logica proposicional 2013 de roberto castro catari

I.E PARROQUIAL “SAN LUCAS” PUEBLO LIBRE

PROF:ROBERTO CASTRO CATARI

GUIA

DEL

ESTUDIANTE

TEMARIO Enunciado y proposición. Tablas de verdad. Leyes lógicas. Circuitos lógicos. Equivalencias notables. Cuantificadores. Segmentos Ángulos. Ángulos entre paralelas.

BIMESTRE I - 2013

Bimestre I – Cuarto secundaria I.E Parroquial “SAN LUCAS”– PUEBLO LIBRE

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

PROPOSICIONAL

Etimológicamente la

lógica es la ciencia del

logos. Originalmente logos

significaba palabra o

discurso, por lo que en un

principio se definió la lógica como la rama

de la gramática que se ocupaba de ciertas

formas de lenguaje.

En respuesta a la necesidad de construir

argumentos, para defender o refutar

pensamientos de los demás, Aristóteles,

considerado por los griegos. El padre de la

lógica, creo métodos sistemáticos para

analizar y evaluar dichos argumentos, para

lo cual desarrolló la lógica proposicional

estableciendo procedimientos para

determinar la verdad o falsedad de

proposiciones compuestas.

Las proposiciones se representan

simbólicamente mediante el uso de letras

minúsculas del alfabeto tales como p, q, r,

s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre

de letras o variables proposicionales, de

esta forma, el lenguaje proposicional se

hace más simple y exacto que el lenguaje

natural.

Las proposiciones pueden ser simples o

compuestas:

Proposiciones simples.

Se denominan proposiciones simples

aquellas oraciones que no utilizan

conectivos lógicos.

Ejemplos:

p: El eclipse es un fenómeno natural.

q: La luna es un satélite de la tierra.

r: 2 es el inverso multiplicativo de 2.

s: 1 no es un número primo.

x: 4 + 3 = 10.

El valor de verdad de una proposición

simple puede ser verdadero (V) o falso (F),

pero no los dos valores al mismo tiempo,

pues dejaría de ser proposición.

Proposiciones Compuestas

Las proposiciones compuestas son

aquellas que se obtienen combinando dos o

más proposiciones simples mediante

términos de enlace.

Ejemplos:

Las rosas son rojas y tienen espinas.

¿La selección Colombia ganó o perdió?

En el país no hay violencia.

Si estudio lógica matemática entonces

seré un destacado ingeniero de sistemas.

4 es un número par si y sólo si se puede

dividir por 2.

Estas expresiones también se denominan

oraciones y para su formación se utilizaron

las letras y, o, no, si…entonces, sí y sólo

si, que sirvieron para unir o enlazar los

enunciados. Estos términos de enlace

reciben el nombre de Conectivos lógicos.

La validez de una proposición compuesta

depende de los valores de verdad de las

proposiciones simples que la componen y se

determina mediante una tabla de verdad.

Para construir la tabla de verdad, se tiene

en cuenta la potencia 2n que representará el

número de filas de nuestra tabla, donde “n”

Prof: Roberto Carlos Castro Catari 2 cel: 991345677


representa el número de variables

diferentes.

OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE

VERDAD

1. CONJUNCIÓN: Vincula dos proposiciones

mediante el conectivo lógico "y". Las

palabras: pero, además, aunque, sin

embargo, a la vez, también, asimismo,

igualmente, no obstante, etc., son algunas

expresiones conjuntivas.

Tabla de Verdad

2. DISYUNCIÓN: Vincula dos proposiciones

mediante el conectivo lógico "o".

Tabla de Verdad

3. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O

DIFERENCIA SIMÉTRICA: Vincula dos

proposiciones mediante el conectivo

lógico: "o…o…"

Tabla de Verdad

4. CONDICIONAL: La implicación o

condicional de las proposiciones p y q, es

p⇒q donde p se denomina antecedente, y

q consecuente, la condicional vincula dos

proposiciones mediante el conectivo lógico:

"Si…, entonces…". Pueden considerarse

también conectivos de la condicional: “…por

consiguiente…”,”…luego…”,”…por lo

tanto…”,”…en conclusión…”

Tabla de Verdad

5. BICONDICIONAL: La doble implicación o

el bicondicional vincula dos proposiciones

mediante el conectivo lógico: "…si y sólo

si..."

Tabla de Verdad

6. NEGACIÓN: Afecta a una sola

proposición. Es un operador monádico que

cambia el valor de verdad de una

proposición:

Tabla de Verdad

IMPORTANTE:

Cuando los valores del operador principal

son todos verdaderos se dice que el

esquema molecular es TAUTOLÓGICO.

Si los valores del operador principal son

todos falsos. Se dirá que el esquema

molecular es CONTRADICTORIO.

Si los valores del operador principal tiene

por lo menos una verdad y una falsedad se

dice que es CONTINGENTE O

CONSISTENTE.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.¿Cuántas de las siguientes expresiones

son proposiciones?



* ¡Dios mío...se murió!

* El calor es la energía en tránsito.

* Baila a menos que estés triste.

* Siempre que estudio, me siento feliz.

* El delfín es un cetáceo, ya que es un

mamífero marino.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Dadas las siguientes expresiones:

* El átomo no se ve, pero existe.

* Los tigres no son paquidermos,

tampoco las nutrias.

* Toma una decisión rápida.

* Hay 900 números naturales que se

representan con tres cifras.

* La Matemática es ciencia fáctica.

* Es imposible que el año no tenga 12

meses.

¿Cuántas no son proposiciones simples?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3. Sabiendo que: V(p) = V; V(q) = F; V(r) =

F; V(s) = V. Hallar los valores de verdad

de:

([( p ↔ q) r] s

r (s p)

(r p) (r s)

a) FVF b) VFF c) FVV d) VFV e) VVF

4. Elabora una tabla de verdad y halla el

valor de verdad de los siguientes esquemas

moleculares.

a. ( p q) v r

b. (p q) ↔ (p r)

c. [(p q) p] r

5. Dadas las proposiciones:

p: 32 – 4 = 5

q: 2 x 30 + 5 = 65

r: 42 = 8

s: (3-4)3 – (4 + 5)2 = –82

t: Asunción no es la capital de

Paraguay.

Determina el valor de verdad de:

a. (p q) v r

b. (r p) s

c. (r s) ↔ (p t)

d. (p s) r

e. (r s) (t q)

6. Hallar el valor de verdad de las

proposiciones siguientes y menciona el

tipo de proposición que es.

a. (p s) [ q (p r)]

b. [(p q) (q r)] (p r)

c. [(p q) p] q

7. Si (p q) r es falsa, ¿Cuál es el valor

de verdad de las proposiciones p, q, r,

respectivamente?

a) FFF b) VFF c) VVV d) VFV e) VVF

8. Si la proposición compuesta:

(p q) (p r) es falsa, ¿Cuál

es el valor de verdad de las proposiciones

p, q, r, respectivamente?

a) FFF b) VFF c) VVV d) VFV e) VVF

9. Si la proposición compuesta:

(p q) (r t) Es falsa. Indicar las

proposiciones que son verdaderas.

a) p; r b) p; q c) r; t d) q; t e) p; r;

t

10.Si la proposición compuesta.

(p q) (s r) es falsa, ¿ cuál es del valor

de verdad de las proposiciones p, q, r, s,

respectivamente?

a) FFFV b) VVFF c) VVVF

d) VFVF e) VVFV



11.Sea: [(A B) → (C

→ D)] Verdadera. Luego:

i. (A B) C

ii. (A B) →

( C → D)

iii. ( A → C) (B → C)

iv. (A ↔ B) C

v. ( A ↔ B)

C.

Son verdaderas:

a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) ii, iii,

v d) i, iii, v e) N.A.

12.De los siguientes esquemas:

( p q) ( p ↔ q)

[(p q) q] q

(p q) p

Indicar en el orden dado cuál es

Tautología (T), Contingencia (S) o

Contradicción (C):

a) T, C, S b) T, S, C c) C, T, Sd) S, T, C e) S, C, T

13.De la falsedad de la proposición :

(p q) (r s)

Se deduce que el valor de verdad de los

esquemas es:

[( p ↔ q) r] s

(r q) s (q ↔ p)

(r p) (r s)

a) VFV b) FFF c) VVV d) VVF e) FFV

14.Evaluar los siguientes esquemas y

mencionar si son tautologías,

contradicciones o contingencias.

( p q) (p ↔ q)

[(p q) p] q

(p q) ↔ [(p q) q]

15.Si: p # q = VVFV. Entonces: p # (p

# q) equivale a:

a) p q b) p q c) p d) q e) p → q

16.Si el esquema:

[(p q) ↔ (r →s)] → (

s → r) es falsa.

Reducir: [(w (p q)] ↔ (r s) p

a) V b) F c) w d) r e) w p

17.Si: p * q = ( p q) p. Señale

el valor de verdad de:

i. (p * q) q

ii. (p * q) p

iii. (p * q) (q * p)

a) VFV b) VFF c) FFV d) FFF e) VVV

18.Sabiendo que: V(p) = V; V(q) = V; V(r)

= F; V(s) = F. Hallar los valores de verdad

de:

( p ↔ q) ( r s)

(p q) ↔ (r s)

a) FV b) VF c) FF d) VV e) N.D

19.Si: [(r s) t] ↔ [r (s t)] es falso.

Señale la verdad o falsedad de:

i. (r ↔ s) (s ↔ t)

ii. (r s) ↔ (t s)

iii. [(r s) ↔ t] ↔ [r ↔ (s ↔ t)]

a) VVV b) FVV c) VFV d) VVF e)

FVF.

20.Si se sabe que la fórmula:

(p ↔ q) ( p q) es

falsa

Entonces el valor de verdad de:

(p r) (q s) es:

21.Sabiendo que la proposición “p” es

verdadera. ¿En cuales de los siguientes



casos, es suficiente dicha información para

determinar el valor de verdad de las

proposiciones

i. (p q) ↔ ( p q)

ii. (p q) (p r s)

iii. (p q) r

a) solo i b) solo ii c) solo i, ii d) Solo ii, iii e) en i, ii, iii

22.Si: p # q = VVFV.

Simplificar: {[p # (p # q)] q}

p

a) p q b) q c) p q d) p q e) (p q)

LOS PRINCIPIOS LÓGICOS Y LEYES

LÓGICAS

Son esquemas tautológicos, es decir, son

fórmulas formalmente verdaderas, ya que

están en función al orden de sus

componentes y no a los valores de los

mismos.

Una fórmula es una ley lógica si y solo si

cualquiera sea la interpretación

formalmente correcta que se haga de la

misma se obtiene como resultado una

verdad lógica.

Leyes lógicas :

Permiten transformar y simplificar formulas

lógicas:

1. Ley de Involución (doble negación):

a) ( p) ≡ p

2. Ley de idempotencia:

a) p p ≡ p

b) p p ≡ p

3. Leyes conmutativas:

a) p q ≡ q p

b) p q ≡ q p

c) p ↔ q ≡ q ↔ p

4. Leyes asociativas:

a) (p q) r ≡ p (q r)

b) (p q) r ≡ p (q r)

c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)

5. Leyes distributivas:

a) r (p q) ≡ (r q) (r q)

b) r (p q) ≡ (r p) (r q)

c) p (q r) ≡ (p q) (p r)

d) p (q r) ≡ (p q) (p r)

6. Leyes de Morgan:

a) (p q) ≡ (~p ~q)

b) (p q) ≡ (~p ~q)

7. Leyes del Condicional:

a) p q ≡ p q

b) (p q) ≡ p q

8. Leyes del Bicondicional:

a) p ↔ q ≡ (p q) (q p)

b) p ↔ q ≡ (p q) v ( p

q)

9. Leyes de la Absorción:

a) p (p q) ≡ p

b) p ( p q) ≡ p q

c) p (p q) ≡ p

d) p ( p q) ≡ p q

10.Leyes de Transposición:

a) (p q) ≡ ( q p)

b) p ↔ q ≡ ( q ↔ p)

11.Ley de Exportación:

a) (p q) r ≡ p (q r)

12.Leyes de Identidad:

a) p F = F

b) p V = p



c) p V = V

d) p F = p

13.Complemento:

a) p p = V

b) p p = F


1. Simplificar: [ (

p q) p] q

a) p ~q b) p q c) p d) ~q e) q

2. Simplificar el esquema:

[( p q) (s s)]

q

a) p q b) p c) p

q d) q e) N.A.

3. Simplificar el esquema: ( p q)

(q p)

a) p q b) p c) p q

d) q e) (p q)

4. Se define: p ◊ q = (p q) (q

p)

Simplificar: [(p ◊ q) q] [p (q ◊

p)]

a) p b) q c) p d) V e) F


[(p q) (q p) r] p

a) p q b) p q c) p d)

q e) q

6. Simplificar el esquema: ( p q)

(q p)

a) p q b) p c) p q

d) q e) (p q)

7. La siguiente proposición:

[( p q) (p q)] ( p

q) equivale a:

a) p q b) p q c) p q

d) p q e) N.A.


[ (p q) (q p)] (p

q)

a) p b) q c) p d) p q

e) p q

9. Si: p * q ≡ p q

Simplifique: [(p q) * (

p)] * [(p q) *q]

a) p b) q c) p q d) p q

e) p q

CIRCUITOS LÓGICOS

Entre algunas aplicaciones de la lógica

aparece la construcción de circuitos lógicos

en la Electrónica y la Cibernética. Para

cualquier formula proposicional podemos

construir un circuito eléctrico basándose en

3 conectores u operadores: (, , ).

Los circuitos eléctricos están formados

por conmutadores o interruptores que son

los órganos que impiden o dejan pasar la

corriente eléctrica.

Los interruptores también llamados

conmutadores son los elementos que

participan en la instalación eléctrica: son de

dos tipos:

Conmutador cerrado: permite el

paso de la corriente eléctrica y equivale a

un dato verdadero que numéricamente

toma el valor de 1.


pq

~ q

~ p

p q

~ pq

q

~ p

~ q

p

A B

~ p

q r

~ p

q

~ q


Conmutador abierto: impide el paso

de la corriente y equivale a un dato falso

que numéricamente toma el valor de 0.

Tipos de circuitos

Circuito en serie : constan de dos o más

interruptores, donde un interruptor esta a

continuación de otro y así sucesivamente, el

grafico de un circuito en serie es la

representación de una formula proposicional

conjuntiva.

Se representa: (p q)

Circuito en Paralelo : consta de dos o

más interruptores, donde un interruptor está

sobre otro o en la otra línea y así

sucesivamente. El grafico de un circuito en

paralelo es la representación de la fórmula

proposicional disyuntiva.

Se representa: (p q)


1. Simboliza cada circuito en los diagramas

que se presentan a continuación.

2. Señale el circuito equivalente más

simplificado de la proposición:

[(pq) p] [ p ( p q)]

3. Se tiene:

El costo de instalación de cada interruptor

es de S/. 12. ¿en cuánto se reducirá el costo

de la instalación si se reemplaza este

circuito por su equivalente más simple?

a) S/.48 b) S/.60 c) S/.72 d) S/.36 e) S/.24

4. Diseña los circuitos lógicos de las

siguientes proposiciones:

(p r) ( q s)

p [(s r) ( q

p)]

p q (r p q)

(p q) [(r q) s]

5. Simbolizar:

Si la proposición que se obtiene es falsa.

¿Cuáles son los valores de p y q

respectivamente?

a) VV b) VF c) FV d) FF e) N.P

6. Expresa como un circuito más

simplificado:


pq ~ r

~ qr

q ~ p

~ q r

p q~ r

~ s~ t

p q

r s t

p

~ p r

~ r~ p r

~ q p

p q


7. El equivalente del siguiente circuito es:

8. Determinar el circuito equivalente:

a) p q b) p q c) p q d)

p q e) N.A.

9. Hallar el circuito más simplificado de la

proposición: p {q [p ( p r)]}

10. Por la instalación del siguiente circuito

se ha pagado S/. 210.

¿Cuánto será el mínimo valor que se

pagará en la instalación de un circuito

equivalente al mismo?

FORMALIZACIÓN Y TRADUCCIÓN

PROPOSICIONAL

Formalización Proposicional es el

procedimiento mediante el cual se

identifican proposiciones simples y

estructuras lógicas proposicionales,

asignándoles a cada uno un determinado

símbolo del lenguaje de lógica proposicional

organizándolos con signos de agrupación.

Dentro de los términos del lenguaje

natural que designan operadores

proposicionales tenemos:

Negador: A

- Es falso que A - Es absurdo que A

- Es mentira que A - Es inconcebible que A

- Es negable que A - No ocurre que A

- Es inadmisible A - Es refutable A.

Conjuntor: A B

- A pero B - A sin embargo B

- A incluso B - A tanto como B

- A así mismo B - A también B

- A al igual que B - A no obstante B.

- No solo A también B

Disyuntor: A B

- A o también B - A o incluso B

- A a no ser B - A y/o B

- A o en todo caso B - A y bien o también

B

- A excepto que B - A a menos que B

- A salvo que B - A o bien B

- A alternativamente B

Implicador: A B

- Puesto que A entonces B - A por lo

tanto B

- A luego B - Ya que A entonces

B

- A solo si B. - Siempre que A entonces

B

- A consecuentemente B - A solo cuando B

- Dado que A entonces B - A implica a B

- A es condición suficiente para B



Biimplicador: A ↔ B

- A siempre y cuando B

- A es condición suficiente y necesaria para

B

- A porque y solamente B

- A es suficiente y B también

- A es equivalente a B

- A es lo mismo que B

- A implica y esta implicado por B

- Solo si A entonces B.


1. Sean las proposiciones simples:

p: Carlos juega futbol

q: Ángel juega ajedrez

r: Rosa juega vóley.

Simboliza el siguiente enunciado: “no es

cierto que Carlos juegue futbol o que Rosa

practique vóley, pero si Ángel no practica

ajedrez, entonces Rosa no practica vóley y

Carlos no juega futbol. En consecuencia

Ángel juega ajedrez y Carlos juega futbol”

2. El argumento: “Eres Ingeniero o

Matemático. Pero no eres profesional en

matemáticas. Por tanto eres profesional en

Ingeniería”. Se simboliza:

a) [(p q) ~q] p

b) [(p ↔ q) ~q] p

c) [(p q) ~q] p

d) [(p q) ~q] p

e) N.A

3. Sean las proposiciones simples:

p: Ángel estudia.

q: Ángel trabaja.

Simboliza el siguiente enunciado: “Ángel

estudia o trabaja, pero si no estudia

entonces trabaja. En consecuencia, Ángel

no trabaja”

4. La proposición: “Habrá aros y sortijas

refulgentes siempre que el oro sea derretido

además moldeado”, se formaliza:

a) (p q) (r s)

b) r (p q)

c) (r s) (p q)

d) (r s) (p q)

e) (p q) ↔ (r s)

5. Formalizar: “Si en Marte no hay agua;

entonces no hay vida; en consecuencia, no

hay marcianos ni platillos voladores”

a) ~p [~q (~r ~s)]

b) (~p q) (~r ~s)

c) (~p ~q) (~r ~s)

d) ~p [~q (~r ~s)

e) (~p ~q) (~r ~s)

6. La proposición “Si caigo, me levanto. Si

me levanto, camino. Por tanto ya que caigo

bien se ve que camino”. Se formaliza:

a) [(pq) (q r)] (p r)

b) [(pq) (q r)] (p r)

c) [(pq) (q r)] (p r)

d) [(p q) (q r)] (p r)

e) N.A.

7. “Si Alondra depende de Bárbara entonces

también depende de Clotilde. Y, si depende

de Clotilde, depende de Dalia, mas, si

depende de Dalia luego depende de

Ernestina. Por tanto, ya que alondra

depende de Bárbara en tal sentido depende

de Ernestina” se simboliza:

a) [(A B) (B C)] (C D) (A E)

b) [(A B) (B C)] (C D) (A D)

c) [(A B) (B C)] (C D) (A D)

d) [(A B) (B C)] (C D) (A D)



e) N.A.

8. En la siguiente expresión: “El alcalde

será reelegido, si mantiene el ornato de la

ciudad o no aumenta el impuesto predial”

su formalización es:

a) (q r) ~p

b) (q ~r) p

c) p (q ↔ r)

d) p (q r)

e) N.A.

9. Dada la proposición “Juan será

encontrado culpable, si hoy rinde su

instructiva, por tanto si hoy rinde su

instructiva, dirá la verdad. Juan no será

encontrado culpable, si no dice la verdad”.

La formalización correcta es:

a) [(A B) (B C)] (~C ~A)

b) [(A B) (B C)] (~C ~A)

c) [(A B) (B C)] (~C ~A)

d) [(B A) (B C)] (~C ~A)

e) N.A.

10. La proposición: “Siempre que y sólo

cuando haya explosión nuclear, habrá

radioactividad. Sin embargo, al haber

radioactividad luego habrá mutaciones. Por

lo tanto la explosión nuclear es condición

suficiente para las mutaciones”, se

simboliza:

a) [(A B) (B C)] (A C)

b) [(A ↔ B) (B C)] (A ↔ C)

c) [(A ↔ B) (B ↔ C)] (A C)

d) [(A ↔ B) (B C)] (A C)

e) N.A.

11. La traducción correcta de la formula

proposicional: (B A) ~( ~B ~A) es:

a) Si actúo entonces soy consciente; por

lo tanto si no actúo entonces no soy

consciente

b) Pienso porque existo. En consecuencia

no pienso porque no existo

c) Sale el sol si es de día, luego, es falso

que si no sale el sol luego no es de día.

d) Hace calor siempre que sea verano.

Entonces es falso que si no hace calor luego

es verano

e) N.A.

12. Dado el siguiente argumento: “Si sudo

es porque corro. Cierro los ojos entonces

duermo. Pero no corro o no duermo; en

consecuencia no sudo a menos que no

cierro los ojos” la formalización correcta es:

a) [(B A) (CD) (~B ~D)] (~A ~C)

b) [(B ↔ A) (CD) (~B ~D)] (~A C)

c) [(A B) (CD) (~B D)] (~A C)

d) [(A B CD) (~B ~D)] (~A ~C)

e) N.A.

EQUIVALENCIAS NOTABLES

Las equivalencias notables permiten realizar

transformaciones, es decir, convertir unas

expresiones en otras, o unas formulas en

otras

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dado el esquema: [( p q) q]

(p q). Su equivalencia es:

a) Juan va al cine o estudia

b) Juan no va al cine o estudia

c) Juan va al cine y estudia

d) Juan no va al cine ni estudia

e) N.A.

Respuesta: a) Juan va al cine o estudia



2. La proposición “no es falso que sea

absurdo que, el león es un mamífero”,

equivale a:

i. El león no es domestico

ii. El león no es mamífero

iii. Es objetable decir que, el león sea

mamífero

iv. El león es mamífero o además vertebrado

v. No es innegable que, el león sea

mamífero

No son ciertas, excepto:

a) i, ii, iii b) ii, iii, v c) iii, v d) ii, iii, iv e) N.A.

Respuesta: d) ii, iii, iv

3. Que se concluye de la expresión “No río a

menos que reniegue. No reniego excepto

que esté tranquilo”

a) Ni río ni estoy tranquilo

b) No estoy tranquilo salvo que reniegue

c) Río porque estoy tranquilo

d) No río salvo que esté tranquilo

e) N.A.

Respuesta: d) No río salvo que esté

tranquilo

4. La expresión: “Si la televisión es

antinacional por tanto es alienante. Sin

embargo no es mentira que sea alienante”.

Es equivalente a:

a) La televisión es antinacional

b) Es falso que la televisión no sea

antinacional

c) No es verdad que la televisión sea

antinacional y alienante

d) Todas

e) La televisión es alienante.

Respuesta: e) La televisión es alienante.

5. La proposición: “los cetáceos tienen

cráneo si y solo si son vertebrados”,

equivale a:

i. Tienen los cetáceos cráneos y no son

vertebrados, a menos que, ni son

vertebrados ni tiene cráneo.

ii. Tienen cráneo o no son vertebrados, así

como, son vertebrados o no tiene cráneo.

iii. Si tiene cráneo, son vertebrados; tal

como; si son vertebrados, tienen cráneo.

iv. Los cetáceos son vertebrados o no tienen

cráneo, así como, tienen cráneo o no son

vertebrados.

v. Los cetáceos son vertebrados y no tiene

cráneo.

Son ciertas:

a) i, ii, iii b) ii, iii, v c) i, ii, v d) ii, iii, iv e)

N.A.

Respuesta: b) ii, iii, v


1. El enunciado “Pablo no es rico pero es

feliz”. Se simboliza:

a) Es falso que, Pablo es rico o no es feliz

b) Pablo ni es rico ni feliz

c) Es incorrecto que si pablo es rico, es

infeliz

d) Pablo es rico o feliz

e) N.A.

2. Que se concluye de: “Si practicas pesas,

estás en forma. Si estas en forma, las chicas

te miran”.

a) No es el caso que practique deporte y las

chicas te miren

b) No es cierto que estés en forma o las

chicas te miren

c) Las chicas te miran y no practicas pesas

d) No practicas pesas o las chicas te miran

e) N.A.



3. Dado el esquema molecular:

(p r) (p s) (q r) (q s) es equivalente

a:

a) Carmela recibió la carta también tomó el

bus. O también recibió el pedido salvo que

ofrezca el brindis

b) Carmela recibió la carta o también tomó

el bus. Del mismo modo recibió el pedido

salvo que ofrecerá el brindis.

c) Carmela recibió la carta al mismo tiempo

recibió el pedido, salvo que, Carmela tomó

el bus al igual que ofrecerá el brindis.

d) Carmela recibió la carta excepto que

recibió el pedido. Tal como, Carmela tomó el

bus a no ser que ella ofrecerá el brindis.

e) N.A.

4. Si la siguiente proposición es falsa:

“Si el viaje es muy largo entonces Luis

maneja con cuidado, o bien la carretera no

está bien asfaltada o Luis maneja con

cuidado; pero la carretera no está bien

asfaltada. Por tanto el viaje no es muy

largo.”

Se puede afirmar:

a) Luis maneja con cuidado y la carretera no

está bien asfaltada.

b) El viaje no es muy largo y Luis maneja

con cuidado.

c) El viaje es muy largo.

d) La carretera está bien asfaltada.

e) El viaje no es muy largo pero la carretera

esta bien asfaltada.

5. La negación de la proposición: “Juan no

viajó a Europa porque perdió sus

documentos” equivale a:

i. Es falso que Juan no perdió sus

documentos o Juan no viajó a Europa

ii. Juan perdió sus documentos y viajó a

Europa.

iii. Es mentira que si Juan viajó, entonces no

perdió sus documentos

iv. Juan viajó y perdió sus documentos.

v. Es absurdo que Juan no viajó, a menos

que no perdió sus documentos.

Son ciertas:

a) i, ii, iii b) iii, iv, v c) i, ii, v d) i, ii e)

Todas

6. La proposición “Es inadmisible que el

metabolismo se dé por catabolismo y

anabolismo” equivale a:

i. Metabolismo se da por catabolismo

entones no se da por anabolismo.

ii. Es absurdo que el metabolismo se da por

anabolismo también por catabolismo.

iii. El metabolismo se da por catabolismo y

anabolismo.

iv. Es falso que, si el metabolismo no se da

por catabolismo, luego no se da por

anabolismo.

v. El metabolismo no se da por catabolismo

o no se da por anabolismo.

Son ciertas:

a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv, v d) i, iv, v e) i, ii,

v.

7. El enunciado “Si has estudiado, entonces

pasarás de ciclo y no pagarás por segunda

matricula”. Es equivalente a:

a) Has estudiado entonces pasarás de ciclo

excepto que has estudiado y no pagarás por

segunda matricula.

b) Siempre que has estudiado por

consiguiente pasarás de ciclo, al mismo

tiempo, toda vez que has estudiado en

consecuencia no pagarás por segunda

matricula.



c) Sólo si has estudiado, pasarás de ciclo y

no pagaras segunda matricula.

d) Si has estudiado no pasarás de ciclo y

pagarás por segunda matricula.

e) N.A.

8. El enunciado: “Sandra ni es profesora ni

es economista” equivale a:

a) Es falso que Sandra sea profesora así

como también economista.

b) Sandra es economista o profesora

c) Es incorrecto que Sandra fuera

economista será profesora.

d) Es falso que al no ser Sandra profesora

deducimos que será economista.

e) Si Sandra es economista, será profesora.

9. El enunciado: “La señal de corriente

alterna es sinusoidal del mismo modo que la

señal digital es cuadrada” equivale a:

i. La señal digital es cuadrada aunque de la

corriente alterna es sinusoidal.

ii. Es absurdo que la señal de corriente

alterna no es cuadrada.

iii. Es falso que la señal de corriente alterna

sea sinusoidal implica que la señal no sea

cuadrada.

iv. La señal digital es cuadrada implica que

la señal alterna sea sinusoidal.

Son ciertas:

a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) i, iv, v d) Todas e)

N.A.

10. Luis está de viaje. Pero Ricardo tiene

fiebre o también está agripado:

a) Luis está de viaje o Ricardo tiene fiebre.

Pero Luis está de viaje salvo que

Ricardo está agripado.

b) Luis esta de viaje sin embargo Ricardo

tiene fiebre. A menos que Luis está de viaje

aunque Ricardo esta agripado.

c) Luis esta de viaje así como Ricardo tiene

fiebre. A menos que Luis está de viaje y

Ricardo no está agripado

d) No solo Luis está de viaje también

Ricardo está agripado. A menos que, Luis

está de viaje y Ricardo tiene fiebre.

e) N.A.

LÓGICA CUANTIFICACIONAL

I. CUANTIFICADORES LÓGICOS

También llamados Cuantores son los

símbolos que determinan la cantidad de una

proposición categórica y son de dos tipos:

1. Cuantificador Universal: x

Para todo x

Para cada x

Para cualquier x

Cualquiera que sea x

Sean todos los x

Para cada una de las x.

2. Cuantificador Existencial: x

Existe x

Algunos x

Exista al menos un x

Tantos, ciertos, muchos x

Existe por lo menos un x

Pocos, muchos x

Hay al menos un x que.

II. EQUIVALENCIAS LOGICAS

Equivalencias entre cuantificadores con un

predicado (una variable).

~(x(Px)) x(~Px)



~(x(Px)) x(~Px)

x(Px) ~[x(~Px)]

~(x(~Px)) x(Px)


1. Hallar los valores de verdad de las

negaciones de las proposiciones siguientes:

p: xN: x² > x

q: xZ: x + 1 > x

r: xR: x²= x

a) FFF b) FVF c) FVV d) VFF e)

VVF

2. ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes

proposiciones?

i. x A: x ≤3 x > 4

ii. x A: x + 2 < 8 x – 1 > 5

iii. x A: x ≤3 x ≤2

Donde A = {1, 2, 3, 4}

a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV

3. Hallar el valor de verdad de en A = {1, 2, 3}

i. ~[x/ x² = 4]

ii. ~[x/ x + 1>3]

iii. ~[x/ x + 2 = 5]

a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) N.A

4. Si. A = {1, 2, 3, 4}

P(n): nN: n² = n

Q(x): 2x + 1 > 8;

Hallar el valor de verdad de:

[n P(n)] [x Q(x)] [n P(n)] [x Q(x)]

a) F b) V c) V ó F d) No se Puede Det. e) N.A.

5. Sean las proposiciones:

p: {xQ / x + 1/2 > 0}

q: {xI / x + 0 = π}

r: {xR / x² + 1 = 0}

Hallar el valor de: [(pq) r] ~q

a) F b) V c) V ó F d) No se Puede Det. e) N.A.

6. Dadas las proposiciones:

p: ~{xQ, x + 2 > 0}

q: xN: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117

r: xZ, x/x = 1

Hallar el valor de verdad de: (p q)r

a) F b) V c) V ó F d) No se puede Det. e) N.A.

7. Sí: A = {0, 2, 4, 6, 8} indicar el valor de

verdad de:

i. xA: x + 3 < 12

ii. xA: x + 3 < 12

iii. xA: xx+1

>0

a) FFF b) FVF c) FFV d) VVF e)

VFV

8. Dado A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} señalar el

valor de verdad de:

i. nA: n² ≤ 40

ii. mA: m² > 40

iii. nA: n² ≤25

a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e)

VFV

9. Hallar el valor de verdad de:

i. (xR, | x |= x) (xR, x+1>x)

ii. ~xR, x² x

iii. ~[xN, | x | 0].

a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e)

N.A.

10. Si “p q” sólo es verdadero cuando p y

q son ambos falsos. Hallar el valor de

verdad de: (~p q) (q ~r) si:

p: 2 es número impar

q: xA = {1, 2, 3}, x + 1 > 1

r: xB = {2, 4, 6}, x²= 9



a) F b) V c) V ó F d) No se puede Det. e) N.A

11. Si A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hallar el valor de

verdad de las siguientes proposiciones:

p: xA, x + 3 > 2 x + 1 < 7

q: xA: x + 1 = 5 x – 2 = 1

r: xA: x + 2 > 0



p: xZ: (4x + 2) (3x – 7) = 0

q: xZ: (x2 2) (x – 1) < 0

r: xZ: (4x + 2) (3x – 7) = 0

Los valores de verdad son:


CUANTIFICADORES - FORMALIZACIÓN

DE PREDICADOS

La lógica cuantificacional, predicativa o de

los términos (clases o conjuntos) es aquella

que permite hacer un análisis más profundo,

refinado y riguroso que la lógica

proposicional. La razón básica es que esta

lógica permite el análisis de la Cantidad y

Cualidad de las proposiciones llamadas

categóricas.

Proposición

Categoría

Forma

Lingüística

Formalizació

n Lógica

Universal

Afirmativo

Todos los S

Son Px (Sx Px)

Universal

Negativo

Ningún S

Es Px (Sx ~Px)

Participativo

Afirmativo

Algún S

Es Px (Sx Px)

Participativo

Negativo

Algún S

No es P

x (Sx ~Px)

EJERCICIOS RESUELTOS

1. El enunciado: “Existe al menos una cosa

que es bella”, se formaliza:

a) x (Bx) b) x (Bx) c) Bx d) ~x (Bx) e)

N.A.

Respuesta: b) x (Bx)

2. El enunciado: “Todo no es terrestre”, se

formaliza:

a) x ~(Tx) b) ~x (Tx) c) ~x

~(Tx) d) ~x (Tx) e) Tx

Respuesta: a) x ~(Tx)

3. La formula: x (~Ax), se traduce:

a) Cada uno no es lógico

b) Es verdad que muchos no son no lógicos

c) Varios no son lógicos

d) Todas

e) N.A.

Respuesta: c) Varios no son lógicos

4. El enunciado: “Ningún arácnido es

vertebrado”, es equivalente a:

a) Todo animal es arácnido a menos que sea

vertebrado

b) Para todo animal no es arácnido a menos

que no sea vertebrado

c) Es falso que algunos vertebrados no sean

arácnidos.

d) Todo vertebrado es arácnido

e) N.A.

Respuesta: b) Para todo animal no es

arácnido a menos que no sea vertebrado

5. El enunciado: “No existe dinero”, se

formaliza:

a) x (Dx) b) ~x (Dx) c) Dx d) ~x (Dx) e)

N.A.

Respuesta: a) x ~ (Tx)



6. El enunciado: “Es falso que todo

argentino sea sudamericano” es equivalente

a:

a) Todo argentino es sudamericano

b) Todo argentino no es sudamericano

c) Ningún argentino es sudamericano

d) Algunos argentinos no son

sudamericanos

e) N.A.

Respuesta: d) Algunos argentinos no son

sudamericanos

7. Identificar la proposición categórica

equivalente a: “Todo desleal es infiel”

a) Algún desleal no es fiel

b) Ningún fiel es leal

c) Algún fiel es desleal

d) Ningún desleal es fiel

e) N.A.

Respuesta: d) Ningún desleal es fiel


1. El enunciado: “Dada cualquier x éste es

un mamífero”, se formaliza:

a) x (Mx) b) x (Mx) c) Mx d) ~x (Mx) e)

N.A.

2. El enunciado: “algunos no son felices”, se

formaliza:

a) x ~(Fx) b) x (~Fx) c) ~x

(~Fx) d) ~x (Fx) e) Fx

3. El enunciado: “Al menos un esquimal es

friolento”, es igual a:

a) x (Ax ~ Bx) b) ~x (Bx Ax) c)x

(Ax ~Bx) d) ~[x (Bx ~Ax)] e) N.A.

4. El enunciado: “No todo x es oro”, se

formaliza:

a) x (Ox) b) x (Ox) c) Ox d) ~x (Ox) e)

N.A.

5. En un universo finito; “Existen

profesionales” equivale decir:

a) Patricia es profesional o julia es

profesional

b) A menos que Juan es profesional, Ricardo

también es profesional

c) Carmen profesional o a la vez Teresa

también lo sea

d) Todas

a) N.A.

6. El enunciado: “Todos los profesores son

queridos”, se formaliza:

a) x (Px Qx) b) x (Px Qx) c) x (Px)

d) x (Mx Px) e) N.A.

7. El enunciado: “No todo lo que brilla es

oro”, se formaliza:

a) x (Bx Qx) b) x (Px ~Qx) c) x (Bx)

d) x (Bx Ox) e) N.A.

8. El enunciado: “Algunos niños son

infelices”, se formaliza:

a) x (Nx Fx) b) x (Nx ~Fx)

c) x (~Nx Fx) d) x (~Nx Hx) e) N.A.

9. El enunciado: “Todo pez es acuático”, se

formaliza:

a) x (~Ax ~Px) b) x (Px ~Ax)

c) x (Ax Px) d) x (~Ax Px) e) N.A.

10. La formula: "x (~Ax Bx), se traduce:

i. Cualquiera, a menos que no estudie,

ingresará a la UNJBG.

ii. Alguien no estudia o ingresa a la UNJBG.

iii. Cada uno no estudia excepto que a la

UNJBG ingrese



a) i, ii b) i, iii c) ii, iii d) Todas e)

N.A.

11. La formula: x (Ax ~Bx), se traduce:

a) Varios mamíferos no tienen onda

acústica.

b) Existe siquiera uno que no es periodista

c) Cada uno de los obreros jamás es

empresario.

d) Todas

e) N.A.

12. De las premisas: “Todos los cetáceos

son acuáticos”. Equivale a:

i. Es falso que algunos animales no

acuáticos sean cetáceos

ii. Es falso que algunos cetáceos no sean

acuáticos

iii. Ningún animal si no es acuático entonces

es cetáceo.

iv. Todos no son cetáceos o son acuáticos

v. Todos son acuáticos o no son cetáceos.

Son correctas:

a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv, v d) Todas e)

N.A.

13. El enunciado: “Los embajadores siempre

reciben honores”, se formaliza:

a) x (Ex Hx) b) x (Ex ~Hx)

c) x (Ex ~Hx) d) x (Ex Hx) e) N.A.

14. El enunciado: “Algunos políticos son

honestos” equivale a:

a) Ningún político es honesto

b) Es falso que ningún político es honesto

c) Todo político es honesto

d) Algunas personas honestas no son

políticas

e) N.A.

18. La proposición: “Hubo varios pueblos

primitivos en África que fueron

antropófagos”, equivale a:

a) x (Ax Bx) b) ~x (Bx Ax) c)

~[x (~Ax ~Bx)] d) x (Ax Bx) e) N.A.

La geometría;

proveniente de dos

palabras griegas, Geo

(tierra) y metría

(medida) es una parte

de la Matemática que

estudia las propiedades

de las figuras y de los cuerpos, estudia

también la medida de las superficies y de

los volúmenes.

Su origen se remonta al

Medio Oriente, en

particular al Antiguo

Egipto unos tres mil años

antes de Cristo, por la

necesidad que tenían los

mismos de medir sus tierras de cultivo

cuyos límites eran borrados por las crecidas

del Río Nilo y en la construcción de

pirámides y monumentos.

Euclides es

conocido como el

padre de la

geometría, por su

gran aporte que

perduró sin

variaciones hasta el siglo XIX dentro de esta

rama de la matemática. Su geometría ha

sido extremadamente útil en muchos

campos del conocimiento; por ejemplo, en la

física, la astronomía, la química y diversas

ingenierías.


http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica

http://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIX


Otros campos de la geometría son la

geometría analítica, geometría descriptiva,

topología, geometría de espacios con cuatro

o más dimensiones, geometría fractal, y

geometría no euclidiana. La geometría es

con la aritmética, una de las primeras

ciencias que ha estudiado el hombre.

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS

FUNDAMENTALES

EL PUNTO

El punto se caracteriza por no tener

dimensiones y en la geometría sirve para

indicarnos una posición en el espacio.

LA RECTA

La recta está formada por infinitos puntos

que se extiende infinitamente en ambos

sentidos y se lo designa así:

AB : Se lee “recta AB” l : Se lee “recta l”

SUBCONJUNTOS DE LA RECTA

1. Semirrecta

Consideremos una recta l que pasa por

los puntos A y B. si entre A y B tomamos un

punto “O”, la recta “l” queda dividida en los

siguientes subconjuntos: OA y OB.

El punto “O” se llama frontera (u origen)

y no pertenece a ninguna de las

semirrectas. Así:

2. Rayo

Llamaremos rayo a la figura formada por

una semirrecta y el punto de origen.

3. Segmento de recta

Dados dos puntos diferentes A y B de una

misma recta se denomina segmento AB,

denotado como AB, al conjunto de los puntos: A,

B y todos los puntos que estén comprendidos

entre A y B

La longitud de AB es un cantidad

positiva que expresa la distancia entre A y B

AB: Se lee segmento AB

Punto medio de un segmento

Se llama punto medio de un segmento, al

punto que divide al segmento en dos

segmentos parciales congruentes.

CASOS PARTICULARES



Si en una recta se tienen los puntos

consecutivos A, B, C y D el segmento EF que

une los puntos medios de AB y CD, se puede

expresar de la siguiente manera:

Si en una recta se tienen 4 puntos

consecutivos A, B, C y D; y además "C" es

punto medio del segmento BD, entonces se

cumple la siguiente igualdad:

DIVISIÓN ARMONICA

Sean A, B, C, y D puntos colineales y

consecutivos constituyen una “Cuaterna

Armónica” si se cumple:

RELACIÓN DE DESCARTES

La relación de Descartes se establece bajo

las mismas condiciones de la división

armónica y de donde se deduce la siguiente

relación:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

01. Sobre una recta se toman los puntos

colineales y consecutivos: A, B, C y D,

siendo AC=BD=6; AD=8. Hallar BC.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)

5

02. P, Q, R, y S son puntos consecutivos de

una recta, tal que PR = 16, QS =18 y PS

=25. Calcular “QR”.

A) 7 B) 6 C) 9 D) 8 E) N.A03. Sean los puntos consecutivos y

colineales A, B, M, C y D, siendo “M” punto

medio de AD. Hallar CD, si: AB + CD = 10,

BM – MC = 2.

A) 6 B) 4 C) 2 D) 5 E) 1

04. En una recta se ubican los puntos A, B,

C y D tal que AB3

=BC=CD2

, siendo AD=12.

Calcule BC.

A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E)

N.A

05. Sobre una recta se tienen los puntos

consecutivos y colineales: A, B, C, D y E.

Si: AB=3; BC=4; CD=5; DE=6. Calcular:

AD+AB+DEAE−CE

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5

06. Se tienen los puntos colineales y

consecutivos A, B, C y D. Calcular BD, si:

BC=6, ABCD

=23

y ABBC

= ADCD

A) 12 B) 16 C) 18 D) 22 E)

24

07. Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C y D; si AB=x-y;

BC=x+y; CD=2y-x y AD=24. Calcular la Prof: Roberto Carlos Castro Catari 20 cel: 991345677


suma del mínimo y máximo valor entero

que puede tomar x.

A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E)

24

08. En una recta se tienen los puntos

consecutivos A, B y D, entre los puntos B y

D se toma el punto C. Si: CD=4AC y BD–

4AB=20. Halle: BC

A) 3 B) 5 C) 4 D) 2 E) 1


consecutivos A, B, C y D. Halle BC. Si: AB =

4; CD = 6 y 1AB

+ 1AD

= 2AC

.

A) 3 B) 2 C) 3,5 D) 1,5 E) 2,5


consecutivos P, Q, R y S. Calcular PR, Si (QR)

(QS) = k(RS – RQ) y PRPQ

− RSPR

=1

A) 2k B) K C) k3

D) k2

E) K4

11. Sobre una recta se dan los puntos

colineales y consecutivos A, B, C y D,

Calcular AC, si BD = 8 y (AB – CD)(AD +

BC)=36.

A) 8 B) 10 C) 12 D) 6 E) 16

12. Sobre una línea recta se toman los

puntos consecutivos A, B, C, D de manera

que se cumple: AD(CD-BC)=BD.CD, además:

2 AD−BDAD. AB

=mn Calcular AC.

A) mn B) m2

C) mn

D) n

2m E)

2nm

13. Sobre una línea recta se considera los

puntos consecutivos A , B , C ; D

determinados por la relación AB.CD =

K(BC.AD) además: 1AD

+ kAB

= 2kAC

Calcular

“K”

a) 1 b) 2 c) 13

d) 32

e) 3

14. En los puntos consecutivos que se

encuentran sobre una línea recta se cumple

que AB.CD=2AD.BC, además xAC

= yAB

+ zAD

. Calcular x + y + z

A) 4 B) 8 C) 6 D) 3 E) 5


consecutivos A, B, C y D. Si:

ABBC

=k, 1BC

= 1AC

+ 1BD

. Halle CDBC

A) k B) 1k

C) k3

D) k2

E) 2k


consecutivos A, B, C y D, donde B es punto

medio de AC. Encontrar BD. Si

AC.BD+CD2=12+AB2

A) 4 b) 3√3 c) 2√2 d) √3 e) 2√3


puntos consecutivos A, B, C, D de manera

que AB.CD=n.BC.AD y 1AD

+ nAB

= 7AC

Hallar

“n”

A) 4 B) 8 C) 6 D) 3 E) 5

18. Dados los puntos consecutivos A, B, C, D

sobre una línea recta tal que



AB.AD=3.BC.CD, además 1CD

+ 4AC

=√3 .

Calcular AB.

A) 1 B) 2 C) √2 D) √3 E) 2

√3

19. Sobre una recta se toma los puntos

consecutivos A, B y C luego se toma el

punto medio M del segmento BC, de modo

que AB2+AC2=x.(AM2+BM2). Encontrar “x”.

A) 1 B) 2 C) 1,5 D) 3 E) 0,5

20. Sobre una recta se tiene los puntos

consecutivos A, B, C, D y E. Hallar AE,

sabiendo que AB + CE = 28; BE – CD = 22

y AE – DE=20.

a) 32 b) 35 c) 38 d) 26 e) 42

21. Un segmento AB=7, el cual se divide en

3 partes. La razón de la primera y la

segunda es 32

y de la Segunda y la tercera

es 45

; hallar el mayor segmento.

a)4 b)3 c)5 d)6 e)8


consecutivos A, B, C, D, E y F, de modo

que AB = BC = CD y CF = 2BE = 4AD. Si

EF = 14. Hallar CE.

A) 5 B) 8 C) 10 D) 14 E)

N.A


consecutivos A0, A1, A2,…, An tal que: A0A1 =

1, A0A1 = 12, A1A2 =

14 , A2A3 =

18 ,…

Calcular: A0An

A) 3 B) 5 C) 4 D) 2 E) 1


consecutivos O, A, B y C. calcule OA. Si

1OC

+ 1OB

= 1OA

, (AB).(AC)=289

A) 11 B) 19 C) 13 D) 15 E)

17

25. Sean los puntos colineales y

consecutivos A, B, C, D tal que; (AB) (AD) =3

(BC) (CD), además PCD

+ QAC

= mAB

. Hallar

(P+Q)m.

A) 125 B) 256 C) 64 D) 8 E)

N.A



consecutivos A, B, C y D. Calcular “n” si:

AB.BD=AD.BC y 1AB

+ 1BD

= n−18.BC

A) 11 B)9 C) 10 D) 12 E) N.A

02. En un recta se ubican los puntos

consecutivos A, B C, D y E de modo AB, BC,

CD y DE están en progresión geométrica. Si

AE = 8, Calcule AC (AB+CD )

AB

A) 4 B) 8 C) 6 D) 3 E) 5


puntos consecutivos A, B, C, D tal que

AB.CD=AD.BC, AB.BC=13, AD.CD=38. Hallar

BD.

A) 4 B) 2 C) 6 D) 3 E) 5

04. En los puntos consecutivos A, B, C, D, E

y F se cumple que AC+BD+CE+DF=42,

además BE=5. AF9

.Calcular BE.

A) 18 B) 21 C) 12 D) 15 E) 24



05. En los puntos colineales A, B, C, D se

cumple que AB.CD=x.AD.BC, además

1AD

+ xAB

=2x−3AC

Calcular “x”

A) 4 B) 2 C) 10 D) 3 E)

5

06. Sobre una línea recta se consideran los

puntos consecutivos A, B, C y D; de tal

manera que “B” es punto medio de AC,

además BD = 4 y 2AC+CD =13. Hallar BC .

A) 2 B) 1 C) 5 D) 3 E) 4


consecutivos A, B, C, D y E. Si: AE=110 y

AB=BC5

=CD7

=DE9

. Halle CE.

A) 68 B) 50 C) 70 D) 60 E) 80


consecutivos A, B, C, D; tal que CD es la

tercera parte de BC y AB es menor en 3 que

la mitad de BC. Si AD=63. Hallar el

complemento aritmético de AB.

a)5 b) 25 c) 45 d) 85 e)

985


consecutivos A, B, C y D; Sabiendo que

AC=18 y BD=34. Calcular la longitud del

segmento que une los puntos medios de AB

y CD.

A) 20 B) 23 C) 25 D) 26 E) 30

10. En una recta se ubican los puntos

consecutivos A, M, B, C, N y D; siendo M y N

puntos medios de AB y CD respectivamente.

Si BC=3 y MN=9; halle AD.

A) 12 B) 15 C) 9 D) 8 E) 18

11. Los puntos A, B, C, D y E están sobre

una recta de modo que n.AD=m.BE,

3.AB=2.CD, DE=2BC. si CD=9m-3n. Hallar

BC.

A) 5n-3m B) m+n C) n D) m E) N.A

12. Se dan los puntos consecutivos A, B, C,

D y E, siendo AC + BD +CE = 60. Hallar

AE, si: BD=78AE

A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E)

40

13. En una línea recta se toman los puntos

consecutivos y colineales A, B, C y D,

siendo AC + BD = 40 m. Hallar PQ si “P” es

punto medio de AB y “Q” es punto medio

de CD.

A) 40 B) 20 C) 10 D) 5 E) 1


consecutivos A, B, C y D; tal que BC=CD3

y

3AB+AD=20. Calcular AC.

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

15. En una recta se tiene los puntos

colineales A, B y C; luego se ubica M

punto medio de BC. Si: BC=4 y AB·AC=3.

Halle AM

A) 3 b) 5 c) 4 d) √7 e) 1

16. Se tiene los puntos colineales A, B, C, D,

y E; situados de tal forma que AC + BD +

CE=45; si AEBD

=32 . Calcular “AE”

A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29

17. Se tienen los puntos consecutivos A, B,

M, C, donde M es punto medio de BC, MC=4,

además 2AM=3BC. Calcular AC

A) 16 B) 14 C) 12 D) 20 E) 18



18. En una recta se tiene los puntos

colineales A, B, C y D. si AB x BD = AC x CD.

Hallar: AB2−CD2

A) 4 B) 2 C) 0 D) 5 E) 1

19. Se tiene los puntos colineales A, B, C, D,

E y F tal que: AC+BD+CE+DF=40 y

BE=37AF. Calcular “AF”

A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28

20. Se tienen los puntos colineales A, B, C y

D; luego se ubican los puntos medios M y N

de AB y CD respectivamente. Si: AC=8 y

BD=16. Halle: MN.

A) 8 B) 9 C) 11 D) 12 E) 13


consecutivos A, B y C, luego se toman los

puntos medio M de AB y N de BC tal que

MN=4, además BC=3AB. Calcular AB.

A) 3 B) 4 C) 2 D) 1,5 E) 1


puntos consecutivos A, B, C, D tal que B es

punto medio de AD. Hallar: 32 ( AC−CDBC )

A) 4 B) 2 C) 1,5 D) 3 E) 5

23. Los puntos A, B, C, D se encuentran

sobre una línea recta de modo que BC=CD.

Calcular AB2+AD2

BC 2+AC 2

A) 1 B) 2 C) 1,5 D) 3 E) 0,5


consecutivos A, B, C, D, E, con la condición

AC+BD+CE=44. Hallar AB. Si AE=25 y

DE=2AB

A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E)

N.A

25. En una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C, D, E de tal manera que

BD+2 ABAB

= BD+2DEDE

y BE=22. Calcular AD.

A) 21 B) 19 C) 20 D) 22 E) N.A

26. Los puntos consecutivos A, M, B, C se

encuentran sobre una recta de modo que M

es punto medio de AB. Calcular AC+BC, si

MC=8

A) 18 B) 24 C) 16 D) 12 E) 14

27. En los puntos colineales A, B, C, D y E

se cumple que AB=CD, AB.DE=CD.AD;

BC+DE=6. Hallar BD.

A) 4 B) 2 C) 1 D) 3 E) 5

ÁNGULOS

Se llama ángulo a la reunión de dos rayos

que tienen el mismo origen. Los dos rayos

se llaman lados del ángulo y su origen se

llama vértice.

En el gráfico adjunto OA y OB son los lados

y “O” es el vértice del ángulo.

El ángulo mostrado en la figura se denota

por: ∢ AOBó∢BOA

La medida del ángulo AOB se denota por

m∢AOB, así en la figura:

m∢AOB=α

NOTA: La medida de un ángulo geométrico

es un número real y positivo comprendido

entre 0° y 360°.



Bisectriz de un Ángulo

Es el rayo cuyo origen es el vértice del

ángulo y que lo divide en dos ángulos

congruentes.

Para la figura adjunta diremos que OM

biseca al ángulo AOB, si:

m∢AOM=m∢MOB=m∢ AOB2

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Según su medida.

a)Ángulo nulo : Los dos lados coinciden, su

medida es 0°.

m∢AOB=0 °

b)Ángulo agudo : Es aquel cuya medida

está comprendida entre 0° y 90°.

c) Ángulo recto : Es aquel cuya medida

mide 90.

Decimos que OA y OB son perpendiculares y

escribimos:

OA⊥ OB

d)Ángulo obtuso : Es aquel cuya medida

está comprendida entre 90° y 180°.

Según sus características

a)Ángulos complementarios : son dos

ángulos cuyas medidas suman 90°. Se

dice que uno cualquiera de ellos es el

complemento del otro.

El complemento del ángulo α, se denota

C(α). Luego:

C(α) = 90° - α , α < 90°

b)Ángulos suplementarios: son dos

ángulos cuyas medidas suman 180°. Se

dice que uno cualquiera de ellos es el

suplemento del otro.

El suplemento del ángulo α, se denota

S(α). Luego:

S(α) = 180° - α


BO


c) Ángulos adyacentes: son dos ángulos

que tienen el mismo vértice y un lado

común, además los lados no comunes

están situados en distintos semiplanos

determinados por el lado común.

d)Ángulos consecutivos: son aquellos

ángulos ordenados de forma que

compartan un lado con el ángulo

siguiente y todos tengan el mismo

vértice.

e)Ángulos opuestos por el vértice : Son

dos ángulos tales que los lados de uno

son los rayos opuestos de los lados del

otro.

OBSERVACIONES:

01. Los ángulos adyacentes son

suplementarios. (Par lineal)

02. Ángulos formados a un mismo lado de

una recta.

03. Ángulos formados alrededor

de un punto.

α + β + θ + φ + δ =360°

04. Cuando a un ángulo recto se le divide en

varios ángulos consecutivos, las

medidas de dichos ángulos suman 90°.

PROPIEDADES IMPORTANTES

N° par de veces.

- CCC…Cα = α

- SSS…Sα = α

N° impar de veces.

- CCC…Cα = 90° – α

- SSS…Sα = 180° – α

SCα = 90° + α

CSα = α – 90°



Sα – Cα = 90°

Teorema: las bisectrices de dos ángulos

adyacentes suplementarios forman un

ángulo que mide 90°.

α + β = 90°


01. ¿Cuánto mide el ángulo formado por las

bisectrices de dos ángulos adyacentes y

complementarios?

A) 30° B) 35° C) 40° D) 45° E) 50°

02. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,

BOC y COD, tal que los ángulos AOC y AOB

son complementarios; m∢AOD+ m∢

AOB=120°. Calcule la m∢DOC.

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

03. Si a la medida de un ángulo se le

disminuye su suplemento resulta 20°.

¿Cuánto mide dicho ángulo?

A) 100° B) 80° C) 20° D) 180° E)

130°

04. Se tiene los ángulos consecutivos AOB;

BOC y COD, tal que: m∢AOD=148° y m∢

BOC = 36°. Calcule la medida del ángulo

formado por las bisectrices de los ángulos

AOB y COD.

A) 90° B) 95° C) 92° D) 93° E) N.A

05. Las medidas de dos ángulos

complementarios están en la relación de 4 a

5. Calcular el suplemento del mayor.

A) 100° B) 120° C) 130° D) 140° E)

150°

06. Se tiene los ángulos consecutivos AOB,

BOC y COD cuyas medidas son

proporcionales a 4; 3 y 5 respectivamente,

tal que la m∢AOD=120°. Calcular la m∢

AOC.

A) 40° B) 50° C) 60° D) 70° E) 80°


BOC y COD, tales que: m∢AOC=45, m∢

BOD=65° y m∢AOD=100°. Calcular la m∢

BOC.

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

08. La suma de las medidas de dos ángulos

es 70° y el complemento del primero es el

doble del segundo ángulo. Calcular la

diferencia de las medidas de dichos ángulos.

A) 30° B) 45° C) 60° D) 70° E) 80°

09. Calcular “x”, si θ – β = 6°.

A) 60° B) 54° C) 63° D) 57° E) 66°

10. Se tiene dos ángulos consecutivos AOB

y BOC de manera que OM es bisectriz del

ángulo BOC. Si la m∢AOB+m∢AOC=136°,

calcular la m∢AOM.

A) 44° B) 58° C) 72° D) 68° E)

88°

11. Se tiene los rayos coplanarios OA, OB,

OC, OD y OE; Calcular la m∢AOD. Sabiendo

que OB es bisectriz del ∢AOC, m∢AOB + m



∢AOE=81° y m∢COD = 2m∢DOE.

A) 27° B) 40,5° C) 36° D) 54° E)

48°

12. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y

BOC, tal que OM es bisectriz del ángulo

AOC. Si: m∢BOC - m∢AOB = 50°, calcular la

m∢BOM.

A) 20 B) 25° C) 40° D) 45° E)

50°

13. Calcular la m∢AOB, si Sα+Cβ = SCθ+40°.

A) 100° B) 120° C) 130° D) 140° E)

150°


BOC y COD tal que sus medidas suman

180°, además la m∢BOC=40°. Calcular la

medida del ángulo que forman las

bisectrices de los ángulos AOC y BOD.

A) 70° B) 80° C) 40° D) 50° E)

45°

15. Si a uno de dos ángulos suplementarios

se le disminuye su complemento para

agregárselo al otro; éste nuevo ángulo

resulta ser ocho veces lo que queda del

primero. Calcular el menor de dichos

ángulos suplementarios.

A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E)

70°

16. Se tiene los ángulos adyacentes

suplementarios AOB y BOC, se traza las

bisectrices OM y ON de los ángulos AON y

BOC respectivamente. Si la m∢MOB = 60°,

calcular la m∢MOC.

A) 120° B) 110° C) 90° D) 100° E) 105°


01. Si la sexta parte del suplemento del

complemento de un ángulo es igual a 1/3 de

9° menos que su complemento, calcule la

medida del ángulo.

A) 32° B) 16° C) 48° D) 24° E) 30°

02. Un ángulo mide los 2/3 de un ángulo

recto y otro ángulo los 4/5 de un ángulo

recto, calcule el complemento de su

diferencia.

A) 30° B) 78° C) 18° D) 48° E) 60°

03. En el gráfico, calcule, cuando "x" sea

máximo. Siendo: x = (6a - a2)°

A) 0° B) 39° C) 35° D) 36° E) 30°

04. El doble del complemento de un ángulo

sumado con el suplemento de otro ángulo

es igual al suplemento del primer ángulo.

Calcule la suma de las medidas de dichos

ángulos.

A) 100° B) 45° C) 90° D) 180° E) 160º

05. Sean los ángulos consecutivos AOB y

BOC, tal que m∢BOC=m∢AOB+36°. Se

trazan las bisectrices OX, OY y OZ de los

ángulos AOB, BOC y XOY respectivamente.

Calcular la m∢BOZ.

A) 8° B) 9° C) 12° D) 18° E) 27°

06. Del gráfico, calcule el valor de la razón

aritmética entre x e y, cuando "xº" toma su

mínimo valor entero.



A) 8° B) 3° C) 4° D) 5° E) 6°

07. La suma del complemento de un ángulo

y el suplemento de otro ángulo es 140°.

Calcular el suplemento de la suma de

ambos ángulos.

A) 40° B) 50° C) 60° D) 70° E) 80°


BOC y COD cuyas medidas son 20°; 40° y

70° respectivamente. Calcular la medida del

ángulo formado por las bisectrices de los

ángulos AOB y COD.

A) 65° B) 85° C) 75° D) 80° E) 70°

09. Si el suplemento del complemento del

suplemento de un ángulo es 130°, calcular

la medida de dicho ángulo.

A) 100° B) 115° C) 140° D) 150° E) 135°

10. Si al mayor de dos ángulos

complementarios se le quita 20° para

agregarle al otro; ambos se igualan, calcular

el menor de dichos ángulos

A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° E) 45°


BOC y COD. Calcular la m∢BOC, si m∢

AOD=90° y m∢AOC + m∢BOD=140°.

A) 20° B) 100° C) 25° D) 40° E) 50°


BOC y COD; tal que OP, OQ; ¿ y OS son las

bisectrices de los ángulos AOB, COD, AOC y

BOD respectivamente. Si: m∢POQ+m∢

ROS=144°, calcule la m∢AOD.

A) 144° B) 72° C) 288° D) 128° E) 124°

13. Calcule el menor valor entero que puede

tomar “x”.

A) 37° B) 53° C) 59° D) 62° E)

36°

14. La diferencia de las medidas de dos

ángulos es 40° y el triple del suplemento del

ángulo doble del primero es igual al duplo

del complemento del suplemento del ángulo

triple del segundo. Calcule la medida de

dichos ángulos.

A) 60° y 60° B) 30° y 90° C) 45° y

75° D) 70° y 50° E) 40° y 80°

15. El doble del complemento de un ángulo

aumentado en el triple del suplemento del

doble de dicho ángulo nos da 480°. Calcule

el suplemento de la medida de dicho

ángulo.

A) 30° B) 60° C) 120° D) 150° E)

135°

16. En el gráfico, el rayo OP es bisectriz del

ángulo AOD, siendo: m∢POC - m∢BOP =

20°.

Calcule m∢AOB - m∢COD.

A) 22° B) 40° C) 25° D) 10° E) 20°

17. Sean: AOB, BOC, COD, DOE y EOF

ángulos consecutivos tales que: m∢AOF =

154° y m∢AOD = m∢BOE = m∢COF.



Calcule la m∢BOC, si la medida del ángulo

formado por la bisectriz del ángulo COD y el

rayo OE es igual a 54°.

A) 23° B) 28° C) 63° D) 36° E) 75°

Calcular el valor de “x” en:

18. CCCCCCX+SSSSSSSSSS2X=

150°

19. CC……CCX + SS……SS3X= x + 60°

403 veces 523 veces

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS Y UNA SECANTE

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

1. Rectas oblicuas.

Dos rectas en un plano son oblicuas

cuando al cortarse forman cuatro

ángulos diferentes de un ángulo recto.

Se lee: la recta L es oblicua a la

recta L1.

2. Rectas perpendiculares.

Dos rectas en un plano son

perpendiculares cuando al cortarse

forman cuatro ángulos que miden 90°

cada uno.

Se lee: la recta L es perpendicular

a la recta L1

3. Rectas paralelas.

Dos rectas en un plano son paralelas

cuando por más que se prolonguen no

llegan a cortarse.

Se lee: la recta L es paralela a la

recta L1

ÁNGULO ENTRE RECTAS PARALELAS

1. Ángulos correspondientes.

Uno interno y el otro externo, a un mismo

lado.

2. Ángulos alternos internos

Ambos internos, uno en cada lado.

3. Ángulos conjugados internos

Ambos internos y en un mismo lado.

PROPIEDADES

1.


L L1

L L1

L/¿ L1

α = θ

α = θ

α+ θ=180°


2.

3.

4.

5.

6. Ángulos

paralelos


En cada caso hallar el valor del ángulo “x”,

si L1 // L2

01.

A) 35º

B) 45º C) 40º D) 25º E) 30º

02.

A) 35º B) 45º C) 40º D) 25º E) 30º

03.

A) 50º B) 45º C) 40º D) 55º E) 60º

04.

A) 10º B) 18º C) 20º D) 15º E) 20º

05.Si L1 // L2 calcular “x”.

A) 35º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º

06.Si: L1 // L2, calcular “x + y”.


x=α+ θ

x=90°

a+b+c=α+ θ

α+β+θ+Φ=180°

α+β+θ+γ+Φ=180°. n

n=N° de segmentos

3)4) 5)


A) 60º B) 70º C) 80º D) 90º E)

100º

07.Si: L1 // L2, calcular x+ y−z

2

A) 60º B) 70º C) 80º D) 90º E) 100º

08.Si: L1 // L2, calcular x

A) 60º B) 70º C) 80º D) 120º E) 100º

09.Calcule el menor valor entero de “x” si: θ es obtuso.

A) 24º B) 29º C) 60º D) 59º E) 23º


A) 24º B) 29º C) 60º D) 59º E) 23º

11.Dada la siguiente gráfica, calcular x. Si L1 // L2

A) 56º B) 84º C) 54º D) 90º E) 72º


A) 38º B) 24º C) 64º D) 32º E) 78º


A) 10º B) 40º C) 30º D) 20º E) 50º


A) 15° B) 10° C) 12,5° D) 22° E) 22°3015.En el grafico L1 // L2, calcular “x”

A) 12º B) 22º C) 24º D) 26º E) 28º

16.Del grafico L1 // L2, calcular “x”

A) 12º B) 22º C) 24º D) 26º E) 28º


01.Si: L1 // L2, calcule "xº". Si: bº+wº = 220°.



A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°


A) 80º B) 03.Calcular “x”, si L1 // L2

A) 15º B) 45º C) 30º D) 40º E) 12º04.Si: L1 // L2, calcular x

A) 143° B) 127° C) 150° D) 135° E) 165°05.Del grafico L1 // L2, calcular “x”

A) 16º B) 32º C) 14º D) 29º E) 28º

06.En gráfico, si: L1 // L2 , además: Ф - θ =

75; calcular: “x”

A) 75º B) 85º C) 78º D) 76º E) N.A

07.Si L1 // L2, calcular “x”

A) 154° B) 115° C) 130° D) 144° E) 120°

08.Calcule "xº", si: aº + bº = 50º y L1 // L2

A) 40° B) 50° C) 70° D) 60° E) 65

09.Según el gráfico, calcule "xº", si: L1 // L2

A) 66° B) 85° C) 77° D) 70° E) 80°


A) 18° B) 9° C) 27° D) 30° E) 20°

11.Si: L1 // L2, calcule el máximo valor

entero de "xº", siendo el ángulo CAB

agudo.

A) 18° B) 17° C) 16° D) 15° E) 12°

12.Si: L1 // L2, calcule "xº".


L2

L1

L2

L1


A) 34° B) 48° C) 82° D) 98° E) 49°

13.Calcule "xº", siendo: L1 // L2

A) 60° B) 75° C) 105° D) 135° E) 140°

14.Del gráfico, calcule el valor de " θ "

cuando "x" toma su mínimo valor

entero par. Si: L1 // L2

A) 34° B) 32° C) 28° D) 29° E) 30°

“La dicha de la vida consiste en tener siempre algo que hacer, alguien a quien

amar y alguna cosa que esperar”

Thomas Chalmers




A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º


A) 15º B) 75º C) 50º D) 25º E) 35º

17.Calcular “x”, si: a + b = 300º. (L1 // L2).

A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º

18.

A) 40º B) 45º C) 50º D) 55º E) 60º

19.En el gráfico: L1 // L2, L3 // L4, L5 // L6,

calcule: xº+yº.

A) 170° B) 180° C) 210° D) 235° E) 245°

20.Si: L1 // L2, calcule θ


55°

11

y°

x°

L6

L5

L4

L3

L2

L1


A) 10º B) 40º C) 30º D) 20º E) 50º

21.Si: L1 // L2 y α + β = 66º. Calcular el valor

de “y”

A) 76º B) 65º C) 81º D) 79º E)

N.A

19. El enunciado “Todas las proteínas son

compuestos orgánicos” equivale:

i. Todos los que no son proteínas o son

compuestos orgánicos

ii. Es absurdo que algunos que no son

compuestos orgánicos sean proteínas.

iii. Ninguno que no es compuesto orgánico

es proteína

iv. Ninguna proteína es compuesto orgánico

v. Es falso que algunas proteínas sean

compuesto orgánicos.

Son ciertas:

a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv d) i, iii, v e) i, iv, v

23.Sabiendo que: V(p) = V; V(q) = F; V(r) =

F. Hallar los valores de verdad de:

a. ( p q) (r r)

b. (p q) ↔ (q r)

c. (r p) (p q)

a) FFF b) VFF c) VVV d) VFV e)

VVF

24.Determinar el valor de verdad de cada

una de la siguientes proposiciones:

I. Si: 3 + 1 = 7, entonces: 4 + 4 = 8

II. No es verdad que: 2 + 2 = 5 si y solo

si 4 + 4 = 10.

III. Madrid está en España o Londres

está en Francia.

a) VFV b) VVV c) VFF

d) FVF e) FFF

25.La fórmula:

[(p q] r] ↔ [p (q r)] es:

a) Tautología b) Contingencia c) Contradicción

26.Sabiendo que:

(p ↔ q) es falsa

(q r) es verdadera

(r t) es verdadera

Deducir los valores de verdad de p, q, r y

t.

a) VFVF b) FFFV c)

VVVF

d) FFVV e) FVFV

10. Simplificar: [ (p q) q)

p

a) p b) p c) V d) F

e) N.A.


p {q [p ( }p r)]}

a) p q b) p q c) p d)

p e) q

11. Simplificar el siguiente circuito:

a) p b) q c) p d) p q e) q

13. Hallar la equivalencia a: “Es falso que

si Ud. ve un gato negro entonces tendrá

mala suerte”

a) Ve un gato negro y tiene mala suerte


L2

L1


b) no tiene mala suerte si ve un gato

negro

c) Ve un gato negro y no tiene mala

suerte

d) Ve un gato negro si tiene mala suerte

e) N.A.


p: hoy es domingo

q: Samantha va al cine

Simboliza el siguiente enunciado:

“Si hoy es domingo, Samantha va al

cine. Samantha no va al cine, en

consecuencia, Samantha va al cine”

15. La proposición: “Es absurdo que, los

sueldos no tienen capacidad adquisitiva,

pero los trabajadores protestan”. Se

formaliza como:

a) A ~B b) ~A ~B c) A ~B d) ~A ~B e)

N.A

27.Si la proposición compuesta

p (q p) es verdadera, determinar el

valor de verdad de:

(p q) ↔ p

( p q) (

p q)

( p ↔ q) ( p

q)

a) VFV b) FFF c) FVV d) FVF e) FFV

12. Simplificar el siguiente circuito:

a) p q b) p q c) q d) (p q) e) p q

15. La negación de la proposición: “Benito

no viajo a Europa porque perdió sus

documentos” equivale a:

i. Es falso que Benito no perdió sus

documentos o Benito no viajo a Europa.

ii. Benito perdió sus documentos y viajo a

Europa.

iii. Es mentira que si Benito viajó, entonces

no perdió sus documentos

iv. Benito viajó y perdió sus documentos.

v. Es absurdo que Benito no viajó, a menos

que no perdió sus documentos.

Son ciertas:

a) i, ii, iii b) iii, iv, v c) i, ii, v d) i, ii e)

todas


p: Los astronautas son seres normales

q: Los científicos son seres normales

Dado el esquema: (p q) p.

Su equivalencia es:

a) Es falso que los científicos son seres

normales, excepto que los astronautas son

seres normales.

b) Los científicos son seres normales a no

ser que los astronautas no son seres

normales.

c) Es falso que los científicos no son seres

normales.

d) No sólo los científicos son seres normales

también los astronautas son seres normales.

e) N.A.


logica proposicional 2013 de roberto castro catari

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