1 capítulo 1 conjuntos numéricos

Adscrita a al Alcaldía de Medellín

Ing. Carlos Enrique Villa Arango

Ing. Margarita Patiño Jaramillo

COMPETENCIA:

Utiliza adecuadamente los conjuntos numéricos, sus

operaciones y propiedades básicas para solucionar

situaciones problema en diferentes contextos.

INDICADORES DE LOGRO

Resuelve expresiones aritméticas utilizando las propiedades yoperaciones de los conjuntos numéricos.

En una situación específica:Plantea la o las expresiones aritméticas a partir de enunciados osituaciones concretas.Resuelve una situación a partir de la o las expresiones aritméticasque la representan, utilizando las propiedades, operaciones y/ométodos desarrollados.

Qué son los CONJUNTOS NUMÉRICOS

Cuando en nuestra infancia comenzábamos a contar, cromos,amigos que asistían a nuestro cumpleaños, pesos que nos daban deaguinaldo…, no utilizábamos mas que el conjunto N o conjunto de losnúmeros naturales, y con el nos bastaba; “definimos número naturalcomo el que resulta de contar los elementos de cualquier conjunto”.

Números Naturales

El ser humano desde sus inicios tuvo la necesidad de contar. De ahí nacieron los

números y más precisamente el conjunto de los Números Naturales, ellos son:

N = Conjunto de los Números Naturales

N = { 1, 2, 3,... }

Donde N, es el símbolo utilizado para su notación

CARACTERÍTICAS DE LOS NÚMEROS NATURALES

USOS DE LOS NÚMEROS NATURALES

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES:

CRITERIOS DE

DIVISIBILIDAD

•Empieza con el uno.

•Tiene un número infinito de elementos consecutivos (un natural menos

el anterior es igual a uno).

• Cada elemento tiene un siguiente y todos, a excepción del 1 tienen un

anterior

• Los números naturales están ordenados. Esta ordenación permite

indicar que, por ejemplo, 4 es menor que 7. Como los números

naturales están ordenados, también se pueden utilizar para ordenar

conjuntos, en este caso decimos que tienen función ordinal

•Cuando los números naturales se utilizan para contar, decimos que

tienen la función cardinal.

•USOS DE LOS NATURALES:

•Para contar o cuantificar. Ejemplo: 1,2,3,4 personas.

•Para identificar. Ejemplo: Aula número 213

•Para ordenar o jerarquizar. Ejemplo: 1 o, 2 o, 3 o, 4 o.

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES:

Este conjunto numérico acepta operaciones aritméticas como la suma y la

multiplicación con sus propiedades.

SUMA O ADICIÓN MULTIPLICACIÓN

RESTA

SUMA:

Al sumar dos o más números naturales se obtendrá otro número natural y

los términos que interviene n se llaman sumandos.

La suma también recibe el nombre de adición

PROPIEDADES DE LA SUMA

O ADICIÓN DE NATURALES

PROPIEDADES DE LA SUMA O ADICIÓN DE NATURALES

1. PROPIEDAD CLAUSURATIVA: Un natural más otro natural da un natural.Ejemplo:

2. Asociativa

En una suma de números naturales pueden agruparse los sumandos de

cualquier forma y su resultado no varía.

Ejemplo 1: 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5 = 12

Ejemplo 2: (2 + 3) + 8 = 2 + (3 + 8) = 13

3. CONMUTATIVA

El orden que se le dé a los sumandos no altera el valor total de la suma.

Ejemplo 1: 8 + 2 = 2 + 8 = 10

Ejemplo 2: 11+ 5 = 5 + 11 = 16

5 Ν 8 Ν 5 8 13 Ν

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS

NATURALES

1. PROPIEDAD CLAUSURATIVA:

Un natural multiplicado por otro natural da un natural.

Ejemplo:

2. ASOCIATIVA: Si a, b y c N, entonces (a x b) x c = a x (b x c)

Ejemplo: 2 x 4 x 8 = (2 x 4) x 8 = 2 X (4 x 8) = 64

3. CONMUTATIVA: Si a y b a N , entonces a x b = b x a

Ejemplo: 4 x 3 = 3 x 4 = 12

4. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO CON RESPECTO A LA SUMA:

La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de los

multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos, así:

a( b + c) = ab + ac

Ejemplo1: 3(5 + 2) = 3 x 7 = 21 Ejemplo2: 3( 2 + 4) = 3 x 2 + 3 x 4

3 x 5 + 3 x 2 = 21 18 = 18

11 Ν 5 Ν 11 x 5 = 55 Ν

La resta en los naturales no siempre es posible porque no

siempre da un natural.

Ejemplo: 5 – 9 no puede efectuarse en los naturales ya que a

éste conjunto no pertenecen números negativos.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Todo número entero positivo se puede representar de forma única como

producto de factores primos excepto por el orden.

Ejemplo:

No existe otra forma de factorización de 41616 y 10800 en números

primos y puesto que la multiplicación es conmutativa, el orden de los

factores no influye; por esta razón, habitualmente se expresa el teorema

como factorización única exceptuando el orden de los factores.

El teorema vale también para 1 si se toma como el producto de cero

factores, ya que por definición, un producto vacío tiene por resultado 1.

4 2 241616 = 2 × 3 × 17

5 3 210800 = 2 × 3 × 5

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo (“m.c.m.” o “mcm”) de dos o más números

naturales es el menor número natural (distinto de cero) que es múltiplo

de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más

números se descompondrán los números en factores primos y se

tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

USO MÁS COMÚN PARA EL mcm CÁLCULO DEL mcm

MANERA TEÓRICA DEL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

(MCM)

MÉTODO ABREVIADO PARA EL CÁLCULO DEL mcm EJEMPLO

El mcm se emplea para

sumar o restar fracciones

de distinto denominador, lo

que veremos en el

conjunto de los racionales.

Cálculo del m.c.m de varios números

1. Descomponer los números en factores

primos.

2. Para cada factor común, elegir entre

todas las descomposiciones aquel factor

con mayor exponente.

3. Multiplicar todos los factores elegidos.

PROCESO PARA EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

(mcm)

La teoría es la siguiente:

- Factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

EJEMPLO

Ejemplo: mcm de los siguientes números 24, 36 y 40

1.Descomponemos los números en factores primos.

24 2 36 2 40 212 2 18 2 20 26 2 9 3 10 23 3 3 3 5 51 1 1

2. Para cada número, elegir entre todas las descomposiciones

aquellos factores primos comunes y no comunes con su mayor

exponente, así:

Observe que: para 24 = 23 x 3 ,

para 36 = 22 x 32

para 40 = 23 x 5

3. Multiplicar todos los factores elegidos. m.c.m (24, 12, 36) = 23 x 32 x 5 = 8 x 9 x 5 = 360, esto nos permite

EJEMPLO: Hallar el MCM entre 30, 60, y 90 por el método abreviado.

30 60 190 215 30 95 215 15 95 3

5 5 95 51 1 19 191 1 1

Estos resultados nos permite concluir que el mínimo común múltiplo para 30, 60, 190 corresponde a 22 x 3 x 5 x 19 = 1140

concluir que 360 es el menor múltiplo de 24, 12 y 36 y que además, es divisible exactamente por cualquiera de ellos.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor («m.c.d.» o «mcd») de dos o más números

naturales es el mayor divisor posible de todos ellos.

PROPIEDADES CÁLCULO DEL MCD EJEMPLO 1 EJEMPLO 2 EJEMPLO 3

MÉTODO ABREVIADO

Propiedades

El máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus

factores primos comunes elevados al menor exponente.

En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números

es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al

mismo tiempo.

CÁLCULO DEL MCD

El método más utilizado para el cálculo del máximo común divisor de dos

números es:

Se descomponen los números en factores primos y se toman los

factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales

será el MCD.

El MCD de tres números se puede calcular como sigue: M.C.D. (a, b, c) =

M.C.D. (a, M.C.D. (b, c)).

•EJEMPLO1

Calcular el MCD de 48 y 60.

Solución: Podemos comprobar que los divisores de 48 y 60, o sea: ( los números

que dividen exactamente a 48 y 60) son:

48 = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}

60= {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

Por lo que el máximo común divisor de ambos es 12. Veámoslo utilizando los dos

métodos descritos anteriormente:

De la descomposición en factores primos de 48 y 60, obtenemos:

48 = 24 x 3 y 60 = 22 x 3 x 5 podemos inferir que su MCD. es 22.3 = 12 o

comúnmente expresado como MCD (60,48) = 12.

EJEMPLO 2: Calcular el MCD para (6936,1200):

Solución:

1. Descomponiendo en sus factores primos a 6936, se tiene:

6936 = 23 x 3 x 289

2. Descomponiendo en sus factores primos a 1200, se tiene:

1200 = 24 x 3 x 52

Por lo tanto el MCD para 6936 y 1200 es 24 x 3 = 48

•EJEMPLO 3:

Calcula el MCD para los números (7000000 y 7000002)

Tras un sencillo cálculo obtenemos los factores de ambos números:

(cuál es ese calculo?)

7000000 = 26 x 56 x 7

7000002 = 21 x 32 x 157 x 2477

Por lo que su MCD es 2 (Se trata del único factor común elevado al

mínimo exponente, 1)

MÉTODO ABREVIADO PARA HALLAR EL MCD:

El MCD entre varios números, por descomposición en factores primos

puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los

números dados por un factor común; los cocientes nuevamente por un

factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primosentre sí.

Ejemplo: Hallar el MCD entre 3430, 2450, 980 y 4410 por el método abreviado.

Solución: 3430 2450 980 4410 10343 245 98 441 749 35 14 63 77 5 2 9

El MCD para los cuatro números 3430, 2450, 980 y 4410 es: 10 x 72 = 490

EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS (NÚMEROS

NATURALES)

Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias

adquiridas en el eje temático de los números naturales, practicarás

cada una de los conceptos estudiados.

PREGUNTA

I) Cero es un número Natural

II) Entre dos números naturales existe al menos

un número natural.

III) Todo número natural tiene un siguiente.

IV) Todo número natural tiene un antecesor

v. El conjunto de los números naturales es infinito

Para los siguientes enunciados debes haber estudiado atentamente

cada uno de los conceptos para poder dar las respuestas correctas:

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) Verdadera(s)?

Continúa resolviendo tu taller, presentado en el siguiente documento

CONTINÚA

ESTUDIANDO

LOS NÚMEROS

ENTEROS

ÉXITOS

LOS NÚMEROS ENTEROS

INTRODUCCIÓN

En algún momento los números naturales no sirvieron para el cálculo de

algunas situaciones, por ejemplo: quedar debiendo 500000 pesos o

hasta millones o tan pocos como $5000, o medir la temperaturas bajo

cero, fue por eso que nacieron los números enteros, los cuales son una

generalización del conjunto de los números naturales, que incluye

números negativos.

A continuación se presentará una breve recuento de la necesidad de

otro conjunto numérico, es decir, el por qué aparecieron, se definirá el

conjunto de los números enteros, también se presentarán una serie de

situaciones de la vida diaria donde están presentes los números

enteros. Luego conoceremos como representarlos en una línea recta,

como ordenarlos de mayor a menor o de menor a mayor. También

conoceremos el valor absoluto de un número entero y además las

cuatro operaciones básicas, adición, sustracción, multiplicación y

división. Para luego presentar actividades donde aplicar lo aprendido.

POR QUÉ HA SURGIDO EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROSENTEROS?

Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente

para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus

demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el

mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los

números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C.

Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como

restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy

conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los

signos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta

entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su

abreviatura m.

Inicia, entonces, la pregunta cómo solucionar expresiones de la forma X +

1 = 0, la que no tiene solución en los naturales, así como otras situaciones

de la vida real como, deudas, depresiones en los terrenos, temperaturas

bajo cero, lo que tampoco es posible representarlas con tales números.

Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales a

un nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sea posible.

Surge así, un nuevo conjunto que se denomina de los números enteros y

que se simboliza por la letra Z

STIFEL: Michael Stifel (Esslingen, Alemania 1487 - Jena, Alemania 19 de abril de 1567) fue un

matemático alemán que descubrió los logaritmos e inventó una primigenia forma de tablas logarítmicas

antes que John Napier. Su trabajo más importante es Arithmetica integra, publicado en 1544. Contiene

importantes innovaciones en anotación matemática, entre ellas el primer uso de multiplicación por la

yuxtaposición (sin el símbolo entre las condiciones) en Europa. También fue el primero en usar el término

“exponente”, así como exponentes negativos (aunque estos últimos no los consideraba correctos)

Y … ¿Qué es un número entero?

Ahora, ya conoces bien el sistema de los númerosnaturales, que denotamos con la letra N y en elcual se definen dos operaciones llamadas suma yproducto cuyas propiedades ya son bien conocidaspara todos ustedes. Por lo tanto, podemospreguntarnos:

¿Qué es un número entero?

El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z y está compuesto por:

Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,…}

EJEMPLO

32CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

Ejemplos :

+ 4, + 2, + 63 serían positivos y – 4, - 2 y – 63 serían negativos.

Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se le llama

Conjunto de los números enteros y está compuesto por infinitos números {

........, - 4, -3, - 2, - 1, 0, +1, + 2, + 3, + 4, .....}

LOS NÚMEROS ENTEROS, se representan con la letra Z

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS REPRESENTACIÓN

OPERACIONES: SUMA DE NÚMEROSENTEROS PROPIEDADES

SUMAS CONSIGNOS DE AGRUPACIÓN

MULTIPLICACIÓN PROPIEDADES

POTENCIACIÓN EJERCICIOS


… -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … Nz

PROPIEDADES

1.Todo número natural es entero, esto quiere decir que el conjunto de los números

naturales está contenido en el de los enteros.

2. El conjunto de los números enteros no tiene primer elemento, es decir todo

número entero tiene anterior.

3.Todo número entero tiene siguiente.

4. Todo número entero es menor que su siguiente y mayor que su anterior; es decir

el conjunto de los números enteros está ordenado.

Sigue34CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

5. Se llama valor absoluto de un número, y se designa por | |, a dicho número si este es positivo y a su opuesto si este es negativo. (El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir del signo)

Ejemplo:

|+4|= |-4|= 4|-5| = |+5| = 5


Los números enteros se pueden representar sobre una recta en la que situamos el cero, los números negativos a su izquierda y los positivos a su derecha.

Los números enteros crecen en valor según nos movemos de izquierda a derecha en la recta numérica

-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 70

-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 70

Crecen en este sentido


SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Para sumar dos números enteros hay que distinguir dos casos:

1º Si tienen el mismo signo: Se suman los valores absolutos de los números y

al resultado se le pone el mismo signo que llevasen los números.

EJEMPLOS:

a) Sumar 52+34

Sabemos que 52 = 52 y │34│= 34, y que el signo de los sumandos es

igual (+). Luego, 52 + 34 = +86 = 86.

b) Sumar ─138 + (─25)

Sabemos que │─138│= 138 y │─25│= 25. por lo cual, la suma de sus

valores absolutos es 138 + 25 = 163.

Como los sumandos tienen igual signo (─), entonces ─138 + (─25) = ─163

es la solución.

Continúa37CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

2º Si tienen distinto signo: Se restan los valores absolutos de los números y al

resultado se le pone el signo del número que tuviese mayor valor absoluto.

EJEMPLOS:

Sumar: 5 + (- 8) = - 3 y (- 5) + 8 = + 3

En conclusión lo que se debe hacer es lo siguiente: Cuando vamos a sumar

dos números enteros con diferente signo, realizamos una resta del número mayor

menos el número menor y el signo del resultado es el mismo signo que tiene el

número mayor. Usted puede apreciar este hecho en los ejemplos anteriores


PROPIEDADES DELA SUMA

A continuación estudiaremos estas propiedades, las

cuales quedaran explicadas en la siguiente tabla y las

comprobaremos mediante la interpretación del concepto

y lenguaje matemático. Se verificaran por medio de

ejemplos y ejercicios.

PROPIEDADES


PROPIEDADES DE LA SUMA: La suma de números enteros cumple las

siguientes propiedades:

1.CLAUSURATIVA: Si a y b Z, entonces: a + b Z

La suma de dos números enteros es otro número entero

EJEMPLO: 2 + 3 = 5; 2 Z, 3 Z entonces la suma que es igual a 5 a Z

2. CONMUTATIVA: Sí a y b Z, entonces: a + b = b + a

Si se invierte el orden de los sumandos el resultado no se altera.

EJEMPLO: 3 + 4 = 7 y 4 + 3 = 7

sigue


3. ASOCIATIVA: Sí a, b, c Z, entonces: (a + b) + c = a + (b + c)

El resultado de sumar más de dos números enteros no dependen de la forma como

se asocian.

EJEMPLO:

5 + 4 + 6 = 11, aplicando la propiedad asociativa:

5 + (4 + 6) = (5 + 4) + 6 = 11

4. MODULATIVA: Sí a Z, entonces: a+ 0 = 0 + a = a

Al sumar un entero con el cero, el resultado es el entero sumando.

EJEMPLO: 4 + 0 = 4 y 0 + 4 = 4

Continúa


EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO: Si a

Z, entonces: a + (-a) = 0

Todo numero entero sumado con su opuesto

da como resultado cero.

EJEMPLO: 4 + ( -4) = 0; 67 + ( -67) = 0;

23 + (-23) = 0


SUMAS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación más utilizados son:

Las llaves: { }

Los corchetes: [ ]

Los paréntesis: ( )

• Cuando en una operación existen estos signos, deben tenerse en cuenta ciertas reglas para poder resolver la operación indicada:

1.Si en una expresión hay paréntesis y corchetes el orden de las operaciones debe ser como sigue:

• Se efectúan las operaciones que hay dentro de los paréntesis, si el paréntesis no lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el paréntesis

lleva delante un signo – se escribe el resultado opuesto.

CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

43

2. Se efectúan las operaciones que hay dentro de los corchetes, si el corchete no lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el corchete lleva delante un signo – se escribe el resultadoopuesto.Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo + adelante, es decir +5 y 5 es lo mismo.

EJEMPLO: Realizar las siguientes operaciones: 5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)]

5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)]

-1

5 – [2 + 6 – 1]

7

5 - 7

-2


EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS ( SUMAS Y RESTAS

CON NÚMEROS ENTEROS)

Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el

eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los

conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.

Realiza las siguientes operaciones, aplicando los conceptos relacionados con los

números enteros:

Calcula:

a) 5 – (6 – 7) + (4 – 9) g) 5 – 12 + (3 – 7) – ( - 3 – 6)

b) – [5 + 3 – (6 – 5 + 8)] h) – [(6 – 5) + 8] – [(1+ 3) + 6]

c) 9 – (3 – 5) + (6 + 4 – 7) i) – 5 + [3 + (6 – 5) + 8] - 2

d) – (4 – 7) – [8 + (9 – 2)]

e) – 8 + ( 3 – 5) – (- 3 + 6)

f) – [8 - ( 3 – 5)] – (- 3 + 6)


MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros hay que distinguir dos casos:1. Si tienen el mismo signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado

será positivo.

2. Si tienen distinto signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado seránegativo.

3. Los numerales 1y dos, hacen referencia a la regla de los signos:

Regla de los signos: + POR + = +; - POR - = ++ POR - = -; - POR + = -

EJEMPLO: 3 x 2 = 6; 1 x (- 4) = - 4; ( - 3) x (- 5) = + 15; ( - 2) x 4 = - 8


1. Regla del producto

a. El producto de dos números positivos es otro número positivo.

b. El producto de dos números negativos es otro positivo.

c. El producto de dos números de diferente signo es otro número negativo.

2. Asociativa. El agrupamiento de los factores no altera el producto.

3. Elemento unidad: el 1 es el elemento neutro o unidad, porque al

multiplicar por cualquier número da dicho número.

4. Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto

5. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: el producto de un número

por una suma o diferencia es igual a la suma o diferencia de los productos de dicho

número por cada sumando.

2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14


POTENCIACIÓN

Una potencia es una multiplicación de factores iguales, el factor que se

repite se llama base y el número de veces que se repite se llama

exponente, se representa como:

a x a x a x a = a4

• Para calcular una potencia de base entera hay que tener en cuenta lo

siguiente:

a) Si la base es positiva entonces el resultado siempre es positivo

b) Si la base es negativa y el exponente es un número par entonces la

respuesta es positiva.

c) Si la base es negativa y el exponente es un número impar entonces la

respuesta es negativa.

EJEMPLO: 23 =8; (-3)2 = 9; (-3)3 = -27; 43 = 64


EJERCICIOS:

Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el

eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los

conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.

1. Realiza las siguientes operaciones:

1) 3 x (2 + 5) + (- 6 x 5 + 2) x (3 – 4) – (6 – 8) =

2) 1 – [6 x (2 + 3) – (4 + 1) x 2] x 2 =

3) (4 + 7) x (4 + 5) – 8 x (9 – 7) + (–7 – 2) =

4) 3 + 2 x 3 x ( - 4 x 2) – ( 6 – 7) – 2 x 4 x (–1) =

5) 1 + (3 + 4 x 2 – 6) x 2 – (5 – 7) x 2 =

6) 3 – 4 x (2 – 3) x 2 + ( 4 + 3 + 2) x (–1) x 2 =

7) 2 – [3 – (2 – 5) x 3 + 2 x (1 – 3) x (–2)] + 5 =

8) 4 – 5 x {2 – 3 x [– 4 + 2 x (5 – 4) x (–1)] x (–1)} x (–1) =

9) 8 – [4 + (2 – 5) x 2 – 6 x 3 + (6 – 2)] x (–1) + 5 x (–3 – 2) =

10) 1 – {2 – [3 x (4 – 5) x 2 – 3] x 2} x (–2) =


EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA NÚMEROS ENTEROS

Para que continúes practicando, realiza los ejercicios siguientes:


NÚMEROS PRIMOS

Un número entero P es primo si

es un número mayor que 1 y los

únicos enteros que lo

dividen son 1, -1, P y –P. A los

números de la forma –P donde

es un primo les llamaremos

primos negativos.

Por ejemplo: 5, es divisible por

(1, -1, 5, -5), primo positivo.

-5, es divisible por (1, -1, 5, -5),

primo negativo.

La sucesión de los números

primos, (positivos), comienza con:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

Hay infinitos números primos, es decir, existen números primos tan

grandes como se quiera. La distribución de los números primos es muy

irregular. Hay algunos que son números impares consecutivos, como 3 y

5; estos se llaman primos gemelos.52


NÚMEROS RACIONALES


NÚMEROS RACIONALES

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones

que se presentaban en la división en el conjunto de los Números

Naturales y Números Enteros.

Al encontrar que la división entre dos números, naturales o enteros, no

siempre daba exacta y que en muchísimos casos los decimales eran

infinitos no periódicos, se inventaron los racionales o fraccionarios, el

cual está formado por todos los números de la forma

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se expresa por comprensión

como:

Lease: El conjunto de los números racionales es el conjunto de los

números tal que a y b pertenecen a los enteros con b diferente de

cero.

aQ = / a,b Z, b 0

b

a

b


Operaciones con números racionalesSuma y resta

• Fracciones de igual denominador.Sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.Ejemplo:

•Fracciones de distinto denominador.Primero calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores y ese valor esel denominador común de todas las fracciones, luego se divide ese mínimo comúnmúltiplo por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplicapor el numerador correspondiente.Ejemplo:

Solución:

El mcm (3, 8, 12) = 24, entonces

7 5 7-5 22 8 2 + 8 10+ = = = 2 - = =

5 5 5 5 3 3 3 3y

2 5 1+ +

3 8 12

16+15+14 45 152 5 1+ + = = =

3 8 12 24 24 8


Análogamente para la resta.

Ejemplo:

Solución: El mcm (6, 4, 12) = 12, entonces

Multiplicación de Fracciones

Para multiplicar dos o más fracciones, multiplicamos los

numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

Ejemplo:

5 1 7- - = ?

46 12

10-3-7 05 1 7- - = = = 0

46 12 12 12

4 8 4 × 8 32× = =

3 9 3 × 9 27


División de Fracciones

Para dividir dos fracciones se multiplican en cruz los términos de

las fracciones.

Ejemplo:

FRACCIONES EQUIVALENTES DECIMALES CONVERTIBLES EN FRACCIONES

CLASES DE FRACCIONES

8 4 8 × 3 24 6÷ = = =

5 5 × 4 53 20


FRACCIONES EQUIVALENTES

Toda fracción es un número racional

y cada número racional consta de

infinitas fracciones equivalentes las

cuales se pueden obtener

multiplicando el numerador y

denominador de la fracción por el

mismo número.

Ejemplo:

Las fracciones son

fracciones equivalentes ya que

3 9y

5 15

multiplicado por

multiplicado por

33 9=

5 15x 3


DECIMALES CONVERTIBLES EN FRACCIONES:

Al conjunto de los racionales pertenecen los números decimales finitos,

infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden

transformarse en una fracción (Consultar y estudiar procedimientos).

CLASES DE FRACCIONES:

Según sean numerador y denominador las fracciones se clasifican como:

- FACCIONES PROPIAS: Cuando el numerador es menor que el

denominador.

Ejemplos:

- FRACCIONES IMPROPIAS: Cuando el numerador es mayor que el

denominador.

Ejemplos:

1 3 11, ,

7 8 50

11 3 11, ,

7 2 3

USOS DE LOS RACIONALES PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS RACIONALES


USOS DE LOS RACIONALES:

•Para expresar una o varias de las partes en que se ha dividido la unidad.

Ejemplo: una de tres partes de la unidad:

• Para expresar la distribución de una cantidad en varias partes iguales:

Ejemplo: siete unidades distribuidas en dos:

,

.

,

.

1

3

7

2

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE RACIONALES

Asociativa

En una suma de números racionales pueden agruparse los sumandos de cualquier forma y su resultado no varía.

Ejemplo:

2 1 7 2 1 7

3 5 15 3 5 15

13 7 2 10

15 15 3 15

20 20

15 15

2 1 7 2 1 7 + + = + +

3 5 15 3 5 15

13 7 2 10+ = +

15 15 3 15

20 20=

15 15

sigue60CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

Conmutativa

El orden que se le de a los sumandos no altera el valor total

de la suma.

Ejemplo:

Elemento neutro

En el conjunto de los números racionales existe un número

que sumado a cualquier otro da siempre este último. Este

número se llama elemento neutro de la suma y es el cero.

Ejemplo:

2 1 7 1 7 2+ + = + +

5 53 15 15 3

20 20=

15 15

3 0 9 + 0 9 3+ = = =

4 46 12 12


Existencia del opuesto

El opuesto del número

La suma de dos números opuestos pertenece a la clase del

numerador cero.

Ejemplo:

- 33es

7 7

- 33 0+ = = 0

7 7 7

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES

Asociativa

En un producto de números racionales pueden sustituirse dos o

más de los factores por el producto efectuado.

Ejemplo:3 5 7 11 1155 77

× × × = =5 42 3 2 60


Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

Ejemplo:

2 7 7 2 14× = × =

5 3 3 5 15

Elemento neutro

En el conjunto de los números racionales existe un número que, multiplicado por

cualquier otro, da siempre este último. A tal número se le llama elemento neutro

respecto del producto. Es el representado por las fracciones del tipo = 1

(numerador y denominador iguales).

Elemento inverso o inverso multiplicativo

Es el que, multiplicado por un número racional, hace que su producto sea el

elemento neutro.

Ejemplo:

Para el inverso es porque :

a

a

2

5

5

2

2 5 10× = = 1

5 2 10


RAZONES Y PROPORCIONES

Una razón es la comparación de dos números por medio de un

cociente. Este cociente se interpreta como el número de veces

que uno de ellos es mayor que el otro, esto se expresa como:

Al término a se le llama antecedente y al término b,

consecuente.

Las razones y proporciones tienen una gran aplicación en

diversas disciplinas; por ejemplo, en ingeniería se emplean las

escalas para realizar planos y maquetas, en las área

estadística y financiera para realizar cálculos de índices y, en

la vida diaria, para distribuciones y desarrollar ciertas

operaciones aritméticas.

a, b 0

b


Ejemplo de razones:

Una persona, al comprar una caja que contiene 30 huevos, observó que seis salieron quebrados; la razón que se obtiene es:

Simplificando la razón, se tiene:

lo cual se interpreta como: un huevo de cada cinco está quebrado.

Huevos quebrados6

30 Total de huevos

PROPORCIONES

Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones y, se

expresa como:

en las proporciones, los términos a y d se denominan extremos y

b y c, medios.

6 1= o 1 ÷ 5

530

a c= , donde b y d ≠ 0b d


Una proporción está formada por dos razones igualadas. De este modo, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Propiedad fundamental de las proporciones:

Ejemplo: Un albañil compró 3.5 m. de tubería y pagó por ella $ 14000. Si necesita 8 m. de la misma tubería, ¿cuánto deberá pagar?

Solución:Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y efectuando las operaciones se tiene:

Recuerde:

Dos razones forman una proporción, solamente cuando el

producto de sus extremos es igual al producto de sus medios.

a c= , si y sólo si a × d = b × c donde b y d 0

b d≠

3.5m 8m= ; 8m $ 14000 = 3.5m x

x$ 14000

8m $ 14000x = = $ 32000

3.5m

Los 8m de tubería cuestan $ 32000


Fracción mixta

Una fracción es mixta cuando está compuesta por un entero y un

fraccionario.

:

Dos enteros y un cuarto.

1corresponde a 1 + 1 +

4

Ejem plo : Reducir 6 a una fracción equ iva lente de denom inador 7 .

6 × 7 42Solución : 6 = =

1× 7 7

E jem plo : Reducir 17 a novenos

17 9 153Solución : 17 = =

1 9 9


Si a > b entonces:

y tenemos por lo tanto una fracción impropia en la que si dividimos:

nos da:

Ejemplo:

por lo tanto:

a> 1

b


La fracción

Puede expresarse también como:

y :

21

32 1× 3 + 2 5

1 = =3 3 3

Ejemplos:

nos queda por lo tanto:

Ejem plo 1:

1Convertir 3 en fraccionario .

5

Solución :

1 3 × 5 + 1 163 = =

5 3 3

E jem plo 2 :

16C onvertir en m ixto

5

Solución :

D iv id im os


NÚMEROS

IRRACIONALES


El conjunto de los números irracionales, Q’, está

constituido por todos los números decimales infinitos

y no periódicos, es decir, son aquellos números que

no pueden transformarse en una fracción .

Los siguientes son números irracionales:

0.12345678910111213...12.101001000100001...126.122333444455555...

Son también números irracionales aquellos

que tienen raíces inexactas, como:

37 , 3 , 2 ,

PROPIEDADES

USOS DELOS Q’

SUMA Y SUS PROPIEDADES

MULTIPLICACIÓN Y SUS PROPIEDADES


Los números irracionales Q’, tienen la importante propiedad de poder

ser aproximados con el grado de precisión que se necesite.

USOS DE LOS IRRACIONALES:

El número ,es una constante y el número e = 2.718281828… también

considerado constante, ellos están en los cálculos de áreas y volúmenes y en los exponenciales y logaritmos.

Las raíces inexactas como tienen que ver con cálculos comunes en las asignaturas con base matemática.

32 , 5 , 7 ,


ADICIÓN O SUMA DE NÚMEROS IRRACIONALES:

Es la combinación interna de unidades decimales que se originan

de una suma algebraica de dos o mas sumandos

23 2 e 13.797299...

PROPIEDADES


PROPIEDADESDE LA SUMA

1. Asociativa

En una suma de números irracionales pueden agruparse los sumandos de

cualquier forma y su resultado no varía.

2. Conmutativa

El orden que se le de a los sumandos no altera el valor total de la suma.

2 5 7 ( 2 5 ) 7

6.29603... 2 ( 5 7 )

6.29603... 6 .29603

2 5 7 5 ) 2 7

6.29603... 7 2 5

6.29603... 6 .29603


Elemento neutro

En el conjunto de los números irracionales existe un número que

sumado a cualquier otro da siempre este otro. Este número se llama

elemento neutro de la suma y es el cero.

33 0 33 5.74456...


MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES

Para multiplicar los decimales, ellos se multiplican como enteros y en el

producto se separan tantas cifras decimales como tengan entre los dos

factores, escribiendo ceros a la izquierda si son necesarios para separar

las cifras decimales.

Pero en cuanto a la unidad seguida de ceros, se recorre la coma decimal

tantos lugares como ceros tengan el multiplicando, añadiendo a la derecha

del numero decimal los ceros que sean precisos para poder recorrer el

punto decimal

311 x 17 = 8.52797

3 14.79125...e


PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

1. Asociativa

En un producto de números irracionales pueden agruparse dos o más de los

factores en una forma cualquiera.

2. Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

13 x ( 5 x 17 ) ( 13 x 5 ) x 17

3.6055... x 9.2195... 8 .06226... x 4.1231

33.241 33.241

17 x 2 2 x 17

4.1231 x 1.414213 1.414213 x 4.1231 5.831


NÚMEROS REALES


Números Reales

Se le denominan números reales cualquier número que pertenezca a los racionales (Q) o alos irracionales (Q’) .Pueden expresarse de forma decimal, como número entero, decimal exacto, decimalperiódico o no periódico.

Números Reales (R)R = {Q Q'}

Las propiedades de los reales están separadamente en los números naturales, enteros,

racionales e irracionales.

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS REALES PORCENTAJES80


Conmutativa para la adición:

La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el

resultado siempre es el mismo.

Por ejemplo:

Conmutativa de multiplicación

Ejemplo:

Asociativa de adición

La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el

resultado es el mismo.

Por ejemplo:

4.2 + 2.3 = 2.3 + 4.2

1.4 × 2.5 = 2.5 × 1.4

4 × 2.7 × 9.1 = 4.3 × 2 × 9.1 = 98.2881


Distributiva de multiplicación sobre adición

Por ejemplo:

Ejemplo:

Realizar las sigientes operaciones del polinomio aritmético:

Solución:

1 7 23 - 2 - + - 3.5 - 0 .5

5 5 3

6 23 - 2 - 3

5 3

- 123 - 2

5

- 12 - 10 - 22 -663 = 3 =

5 5 5

1 7 23 - 2 - + - 3.5 - 0 .5

5 5 3

3 3 × 2 + 3 × 9 33× 2 + 9 = =

2 2 2


PORCENTAJE:

Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica esta cantidad por el tanto por ciento y se divide por cien.

Ejemplo:Calcular el 13% de 45

Solución:

45 × 13 58513 % de 45 = = = 5.85

100 100

Para saber qué porcentaje es una cantidad con respecto a una base se divide la cantidad por la base y se multiplica por cien.

Ejemplo:

¿Qué porcentaje es 22 de 88?

Solución:

22 100% : × 100 = = 25%

88 4 83CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

Ejemplo: Juan tiene un sueldo de $527.000 y se gasta el 32% en

arriendo. ¿Cuánto dinero le queda después de pagar el arriendo?

Solución:

A Juan le quedan:

Observemos que:

En muchos ejercicios el empleo de la regla de tres es indispensable

para hallar la solución.

En la próxima diapositiva se describe el procedimiento para la regla de

tres simple directa.

32El 32% de $ 527000 es : × $ 527000 = $168640

100

3232% es = 0.32

100

$ 527000 - $ 168640 = $ 358360


REGLA DE TRES

La Regla de Tres simple directa

La Regla de Tres simple relaciona tres magnitudes para obtener una cuarta.

Ejemplo: Si 12 naranjas cuestan $ 72, ¿cuál será el precio de 20 naranjas? La

relación entre 12 y 72 determinará la relación entre 20 y el valor desconocido.

Más naranjas cuestan más dinero.

Menos naranjas cuestan menos dinero.

Esto se resolverá aplicando la llamada: REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

12 naranjas ------ $72

20 naranjas ------ x donde x =

Es decir que se multiplican los valores que están en la diagonal que no

contiene a X y se divide ese resultado por el valor que está en la diagonal que

contiene a X.

SIEMPRE LOS DATOS QUE CORRESPONDEN A LA MISMA MAGNITUD

DEBEN QUEDAR EN LA MISMA COLUMNA.

$72 20$120

12

DIRECTA


La Regla de Tres simple inversa

Ejemplo:

Si 6 obreros tardan 12 días en realizar un trabajo, ¿cuánto tardarán 8 obreros? Larelación entre 6 y 12 nos permitirá averiguar la relación entre 8 y el valordesconocido.

Más obreros tardarán menos tiempo. Menos obreros tardarán más tiempo.

A MÁS CORRESPONDE MENOS - - - - A MENOS CORRESPONDE MÁS

Esto se resolverá aplicando la llamada: REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

6 Obreros --- 12 días8 Obreros ------ x días

donde x =

es decir que se multiplican entre sí los dos valores de la primera línea horizontal que no contiene a X y se divide el resultado por el valor de la segunda línea horizontal que contiene a X.

12 69

8

días obrerosdías

obreros


Ejemplo: ¿Cuál es el número cuyo 25% es 425?

Solución: Diremos que el 25% del número que se busca es 425; el 100%, o sea el número buscado será x?

La regla de tres sería 425……………… 25%

𝑋………… . . … 100%

Entonces: 𝑋 =425×100%

25%= 1700

Ejemplo: De qué número es 52 el 15%?

Solución:

El 15% del número que se busca es 52, el 100% será X

Se trabaja una regla de tres simple: 15% …….. 52

100% ……. X

Entonces: X = 52 × 100%

= 346.66 con dos decim ales15%


Números Complejos

Números Complejos (C)

𝑪 = 𝒂 + 𝒃𝒊 / a b ∈ R, 𝒊 = − 1

Un número complejo se define como 𝐂 = 𝐚 + 𝐛𝐢 (forma binómica) donde a y b son reales y bi es la parte

imaginaria. Llamaremos 𝑖 = −1 a la unidad imaginaria.

Con a y b reales. La letra i representa la raíz cuadrada de –1 Ejemplos: 7 + 5𝑖, −8 + 4𝑖, −20 − 6𝑖


1 capítulo 1 conjuntos numéricos

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