Lógica Proposicional

1. Definición : Parte de la Lógica que tiene por objeto el estudio de la proposición y su relación entre ellas, así como la función que tiene las variables proposicionales y los conectivos lógicos.

2. Enunciado : Es una frase u oración que se expresa en la vida cotidiana sin importar su significado ni su interpretación. Puede ser:

2.1. Proposición lógica : Es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser Verdadero o Falso; pero no ambas a la vez. Se denotan con letras minúsculas como: p, q, r, s, t, etc. A las que se les denomina variables proposicionales.

2.2. Enunciados no proposicionales : Son aquellas expresiones que no tienen la propiedad de ser verdaderas o falsas dado que en su contenido llevan una fuerte carga emotiva. Pueden ser: Interrogativas: ¿Quién será el próximo presidente del Perú? Exclamativas o admirativas: ¡Qué hermoso día! Imperativas o exhortativas: Deténgase por favor Desiderativas: Ojalá mañana no venga el profesor

Enunciado Abierto: Son oraciones que contienen variables o usan las palabras “el” o “ella” que no tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos no constituyen proposiciones. Sin embargo, si a una de estas palabras o variables se les asigna un determinado objeto o valor se convierten en proposiciones. Ejemplos:El ganó el premio Nobel de Literaturax + 2 < 7Así si a “el” se le reemplaza por “Mario Vargas Llosa” y a “x” por 10, se transforman en proposiciones.

1

Nota:

p

q...

.

.

.

V

F

Uf

V, si “p” es verdadera

F, si “p” es falsaf(p) =

3. Conectivos Lógicos : Son símbolos que sirven para formar proposiciones con otras proposiciones. También se les denomina operadores lógicos. Éstos son:

CONECTIVO FORMA DE PROPOSICIÓN LENGUAJE COMÚN

Conjunción “Y”, pero, sin embargo, además, aunque, no obstante, a la vez.

v Disyunción Inclusiva “O”

Δ Disyunción Exclusiva “O … O …”

→ Condicional “Si … entonces”, “si … dado que …”,“ … siempre que …”

↔ Bicondicional “ Si y sólo sí”

~ Negación “No”, “no es cierto que”, “no es el caso que”

↓ Negación Conjuntiva “Ni … ni …”

| Negación Alternativa “No … o no …”

4. Clases de Proposiciones : 4.1. Proposición simple : Llamada también proposición atómica o elemental

Expresa una sola idea en su forma más simple. Cuando no está afectada por ningún conectivo lógico. Ejemplos:

p : El cocodrilo es un mamíferoq : 3 es menor que 7

4.2. Proposición compuesta: Llamada también molecular o coligativa Cuando reúne a más de una proposición simple o atómica mediante

algún conectivo lógico. Ejemplos: 64 es cuadrado perfecto o es un número compuesto 2 es número primo si y sólo sí tiene dos divisores

Si a una proposición simple se le antepone el conectivo “no”, se forma una proposición compuesta La moneda del Perú no es el Sol de oro

5. Valor de verdad : Existe una correspondencia entre una proposición y su

valor de verdad, así se tiene:

2

La correspondencia establecida entre los elementos de U y los de es:

Nota:

Donde:U = { p, q, r , ... } Es el conjunto de proposiciones y = { V , F } Es el conjunto de valores de verdad

Por lo tanto: Si una proposición “p” es verdadera, su valor de verdad es V(p) = V que

se lee “ valor de verdad de p es V ”Si una proposición “p” es falsa, se dice que su valor de verdad es V(p) =

F, que se lee “ valor de verdad de p es F ”

6. Tabla de valores de verdad o de WITTGENSTEIN : Wittgenstein ideó el uso de las “Tablas de valores de verdad” para representar el conjunto de espacios o de líneas posibles al combinar los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con el fin de obtener el valor de verdad de la una proposición compleja. Así: N° de líneas = 2n, siendo “n” número de proposiciones simples diferentes. Ejemplo:

Para las proposiciones “p” y “q”, n= 2

Su tabla de valores de verdad es:8. Operaciones Proposicionales :

8.1. Conjunción (): Une dos proposiciones mediante el término “y”

8.2. Disyunción Inclusiva: (): Une dos proposiciones con el término “o”

8.3. Disyunción Exclusiva: (Δ): Une dos proposiciones con el término “o… o…”

3

La conjunción es VERDADERA cuando ambas proposiciones son verdaderas.

La disyunción inclusiva es FALSA cuando ambas proposiciones son falsas.

La disyunción exclusiva es FALSA cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

p qV VV FF VF F

N° de proposiciones N° de líneas2 22 = 4

p q pqV V VV F FF V FF F F

p q p qV V VV F VF V VF F F

p q p Δ qV V FV F VF V VF F F

A

8.4. Condicional: (→): Combina dos proposiciones mediante: “si… entonces”

La proposición "p” se llama hipótesis, antecedente o parte dada y “q” conclusión, consecuente o parte por demostrar de la implicación.“p” es condición suficiente para “q” y la proposición “q” es condición necesaria para p

8.5. Bicondicional: (↔):Llamada también doble implicación Combina dos proposiciones con el término: “… si y sólo si…”

Se llama bicondicional porque el antecedente implica el consecuente (p→q) y el consecuente implica el antecedente ( q→p )p↔q = (p → q) ( q → p )

8.6. Negación: (): El conectivo “No”, se utiliza para negar una proposición.

Cuando en un párrafo se escribe los términos:a) “No es el caso” . . .

b) “Es falso que” . . .

4

La condicional es FALSA cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

La bicondicional es VERDADERA cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

Nota:

Nota:

Estos términos niegan toda la proposición compuesta “A”.

Es decir ( . . . )

La negación cambia el valor de verdad de la proposición.

Nota:

p q p→qV V VV F FF V VF F V

Forma Directa Contraria Recíproca Contrarecíproca

p q p→q q→p p→q q→p

p q p↔qV V VV F FF V FF F V

p pV FF V

A

Columna resultante

Operador principal

A9. Jerarquía de los operadores lógicos :La jerarquía es: Negación, conjunción, disyución inclusiva, condicional, bicondicional y disyunción exclusive y son asociados por la izquierda. Así en el esquema molecular: A = p q ^ ~r 1º. Se niega “r” es decir: ~r2º. Se resuelve la conjunción: q ^ ~r3º. Se resuelve la implicación: p (q ^ ~r)

10.Esquema Molecular o Fórmula Proposicional :Es la combinación de variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de agrupación.

Los signos de agrupación ayudan a determiner el operador principal o conectivo de mayor jerarquía en un esquema molecular.

11.Evaluación de Esquemas Moleculares por tablas de verdad :Consiste en obtener los valores de verdad del operador principal a partir de las tablas de verdad de las operaciones proposicionales.Ejemplo Evaluar el esquema A = [(p q ) v (~ q ^ r ) ~ p] ^ ( r q )

Solución

p q r [( p q ) v ( ~ q ^ r ) ~ p ] ^ ( r q )

5

Nota:

12.Tautología, Contradicción y Contingencia 11.1. Tautología : Cuando los valores de su operador principal son todos

Verdaderos. Ejemplos

B = p v ~ p Solución

C = ~ [ ~ p v ( p q ) ] ^ ~pSolución

6

p ~ p p v ~ p V F VF V V

Contingencia

Tautología

Contradicción

p q ~ [ ~ p v (p q) ] ^ ~ pV V F F V V V FV F V F F F V FF V F V V V V V F F F V V V V V

11.2. Contradicción : Cuando el resultado de su operador principal son todos Falsos. Ejemplos:

D = p ^ ~ p.Solución

C = ~ ( p ® q ) « ( ~ q ~ p)Solución

p q ~ (p ® q ) « (~ q ~ p)

Si se tiene la proposición : p: La puerta es verde. La proposición p ~ p equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto se está contradiciendo . Cuando ocurre esta situación, se dice que es una falacia.

11.3. Contingencia : Cuando en su columna resultante tiene por lo menos una verdad y por lo menos una falsa. Ejemplo: E = ( p q ) ^ ~ p

Soluciónp q ( p q ) ^ ~ pV V V V FV F F V FF V V F VF F V F V

7

Nota:

p ~ p p ^ ~ p V F FF V F

12. Relaciones entre proposiciones :12.1. Equivalencia :

Dos esquemas moleculares “A” y “B” se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad (misma columna resultante).

“A” es equivalente a “B” (AB) si A B es una tautología

Sean los esquemas moleculares: A = p q y B = ~ q~ p

Construyendo su tabla de verdad

p q ( p q) ( ~ q ~ p)

V V V V F V F

V F F V V F FF V V V F V VF F V V V V V

Como A B es una tautología A y B son equivalentes

12.2. Implicación : El esquema molecular “A” implica el esquema molecular “B” si tienen la misma tabla de verdad (misma columna resultante).

“A” implica “B” si A B es una tautología

Sean los esquemas moleculares A= ~p v q y B= ~ q ~ pConstruyendo su tabla de verdad

p q (~ p v q) (~ q ~ p)V V F V V V F V F V F F F F V V F F F V V V V V F V V F F V V F V V V V

Como A B es una tautología, por lo tanto A implica a B.

8

Nota:

Nota:

13.

Ejemplo 2:Verificar que A = p q y B = ~ p q son fórmulas equivalentes:

p q ( p q) « ( ~ p q )

13.14.15.

8. CIRCUITOS ELÉCTRICOS

3.1. Cálculo del mcm :

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