Apuntes y Problemas de Matemticas Especiales 89

Temas 28, 29 y 30: Integrales indefinidas y definidasPrimitiva de una funcin; mtodos de integracin: por partes, por cambio de variable,

integracin de funciones racionales y de funciones trigonomtricas; integral definida; laintegral como rea

Primitiva de una funcin; integracinDel mismo modo que sacar la raz cuadrada es la operacin inversa a elevar al cuadrado, integrar es la

inversa de diferenciar (o, si se quiere, de derivar).Integrar consiste en, dada una funcin derivada, calcular la funcin primitiva que al derivarla produce

esa funcin derivada original. Por ejemplo, supongamos que nos dicen que f x 6x2 es la derivada decierta funcin, y nos piden calcular cul era esa funcin primitiva. Est claro que era f x 2x3; la pruebaes que al derivar f x 2x3 obtenemos f x 6x2. En realidad hay un nmero infinito de funcionesprimitivas que al derivarlas dan f x 6x2; as, por citar tres ejemplos: f x 2x3 3, f x 2x3 45 ,f x 2x3 a4 . Como observamos, la nica diferencia entre todas ellas es un nmero (3, - 45 , etc.).Para tener esto en cuenta, siempre que integremos agregaremos al resultado la constante k .

Simbolismo de la integralEn el captulo dedicado a las derivadas comentamos que la forma ms correcta de expresar la derivada

de una funcin f x es df x dx (aunque admitamos la simplificacin f x ). Supongamos el ejemploanterior: la derivada de una funcin f x es 6x2 y queremos conocer cunto vale la funcin. Eso losimbolizaremos as:

df x dx 6x

2 Para calcular f x procedemos as (despejando primero df x y realizandoluego la operacin integral (que se representa con el smbolo ) en los dos miembros):

df x 6x2dx df x 6x2dx Una integral y una diferencial se anulan (como una razcuadrada se anula al elevarla al cuadrado), y por tanto el primer miembro queda simplemente f x .

Por lo tanto, una expresin del tipo f x 6x2dx es la que encontraremos siempre que nos planteenresolver una integral. Hay que tener en cuenta que lo que hay que integrar es 6x2, haciendo caso omisoa dx, cuya aparicin en la integral acabamos de explicar. La operacin, con todo lo visto, queda as:

f x 6x2dx 2x3 k

Integrales inmediatasHay integrales que se resuelven de forma inmediata, como la anterior. En general, las integrales

polinmicas son muy sencillas. Hay una regla simple para integrar monomios, que es:

xndx xn 1

n 1 k

Otra regla a tener en cuenta es que cuando una constante (un nmero) multiplica al resto de unafuncin, la constante puede sacarse de la integral directamente; por ejemplo:

6x2dx 6 x2dx 6 x3

3 k 2x3 k

Y una tercera regla importante es que la integral de una suma de funciones (o una resta) es la suma (oresta) de las integrales (no pudindose aplicar regla parecida a productos o cocientes).

Con todo ello debe quedar clara la resolucin de la integral del siguiente ejemplo:

6x2 5x 1

dx 2x3 52 x2 x k

(Comprobar si una integral est bien hecha es fcil: basta derivar la expresin obtenida para ver si seobtiene la original; as, la derivada de 2x3 52 x2 x k est claro que es 6x2 5x 1)

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Veremos una integral inmediata tpica que aparece a menudo y que se relaciona con el logaritmoneperiano: si nos dan para integrar un cociente y el numerador es la derivada del denominador, entonces laintegral es inmediata: es el ln del denominador. Por ejemplo:

2xx2 3

dx ln|x2 3| k (se ponen las barras de valor absoluto porque tanto vale ln x2 3 comoln x2 3 y esto ocurre siempre). Prubese que la integral est bien hecha.

En muchos casos nos enfrentamos con integrales de este tipo que no son completamente inmediatas,pero casi si hacemos alguna sencilla manipulacin algebraica previa que tenemos que idear. Porejemplo:

7xx2 3

dx en este caso el numerador no es la derivada del denominador, pero casi. Procederemosen casos como este como sigue (buscando que en el numerador aparezca 2x, pues nos interesa, ya quees la derivada del denominador):

7xx2 3

dx

7x 22

x2 3dx

2x 72x2 3

dx

72

2xx2 3

dx 72

2xx2 3

dx 72 ln|x2 3| k

Haremos una ltima integral inmediata:

3cosxdx 3senx k (algo que es evidente tras sacar la constante de la integral, pues como laderivada del seno es el coseno, la integral del coseno debe ser el seno).

Integrales no inmediatas: mtodos para resolverlasLa mayora de las veces las integrales no sern inmediatas. Veremos algunos mtodos para resolverlas.

Integracin por partesSe suele aplicar cuando el integrando es un producto de funciones. Se basa en la siguiente frmula (a

la que se llega fcilmente a partir de la derivada de un producto de funciones):

udv uv

vdu

Se trata de identificar en una integral dos partes: a una la llamaremos u y a la otra dv. Puede hacersecomo se quiera (o se intuya: la nica condicin es que la parte dv contenga a la dx de la integral). Loveremos con un ejemplo.

Resolver la integral I

3x2exdx

Las partes pueden hacerse como se quiera, pero normalmente la integral no sale si las hemosescogido mal (y en ese caso se tomaran de otra manera). Aqu haremos las partes as:

u 3x2 dv exdx

Un consejo: las partes deben tomarse de tal manera que sea muy fcil derivar la parte u y muy fcilintegrar la parte dv, ya que necesitamos saber cunto vale du y cunto v para aplicar la frmula:

dudx 6x du 6xdx

dv

exdx v ex

(la integral exdx es inmediata basta ver las tablas de derivadas; no ponemos la k porque es mscmodo ponerla al final de la integracin completa).

Aplicamos ahora la frmula con esos datos:

3x2exdx

udv uv

vdu 3x2ex

ex6xdx

La integral

ex6xdx no es inmediata, pero volvemos a aplicar el mtodo de las partes para resolverla.Ahora: u 6x du 6dx dv exdx

dv

exdx v ex. Aplicando la frmula:

6xexdx

udv uv

vdu 6xex

6exdx 6xex 6ex

Llevando este resultado donde nos faltaba:

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3x2exdx

udv uv

vdu 3x2ex 6xex 6ex k ex 3x2 6x 6 k

Integracin por cambio de variableHay casos en que la integral sera inmediata si la variable adoptara una forma ms conveniente, ms

simple. Es en esos casos cuando se hace un cambio de variable. Veamos un ejemplo.! Resolver la integral I

2" # 5x$ 3 % 2 $ 1

dx

Si en el denominador en vez de 5x 3 apareciera slo x2 la integral sera inmediata (del tipoarctg).

Haremos el siguiente cambio de variable: u 5x 3. para tratar que la integral quede claramente deltipo arctg.

Hay que tener en cuenta que tambin habr que cambiar la dx que aparece en la integral, pues tras elcambio todo debe quedar en funcin de u. Para ello derivamos u, de lo que deducimos quedu 5dx & dx du5 El cambio global queda:

I

2" # 5x$ 3 % 2 $ 1

dx

2u2 $ 1

du5

25

1u2 $ 1

du 25 arctgu k 25 arctg 5x

3 k

[Al final del proceso hay que deshacer el cambio de variable para que quede el resultado como funcinde x.]

Integracin de expresiones racionalesCuando se trata de integrar expresiones del tipo (por ejemplo) 2x2 $ 5

x5# 9x$ 2x2 $ 6

dx hay que descomponerprimero la expresin en fracciones simples, como se vio en el tema de polinomios. En este caso:

2x2 $ 5x5

# 9x$ 2x2 $ 6

1363 " x$ 2 %

1172 " x# 1 %

712 " x# 1 % 2

1$

3x56 x2 $ 3

de manera que se puede escribir:

2x2 $ 5x5

# 9x$ 2x2 $ 6dx

1363 " x$ 2 %

1172 " x# 1 %

712 " x# 1 % 2

1$

3x56 x2 $ 3

dx

1363 " x$ 2 % dx

1172 " x# 1 % dx

712 " x# 1 % 2

dx

1$

3x56 x2

$

3 dx

Las dos primeras son del tipo ln :

1363 " x$ 2 % dx

1363 ln|x 2|

1172 " x# 1 % dx

1172 ln|x 1|

La tercera puede solucionarse fcilmente haciendo el cambio de variable u x 1 ' du dx con loque la integral queda:

712 " x# 1 % 2

dx

712u2

du 712

u# 2du 712

u ( 1# 1

712u

712 " x# 1 %

Y la cuarta se resuelve as:

1$

3x56 x2 $ 3

dx 156

3x$ 1x2 $ 3

dx

Prescindiremos de la constante 156 por el momento y nos centraremos en la integral. El numerador escasi la derivada del denominador. Podemos ajustarlo as:

3x$ 1x2 $ 3

dx

23 )

32

3x$ 1x2 $ 3

dx

32

23

" 3x$ 1 %x2 $ 3

dx 32 2x$ 23

x2 $ 3dx 32

2xx2 $ 3

23

x2 $ 3dx

32

2xx2 $ 3

dx 2

3x2 $ 3

dx

Prescindamos de nuevo de la constante ( 32 ). Ahora, en la primera integral vemos que el numerador esla derivada del denominador, luego es del tipo ln :

2xx2

$

3 dx ln|x2 3|La segunda es casi del tipo arctg; de hecho lo ser si hacemos unas pequeas transformaciones

algebraicas y un cambio de variable: 2

3x2 $ 3

dx 23

1x2 $ 3

dx 23 1

3x23 $

33

dx 2313

1x

3

2$

1dx Hacemos u x

3& du 1

3dx

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* dx + 3 duLa integral queda:29 3 ,

1u2 - 1

du + 2 39 arctgu +2 3

9 arctgx

3

Finalmente, slo queda sumar todas las integrales parciales que hemos ido obteniendo sin olvidarmultiplicarlas por las constantes correspondientes que quedaron fuera de las integrales.

. Integracin de expresiones trigonomtricas/ Para resolver integrales con expresiones trigonomtricas (no inmediatas) es til probar el siguiente

cambio de variable:tg x2 + t lo que implicar que x + 2arctgt y, por tanto, dx +

2dt1- t2

Con este cambio, cada vez que aparezca senx escribiremos: senx + 2t1 - t2

y cada vez que aparezca cosx pondremos: cosx + 1 0 t21 - t2

Este cambio reduce la integral a una funcin racional del tipo de las vistas anteriormente. Pero enalgunas ocasiones se pueden hacer algunos cambios ms simples. Vemoslos a continuacin.

/ Si el integrando es par en seno y en coseno (es decir, si ambos estn elevados a potencias pares)puede hacerse el cambio:

tgx + t , lo que implicar que x + arctgt y, por tanto, dx + dt1- t2

Con este cambio, cada vez que aparezca senx escribiremos: senx + t1 - t2

y cada vez que aparezca cosx escribiremos: cosx + 11- t2

/ Si el integrando es impar en seno puede hacerse el cambio:cosx + t , con lo cual 1 senxdx + dt

/ Si el integrando es impar en coseno puede hacerse el cambio:senx + t , con lo cual cosxdx + dt

2 Ejemplo I + , 3senx cos2xdxEs impar en seno; hacemos el cambio indicado y queda (haciendo un pequeo ajuste algebraico):I + , 3senx cos2xdx + , 3 1 3 4 cos2x 3 1 senxdx 4 + 1 3 , t2dt + 1 3 t33 5 k + 1 cos

3x5

k

/ En otras ocasiones ser mejor estudiar alguna transformacin trigonomtrica que simplifique elintegrando, o resolverla por partes, cambio de variables, etc.

A veces, cuando tratamos de resolver una integral trigonomtrica por partes, en el proceso deresolucin aparece de nuevo la integral. Estas integrales se llaman recurrentes y se resuelven pasando lasintegrales a un mismo miembro y despejndolas como si fueran una incgnita. Por ejemplo:

I + , exsenxdx Hacemos u + ex * du + exdx; dv + sendx * v + 1 cosxSe aplica la frmula de la integracin por partes:I + , exsenxdx + uv 1 , vdu + 1 ex cosx 1 , 1 ex cosxdx + 1 ex cosx

5

, ex cosxdx

La segunda integral tambin la resolvemos por partes. Hacemos ahora:u + ex

* du + exdx; dv + cosdx * v + senxAl aplicar la frmula:, ex cosxdx + exsenx 1 , exsenxdx

Como vemos, hemos vuelto a obtener la integral original. Recapitulemos los resultados:, exsenxdx + 1 ex cosx

5

exsenx 1 , exsenxdx

En la ecuacin anterior se pasan las dos integrales iguales al primer miembro (como si fueran una

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incgnita) y se depeja2 6 exsenxdx 7 8 ex cosx 9 exsenx

6 exsenxdx 7 ex : senx; cosx Ejemplo 601 4x2dx

En este caso nos dicen que integremos entre los lmites de integracin 0 y 1 (nmeros abajo y arribadel smbolo de la integral). Se resuelve la integral sin tenerlos en cuenta (y sin escribir la k). Es inmediata:4x33 . Ahora se sustituye la x por el lmite superior (es decir, 1), y luego por el lmite inferior (0). Con ello

se obtienen dos nmeros reales, que se restan. Lo que d la resta es el valor de la integral definida. Esdecir, a diferencia de una integral indefinida, cuyo resultado es una funcin, en la integral definida lo que seobtiene es un nmero. En este caso el resultado es:

4 : 1