manual practicas

Prcticas de FsicaGrados en Ingeniera Informtica

ndice general

1. Ley de Ohm 3

2. Leyes de Kirchhoff 7

3. Medida de seales en el osciloscopio 11

4. Transitorios en circuitos RC 15

5. Corriente Alterna 23

6. Resonancia en un circuito RLC 33

7. El diodo 36

A. Incertidumbre en lasmedidas 42

A.1. Incertidumbre e incertidumbre relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A.2. Clasificacin de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A.3. Estimacin de la incertidumbre en las medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A.3.1. Medida directa de una magnitud fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A.3.2. Medida indirecta de una magnitud fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A.4. Presentacin de resultados numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.5. Recta de mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A.6. Realizacin de grficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.7. Memorias de las prcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 de febrero de 2015

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Prctica 1

Ley de Ohm

Conceptos implicados

Corriente elctrica, diferencia de potencial, ley de Ohm, fuerza electromotriz.

Principios fsicos

Corriente elctrica. Es el movimiento de cargas en un conductor debido al empuje de un campoelctrico aplicado. La corriente elctrica se mide por su intensidad, I , definida como la carga queatraviesa la seccin del conductor por unidad de tiempo. La unidad de I en el sistema internacio-nal es el amperio (A). La intensidad se mide con el ampermetro.Para medir la intensidad que pasa por cierta rama de un circuito debemos cortar esa rama e in-sertar el ampermetro en ese punto de corte demodo que la corriente de la rama pase ahora por elaparato demedida. En trminos de circuitos esto quiere decir que el amparmetro debe ir siempreconectado en serie.

Diferencia de potencial. El campo elctrico que da lugar al movimiento de cargas en un circuitotiene asociado una diferencia de potencial. As, la diferencia de potencial entre dos puntos cuales-quiera del circuito ser el trabajo por unidad de carga realizado por el campo entre esos puntos. Launidad del potencial en el sistema internacional es el voltio (V). La diferencia de potencial entredos puntos, tambin llamada cada de potencial o tensin, se mide con el voltmetro.Para medir la diferencia de potencial entre dos puntos A y B debemos colocar el polo positivo delvoltmetro en el punto A y el negativo en el punto B sin hacer ningn otro cambio en el circuito.Desde un punto de vista circuital esto quiere decir que el voltmetro va conectado en paralelo.

Ley de Ohm. Esta es la ley ms bsica para el anlisis de circuitos. De acuerdo con dicha ley, larelacin que existe entre la diferencia de potencial, V , medida en los extremos de un conductory la intensidad que pasa por l es lineal: V = IR, donde el parmetro R, denominado resisten-cia, indica la resistencia que ofrece el conductor al paso de la corriente. La resistencia de unadeterminado conductor depende del tipo de material utilizado, de su geometra as como de latemperatura de trabajo. La unidad de la resistencia en el sistema internacional es el ohmio ().

Batera (o pila). Es un elemento capaz de transformar energa qumica en energa elctrica. Lasbateras son capaces de mantener una diferencia de potencial constante entre sus bornes dandolugar as al campo que ha de mover las cargas a lo largo del circuito. La diferencia de potencialentre los bornes de una batera se denomina su fuerza electromotriz (fem) y se mide en voltios.

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4Dicha fem ser pues la energa que la batera comunica a la unidad de carga para recorrer el circui-to. Las bateras reales tiene ciertas prdidas en su interior que pueden modelarse mediante unaresistencia interna.

Objetivos

1. Manejo de los polmetros y de la regleta

2. Verificacin de la ley de Ohm

MONTAJE Y REALIZACIN

I. Manejo de los polmetros y de la regleta.

En este primer apartado, siguiendo las indicaciones del profesor, mediremos el valor de dos resisten-cias utilizando el polmetro y compararemos el valor medido con el nominal indicado por el cdigode colores de las resistencias. Tambin aprenderemos a utilizar la regleta (test board) paramontar cir-cuitos as como la forma adecuada de utilizar los polmetros para que funcionen como ampermetroso como voltmetros.

1. Utilizando la resistencia que le indiquen deduzca mediante el cdigo de colores su valor y su in-certidumbre expandida. Para determinar su incertidumbre la identificaremos con el valor de sutolerancia, que viene dada por el anillo dorado o plateado de la resistencia (ste indica el porcen-taje de tolerancia segn el fabricante de la resistencia). Tome nota de dichos valores. Este ser elvalor nominal de la resistencia con su incertidumbre.

2. Utilizando el polmetro, mida el valor experimental de la resistencia antes utilizada. Apunte dichovalor junto con su incertidumbre dado por la resolucin del polmetro [la resolucin proporcionala incertidumbre en unamedida directa, como se indica en la Seccin A.3.1, expresin (A.15)]. Esteser el valor medido experimentalmente con su correspondiente incertidumbre.

3. Utilizando ahora la regleta y la resistencia de 560 (salvo que el profesor le indique otra resis-tencia), proceda a montar el circuito indicado en la Fig. 1.1. El objetivo es ser capaz de colocaradecuadamente el voltmetro y el ampermetro. NO ENCIENDA LA FUENTE hasta que el profesor del visto bueno al circuito a fin de no daar los polmetros. Deje el circuito montado pues le servirpara el apartado siguiente.

5Tratamiento de las medidas y resultados (Debe incluirse en la Memoria de la Prctica)[Aviso: Los puntos incluidos en la seccin de Tratamiento de las medidas y resultados en cada prctica se lle-varn a cabo fuera del laboratorio, salvo indicacin contraria del profesor o del presente manual. Todos estospuntos debern formar parte del informe de prcticas que se presentar posteriormente.]

1. Indique el valor nominal de la resistencia utilizada junto con su incertidumbre. Indique igual-mente el valor experimental de la resistencia proporcionado por el polmetro con su incertidum-bre asociada.

2. Compruebe si hay coincidencia entre los valores nominal y experimental cuando se tienen encuenta los mrgenes de incertidumbre de ambos valores.

3. Teniendo en cuenta cmo ha conectado el ampermetro y el voltmetro, y suponiendo que fuesenaparatos ideales que no perturbasen en absoluto al circuito, deduzca cul sera el modelo ideal decada uno de ellos.

Como aplicacin, suponga que en el circuito de la Fig. 1.1 conectamos nicamente el amperme-tro pero lo hacemos inadecuadamente; es decir, lo colocamos en paralelo justo en el lugar queantes ocupaba el voltmetro en dicha figura. En esa situacin, razone qu ocurrira en el circuitoteniendo en cuenta el modelo ideal propuesto anteriormente. (Dicho razonamiento debe darle unaidea adecuada de la importancia de la colocacin correcta de un ampermetro en el circuito).

II. Verificacin de la ley de Ohm

En este apartado tomaremos varios valores de la tensin e intensidad en una resistencia y verificare-mos que se cumple la ley de Ohm. Para ello se realizar la recta de regresin para los valore medidos(ajuste por mnimos cuadrados) a fin de verificar que existe una proporcionalidad entre la tensin yla intensidad.

1. En el circuito de la Fig.1.1, montado ya en el apartado anterior, semuestra la resistencia R = 560

A

V

!

R

FIGURA 1.1: Montaje para medir la tensin e intensidad en una resistencia.

conectada a un fuente de tensin continua. El voltmetro medir la tensin, V , entre los extremosde la resistencia.Mediante un ampermetro conectado en serie semedir la intensidad, I (enmA),que atraviesa la resistencia.

2. Variando el control de amplitud del generador desde aproximadamente 7 V hasta valores cercanosa 1 V (no use valoresmayores de 7 V para evitar que se caliente en exceso la resistencia), tomenotaen una tabla de 10 pares de valores de V e I con sus correspondientes unidades.

6Tratamiento de las medidas y resultados (Debe incluirse en la Memoria de la Prctica)

1. Represente en una grfica los puntos correspondientes a los valores experimentales de V (eje y)frente a los de I (eje x). No olvide indicar claramente las unidades en los ejes.Aviso: NO una los puntos experimentales mediante una lnea quebrada.

2. Mediante la tcnica de mnimos cuadrados (regresin lineal, ver Seccin A.5) determine la ecua-cin de la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos. Escriba la ecuacin de dicha recta eindique las unidades de la pendiente de la misma.Nota: En la memoria de prcticas no presente los clculos intermedios que conducen a la obtencin de larecta de mnimos cuadrados. De hecho se puede usar cualquier software adecuado para determinar dicharecta.

3. En lamisma grfica del Apartado 1, superponga la recta demejor ajuste a los puntos experimenta-les antes representados (una nica grfica en la que se muestren los puntos experimentales juntocon la recta de mejor ajuste).

4. Calcule el valor del coeficiente de correlacin, r , (ver Seccin A.5) para verificar la bondad delajuste (puede utilizar tambin el software adecuado para dicho clculo). Si dicho coeficiente esprximo a la unidad, ello es indicativo de que existe una relacin lineal entre los valores de V e I ,tal como indica la ley de Ohm. Comente sus propios resultados.

5. Tome la pendiente de la recta de ajuste (con sus unidades) como el valor experimental de la resis-tencia utilizada. Indique claramente dicho valor experimental y comprelo con el valor nominalindicando el porcentaje de diferencia entre ambos valores.Nota: Las medidas experimentales siempre introducen imprecisiones y los valores nominales de fbricase dan siempre con cierto margen de error. Por tanto, porcentajes de diferencia de hasta un 10% puedenconsiderarse normales.

Prctica 2

Leyes de Kirchhoff


Asociacin de resistencias, leyes de Kirchhoff.

Principios fsicos

Asociacin de resistencias. Una asociacin de resistencias es la interconexin de varias resisten-cias entre dos terminales de acceso. Una vez conectadas, se define la tensin en la asociacincomo la existente entre dichos terminales y la intensidad como la que entra por un terminal (ter-minal de entrada). Esta intensidad ser igual a la que sale por el otro terminal (terminal de salida)por el principio de conservacin de la carga.

Resistencia equivalente. Se define como resistencia equivalente de una asociacin de resistenciasrespecto a dos terminales A y B a aquella resistencia que para igual valor de la tensin que la exis-tente entre los terminales de la asociacin es circulada por la misma intensidad que la que circulapor dicha asociacin.Entre las asociaciones ms usuales estn la asociacin en serie y la asociacin en paralelo. En es-tos casos, la resistencia equivalente puede ser determinada de forma terica por frmulas muysencillas que el alumno debe conocer. En otros casos ms complejos (cuando la conexin globalno pueda reducirse a conexiones en serie y/o paralelo), la determinacin terica de la resistenciaequivalente requiere el clculo del cociente entre la tensin entre los terminales y la intensidadque los recorre. Experimentalmente, la resistencia equivalente siempre se calcula, independien-temente de la complejidad de la asociacin, como el cociente entre la tensin medida entre losextremos de la asociacin y la la intensidad que la circula.

Leyes de Kirchhoff . Un circuito es una interconexin de distintos elementos. En esta prctica noslimitaremos a interconectar resistencias y bateras. Las corrientes y tensiones en un circuito pue-den ser determinadas mediante las dos leyes de Kirchhoff:

Ley de lasmallas: la suma de cadas de potencial a lo largo de cualquier camino cerrado (malla)del circuito es nula.

Ley de los nudos: la corriente total que entra en cualquier nudo (punto del circuito al cualllegan y salen varias intensidades) es igual a la que sale del mismo.

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8Objetivos

1. Verificacin de las reglas de asociacin de resistencias en serie y en paralelo

2. Comprobacin de las leyes de Kirchhoff


I. Verificacin de la reglas de asociacin de resistencias en serie y paralelo

En este punto calcularemos experimentalmente el valor de la resistencia equivalente a la asociacinde dos resistencia conectadas tanto en serie como en paralelo. De acuerdo con la definicin de resis-tencia equivalente, Requiv, de cualquier asociacin (serie, paralelo u otras), su valor puede calcularseexperimentalmente como el cociente entre la tensin, V , entre los extremos de la asociacin y la in-tensidad, I , que circula por la misma,

Requiv = VI .As, una vez calculados los valores experimentales de la resistencia equivalente en las asociacionesen serie y paralelo, los compararemos con los obtenidos tericamente utilizando la frmula de aso-ciacin correspondiente en cada caso.

1. ASOCIACIN EN SERIETome dos resistencias, R1 = 560 y R2 = 750, y tome nota de sus valores junto con sus respec-tivas tolerancias. Monte el circuito serie de la Fig. 2.1(a). Fije un valor de aproximadamente 4 Vo menor para la tensin entre los extremos de la asociacin y anote el valor de dicha tensin in-dicado por el voltmetro junto con su incertidumbre asociada a la resolucin del voltmetro (verSeccin A.3.1, expresin (A.15)). Anote tambin el valor de la intensidad indicado por el amper-metro, junto con su incertidumbre dada por su resolucin.No es necesario tomar ms parejas de medidas.

2. ASOCIACIN EN PARALELOUtilizando lasmismas resistencias del apartado anterior,monte el circuito paralelo de la Fig. 2.1(b).Fije un valor de aproximadamente 4 V omenor para la tensin entre los extremos de la asociaciny anote nuevamente la tensin e intensidad con sus correspondientes incertidumbres asociadas(como hizo en el apartado anterior). Recuerde que no son necesarias ms medidas.

A

V

R1 R2Requiv

(a) Asociacin en serie de dos resistencias.

A

VR1

R2

Requiv

(b) Asociacin en paralelo de dos resistencias.

FIGURA 2.1

9Tratamiento de las medidas y resultados. (Debe incluirse en la Memoria de la Prctica)

1. A partir de los valoresmedidos deV e I , calcule el valor experimental de la resistencia equivalente,Requiv = V /I , de ambas asociaciones junto con su correspondiente incertidumbre. Para calculardicha incertidumbre en el cociente V /I , parta del hecho de que la incertidumbre relativa del co-ciente est relacionada con las incertidumbres relativas del numerador y denominador segn seexpone en la ecuacin (A.22) del Apartado A.3.2. No olvide redondear adecuadamente los resul-tados de acuerdo con lo expuesto en la Seccin A.4.

2. Utilizando los valores nominales de las resistencias y la frmula correspondiente, calcule el valorterico de la resistencia equivalente en ambas asociaciones junto con su incertidumbre expandi-da. No olvide redondear los resultados y tenga en cuenta que el valor nominal de cada resistenciatiene una incertidumbre tpica dada por su tolerancia, tal como se expone en (A.14).

Nota: Para calcular la incertidumbre tpica particularice la ecuacin (A.21) de la Seccin A.3.2 a las frmulasde las asociaciones serie y paralelo. En el presente caso, dado que R = f (R1,R2), siendo R =R1+R2 en seriey R =R1R2/(R1+R2) en paralelo, tendremos que

u(R)=s @ f@R1

2u(R1)2+ @ f@R22u(R2)2 .

La correspondiente incertidumbre expandida la tomaremos comoU (R)= 2u(R).

3. Compare ambos valores, experimental y nominal, en las dos asociaciones y compruebe si haycoincidencia teniendo en cuenta losmrgenes de incertidumbre calculados. Ambos valores debenser similares. Comente sus propios resultados.

II. Comprobacin de las leyes de Kirchhoff

En este punto comprobaremos que se cumplen las dos leyes de Kirchhoff midiendo las tensiones enuna malla y las intensidades en un nudo de un circuito.

1. Monte el circuito de la Fig. 2.2. Puede usar otras resistencias diferentes si no dispone de las indi-cadas o si as se lo indicase el profesor. A fin de facilitar la posterior colocacin del ampermetro,los puntos A, E y F deben unirse con el punto N mediante el uso de tres cables (no usando lasconexiones internas de la regleta).

1k!

560 !

100 !I1

A B

CD A(= )

I2

I

N

E

F

FIGURA 2.2: Circuito para verificar las leyes de Kirchhoff. Los puntos D y A son elctricamente equivalentes alestar unidos por un cable, esto es, VDA = 0V.

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2. Mida las diferencias de potencial VAB , VBC y VCD con ayuda del voltmetro. Apunte las valores ob-tenidos con su signo y la incertidumbre expandida correspondiente dada por la sensibilidad delvoltmetro.Aviso: Asegrese de conectar el voltmetro con la polaridad adecuada de forma que mida las ten-siones que se piden; en caso contrario obtendra el signo de la tensin incorrectamente.

3. Tome ahora nota de las intensidades con su incertidumbre expandida (relacionada con la sensi-bilidad del ampermetro). Para medir la intensidad I que llega al nudo N sustituya el cable A!Npor el ampermetro. Para medir I1, coloque de nuevo el cable A ! N y sustituya ahora el cableN ! E por el ampermetro. Finalmente, para medir I2 coloque de nuevo el cable N ! E y sustitu-ya el cable N ! F por el ampermetro.

Tratamiento del las medidas y resultados. (Debe incluirse en la Memoria de la Prctica)

1. Utilizando los valores medidos para las tensiones, compruebe la ley de las mallas verificando quela suma algebraica de las tensiones en lamalla es nula:VAB+VBC+VCD+VDA = 0. (Tenga en cuentaque la tensin no medida, VDA , es nula, segn se explica en el pie de la figura). Es de esperar quedicha ley se cumpla si se tienen en cuenta los mrgenes de incertidumbre en las medidas.

2. Utilizando los valores medidos para las intensidades, compruebe la validez de la ley de los nudosverificando que la intensidad total entrante en el nudo N es igual a la intensidad total saliente delmismo: I = I1+ I2. Nuevamente, se espera que dicha igualdad se cumpla si se tienen en cuenta losmrgenes de incertidumbre en las medidas.

3. Utilizando los valores nominales para las resistencias y el valor medido para la fem de la fuente,E =VCD , plantee y resuelva las ecuaciones del circuito a fin de determinar los valores tericos delas tensiones e intensidades. Compare los valores tericos obtenidos con los medidos indicandoel porcentaje de diferencia entre ellos.

Prctica 3

Medida de seales en el osciloscopio

Conceptos Implicados

Corriente variable en el tiempo: seales peridicas y seales armnicas. Fasores.

Principios fsicos

Seales peridicas. Son aquellas que se repiten en el tiempo. Se denomina periodo al tiempoempleado en repetirse y frecuencia al nmero de repeticiones en la unidad de tiempo.

Seales armnicas. Son seales peridicas tipo seno (o coseno) caracterizadas por su amplitudy frecuencia. Estas seales son de gran utilidad pues cualquier seal fsica real (peridica e in-cluso no peridica) puede expresarse como suma de seales seno y coseno de distintas frecuen-cias. Podra decirse que las seales armnicas constituyen una basematemtica en la que puedendesarrollarse las dems seales.

Objetivos

1. Medida de una seal armnica con el osciloscopio

2. Medida del desfase entre dos seales armnicas

MONTAJE y REALIZACIN

I. Medida de una seal armnica con el osciloscopio

En este punto se llevar a caboun estudio terico previo de los aspectos bsicos relacionados con fun-ciones armnicas, esto es, los conceptos de amplitud, periodo, frecuencia, fase y la forma de repre-sentarlas mediante fasores (o, equivalentemente, vectores giratorios). Tras el anterior estudio, apren-deremos el manejo bsico del osciloscopio y se llevar a cabo la medida de la amplitud, periodo yfrecuencia de una seal armnica de las diferentes formas que permite el osciloscopio.

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1. Conecte la salida de 50 del generador de seales peridicas al osciloscipio usando el cable ade-cuado. Seleccione en la fuente la forma de seal sinusoidal (armnica) y sintonice la frecuenciasegn indicaciones del profesor. Tome nota de la frecuencia que indica el generador.

2. Visualice la seal en la pantalla del osciloscopio ymida la amplitud (Vmax, en adelante) y el periodode la seal usando la cuadrcula de la pantalla y sabiendo los voltios por divisin en el eje verticaly el tiempo por divisin en el eje horizontal. Tome nota de los valores medidos as como de susincertidumbres asociadas.

Nota. Lasmedidas realizadasmediante la cuadrcula estn todas afectadas por una incertidumbre expandi-da de0,1 divisiones (correspondiente a lamitad de la sensibilidad de la cuadrcula de la pantalla, que es de0.2 divisiones). Segn esto, unamedida de Vmax que d 3,3 cuadros, siendo la escala vertical de 2 V/cuadro,deber anotarse como Vmax = 3,3(0,1)cuadros2V/cuadro= 6,6(0,2)V.

3. Repita nuevamente la medidas del periodo y de Vmax mediante el uso respectivo de los cursoresverticales y horizontales que proporciona el men de cursores del osciloscopio.

4. Utilizando el botn measure, apunte los valores que proporciona el osciloscopio de forma auto-mtica para la frecuencia, periodo y Vmax.

5. Con el fin de visualizar otras posibles seales peridicas que proporciona el generador, conmuteen el generador la forma de seal a cuadrada y luego a triangular. Realice alguna medida de estasseales, aunque NO es necesario anotar ninguna de estas medidas.

Tratamiento de datos y resultados. (Debe incluirse en la Memoria de la Prctica)

1. Presente adecuadamente (sin olvidar sus unidades) las medidas para Vmax y el periodo obtenidasanteriormente mediante el uso de la cuadrcula y los cursores. En las medidas correspondientes ala cuadrcula no olvide incluir la incertidumbre.

2. A partir del dato de periodomedidomediante la cuadrcula, obtenga el valor de la frecuencia jun-to con su correspondiente incertidumbre.Nota: Para el clculo de la incertidumbre tpica, dado que la frecuencia y el periodo son magnitudes in-versamente proporcionales, aplique la expresin (A.19). No olvide incluir el correspondiente redondeo, talcomo se explica en el Apartado A.4.

3. Comente si hay similitud entre las anteriores medidas y las que obtuvo de forma automtica me-diante el botnmeasure.

II. Medida del retraso entre dos seales armnicas

En este punto se llevar a cabo un estudio del concepto de diferencia de fase entre dos seales arm-nicas de igual frecuencia. Aprenderemos cmo se refleja dicha diferencia de fase en la representacinde las seales mediante sus fasores (o bien, vectores giratorios) as como la forma de relacionar el re-traso en tiempo entre las seales con su diferencia de fase. Experimentalmente mediremos el retrasoentre dos seales armnicas de un circuito mediante el uso de los dos canales del osciloscopio. Esteestudio servir tambin para aprender a utilizar los dos canales del osciloscopio simultneamente.

1. Monte el circuito RC serie de la Fig. 3.1 con R = 1000 y C = 100nF. Utilice la salida de 50 delgenerador de seales, seleccione la forma de seal sinusoidal y fije una frecuencia de 2 kHz.

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CH1

CH2

FIGURA 3.1: Circuito para medir las amplitudes de las seales V (t ) (CH1) y VC (t ) (CH2) y el retraso entre ellas.

2. Conecte el canal CH1 del osciloscopio para visualizar la tensin total, V (t ), y el canal CH2 paravisualizar la tensin en el condensador, VC (t ).Aviso. Al conectar las sondas del osciloscopio tenga en cuenta que las puntas de las sondas deben conec-tarse en los puntos indicados en la figura y que las pinzas de cocodrilo deben conectarse a tierra.

3. Con las dos seales en pantalla, vare el botn de amplitud del generador hasta fijar una amplitud(Vmax) entre 4 y 5 V en la seal CH1. Utilice el botn measure para medir dicho valor. Una vezfijada dicha amplitud, anote los valores de las amplitudes (Vmax) de ambas seales (use el botnmeasure para medirlas).

4. Utilizando ahora los cursores verticales, mida el retraso,t , del canal CH2 respecto del canal CH1y tome nota de su valor.

5. Para completar el estudio visualizaremos ahora la suma de las dos seales. Para ello pulse el botnMATH del osciloscopio y seleccione la operacin suma en el menu que aparece al pulsar dichobotn. Ajuste la escala vertical de la seal suma (utilice la pgina 2 del citado men) de formaque finalmente las tres seales en pantalla tengan igual escala vertical. Una vez ajustada la escala,mida con los cursores horizontales la amplitud de la seal suma y anote su valor.

6. Con las tres seales anteriores en pantalla, utilizando ahora los cursores verticales,mida el retraso,tS, del canal CH2 respecto de la seal suma y tome nota de su valor.

7. Compruebe que el periodo (y, por tanto, la frecuencia) de la seal suma es exactamente lamismaque la de los seales armnicas que han sido sumadas.

8. (*) Visualice igualmente la seal producto (operacin en el men MATH) y verifique que elperiodo de dicha seal es la mitad del de las seales que hemos multiplicado.

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1. A partir del retraso medido, t , calcule la diferencia de fase, , entre las seales; esto es, la fase dela seal en CH1menos la fase de la seal en CH2. Exprese el valor de tanto en radianes como engrados.Nota. Recuerde que la diferencia de fase y el retraso temporal se relacionanmediante =!t .

2. Elija ahora fase inicial cero en la seal del canal CH2,VC (t ). Condicha eleccin y utilizando las am-plitudes medidas y la diferencia de fase calculada, escriba las expresiones matemticas de VC (t )(en CH2) y de la tensin total V (t ) (en CH1).

3. A partir de las expresiones obtenidas de VC (t ) y V (t ), represente sus fasores asociados (o bien susvectores giratorios en t = 0). Para dicha representacin, usar una regla y asociar a cada centmetroel valor de 1/2 voltio o bien usar papel milimetrado.Nota. Unas breves notas tericas sobre fasores puede encontrarlas en la pg. 27.

4. A partir del retraso medido, tS, calcule la diferencia de fase, S, entre la seal suma y la sealCH2 (es decir, fase de la seal suma menos fase de la seal CH2). Exprese el valor de S tanto enradianes como en grados. Con la misma eleccin de fase inicial cero en la seal del canal CH2[VC (t )], escriba la expresin matemtica de la seal suma VS(t ).

5. En el mismo dibujo donde ha representado los fasores del apartado 3, dibuje igualmente el fasorsuma (para ello puede seguir simplemente la regla del paralelogramo para la suma de vectores).Mida en el dibujo, o calcule matemticamente, la amplitud de la seal suma que resulta as comoel ngulo que forma esta seal con respecto a la seal CH2. Indique los valores obtenidos.

6. Compare los valores de amplitud y fase antes obtenidos para la seal suma en el apartado anteriorcon los que obtuvo mediante la medida de dicha seal en el osciloscopio e indique el porcentajede diferencia.

7. Verifique matemticamente que el producto dos seales armnicas, V1(t ) = A cos(!t + ) yV2(t ) = B cos(!t +) de periodo T es una seal peridica de periodo T /2. Este hecho justificala observacin que se hizo en el punto II.8 sobre el periodo de la seal producto.Nota: Para desarrollar este punto tenga en cuenta que

cos(a)cos(b)= 12[cos(a+b)+cos(ab)] .

Prctica 4

Transitorios en circuitos RC


Relaciones instantneas entre intensidad y tensin en un condensador. Regimen transitorio y esta-cionario.

Principios fsicos

Relacin I-V en un condensador. En un condensador la intensidad nos da el valor de la carga,Q,que se acumula en sus placas por unidad de tiempo, esto es, I = dQ/dt . La cantidad de carga quellega a una placa es la misma que sale de la otra placa, de esta forma se preserva el hecho de laigualdad de carga en ambas placas, aunque los signos de dichas cargas son distintos. Teniendo encuenta que, en un condensador,Q =CV podemos concluir que I = dQ/dt =C dV /dt . En resumenI =C dV /dt es la relacin entre la intensidad y la tensin en un condensador.Regimen Transitorio. Al conectar una fuente de continua a un circuito formado por resistencias ycondensadores, los valores finales de las intensidades y tensiones no se establecen de forma ins-tantnea. En el momento de la conexin comienza un proceso transitorio donde las corrientesy voltajes en el circuito varan hasta alcanzar los valores finales, es decir, hasta llegar a un esta-do estacionario. La existencia de transitorios se debe a los procesos de carga o descarga de loscondensadores que requieren cierto tiempo para llevarse a cabo.

Objetivos

1. Transitorio de carga en un circuito RC serie. Tensin en el condensador.

2. Transitorio de carga en un circuito RC serie. Intensidad en el circuito.

3. Transitorio de carga en un circuito de dos mallas.

Aviso. En la realizacin de esta prctica usaremos los valores nominales de las resistencias y condensadores, sintener en cuenta la incertidumbre en dichos valores debido a sus tolerancias. Adems, las seales cuadradas su-ministradas por el generador no son perfectas y puede apreciarse que el valormximo tarda algo en alcanzarse.Por otra parte, el generador tiene una resistencia de salida de 50 que despreciaremos frente a las resistenciasque usaremos de 560 y 1000, a fin de simplificar el anlisis. Todas estas fuentes de error conducen a quesean justificables diferencias del 5% al 10% entre los valores que mediremos y los que proporciona la teora.

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I. Transitorio de carga en un circuito RC serie. Tensin en el condensador.

En este objetivo podremos ver cmo evoluciona la tensin en un condensador en el transitorio decarga en un circuito elemental RC serie. Para completar el estudio, determinaremos la constante detiempo en dicho transitorio. Previamente el profesor plantear las ecuaciones de Kirchhoff para uncircuito RC y las resolver a fin de obtener la ecuacin matemtica de las curvas que se vern en elosciloscopio.Nota. Al final de esta prctica se adjunta un estudio terico similar al que llevar a cabo el profesor.

1. Utilizando una resistencia de 1000 y un condensador de 10 nF, monte el circuito serie RC de laFig. 4.1 y encienda el generador en modo de seales cuadradas.

!" #t

R

C

I t( )

V tC( )

V tR( )

FIGURA 4.1: Circuito serie RC para el estudio de la tensin en el condensador en los transitorios de carga ydescarga.

2. Encienda el osciloscopio y conecte las sondas del osciloscopio para visualizar en el canal CH1 laseal del generador y en el canal CH2 la tensin en el condensador (recuerde que las pinzas decocodrilo de las sondas deben ir a tierra). Ajuste la frecuencia de la seal cuadrada a unos 3 kHzque, como se ver en el desarrollo de la prctica, permitir que los transitorios de carga y descargase realicen por completo.1

3. Superponga el nivel de tierra del canal 2 (indicado por 2 en la izquierda de la pantalla ) con el delcanal CH1 (1 en pantalla ) y ajuste la escala de tiempos (eje horizontal) para ampliar el flancode subida de la seal de modo que se observe nicamente la parte correspondiente al transitoriocompleto de carga (el proceso de carga estar completo cuando la tensin en el condensadoralcance a la del generador).

4. Utilizando el menmesure para medir el voltaje pico a pico del canal CH2, Vpp(CH2), fije un valorentre 8 y 10 V para dicho voltaje utilizando pare ello el botn de amplitud del generador (botnAMPL en algunos generadores). Apunte el valor concreto de Vpp(CH2) indicado en el menmea-sure. En el resto de la prcticamantendremos siempre dicho valor y, por tanto, no variaremosmsel botn amplitud. Consideraremos Vpp(CH2) como el valor de la fem E del generador.

5. Haga un dibujo aproximado de las seales de ambos canales que observa en el osciloscopio parael transitorio de carga (usar 2V/divisin en ambos canales permite visualizar adecuadamente lasseales para los voltajes empleados).

1Para los valores de R y C usados en esta prctica, el uso de frecuencias ms altas que la indicada (esto es, periodosms cortos en la seal del generador) podra dar lugar a que no diese tiempo para que el proceso de carga, o descarga, delcondensador se completase.

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6. (Opcional) A continuacin, aadiremos una seal de continua (offset) a la seal cuadrada del ge-nerador (CH1) de forma que sta vare entre 0 y Vpp en vez de variar entre Vpp/2 y Vpp/2. Paraello, tire suavemente hacia afuera del botn de offset del generador (si es que no est ya sacado) ymuvalo suavemente hasta conseguir que, en el osciloscopio, la base de la seal est sobre el nivelde tierra (indicado por el smbolo 1 a la izquierda de la pantalla). Tras este proceso, la seal delgenerador (CH1) variar ahora entre 0 y Vpp siendo, por tanto, Vpp igual al voltaje mximo Vmax.Nota . S ha utilizado el offset es recomendable colocar el nivel de tierra cerca de la parte baja de la pantalla(por ejemplo, a 1 cuadro) a fin de visualizar mejor las seales.

7. Calcule el 63% del valor que apunt antes para Vpp(CH2) (0,63Vpp(CH2)) y tome nota de dichoresultado. De acuerdo con la teora, se tarda un tiempo = RC en alcanzar dicho valor en el tran-sitorio de carga ya que Vpp(CH2) corresponde a la tensin del generador cuando el proceso decarga est completo.

8. Para visualizarmejor la seal del canal CH2, suprima ahora el canal CH1 (pulse dos veces el botnCH1). Usando los cursores del osciloscopio en modo seguimiento, mida el tiempo que emplea laseal en alcanzar el 63% del valor final antes calculado. Anote el valor experimental as obtenidopara en el proceso de carga.

Al finalizar este objetivo, recuerde no cambiar la seal del generador para los objetivos siguientes.


1. Nota. Los tres subapartados de este punto se debern realizar utilizando expresiones simblicas, esto es, nousaremos los valores numricos medidos. As, a la tensin del generador la denominaremos E y a la cons-tante de tiempo en vez de sustituir por sus valores. Esto permitir dar mayor generalidad a los resultados.

a) Sustituya t = en la expresin (4.3) para la tensin en el condensador en el transitorio desubida del estudio terico adjunto y verifique que, para dicho valor de tiempo, la tensin en elcondensador ha alcanzado aproximadamente el 63% de su valor final.

b) Haga un dibujo de la tensin en el condensador en el proceso de carga, indicando en dichagrfica el valor final al que tiende as como los valores de la funcin en , 2, 3 y 4 (use paraello (4.3)).

c) A partir de la expresin (4.3), obtenga el valor de t (en trminos de ) para el cual la sealalcanza el 50% de su valor final.

2. Indique el valor de medido experimentalmente.

3. Utilizando los valores nominales de R y C , calcule el valor de la constante de tiempo = RC consus unidades. Compare el valor obtenido para haciendo uso de los valores nominales con elobtenido experimentalmente, indicando el porcentaje de diferencia.

II. Transitorio de carga en un circuito RC serie. Intensidad en el circuito.

En este objetivo estudiaremos la intensidad que circula por el circuito RC en el transitorio de carga.Dado que el osciloscopio no permite ver intensidades directamente, visualizaremos la tensin en laresistencia,VR (t ), ya que es proporcional a la intensidad de acuerdo con la ley deOhm: I (t )=VR (t )/R.

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1. Sin variar la seal del generador usada en el objetivo anterior, monte el circuito de la Fig. 4.2, quees igual al del objetivo anterior pero con el condensador y la resistencia cambiados de orden.

!" #t R

C

I t( )

V t RI tR( )= ( )

FIGURA 4.2: Circuito para el estudio de la intensidad en el proceso de carga del condensador.

Nota. El cambio de orden de conexin realizado no afecta al comportamiento del circuito pero permitirvisualizar la tensin en la resistencia y de esa forma saber cmo evoluciona la intensidad durante los transi-torios. Dado que usamos una resistencia de 1000, el paso de un cierto valor de la tensin en la resistenciaa intensidad es inmediato. Por ejemplo, si VR = 6V, entonces I = 6/1000A= 6mA. Es decir, la lectura de VRnos da directamente el valor de la intensidad expresada en mA.

2. Conecte la sonda del CH1 para ver la tensin de la fuente y la del canal CH2 para ver la tensinen la resistencia. Modifique la escala de tiempo del osciloscopio (siga usando 2 V/divisin para laescala vertical) para visualizar exclusivamente el transitorio de subida en pantalla; esto es, la partecorrespondiente al proceso de carga del condensador.

3. Haga un dibujo aproximado de la seal en CH2, que representa la intensidad en el circuito, ano-tando su valor mximo en mA (valor inicial) y observe que tiende a cero en el estacionario (puesla corriente cesa una vez cargado el condensador).


1. Nota. Los dos subapartados de este punto se debern realizar utilizando expresiones simblicas, esto es,no usaremos los valores numricos medidos. As, a la intensidad en el instante inicial la denominaremos I0y a la constante de tiempo .

a) Utilizando la ecuacin (4.4), verifique que transcurrido un tiempo = RC , la intensidad dis-minuye aproximadamente un 63% desde su valor inicial mximo, I0, en t = 0.

b) Haga un dibujo de la intensidad en el proceso de carga, indicando en dicho dibujo el valor dela misma en t = , t = 2, t = 3 y t = 4.

2. Indique el valor que midi para la intensidad en t = 0 y comprelo con el que predice la teoraindicando el porcentaje de diferencia (es de esperar cierta discrepancia pues el valor inicial de laseal del generador en el flanco de subida es algo menor que lo debido, como se ve en el oscilos-copio).

3. Teniendo en cuenta el valor inicial observado en t = 0 de la tensin en el condensador (puntoestudiado en el objetivo anterior), as como el valor observado para la intensidad en estado esta-cionario (visto en este objetivo), razone a qu es equivalente un condensador en el instante inicialdel proceso de carga as como una vez cargado en el estado estacionario.

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III. Transitorio de carga en un circuito de dosmallas.

En este objetivo veremos cmo evoluciona la tensin en un condensador durante el proceso de cargaen un circuitoms complejo. El modelo para un condensador en el instante inicial y una vez cargado,que hemos deducido en el objetivo anterior estudiando un circuito elemental, es general, es decir,aplicable a circuitos ms complejos. As podremos explicar la grfica de carga que veremos en elosciloscopio para el circuito de dos mallas estudiado en este objetivo.

1. Monte el circuito de la Fig. 4.3 con R1 = 1000 , R2 = 560 y C = 10 nF. Use la misma seal delgenerador que en los objetivos anteriores.

!" #t

R1

C

V tC( )R2

FIGURA 4.3: Circuito con dos resistencias para el estudio del proceso de carga del condensador.

2. Conecta las sondas del osciloscopio para ver la tensin del generador en el CH1 y la tensin en elcondensador en CH2.

3. Ample en la pantalla el flanco de subida correspondiente al proceso de carga. Haga un dibujode las dos seales que ve en pantalla y tome nota de los valores pico-a-pico que alcanzan ambasseales usando el botnmeasure.


1. Sabiendo de objetivos anteriores cmo se comporta un condensador cargado, deduzca la expre-sin para la tensin en el condensador en estado estacionario (t!1) en el circuito bajo estudioen funcin del E , R1 y R2.

2. Sustituya en la expresin obtenida en el punto anterior los valores concretos de E , R1 y R2 em-pleados en esta prctica a fin de determinar el valor terico de la tensin final en el condensador.

3. Compare el valor medido para la tensin final en el condensador con el calculado tericamenteen el punto anterior e indique el porcentaje de diferencia.

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Breves notas tericas

Uso de seales cuadradas para la visualizacin de los transitorios

Aunque en el estudio que se expondr a continuacin se analiza el comportamiento de circuitos alconectar o desconectar una fuente de continua, en la prctica para visualizar en el osciloscopio di-chos comportamientos se utiliza una seal peridica cuadrada conectada el circuito correspondien-te. Cuando la seal pasa de cero a un cierto valor V0 es como si en ese momento conectsemos unabatera de fuerza electromotriz E =V0 y cuando la seal cae a 0 V es como si sustituysemos la fuentepor un cortocircuito en dicho instante.

Transitorios de carga y descarga en un circuito RC serie

Transitorio de carga

En la Fig. 4.4(a) se representa el circuito empleado para estudiar la carga del condensador a travs dela resistencia en serie R empleando una fuente de continua. Para estudiar la evolucin del circuito

!

R

C

I t( )

V tC( )

V tR( )

R

C

I t( )

V tC( )

V tR( )

( )a ( )bFIGURA 4.4: (a) Circuito serie RC conectado a una fuente de continua en proceso de carga. (b) Circuito RCpara la descarga de un condensador.

a partir del instante t = 0 en que conectamos la fuente debemos resolver la siguiente ecuacin deKirchhoff para la malla:

E =VR (t )+VC (t ) (4.1)donde la tensin en la resistencia ser VR (t ) = RI (t ), siendo la intensidad a su vez I (t ) = dQ(t )/dt(Q(t ) es la carga en el condensador) ya que la intensidad representa la cantidad de carga por unidadde tiempo que est circulando y, por tanto, llegando al condensador. Teniendo en cuenta que la cargaen el condensador puede escribirse como Q(t ) = CVC (t ), podemos expresar pues VR (t ) en funcindel VC (t ), quedando la ecuacin (4.1) como sigue

E =RC dVC (t )dt

+VC (t ) . (4.2)

La solucinmatemtica a la ecuacin (4.2) que cumple adems con el requerimiento de que el voltajeinicial en el condensador fuese nulo (ya que suponemos que estaba descargado en t = 0) es

VC (t )= E (1et/) (4.3)donde = RC se denomina constante de tiempo. A partir de VC (t ), obtenemos tambin de formainmediata para la carga:Q(t )=CVC (t )=Qf(1et/), siendoQf =CE .Por su parte la intensidad en el circuito la obtenemos sustituyendo en I (t )= dQ(t )/dt =C dVC (t )/dt ,

I (t )= ERet/ . (4.4)

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Vemos pues que la tensin y la carga aumentan de acuerdo con una ley exponencial hasta sus va-lores finales, E y Qf = CE respectivamente, mientras que la intensidad disminuye desde un valorinicial E /R hacia cero. Para una valor de t = 4 puede comprobarse que la tensin y la carga en elcondensador han alcanzado el 98% de sus valores finales y podemos considerar que se ha alcanza-do el estacionario. La intensidad, por su parte, disminuye en un 98% del valor inicial durante dichointervalo.

Transitorio de descarga

En la Fig. 4.4(b) se representa el circuito empleado para estudiar la descarga del condensador ini-cialmente cargado a travs de la resistencia en serie R. En este caso para estudiar la evolucin delcircuito desde t = 0, momento en que cerramos el circuito, en adelante debemos resolver la siguienteecuacin de Kirchhoff para la malla:

0=VR (t )+VC (t ) (4.5)donde la tensin en la resistencia ser ahora VR (t ) = RI (t ), siendo I (t ) = dQ(t )/dt . Dado queQ(t ) =CVC (t ), podemos expresar VR (t ) en funcin del VC (t ) quedando la ecuacin (4.5) como sigue:

0=RC dVC (t )dt

+VC (t ) . (4.6)

La solucin matemtica a la ecuacin (4.6) que cumple con el requerimiento de que la carga inicialen el condensador fueseQ0 y, por tanto, el voltaje inicial V0 =Q0/C es

VC (t )=V0 et/ , (4.7)

siendo de nuevo = RC . La carga la obtenemos ahora de forma inmediata a partir de VC (t ) comosigue:Q(t )=CVC (t )=Q0 et/ .Por su parte la intensidad en el circuito la obtenemos sustituyendo en I (t )= dQ(t )/dt =C dVC (t )/dtpara obtener

I (t )=V0R

et/ . (4.8)

El signomenos de la intensidad indica que va al contrario del dibujo, es decir, la carga pasa de la placapositiva hacia la negativa.

Vemos pues que la tensin en el condensador, su carga y la intensidad en el circuito disminuyen deacuerdo con una ley exponencial hasta anularse finalmente. Nuevamente se puede comprobar quepara una valor de t = 4 las citadasmagnitudes han disminuido en un 98% desde sus correspondien-tes valores iniciales. Si partimos de un condensador inicialmente cargado con una fuente de fuerzaelectromotiz E entonces V0 = E en la ecuaciones (4.7) y (4.8).

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GrficasVC (t ) e I (t ) en los procesos de carga y descarga estudiados

Finalmente, en las Figs.4.5(a) y (b) se muestran respectivamente las curvas para la tensin e intensi-dad en los procesos estudiados de carga y descarga correspondientes a los circuitos mostrados en lasFigs.4.4(a) y (b).

V tC( )

I t( )

t

!

!

R

V tC( )

I t( )

t

RV0

V0

(a) (b)

FIGURA 4.5: (a) Grficas para la tensin en el condensador y la intensidad en el proceso de carga. (b) Grficaspara la tensin en el condensador y la intensidad en el proceso de descarga. La intensidad en la descarga se daen valor absoluto ya que sera negativa indicando que tiene sentido contrario al correspondiente al proceso decarga.

Prctica 5

Corriente Alterna


Seales alternas. Fasores. Impedancia.

Principios fsicos

Elementos lineales .Existen elementos denominados lineales, como las resistencias, condensadores y bobinas en loscuales la relacin entre la tensin y la intensidad en los mismos da lugar a que sea vlido el prin-cipio de superposicin en el circuito. Bajo este supuesto, la tensin/intensidad total es la suma delas tensiones/intensidades calculadas suponiendo que cada una de las fuentes actuase sola.

Regimen armnico .Denominaremos regimen armnico al que se da en un circuito cuando los generadores del circui-to tienen la forma de una funcin armnica (cuya expresinmatemtica general es A cos(!t+)).En rgimen armnico, los circuitos compuestos por elementos lineales (R,L yC ) pueden analizar-se utilizando las reglas de Kirchhoff de forma similar a los circuitos de corriente continua com-puestos slo por resistencias gracias a la tcnica de fasores y al concepto de impedancia (vase lasnotas tericas que se adjuntan al final de la prctica).

Es muy importante notar que en un circuito con elementos lineales en rgimen armnico, la dife-rencia de potencial entre cualesquiera dos puntos del circuito as como la intensidad que recorrecualquier rama del circuito vendrn dadas por funciones armnicas. Este hecho fundamental NOocurre cuando los generadores presenten una dependencia temporal distinta de la armnica (porejemplo, seales cuadradas, triangulares, ...)

Objetivos

1. Estudio de impedancias elementales.

2. Impedancia de un circuito RC serie.

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24


I. Estudio de impedancias elementales

En este apartado mediremos, usando los polmetros, el mdulo de la impedancia de una resistencia,un condensador y una bobina a dos frecuencias diferentes. Veremos cmo vara la impedancia encada caso con la frecuencia y determinaremos experimentalmente los valores de R,C y L usados.

1. Monte el circuito de la Fig. 5.1 colocando una resistencia en el lugar indicado por Z y fije una sealsinusoidal de 1 kHz en el generador. Anote el valor nominal de R.

A

Ief.

V Vef.

Z

FIGURA 5.1: Circuito para determinar el modulo de la impedancia de un elemento.

2. Fije un valor para la amplitud del generador y tome nota de los valores eficaces Ve e Ie con susrespectivas unidades obtenidos mediante los polmetros que deben estar en modo AC.Nota. En modo AC los polmetros suministran los valores eficaces. Para conmutar al modo AC debe pulsarel botn amarillo de los polmetros.

3. Cambie ahora a una frecuencia de 2 kHz y repita el proceso descrito en el apartado anterior.

4. Sustituya ahora la resistencia por un condensador, anote su valor nominal y repita todo el procesoindicado en los dos puntos anteriores a fin de obtener los datos para el condensador a las citadasfrecuencias (1 kHz y 2 kHz).

5. Finalmente, sustituya el condensador por una bobina, anote su valor nominal y repita nueva-mente el proceso anterior para obtener los datos para la bobina para las dos frecuencias (1 kHz y2 kHz).


1. Usando los datos a 1 kHz medidos en la resistencia, calcule el mdulo de su impedancia, estoes, |Z | = Ve/Ie con sus unidades. Repita dicho calculo usando ahora los valores medidos para laresistencia a 2 kHz a fin de calcular el mdulo de su impedancia a esta nueva frecuencia.

2. Repita el punto anterior paraC y L, a fin de obtener las reactancias (esto es, XC y XL) del conden-sador y la bobina a 1 kHz y 2 kHz.

3. Compruebe para cada elemento (R,C y L) si el valor experimental que hemos obtenido de |Z | va-ra con la frecuencia y justifique dicha variacin a la vista de la expresin terica correspondiente.

4. Partiendo de los valores experimentales de |Z | para 1 kHz, obtenga los correspondientes valoresexperimentales de R, C y L. Indique el porcentaje de diferencia de dichos valores experimentalesrespecto de los valores nominales correspondientes.

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II. Impedancia de un circuito RC serie

En este punto obtendremos el valor experimental para la impedancia de un circuito serie RC usandoel osciloscopio y verificaremos que el resultado obtenido coincide con lo que predice la ley de aso-ciacin de impedancias. Completaremos el estudio con el diagrama de fasores obtenido mediantemedidas realizadas con el voltmetro.

1. Monte el circuito RC serie de la Fig. 5.2 utilizando R = 1 k yC = 100nF y fije en el generador unaseal sinusoidal de 1 kHz.

R

C

FIGURA 5.2: Circuito RC serie.

2. Conecte el canal CH1 del osciloscopio para medir la tensin total entre los extremos de la asocia-cin condensador+resistencia y el canal CH2 para medir la tensin en la resistencia.

3. Compruebe que ambas seales tienen la misma forma matemtica (es decir, son de tipo armni-co). Cambie la seal armnica del generador por una cuadrada o bien triangular. Verifique que eneste caso las seales que aparecen en el osciloscopio NO tienen la misma formamatemtica. Fijede nuevo la seal armnica inicial en el generador.

4. Mediante el botn measure del osciloscopio mida la amplitud (Vmax) de ambas seales y tomenota de dichos valores con sus unidades.

5. Calcule la amplitud de la intensidad en el circuito dividiendo Vmax en la resistencia (canal CH2)entre el valor nominal de R (ley de Ohm) y anote el valor obtenido con sus unidades.

6. Utilizando los cursores verticales, mida el retraso temporal, t , del canal CH2 respecto del ca-nal CH1 y apntelo con sus unidades (caso de que el canal CH2 se adelante al canal CH1 asignesigno negativo a dicho retraso.1) Note que el retraso medido, es tambin el retraso (o adelanto)de la intensidad respecto de la tensin total, ya que la intensidad est en fase con la tensin en laresistencia (ley de Ohm).

7. Retire del circuito las sondas del osciloscopio y mida con el voltmetro la tensin eficaz entre losextremos de la asociacin RC (Ve) y las tensiones eficaces en R (VR,e) y enC (VC ,e).

1 Un retraso temporal negativo indica realmente un adelanto en tiempo.

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1. Rgimen armnico

a) Explique la razn por la que, al alimentar el circuito anterior con una seal no-armnica, laformamatemtica de las seales visualizadas en el osciloscopio no tienen la misma forma.

2. Obtencin del valor experimental de la impedancia

a) Calcule el mdulo de la impedancia de la asociacin (|Z |) como el cociente entre las amplitu-des de la tensin total y de la intensidad.

b) Calcule el ngulo de la impedancia, Z , como la diferencia de fase entre la tensin total y laintensidad, Z = V I (note que Z es el retraso en radianes de la intensidad respecto dela tensin). Para ello utilice la igualdad V I = !t , donde t es el retraso (o adelanto) entiempo de la intensidad respecto de la tensin antes medido.

c) Finalmente exprese la impedancia como un nmero complejo escrito en forma binmica consus unidades: Z = |Z |cos(Z )+j|Z |sen(Z ). NOdeje indicada la expresin anterior, opere y ob-tenga el valor numrico de Z (no olvide el signo en el retraso angular caso de que sea negativo).

3. Comparacin con el valor terico de la impedancia de la asociacin

a) Calcule el valor numrico de la impedancia serie, Z =Rj/(!C ), usando los valores nominalesde los elementos anotados anteriormente.

b) Compare por separado los valores de la parte real e imaginaria de Z obtenidos experimental-mente en el punto 2c con los calculados tericamente e indique los porcentajes de diferenciarespecto de los valores tericos. Es de esperar que sean similares. Comente sus propios resul-tados.

4. Diagrama de fasores

a) Elija fase 0 para la tensin en la resistencia (esto implica, por tanto, queI = 0) y represente losfasores eVR y eVC usando comomdulos los valores eficacesmedidosVR,e yVC ,e respectivamente(tenga en cuenta que, tal como predice la teora, eVC presenta un desfase de /2 respecto aeVR ).NOTA: El uso de los valores eficaces en vez de los valores mximos comomdulo de los fasores simple-mente escala el dibujo en un factor

p2.

Dibuje en el diagrama anterior el fasor para la tensin total, eV , como suma de los anteriores(regla del paralelogramo) y calculematemticamente su mdulo y su fase.

Compare los valores medidos para Ve y V (V Z , obtenido ste ltimo en el punto 2b) conlos valores calculados en el diagrama de fasores, indicando el porcentaje de diferencia.

b) A la vista del diagrama de fasores, explique por qu los valores eficaces medidos para las ten-siones NO verifican la ecuacin de la malla; esto es, por qu Ve 6=VR,e+VC ,e?

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Nociones bsicas sobre corriente alterna

En circuitos formados por resistencias, bobinas y condensadores conectados a un generador de co-rriente alterna, las diferentes tensiones e intensidades en el circuito son sinusoidales (o armnicas),es decir, de la formaV (t )=V0 cos(!t+v ) e I (t )= I0 cos(!t+i ) respectivamente, siendo!= 2 f lafrecuencia angular (radianes/segundo) y f la frecuencia (Hz). En otras palabras, cualquier seal en elcircuito es de la forma genrica

A(t )= A0 cos(!t +)y, dado que! es lamisma para todas las seales, cada seal quedar completamente descrita por dosparmetros: su amplitud A0 y su fase .

Concepto de fasor

La tcnica de los fasores se basa en asignar un nmero complejo a cada seal armnica. Tiene porobjeto facilitar el estudio de sistemas fsicos donde las magnitudes varen de forma armnica. Enesencia, consiste en asignar a cada seal un nmero complejo (con su parte real e imaginaria) quecontenga la doble informacin, amplitud y fase, que describe a la seal. Es importante sealar quepreviamente a asignar los fasores escribiremos siempre las seales usando el coseno (de seno a cosenose pasa fcilmente restando /2 al ngulo: sen()= cos(/2)).En la Fig. 5.3 se muestra en el plano complejo cmo se lleva a cabo la asignacin del fasor a la sealarmnica genrica antes mencionada:

!

Real

Imag

A 0 A a jb= +

a

bA

FIGURA 5.3: Asignacin del nmero complejo o fasor, eA, asociado a la seal A(t )= A0 cos(!t +).El fasor eA asociado a A(t ), puede representarse simblicamente dando su mdulo y fase en la si-guiente forma: eA = A0\ ,denominndose representacinmduloargumento del fasor (en el campo complejo los ngulos sedenominan argumentos), o bien se puede expresar en la denominada forma binmica de un nmerocomplejo: eA = a+ jb .Las expresiones anteriores contienen idntica informacin pudindose pasar fcilmente de una a laotra segn se deduce fcilmente en la Fig. 5.3:

a = A0 cos() b = A0 sen()A0 =

pa2+b2 = arctan(b/a) .

Existe una tercera representacin denominada exponencial y que se basa en el uso de la identidad deEuler para la exponencial compleja, segn la cual: ej = cos+ jsen. Utilizando las expresiones ya

28

vistas junto con la identidad de Euler se tiene que

eA = a+ jb= A0 cos+ jA0 sen()= A0(cos+ jsen)= A0ej .

La expresin obtenida A0ej es la representacin exponencial del fasor eA.Tras llevar a cabo un anlisis que permitiera obtener los fasores en un circuito en rgimen de alterna,la determinacin de las correspondientes seales instantneas (en funcin del tiempo) sera inme-diata, pues la amplitud y fase determinan totalmente a cualquier seal armnica A(t ), segn vimosanteriormente.

Es usual llevar a cabo las derivadas de seales armnicas. El resultado es tambin una seal armnica y tendr su corres-pondiente fasor asociado. As, si A(t )= A0 cos(!t +), entonces

dA(t )dt

=!A0 sen(!t +)=!A0 cos(!t ++/2)=B0 cos(!t +)

por tanto, el fasor eB asociado a la derivada tiene como mdulo B0 = !A0 y como fase = +/2. Utilizando ahora larepresentacin exponencial es inmediato demostrar la relacin siguiente:

eB = j! eA .

Impedancia

En el anlisis de circuitos de corriente alterna que contengan resistencias (R), bobinas (L) y con-densadores (C ) se debe partir de las relaciones entre la tensin, V (t ), y la intensidad, I (t ), en dichoselementos:

V (t )=RI (t ) ResistenciaV (t )= L dI (t )

dtBobina

I (t )=C dV (t )dt

Condensador

La relacin anterior en las resistencia no esms que la Ley deOhm; por su parte, en la bobina pone demanifiesto el fenmeno de autoinduccin de acuerdo con la Ley de Faraday; por ltimo, la relacin enel condensador surge de la expresin para la carga en el mismoQ(t )=CV (t ) junto con la definicingeneral de intensidad instantnea, I (t )= dQ(t )/dt .En regimen armnico, tanto las funciones como las derivadas que aparecen en las relaciones anterio-res sern funciones armnicas. Si tomamos fasores en dichas expresiones y utilizamos la expresinya vista para el fasor asociado a la derivada, las relaciones temporales entre tensin e intensidad setransforman en sus correspondientes relaciones fasoriales eV $ eI :

V =RI ResistenciaV = j!LI BobinaV =j 1

!CI Condensador.

A la vista de lo anterior, de forma general la relacin entre el fasor tensin e intensidad puede escri-birse como

V = Z I ,

29

donde Z es un nmero complejo (NO un fasor) denominado impedancia que relaciona los fasorestensin, eV , e intensidad, eI , en un elemento R, L o C (las unidades de la impedancia en el S.I. sernvoltio/amperio=ohmio, ). En concreto, encontramos que

Z =8

30

seraAe = A0/

p2 .

Note que el valor eficaz no da informacin sobre la fase de la seal medida. Los valores eficaces tie-nen especialmente significado cuando se estudia la potencia en CA, apareciendo el factor 1/

p2 tras

realizar determinados promedios de potencia.

Ejemplo de anlisis de circuitos usando la tcnica fasorial

Como se mencion anteriormente, el anlisis de circuitos en rgimen de corriente alterna se puedellevar a cabo de formamuy simple utilizando la tcnica de fasores. A continuacin, se analizarn doscircuitos utilizando la tcnica de fasores. El anlisis pondr demanifiesto cmodicha tcnica permiteen granmedida trasladar el formalismo de corriente continua para resolver las ecuaciones circuitalesque resultan de aplicar las reglas de Kirchhoff en circuitos en rgimen armnico.

Anlisis de un circuito serie

En el dominio fasorial, la ley de Kirchhoff para el circuito serie de la Fig. 5.4 se escribe como sigue:

Z2 V2

V1

V

Z1

I

FIGURA 5.4

V = V1+ V2 = Z1 I +Z2 I (5.1)V = (Z1+Z2)I = Z I

siendo, por tanto, Z = Z1+ Z2 la impedancia total del circuito. Conocido el fasor V del generador, elfasor I puede calcularse como

I = VZ

,

y consecuentemente determinar tambin V1 = I Z1 y V2 = I Z2 a partir del valor de I antes obtenido.Si se desea la relacin entre los valores eficaces de la tensin del generador y la intensidad, basta

recordar que dichos valores eficaces son los mdulos de los fasores divididos porp2. As, partiendo

de la igualdad vista ms arriba V0 = |Z |I0, dividiendo ambos miembros porp2 se obtiene

Ve = |Z |Ie ,donde |Z | = |Z1+Z2| es el mdulo de la impedancia total de la asociacin serie.En la Fig. 5.5 se ha representado el diagrama fasorial correspondiente a los fasores tensin V , V1 y

V2. A la vista de este diagrama puede concluirse tambin la siguiente relacin para los valores eficacesde las tensiones representadas:

Ve =qV 2e,1+V 2e,2+2Ve,1Ve,2 cos(12) .

31

(ntese que esta expresin sera vlida tambin con los valores mximos V0,i , ya que son proporcio-nales a los eficaces). Como nota final de inters, cabe indicar que en el anterior diagrama fasorialpuede verse cmo se verifica la ecuacin de Kirchhoff: V = V1+ V2 (regla del paralelogramo para lasuma de vectores vlida tambin para la suma de fasores).

V~

V~1

V~2

!

"

!

#

!

FIGURA 5.5: Diagrama fasorial de tensiones

En el caso particular de que los elementos del circuito serie fuesen una resistencia (R) y un condensador (C ),la impedancia total de la asociacin sera

Z =R+ j!C

, siendo su mdulo: |Z | =rR2+ 1

!2C2.

por tanto, se tiene (vase ms arriba el apartado relativo la impedancia)

Ve = Ie |Z | = IerR2+ 1

!2C2, y V I =Z =arctan

1

!RC

.

Anlisis de un circuito paralelo

Utilizando la tcnica fasorial en el circuito paralelo de la Fig. 5.6,

Z2Z1V

I1

I2I

FIGURA 5.6

la ley de Kirchhoff para los nudos conduce a

I = I1+ I2 .

Al estar en paralelo, las tensiones en los dos dispositivos sern idnticas

V1 = V2 = V .

En este caso, conocido el fasor V del generador, puede calcularse I como sigue:

I = I1+ I2 = VZ1 +VZ2

= V1Z1

+ 1Z2

= VZ

,

32

donde Z1 = Z11 +Z12 , siendo Z la impedancia total de la asociacin paralelo. Ntese que la expre-sin obtenida es formalmente igual a la correspondiente a la asociacin en serie de resistencias vistaen corriente continua.

Para los valores eficaces se tendra nuevamente la siguiente relacin:

Ve = |Z |Ie ,

y del diagrama fasorial para intensidades, Fig. 5.7, se obtiene adems la relacin

Ie =qI 2e,1+ I 2e,2+2Ie,1Ie,2 cos(12)

II1

I2

!

"

!

#

!

FIGURA 5.7: Diagrama fasorial de intensidades

En el caso particular de que los elementos del circuito paralelo fuesen una resistencia (R) y un condensador(C ), la impedancia total de la asociacin verificara:

1Z= 1R+ j!C ,

y por tanto, operando se obtiene que

Z = R1+ j!RC , siendo su mdulo: |Z | =

Rp1+ (!RC )2

.

por tanto, en este caso

Ve = |Z | Ie = R Iep1+ (!RC )2

, y V I =Z =arctan(!RC ) .

Prctica 6

Resonancia en un circuito RLC


Seales alternas. Resonancia.

Principios fsicos

En un circuito de corriente alterna las amplitudes y fases de las intesidades dependen de la frecuenciade trabajo. As, en un circuito serie RLC existe una frecuencia para la cual la respuesta del circuito esmxima, esto es, la intensidad es mxima a dicha frecuencia. Dicha frecuencia se denomina de reso-nancia. Como consecuencia, la potencia disipada en resonancia ser tambin mxima. A frecuenciade resonancia, el efecto de la bobina y del condensador se anulan entre s resultando un circuito pu-ramente resistivo, por lo cual la intensidad, adems de ser mxima, est en fase con la tensin delgenerador. El fenmeno de resonancia en circuitos RLC se utiliza en circuitos de sintona.

Objetivos

Resonancia en un circuito RLC .


I. Resonancia en un circuito RLC

En este punto mediremos mediante el osciloscopio la frecuencia de resonancia de un circuito RLCserie y lo comparemos con el valor que predice la teora. Adems tomaremos valores de la amplitudde la intensidad en el circuito a diferentes frecuencias con el fin de dibujar la curva de resonancia.

1. Calcule el valor terico de la frecuencia de resonancia del circuito RLC serie representado en laFig. 6.1 con R = 100, L = 1mH y C = 10nF. Para ello utilice la expresin fr = 1/(2

pLC ). Tome

nota del valor calculado y exprese el resultado en kHz.

2. Sin montar an el circuito, sintonice en el generador una seal sinusoidal de frecuencia algo me-nor a la frecuencia calculada (unos 10kHzmenos si ha usado los valores anteriormente indicadospara los elementos) y de 7V de amplitud (use el osciloscopio para medir dicha amplitud conme-sure). No vare la amplitud fijada en el generador durante el resto de la prctica.

33

34

FIGURA 6.1: Circuito RLC serie para el estudio de la resonancia.

3. Monte ahora el circuito RLC de la Fig. 6.1 utilizando los citados valores R = 100, L = 1mH yC = 10nF. Respete el orden en que aparecen conectados los elementos en la figura, pues ser im-portante ya quemediremos en la resistencia y por ello deber ir esta ltima directamente a tierra.

4. Conecte el canal CH2 del osciloscopio para medir la tensin en R y vare la frecuencia del gene-rador hasta que observe un mximo para la amplitud en dicha tensin (utilice el botn measurepara observar el valor de Vmax en CH2). Note que al determinar un mximo para la tensin enla resistencia estamos determinado un mximo para la intensidad en el circuito, pues la intensi-dad es proporcional a la tensin en la resistencia (ley de Ohm). No apunte an la frecuencia deresonancia pues la ajustaremos mejor en el punto siguiente.

5. Conecte ahora el canal CH1 para medir la tensin que cae en la asociacin RLC completa, y vi-sualice (usando igual escala) la imagen de ambos canales (iguale los niveles de tierra de ambasseales para tener un slo eje de tiempos). Debemos notar que, a la frecuencia de resonancia, losefectos reactivos del condensador y de la bobina se cancelan entre s de forma que la asociacinserie LC en resonancia equivale a un cortocircuito. Por tanto, en la resonancia las seales de am-bos canales deberan ser iguales (en un cortocircuito ideal no hay cada de potencial); es decir,deben estar en fase y su amplitud debe ser idntica. Ajuste pues la frecuencia del generador has-ta que vea que ambas seales estn en fase (en cuyo caso se vern ambas seales superpuestas).Apunte ahora la frecuencia de resonancia ( fr) y el correspondiente valor de Vmax en CH2.

6. En una tabla de dos columnas, tome nota de los valores de la amplitud en la resistencia (Vmax enCH2) para las siguientes frecuencias (en kHz): 1, 10, 20, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 90,100, 120, 140, y 160. Para completar la tabla aada a la misma (no es necesario volver a medirlos)los valores antes medidos para la frecuencia de resonancia y la correspondiente amplitud de latensin en la resistencia ( fr y Vmax en CH2 antes medidos).

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1. Comparacin entre los valores experimental y terico de la frecuencia de resonancia

a) Compare los valores terico y experimental para la frecuencia de resonancia indicando el por-centaje de diferencia del valor experimental respecto del terico.

Nota. La diferencia entre ambos valores es justificable pues los valores nominales presentan una tole-rancia, segn el fabricante, del orden de un 10%mximo.

2. Representacin de los valores experimentales y del la curva terica de resonancia

(Aviso. Salvo indicacin del profesor, para llevar a cabo este punto se recomienda usar un programa pararepresentacin de funciones, por ejemplo el Zgrapher que es de libre distribucin, Excel, ...)

a) Represente en una grfica los puntos correspondientes a los valores de la tabla de la amplitudde la tensin en la resistencia VR en el eje y (VR = Vmax medido en canal CH2) frente a losvalores de la frecuencia (en kHz) en el eje x.Aviso: NO una los puntos experimentales mediante una lnea quebrada.

Nota: Los valores representados de la tensin en la resistencia son proporcionales a la intensidad por laley de Ohm; por lo cual, es equivalente a haber representado la amplitud de la intensidad en funcin dela frecuencia.

b) Demuestre que la expresin terica para el valor de la amplitud de la tensin en la resistencia,VR , en funcin de la frecuencia puede escribirse como

VR ( f )=Vg Rs(R+Rg)2+

2 f L 1

2 f C

2donde Vg es la amplitud de la tensin proporcionada por el generador y Rg la resistencia desalida del mismo.

c) En la misma grfica de puntos experimentales del apartado 2a, superponga la curva tericacorrespondiente a la representacin de la anterior funcin VR ( f ). Para ello tome Vg = 7V, quees la amplitud de tensin en el generador que fij al principio de la prctica, Rg = 50 (re-sistencia de salida del generador que est usando) y siendo los valores de R, L y C los usadosen esta prctica. Comente si se observa similitud entre los puntos experimentales y la curvaterica.

Nota. Observar que ambas grficas no son exactamente iguales, lo que se explica si se tiene en cuentaque los valores nominales de los elementos no son exactos.

d) Resuelva el siguiente ejercicio: Se desea disear un circuito RLC serie que tenga una frecuen-cia angular de resonancia !r = 25104 rad/s y que a dicha frecuencia la amplitud de la tensinen la bobina sea 20 veces mayor que en la resistencia. Si se utiliza una resistencia de 100 ,determinar los valores de L yC que deben emplearse."

Prctica 7

El diodo


Semiconductores. Elementos de circuito no lineales.

Principios fsicos

El diodo es un elemento de circuito en el cual la tensin entre sus extremos y la intensidad que locircula no son proporcionales como ocurre en las resistencias (no verifica la ley de Ohm). En estesentido podemos decir que se trata de un elemento no lineal. Ante la dificultad de hacer una descrip-cin en pocas lneas del mecanismo de conduccin de un diodo a nivel microscpico, al final de estaprctica se adjunta un breve resumen terico con el fin de proporcionar una descripcin cualitati-va bsica del funcionamiento de dicho elemento. En esta prctica analizaremos el comportamientode un diodo de silicio como elemento de circuito, es decir, estudiaremos la intensidad que circula eldiodo en funcin de la tensin entre sus extremos.

Objetivos

1. Curva caracterstica I $V en un diodo2. Rectificador de media onda


I. Curva caracterstica I $V en un diodoEn este punto estudiaremos la relacin existente entre la intensidad y la tensin en un diodo. Com-probaremos que al ser el diodo un elemento no lineal no hay una relacin de proporcionalidad entrela intensidad y la tensin y por tanto no cumple la ley de Ohm.

1. Monte el circuito mostrado en la Fig. 7.1, donde se muestra un diodo en serie con una resistenciaconectados a una fuente de tensin continua. La resistenciaR la elegiremos conun valor de 1000o 560 . El voltmetro medir la tensin entre los extremos del diodo, VAB = Vd , mientras que elampermetro medir la intensidad, I (en mA), que circula por el mismo.

36

37

!

A BI

V

AR

Vd

FIGURA 7.1: Montaje para medir la tensin e intensidad en un diodo en polarizacin directa.

2. Variando el control de amplitud del generador, tome nota en una tabla de los valores de la intensi-dad, I , cuando la tensin en el diodo, Vd , vara dentro del rango 0Vd (en V). 0,8 tomando paraello los valores siguientes: Vd (en V)= 0, 0,1, 0,3, 0,4, 0,5, 0,55, 0,6, 0,65, 0,7, 0,72, 0,74, 0,76 y 0,77.Las medidas realizadas darn cuenta de el comportamiento del diodo en polarizacin directa.Aviso. Tenga en cuenta que la intensidad puede variar mucho para variaciones de la tensin en el diodoapenas perceptibles en el voltmetro. Este hecho dificulta el proceso de medicin y hace que no se obten-gan resultados de una gran exactitud. No obstante, la calidad de las medidas es suficiente para obtener unarepresentacin grfica adecuada de la curva caracterstica.

3. Invierta ahora la colocacin del diodo respecto al caso anterior con el fin de estudiar el diodo enpolarizacin inversa. Anote en una tabla 3 pares de valores de I , Vd en un rango de 0 a 5 V parala tensin en el diodo. Considere los valores anotados como negativos, ya que hemos invertido elsentido del diodo.

Tratamiento de las medidas y resultados. (Debe incluirse en la Memoria de la Prctica)

1. Represente en una grfica los puntos correspondientes a los valores experimentales de I (eje y)frente a los deVd (eje x) tanto enpolarizacindirecta comoen inversa (use papelmilimetrado ounprograma de software, segn indicacin del profesor). A mano alzada (o bien mediante software),una convenientemente los puntos mediante una curva.

2. Compruebe que los valores (en mdulo) de la intensidad en polarizacin inversa son muy infe-riores a los de polarizacin directa. Indique el orden de magnitud de la diferencia.

3. A la vista de lo anterior, el modelo ms sencillo que podemos usar para un diodo sera un corto-circuito en polarizacin directa y un abierto en inversa. Para dicho modelo ideal, dibuje la carac-terstica I frente a Vd .

4. En electrnica a veces se usa un modelo ms cercano a la realidad que el descrito en el punto an-terior cuya caracterstica se muestra en la Fig. 7.2. As, para voltajes del diodo menores que ciertovoltaje denominado umbral (vase el breve resumen terico adjunto), V, el diodo no conduce ypara tensiones mayores que la tensin umbral la caracterstica es una recta de pendiente 1/Rf ( findica polarizacin directa, forward en ingls). Suponga que en circuito de la figura Fig. 7.1 se usaun diodo que puedemodelarse conV = 0,6V y Rf = 10, determine usando este modelo el valorde la intensidad en el circuito y la tensin en el diodo si la tensin de la fuente es de 5 V y siendola resistencia R = 430.

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I

Vd

V!

" "I V R/ =1/d f

FIGURA 7.2: Curva caracterstica del modelo del diodo en polarizacin directa descrito en el anterior punto 4.La grfica consiste en un tramo horizontal hasta el voltaje umbral, V, que se continua con una recta de pen-diente 1/Rf .

II. Rectificador demedia onda

En este apartado veremos cmo un sencillo circuito formado por una resistencia en serie y un diodoes capaz de rectificar una seal armnica eliminando las partes de voltaje negativa de la misma. De-bido a ello se denomina rectificador de media onda.Nota. Aunque no lo estudiaremos en esta prctica, es interesante indicar que es posible una rectificacin deonda completa mediante el uso dems diodos e incluso hacer una seal prcticamente constante mediante eluso adems de condensadores.

1. Monte el circuito de la Fig. 7.3 consistente en un diodo en serie con una resistencia (elija 560 o 1000 ) conectados a un generador de seales sinusoidales. Fije una seal de frecuencia entre50 Hz y 1000 Hz.

V tR( )S

FIGURA 7.3: Montaje para ver la rectificacin de media onda.

2. Mida la tensin del generador en el canal CH1 (conecte directamente mediante el cable coaxialoportuno la salida del generador con la entrada del canal CH1) y la tensin en la resistencia en elcanal CH2 (mediante la pinza). Elija la misma escala vertical (voltios/divisin) para poder com-parar ambas seales y superpngalas en la pantalla. Haga un dibujo aproximado de lo que ve enpantalla. Tenga en cuenta la pequea diferencia entre los valores mximos de ambas seales ymida su valor usando la cuadrcula de pantalla o los cursores.

39


Dibuje las formas de las seales que obtuvo en el laboratorio; esto es, la seal del generador y lade la tensin rectificada en la resistencia. Use diferentes colores o tipos de lnea para diferenciarlas dos seales.

Utilizando el modelo ms simple del diodo (un cortocircuito en polarizacin directa y un abier-to en inversa), explique la forma de la seal rectificada. Trate tambin de justificar la pequeadiferencia entre los valores mximos que midi en el osciloscopio.

Utilizando de nuevo el modelo ms simple del diodo, complete el estudio del rectificador hacien-doundibujo donde se represente frente al tiempo la seal de tensin del generador y la de tensinen el diodo (use diferentes colores o tipos de lnea para diferenciar las dos seales).

Breve resumen terico

La ecuacin bsica que rige los fenmenos de conduccin elctrica es la ley de Ohm: ~j =~E , siendo la conductividad del material, ~E el campo elctrico y ~j la densidad de corriente. Cuando la con-ductividad es independiente del campo elctrico, el elemento se denomina lineal (por ejemplo losmetales, las disoluciones electrolticas homogneas,...). Existen, sin embargo, elementos en los que laconductividad puede ser funcin de varios parmetros, generalmente del campo elctrico (tal co-mo ocurre en un diodo). En este caso la relacin entre la tensin aplicada al elemento y la intensidadque lo circula no es lineal.

Un diodo como el que utilizaremos en la prctica est formado por la unin de dos semiconduc-tores. Los semiconductores son materiales slidos cuya conductividad se encuentra entre la de losmetales y la de los aislantes. Un semiconductor puro se denomina tambin intrnseco. Los tomosque constituyen el semiconductor (por ejemplo el silicio perteneciente la grupo IV, con 4 electronesde valencia) estn unidos con los tomos vecinosmediate enlaces covalentes en los que se compartendos electrones. De esta forma, debido al enlace, cada tomo se ve rodeado de 8 electrones. A causade la agitacin trmica, algunos de estos enlaces pueden romperse dando lugar a un electrn quepuede moverse por la red y contribuir a la conduccin elctrica (electrn de conduccin) y quedan-do un enlace vacante. La vacante de este enlace puede ser ocupada por electrones de otros enlacesde forma que este enlace vacante (tambin denominado como hueco) puede desplazarse por lared y contribuir as tambin a la conduccin elctrica como si se tratase de una carga positiva. Portanto, en los semiconductores intrnsecos el nmero de huecos por unidad de volumen, que se deno-mina por la letra p, es igual al nmero de electrones de conduccin por unidad de volumen, n, dadoque la rotura de un enlace produce un par electrn-hueco. Dicha concentracin paritaria de electro-nes y huecos se denomina intrnseca, ni , (n = p = ni ). Esta concentracin crece fuertemente con latemperatura (a ms agitacin trmicamayor nmero de enlaces vacantes) y, contrariamente a lo queocurre en los metales, el aumento de la temperatura contribuye al aumento de la conductividad enlos semiconductores intrnsecos.

A menudo los semiconductores son dopados controladamente mediante impurezas aadidas(tomos de otros elementos) con el fin de aumentar n o p. Tras el proceso de dopado, el semicon-ductor se denomina extrnseco. As si se aaden al Si impurezas del grupo V (5 electrones de valencia),cuatro electrones de la impureza se ubican en los enlaces con cuatro tomos vecinos de Si y el quinto

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electrn se libera fcilmente de la impureza que queda ionizada positivamente. Dicho electrn con-tribuye a aumentar la concentracin n y la impureza se denomina donadora pues dona un electrnde conduccin. As se consigue que n sea mayor que p y el semiconductor se denomina tipo N. Porel contrario, si se aaden impurezas del grupo III (tres electrones de valencia), al enlazarse el tomode impureza con cuatro tomos vecinos de Si quedar un estado vacante en uno de los enlaces quepodr ser ocupado por electrones de otros enlaces prximos generndose as un hueco y quedando laimpureza ionizada negativamente. El nmero de huecos ser ahoramayor que el de electrones, p > n,el semiconductor se denomina tipo P y las impurezas se denominan aceptoras pues han captado unelectrn al ionizarse.

Un diodo se construye mediante la unin por contacto de un semiconductor tipo p con otro ti-po n (unin PN). En esta situacin, la diferencia de concentraciones a ambos lados de la unin haceque los huecos fluyen por difusin de la regin P!N, y los electrones de N!P. En el entorno de launin, los electrones encuentran a los huecos y se recombinan quedando slo las impurezas ioniza-das. Aparece as una zona de carga en la unin. Esta zona de carga da origen a un campo elctrico,dirigido de la zona N!P, que se opone a que sigan indefinidamente los flujos de difusin de electro-nes y huecos antes mencionados. De esta forma se alcanza un estado de equilibrio. Esta situacin esla correspondiente a un diodo sin conectar a nada externo (sin polarizar).

Cuando el diodo se polariza externamente de forma directa (potencial de zona P mayor que lazona N), se reduce el campo elctrico en la unin de forma que se rompe el equilibrio y un gran n-mero de huecos de la regin P puede pasar a la zona N. De igual forma, los electrones de la zona Npodrn pasar a la regin P. Ambos flujos de portadores, pese a ser en sentidos opuestos, contribuyena la intensidad total en un mismo sentido dado que son de signo diferente. Si, por el contrario, po-larizamos inversamente el diodo (zona N a mayor potencial que la zona P), el campo elctrico en launin aumenta y los flujos de difusin antes descritos cesan y slo existir una pequesima corrien-te debido a que el campo hace pasar algunos electrones de la zona P (donde hay muy pocos) hacia lazona N y de huecos de la zona N (donde tambin hay muy pocos) a la zona P. Esta pequea corrientese denomina corriente inversa de saturacin.

De los procesos de conduccin descritos anteriormente da cuenta la siguiente ecuacin que re-laciona la intensidad, I , con la tensin en el diodo, Vd :

I = I0(eVd /VT 1) (7.1)

siendo I0 la corriente inversa de saturacin (como luego se explicar), el coeficiente de emisindependiente del proceso de fabricacin y que suele adoptar valores entre 1 (para el germanio) y delorden de 2 (para el silicio), VT = kT /e siendo k = 1,381023 J/K la constante de Boltzmann, T latemperatura absoluta y e = 1,61019C la carga del electrn. La representacin grfica de la ecuacinanterior se muestra en la Fig. 7.4.

Vd

I

SiGe

V!

V!

FIGURA 7.4: Caractersticas tensin-intensidad de un diodo de silicio y de otro de germanio. La tensin umbral,V, en diodos de Ge es del orden de 0.2 V mientras que en diodos de Si es aproximadamente 0.6 V.

41

Como puede verse en la figura, en polarizacin directa, existe una tensin V a partir de la cualel diodo comienza a conducir notablemente para pequeos aumentos de la tensin en el mismo. Di-cha tensin se denomina umbral o de codo y es del orden de 0.2 V en diodos de Ge y de 0.6 V en losde Si. Para tensiones positivas peromenores queV existe conduccin peromuy pequea (impercep-tible en la Fig. 7.4). Por ltimo, para tensiones negativas la ecuacin (7.1) tiende rpidamente a -I0,que ser por tanto la intensidad inversa de saturacin (tambin es imperceptible en la figura). Dichaintensidad es de pequeo valor, del orden de microamperios, frente a la corriente en polarizacindirecta, que es del orden de miliamperios.

De lo anteriormente descrito puede concluirse, en trminos generales, que el diodo permitir laconduccin en un sentido de formamuy fcil (polarizacin directa) y se opondr a la conduccin ensentido contrario (polarizacin inversa).

Apndice A

Incertidumbre en lasmedidas

Las medidas de las diferentes magnitudes fsicas que intervienen en una experiencia dada, yase hayan obtenido de forma directa o a travs de su relacin mediante una frmula con otras mag-nitudes medidas directamente, nunca pueden ser exactas. Debido a la precisin limitada que todoinstrumento demedida tiene, as como a otros factores de distinta naturaleza quems adelante con-sideraremos, debe aceptarse el hecho de que no es posible conocer el valor exacto de ningunamagni-tud. Por tanto, cualquier resultado numrico obtenido experimentalmente debe presentarse siempreacompaado de un nmero que indique cunto puede alejarse este resultado del valor exacto.

A.1. Incertidumbre e incertidumbre relativa

En general, se define como error de una medida a la diferencia existente entre el valor exactode la magnitud y el valor obtenido experimentalmente. Ahora bien, como no podemos saber el valorexacto, tampoco podemos conocer este error. Por ello definimos otra cantidad que est directamane-te asociada al resultado de unamedicin y que llamaremos incertidumbre. Esta cantidad caracterizala dispersin de los valores que razonablemente podran ser atribuidos a la mangitud medida. El ob-jetivo de la teora de incertidumbre en la medida es la estimacin de la incertidumbre asociada a unresultado dado.

El resultado experimental para una magnitudm lo expresaremos como sigue:

mU (m) (A.1)

siendoU (m) la incertidumbre asociada a lamedida dem.1 El doble signo se coloca porque la incer-tidumbre puede producirse por exceso o por defecto. No obstante, la incertidumbre de una medidano nos informa por s solo de la bondad de la misma. Es evidente que no es igual de grave tener unaincertidumbre de 1 cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio. Porello, se define como incertidumbre relativa (error relativo) al cociente:

U (m)m

(A.2)

que a veces se multiplica por cien, cualificando as la incertidumbre en porcentaje de la medida rea-lizada.

1 Ntese queU (m) NO quiere decir funcinU dem. Debe leerse como incertidumbreU asociada a la medida dem.

42

43

A.2. Clasificacin de los errores

Fundamentalmente, los errores se clasifican en dos grandes grupos: errores sistemticos y erro-res casuales.

1. Errores sistemticos. Son errores que se repiten constantemente en el transcurso de un experi-mento, y que afectan a los resultados finales siempre en el mismo sentido. Se pueden distinguirvarias fuentes de errores sistemticos:

Errores de calibracin (o errores de cero) de los aparatos demedida. Es el caso, por ejemplo, delerror que se comete cuando la aguja de un aparato analgico demedida (ampermetro, balan-za, ...) no marca cero en la posicin de reposo. Este tipo de errores tambin pueden apareceren los aparatos electrnicos digitales como consecuencia de una mala calibracin interna.

Condiciones experimentales no apropiadas. Ocurren cuando se utilizan los instrumentos demedida bajo condiciones de trabajo (presin, temperatura, humedad, frecuencia de la red,etc.) diferentes de las recomendadas.

Frmulas omodelos aproximados. Este tipo de error aparece al pretender obtener demasadascifras significativas en los resultados extrados de un modelo o de una frmula aproximados.Por ejemplo, si se quiere medir la aceleracin de la gravedad con ms de tres cifras significa-tivas no se puede usar la frmula g = 42L/T 2 (pndulo simple) porque sta es una aproxi-macin que supone una serie de condiciones ideales que no suelen cumplirse en multitud desituaciones prcticas.

Por definicin, una medida es tantoms exacta cuanto menores son los errores sistemticos.

2. Errores casuales o aleatorios. Como el propio nombre indica, no existe una causa predetermi-nada para este tipo de errores. Son imposibles de controlar y alteran, tanto en un sentido comoen otro (por exceso y por defecto), la medida realizada. Este tipo de errores se someten a estudiosestadsticos. Existen varias fuentes de errores casuales:

El cambio durante el experimento de las condiciones en el entorno, provoca errores cuya eva-luacin es slo posible a partir de un estudio estadstico hecho conmedidas repetitivas.

Falta de definicin en la cantidad a medir, lo que provoca valores diferentes en las distintasmedidas realizadas. Por ejemplo, el dimetro de una esfera metlica real no es una cantidaddefinida exactamente porque la esfera no es perfecta; si uno mide el valor de varios dimetrosencontrar valores numricos diferentes.

Errores de precisin, debidos a que el aparato demedida tiene una sensibilidad dada. Se definela resolucin como la unidad ms pequea que puede

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circuito rlc

ley ms bsica

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