apuntes logica proposicional

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  • 1. Lgica proposicional Rodolfo Huisa Sanizo 1. Presentacin 2. Nociones fundamentales 3. Introduccin 4. Clculo proposicional 5. Resumen 6. Ejercicios resueltos 7. Bibliografa 8. Taller de lgica proposicional Presentacin Un propsito a lograr en el rea de matemtica, es que los alumnos aprendan a razonar matemticamente. Tal propsito no se lograra, si es que no pasa del mundo de las opiniones empricas al mundo del pensamiento formal. Pero, un pensamiento sistemtico, autntico y coherente no puede surgir sin la base de un mtodo crtico correcto. En este sentido, el conocimiento de la lgica (ciencia que se ocupa del estudio de los mtodos y principios para distinguir el buen razonamiento del malo), se hace indispensable. Unidad 01 Nociones fundamentales Objetivos - Identificar el lenguaje simblico de las proposiciones. - Conocer los usos propios de cada smbolo - Usar correctamente los conectivos lgicos para simbolizar las proposiciones compuestas que se indican - Traducir al lenguaje simblico razonamientos expresados en lenguaje ordinario Introduccin En nuestro quehacer diario constantemente hacemos, deducciones. Esto significa, que cada conclusin que obtenemos se deduce de algo. Este algo o punto de partida se llama premisa. Por ejemplo si exponemos un trozo de hielo al calor, se concluye que el hielo se derrite, o cuando un campesino ve una densa nube en el cielo, deduce que va a llover, o tambin de "todos los mamferos son vertebrados" se puede concluir en "algunos mamferos son vertebrados". Este proceso de pasar de un conjunto de premisas a la conclusin se llama inferencia o deduccin. Cuando la conclusin se deduce correctamente del conjunto de premisas se dice que la inferencia es vlida, en caso contrario la inferencia no es vlida. Sabemos que la conclusin se deriva correctamente de sus premisas porque hay un conjunto de leyes lgicas que garantizan dicha correccin. Justamente la lgica estudia el modo de usar estas leyes, con las cuales podemos saber si una inferencia es vlida o no. De ah que, la lgica es una ciencia que estudia los mtodos y las leyes que determinan la validez de la inferencia. As como existe una teora para realizar clculos con nmeros (la aritmtica) o con objetos ms complejos como diferencial e integral, tambin existen reglas precisas para manejar proposiciones. Esto ltimo corresponde al estudio de la lgica proposicional 1 Enunciado Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas, interrogativas, otros en cambio, pueden ser verdaderos o falsos. Ejemplo 1. Son enunciados: Qu hora es? Arriba Amrica! 2 + 5 = 7 La cordillera del Cndor es peruano 2x + 3 = 5 Un enunciado es toda frase u oracin que se emiteUn enunciado es toda frase u oracin que se emite 1

2. 2 Proposicin Ejemplos 2: Las siguientes afirmaciones son proposiciones: Villa Carlos Paz es nombre de una ciudad cordobesa. Roberto Fontanarrosa naci en Rosario 1 + 1 = 3 1 + 6 = 7 El cuadrado de todo nmero par tambin es par. Las proposiciones pueden ser simples (o atmicas) y compuestas, cuando esta compuesta por varias proposiciones simples Ejemplos 3: Las dos primeras afirmaciones son proposiciones simples y los restantes, compuestas El tringulo es un polgono 1 + 7 = 5 Si Juan va al cine, entonces tiene dinero Un tringulo es equingulo si, y solo si es equiltero Marcos en ingeniero o Beatriz es profesora 3 Enunciado abierto Ejemplo. Son enunciados abiertos: Los enunciados que usan las palabras l, ella son enunciados abiertos A los enunciados abiertos que contienen variables algebraicas se les denomina funcin proposicional, que tienen la propiedad de convertirse en proposiciones, al sustituirse la variable por una constante especfica. Ejemplo: El enunciado abierto x2 + 1 = 5 Es una funcin proposicional, el cual se convierte en proposicin cuando: i. Para x = -3 (por ejemplo), se convierte en la proposicin (-3)2 + 1 = 5 (F) el cual tiene valor de verdad Falsa ii. Para x = 2, entonces, ser la proposicin (2)2 + 1 = 5 (V) el cual tiene valor de verdad Verdadera 4 Notacin Usaremos las letras minsculas p, q, r, para simbolizar las proposiciones. Las proposiciones se pueden combinar para obtener proposiciones compuestas utilizando conectivos lgicos que veremos a continuacin: Es un enunciado o afirmacin al que se le puede asignar el valor de verdad verdadero o el valor de verdad falso, pero no ambos. Es un enunciado o afirmacin al que se le puede asignar el valor de verdad verdadero o el valor de verdad falso, pero no ambos. Son aquellas oraciones que contienen variables sin especificar un valor determinado; no tienen la propiedad de verdadero o falso. Son aquellas oraciones que contienen variables sin especificar un valor determinado; no tienen la propiedad de verdadero o falso. 2 3. Actividades 1. Sean p, q y r las proposiciones siguientes: p: est lloviendo q: el sol esta brillando r: hay nubes en el cielo Traduciremos las siguientes oraciones a notacin simblica utilizando las letras asignadas y los conectivos lgicos: 1 Est lloviendo y el Sol brillando 2 Si est lloviendo, entonces hay nubes en el cielo 3 Si no est lloviendo, entonces el Sol no est brillando y hay nubes en el cielo 4 El Sol est brillando si, y slo si, no est lloviendo 5 Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol est brillando 5 O esta lloviendo o el sol est brillando 2. Sean p, q y r del ejercicio 1. Traducir las siguientes proposiciones simblicas a oraciones en espaol: 3. Selecciona un artculo de peridico o de una revista: identifica, proposiciones simples, conjunciones, disyunciones e implicaciones. 4. Construye funciones proposicionales. La proposicin: si est lloviendo, entonces hay nubes en el cielo se simboliza: Ejercicio: Simbolice y redacte la recproca, inversa y contrarecproca Lenguaje lgico Lenguaje espaol Recproca Inversa Contrarecproca 5 Negacin de proposiciones a) Negacin de una conjuncin: 3 4. Ejemplo La negacin de Est lloviendo y el sol est brillando es No est lloviendo o el sol no est brillando Es decir, la negacin de una conjuncin es la disyuncin Observe que la ltima proposicin es diferente a la cual corresponde, en nuestro ejemplo, a No est lloviendo y el sol no est brillando. Que usualmente se dice: ni est lloviendo ni el sol est brillando b) Negacin de una disyuncin. Ejemplo: La negacin de Est lloviendo o el sol est brillando es No est lloviendo y el sol no est brillando Es decir, la negacin de una disyuncin p q, es la conjuncin Observe que la ltima proposicin es diferente a c) Negacin de una condicional Ejemplo. La negacin de Si est lloviendo, entonces hay nubes en el cielo es Est lloviendo y no hay nubes en el cielo IMPORTANTE En matemtica, con frecuencia trabajamos con funciones proposicionales, pues contiene variables no especificadas. Esto ocurre con las frmulas, por ejemplo: x2 + y2 = z2 ; x3 + z4 y2 + x an cuando no son proposiciones podemos negarlas y obtener x2 + y2 z2 ; x3 + z4 < y2 + x Podemos tambin formar expresiones ms complejas, por ejemplo Si x 5 y y 8, entonces y2 - x2 39 Y as podemos hablar de la recproca, inversa o contrarecproca. En este ejemplo tenemos. Si y2 - x2 39, entonces x 5 y y 8 Lectura Caa una espesa lluvia. Juan se despert y lanz un gemido Aj, aj, el colegio! Se levant de la cama y se sent en una silla. Oy la bocina de un auto o el silbato de un polica. Entonces se estremeci. Por causa del fro o del miedo. Estaban haciendo tanto ruido. Repentinamente se le ilumin la cara. Qu bien! Se haban acordado de algo. Las clases no empiezan hoy, sino maana (p q) equivale a p q (p q) equivale a p q (p q) equivale a p q (p q) equivale a p q (p q) equivale a p q 4 5. Actividades 1. Redacta una lista de las proposiciones simples de la lectura leda p: ____________________________________________ q: ____________________________________________ r: ____________________________________________ s: ____________________________________________ t: ____________________________________________ 2. En base a las proposiciones anteriores haz una lista de proposiciones compuestas ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ AUTOEVALUACIN 1. De los siguientes enunciados cuales son de proposiciones y no proposiciones: a) Todos los planetas giran alrededor del sol b) Si un nmero es divisible por 4 tambin lo es por 2 c) a + b + 10 = 20 d) a + b + 10 = 20; donde a = 4, b= 7 e) Batman es el hombre murcilago f) Socorro! g) Todo organismo viviente se adapta a su medio fsico h) Habr juicio final? 2. Identifica las premisas y conclusiones en el siguientes texto La luz que vemos provenientes de las galaxias distantes sali de ellas hace millones de aos, y en el caso del objeto ms distante que hemos visto, la luz surgi desde hace ocho millones de aos. As pues, cuando observamos el universo, lo estamos viendo como fue en el pasado. 3. Un profesor dice a sus estudiantes lo siguiente: estoy pensando en dos nmeros de los tres nmeros 1, 2 y 3. Luego los alumnos formularon las siguientes proposiciones: a) Por los menos uno de los nmeros es impar b) El promedio de sus dos nmeros es mayor que 5/4 c) Uno de sus nmeros es tres d) La diferencia entre sus nmeros es 1 e) El primero de los nmeros en que est pensando es es mayor que el segundo f) La suma de los cuadrados de sus nmeros es menor que 14 Unidad 02 Clculo proposicional Objetivos - Calcular el valor de verdad de proposiciones compuestas - Construir razonamientos vlidos en matemtica La definicin de proposicin nos dice que debe ser una oracin a la cual se le puede asignar un valor de verdad de manera precisa, sin ambigedades. Ahora bien, cmo le asignamos un valor de verdad a las proposiciones compuestas?, es decir, a las proposiciones que contienen alguno de los conectivos lgicos. Esto lo haremos a travs de tablas de verdad. 1. Tabla de la negacin Observamos que si p es