UNIDAD DIDÁCTICA

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

1. Los números desde la MEDIDA.

2. Los números NATURALES.

3. Los números ENTEROS.

4. Los números RACIONALES.

5. Los números IRRACIONALES.

6. Los números REALES.

http://www.vitutor.com/di/r/b_1.html

http://www.vadenumeros.es/tercero/tipos-de-decimales.htm

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1eso/unidad3.pdf

0. Los números desde LA MEDIDA.

MEDIR significa comparar una cantidad (p. e. de longitud) con otra de su misma especie que se toma como unidad (p. e. el metro) Se trata de una comparación por cociente (es decir, una razón) que determina cuántas veces contiene la cantidad en cuestión a la unidad tomada.

Veámoslo en un caso concreto: LAS CANTIDADES DE LONGITUD.

Si tomamos una recta, determinamos un origen 0 y una unidad de medida 1

vemos que a cada punto le corresponde una cantidad de longitud (su distancia al origen) y viceversa. A esa distancia se le llama coordenada del punto.

Ahora, nos preguntamos si podemos asignar un valor numérico a la coordenada de cada uno de los infinitos puntos de la recta (real)

LOS NATURALES: números para contar

Los múltiplos de la unidad de medida tendrán como coordenadas los números naturales (la tabla de uno)

Constituyen un INFINITO NUMERABLE: el infinito potencial.

LOS ENTEROS: números para acotar

Si admitimos cotas o alturas negativas (bajo el nivel del mar), podemos prolongar los múltiplos de la unidad de medida a derecha (positivos) y a izquierda (negativos) Tendremos así los números enteros.

Estos números aparecen siempre que una magnitud puede tomar cantidades con dos signos opuestos (positivas y negativas) Por ejemplo: la carga eléctrica, las cotas, el balance de una contabilidad, la temperatura, etc.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 1

0 1 2 3 4 5 6 7

Z es otro conjunto infinito numerable: con la misma potencia que N.LAS FRACCIONES: partes alícuotas de la unidad

La UNIDAD DE MEDIDA, al contrario que la unidad de contar, lo mismo que tiene múltiplos, TIENE DIVISORES. A los divisores de la unidad de medida se les llama partes alícuotas de la unidad o fracciones unitarias.

El Teorema de Tales nos permite, mediante regla y compás, dibujar las partes alícuotas de la unidad. Así:

0 1

“un quinto de la unidad”

En efecto, representan la misma coordenada (o número racional) Se

dicen que son fracciones equivalentes (equivalen a la misma cantidad) Existen infinitas fracciones equivalentes a una dada, pero todas son reducibles menos una: aquella en que el m. c. d. de numerador y denominador es uno.

LOS IRRACIONALES: cantidades que no se dejan medir.

Evidentemente, existen infinitas partes alícuotas de la unidad: las UNIDADES FRACCIONARIAS. Y cada unidad fraccionaria tiene un número infinito de MÚLTIPLOS. Estos múltiplos se llaman FRACCIONES. Las fracciones son redundantes como coordenadas de puntos en la recta real.

Esta simple construcción con regla y compás nos descubre coordenadas de puntos (en rojo) que puede demostrarse que no son fracciones. Es decir, no tienen ninguna parte alícuota con la unidad. Estos números “irracionales” (no son ‘medibles’ mediante la unidad) se terminan mostrando muy abundantes en la recta real (hay un infinito no numerable de ellos, y sólo unos pocos tienen nombre y símbolo: π, Ф, e, ,…)

1. NÚMEROS NATURALES.

Los números naturales Operaciones con números naturales. División exacta y división entera Descomposición en factores primos Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides El principio de inducción matemática Representación de un número natural en una base cualquiera

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar y ordenar los elementos de un conjunto.

Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para la enumeración.

Número natural es, pues, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.

Propiedades de la adición de Números Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.1.- Asociativa. Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)2.-Conmutativa. Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + aEn particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7 + 4 = 4 + 7Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.3.- Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.1.-Asociativa. Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30Los resultados coinciden, es decir, (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)2.- Conmutativa. Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · aPor ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 = 403.-Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a4.- Distributiva del producto respecto de la suma. Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo: 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55Los resultados coinciden, es decir, 5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos? Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a) Propiedades de la División de Números NaturalesLa división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la divisiónLa división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

EJERCICIOS

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1eso/solucionlibronuevo/u-1.pdf

DIVISIBILIDAD

En matemáticas, se dice que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a · c. Esto es equivalente a decir que b es «exactamente divisible» por a, o bien, que el resto de la división euclídea es cero.Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a». Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:

Número Criterio Ejemplo

2 El número termina en cero o cifra par (el cero se considera par). 378: porque la última cifra (8) es par.

3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.

4El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o cuando termina en doble cero.

7324: porque 24 es múltiplo de 4.8200 por que termina en doble 00

5 La última cifra es 0 ó 5. 485: porque acaba en 5.

6 El número es divisible por 2 y por 3. 24: Ver criterios anteriores.

7

Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7.

34349: separamos el 9 (3434'9) y lo doblamos (18), entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6 (341'6) y doblándolo (12), entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es múltiplo de 7.

8 El número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8. 27280: porque 280 es múltiplo de 8.

9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.

10 La última cifra es 0. 470: termina en cifra 0.

11

Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. Si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.

Si el número tiene dos cifras iguales será

múltiplo de 11.

42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es múltiplo de 11

66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es

Múltiplo de 11

12 El número es divisible por 3 y 4. 528: Ver criterios anteriores.

13

Un número es divisible entre 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13

3822: separamos el último dos (382'2) y lo multiplicamos por 9, 2*9=18, entonces 382-18=364. Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y multiplicándolo por 9, 4*9=36, entonces 36-36=0; por lo tanto, 3822 es divisible entre 13

14 Un número es divisible entre 14 cuando es par y divisible entre 7

546: separamos el último seis (54'6) y lo doblamos, 6*2=12, entonces 54-12=42. 42 es múltiplo de 7 y 546 es par; por lo tanto, 546 es divisible entre 14

15 Un número es divisible entre 15 cuando es divisible entre 3 y 5

225: termina en 5 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3; por lo tanto, 225 es divisible entre 15

17

Un número es divisible entre 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17

2142: porque 214'2, 2*5=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4*5=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre 17.

18Un número es divisible por 18 si es par y divisible por 9 (Si es par y además la suma de sus cifras es múltiplo de 9)

9702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 que también es divisible entre 9. Y efectivamente, si hacemos la división entre 18, obtendremos que el resto es 0 y el cociente 539.

Nota 1: Existen muchas versiones de los criterios de divisibilidad. Así por ejemplo, para el 13 resulta equivalente el criterio: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 4 y sumarla a las cifras restantes la suma es igual a 0 o es un múltiplo de 13.

Nota 2: Resulta curioso que el criterio de divisibilidad por 7 sirva también como criterio de divisibilidad por 3, aunque evidentemente el criterio tradicional resulta más sencillo y éste no se utiliza: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 3.

Nota 3: Aunque existen criterios similares para cualquier número primo, con frecuencia resulta más sencillo dividir que aplicar un criterio complicado (como el del 13). Sin embargo existe un criterio general que funciona siempre y que en muchos casos es suficientemente práctico: restar el número primo (o múltiplos de éste) a las cifras de la izquierda sucesivamente hasta obtener cero o ese número primo. Así el ejemplo del 13 se podría comprobar con el proceso siguiente (usamos el 39 =3*13 para abreviar pasos): 3822 (restamos 13 dos veces a la izquierda) → 2522 → 1222 (restamos 39 tres veces de las tres cifras de la izquierda) → 832 → 442 → 52 y al restar de nuevo 39 obtenemos 52-39 =13

Números primos

DefiniciónUn número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta.

En caso contrario diremos que el número es compuesto.

El 0 y el 1 son números especiales que no se consideran ni primos ni compuestos.

NotasEl 1 se considera primo en muchos casos, aunque sólo tiene un divisor. Depende de las definiciones, del libro o de la "cultura" se considera o no primo. Por ejemplo, los antiguos griegos consideraban que los números empezaban en el 2. Para ellos el 1 no era un número, sólo la unidad.El 2 también es el único número primo y par.

Los números primos han sido estudiados por muchos matemáticos desde los tiempos más remotos:

Pitágoras natural de Samos (aproximadamente 569 a.C.) y sus alumnos, "los pitagóricos" consideraban que los números tenían virtudes mágicas y estudiaron los números perfectos y los números amigos.

Un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios (por ejemplo: 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14;...)Dos números son amigos, cuando la suma de los divisores de uno es igual al otro (por ejemplo 220 y 284: 220=1+2+4+7+71+142 y 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110)

El matemático griego Euclides (vivió alrededor del año 300 a. C.) demostró la existencia de infinitos números primos.(Aquí tienes los 168 primeros)

Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.) ideó una forma de determinar los primeros números primos al construir la denominada Criba de Eratóstenes:

Consiste en construir una tabla con todos los números en columnas y a continuación, empezando por el 2 tachamos todos los números que estén a una distancia de 2 (el 4, 6, 8, etc.) después seguimos con el 3 tachando todos los números que estén a una distancia de 3 (el 6, 9, 12, etc) y así sucesivamente con 5, con 7, con 11,...Así se marcan todos los múltiplos quedando sin marcar los primos. Sin embargo, los números primos parecen surgir al azar, sin guardar una regla concreta. La falta de patrón implica tener que buscar los números primos uno a uno.

Tras un periodo de tiempo en el que poco se sabe del estudio de estos números, en el siglo XVII:

Mersenne (1588-1648) estudió los números de la forma Mn = 2n - 1. Salvo si n es primo, estos números son compuestos. Estos números Mn, son llamados números primos de Mersenne

No todos los números de la forma 2n - 1 con n primo son primos. Por ejemplo 211 - 1 = 2047 = 23 × 89 es compuesto

Fermat (1601-1665) demostró que los números primos de la forma 4n+1 se podían expresar como la suma de dos cuadrados:

4.1+1=5=22 + 12 ; 4.3+1=13=32 + 22 ;...En los siglos siguientes Euler (1707-1783), Legrande (1752-1833), Gauss (1777-1855), Riemann (1826-1866)... y en la actualidad, se siguen buscando números primos. Algunos problemas sin resolver, de momento, sobre números primos:

1. Existe un número infinito de números primos que se diferencian en 2 (tales como 3 y 5; 17 y 19)

2. CONJETURA DE GOLDBACH :Todo número par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primos. (Por ejemplo, 6=3+3; 18=11+7 ...)

3. Existe un número infinito de números primos que responden a la forma de un número al cuadrado más uno. (Por ejemplo, 5=22+1, 17=42+1...)

4. Siempre existe un número primo entre dos números cuadrados consecutivos. (Por

ejemplo, entre 4 y 9 están el 5 y el 7; entre 9 y 16, están el 11 y el 13,...) Pincha aquí par ver algunas curiosidades sobre los números primos que aparecen en el libro ¡Alucina con las Mates!

Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Shahhat, en Libia) alrededor del año 276 a.C.Entre otras cosas fue astrónomo, poeta y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a.C se convirtió en el tercer director de la Biblioteca de Alejandría…Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números primos pequeños conocido como "Criba de Eratóstenes".Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la circunferencia de la Tierra:

Para ello ideó un sistema a partir de la semejanza de triángulos. Erastótenes midió en primer lugar la distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran en el mismo meridiano: Siene (Assuán) y Alejandría.Esto lo hizo a partir del tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra.Después se dio cuenta que el día del solsticio de verano a las 12 del mediodía el Sol alumbraba el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a esa misma hora el sol proyectaba una sombra en Alejandría. A raíz de esta circunstancia determinó, calculando el radio de la Tierra, que la longitud del meridiano debía ser 50 veces mayor que la distancia entre las ciudades. El resultado que obtuvo Erastótenes para el meridiano, en medidas modernas, viene a ser 46.250 km., cifra que excede a la medida real sólo en un 16%.Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general.Eratóstenes al final de su vida fue afectado por la ceguera y murió de hambre por su propia voluntad en el año 194 a.C. en Alejandría.

Teorema fundamental de la aritméticaEn matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de de factores primos. Por ejemplo,

No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.

Aplicaciones

El teorema establece la importancia de los números primos. Éstos son los "ladrillos básicos" con los que se "construyen" los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una única manera.

Conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos. Por ejemplo, la factorización anteriormente dada de 6936 muestra que cualquier divisor positivo 6936 debe tener la forma: , donde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando el número de opciones independientes se obtiene un total de divisores positivos

Una vez que se conoce la factorización en primos de dos números, se pueden hallar fácilmente su máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Por

ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 se puede deducir que su máximo común divisor es 2³ · 3 = 24. Sin embargo, si no se conoce la factorización en primos, usar el algoritmo de Euclides en general requiere muchos menos cálculos que factorizar los dos números.

Algoritmo de Euclides

c c2 c3 c4 cn cn+1

a b r1 r2 r3 … rn-1 rn

b r1 r2 r3 r4 rn 0

Entonces, m.c.d.(a,b)=rn y m.c.m.(a,b)=a.b/m.c.d.(a,b)

El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número , es decir, el conjunto cuando es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto

infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.

Con los números naturales se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo .

Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.

El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien .

Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para todo

de se tiene . Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.

Principio de inducción matemática: si un subconjunto de verifica que y, si , resulta que , entonces .

Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por

ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros números naturales es podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:

Para es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es .

Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, ,

veamos que también es cierta para ,

Luego la fórmula es válida para todo n natural.

Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:

Representación de un número natural en una base cualquiera:

El método de divisiones enteras sucesivas permite escribir cualquier número natural en forma única en una base cualquiera p, en la forma siguiente:

en base p, donde .

Para lograr dicha expresión basta con realizar sucesivas divisiones enteras de n por p y tomar los restos, es decir,

hasta que en la r-ésima divisón, se tenga . Se

toma , y hemos terminado.

o Nótese que nuestra actual notación posicional para los números naturales se corresponde con la representación de los números naturales en base decimal (p=10). Se denomina notación posicional porque el valor de una cifra depende de la posición que ésta tenga en el número: un 5 en el lugar de las unidades vale 5, mientras que en el lugar de las centenas vale 500.

o La notación binaria, tan común en el mundo de la informática es el resultado de tomar p=2 y representar los números naturales en dicha base.

o ¿Conoces otras representaciones en bases distintas? Hexadecimal, sexagesimal...

2. NÚMEROS ENTEROS: repaso.

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra

= {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}

que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:

−783 y 154 son números enteros45,23 y −34/95 no son números enteros

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los

primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «| |».

Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.

Operaciones con números enteros

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.

SumaEn esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color.En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.

Si ambos sumandos tienen distinto signo: El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.

El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Ejemplo. (+21) + (−13) = +8, (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa . Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.

Propiedad conmutativa . Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.

Elemento neutro . Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:

[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

2. Propiedad conmutativa:

(+9) + (−17) = −8(−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:

Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a+ (−a) = 0.

Resta: La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma. La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo. Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

MultiplicaciónLa multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos  (+) × (+)=(+)Más por más igual a más.  (+) × (−)=(−)Más por menos igual a menos.  (−) × (+)=(−)Menos por más igual a menos.

 (−) × (−)=(+)Menos por menos igual a más.

Ejemplo.

(+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa . Dados tres números enteros a, b y c, los productos

(a × b) × c y a × (b × c) son iguales. Propiedad conmutativa . Dados dos números enteros a y b, los

productos a × b y b × a son iguales.

Elemento neutro . Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.

Ejemplo.1. Propiedad asociativa:

[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140

1. Propiedad conmutativa:(−6) × (+9) = −54(+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:

Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.

Ejemplo. (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21 [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21

Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?. Nótese que se puede establecer una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos, , por ejemplo como ésta:

si n es un entero positivo

Por tanto, el conjunto de los enteros es también infinito numerable. También es un conjunto totalmente ordenado, cuando se considera la relación de orden definida en la forma obvia y que extiende la relación de orden que se tiene en . También es cierto que en los enteros todo subconjunto acotado inferiormente tiene elemento mínimo, y recíprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tiene elemento máximo.

3. NÚMEROS RACIONALES.

Los números racionales Relación de orden en el conjunto de los racionales Densidad del conjunto de los racionales. Propiedad arquimediana Cardinal de los racionales Representación decimal de los números racionales

Los números racionales

Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios,

o quebrados), ={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... } Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos

para la multiplicación.o La suma de dos racionales a/b y c/d se define como

a/b+c/d=(ad+cb)/bd.o El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.o Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.

(En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros) o Un número racional se dice que está expresado mediante una

fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.

De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.

En se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas

de la forma ax+b=0, con a y b racionales. En se puede definir un orden total compatible con las operaciones

suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en y en . Para ello basta con definirlo como sigue:

Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que si y sólo si respecto del orden

existente en el conjunto de los enteros.Por tanto con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.

Densidad del orden:

Dados dos números racionales distintos, , siempre existe otro

número racional tal que .

Para ello, si , con b y d positivos, basta con

tomar

Ejercicio: probar que efectivamente (por ejemplo,

entre 3/5 y 2/3 se encuentra 5/8)Ahora bien, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos,

Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 < ...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.

por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.

Propiedad arquimediana (o de Arquímedes):Dados dos números racionales y , siempre existe un n natural tal

que . Esto quiere decir que por pequeño que sea , si

consideramos la sucesión de racionales , llegará un

momento en que sobrepasasaremos a , por muy grande que este sea.

Por ejemplo:

Esta es una propiedad que también poseían los números naturales y los enteros.

 El cardinal de los racionales:¿Cuántos números racionales hay? ¿Qué hay más, naturales o racionales?

Puede parecer que la respuesta sería, obviamente hay más racionales, puesto que los naturales son también números racionales, y además hay otros racionales, como 1/2 por ejemplo, que no son naturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de los racionales es que el de los naturales.

Pero podemos también probar que hay más naturales que racionales. Una forma de hacerlo sería seguir el siguiente razonamiento gráfico. Coloquemos los enteros en un eje horizontal, y también en un eje vertical. Cada punto (a,b) del retículo que se forma representará al racional a/b. Comenzamos ahora a trazar un camino en espiral, partiendo del origen que recorra uno a uno todos los puntos del retículo como se ve en la siguiente gráfica: Es claro que podemos poner en correspondencia biyectiva los puntos del retículo con los naturales sin más que irlos numerando a medida que la linea espiral pasa por cada uno de ellos. Ahora bien, no todos los puntos del retículo se corresponden con números racionales, ya que los de la forma (n,0) no se corresponden con ningún racional, y además muchos puntos del retículo representan al mismo número racional, por ejemplo (1,2) y (2,4) representan al mismo número racional, ya que 1/2=2/4. De aquí se concluye que podemos dar una correspondencia sobreyectiva de en , y por tanto que el cardinal

de es que el cardinal de .

Combinando ambos resultados podemos concluir que el cardinal de es igual que el de , es decir, que es un conjunto infinito

numerable.

Ejercicio: encontrar un correspondencia biyectiva entre y .

Representación decimal de números racionales:

Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0.5 , 3405/25=136.2 y 1/3= 0.33333.......

Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las periódicas. Éstas últimas pueden a su vez dividirse en periódicas puras o periódicas mixtas.

o Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0.5, 1.348 ó 367.2982345Esta expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreducible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, ...

o Expresión decimal periódica es aquélla que tiene un número infinito de cifra decimales, pero de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma periódica, por ejemplo 0.333333....., 125.67777777....... ó 3.2567256725672567...... Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0.33333.....La parte que no se repite se denomina anteperíodo y la que se repite, período.

Periódica pura es aquélla que no tiene anteperíodo.Periódica mixta es aquélla que sí tiene anteperíodo.

Podría considerarse que las expresionas decimales exactas son periódicas mixtas pero con período 0.

Recíprocamente, dada una expresión decimal exacta o periódica, puede encontrarse una expresión racional para la misma siguiendo la siguiente norma:

Si la expresión es exacta se coloca como numerador el número entero que resulta de suprimir el punto decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha del punto decimal en la expresión decimal original.

Si la expresión es periódica, se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formado por el anteperíodo seguido de la primera repetición del período, el entero formado por el anteperíodo, todo ello multiplicado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras significativas se encuentren a la izquierda del punto decimal. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplos:

Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión irreducible.

4. NÚMEROS IRRACIONALES.

Los números irracionales

Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es

0.1234567891011121314151617181920........

claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con ningún número racional.

Veamos otros ejemplos.

Se trata de un ejemplo típico de número no racional con una demostración muy sencilla de que, en efecto, no puede ser racional

En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales de .

Además se muestra una manera de construir el número sobre la recta real

con regla y compás y finalmente se da una serie de números racionales que

converge hacia .

Para construir la serie que converge hacia hemos usado obviamente la sucesión de cifras decimales indicada más arriba. También podíamos haber

definido una sucesión de números racionales que converge hacia de la forma siguiente

donde es el mayor número entero que verifica .

pi Otro de los ejemplos cásicos de números irracionales que estamos acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega Pi que representa la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.

A diferencia de lo que ocurre con , no es posible dibujar con regla y compás el número sobre la recta real. El problema es conocido como la rectificación de la circunferencia y hay métodos algebraicos para demostrar que no tiene

solución, a pesar de que mucha gente la buscó durante siglos (y algunos siguen buscándola hoy en día). Otros problemas de parecida índole son los famosos de la cuadratura del círculo, que consiste en construir con regla y compás un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado, y la trisección del ángulo, que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. Todos ellos son imposibles con regla y compás y puede demostrarse algebraicamente su imposibilidad.

En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de y además una serie de números racionales que converge hacia .

La serie indicada es conocida como serie de Leibniz y hemos de advertir que su convergencia es bastante lenta. ¿Cuántos términos te hace falta sumar para obtener 10 cifras decimales correctas?

También el número , base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un número irracional. Este número surge de forma

natural al considerar el interés compuesto.

Supongamos que tenemos un capital unidad a un interés anual (en tanto por

uno). Al cabo del año nuestro capital será .

Sin embargo, si dividimos el año en dos semestres e incorporamos el interés al

finalizar cada uno dos semestres, al final del primer período tendremos

y al finalizar el año

Si dividimos el año en tres cuatrimestres, incorporando los intereses al capital

al final del cada período, tendremos respectivamente al final de cada cuatrimestre.

... Si dividimos el año en n períodos tendremos al final del año .

Se define como el límite del resultado anterior cuando n se hace infinitamente grande (infinitos períodos infinitamente pequeños), siendo , es decir

En el recuadro siguiente vemos las 100 primeras cifras decimales de , así como dos formas de ver como límite de sucesiones de números racionales (en el segundo caso se trata de una serie).

Igual que pasaba con , no es posible dibujar con regla y compás un punto en la recta real a distancia del origen.

Si consideramos el conjunto de todas las expresiones decimales, solamente aquéllas finitas o periódicas se corresponderán, como ya se vio, con números racionales; el resto forman el conjunto de los números irracionales.

El conjunto de los irracionales, denotado por tiene, como , la propiedades de orden total, densidad y propiedad arquimediana. En cambio no es un conjunto numerable. ¿Se te ocurre alguna forma de probar que no es numerable?

(pincha aquí para ver una forma de demostrarlo)

Ya se ha visto para los ejemplos mostrados, pero se puede afirmar en general que todos los números irracionales pueden verse como límites de sucesiones de números racionales. Para ello basta con considerar la expresión decimal del número en cuestión y construir la sucesión obvia que consiste en considerar

cada vez un cifra decimal más, de modo que el término es la fracción que da lugar a la expresión decimalm exacta formada por las n primeras cifras del número dado.

Los números reales

La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de

los números reales. .

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en ,

y es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e son heredadas por .

Como ya se ha visto, es denso en . También es denso en .

Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.

A diferencia de lo visto para , y , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).

Veamos por último un cuadro resumen de las propiedades que hemos analizado en los distintos conjuntos de números.

Ordenado Denso Numerable Estructura algebraica+ Semigrupo * Semigrupo+ Grupo * Semigrupo +,* Anillo conmut. con1+ Grupo * Grupo +,* Cuerpo conmut.No tiene estructura algebraica al no ser cerrado para + y *+ Grupo * Grupo +,* Cuerpo conmut.

RAZONES Y PROPORCIONES

Razón o relación de dos cantidades es el resultado de compararlas. Esta comparación puede hacerse de dos modos, puede compararse cuánto excede una a la otra (razón aritmética) o cuántas veces contiene una a la otra (razón geométrica). La primera de estas comparaciones sólo puede establecerse entre cantidades de la misma especie, por ejemplo, entre longitudes, pesos, velocidades. Las magnitudes que están relacionadas por una razón geométrica se dice que son proporcionales; por ejemplo, la velocidad es la razón entre el espacio recorrido y el tiempo en que se ha recorrido ese espacio; el ritmo cardíaco es la razón entre las pulsaciones del corazón y el tiempo.

    La proporción es la igualdad de dos razones geométricas:

Los términos representados por a, d son los extremos; los términos b, c son los medios.

La propiedad fundamental de las proporciones dice: el producto de medios es igual al producto de extremos (ad = bc). Esta propiedad permite que dados tres elementos de la proporción, se pueda hallar el cuarto.

    Esta proporcionalidad nos lleva a la denominada regla de tres. Si falta uno de los términos de la comparación, se puede hallar mediante operaciones, con los otros tres. Así a=1; b=2; c=3; d=x

PROPORCIONES1. ¿Qué dice la propiedad fundamental de las proporciones?2. ¿Qué permite la propiedad de las proporciones?