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CICLO 2011 – II

LOGICA PROPOSICIONAL

LOGOLOGICA PROPOSICIONAL

CICLO 2011 – II

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Es un enunciado al cual se le puede asociar el concepto de verdadero o falso, pero no ambos.

PROPOSICION

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoProposición

Ejemplos:Si son proposiciones La luna es cuadrada 7 es un número primo Las arañas son

mamíferos La raíz de √2 es 1.41 Los gatos tienen 7

vidas

no Son proposiciones ¿Qué hora es? Por favor, cierre la

puerta El 6 de abril de 1876 fue

sábado Dice el Presidente:“Todos en este país son

unos mentirosos y esto es verdad”

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Proposiciones compuestasConectivos

Conocido el valor de verdad de ciertas proposiciones, la lógica establece el valor de verdad de otras relacionadas con éstas.

A éstas últimas se les conoce como proposiciones compuestas

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoNegación

Si p es una proposición, entonces “no p” es la negación de p y se denota por:

~ pEjemplo:p: Hoy es martes~ p: Hoy no es martes

¿Qué sucede con la negación de p, siendo p verdadero?

¿Qué sucede con la negación de p, siendo p falso?

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoNegación

Esto lo podemos escribir de una manera “compacta”, utilizando una tabla

A esta tabla se le llama “tabla de certeza de la negación”

p ~ p

V F

F V

Posibilidades para la proposición p

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción

Si p y q son proposiciones, se llama conjunción de p y q a la proposición compuesta “p y q “ y se denota por:

p ∧ q

Ejemplos:p: Hoy es martesq: La luna es cuadradar: mañana es miércoles

p ∧ q :Hoy es martes y la luna es cuadrada

p ∧ r :Hoy es martes y mañana es miércoles

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción

En la conjunción es verdadera solo si ambas son verdaderas en los demas casos es FALSO

Se lee p y q

p q p ∧ qV V V

V F F

F V F

F F F

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción

Se toman como “sinónimos” de la conjunción:

Además Pero Sin embargo Aunque

También Aún A la vez No obstante

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Conjunción: p ̂ q

Luís estudia ,además de trabajar Luís estudió pero no aprobó Luís canta, sin embargo no baila Luís jugó futbol aunque estaba lesionado Luís juega futbol , también José Luís salió, aún no llega Luís cocina a la vez que canta Luís viajará no obstante esté sin visa Luís canta , no baila.

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoConjunción: p ̂ q

No siempre “y” denota una conjunción ………Ejemplo:

Silvia y Nelly son hermanas

Esta es una proposición (simple), en donde el “y” permite establecer la relación entre los sujetos.

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoDisyunción

Si p 0 q son proposiciones, se llama disyunción de p 0 q a la proposición compuesta y es verdadera basta que una de ellas sea verdadera

p q p ∨ qV V V

V F V

F V V

F F F

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoDisyunción

Seré cantante o futbolista p: Seré cantante q: Seré futbolista

Simbolización: p ∨ q

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoCondicional

Si p y q son proposiciones, se llama condicional de p y q a la proposición compuesta “si p, entonces q” y se denota por:

p → q

Ejemplos: Si no llueve

(entonces) iremos a la playa

Si me gano la lotería (entonces) me voy de viaje

Si no estudio (entonces) no aprobaré Lógica

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoCondicional

Veamos la tabla del condicional:

p → q

Conviene pensar en una “promesa” ..... Si no llueve (entonces) iremos a la playa

p q p → qV V V

V F F

F V V

F F V

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino B I CONDICIONAL

Este caso de denota por la doble fecha y significa si solo si .Es verdadera si ambos son iguales

En los demás casos es falso

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Ejemplo con 3 proposiciones simples

¿Cuántas posibilidades tendremos?

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Ejemplo con 3 proposiciones simples

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

r∨p q∨p ~(q∨p)V V FV V FV V FV V FV V FF V FV F VF F V

(r ∨ p) ∧ ~(q∨p) FFFFFFVF

Hacer la tabla de certeza para: (r∨p) ∧ ~(q∨p)

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEn resumen

Una tabla de verdad para proposiciones compuestas que contienen:

1 proposición simple… tendrá 2 filas 2 proposiciones simples 3 proposiciones simples 4 proposiciones simples

……razonando inductivamente……..

n proposiciones simples

4 = 22 filas8 = 23 filas16= 24 filas

2n filas

Universidad MetropolitanaEnseñando el camino

Formas de expresar un condicional…….

Si es Chiclayano, es Peruano (p →q) Es Peruano, siempre que sea Chiclayano Es Peruano si es Chiclayano Es suficiente que sea Chiclayano para que sea

Peruano Siempre y cuando sea Chiclayano, será

Peruano. Es necesario que sea Peruano para ser

CliclayanoTODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZAN

COMO: p → q

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoPartes de un condicional

p →q

antecedente

Condición suficiente

consecuente

Condición necesaria

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoFormas derivadas del condicional

Dado el condicional directo: p →q, el condicional ~ p → ~q se llama contrario y lo expresaríamos: “ si no p, entonces no q”

Directo: p →qSi repruebo el examen, entonces me enojaré

bastante Contrario: ~ p → ~q

Si no repruebo el examen, entonces no me enojaré bastante

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoFormas derivadas del condicional

Dado el condicional directo: p →q, el condicional q → p se llama recíproco y lo expresaríamos:

“ si q, entonces p” Directo: p →q

Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante

Recíproco: q → p Si me enojo bastante , entonces reprobaré el

examen

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoFormas derivadas del condicional

Dado el condicional directo: p →q, el condicional ~ q → ~p se llama contrarrecíproco y lo expresaríamos: “ si no q, entonces no p”

Directo: p →qSi repruebo el examen, entonces me enojaré

bastante Contrarrecíproco: ~ q → ~p Si no me enojo bastante, entonces no repruebo el

examen

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoFormas derivadas

p q q p

~ p ~ q ~ q ~ p

Directo Recíproco

Contrario Contrarrecíproco

recíprocos contrarios

contrarrecíprocos

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjemplo

Hallar las formas derivadas del siguiente condicional:

Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. ……………………………………. ¿V o F?

Falso (contraejemplo: 2)Recíproco: Si un número es múltiplo de 4 entonces es

par. …………………………………..¿V o F?Verdadero!

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjemplo

Directo: p →qSi un número es par, entonces es múltiplo

de 4.Contrario: ~ p → ~ q Si un número no es par, entonces no es

múltiplo de 4Verdadero!

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjemplo

Directo: p →qSi un número es par, entonces es múltiplo

de 4.Contrarrecíproco: ~ q → ~ p Si un número no es múltiplo de 4,

entonces no es par Falso….. 2 no es múltiplo de cuatro y es

par (a nte c e d e nte ve rda d e ro , c o ns e c ue nte fa ls o )

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjercicios

1. Escribir las formas derivadas para: a) (r ∨ ~q ) → p .

b)Si y o d ig o s í, e lla d ic e no .

2 . Co ns truy e una p ro p o s ic ió n ve rda d e ra q ue inc luya un c o nd ic io na l, una c o njunc ió n, una d is yunc ió n y una ne g a c ió n (no ne c e s a ria m e nte e n e s e o rd e n), q ue c o ns te d e la s c o m p o ne nte s p , q y r c o n to d a s e lla s fa ls a s .

Universidad MetropolitanaEnseñando el caminoEjercicios

Es c ribe e l re c íp ro c o , e l inve rs o y e l c o ntra rre c íp ro c o d e c a da una d e la s p ro p o s ic io ne s s ig uie nte s :

Si q , e nto nc e s r ~ p (~ q ) ~ p ~ (r ∧ q ) El s o l brilla s i e s tá s fe liz . Si tu a uto m ó vil no tie ne a ire a c o nd ic io na d o ,

no te ndrá s a m ig o s .