los matemáticos de - wordpress.com · 2020. 6. 11. · para hacer todos juntos materiales para el...

Losmatemáticos de

Claudia Broitman Horacio ItzcovichAndrea NovembreMónica Escobar Verónica Grimaldi Héctor Ponce Inés Sancha

Los matemáticos de 5.º es una obra colectiva, creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Mónica Pavicich, por el siguiente equipo:

Coordinación general: Claudia BroitmanCoordinación pedagógica: Claudia Broitman y Horacio ItzcovichAutores: Mónica Escobar, Verónica Grimaldi, Héctor Ponce e Inés SanchaLectura crítica: Andrea Novembre

Editor: Héctor Daniel ÁlvarezJefa de edición: María Laura LatorreGerencia de gestión editorial: Patricia S. Granieri

5Losmatemáticos de

SANTILLANA y los autores ceden los derechos de reproducción parcial

de la obra en el marco de la cuarentena por el Coronavirus.

Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2020, en Triñanes Gráfica S.A., Charlone 971, Avellaneda, Buenos Aires, República Argentina.

Los matemáticos de 5 / Mónica Escobar ... [et al.] ; coordinación general de Claudia Broitman ; Horacio Itzcovich. - 1a ed . 12a reimp. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Santillana, 2020. 160 p. ; 28 x 22 cm.

ISBN 978-950-46-4430-9

1. Matemática. 2. Educación Primaria. 3. Libro de Texto. I. Escobar, Mónica. II. Broitman, Claudia, coord. III. Itzcovich, Horacio, coord. CDD 372.7

Jefa de arte: Silvina Gretel Espil.

Diseño de maqueta: Adrián Shirao y Silvina Gretel Espil.

Diseño de tapa: Adrián Shirao.

Diagramación: Alejandro Pescatore.

Corrección: Paula Smulevich.

Ilustración: Héctor Borlasca.

Documentación fotográfica: Leticia Gómez Castro, Cynthia Romina Maldonado y Nicolas Verdura.

Fotografía: Archivo Santillana.

Preimpresión: Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez.

Gerencia de producción: Gregorio Branca.

© 2015, EDICIONES SANTILLANA S.A.Av. Leandro N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

ISBN: 978-950-46-4430-9 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: septiembre de 2015.Duodécima reimpresión: enero de 2020.

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el siguiente equipo:

Leer, escribir y ordenar números I...............6Leer, escribir y ordenar números II .............7Números y cálculos ..........................................9Problemas y cálculos I .................................. 11Problemas y cálculos II ................................. 13Problemas para estudiar ................... 15

1capítulo

RepasaR cuaRto ............................. 5

Cálculos de multiplicaciones y divisiones ......56Problemas con varios cálculos .........................57La multiplicación y sus propiedades ...............59La división y sus propiedades...........................61Analizar el funcionamiento de la división .....63Problemas para estudiar ....................65

5capítulo opeRaciones ii ............................. 55

Números mayores que 100.000 I ............. 18Números mayores que 100.000 II ............ 19El lugar que ocupan las cifras .................... 21Antiguos sistemas de numeración: el egipcio y el chino ....................................... 23Problemas para estudiar ................... 25

2capítulo

numeRación ................................. 17

Cálculos mentales de multiplicacionesy divisiones ...................................................... 28Problemas y cálculos I .................................. 29Relaciones entre la multiplicacióny la división ..................................................... 31Problemas y cálculos II ................................. 33Estimar el resultado de multiplicacionesy divisiones ...................................................... 35Aproximar para resolver .............................. 37Problemas para estudiar ....................39

3capítulo

opeRaciones i .............................. 27

Describir y construir figuras circulares ..... 42Puntos que cumplen ciertas condiciones .... 43Lados de triángulos ...................................... 45Ángulos de triángulos ................................... 47Triángulos con distintos datos I ................. 49Triángulos con distintos datos II ................ 51Problemas para estudiar ....................53

4capítulo

ciRcunfeRencias y tRiángulos ......... 41

Fracciones que se relacionan ..................... 68Repartir en partes iguales ........................... 69Fracciones y medidas ................................... 71Fracciones, partes y cantidades ................. 73Comparar y ordenar números ................... 75Sumas y restas con fracciones ................... 77Problemas para estudiar ....................79

6capítulo

fRacciones .................................. 67

7capítulo

múltiplos y divisoRes ................... 81

Más sobre multiplicaciones y divisiones ... 82Cuántas veces entra un númerodentro de otro ................................................ 83Múltiplos y divisores en cálculosy problemas .................................................... 85Más sobre múltiplos y divisores ................. 87Problemas para estudiar ....................89

Figuras con cuadriláteros ............................ 92Características de los cuadriláteros ........... 93Construir cuadriláteros I .............................. 95Ángulos interiores de cuadriláteros .......... 97Averiguar la medida de un ángulo ............ 99Construir cuadriláteros II ...........................101Problemas para estudiar ..................103

8capítulo

cuadRiláteRos ............................. 91

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Índice

Uso de íconos

En varios capítulos encontrarán este dibujo , que indica que se sugiere usar la calculadora para resolver o para verificar.

En los capítulos de geometría encontrarán dibujos que indican qué instrumentos geométricos están habilitados para resolver cada problema.

Regla

Transportador

Compás

Escuadra

Regla no graduada

Además, en algunos problemas geométricos se incluye este dibujo , que indica que esa actividad puede resolverse también con la computadora usando el programa GeoGebra.

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Los números con coma y el dinero ........106Medidas y números con coma..................107Partir y repartir entre 10 ..........................109Fracciones y expresiones decimales........111Problemas para estudiar ..................113

9capítulo

fRacciones y decimales i .............. 105

Múltiplos y submúltiplos del metro I ...........138Múltiplos y submúltiplos del metro II ..........139Múltiplos y submúltiplos del gramo ............141Múltiplos y submúltiplos del litro .................143Medida, expresiones decimales y fracciones decimales .....................................145Estimar medidas ...............................................147Problemas para estudiar ..................149

12capítulo

medida ..................................... 137

Proporcionalidad directa I..........................116Proporcionalidad directa II ........................117Proporcionalidad directa III .......................119Proporcionalidad directa, fracciones y decimales ...............................121¿Relaciones de proporcionalidad directa? ...123Problemas para estudiar ..................125

10capítulo

pRopoRcionalidad ....................... 115

Más fracciones y expresiones decimales ...128Comparar expresiones fraccionariasy decimales ...................................................129Multiplicar y dividir por 10, 100 y 1.000...131Cálculos mentales .......................................133Problemas para estudiar ..................135

11capítulo

fRacciones y decimales ii ............. 127

Características de cuerpos geométricos ..152Propiedades de los prismas ........................153Propiedades de las pirámides ....................155Construcciones ...............................................157Problemas para estudiar....................159

13capítulo

cueRpos geométRicos .................. 151

CirCunferenCias Y Triángulos 4capítulo

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Para hacer todos juntos

Materiales para el juego• Cinco pelotitas de papel.• Una regla.

Reglas del juegoSe marca una cruz en el piso. Se juega en equipos de 4 integrantes, que se ubican detrás de una línea trazada aproximadamente a 3 metros de la cruz. Por turnos, cada jugador de un mismo equipo arroja las cinco pelotitas de a una por vez. Las pelotitas que caen a menos 5 cm de la cruz suman 100 puntos. Aquellas pelotitas que quedan entre 5 cm y 30 cm de la cruz suman 10 puntos. Las que quedan a más de 30 cm no suman puntos. El equipo que obtiene más puntos es el ganador.


a) ¿Es posible que haya dos pelotitas que queden a 5 cm de la cruz y estén en lugares distintos?

b) ¿Cómo se puede hacer para saber qué pelotitas caen a menos de 30 cm sin estar midiendo en cada caso?

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1. Copiá la siguiente figura.

Todos los puntos que están a la misma distancia de otro llamado centro forman una circunferencia.

Si se consideran todos los puntos de una circunferencia y también todos los interiores, se obtiene un círculo. Para encontrar todos los puntos que están a

la misma distancia de otro se puede usar el compás.

La medida de un segmento que pasa por el centro de la circunferencia y cuyos extremos son dos puntos de esa misma circunferencia se denomina diámetro. El diámetro mide el doble que el radio.

radio

diámetro

centro

circunferencia

círculo

Para leer juntos

2. Construí una circunferencia de centro A, de 5 cm de diámetro. Trazá una recta que pase por el centro de la circunferencia. Llamá H y P a los puntos donde esa recta corta a la circunferencia. Trazá otra circunferencia que también tenga centro en A, de 2 cm de radio.

Describir y construir figuras circulares


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1. Usando los instrumentos que necesites, pintá todos los puntos que estén a 2 cm de R.

R

2. Pintá esta figura de la siguiente manera:

–los puntos que están a menos de 1 cm de T, de color azul;

–los puntos que están a 1 cm de T, de color negro; y

–los puntos que están a 2 cm de T, de color rojo. T

3. En este rectángulo, el punto A está ubicado justo en el medio de uno de sus lados. Pintá de verde todos los puntos que estén a más de 1 cm y a menos de 2 cm de A a la vez, y que estén dentro del rectángulo.

A

Puntos que cumplen ciertas condiciones


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4. Usando los instrumentos que necesites encontrá todos los puntos que estén a 3 cm de H y a 2 cm de P.

PH

Para hacer de a dos

5. En esta figura, los puntos N y P son centros de las circunferencias y están a 2 cm de distancia. Sin medir con la regla, indiquen a qué distancia se encuentra el punto C de N. ¿Y de P?

N P

C


En la siguiente figura...

...la circunferencia de centro A tiene 3 cm de radio.

...la circunferencia de centro C tiene 2 cm de radio.

Averigüen, sin medir con la regla, la longitud de los lados del triángulo ABC.

A C

B


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1. Este es uno de los lados de un triángulo. Usando el compás y la regla graduada, construí el triángulo con un lado de 4 cm y otro de 2 cm.

2. Construí un triángulo que tenga estos tres segmentos como lados.

3. Construí un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 5 cm y 4 cm.

4. ¿Es posible encontrar un punto D que esté a 3 cm de B y a 4 cm de C a la vez? Si la respuesta es “sí”, construí el triángulo BCD. Si la respuesta es “no”, explicá por qué.

B C

Lados de triángulos

Una regla no graduada es aquella que no tiene indicadas las medidas, solo se utiliza para trazar líneas rectas.

Para leer juntos


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5. ¿Es posible encontrar un punto D que esté a 1 cm de B y a 2 cm de C a la vez? Si la respuesta es “sí”, construí el triángulo BCD. Si la respuesta es “no”, explicá por qué.

B C

6. a) ¿Es posible encontrar un punto D que esté a 1 cm de B y a 4 cm de C a la vez?

b) ¿Es posible construir un triángulo BCD? Si la respuesta es “sí”, construilo. Si la respuesta es “no”, explicá por qué.

B C


a) Uno de los lados de un triángulo mide 7 cm y otro, 4 cm. ¿Puede medir 3 cm el tercer lado? ¿Y menos de 3 cm? ¿Y más de 3 cm? Expliquen por qué.

b) ¿Existen triángulos cuyos lados tengan estas medidas?

Lado 1 Lado 2 Lado 35 cm 5 cm 3 cm7 cm 1 cm 3 cm 2 cm 6 cm 4 cm

En los triángulos la suma de las longitudes de dos de sus lados siempre debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Esta relación se verifica para cualquier par de lados que se tome.

Para leer juntos


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1. Construí, si es posible, un triángulo que tenga:

a) Sus tres ángulos de 90°.

b) Dos ángulos rectos.

c) Sus tres ángulos de 20°.

2. Sin usar el transportador decidí cuál es la medida del ángulo ^C y explicá cómo lo pensaste.

^C

90º 60º

Ángulos de triángulos

a) Uno de los lados de un triángulo mide 7 cm y otro, 4 cm. ¿Puede medir 3 cm el tercer lado? ¿Y menos de 3 cm? ¿Y más de 3 cm? Expliquen por qué.

b) ¿Existen triángulos cuyos lados tengan estas medidas?

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180°.

A

B

C^A + ^B + ^C = 180°

Para leer juntos


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Para hacer de a dos

3. Averigüen sin usar el transportador cuál es la medida de los ángulos ^K, ^R y ^W. Expliquen cómo hicieron para encontrar la medida de cada ángulo.

80º 60º

^R

50º^W

^K


Analicen esta explicación.

En un rectángulo la suma de los ángulos interiores es 360°, porque cada ángulo mide 90°. Si se traza una diagonal en el rectángulo, se forman dos triángulos rectángulos iguales. Entonces, la suma de los ángulos interiores de cada triángulo rectángulo es 180°, la mitad de 360°. Como todos los triángulos rectángulos se pueden pensar como la mitad de un rectángulo, es posible afirmar que la suma de los ángulos interiores de todos los triángulos rectángulos es 180°.

Si el triángulo no es rectángulo, se puede pensar así:Cualquier triángulo se puede “descomponer” en dos triángulos rectángulos.Los ángulos interiores de uno de los triángulos son Â, ^B y ^C. Los del otro triángulo son ^D, Ê y ^F. Entonces Â + ^B + ^C + ^D + Ê + ^F = 360°. Los ángulos ^C y Ê suman 180° porque son los ángulos rectos de cada triángulo rectángulo. Pero los ángulos ^C y Ê no son interiores. Luego, Â + ^D + ^B + ^F = 180°. Como los tres ángulos interiores del triángulo son Â + ^D, ^B y ^F, y resulta que su suma es 180º, es posible afirmar que la suma de los ángulos interiores de los triángulos es 180°.

Â

^B ^C Ê ^F

^D


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1. a) Construí un triángulo isósceles que tenga dos lados de 4 cm que formen un ángulo recto.

b) ¿Es posible construir más de un triángulo distinto con esos datos?

2. a) Construí un triángulo isósceles que tenga dos lados de 4 cm que formen un ángulo agudo.


3. a) Construí un triángulo equilátero cuyos lados tengan la misma longitud que este segmento.


Triángulos con distintos datos

Si se tiene en cuenta la medida de los lados de los triángulos, puede ocurrir que: los tres lados tengan la misma medida, esos triángulos se llaman equiláteros; dos de sus lados tengan la misma medida, esos triángulos se llaman isósceles, y que todos los lados tengan medidas distintas, esos triángulos se llaman escalenos.

Si se tiene en cuenta la medida de los ángulos de los triángulos, puede ocurrir que: todos sus ángulos sean agudos, esos triángulos se llaman acutángulos; uno de sus ángulos sea recto, esos triángulos se llaman rectángulos; uno de sus ángulos sea obtuso, esos triángulos se llaman obtusángulos.

Para leer juntos


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4. a) Construí un triángulo cuyos ángulos interiores midan 80°, 40° y 60°.

b) ¿Es posible construir más de uno distinto con esos datos?

5. a) Estos segmentos son dos de los lados de un triángulo, en el que forman un ángulo de 80°. Construí el triángulo.


6. a) Este es uno de los lados de un triángulo. Los otros dos lados forman ángulos de 40° con el lado AB. Construí el triángulo.

A B

b) ¿Es posible construir más de uno distinto con esos datos?

Decidan si estas afirmaciones son verdaderas o falsas.a) Si se tienen como datos las medidas de los lados de un triángulo, es posible construir

más de uno diferente con esas medidas.b) Si se tienen como datos las medidas de los ángulos interiores de un triángulo, es posible

construir uno solo con esas medidas.



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3Triángulos con distintos datos

1. a) Construí un triángulo isósceles que tenga un lado de 5 cm y otro de 8 cm.

b) ¿Es posible construir otro triángulo distinto con esos datos?

2. a) Construí un triángulo isósceles que tenga un lado de 4 cm y otro de 8 cm.

b) ¿Es posible construir otro distinto con esos datos?

3. Construí, si es posible, un triángulo isósceles con un ángulo de 40° y otro de 70°. ¿Cuánto medirá el ángulo que falta?

4. Construí, si es posible, un triángulo isósceles con un ángulo de 90° y otro de 45°. ¿Cuánto medirá el ángulo que falta?


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5. Construí, si es posible, un triángulo isósceles con un ángulo de 80° y otro de 70°.

6. Este es uno de los lados iguales de un triángulo isósceles.

a) Construí el triángulo.

b) ¿Es posible construir más de uno con esos datos?

7. Este es el lado “desigual” de un triángulo isósceles.

a) Construí el triángulo.

b) ¿Es posible construir más de uno con esos datos?

Analicen si es posible construir el triángulo que se propone en cada caso.

a) Isósceles y obtusángulo.

b) Equilátero y rectángulo.

c) Obtusángulo y equilátero.

d) Escaleno y acutángulo.



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osProblemas para estudiar

53Nombre: .................................................................................. Curso: ...................... Fecha: .........................................

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1. Copiá esta figura de manera que, cuando termines, el original y la copia sean iguales.

2. En la siguiente figura se tienen estos datos:

– Radio de la circunferencia de centro A: 2 cm.– Radio de la circunferencia de centro C: 1 cm.

Averiguá, sin medir, la longitud de los tres lados del triángulo ABC.

3. Este es uno de los lados de un triángulo. Usando el compás, construí el triángulo sabiendo que los tres lados tienen la misma longitud.

A B

4. En este triángulo, el lado AC mide 3 cm y el lado AB mide 2 cm. ¿Es posible que el lado BC mida 1 cm? Intentá responder sin medir.

A C

B

A C

B


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5. Decidí cuáles de estos triángulos pueden construirse.

a) Las medidas de sus ángulos son: 75°; 55° y 50°.

b) Las medidas de sus ángulos son: 25°; 80° y 55°.

c) Las medidas de sus lados son: 9 cm; 5 cm y 4 cm.

d) Las medidas de sus lados son: 6 cm; 7 cm y 4 cm.

6. En esta figura MRST es un rectángulo. Sin usar el transportador, determiná la medida de los ángulos Â, ^B, ^C, ^D, Ê, ^F y ^G.

7. Construí un triángulo escaleno en el que uno de sus lados mida 4 cm, el otro lado mida 6 cm y el ángulo que forman esos lados sea de 100°.

8. Usando regla graduada y transportador, construí un triángulo rectángulo que tenga un lado de 4 cm y otro de 6 cm que formen el ángulo recto.

9. a) Construí un triángulo isósceles que tenga un solo lado de 6 cm.

b) ¿Es posible construir más de un triángulo isósceles con esos datos?

20° 30°

Â^B

^C

^D^G ^F

Ê

M R

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OperaciOnes 5capítulo

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para hacer todos juntos

¿Son verdaderas las siguientes afirmaciones?


A El resultado de 15 × 22 es el mismo que el resultado de 22 × 15.

D Si se suman los resultados de la tabla del 3 con los resultados correspondientes de la tabla del 2, se obtienen los resultados de la tabla del 6.

B Si se suma el resultado de 2 × 5 con el resultado de 3 × 5, se obtiene el resultado de 5 × 5.

E Si se multiplican por 2 los resultados de la tabla del 5, se obtienen los resultados correspondientes de la tabla del 10.

G Si se multiplica 34 × 32 × 27 × 19 × 19 × 0, el resultado será menor que 1.

C Si se quiere averiguar el resultado de 8 × 6, se puede hacer 8 × 2 y sumarle 4.

H Si se multiplica 42 × 23 × 0, dará el mismo resultado que si se multiplica 110 × 22 × 0.

F Si se dividen por 2 los resultados de la tabla del 8, se obtienen los resultados correspondientes de la tabla del 4.


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1. Calculá mentalmente.

15 × 20 = 15 × 200 = 15.000 : 10 = 15.000 : 30 =

15 × 40 = 15 × 4.000 = 15.000 : 100 = 15.000 : 300 =

70 × 80 = 7.000 × 8.000 = 15.000 : 1.000 = 15.000 : 3.000 =

2. Marianela tecleó en su calculadora 14 × 100, pero quería calcular 14 × 50. ¿Cómo puede hacer para realizar el cálculo que deseaba sin borrar lo que ya ingresó?

3. Calculá mentalmente.

16 × 5 = 23 × 6 = 36 × 3 =

16 × 20 = 23 × 30 = 36 × 20 =

16 × 25 = 23 × 36 = 36 × 23 =

Cálculos de multiplicaciones y divisiones


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1. ¿Cuánto más tiene que pagar Diego si compra el colchón en 6 cuotas que si lo paga al contado?¿Y si lo compra en 12 cuotas?

2. Roberto es el encargado de hacer las compras para una fiesta. Tenía que presentar la boleta al club, pero se le mojó y se borraron algunos datos. Completala.

12 Gaseosa $18

18 Caja de hamburguesas $432

Mayonesa $13 $26

3. La sala de un teatro tiene dispuestas las localidades en tres sectores: plateas, palcos y tertulia. La tertulia cuenta con 307 localidades. Las localidades de los palcos son el doble de las de tertulia y las plateas son el doble de las de los palcos. ¿Cuántas localidades tiene el teatro?

Problemas con varios cálculos


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4. Una cadena de cines encargó 7.038 butacas para equipar tres sucursales idénticas. Cada sucursal tendrá dos salas de igual capacidad. ¿Cuántas butacas tendrá cada sala?

5. Un complejo de cines tiene 12 salas iguales con una capacidad total para 3.132 espectadores. La cuarta parte de las salas es 3D y las restantes son 2D. ¿Cuántas localidades hay para 3D y cuántas para 2D?

6. Mariano quiere comprar tres perfumes como este. ¿En qué negocio gastará menos?


Para completar la planilla del censo escolar, a la bibliotecaria le solicitaron la cantidad exacta de ejemplares que hay en la biblioteca.

* 2 estantes de 14 libros.* 3 estantes de 23 libros.* 2 estantes de 34 libros.* 4 estantes de 54 libros.

a) ¿Cuál o cuáles de estos cálculos permiten averiguar la cantidad total de libros?

2 × 14 + 3 × 23+ 2 × 34 + 4 × 54 2 + 14 + 3 + 23 + 2 + 34 + 4 + 54 14 + 14 + 23 + 23 + 23 + 34 + 34 + 54 + 54 + 54 + 54 28 + 69 + 68 + 216

b) Propongan otros cálculos que también permitan averiguar el total de libros.


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1. Carolina quería calcular 36 × 48 con la calculadora, pero se equivocó y anotó primero el 48. ¿Cómo puede hacer para terminar de resolver el cálculo sin borrar nada?

2. Sin hacer las cuentas, decidí cuál o cuáles de los siguientes cálculos dan el mismo resultado que 36 × 28. Luego comprobá con la calculadora.

28 × 36 36 × 20 + 36 × 8 9 × 4 × 7 × 4

36 × 7 + 36 × 4 36 × 10 + 36 × 10 + 36 × 8 30 × 6 × 20 × 8

36 × 14 + 36 × 2 36 × 7 × 4 6 × 6 × 28

La multiplicación y sus propiedades

La multiplicación cumple con las siguientes propiedades: Propiedad conmutativa: si se cambia el orden de los factores, el resultado no varía. Por ejemplo: 27 × 23 = 23 × 27.Propiedad asociativa: si se descomponen en factores uno o todos los números que intervienen en una multiplicación, o se agrupan de diferentes maneras, el resultado no cambia. Por ejemplo, 15 × 9 = 5 × 3 × 9 = 5 × 3 × 3 × 3 = 5 × 9 × 3 = 135, y se pueden seguir obteniendo otras multiplicaciones.Propiedad distributiva: se puede resolver una multiplicación entre dos números descomponiendo uno de ellos en una suma

y multiplicando cada uno de los sumandos por el otro número. Finalmente, se suman ambos productos. Por ejemplo, 4 × 23 = 4 × (20 + 3) = 4 × 20 + 4 × 3 = 80 + 12 = 92. O bien, es posible descomponer uno de los factores como una resta. Por ejemplo, 5 × 27 = 5 × (30 – 3) = 5 × 30 – 5 × 3.

Si se multiplica cualquier número por 0, el resultado es 0. Al cero se lo llama elemento nulo de la multiplicación. Si se multiplica cualquier número por 1, el resultado es el mismo número. Al uno se lo llama elemento neutro de la multiplicación.

para leer juntos


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3. ¿Cómo pueden resolverse las siguientes operaciones usando una calculadora en la que no funciona la tecla del 6 ?

a) 36 × 45 =

b) 64 × 50 =

4. ¿Cómo pueden resolverse las siguientes multiplicaciones con una calculadora en la que no funcionan las teclas del 7 , el 3 , el + y el – ?

a) 72 × 5 =

b) 36× 8 =

5. ¿Qué propiedad se usa en esta cuenta de multiplicar?

643 × 12 1.286 (643 × 2)

+ 6.430 (643 × 10)

7.716


¿Qué propiedades piensan que cumplen la suma y la resta?


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1. Para resolver 824 : 4, Cintia hizo así:

800 : 4 = 200 20 : 4 = 5 4 : 4 = 1

a) ¿Cómo puede obtener el cociente usando los cálculos que ya hizo?

b) Para resolver el mismo cálculo, Carolina hizo así: 800 : 4 = 200 y 24 : 4 = 6. ¿Cómo puede obtener el cociente usando los resultados que ya obtuvo?

2. Encontrá dos descomposiciones diferentes del dividendo para resolver mentalmente 245 : 5.

La división y sus propiedades

En la división no se cumplen las mismas propiedades que en la multiplicación.

La propiedad distributiva es válida respecto de la división cuando se descompone el dividendo, por ejemplo, 250 : 50 = 200 : 50 + 50 : 50. Sin embargo, no es válida cuando se descompone el divisor, por ejemplo, 250 : 50 ≠ 250 : 25 + 250 : 25.

La propiedad asociativa no se cumple en la división. Por ejemplo, si se quiere

resolver 600 : 15, es posible pensarlo como 600 : (5 × 3), ya que 5 × 3 = 15. Esta manera de resolver resulta de pensar que 600 : 15 = (600 : 5) : 3. En cambio, el resultado sería diferente si se hace 600 : (5 : 3). El modo en que se agrupan los números puede hacer cambiar el resultado del cociente y del resto.Cuando se presenta un cálculo como

250 : 10 : 2 y no se indica el orden usando los paréntesis, se realiza primero 250 : 10 y al resultado se lo divide por 2. Esto es una convención matemática.

Tampoco se cumple la propiedad conmutativa: si se cambia el orden de los números que se dividen, se altera el resultado. Por ejemplo, 129 : 3 ≠ 3 : 129.

para leer juntos


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para hacer de a dos

3. Decidan cuál o cuáles de las siguientes descomposiciones resultan convenientes para encontrar el cociente de 141 : 3.

a) 120 : 3 y 21 : 3.

b) 150 : 3 y 9 : 3.

c) 110 : 3 y 31 : 3.

d) 90 : 3 y 51 : 3.

e) 100 : 3 y 41 : 3.

4. ¿Es cierto que para resolver 240 : 16 se puede hacer primero 240 : 2 y al cociente dividirlo por 8?

5. a) ¿Qué cálculos creen que habrá realizado cada una para alcanzar resultados tan distintos?

b) ¿Cuál sería la respuesta correcta?


Algunas personas dividen así.

6.732 | 6 – 6.000 1.000 732 – 600 + 100 132 – 120 20 12 – 12 2 0/ 1.122

a) Intenten entender esta manera de hacer la cuenta.

b) ¿Qué propiedades de la división usan?


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1. Jimena alquiló copas para una fiesta. Colocó 8 en cada una de las 14 mesas y sobraron 2. ¿Cuántas copas alquiló?

2. Al dividir un número por 16 se obtuvo 11 de cociente y 3 de resto. ¿Qué número se dividió?

3. ¿Cuál o cuáles de las siguientes opciones que se presentan permiten completar correctamente esta cuenta?

58 5

a) Divisor 10 y resto 8.

b) Divisor 11 y resto 3.

c) Divisor 9 y resto 13.

d) Divisor 11 y resto 0.

4. Encontrá todas las divisiones que cumplan las condiciones que se proponen en cada caso. Si en algún caso la cuenta no puede completarse, explicá qué error tiene.

a) 57

b) 69 6

c) 89/

Analizar el funcionamiento de la división


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5. Completá la tabla.

Dividendo Divisor Cociente Resto

18 21 3

8 12 5

214 8 6

6. A partir de la primera división, anticipá el resto y el cociente de las cuentas a) y b).

358 42/ 89

a) 359 4 b) 360 4

para hacer de a dos

7. ¿Cómo podrían hacer para calcular el cociente y el resto de dividir 547 por 5 usando una calculadora?

Una cadena de cines le encargó a un arquitecto el proyecto de un nuevo complejo. Para armar el proyecto, el arquitecto tomó nota de algunos datos.

* Capacidad total del complejo: 1.956 localidades.* 10 salas de una capacidad máxima de 200 localidades y

una capacidad mínima de 195 localidades cada una.

¿De qué distintas maneras puede distribuir las localidades entre las 10 salas?



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problemas para estudiar

65Nombre: .................................................................................. Curso: ...................... Fecha: .........................................

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1. Charo tiene 152 galletitas para preparar una chocotorta. Cada piso tendrá 24 galletitas.

a) ¿Cuántos pisos puede hacer como máximo?

b) ¿Le sobran galletitas o le alcanza justo?

c) Si le sobran, ¿cuántas le faltarían para terminar el piso que queda incompleto?

2. Un cine tiene un total de 2.496 butacas distribuidas en 10 salas. ¿Puede haber la misma cantidad de butacas en cada sala?

3. Un estacionamiento tiene capacidad para 1.320 autos. Si las cocheras están dispuestas en 15 pasillos iguales, ¿cuántas cocheras hay en cada pasillo?

4. Resolvé estas divisiones descomponiendo el dividendo como te resulte más conveniente.

a) 245 : 5 =

b) 832 : 4 =

c) 546 : 6 =


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5. Mercedes recibió el pedido del vivero. Puso 22 plantines en cada uno de los 15 canteros que rodean el edificio y dejó 3 para la entrada. ¿Cuántos plantines había encargado?

6. Completá la tabla.

Dividendo Divisor Cociente Resto

15 23 4

9 16 7

305 12 5

7. Encontrá todas las divisiones que tengan este divisor y este cociente.

311

8. Escribí en cada caso tres cálculos que estés seguro de que van a dar el mismo resultado.

36 × 12 =

120 × 9 =

500 × 12 =

9. Usá que 162 × 31 = 5.022 para resolver los siguientes cálculos.

a) 5.022 : 31 =

b) 5.022 : 162 =

c) 31 × 162 =

d) 163 × 31 =

e) 161 × 32 =


los matemáticos de - wordpress.com · 2020. 6. 11. · para hacer todos juntos materiales para el...

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