capítulo 1: conjuntos numéricos

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Santa Fe

Tec. en Mecatrónica

Capítulo 1: Conjuntos Numéricos

1. Números naturales

Al conjunto de los números Naturales los simbolizamos con la letra . Su notación

conjuntista, es la siguiente: .

Mientras que indicaremos con .

1.1.Operaciones y propiedades:

Adición o Suma:

La suma es una Operación Cerrada, es dicir, la suma de dos números naturales da

como resultado otro natural.

La suma verifica la Propiedad Conmutativa: .

La suma verifica la Propiedad Asociativa: .

Existencia de Elemento Neutro:

.

La suma verifica la Propiedad Cancelativa: .

Resta o Diferencia:

La resta no es una Operación Cerrada ya que la diferencia entre dos números

naturales no siempre da como resultado un número natural. Sólo se obtiene un número

natural si el minuendo es mayor que el sustraendo.

La última expresión indica que la sustracción es la operación inversa de la adición.

La diferencia no verifica la Propiedad Conmutativa: .

La diferencia no verifica la Propiedad Asociativa: .

La diferencia verifica la Propiedad Cancelativa: .

Si la diferencia es cero. Si .

Sumas algebraidas:

Una suma algebraica de números naturales es una sucesión de sumas y restas.



Regla de Supresión de Paréntesis:

Ejemplo:

o

o

o

Multiplicación o Producto:

Definición:

m y n se denominan factores.

Ley de cerradura: .

Propiedad Conmutativa: .

Existencia de Elemento neutro:

Propiedad Asociativa: .

Propiedad distributiva del producto respecto a la suma o resta:

Se llama múltiplo de un número natural n al producto de n por cualquier número

natural.

División o Cociente:

Donde m se denomina dividendo, n se denomina divisor y t se denomina cociente.

Para que la operación sea posible en el conjunto de los números Naturales debe

ser el dividendo múltiplo del divisor.

Ejemplo:

La división no verifica la propiedad de cerradura, salvo que se verifique la

condición indicada en la definición.

La división no verifica la Propiedad Asociativa: .

La división no verifica la Propiedad Conmutativa: .

n veces



La división verifica la Propiedad Distributiva con respecto a la suma algebraica

sólo a derecha

.

NO es posible dividir por cero.

Ejercicios 1:

1) Suprimir los paréntesis y calcular la suma algebraicas:

a) 16 + ( 15 – 2 ) + ( 7 – 3 ) + 3=

b) ( 35 – 6 ) - ( 9 – 6 ) + 16=

c) 30 – [ 4 + ( 12 – 4) – 3 [ (10 – 3 ) ] ]=

d) 40 + (23 – 7) + [ 7 + (5 – 3). 4]=

2) Compré en una librería crayones, lápices y cuadernos. Por los cuadernos pagué $14 y por los

lápices $7. Si todo me costó $30.¿Cuánto pagué por los crayones?

3) Compré una revista, pagué con un billete de $20. El cajero me pidió dos pesos y me devolvió

un billete de $5. ¿Cuánto me costó la revista?

4) Resolver aplicando propiedades:

a) 6.( 3 + 4 )=

b) ( 11 – 4 ). 3=

c) ( 3 + 5 ). (3 – 2)=

d) (10 – 3 ). (5 – 2)=

e) 2[ 3 ( 2 – 5) ] + 6 ( 4 – 1 ) – [ 12 (6 – 5 ) ]=

f) 3 (5 – 1) + 6 (4 – 1 + 3 ) – 2 ( 15 – 6 – 7)=

g) {25 + [6 (5 – 3 ) + 5 ( 8 – 3 – 2 )]}=

h) (12 – 4 + 6 – 8):2 =

i) 60- {[ 5( 6 – 3 ) + ( 8 – 2) :3 ] 2}=

j) 15 – 12 : 3 + 2 + 6:3=

k) [ 5 ( 4 – 2 )+20: (4 + 1) + 1] : 5=

l) { [ 18 – 6 – 2 ( 8 – 4) + 3 (5 – 2) + 2 ]:3 } 2 =

5) Despejar x de las siguientes igualdades:

a) 8x – 5 = 3x + 20

b) 4x + 2 = 3x + 6

c) 2x + 5x = 24 – 3



d) 3x + 10= 5x + 4

e) 3x + 2 + 8x = x + 20 – 2(7 – 2 )+ 2

6) El triple de un número menos 3 es igual al doble del número más 2 ¿Cuál es el número?

7) El perímetro de un campo rectangular es de 1100 metros. Si un lado mide 20 metros más que el

otro ¿Cuánto miden los lados?

8) Por una mesa con una silla pagué $70. Si la mesa cuesta $50 más que la silla. ¿Cuál es el

precio de la mesa y cuál es el precio de la silla?

2. Números Enteros:

El conjunto de los Números Enteros y se lo simboliza con la letra . Está formado por

el conjunto de los números Naturales a los que también se lo llama el conjunto de los

Enteros Positivos ( , el cero y un nuevo conjunto llamado los Enteros Negativos ( ).

Todo número entero tiene opuesto, es decir, si consideramos el número entero a,

su opuesto es el número –a. La suma de un número entero y su opuesto es igual a

cero

.

2.1.Operaciones y propiedades:

Adición:

Se verifica la Ley de Cerradura, es decir, la suma de dos números enteros da

como resultado otro número entero: .

Se verifica la Propiedad Conmutativa: .

Se verifica la Propiedad asociativa: .

Existe Elemento Neutro, que es el cero: .

Resta:

Se verifica la Ley de Cierre, es decir, la diferencia o resta de dos números enteros

da como resultado otro número entero: .

Para restar dos números enteros al minuendo se le suma el opuesto del

sustraendo



.

No verifica la Propiedad Conmutativa: .

No verifica la Propiedad Asociativa: .

Verifica la Propiedad Cancelativa: .

Producto:

Verifica la Ley de Cerradura, es decir, el producto de dos números enteros da

como resultado otro número entero .

Verifica la Propiedad Conmutativa: .

Verifica la existencia de Elemento Neutro: .

Verifica la Propiedad Distributiva con respecto a la suma y a la resta.

Verifica la existencia de Elemento Absorbente, .

División:

Esta operación es posible en el conjunto de los números Enteros siempre que el

dividendo sea múltiplo del divisor: .

3. Números Racionales:

El conjunto de los Números Racionales se lo simboliza con .Dados

p se denomina numerador de la fracción y q se denomina denominador de la fracción.

Dados los números enteros diremos que la fracción

es equivalente a

sí y sólo sí .

Llamaremos mínima expresión de un número ración a la fracción cuyo numerador y

denominador no tienen divisores enteros comunes.



o

entonces

es la mínima expresión de

.

Orden en :

Dados dos números racionales

se define la suma, la resta, el producto y el

cociente de ellos respectivamente por:

4. Números Irracionales: El conjunto de números irracionales se lo denomina . Está formado por

todos los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no

periódicas.

Ejemplos:

5. Números Reales: El conjunto de número reales se lo denomina . Está formado por la unión

del conjunto de los números racionales con los números irracionales. Conservando

todas los operaciones y propiedades de los mismos.

6. Potenciación:

el producto de n veces el factor a se denomina potenciación y se lo

simboliza de la siguiente manera: .

A recibe el nombre de base de la potencia.

N se llama exponente.

Ejemplo:



o

o

Propiedades:

La potencia no verifica la Propiedad Conmutativa: .

o

La potencia no es distributiva respecto a la suma o resta:

o y

o y

La potenciación es distributiva respecto del producto y del cociente:

o

o

El producto de potencias de igual base es igual a dicha base elevada a la suma de

los exponentes:

o

El cociente de ponencia de igual base es igual a dicha base elevada a la diferencia

entre el exponente del numerador y el exponente del denominador :

o

La potencia de cualquier número real, no nulo, elevado a exponente cero es igual

a uno

o

La potencia de un número elevado a otra potencia es igual a la base de esa

potencia elevada al producto de los exponentes:

o

o

La potencia de un número elevado a un número negativo es uno sobre la base

elevado el opuesto de la potencia negativa:

o

o



7. Radicación

Si consideramos dos números naturales n y p se dice que el número a es la raíz n-

ésima de p sí y sólo sí la n-ésima potencia de a es p.

N se denomina índice.

P se denomina radicando

A se denomina raíz n-ésima de p.

Ejemplo:

o

.

o

Recordar que la raíz de un radicando negativo con índice par no existe solución en los

reales.

Propiedades:

La radicación no verifica la Propiedad Conmutativa:

o

La radicación no es distributiva respecto a la suma o resta:

o

o

La radicación es distributiva respecto del producto y del cociente:

o

o

La potencia m de la raíz n del número p es igual a la raíz n de la potencia m de p:

o

La radicación se puede escribir como potencia:



o

o

Ejercicios 2:

1) Calcular:

15

12:

5

4)3

12

710

3

1)

4

5

4

2

4

1)

6

7:

4

7)

30

1

3

8

15

75)

5

1

5

88

5

12)

2

11

5

3

5

1)

4

3

2

7

12

1)

3

7

3

4

3

1)

mhc

lgb

kfa

42

5.

4

3

4

32)

3

5.

4

7)

5

2

6

1

5

3

2

7)

3

25

5

1

3

26)

3

7.

5

2)

20

3

5

11

5

1)

oje

nid

9

2

3

1:2

7

2

2

9)

5

2

5

4

3

1

5

3)

3

7

2

7

7

2

5

3) rqp

2) ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta

3632

6 533

9243

532222

33222

222222

273)

.)644)

8366436)22.2.2)

22.2)2)

32:6)2:62:6)

2)4343)

nmnmf

aaakmnmne

jd

ibababac

bacabchb

bababaga

3) Calcular:



34

302

5223

3 6

120

2)

5)

2)

3)

........4.....4.......4)

e

d

c

b

a

4) Resolver las siguientes ecuaciones:

72033)63

9)

124)283)

222

22

xxdx

c

xbxa

5) La superficie de un cuadrado es de 121 2m . ¿ Cuánto mide el lado del cuadrado?

6) La superficie de un cuadrado aumentada en 6 2m es de 150

2m ¿Cuánto mide el lado del

cuadrado?

7) El doble de la superficie de un cuadrado aumentado en 10 2m es igual al triple del área de ese

cuadrado disminuido en 902m ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

8) Calcular: 3 63 233 3 3.3.316

9) Calcular:

22322

232

3

53

5

3:1

3

12)

3

1

3

4

3

1

2

1)

3

4

4

3

3

2

2

1)

2

1

4

3)

dc

ba

243432

2

1

2

1:

2

1)

2

1

2

1

2

1) fe



10) Decidir qué afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificando en cada caso la respuesta. En el

caso que sean falsas justificar con un ejemplo numérico

111)

66)

)

11)

)

23

2

22

1

232 3

xxxxe

d

baentoncesbac

b

aaa

11) Simplificar la expresión siempre que sea posible:

xyconx

y

y

xc

ab

b

a

b

b

ab

a

bab

xbaconbxbxbxaba

012

1

2

1)

0

1

11)

000.2)

2

12

2

1

2

1

2

1

2

22

22

12

3

133

112

22

6 5 24

111

3

121

1

3

121

1

3

2)

00.

)

aae

ba

aa

babad

12) Resuelva las siguientes ecuaciones:



Recta Real

031)

012)224337)

339)14)

03)03)

2

2

xxxg

xxfxxxe

xxxdxc

xbxa

8. Intervalos en el conjunto de los números Reales

A cada punto de la Recta Real le corresponde un número Real y cada número Real

corresponde a uno y sólo uno de los puntos de la Recta Real.

Orden y Desigualad:

Si a y b son números reales diremos que:

a es menor que b si (b-a) es positivo, y lo escribimos: .

a es menor o igual que b si (b-a) es positivo o nulo, y lo escribimos:

a es mayor que b si (b-a) es negativo, y lo escribimos: .

a es mayor o igual que b si (b-a) es negativo o nulo, y lo escribimos: .

Propiedades de las desigualdades

Propiedad Transitiva: Si .

Propiedad Aditiva: Si .

Si es cualquier número real .

Si .

Si .

Intervalos y Semirrectas:

0



Los conjuntos numéricos más frecuentes son los intervalos de la recta real.

Sean

Intervalo Abierto:

Intervalo Cerrado:

Intervalos Semiabierto: ,

Intervalos no acotados o semirrecta: ,

El conjunto de los valores de x que satisfacen la desigualdad se llama Conjunto

Solución de la desigualdad dada.

Ejemplo:

o Hallar el conjunto solución de la desigualdad:

El conjunto Solución es el intervalo .

9. Valor Absoluto:

El valor absoluto de un número es el mismo número si es positivo o nulo, y es opuesto

si el número es negativo.

El valor absoluto de un número se interpreta geométricamente como la distancia del

número al 0 en la recta numérica.

Propiedades:

(Desigualdad triangular)

es equivalente a:



es equivalente a:

Ejemplos:

o

o

o

o

o

10. Logaritmo:

Sean números reales positivos, , diremos que es el logaritmo en base

de si y sólo si elevado a la es igual a . En símbolos:

Ejemplos:

o



o

o

o

Ejemplos:

o Hallar el valor de b en

.

Pasamos la exponencial

Elevamos ambos miembros a la potencia 4/3:

o ¿Cuál es la solución de la ecuación ?

Pasamos a la forma exponencial:

Reescribimos como potencias de igual base:

Usamos la propiedad enunciada arriba:

Luego x=-2.

Propiedades:

Ejemplos:

o Resolver y verificar:

Luego



o Resolver y verificar:

Verificación:

es solución

no es solución porque no está definido

el logaritmo de un número negativo.

o Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo con la ley , donde y

es la cantidad remanente después de t años. Si tenemos la cantidad inicial A=80

gramos

a) ¿Qué cantidad quedará después de 1 año?

b) ¿Cuánto tardará para desintegrarse la mitad?

Solución: a) Como A=80 gramos, tenemos , necesitamos reemplazar t por 1.

gramos.

b) Debemos averiguar en qué instante es y=40 g.

.

Ejercicios 3:

1) Escriba en cada caso el conjunto de número enteros que satisfacen la desigualdad y

representarlas gráficamente la solución:

312173)

0212)3141)

217)23)

xyxe

xyxdxyxc

xbxa



2) Determinar para que valores de x se verifica y representar gráficamente la solución de las

desigualdades:

35374)

24

31)

757

2)

1024)

)1(425)

0)97(1)

223).1()

5382)

xh

xg

xf

xe

xd

xc

xb

xxa

3) Para pensar mejor:

a) ¿Para qué valores de a y b se cumple baba ?

b) ¿Para qué valores de a es cierta la siguiente desigualdad? ax

c) ¿Cuándo es cierto que xx ?

d) ¿Cuándo es cierto que xx ?

4) Hallar el valor de x y verificar la solución.

2log32log26loglog2)

04lnln)

253log1log)

12log2log)

03log2log)

71,66log)

3

33

55

2

33

xf

xxe

xxd

xxc

xxb

xa

5) Se sabe que la reproducción de la levadura responde a una ley como la siguiente:

tC 2.3 donde t es el tiempo medido en minutos, C es el crecimiento, 3 la cantidad inicial de

levadura presente.

a) ¿Qué cantidad de levadura hay al cavo de una hora?

b) ¿En cuánto tiempo toma C el valor 100?

c) ¿En cuánto tiempo C cuadruplica su cantidad inicial?



Capítulo 2: Polinomios Llamaremos expresión algebraica a toda combinación de letras y/o números

vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta multiplicación y potenciación de

exponente racional.

Una expresión racional entera recibe el nombre de Polinomio.

Simbólicamente:

se denomina coeficiente.

se denomina coeficiente principal.

se denomina término independiente.

Monomio: Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las

operaciones de suma ni resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término.

Ejemplos: , ,

Polinomio Ordenado: Decimos que un polinomio está ordenado respecto de una

letra llamada ordenatriz cuando todos sus términos están dispuestos de modo que los

exponentes de dicha letra ordenatriz vayan aumentando ó disminuyendo sucesivamente

desde el primer término hasta el último. La ordenación será creciente ó decreciente según

los exponentes de la letra ordenatriz vayan de menor a mayor o viceversa.

Ejemplo:

o

o

Polinomio Completo: Un polinomio se dice que está completo cuando contiene

términos de todos los grados según la letra ordenatriz, desde el mayor hasta el grado 0.

Ejemplo:

o

o

Polinomio Opuesto: El polinomio opuesto de uno dado es el que sólo difiere de

aquel en el signo de los coeficientes.

Ejemplo: Sea u u

.



Igualdad de Polinomios: Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo

grado y los mismos coeficientes de los términos de igual grado.

Sean los polinomios :

Diremos que: .

Ejemplo: Hallar los valores de para que con

y .

Para resolver el problema igualamos los coeficientes correspondientes de los términos de

igual grado:

Polinomio nulo: Es aquel cuyos coeficientes son todos nulos. Lo simbolizamos

con 0.

Valor Numérico: Es el número real que se obtiene al reemplazar las letras (o

variables) que intervienen en la expresión por números reales determinados y efectuar los

operaciones indicadas, siempre que sea posible.

Ejemplos:

o

o

Operaciones fundamentales:

Operaciones con monomios semejantes:

Suma:

Resta:

Producto:

Cociente:

Operaciones con monomios semejantes:

Suma:

Resta:



Suma Algebraica:

Producto:

Cociente:

Operaciones con Polinomios:

Suma:

Resta:

Producto de un polinomio por un monomio:

Producto de dos polinomios:

Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma o resta y se

respetan las propiedades de producto de potencia de igual grado. Al multiplicar un

polinomio de grado m por otro de grado n, se obtiene un polinomio de grado m+n.

Cociente de un polinomio por un monomio:

Cociente entre polinomios: Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x)≠0,

gr(P(x))=m, gr(Q(x))=n y m ≥n. Entonces existen dos polinomios únicos C(x) y R(x)

tales que verifican:

P(x)=Q(x).C(x)+R(x) donde R(x) es el polinomio 0 o tiene grado menor al grado de

Q(x).

Llamaremos a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, a C(x) cociente y a R(x) resto.

Cuando R(x)=0 entonces P(x)=Q(x).C(x) y así Q(x) es un factor de P(x).En este

caso se dice que:’’ P(x) es divisible por Q(x)’’, o que ‘’Q(x) es divisor exacto de P(x)’’.

Ejemplo: Sean y



Con lo cual C(x)= y R(x)=

Observación: Cuando P(x) no es un polinomio completo es necesario ordenarlo en forma

decreciente y completarlo para poder realizar los cálculos.

Cociente de un polinomio por uno de la forma (x-a):

Para resolver este tipo de cociente se utiliza la Regla de Ruffini.

Sea: y . Calcular P(x):Q(x).

Se emplea la siguiente práctica:

o En la primera fila se escriben los coeficientes del dividendo completo y ordenado.

o En la segunda fila, a la izquierda, se escribe a, es este caso 2

Nota: si el polinomio divisor hubiese sido , a hubiese sido -2, pues

x+2=x-(-2)

o En la tercera fila se escriben los coeficientes del cociente que se van obteniendo,

mediante la siguiente regla:

El primer coeficiente del cociente baja, es 4.

Luego se hace 4.2=8 y ese valor se escribe debajo del coeficiente 5.

Se suma 5 + 8 =13. El segundo coeficiente es 13.

Se hace 13 . 2 =26 y se escribe debajo del coeficiente -1.

Se suma -1 +26=25. El tercer coeficiente es 25.

Se hace 25.2 =50 y se escribe debajo del coeficiente 12.

Se suma 12+50 =62. El resto es R(x)= 62

El cociente es :

Teorema del Resto:

El resto de la división de un polinomio P(x) por otro de la forma (x-a), es igual a P(a).



o Para nuestro ejemplo anterior se pedía calcular P(x):Q(x) con

y . Si sólo nos interesa conocer el resto de esta división

entonces calculamos:

.

Entonces cuando queramos investigar si un polinomio P(x) es divisible por uno de

la forma (x-a), bastará con encontrar P(a). Si P(a)=0, entonces P(x) será divisible por (x-

a). Si P(a)≠ 0, no lo será.

Raíces de un polinomio:

Decimos que un número real a es raíz o cero del polinomio P(x) sí y sólo sí se verifica

que P(a)=0.

o El número real

es raíz o cero de pues

.

o El polinomio no admite ceros o raíces reales porque al plantear

vemos que no existen valores reales que satisfagan la igualdad.

Para encontrar los ceros o raíces de , es decir,

Las raíces de esta expresión están dadas por la forma:

.

o Sea . Haciendo la resolvente

De donde

.

Lema de Gauss: Sea un polinomio con

coeficientes enteros.

Si P(x) admite al número entero a como raíz, entonces a es divisor de .

Si P(x) admite al número racional

como raíz, entonces p es divisor de y

q es divisor de .



Ejemplo: Sea donde y , si R(x) admite una raíz racional

se deberá verificar que p es divisor de 4 y que q es divisor de 1. Luego:

Los posibles son

las posibles raíces racionales son

x=2 es una raíz de R(x).Es decir, (x-2) es divisor de R(x) ,haciendo Ruffini:

Luego

Haciendo la resolvente para obtenemos: .

Luego

Observación: es posible que un polinomio tenga varias raíces iguales, por ejemplo:

. En este caso se dice que a=2 es raíz de

multiplicidad 2.

Decimos que un polinomio: con es

mónico, si su coeficiente principal es igual a 1, o sea, si .

Teorema Fundamental del Álgebra: un polinomio con coeficientes reales de grado n

tiene n raíces (reales o complejas) contadas con su multiplicidad.

Este polinomio puede escribirse en su forma factorizada de la siguiente manera:

donde es el coeficiente principal y las las n

raíces.

Ejemplo: ¿Cuáles son las raíces de ?

El polinomio tiene 4 raíces: a=1 con multiplicidad 1 y a=-3 con multiplicidad 3.

Factoreo de Expresiones Algebraicas Enteras:

Factor Común: Una expresión algebraica es factor común de todos los términos

de un polinomio cuando aparece repetida en cada uno de esos términos.



La expresión

, el factor común es . Sacando como factor

común, resulta:

.

Factor común por grupos: Por ejemplo: .

No existe un factor común a todos los términos, pero agrupando los términos que admiten

factor común, podemos escribirlo:

2 ( + ).

Trinomio Cuadrado Perfecto: Llamamos así al trinomio tal que dos de sus

términos son cuadrados perfectos y el otro es el doble producto de las bases de

esos cuadrados.

A través de dicha bases factorizamos el trinomio .

Cuatrinomio Cubo Perfecto: Llamamos así a todo cuatrinomio de la forma:

El polinomio dado resulta que: .

Diferencia de Cuadrados: Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al

producto de la diferencia de las bases de dicho cuadrado por la suma de las mismas, es

decir:

Ejercicios 1:

1) Dados los polinomios: P(x)= -2x+0,5x2 ; Q(x)= -

+

x-2x2 ; S(x)= -

-

x+2x2

Hallar las siguientes sumas e indicar el grado del polinomio resultante: a)P+Q b) Q+S c)

P+Q+S

2) Hallar las diferencias:



3) Multiplicar:

4) Hallar los cocientes:

5) ¿Para que valores de ‘’v’’ el polinomio x3+ vx2 + 3x es divisible por (x+5)?

6) Hallar las raíces restantes de los siguientes polinomios y luego escribirlo en forma factorizada

(como producto de factores lineales): siendo x=-3 una raíz.

siendo x=-1 raíz de multiplicidad 2.

7) Calcular todas las raíces del polinomio P(x)= x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4 .

8) Construir un polinomio Mónico de segundo grado que tenga a x=2 como raíz y donde el término

independiente sea 3.

9) Dado el polinomio Q(x)= x5 – x4 – 7x3+x2+6x . Calcular todas las raíces y factorizarlo.

10) Factorizar las siguientes expresiones, combinando los distintos casos de factoreos:



Respuestas:

Capítulo 1:

Ejercicios 1:

1. a) 36 ; b)42 ; c)39; d)71

2. 9

3. 17

4. a) 42; b) 21; c) 8 ; d) 21; e) -12; f) 44; g) 52; h) 3; i) 26; j) 15; k) 3; l) 10

5. a) 5; b) 4; c) 3; d) 3; e) 1

6. 5

7. 265 y 285

8. Sillas $10 y mesa $60.

Ejercicios 2:

1. a) -2/3 ; b) -77/5; c) 2; d) -37/20; e) 52/15; f) 13/3; g)-217/30; h)145/12; i)14/15; j) -

35/12; k) -33/50; l) 3/2; m) -1; n) -113/15; o) -5/8; p)17/42; q)-7/25; r)

811/126

2. a) F; b) V; c)V; d)V; e)F; f)V; g)V; h)F; i)F ; j)F, k)V

3. a)1; 16; 4; b) 9;c) 260; d)1; e) 64

4. a) 5; b) 4; c) 3; d) 3

5. 11

6. 12

7. 10

8. 31

9. a) 15625/4096; b) 169/36; c)(61/36)3; d) 4/9; e) 5/16; f)8

10. a) F; b)F; c)F; d)F; e)V

11. a) 2ab1/3x1/3-x2/3 ; b)(2b2)/(a2-b2)1/2 ; c)(y+x)/(y-x); d)1/(a8/5b); e) (a2+1)/(a4+a2+1)

12. a) -3; b) ; c) 3; d) ; e) -33/25; f) 1, 2; g) -3,0,1

Ejercicios 3:

1. a) (-,-1]; b)[-8,-3]; c) (-3,4); d)(-3,-2) ; e)(-2,1)

2. a) 0; b) -1 , 7; c) ; d) -2; e) (-,-2)U(3,); f) (-7,42); g)[-4,4/3]; h) [5/3,3]

3. a) a y b deben tener el mismo signo; b) (-,0]; c) x≥0; d) 0≥x

4. a) 5,13x1066; b) 3; c) 3; d) -23/13 ; e) -2, 2; f)

5. a) 3,46x1018 ; b) 5,06[s]; c)2[s]



Capítulo 2:

Ejercicios 1:

1.

2.

3.

4.

5. v=28/5

6. a)x=4, x=-2, S(x)=(x-4)(x+2)(x+3); b) x=2, x=-3; T(x)= (x-2)(x+3)(x+1)(x+1)

7. x=1 (doble) y x=-2 (doble)

8. P(x)=x^2 -7/2 x+3

9. Q(x)=(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)x. Las raíces son 0; 1; -1, -2; 3

10. a) 5b2(a-5b2x4)2; b) (a-b)(a+b)(m-n) ; c) 5x3b(2/3 xb-1)(2/3 xb+1); d) (a-1)2(a+1);

e)1/3 a(a+b)(m-2n); f) a(a-2)(a+2)(a-x); g) 3x(2x-y)3; h) 3x(1/2 a-1)3; i) (m2+n)(a-

1)(a2+a+1)

capítulo 1: conjuntos numéricos

Documents