 26Ahora abordaremos el problema de extraer factores que son expresiones bino-miales de expresiones algebraicas de diversos tipos. Algunas de las frmulas esta-blecidas en la seccin 1-5 son tiles en la factorizacin, en particular la frmula si-guiente.a2 b2 (a b) (a b) (1)Esta frmula puede usarse para factorizar cualquier expresin que sea reducible a ladiferencia de dos cuadrados.EJEMPLO 2 Factorice completamente: a) x2y4 9; b) 5x4 80y4Solucin a) La expresin dada puede escribirse como(xy2)2 32SECCIN 1-6 FACTORIZACIN 39 26. Saque todos lo factorescomunes dea) 12ab 8a2bb) 4xyz 6x2z 12xy2c) x(3x 1)2 y(3x 1)2Respuesta a) 4ab(3 2a)b) 2x(2yz 3xz 6y2)c) (3x 1)2(x y) 52. que es una diferencia de dos cuadrados.Usando la frmula (1) con a xy2 y b 3,tenemosx2y4 9 (xy2)2 32 (xy2 3) (xy2 3)Ninguna de las expresiones entre parntesis en el lado derecho puede factorizarsean ms.b) Antes que todo, verifiquemos si podemos factorizar algn monomio de5x4 80y4.En este caso, dado que el trmino es divisible entre 5, sacamos el factorcomn 5.5x4 80y4 5(x4 16y4)La expresin x4 16y4 es una diferencia de cuadrados.5x4 80y4 5[(x2)2 (4y2)2] 5[(x2 4y2)(x2 4y2)] 5[(x2 4y2)(x2 4y2)La factorizacin no est completa, porque x2 4y2 x2 (2y)2 puede factorizarseaun como (x 2y)(x 2y). En consecuencia, nos falta un paso.5x4 80y4 5(x2 4y2)(x2 4y2) 5(x 2y)(x 2y) (x2 4y2) 27Observaciones 1. La frmula (1) nos permite factorizar cualquier expresinque tenga la forma de una diferencia de cuadrados. No existe una frmula corres-pondiente para expresar la suma a2 b2 como el producto de dos o ms factores.Una expresin que contiene la suma de dos cuadrados, tal como a2 b2 o 4x2 9y2, no puede factorizarse.Sin embargo, expresiones tales como a3 b3, a4 b4, etc., que contienen lasuma de dos potencias ms altas pueden factorizarse. Esto se examina despus.2. Podemos escribirx2 2 x2 (2)2 (x 2)(x 2)Por lo regular es aceptable incluir nmeros irracionales (como 2) en los factores.Sin embargo, preferimos no usar expresiones que incluyan a x como factores.Porejemplo, como regla no escribiremosx 4 (x)2 22 (x 2) (x 2)Una tcnica til al factorizar expresiones algebraicas que contienen un nme-ro par de trminos es el mtodo de agrupamiento. En este mtodo, los trminos seagrupan en parejas y los monomios comunes se extraen de cada par de trminos.Es-to a menudo revela un factor binomial comn a todas las parejas.Este mtodo es enparticular til para expresiones que contienen cuatro trminos.40 CAPTULO 1 LGEBRA 27. Utilice la frmula para ladiferencia de cuadrados, parafactorizar 2x2 4Respuesta (2x 2)(2x 2)o bien 2(x 2)(x 2) 53. EJEMPLO 3 Factorice ax2 by2 bx2 ay2Solucin Podemos agrupar los trminos de la expresin dada en aquellos que tie-nen a x2 como factor y en aquellos que tienen a y2 como factor:(ax2 bx2) (ay2 by2)Cada trmino dentro de los primeros parntesis es divisible entre x2, y cada trminoen los segundos parntesis es divisible entre y2; por tanto, podemos escribir esta ex-presin comox2(a b) y2(a b)Note que (a b) es comn a ambos trminos. As,x2(a b) y2(a b) (a b)(x2 y2)De aqu que la expresin dada tenga los factores (a b) y (x2 y2)EJEMPLO 4 Factorice la expresin 2x3y 4x2y2 8xy 16y2Solucin Observemos en primer lugar que los trminos de esta expresin tienenun monomio como factor comn 2y, y podemos escribir2x3y 4x2y2 8xy 16y2 2y(x3 2x2y 4x 8y)Dentro de los parntesis, agrupamos juntos los primeros dos trminos y extraemosel factor comn x2; tambin agrupamos los dos ltimos trminos y sacamos el fac-tor comn 4.x3 2x2y 4x 8y x2(x 2y) 4(x 2y)x2 es comn 4 es comn (x 2y) (x2 4)Observe que este mismo resultado pudo obtenerse agrupando el primer y el tercertrmino y el segundo con el cuarto.x3 4x 2x2y 8y x(x2 4) 2y(x2 4)x es comn 2y es comn (x2 4) (x 2y)Regresando a la expresin original, tenemos2x3y 4x2y2 8xy 16y2 2y(x 2y)(x2 4)No es posible factorizar an ms las expresiones de la derecha, de modo que aqutermina la factorizacin. 28Un tipo importante de factorizacin que aparece con frecuencia requiere ha-llar los factores de expresiones del tipox2 px qSECCIN 1-6 FACTORIZACIN 41 28. Por agrupacin, factoricela expresin x3 2x2 9x 18Respuesta (x 2)(x2 9) (x 2)(x 3)(x 3) 54. donde p y q son constantes. A menudo tales expresiones pueden escribirse como elproducto de dos factores (x a) y (x b), siendo a y b dos nmeros reales. Porejemplo, puede comprobarse de inmediato que x2 3x 2 (en la cual p 3 yq 2) es igual al producto de x 1 y x 2:x2 3x 2 (x 1)(x 2)En este caso, a 1 y b 2En general, si p y q estn dados; deseamos encontrar a y b tales quex2 px q (x a )(x b)Pero vimos en la seccin 1-5 que(x a)(x b) x2 (a b)x aby, por tanto,x2 px q x2 (a b)x abEstas dos expresiones son iguales con tal que a b p y ab q. De modo que,con el propsito de determinar a y b, debemos encontrar dos nmeros cuya sumasea igual a p y su producto igual a q. En trminos de la expresin original x2 px q, la suma a b es igual al coeficiente de x y el producto ab es igual al trminoconstante.El procedimiento para encontrar a y b consiste en examinar todos los posiblespares de enteros cuyo producto sea igual a q. Seleccionamos entonces el par (si esque existe) cuya suma sea el coeficiente de x.EJEMPLO 5 Factorice x2 7x 12Solucin Aqu p 7 y q 12. Debemos encontrar dos nmeros a y b tales queel producto de a y b sea 12 y cuya suma sea 7. Consideremos todas las posibles pa-rejas que factorizan a 12.a 1 b 12 a b 13a 1 b 12 a b 13a 2 b 6 a b 8a 2 b 6 a b 8a 3 b 4 a b 7a 3 b 4 a b 7De la lista anterior, advertimos que la eleccin adecuada es a 3 y b 4. Por tanto,x2 7x 12 (x 3)(x 4)Observacin La eleccin a 4 y b 3 da exactamente la misma pareja defactores.EJEMPLO 6 Factorice (a) x2 5x 6; (b) 3x2 3x 642 CAPTULO 1 LGEBRA 55. Solucina) La factorizacin de x2 5x 6 se logra, si encontramos dos factores de6 (el trmino constante) cuya suma sea 5 (el coeficiente de x). Los factores po-sibles de 6 son (1)(6), (1)(6), (2)(3) y (2)(3).Los dos factores de 6 cuya su-ma es 5 son 2 y 3. De esta manera, hacemos a 2 y b 3.x2 5x 6 (x a) (x b) [x (2)][x (3)] (x 2)(x 3)b) Observemos en primer lugar que un factor comn es 3:3x2 3x 6 3(x2 x 2)Para factorizar x2 x 2, debemos encontrar dos factores de 2 (el trmi-no constante) cuya suma sea 1 (el coeficiente de x). Los factores posibles de 2son 1( 2) y (1)(2). Slo los factores 1 y 2 suman 1, esto es, 1 (2) 1. En consecuencia,x2 x 2 (x 1)[x (2)] (x 1)(x 2)Por tanto, nuestra expresin original puede factorizarse de la manera siguiente3x2 3x 6 3(x2 x 2) 3(x 1)(x 2)EJEMPLO 7 Factorice x2 6x 9.Solucin Tenemos que p 6 y q 9. Es claro que los dos factores de 9 cuya su-ma es 6 son 3 y 3. As, la expresin dada tiene factores x 3 y x 3; por tanto,x2 6x 9 (x 3)(x 3) (x 3)2 29Consideremos ahora el problema de factorizar una expresin de la formamx2 px qen donde m, p y q son contantes distintas de cero y m 1 o 1. En este caso, elprimer paso consiste en encontrar dos factores del producto mq que tengan una su-ma igual a p, el coeficiente de x. Despus expresamos p como la suma de esos dosfactores. Esto transforma la expresin dada en la suma de cuatro trminos. stospueden considerarse de dos en dos y factorizarse por el mtodo de agrupamiento.Este mtodo se ilustra en los ejemplos 8 y 9.EJEMPLO 8 Factorice 3x2 11x 6Solucin En esta expresin, los coeficientes son m 3, p 11 y q 6. El pro-ducto del coeficiente de x2 y el trmino constante es mq 3(6) 18.Debemos en-contrar dos factores de este producto 18 que tengan una suma igual a 11, el coefi-ciente de x. Es claro que, los dos factores adecuados son 9 y 2. En consecuencia, enla expresin dada, expresamos el coeficiente de x, 11, en la forma 9 2 y escribi-mos3x2 11x 6 3x2 (9 2)x 6 3x2 9x 2x 6SECCIN 1-6 FACTORIZACIN 43 29. Factoricea) 4x2 16x 16; b) x2 x 12Respuesta a) 4(x 2)2b) (x 3)(x 4) 56. Podemos sacar a 3x como factor comn de los dos primeros trminos y 2 como fac-tor comn de los trminos restantes.3x2 11x 6 3x(x 3) 2(x 3) (x 3)(3x 2)Obsrvese que, en el ltimo paso, se extrajo x 3 como factor comn de los dostrminos.EJEMPLO 9 Factorice 6x2 5x 4Solucin El producto del coeficiente de x2 y del trmino constante es 6(4) 24. Debemos encontrar dos factores de 24 que sumados den 5, el coeficien-te de x. Sin duda, los dos factores de 24 cuya suma es 5 son 3 y 8. Por tanto,escribimos 5 como 8 3 en la expresin dada. Esto da la factorizacin si-guiente:6x2 5x 4 6x2 (8 3)x 4 6x2 8x 3x 4 2x(3x 4) 1(3x 4) (3x 4)(2x 1) 30EJEMPLO 10 Factorice 2(x y)2 5(x y) 3Solucin Sea z x y. Entonces la expresin dada se transforma en2z2 5z 3El producto de los coeficientes externos es 2 3 6. Dos nmeros cuyo productoes 6 y su suma es 5 son 2 y 3. De modo que escribimos2z2 5z 3 2z2 2z 3z 3 2z(z 1) 3(z 1) (2z 3)(z 1) (2x 2y 3)(x y 1)despus de reemplazar z con x y en el ltimo paso.Las dos frmulas siguientes son tiles al factorizar una expresin la cual pue-de expresarse como una suma o como una diferencia de dos cubos.a3 b3 (a b)(a2 ab b2) (2)a3 b3 (a b)(a2 ab b2) (3)Estas frmulas pueden comprobarse multiplicando las dos expresiones de la dere-cha. De forma alterna pueden determinarse por medio de la divisin larga de (a3 b3) (a b). (Vanse los ejercicios del 57 al 64 en la seccin 1-5).EJEMPLO 11 Factorice 8x3 27y3Solucin Usamos la frmula (2).8x2 27y3 (2x)3 (3y)3 (2x 3y)[(2x)2 (2x)(3y) (3y)2] (2x 3y)(4x2 6xy 9y2)44 CAPTULO 1 LGEBRA 30. Factorice a) 4x2 9x 2b) 6x2 x 12Respuesta a) (x 2)(4x 1)b) (2x 3)(3x 4) 57. Note que la expresin 4x2 6xy 9y2 no puede factorizarse an ms porque elproducto del coeficiente de x2 y el trmino constante es 4(9y2) 36y2, el cual nopuede expresarse como el producto de dos factores cuya suma sea 6y, el coefi-ciente de x. 31EJEMPLO 12 Factorice la expresin(m n)4(m n) (m n)4 (m n)Solucin Primero haga x m n y y m n. Entonces, la expresin dada esx4y y4x xy(x3 y3) xy(x y)(x2 xy y2)Ahora, x y m n (m n) 2n yx2 xy y2 (m n)2 (m n)(m n) (m n)2 (m2 2mn n2) (m2 n2) (m2 2mn n2) 3m2 n2Por tanto, la expresin dada se factoriza comoxy(x y)(x2 xy y2) 2n(m n)(m n)(3m2 n2) 32Observacin De acuerdo con las frmulas (2) y (3), la suma y la diferenciade dos cubos siempre puede factorizarse.De hecho, toda expresin del tipo an bno an bn puede factorizarse para todos los enteros n 2 con la nica excepcin dela suma de dos cuadrados, a2 b2. Por ejemplo,a4 b4 (a2 b2)(a2 b2) (a b)(a b)(a2 b2)a5 b5 (a b)(a4 a3b a2b2 ab3 b4)a4 b4 (a2 2ab b2)(a2 2ab b2)etctera.Resumen de factorizacin:1. El primer paso al factorizar una expresin algebraica es extraer todos losmonomios comunes.2. Si observa entonces un factor que es la diferencia de dos cuadrados, ladiferencia de dos cubos o la suma de dos cubos, utilice las frmulas (1),(2) o (3) con el propsito de factorizar an ms.3. Para factorizar una expresin con cuatro trminos, deber usar el mtodode agrupamiento.4. Un trinomio del tipo mx2 px q a menudo puede factorizarse como elproducto de dos factores del tipo (ax b)(cx d), como ya se esboz.SECCIN 1-6 FACTORIZACIN 45 31. Factorice 24x4 3xRespuesta 3x(2x 1)(4x2 2x 1) 32. Factorice 6(x 2y)7/3(3x y)5/4 2(x 2y)4/3(3x y)9/4Respuesta 14y(x 2y)4/3(3x y)5/4 58. (1-79) Factorice por completo las siguientes expresiones.1. 3a 6b 2. 2x2 10xy 4x33. 4xy 6yz 4. 5x2y 10xy25. 2u a 2 au 6. px qy py qx7. xy 4x 2y 8 8. pq 6q 3p 189. 3x py 3y px 10. 2px 3y py 6x11. 6xz 16y 24x 4yz12. 15ac 9ad 30bc 18bd13. x2 16 14. 4y2 2515. 3t2 108a2 16. 5x2 20y217. x3y 25xy3 18. x5 4x3y219. x2 3x 2 20. x2 5x 621. x2 x 2 22. x2 7x 1223. x2 x 2 24. x2 8x 1225. x2 15x 54 26. x2 14x 4827. x2 12x 11 28. x2 9x 2029. 2x2 2x 12 30. 3x2 6x 331. 5y4 25y3 70y2 32. 12x 7x2 x333. 2x2 5x 3 34. 6x2 10x 435. 9 12x 4x2 36. 9t2 12t 437. 5x2 17x 6 38. 2t2 3t 1439. 10x2 11x 6 40. 2t2 7t 641. 3q2 20q 32 42. 10p2 3p 1843. 6x3y 4x2y 10xy 44. (x3 9x) (45 5x2)45. x2 6xy 5y2 46. x2 4xy 5y247. p2 pq 20q2 48. s2 7st 30t249. 2t2 tu 6u2 50. 2x2 9xy 10y251. 6a2 ab 15b2 52. 18u2 15uv 12v253. x3 27 54. 8t3 12555. 27u3 83 56. 128x3 5457. 64x4y2 27xy558. x2y2 a2y2 b2x2 a2b259. x2y2 9y2 4x2 3660. 5u22 202 15u2 6061. x2z2 4z2 x4 4x262. ax3 by3 bx3 ay363. x3 y3 x2y xy2 64. x3y 8 8y x365. (x y)3(3x 2y)4 2(x y)4(3x 2y)366. 2(a b)2 (a b)3 5(a b)2 (a b)367. (x y)2 3(x y) 268. 2(x y)2 5(x y) 269. 3(a b )2 5(a b) 270. 2(p q)2 (p q) 171. 3x2n 7xn 2 72. x6 y673. x6 8y6 74. x4 16y475. (2x 1)2 (x 3)(x 1)76. 5 (2x 3)2 (3x 2)(x 1)*77. x4 4y4 *78. 16a4 b4*79. x5 y546 CAPTULO 1 LGEBRA1-7 FRACCIONES ALGEBRAICASEJERCICIOS 1-6El trmino fraccin algebraica se emplea por lo general para indicar la razn dedos expresiones que contienen una o ms variables, tales como las siguientes:x2 2x7x 35 y x2yxxyy2 59. Con el propsito de que una expresin algebraica tenga sentido, se dar porhecho que la variable o variables no tomen valores que hagan que el denominadorde la fraccin sea cero.As, en la fraccin de la izquierda, x 32, pues si x 32,2x 3 2(32) 3 3 3 0, y el denominador sera cero.De manera simi-lar, en la fraccin de la derecha, y x.En esta seccin, estudiaremos mtodos para simplificar fracciones algebraicasy examinaremos la adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin de dos o ms detales fracciones. La factorizacin desempea un papel importante en tales operacio-nes, como se aclarar en los ejemplos siguientes. Los principios bsicos involucra-dos son los mismos que se describieron cuando se simplificaron fracciones en laseccin 1-2.Simplificacin de fraccionesEJEMPLO 1 Simplifique 46x2102x0x4x224Solucin En primer lugar, factorizamos por completo las expresiones que apare-cen en el numerador y en el denominador. En este caso, tenemos4x2 20x 24 4(x2 5x 6) 2 2(x 2)(x 3)y asimismo6 10x 4x2 2(2x2 5x 3) 2(2x 1)(x 3)Note que al factorizar el denominador, primero hicimos que el coeficiente de x2 fue-ra positivo, de modo que los trminos en x sean positivos tanto en el numerador co-mo en el denominador. Por tanto,46x2102x0x4x224 Observe que hemos dividido el numerador y el denominador entre los factores 2 yx 3, los cuales aparecen tanto en el numerador como en el denominador.Esta can-celacin de factores se justific en la seccin 1-2 (vase la pgina 10 y el teorema5). Puede hacerse para factores binomiales como (x 3) en este ejemplo as comopara factores que son monomios. (Tales factores siempre deber ser dife