los conjuntos numÉricos profesor: sergio delón.. 2
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LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Profesor: Sergio Delón.
2
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
LOS NÚMEROS NATURALES SURGEN DE LA NECESIDAD DE CONTAR QUE SE MANIFIESTA EN EL SER HUMANO DESDE SUS ORÍGENES. EL CONJUNTO QUE LOS AGRUPA SE DESIGNA POR IN.
IN= { 1,2 3,4,5,6,7.........}
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
a) TIENE UN NÚMERO INFINITO DE ELEMENTOS
b) CADA ELEMENTO TIENE UN SUCESOR Y TODOS, EXCEPTO EL 1, UN ANTECESOR
DOS CARACTERISTICAS DE ESTE CONJUNTO
SUBCONJUNTOS DE LOS NÚMEROS NATURALES
1) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS PARES.
P= {2,4,6,8,10,12,14,..............}
NÚMERO PAR
X= 2n
P = { x/x IN , X = 2n, n IN }
2) C0NJUNTO DE LOS NÚMEROS IMPARES
I ={1,3,5,7,9,11,13,............}
NÚMERO IMPAR
x = 2n - 1
I={ x/x IN, x=2n - 1, n IN }
PRIMOS ={ SON TODOS AQUELLOS NÚMEROS QUE
SOLAMENTE SE PUEDEN DIVIDIR POR SI
MISMO Y POR UNO, (EL 1 NO ES PRIMO) }
EJERCICIO: HALLAR TODOS LOS NÚMEROS PRIMOS
MENORES QUE 100
3) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS PRIMOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97
RESPUESTA
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97
RESPUESTA
OPERACIONES Y PROPIEDADES EN IN
LA ADICIÓN:Es la operación mediante la cual buscamos la cardinalidad del conjunto unión de dos conjuntos disjuntos
a,b IN , a + b IN : propiedad de clausura
a,b IN , a + b = b + a : propiedad conmutativa
a,b,c IN , (a + b) + c = a +( b + c) : propiedad asociativa
Si en una adición todos los sumandos son iguales podemos definir una nueva operación llamada MULTIPLICACIÓN
a,b IN , a · b IN : propiedad de clausura
a,b IN , a · b = b · a : propiedad conmutativa
a,b,c IN , (a · b) · c = a ·( b · c) : propiedad asociativa a,b,c IN , a ·( b + c) =( a·b) +(a ·c) : distributividad
de la multipli- cación con respecto a la adición
DIVISIBILIDAD DE
LOS NÚMEROS
1) Un número es divisible por dos:cuando termina en cifra par o cero. ( 2,4,6,8) ; ( 0 )
Ejemplo : 34 , 1578 , 6790 , 135796 , 862
2) Un número es divisible por tres: cuando la suma de suscifras es múltiplo de tres.
Ejemplo : 321 , 558 , 123561 , 87 , 51
3+2+1 , 5+5+8 , 1+2+3+5+6+1 , 8+7 , 5+1
6 18 18 15 6
3) Un número es divisible por cuatro: cuando las dos últimas cifras son múltiplos de cuatro o cuando las dos últimas cifras son cero.
Ejemplo : 3464 , 924 , 736 , 100 , 456700
4) Un número es divisible por cinco : cuando termina en cero o en cinco.
Ejemplo : 145 , 2675 , 340 , 980 , 123450
5) Un número es divisible por seis: cuando los es por dos y tres a la vez (al mismo tiempo).
Ejemplo : 132 , 648 , 138 , 786
6) Un número es divisible por nueve: cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
Ejemplo: 45 , 558 , 34767 , 9817254
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El 18, 24 y 36, admiten como divisores comunes el 1, 2,3 y 6, como el mayor de los divisores es el 6, entonces el máximo común divisor (m.c.d) entre 18, 24 y 36 es 6:
18={1,2,3,6,9,18}
24={1,2,3,4,6,8,12,24}
36={1,2,3,4,6,9,12,18,36}
{1,2,3,6}, entonces el 6 es m.c.d
AVANZANDO UN POCO MÁS Y RECONOCIENDO LA IMPORTANCIA DEL CERO COMO NÚMERO,”SE AGREGA” ESTE ELEMENTO AL CONJUNTO IN, FORMANDO UN NUEVO CONJUNTO QUE SE DESIGNA INO
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS CARDINALES
INO ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,...........}
INO = IN { 0 }
IN INO
AL EFECTUAR ALGUNAS OPERACIONES CON LOS
ELEMENTOS DE LOS INO , SE VE FÁCILMENTE QUE NO
HAY DIFICULTADES EN CUANTO A LA SUMA O ADICIÓN Y
EN CUANTO A LA MULTIPLICACIÓN.
EN OTRAS PALABRAS, SI SE SUMAN O MULTIPLICAN
NÚMEROS NATURALES, EL RESULTADO ES TAMBIÉN
UN NÚMERO NATURAL.
SIN EMBARGO, AL RESTAR EN EL CONJUNTO IN, SURGE
UN SERIO PROBLEMA: NO TODA RESTA ENTRE
NÚMEROS NATURALES TIENE UNA RESPUESTA QUE
SEA TAMBIÉN UN NÚMERO NATURAL.
PARA ENFRENTAR SITUACIONES COMO LA ÚLTIMA
PLANTEADA, EL HOMBRE “INVENTO” NUEVOS
NÚMEROS QUE PERMITEN SEGUIR AVANZANDO
EL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS ENTEROS ( Z)
Z= { -..............-4,-3,-2,-1,0,1, 2, 3, 4, ...................+ }
ENTEROS NEGATIVOS ENTEROS POSITIVOS
-Z +Z
CERO
LOS NÚMEROS ENTEROS PODEMOS UBICARLOS EN LA RECTA NUMÉRICA.
Z = -Z { 0 } +Z
ORDEN EN Z
1) Todo número a la derecha del cero, es positivo
2) Todo número a la izquierda del cero, es negativo
3) Todo número que esté a la derecha de otro, es mayor que él
4) Todo número que esté a la izquierda de otro, es menor que el
5) Todo número negativo es menor que cero
6) Todo número positivo es mayor que cero.
7)Todo número negativo es menor que cualquier número positivo
PROPIEDADES
a,b Z, a + b Z : operación binaria
a,b Z, a + b = b + a : conmutativa
a,Z, a + 0 = a : existencia elemento neutro
a,Z, a +(-a) =0 :existencia del opuesto o inverso aditivo
a,b,c Z, (a + b) +c = a + (b + c) : asociatividad
DEBIDO A ESTAS CINCO PROPIEDADES DECIMOS QUE
EL CONJUNTO DE LOS ENTEROS CON LA OPERACIÓN
ADICIÓN TIENE ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE GRUPO
ABELIANO O GRUPO CONMUTATIVO.
(Z , +) es grupo abeliano
Todo número entero consta de dos partes: magnitud o valor absoluto y signo.
Ejemplo: +1 tiene valor absoluto 1 y signo +
-1 tiene valor absoluto 1 y signo - .
Los enteros positivos los escribiremos indistintamente con o
sin signo, o sea, escribiremos +1 simplemente 1.
Escribiremos el valor absoluto de un número colocando el
número entre barras:
+5 = 5 -6 = 6
32
TABLA DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
POTENCIACIÓN
DE NÚMEROS
ENTEROS
POTENCIA
an
producto de factores iguales
a·a·a·a·a·a·a·a... = an
n veces a
SIGNO DE UNA
POTENCIA
1) BASE POSITIVA Y EXPONENTE NATURAL: LA POTENCIA ES SIEMPRE UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
EJEMPLOS:
25 = 2·2·2·2·2=32
34 = 3·3·3·3=81
73 = 7·7·7=343
2) BASE NEGATIVA Y EXPONENTE NATURAL: SE PRESENTAN DOS CASOS
a) BASE NEGATIVA Y EXPONENTE PAR: LA POTENCIA ES SIEMPRE POSITIVA.
EJEMPLOS:
1) (-2)4=-2·-2·-2·-2=+16=16
2) (-17)2=-17·-17=289
3) (-3)6=-3·-3·-3·-3·-3·-3= 729
b) BASE NEGATIVA Y EXPONENTE IMPAR: LA POTENCIA ES SIEMPRE UN NÚMERO NEGATIVO
EJEMPLO:
1) (-2)7=-2·-2·-2·-2·-2·-2·-2= -128
2) (-3)5=-3·-3·-3·-3·-3= -243
3) (-4)3=-4·-4·-4= -64
POTENCIA DE LA FORMA a-p
a Z p N
p
p
aa
1
EJEMPLOS:
1281
21
27
7
2431
31
35
5
2561
41
44
4
7291
91
93
3
Si la base de una potencia es (a/b) y el exponente (-p) la situación se plantea de la siguiente forma.
pp
ab
ba
EJEMPLOS
2764
34
43
33
16625
25
52
44
Si la base es un número cualquiera distinto de cero y el exponente es cero , la situación planteada queda expresada de la siguiente forma.
10 a0a
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
¿Cómo se puede expresar a3 · a4 ?
a3= a·a·a a3 · a4 =a·a·a·a·a·a·a = a7
3 + 4
a4=a·a·a·a a3 · a4 = a3+4= a7
EN GENERAL : am · an = am + n
a) 23 · 25 = 28 = 256
b) m4 · m5 · m6 = m15
c) a3 ·an = a 3 + n
d) 103 · 104 · 102 · 107 = 1016
e) (2X)5 · (2X)6 · (2x)9 = (2x)20
f) X · X = X2
g) c · c5 = c6
h) b3 · b6 · b · b8 =b18
EJEMPLOS:
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
¿A que es equivalente ?252:5aaoaa
5
2
· · · ·
·
a a a a a a
a a a
33
1
aa
:m
m n m nn
aa a a
a
O SEA
EN GENERAL
55 2 3
2
aa a
a
48
Resolver Si aa = 2. Calcular 1aa2a
2 aa aa 2 2 aa 4 aa 4aa 4
2 16
49
Simplificar:
)2(3
)2(22R
3n
n4n
4
3
2 2 2 2
3 2 2
n n
n
3
3
2 2 2 1
3 2 2
n
n
3
2
2 1
3 2
9
12 3
4
2
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Q
PARA DAR SOLUCIÓN AL PROBLEMA, SE AMPLIO EL CONJUNTO Z DE LOS NÚMEROS ENTEROS, FORMANDOSE ASÍ UN NUEVO CONJUNTO; EL DE LOS NÚMEROS RACIONALES QUE SE IDENTIFICA CON LA LETRA Q.
AL PLANTEAR LA NECESIDAD DE DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS, SURGE UN PROBLEMA: EL CUOCIENTE DE DOS NÚMEROS ENTEROS , NO SIEMPRE ES UN NÚMERO ENTERO.
Q ES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS DE LA FORMA a/b , SIENDO a Y b NÚMEROS ENTEROS Y b DISTINTO DE CERO.
0/ bZbab
aQ
rdenominadonumerador
ba
NUMERADOR:LAS PARTES IGUALES QUE TOMAN DEL ENTERO
DENOMINADOR: LAS PARTES IGUALES EN QUE SE DIVIDE EL ENTERO
EJEMPLOS
1
16
7
16
OPERACIONES CON
FRACCIONES
ADICIÓN
IGUAL DENOMINADOR
a c a c
b b b
4 3 71) 1
7 7 7
5 7 122)
17 17 17
DENOMINADORES CON FACTORES COMUNES
a c na c
b nb nb
4 31)
5 35
5 72)
9 72
28 3
35
31
35
40 7
72
47
72
DISTINTO DENOMINADOR
a c ad cb
b d bd
4 31)
5 7
5 72)
9 8
28 15
35
43
35
81
35
40 63
72
103
72
311
72
SUSTRACCIÓN
IGUAL DENOMINADOR
a c a c
b b b
4 3 11)
7 7 7
5 7 22)
17 17 17
DENOMINADORES CON FACTORES COMUNES
a c na c
b nb nb
8 21)
9 27
5 72)
12 36
24 2
27
22
27
15 7
36
8 2
36 9
DISTINTO DENOMINADOR
a c ad cb
b d bd
4 31)
5 7
5 72)
9 8
28 15
35
13
35
40 63
72
23
72
64
MULTIPLICACIÓN
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
·
·
a c a c
b d b d
5 3 151) ·
7 4 28
8 6 482) ·
9 11 99
5 6 303) ·
13 7 91
66
DIVISIÓN
DIVISION DE FRACCIONES
:a c
b d
5 3 5 7 35 111) : · 1
8 7 8 3 24 24
7 6 7 11 77 232) : · 1
9 11 9 6 54 54
a
b·d
c
·
·
a d
b c
68
6) con el vino que hay en un recipiente se pueden llenar quince botellas y media de ¾ de litro. Con esta cantidad de vino:
a) ¿Cuántas botellas de un litro se podrían llenar?
1 315 BOTELLAS DE
2 4
3 4515
4 4
3 1 3
4 2 8
90 3 93 511
8 8 8 8
R. se podrían llenar 11 botellas
69
b) ¿cuántas botellas de litro se podrían llenar?
5 3 93 2 31 311 : 7
8 2 8 3 4 4
11
2
R. se podrían llenar 7 botellas
1 31
2 2
70
7) Un cuarto de kilogramo de queso tiene un valor de $850.¿cuánto cuesta un trozo que pesa 2 kilogramos y tres cuartos?
1k $850
4
32 k
4x
11850
4 850 11 935014
x
Los 2k y tres cuartos valen$ 9.350
71
Otro procedimiento
$850
$850 $850
$850$850
$850 $850
$850$850
$850 $850
$850
850 11 9350
72
8) Don Pedro tenía una parcela de 1 hectária, vendió la quinta parte y el resto lo repartió equitativamente entre sus cuatro hijos.¿cuántos metros cuadrados recibio cada uno?
1 hectária = 10.000m2
2.000m2
2.000m2 2.000m2
2.000m2
2.000m2
R: recibio cada uno2.000m2
73
9) Javier compra una bebida de litros para servirles a sus compañeros que han ido a estudiar con él. Si los vasos tienen una capacidad de 1/4 litro
1 52
2 2
5 1 5 4 20: 10
2 4 2 1 2
a) ¿Para cuántos vasos alcanzará?
R. Alcanzará para 10 vasos
12
2
74
b) Si los llena hasta las 3/4 partes, ¿para cuántos vasos le alcanzará?
3 1 3
4 4 16
5 3 5 16 5 8 40 1: 13
2 16 2 3 1 3 3 3
R. Alcanzará para 13 vasos
EL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS IRRACIONALES
Q`
76
N=Números NaturalesZ=Números EnterosQ=Números Racionales I=Irracionales(en amarillo)R=Números Reales
DESARROLLOS DECIMALES NO PERIÓDICOS
Existen ciertos desarrollos decimales infinitos que no son periódicos y, por lo tanto, no son números racionales. Es imposible escribirlos en la forma a/b con “a” y “b” enteros.
Ejemplos: 0,12569870002360087910...........
-9,12365478987562000127..........
4,987560056001200360014........
Si bien es cierto que algunos de estos desarrollos tienen una “ley de formación”, sin embargo, no son periódicos.
Estos números, llamados irracionales, forman un conjunto del mismo nombre, representados por Q`.
periódiconodecimaldesarrollountienexxQ /`
En este conjunto, se encuentran números tan importantes como el número irracional.
= 3,141592654........
La misma situación se presenta con las raíces cuadradas de algunos números racionales positivos.
..385164807,529
...31662479,311
...23606797,25
...73205080,13
Todos los números estudiados se caracterizan por tener un desarrollo decimal, sea periódico o no periódico. Se forma, así, un importante conjunto numérico:
los números reales IR
IR = Q Q`
IR
reales racionales (desarrollo decimal periódico)
Q
desarrollos decimales
reales irracionales (desarrollo decimal no periódico)
Q`
RECORDANDO LOS UNIVERSOS NUMÉRICOS
ESTUDIADOS, EL SIGUIENTE DIAGRAMA ILUSTRA LA
IDEA DE CÓMO SE HAN IDO AMPLIANDO, A
REQUERIMIENTO DE LAS NECESIDADES
OPERATORIAS
IN0
ZQ
Q`
IR
IN
84
N=Números NaturalesZ=Números EnterosQ=Números Racionales I=Irracionales(en amarillo)R=Números Reales
OPERACIONES EN IR.
PROPIEDADES
En los conjuntos numéricos anteriormente estudiados, ya has visto las propiedades de las operaciones. En IR se cumplen importantes propiedades que son el fundamento de la operatoria algebraica.
operación binaria a + b IR a · b IR
conmutatividad a + b = b + a a · b = b · a
asociatividad (a + b) + c = a + (b + c) (a·b)·c = a·(b·c)
elemento neutro a + 0 = 0 + a = a 1·a = a·1 = a
elemento inverso a + (-a) = 0 a · 1= 1 a
distributividadde la suma sobre la a · (b + c) = a · b + a · c multiplicación
ADICIÓN a,b,c IR MULTIPLICACIÓN
NOTACIÓN
CIENTÍFICA
Con este nombre, se conoce una forma de escribir los números y que es muy usual en algunas ciencias (por ejemplo, Física, Química...), ya que resulta bastante práctica.
El número 25.000.000.000 (veinticinco mil millones),
se escribe así:
25.000.000.000 = 2,5 · 1010
De esta manera, se consigue “abreviar” la escritura de ciertos números, generalmente muy grandes, o muy pequeños como el ejemplo siguiente
0,000000231 = 2,31 · 10-7
En general, se dice que un número está escrito en notación científica , si se ha expresado en la forma k · 10n , donde k es un número real, tal que.
ZnyK 101
2) 128.000 = 12800·10
1280·100
128·1000
12,8·10000
1,28·100000
1,28·105
1) 1.500 = 150·10 15·100
1,5·1000 1,5·103
EJEMPLOS
3) 7.280.000 = 7,28·106
para comprender mejor la notación, observa ordenadamente lo siguiente, en relación con el ejemplo anterior:
7.280.000 = 7,28 · 106
= 72,8 · 105
= 728 · 104
= 7.280 · 103
= 72.800 · 102
= 728.000 · 101
=7.280.000 · 100 (100 = 1)
El caso de los números muy pequeños es exactamente igual, usando potencias de 10 con exponente negativo:
Ejemplos:
0,000000000000524 = 5,24 · 10-13
0,000053 = 5,3 · 10-5
0,0000000935 = 9,35 · 10-8
0,00006 = 6 · 10-5
0,00000073 = 7,3 · 10-7
El mismo procedimiento estudiado hasta ahora se aplica para expresar números negativos en notación científica. Basta anteponer al factor K, el signo negativo.
Ejemplos:
-0,000000003 = -3 · 10-9
-125.000 = -1,25 · 105
-48.000 = -4,8 · 104
-0,00068 = -6,8 · 10-4