ma32 - guía teórica, probabilidad ii

7/24/2019 MA32 - Gua Terica, Probabilidad II

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GUA TERICO PRCTICA N 32

UNIDAD: DATOS Y AZARPROBABILIDADES II

VARIABLES ALEATORIAS

Se llama VARIABLE ALEATORIA a toda funcin que asocia un nmero real a cadaelemento del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Observacin:Se simbolizan con letras maysculas, por ejemplo: X; Y; Z;

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (VAD)

Son aquellas que pueden tomar una cantidad finita de valores o una cantidad infinitanumerable de valores, por ejemplo suma de puntos en el lanzamiento de dos dados, las

preguntas correctas en una prueba, nmeros de hijas mujeres de una familia etc.

Ejemplo:Supongamos que el experimento consiste en lanzar una moneda tres veces y definimos la

variable aleatoria X como el nmero de caras obtenidas.

Ejemplo:Supongamos que el experimento consiste en lanzar un dado y se define la variable aleatoria

Z como nmero de lanzamientos hasta que salga un dos.

El nmero de lanzamientos que puede tomar la variable hasta que salga el valor dos puede

ser infinito, pero es posible contarlos, es decir es una cantidad infinita numerable. Por lo

tanto es una variable discreta.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (VAC)

Son aquellas que pueden tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo en

los nmeros reales, por ejemplo peso de los alumnos de un curso, tiempo de

funcionamiento de un dispositivo electrnico, cantidad de agua consumida en mes por una

familia, tiempo que demora un alumno en llegar del colegio a su casa etc.

Observacin: Los valores que toma la variable aleatoria se denomina Recorrido

Resultados posibles Valores de X(s,s,s) 0

(s,s,c);(s,c,s);(c,s,s) 1

(s,c,c);(c,s,c);(c,c,s) 2(c,c,c) 3

C u r s o :Matemtica

Material N 32


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EJEMPLOS

1. Cul de los siguientes enunciados corresponde una variable aleatoria?

A) Obtener tres puntos al lanzar un dado.

B) Nmero de caras en el lanzamiento de cuatro monedas.C) Tiempo de cada de un objeto desde la azotea de un edificio.D) Obtener pinta roja al sacar una carta del naipe ingls.E) Color rubio del cabello de la persona sentada a mi lado

2. Una bolsa contiene 6 monedas, tres azules y tres rojas. Si se extraen dos monedas,una tras otra sin reposicin, cul(es) de los siguientes enunciados define(n) unavariable aleatoria?

I) Nmero de caras obtenidas.II) Nmero de monedas de color azul.

III) Tiempo empleado en realizar el experimento.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

3. En una bolsa hay 4 fichas enumeradas del 3 al 6. Se extraen dos de ellas sin reposiciny se define la variable aleatoria X, como la suma de los nmeros obtenidos. Cul(es)de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Es una variable aleatoria discretaII) El recorrido de la variable aleatoria es {7, 9, 11}

III) El total de resultados posibles de la variable aleatoria son 3

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

4. Para el experimento de lanzar dos veces un dado, se define la variable aleatoria Xcomo

la parte entera del cuociente de los valores obtenidos. Entonces, el recorrido de lavariable aleatoria es

A) {0}B) {1}C) {1, 2, 3, 4, 5, 6}D) {0, 1, 2, 3, 4, 5}E) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}


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FUNCIN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE DISCRETA

Se llama funcin de probabilidadde una variable aleatoria discreta X a la funcin queasocia cada valor de xi con su probabilidad de ocurrencia pi.Se denota por f(x) = P(X = xi)

Propiedades:1. 0 f(xi) 12. f(x1) + f(x2) + .+ f(xn) = 13. P(X = a) = 0, si a no pertenece al recorrido de la variable aleatoria

Observaciones:1. El recorrido de la variable aleatoria es el dominio de la funcin de probabilidad2. El recorrido de la funcin de probabilidad est en 0, 1

Ejemplo:Definida la variable X como el nmero de caras que pueden obtener en el lanzamiento detres veces una moneda. La tabla muestra la probabilidad para los diferentes valores de X:

EJEMPLOS

1. En la fabricacin de 30 dados se sabe que el 20% de ellos son defectuosos. El procesode control de calidad consiste en examinar cinco de ellos, uno tras otro sin devolucin,si se define la variable aleatoria X como el nmero de dados defectuosos que seobtienen, entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que todos sean defectuosos es 0,6.II) El recorrido de la variable aleatoria es {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

III) La probabilidad de obtener todos buenos es 0,8.

A) Solo IIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas.

Resultados Valores de X f(xi)=P(X = xi)(s,s,s) 0 f(0)= P(X=0) = 1/8

(s,s,c);(s,c,s);(c,s,s) 1 f(1)= P(X=1) = 3/8

(s,c,c);(c,s,c);(c,c,s) 2 f(2)= P(X=2) = 3/8

(c,c,c) 3 f(3)= P(X=3) = 1/8

0 1 2 3

f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1

1 3 3 1 1

8 8 8 8

f(x)

Valores v.a.

1/8 -

3/8 -

Funcin de probabilidad


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2. Si el experimento aleatorio consiste en lanzar dos veces un dado y se define la variablealeatoria X: el doble de la suma de los nmeros que aparecen, entonces cul(es) delas siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Los valores de la variable aleatoria son {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,24}.

II) El recorrido de la funcin de probabilidad es [4, 24].III) P(14) =

1

6.

A) Solo IIB) Solo I y IIC) Solo II y IIID) Solo I y IIIE) I, II y III

3. Se tiene un dado cargado cuyos resultado y probabilidades se muestran en la tablaadjunta

Cul(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) P(X sea un nmero primo) = 0,70.II) P(X > 6) = 0.

III) P(X > 4) = 1 P(X < 4).

A) Solo IIB) Solo III

C) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III

4. La tabla adjunta muestra la funcin de probabilidad de la variable aleatoria X


I) El valor de m = 0,17II) P(X 10) = P(X > 0)

III) P(X -10) = 1 P(X = -20)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III

X 1 2 3 4 5 6

P(X=xi) 0,30 0,15 0,05 0,18 0,20 0,12

X -20 -10 0 10 20P(X=xi) 0,18 m 0,22 0,33 0,10


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FUNCIN DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE DISCRETA

La funcin de distribucin de probabilidadF(x)asocia a cada valor de x la probabilidadacumulada, es decir F(x) = P(X x)

Propiedades:

1. Como F(x) es una probabilidad, se cumple que 0 F(x) 1

2. Si x1, x2, x3, .., xn-1, xnson valores de la variable aleatoria, entonces

P(X xn-1) = P(X=x1) + P(X=x2) + P(X=x3) +......+ P(X=xn-1)

3. Si a < b , entonces P( a < X b ) = F (b) F (a)4. P(X > a) = 1 - P(X a) = 1 F(a)

Observacin:

En el caso de variable aleatoria discreta la funcin de distribucin de probabilidad es unafuncin escalonada.

Ejemplo:Para la variable X definida como el nmero de caras que se obtienen al lanzar tres veces unamoneda, la siguiente tabla muestra la funcin probabilidady funcin de distribucin deprobabilidadpara los diferentes valores de X:

X F(xi)=P(X xi)0 F(0) = P(X 0) = 1/8

1 F(1) = P(X 1) = 1/8 + 3/8 = 4/8

2 F(2) = P(X 2) = 4/8 + 3/8 = 7/8

3 F(3) = P(X 3) = 7/8 + 1/8 = 8/8 = 1

Funcin de distribucin

F(x)

Valores v.a.discreta

1

Funcin de distribucin

F(x)

Valores v.a.discreta

1

1/8

4/8

7/8

0 1 2 3


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EJEMPLOS

1. La tabla adjunta muestra la funcin de probabilidad de una variable aleatoria W

Cul es la probabilidad que P(W 0)?

A) P(W = -2) + P(W = -1)B) P(W = -2) + P(W = -1) + P(W = 0)C) 1 P(W = 0)D) 1 P(W < 0)E) Ninguna de las anteriores

2. El grfico muestra la funcin de distribucin de probabilidad de una variable aleatoria X


I) P(X = -2) = P(X= 1)

II) P(X 1) = 0,8III) P(X 4) = 1

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I, II y IIIE) Ninguna de las opciones anteriores.

3. La funcin de distribucin de probabilidad de una variable aleatoria X est dada por lasiguiente tabla

Cul es el valor de P(X > 30)?

A) 0,23B) 0,42C) 0,58D) 0,65E) 1,75

X 10 20 30 40 50P(X xi) 0,05 0,30 0,42 0,75 1

Variablealeatoria: X

F(X)

-2 0 1 4

0,4

0,8

1

w -2 -1 0 1

f(w) 0,20 0,45 0,3 0,05


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FUNCIN DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA

La funcin de distribucin de probabilidadF(x)asocia a cada valor de x la probabilidadacumulada, es decir F(x) = P(X x).

La probabilidad de que la variable est comprendida en el intervalo [a, b] est dada por elrea bajo la curva de la funcin entre los puntos a y b

Propiedades:1. Como f(x) es una probabilidad, se cumple que 0 F(x) 1.

2. Si a < b, entonces P(a < X b) = F(b) F(a).

3. P(X > a) = 1 - P(X a) = 1 F(a)

4. P(X = a) = 0, es decir la probabilidad que la variable tome exactamente un valor es

igual a cero.

5. P(X < a) = P(X a)

Observacin:

En el caso de variable aleatoria continua la funcin de distribucin de probabilidad es unafuncin continua.

EJEMPLO

1. Se define la funcin de distribucin de la variable X como f(x) = x2, con 0 < x < 1,entonces cul(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) P(0,1 < x 0,8) = 0,63

II) P(x > 0,7) = 1 F(0,7)

III) P(x < 0,1) = 0,1

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

x

y

a b

P(a < x < b)

f(x)


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DISTRIBUCIN NORMAL

Para variables aleatorias continuas X, la funcin de probabilidad es denominada Funcin dedensidad de probabilidad, es una funcin continua y la probabilidad est dada por elrea bajo la curva de la funcin.

La distribucin ms importante dentro de las distribuciones continuas es la distribucinnormal.Es un modelo matemtico, que recibe su nombre debido a que en cierto momento se pens

que la mayora de los fenmenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribucin

permite representar fenmenos estadsticos de manera probabilstica.

Caractersticas:

1. El rea bajo la curva es igual a la unidad.

2. Es simtrica con respecto a x = , y deja un rea igual a 0,5 a la izquierda y otra de0,5 a la derecha, es decir, hay una probabilidad del 50% de observar un dato mayor a lamedia y un 50% de observar un dato menor a la media.

3. Es asinttica al eje de las abscisas, es decir, la curva se acerca lo ms posible al eje delas X sin llegar a tocarlo.

4. La media, moda y mediana coinciden.

5. La probabilidad equivale al rea encerrada bajo la curva.

EJEMPLO

1. En el Colegio Universo, el peso de los 40 alumnos del 3 medio, tienen una distribucinnormal con media de 72 kg y desviacin estndar de 3 kg. Cul es la probabilidad deque un alumno elegido al azar pese menos de 72 kg.?

A) 0,02B) 0,025C) 0,05D) 0,25E) 0,5

El grfico de la funcin de densidad de una variable

aleatoria con distribucin normal es similar almostrado en la figura, es decir tiene una forma

conocida como Campana de Gauss, y es simtricocon respecto a la media, . Esta distribucin quedadefinida por dos parmetros: la media () y la

desviacin estndar (), y se denota X ~ N(, ).


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INTERVALOS DE UNA DISTRIBUCIN NORMAL

Si una poblacin tiene media y desviacin estndar , se tiene que

EJEMPLOS

1. Sea X una variable aleatoria con distribucin N ~ (18,3). Cul(es) de las siguientesproposiciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que la variable tome valores mayores que 18 es el 50%.II) P(X 21) = 0,6587

III) P(X > 24) = 0,0228

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y III

D) Solo II y IIIE) I, II y III

2. Los pacientes afectados por una bacteria y su tiempo de recuperacin, en das, tieneuna distribucin N ~ (6; 1,3). Cul es la probabilidad de que un paciente se recupereen un tiempo mayor a 9,9 horas?

A) 0,99865B) 0,49865C) 0,5D) 0,0228E) 0,00135

En el intervalo , En el intervalo 2 , 2 En el intervalo 3 , 3 el rea encerrada es 0,6826 el rea encerrada es 0,9544 el rea encerrada es 0,9973es decir, 68,26%del total. es decir, 95,44%del total. es decir, 99,73%del total.

-3 +3-2 +2- +


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3. El tiempo de duracin que tienen los focos fabricados por una empresa, se distribuyeen forma normal con media aritmtica igual a 1.020 horas y desviacin estndar51 horas. Cul es la probabilidad en porcentaje de que dure ms de 1.122 horas?

A) 47,720%B) 45,440%

C) 22,800%D) 2,280%E) 1,587%

4. Cul de los siguientes grficos representa a tres distribuciones de probabilidad normalcon la misma media y diferentes desviaciones estndar?

A) B)

C) D)

E)


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DISTRIBUCIN NORMAL ESTANDAR

La distribucin normal estndar o tipificada, es aquella que tiene media 0 y desviacin

estndar 1. Se denota por X ~ N(0, 1)

Por ser la grfica simtrica respecto = 0, entonces se cumple P(X -x1) = P(X x1)

Grficamente:

EJEMPLOS1. Sea X una variable aleatoria con distribucin N ~ (0,1). Cul(es) de las siguientes

proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) P(X -1) = 0,1587

II) P(X -2) = P(X 2)

III) P(X 3) = 0,00135

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y III

D) Solo II y IIIE) I, II y III

2. En una distribucin normal estndar X ~ N(0,1), cul de las alternativas es la

correcta?

A) P(X 3) = 0,49865B) P(X = -3) = 0,0135

C) P(X 3) = 0,4973D) P(X -3) = 0,00135E) P(-3 X 3) = 0,865

x1-x1


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OTROS CASOS

Cuando la el valor de la variable x ino se encuentra dentro de los intervalos dados, existeuna tabla, llamada tabla normal tipificada, que permite determinar el valor de:F(X) = P(X xi)

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0, 0 0, 50000 0, 50399 0, 50798 0, 51197 0, 51595 0, 51994 0, 52392 0, 52790 0, 53188 0, 53586

0, 1 0, 53983 0, 54380 0, 54776 0, 55172 0, 55567 0, 55962 0, 56356 0, 56749 0, 57142 0, 57535

0, 2 0, 57926 0, 58317 0, 58706 0, 59095 0, 59483 0, 59871 0, 60257 0, 60642 0, 61026 0, 61409

0, 3 0, 61791 0, 62172 0, 62552 0, 62930 0, 63307 0, 63683 0, 64058 0, 64431 0, 64803 0, 65173

0, 4 0, 65542 0, 65910 0, 66276 0, 66640 0, 67003 0, 67364 0, 67724 0, 68082 0, 68439 0, 68793

0, 5 0, 69146 0, 69497 0, 69847 0, 70194 0, 70540 0, 70884 0, 71226 0, 71566 0, 71904 0, 72240

0, 6 0, 72575 0, 72907 0, 73237 0, 73565 0, 73891 0, 74215 0, 74537 0, 74857 0, 75175 0, 75490

0, 7 0, 75804 0, 76115 0, 76424 0, 76730 0, 77035 0, 77337 0, 77637 0, 77935 0, 78230 0, 78524

0, 8 0, 78814 0, 79103 0, 79389 0, 79673 0, 79955 0, 80234 0, 80511 0, 80785 0, 81057 0, 81327

0, 9 0, 81594 0, 81859 0, 82121 0, 82381 0, 82639 0, 82894 0, 83147 0, 83398 0, 83646 0, 83891

1, 0 0, 84134 0, 84375 0, 84614 0, 84849 0, 85083 0, 85314 0, 85543 0, 85769 0, 85993 0, 86214

1, 1 0, 86433 0, 86650 0, 86864 0, 87076 0, 87286 0, 87493 0, 87698 0, 87900 0, 88100 0, 88298

1, 2 0, 88493 0, 88686 0, 88877 0, 89065 0, 89251 0, 89435 0, 89617 0, 89796 0, 89973 0, 90147

1, 3 0, 90320 0, 90490 0, 90658 0, 90824 0, 90988 0, 91149 0, 91309 0, 91466 0, 91621 0, 91774

1, 4 0, 91924 0, 92073 0, 92220 0, 92364 0, 92507 0, 92647 0, 92785 0, 92922 0, 93056 0, 93189

1, 5 0, 93319 0, 93448 0, 93574 0, 93699 0, 93822 0, 93943 0, 94062 0, 94179 0, 94295 0, 94408

1, 6 0, 94520 0, 94630 0, 94738 0, 94845 0, 94950 0, 95053 0, 95154 0, 95254 0, 95352 0, 95449

1, 7 0, 95543 0, 95637 0, 95728 0, 95818 0, 95907 0, 95994 0, 96080 0, 96164 0, 96246 0, 96327

1, 8 0, 96407 0, 96485 0, 96562 0, 96638 0, 96712 0, 96784 0, 96856 0, 96926 0, 96995 0, 97062

1, 9 0, 97128 0, 97193 0, 97257 0, 97320 0, 97381 0, 97441 0, 97500 0, 97558 0, 97615 0, 97670

2, 0 0, 97725 0, 97778 0, 97831 0, 97882 0, 97932 0, 97982 0, 98030 0, 98077 0, 98124 0, 98169

2, 1 0, 98214 0, 98257 0, 98300 0, 98341 0, 98382 0, 98422 0, 98461 0, 98500 0, 98537 0, 98574

2, 2 0, 98610 0, 98645 0, 98679 0, 98713 0, 98745 0, 98778 0, 98809 0, 98840 0, 98870 0, 98899

2, 3 0, 98928 0, 98956 0, 98983 0, 99010 0, 99036 0, 99061 0, 99086 0, 99111 0, 99134 0, 99158

2, 4 0, 99180 0, 99202 0, 99224 0, 99245 0, 99266 0, 99286 0, 99305 0, 99324 0, 99343 0, 99361

2, 5 0, 99379 0, 99396 0, 99413 0, 99430 0, 99446 0, 99461 0, 99477 0, 99492 0, 99506 0, 99520

2, 6 0, 99534 0, 99547 0, 99560 0, 99573 0, 99585 0, 99598 0, 99609 0, 99621 0, 99632 0, 99643

2, 7 0, 99653 0, 99664 0, 99674 0, 99683 0, 99693 0, 99702 0, 99711 0, 99720 0, 99728 0, 99736

2, 8 0, 99744 0, 99752 0, 99760 0, 99767 0, 99774 0, 99781 0, 99788 0, 99795 0, 99801 0, 99807

2, 9 0, 99813 0, 99819 0, 99825 0, 99831 0, 99836 0, 99841 0, 99846 0, 99851 0, 99856 0, 99861

3, 0 0, 99865 0, 99869 0, 99874 0, 99878 0, 99882 0, 99886 0, 99889 0, 99893 0, 99896 0, 99900

3, 1 0, 99903 0, 99906 0, 99910 0, 99913 0, 99916 0, 99918 0, 99921 0, 99924 0, 99926 0, 99929

3, 2 0, 99931 0, 99934 0, 99936 0, 99938 0, 99940 0, 99942 0, 99944 0, 99946 0, 99948 0, 99950

3, 3 0, 99952 0, 99953 0, 99955 0, 99957 0, 99958 0, 99960 0, 99961 0, 99962 0, 99964 0, 99965

3, 4 0, 99966 0, 99968 0, 99969 0, 99970 0, 99971 0, 99972 0, 99973 0, 99974 0, 99975 0, 99976

3, 5 0, 99977 0, 99978 0, 99978 0, 99979 0, 99980 0, 99981 0, 99981 0, 99982 0, 99983 0, 99983

3, 6 0, 99984 0, 99985 0, 99985 0, 99986 0, 99986 0, 99987 0, 99987 0, 99988 0, 99988 0, 99989

3, 7 0, 99989 0, 99990 0, 99990 0, 99990 0, 99991 0, 99991 0, 99992 0, 99992 0, 99992 0, 99992

3, 8 0, 99993 0, 99993 0, 99993 0, 99994 0, 99994 0, 99994 0, 99994 0, 99995 0, 99995 0, 99995

3, 9 0, 99995 0, 99995 0, 99996 0, 99996 0, 99996 0, 99996 0, 99996 0, 99996 0, 99997 0, 99997

4, 0 0, 99997 0, 99997 0, 99997 0, 99997 0, 99997 0, 99997 0, 99998 0, 99998 0, 99998 0, 99998

Modo de utilizar: En la columna 1 se busca la unidad y dcima de x i y en la fila 1 lacentsima de x1, en el lugar en el que intersecta la fila que contiene la unidad y la dcimacon la columna que contiene la centsima contiene el valor de P(X < xi)


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13

Modo de utilizar:En la columna 1 se busca la unidad y dcima de x iy en la fila 1 la centsima de x 1, en ellugar en el que intersecta la fila que contiene la unidad y la dcima con la columna quecontiene la centsima contiene el valor de P(X < x i).

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0, 0 0, 50000 0, 50399 0, 50798 0, 51197 0, 51595 0, 51994 0, 52392 0, 52790 0, 53188 0, 53586

0, 1 0, 53983 0, 54380 0, 54776 0, 55172 0, 55567 0, 55962 0, 56356 0, 56749 0, 57142 0, 57535

0, 2 0, 57926 0, 58317 0, 58706 0, 59095 0, 59483 0, 59871 0, 60257 0, 60642 0, 61026 0, 61409

0, 3 0, 61791 0, 62172 0, 62552 0, 62930 0, 63307 0, 63683 0, 64058 0, 64431 0, 64803 0, 65173

0, 4 0, 65542 0, 65910 0, 66276 0, 66640 0, 67003 0, 67364 0, 67724 0, 68082 0, 68439 0, 68793

0, 5 0, 69146 0, 69497 0, 69847 0, 70194 0, 70540 0, 70884 0, 71226 0, 71566 0, 71904 0, 72240

0, 6 0, 72575 0, 72907 0, 73237 0, 73565 0, 73891 0, 74215 0, 74537 0, 74857 0, 75175 0, 75490

0, 7 0, 75804 0, 76115 0, 76424 0, 76730 0, 77035 0, 77337 0, 77637 0, 77935 0, 78230 0, 78524

0, 8 0, 78814 0, 79103 0, 79389 0, 79673 0, 79955 0, 80234 0, 80511 0, 80785 0, 81057 0, 81327

0, 9 0, 81594 0, 81859 0, 82121 0, 82381 0, 82639 0, 82894 0, 83147 0, 83398 0, 83646 0, 83891

1, 0 0, 84134 0, 84375 0, 84614 0, 84849 0, 85083 0, 85314 0, 85543 0, 85769 0, 85993 0, 86214

1, 1 0, 86433 0, 86650 0, 86864 0, 87076 0, 87286 0, 87493 0, 87698 0, 87900 0, 88100 0, 88298

1, 2 0, 88493 0, 88686 0, 88877 0, 89065 0, 89251 0, 89435 0, 89617 0, 89796 0, 89973 0, 90147

1, 3 0, 90320 0, 90490 0, 90658 0, 90824 0, 90988 0, 91149 0, 91309 0, 91466 0, 91621 0, 91774

1, 4 0, 91924 0, 92073 0, 92220 0, 92364 0, 92507 0, 92647 0, 92785 0, 92922 0, 93056 0, 93189

1, 5 0, 93319 0, 93448 0, 93574 0, 93699 0, 93822 0, 93943 0, 94062 0, 94179 0, 94295 0, 94408

1, 6 0, 94520 0, 94630 0, 94738 0, 94845 0, 94950 0, 95053 0, 95154 0, 95254 0, 95352 0, 95449

1, 7 0, 95543 0, 95637 0, 95728 0, 95818 0, 95907 0, 95994 0, 96080 0, 96164 0, 96246 0, 96327

1, 8 0, 96407 0, 96485 0, 96562 0, 96638 0, 96712 0, 96784 0, 96856 0, 96926 0, 96995 0, 97062

1, 9 0, 97128 0, 97193 0, 97257 0, 97320 0, 97381 0, 97441 0, 97500 0, 97558 0, 97615 0, 97670

2, 0 0, 97725 0, 97778 0, 97831 0, 97882 0, 97932 0, 97982 0, 98030 0, 98077 0, 98124 0, 98169

2, 1 0, 98214 0, 98257 0, 98300 0, 98341 0, 98382 0, 98422 0, 98461 0, 98500 0, 98537 0, 98574

2, 2 0, 98610 0, 98645 0, 98679 0, 98713 0, 98745 0, 98778 0, 98809 0, 98840 0, 98870 0, 98899

2, 3 0, 98928 0, 98956 0, 98983 0, 99010 0, 99036 0, 99061 0, 99086 0, 99111 0, 99134 0, 99158

2, 4 0, 99180 0, 99202 0, 99224 0, 99245 0, 99266 0, 99286 0, 99305 0, 99324 0, 99343 0, 99361

2, 5 0, 99379 0, 99396 0, 99413 0, 99430 0, 99446 0, 99461 0, 99477 0, 99492 0, 99506 0, 99520

2, 6 0, 99534 0, 99547 0, 99560 0, 99573 0, 99585 0, 99598 0, 99609 0, 99621 0, 99632 0, 99643

2, 7 0, 99653 0, 99664 0, 99674 0, 99683 0, 99693 0, 99702 0, 99711 0, 99720 0, 99728 0, 99736

2, 8 0, 99744 0, 99752 0, 99760 0, 99767 0, 99774 0, 99781 0, 99788 0, 99795 0, 99801 0, 99807

2, 9 0, 99813 0, 99819 0, 99825 0, 99831 0, 99836 0, 99841 0, 99846 0, 99851 0, 99856 0, 99861

3, 0 0, 99865 0, 99869 0, 99874 0, 99878 0, 99882 0, 99886 0, 99889 0, 99893 0, 99896 0, 99900

3, 1 0, 99903 0, 99906 0, 99910 0, 99913 0, 99916 0, 99918 0, 99921 0, 99924 0, 99926 0, 99929

3, 2 0, 99931 0, 99934 0, 99936 0, 99938 0, 99940 0, 99942 0, 99944 0, 99946 0, 99948 0, 99950

3, 3 0, 99952 0, 99953 0, 99955 0, 99957 0, 99958 0, 99960 0, 99961 0, 99962 0, 99964 0, 99965

3, 4 0, 99966 0, 99968 0, 99969 0, 99970 0, 99971 0, 99972 0, 99973 0, 99974 0, 99975 0, 99976

3, 5 0, 99977 0, 99978 0, 99978 0, 99979 0, 99980 0, 99981 0, 99981 0, 99982 0, 99983 0, 99983

3, 6 0, 99984 0, 99985 0, 99985 0, 99986 0, 99986 0, 99987 0, 99987 0, 99988 0, 99988 0, 99989

3, 7 0, 99989 0, 99990 0, 99990 0, 99990 0, 99991 0, 99991 0, 99992 0, 99992 0, 99992 0, 99992

3, 8 0, 99993 0, 99993 0, 99993 0, 99994 0, 99994 0, 99994 0, 99994 0, 99995 0, 99995 0, 99995

3, 9 0, 99995 0, 99995 0, 99996 0, 99996 0, 99996 0, 99996 0, 99996 0, 99996 0, 99997 0, 99997

4, 0 0, 99997 0, 99997 0, 99997 0, 99997 0, 99997 0, 99997 0, 99998 0, 99998 0, 99998 0, 99998

EJEMPLOS:

P(X 1,24) = 0,8925 P(X 1,24) = 1 P(X 1,24) = 1 0,8925 = 0,1075

P(X -1,24) = P(X 1,24) = 1 P(X 1,24) = 1 0,8925 = 0,1075


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OBSERVACIN: En la PSU darn la tabla de manera que se busca directamente laP(X < x) si la variable aleatoria se denomina Z, entonces P(Z < z).

TABLA PSU

Si Z (0, 1) es una distribucin normal estndar, entonces:

ESTANDARIZACIN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DE DISTRIBUCIN NORMAL

Para poder utilizar la tabla para encontrar la probabilidad P(X < xi) en una distribucin

normal, no estndar, es necesario estandarizar la variable.

Si X es una variable que tiene distribucin normal con media y desviacin estndar , es

decir X ~ N(, ), se define una nueva variable aleatoria Z de la forma:X

Z

, que tiene

una distribucin normal estndar, es decir, Z ~ N(0 , 1).

Entonces la probabilidad en trminos de la variable X puede calcularse en trminos de Z, de

la siguiente manera.

x

P X x P Z

EJEMPLOLos notas de 40 alumnos que rindieron examen de admisin en un colegio para ocupar lasvacantes en el 1 medio, tienen una distribucin N(5,1; 1,2).Cul es la probabilidad de que sean aceptados con nota superior a 6?

Solucin: P(X > 6) = 1 P (X < 6)

= 1 6 5,1P Z 124) es

A) 1,5B) 0,93319C) 0,1359D) 0,06795E) 0,06681

100 101,5 1,5 16

0 1,5 0 1,5


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RESPUESTAS EJEMPLOS

DMQMA-32

Pg 1 2 3 4

2 B E A E

3 y 4 A D A E

6 B D C

7 C

8 E

9 y 10 C E D A

11 E D

15 C D E

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ma32 - guía teórica, probabilidad ii

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