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TEMA: HISTORIA DE ARITMTICAGENERALIDADES El hombre, con su ingenio, hace posible hacer realidad la construccin grandes edificios, puentes, carreteras, etc. Esto es posible por que organiza sus ideas y los representa con smbolos matemticos. A travs de estos smbolos nos comunicamos, lo interpretamos y nos da una idea clara de lo que se quiere hacer con la opcin de modificar, ampliar o simplemente comunicar la idea a los dems. Queda claro entonces que la matemtica es una ciencia es muy importante para la evolucin, desarrollo modificacin de lo que esta en nuestro entorno. As pues la matemtica tiene ramas diferentes, una de ellas en esta en esta oportunidad a la aritmtica. La Aritmtica es una ciencia que se encarga del estadio de los nmeros. Su aplicacin se da desde que se hacan intercambios, hace mucho tiempo atrs. Al inicio se utilizaban los dedos de la mano, posteriormente hubo la necesidad de emplear piedras, gramos de trigo, nudos hechos en cuerda, pedazos de corteza, etc. La primera evidencia histrica de esta ciencia se da los antecedentes de los Caldeos Asirios, Los Sumerios, que nos indican el conocimiento de un sistema numrico que data de 3500 aos A. C. Los Egipcios dedican dieron gran aporte por sus avances de ingeniera en la construccin de las pirmides all por los 3200 a.C. El ms antiguo libro de matemtica fue el Papiro de Rmind (1700 a.C.), estos utilizaron sistemas decimal. Posteriormente, aquellos que introdujeron el importante concepto de posicin de un smbolo, con lo que podan representar valores mayores utilizaron la base 10 y dieron a conocer el smbolo cero en forma primitiva, son Los Babilonios.

Los Griegos a diferencia de los Babilonios, utilizaron las letras de su alfabeto como smbolos, para representar nmeros, entre los personajes griegos que aportaron al desarrollo de la aritmtica fueron: Pitgoras: Contribuyo al uso de los nmeros irracionales, la teora de las proporciones, etc. Platn: Creador del mtodo analtico para la resolucin de problemas. Euclides: Escribe su famoso Elementos (320) a C.), en el que trata temas sobre: Aritmtica, lgebra, Geometra, y Trigonometra. Hindes: Les corresponde el mrito de haber utilizado el sistema decimal hasta su mximo progreso; ya que fueron los Mayas (en Amrica ) y los Sumerios (en Mesopotamia) los primeros que utilizaron el valor de posicin y cero en la escritura. Hacia el ao 1050 el famoso sabio hind Mahaviya publica su famoso Lilabati donde usa el valor de posicin y el cero, siendo el verdadero iniciador de un consistente sistema decimal de numeracin. Los rabes: La especial ubicacin geogrfica y el progreso de la navegacin favorecieron a un notable intercambio comercial entre rabes e hindes. Los rabes aprendieron el sistema numrico hind y resultaron as sus portadores a Europa; por eso al sistema que usamos actualmente el que llevaron los rabes a Europa se llama indo arbigo o tambin decimal.

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Difusin del saber matemtico en Europa: Fibonacci: Divulgo el sistema indo arbigo en toda Europa desterrando al sistema numrico de los romanos (1200) Widman: Alemn (1489) introduce los signos matemticos ms (+) y menos () Regiomontano (1470): Introduce nociones sobre los nmeros decimales. John Neper (1550 1616): Crea los logaritmos Fermat (1601 1665) Verdadero impulsor del estudio de los nmeros en base a geniales concepciones. Martnez Guiajano, Juan Ortega, Gaspar Lax de Moya fueron espaoles que contribuyeron a mejorar el ambiente matemtico de la poca. Euler, Lagranje, Legendre, Gauss, etc., fueron algunos de los grandes matemticos creadores de la aritmtica actual.

SABAS QU...

LA CARRERA PROFESIONAL DE FARMACIA Y BIOQUMICA

El qumico farmacutico, como miembro de las profesiones mdicas del equipo de salud, es el especialista del medicamento, alimento y txico, con slida formacin cientfica, tecnologa y humanstica, con capacidad ejecutiva y de liderazgo. mbito de Trabajo: Industria farmacutica, centros hospitalarios, clnicas, farmacias, laboratorios bromatolgicos, microbiolgicos y farmacolgicos. Industrias qumicas, frmaco qumicas, alimentaras y cosmticos. Centros de investigacin y docencia.

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DYALAYALDINRUMI

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TEMA: CONJUNTOS NUMRICOSLos conjuntos que estudian el curso aritmtica segn la teora de conjuntos son los siguientes: 1. Conjunto de los Nmeros Naturales (N), son nicamente los enteros positivos. N = {1, 2, 3, 4, ........................ n} 2. Conjuntos de los Nmeros Enteros (Z), son aquellos que resultan de la unin de los naturales y la diferencias de dichos nmeros: Z = {-n , ......, 2, 1, 0, 1, 2 ........., n } + 0 Z ; Z = {Z , Z, Z } 3. Conjunto de Nmeros Racionales (Q), son aquellos que provienen del cociente de 2 nmeros enteros donde el denominador es diferente de cero. Q = {x/x = a /b. a b Z; b 0 }

6. Conjunto de los Nmeros Imaginarios, Se obtiene de extraer races a cantidades negativas, son de la forma:PAR

A =i

Unidad Imaginaria: i Luego Ejemplo:

1 (notacin de Gauss)

A4

A .i4 .= 2. i

1

7. Conjunto de los Nmeros Complejos, Se denomina nmero complejo a la suma de un nmero real con un nmero imaginario. a bi # Complejo (c) =Parte imaginaria Parte real

Esquema de Clasificacin de los Nmeros Naturales Racionales Reales (R) Complejos (C) Irracionales (Q') Enteros (Z) Fraccionarios Ceros (Z) Negativo (Z-)

Enteros

Luego:

Q = fraccionar ios

(Q)

Decimales (Exacto , P . puro , P . mixto )4. Conjunto de Nmeros Irracionales (Q') Esta formado: - Radicales inexactos : 2, 3 7 , 1 / 2 ........ Nmeros trascendentes : , e, .............

Imaginarios (I)

5. Conjunto de los Nmeros Reales (R) Esta formado por la unin de los nmeros racionales e irracionales. R = Q Q| donde: R:Reales + R : Reales positivos

Luego: N Z Q R Q Q' = R RI=C

C

Q Q' = R I =

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PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Si m es un nos nmero entero siempre un A) -3 B) 7m+2 E) 6m+7 5. Si a < 0 2. Si n es un nmero par Cul de las siguientes es un nmero impar? A) 2k D) 7k B) 2k+1 E) B y C C) k-1 b > 0 entonces a b, dar un resultado: A) Siempre negativo B) Un nmero natural C) Un nmero entero D) Un nmero racional E) Un nmero Irracional C) 4m+7 D) 3 B) 2 E) 1 C) 2 4. Cul es el mayor nmero entero de 2, 7?

7. Si a < 0 y b = -3, entonces el producto de a . b pertenece a los nmeros A) Naturales B) Entero C) Imaginarios D) Reales Positivos E) R. Negativos

11. El resultado de x 3 x 1 es un nmero 2 5 A) Entero C) Irracional E) Complejo

en

par. El cul de las alternativas representa nmero par? A) 3m+3 D) 3m+5

B) Racional D) Imaginario

8. Si: x =

1 + 2 entonces diremos 2 que x es un nmero:A) Entero C) Racional E) Negativo B) Natural D) Irracional

12. Al sumar 0,7 con obtendremos un nmero:

1,3

A) Reales B) Imaginario C) Irracional D) Complejo E) Entero Negativo

9. Qu nmero entero encuentra entre 5,5 y 6,5 A) 3 D) 6 B) 2 E) 4

se

POR QUENSUCIAS TU MUNDO?

3. Cual

de

las

siguientes

C) 5

relaciones es correcta. A) 5 es un nmero natural B) 5 + 3i es un nmero real C) D)3

6. Luego de resolver la siguiente ecuacin: 3x2 + 4 = -5 sus soluciones pertenecen a los nmeros A) Reales C) Naturales E) Imaginarios B) Enteros D) Complejos

2

7

es

un un

nmero nmero

irracional

10. Respecto a los nmeros que se encuentra entre 4 y 5 podamos afirmar que son nmeros A) Entero C) Imaginarios E) B y D B) Racional D) Irracional

DPTO. DE PUBLICACIONES

Manuel ScorzaV.L.E.B.

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es

imaginario E) 4i es un nmero complejo

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13. Indicar la incorrecta:

proposicin

14. El nmero real que le sigue a 2 es: A) 2,2 B) 2,00001 C) 3 D) 2,02 E) Indeterminado

A) La suma de 2 nmeros enteros nos da otro entero. B) El producto de dos nmeros racionales nos da la posibilidad de obtener un nmero entero. C) El producto de 2 nmeros racionales dos da siempre un entero D) Al sumar dos nmeros complejos existe la posibilidad de obtener un nmero imaginario E) Si multiplicamos racional entero podran darse el caso de obtener nmero entero.

CLAVES

15. Si los lados de un tringulo son:2, 1 y 5 , al sumar sus lados nos resulta un nmero A) Irracional B) Natural C) Racional D) Entero E) Imaginario

1. B 2. E 3. C 4. C 5. A

6. E 7. C 8. C 9. D 10. E

11. A 12. A 13. C 14. E 15. A

SI

NUNCA ABANDONAS LO QUE ES IMPORTANTE A LUCHAR PARA OBTENERLO, TE

PARA TI, SI TE IMPORTA TANTO QUE ESTS DISPUESTO ASEGURO QUE TU VIDA ESTAR LLENA DE XITO. SER UNA VIDA DURA, PORQUE LA EXCELENCIA NO ES FCIL PERO VALDR LA PENA.

R. BACH

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PROBLEMAS PARA LA CASA1. Si los m es un nmero entero par. Cul de las alternativas nos representa siempre un nmero impar? A) 2m + 6 B) m + 1 D) m + 8 E) m + 8 C) m 2 4. El menor nmero real que le sigue a 3 es: A) 3,3 D) 3,03 B) 3,0001 E) 3,00001 C) 4

7. Cul de las siguientes relaciones es correcta? A) 62 es un nmero natural B) 6 + 4i es un nmero real C) 0,484950 .. es un nmero racional D) 3 8 es un nmero imaginario 1 5 E) resolver su resultado 2 2 es un entero

9. Si: x > 0 y y < -2. se deduce que xy + yx es:

A) B) C) D)

Siempre positivo Puede ser cero Siempre negativo Puede ser positivo

5. Si a < 0 y b < 0 entonces a . b 2. Si m es un nmero impar. Cul de las alternativas siempre representa un nmero par? A) n + 2 D) 3n + 1 B) n - 5 E) B y D C) 2n + 7 resulta un nmero A) Real negativo B) Imaginario C) Real positivo D) Entero negativo E) Entero positivo

10. Cul de los enunciados es falso? A) 52 un nmero entero B) 41/2 es irracional C) 3.5 es racional D) 5 + 3i es imaginario E) 0,345 es un real

8. Al sumar 0,2 con obtendremos un nmero A) Entero C) Complejo E) A y D

2,8

B) Imaginario D) Racional

3. Cul de las siguientes alternativas es incorrecta? A) B) C) D) E) Resulta ser un 9 nmero Real 2 es un nmero entero 1 + 3 es un nmero 2 racional 3 + 4i es un nmero complejo Todas son incorrectas.

6. Si: a negativo b un nmero real Son producto nos resulta un nmero .............. A) Real C) Racional B) Imaginario D) Entero un nmero enteroTUERES MI HERMANO PORQUE ERES UN SER HUMANO Y AMBOS SOMOS HIJOS DE UN NICO TIERRA.

ESPRITU SANTO;

SOMOS IGUALES Y ESTAMOS HECHOS DE LA MISMA

ERES MI COMPAERO EN EL SENDERO DE LA VIDA ERES HUMANO Y ESTO BASTA PARA QUE

Y MI AYUDA PARA COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA VERDAD OCULTA. TE AME COMO HERMANO...

KAHIL GIBRN

E) No se puede determinar

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SABAS QU... LA CARRERA PROFESIONAL DE MICROBIOLOGA Y PARASITOLOGA

CLAVES

1. B 2. E 3. A 4. E 5. C

6. A 7. E 8. E 9. C 10. DEl Microbilogo Parasitlogo estudia los microorganismos y los parsitos, considerando sus aspectos morfolgicos, bioqumicos, moleculares, evolutivos taxonmicos, as como sus interrelaciones entre s, con otros organismos y el medio ambiente. Es un estudio profesional con criterio cientfico, tecnolgico y humanstico; con capacidad de aplicar los conocimientos de la microbiologa y parasitologa para el control de plagas y enfermedades que afectan al hombre, animales y plantas; as como para la prevencin y el control de la contaminacin. Aplica sus conocimientos de la ingeniera de diseos y procesos para la explotacin industrial de microorganismos benficos. Evala y califica la calidad microbiolgica de materias primas, insumos empleados en la produccin de alimentos, bebidas, cosmticos, frmacos, etc. Posee capacidad de gestin empresarial y de organizacin de proyectos de inversin, produccin y de servicios.

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TEMA: NUMERACINConcepto Es la parte de la Aritmtica que se encarga del estudio de la correcta formacin, lectura y escritura de los nmeros. Nmero Es el primero y bsico de los conceptos matemticos y nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza. Numeral Es la representacin simblica o figurativa del nmero. Ejemplo: 15, XV, 24 1 6, VI, 22 + 2, 32 3

De la Base Es un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las rdenes de un numeral en cierto sistema de numeracin. Ejemplo 342 nbase

Nos indica que se agrupar de n en n en dicho sistema - La base toma valores enteros y positivos mayores o iguales que 2 n 2 o sea n = {2, 3, 4, 5, .........} Entonces la base mnima: n= 2 Veamos en forma grafica: representa el nmero 16 en base 3

SISTEMA DE NUMERACIN Concepto Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para representar y expresar a los llamados numerales Principios: Del Orden Toda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno y se encuentra a la derecha a izquierda. Ejemplo: 6 Numeral: Lugar (Lectura) 2 1 5 7 2 4 3 3 3 9 4 2 7 5 1 5 6 Orden

O sea que: 16 = 121(3) Otro ejemplo: representar el nmero 17 en base 5

De las cifras: Las cifras cumplen las siguientes condiciones - Pertenecen a Z (cifras Z) - Son menores que la base (cifras < n) - La cifra mxima es una unidad menor que la base cifra = (base - 1)

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-

Toman valores enteros menores que la base. Si la base n; se pueden utilizar en las cifras 0, 1, 2, 3, 4, ............., (n 1) mxima cifra cifra significativa cifra no significativa

-

ab : numeral de 2 cifras:(10, 11, 12, ................ 98, 99) abc : numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999) aaa : numeral de 3 cifras iguales: (111, 222, 333, ..........., 999) 18 ab : numeral de 3 cifras que empiezan en 18. (1800, 1811, 1812, .......) a(a 1)(a 2) Numeral de tres cifras consecutivas. (123; 456; 567.....)

Principales sistemas de numeracin Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sistema de Numeracin Binario o Dual Temario Cuartenario Quinario Senario y Sexanario Heptanario Octanario Nonario Decimal o Decuplo Undecimal Duodecimal 0,1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, ........... 5 0, ..........., 6 0, ..........., 7 0, ...........; 8 0, ..........., 9 0, ..........., 9, (10) 0, ..........., 9(10), (11) Cifras

OBSERVACIONES: 1. LA PRIMERA CIFRA DE UN NUMERAL DEBER SER SIGNIFICATIVA (DIFERENTE DE CERO) 2. TODO AQUELLO QUE EST ENTRE PARNTESIS EN EL LUGAR DE LAS CIFRAS, REPRESENTA UNA DE ELLAS 3. SE DENOMINA NUMERAL CAPICA A AQUEL QUE LEDO DE IZQUIERDA A DERECHA O VICEVERSA SE LEE IGUAL. EJEMPLO: 33; 454; 777: 7887

aa , aba , abba

CAMBIOS DE BASE EN Z: Caso N 1: De base n a base 10 existen tres mtodos: - Ruffini - Descomposicin polinmica - Practico: sube y baja A. M Ruffini: Ejemplo: Convertir 215(6) a base 10 Resolucin

Son frecuencia se estila utilizar las siguientes letras parea denotar algunas cifras: Alfa 10 Gamma 2 Epsilon 14 Beta 11 Delta 13 Representacin Literal de Numerales: - Numeral de 3 cifras de base n : abc (n ) - Numeral de 4 cifras de base n : abcd (n)

O sea que: 215(6) = 83

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Ejemplo Convertir 127(8) a base 10.

C. M. Practico: Sube y Baja Convertir 215(6) en base 10

O sea que: 127(8) = 87 B. Descomposicin Polinmica Ejemplo: Convertir 324(6) a base 10 Resolucin 324(6) = 3 . 6 + 2 . 6 + 4 = 108 + 12 + 4 = 124 O sea que: 324(6) = 124 Ejemplo: Convertir 542(7) a base 10 Resolucin 542(7) = 5 . 72 + 4 . 7 + 2 = 245 + 28 + 2 = 275 O sea que: 542(7) = 2752 1

O sea que: 215(6)= 83 Convertir 542(7) en base 10

O sea que: 215(6)= 83

Caso N 2: De la base 10 a base n El nico mtodo es el de divisiones sucesivas Ejemplo: Convertir 1234 a base 5 Resolucin

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Ejemplo: Convertir 431 a base 4

Ejemplo: convertir 401(6) a base 4 A)

Ejemplo: Convertir 500 a base 9

B)

Luego: Caso N 03: De base n a base m Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeracin undecimal Resolucin A. Convertir 152(7) a base 10 401(6) 1501(4)RESUMEN: DE BASE N A BASE M PASO A: DONDE N A BASE 10 PASO B: DE BASE 10 A BASE M (DIVISIONES SUCESIVAS)

PROPIEDAD FUNDAMENTAL: Osea 152(7) = 86 B. Halla el nmero 86 convertir a base 11 a travs de divisiones sucesivas. Dado: abc (n ) Si: abc Si: abc

pqr (m )

pqr pqr

nm

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Ejemplo N 01: Hallar a Siendo: abc ( 4 ) Resolucin2 pr ( 7 )

PROBLEMAS APLICATIVOS 1. Convertir el desarrollo a base 5. 2 . 53 + 1 . 52 + 2 . 5 + 4 Resolucin Analicemos:

a>2 a